有限個の点を取り付けた集合の位相

1. 相異なるm個の点p1,p2,...,pm (m ≥ 1)をRに付け加えた集合 Xm =R∪{p1,p2,...,pm}
を考え,Xm に次のような集合の全体を開基とする位相を与える.
• {x∈R||x−x0|<1/n} (x0 ∈R,n∈N)
• {x ∈ R | −1 𝑘
x > −1 𝑘
n}∪{pk} (k = 1,2,...,m, n ∈ Z)
このとき,以下の問に答えよ.
(1) X1 はコンパクトでないことを示せ.
(2) X2 は閉区間 [0, 1] と同相であることを示せ.
(3) m ≥ 3 のとき,Xm はハウスドルフ空間でないことを示せ.

2. 相異なるm個の点p1,p2,...,pm (m ≥ 1)をRに付け加えた集合 Xm =R∪{p1,p2,...,pm}
を考え,Xm に次のような集合の全体を開基とする位相を与える.
• {x∈R||x−x0|<1/n} (x0 ∈R,n∈N)
• {x ∈ R | −1 𝑘 x > −1 𝑘n}∪{pk} (k = 1,2,...,m, n ∈ Z)
このとき,以下の問に答えよ.
(1) X1 はコンパクトでないことを示せ.
証明
被覆として{x ∈ R | −1 𝑘 x > −1 𝑘n}∪{pk} (k = 1, n ∈ Z) をとると、有限個のn1,…nk ∈
Zを取っても、 X1を被覆することができない。
{x∈R||x−xs|<1/n} (xs ∈R,n=1)
(2) X2 は閉区間 [0, 1] と同相であることを示せ.
証明
(0,1)をRの部分に写し、0をp1、1を𝑝2 に写す。
(0,1)からRへの写像 f をx ∈ (0,1) に対してf(x) = tan (πx - π/2)
このとき，f は，全単射かつ連続であり，逆写像も連続。
すなわち，f は同相写像．したがって，(0,1) と R は同相。
また0を含む開集合の基底は𝑙𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ {x ∈ R | −1 1 x > −1 1n}∪{p1} U
𝑙𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑜→−∞ {x∈R||x−x0|<1/n} へ、1を含む開集合の基底は𝑙𝑙𝑖𝑚 𝑛→∞ {x ∈ R | −1 2
x >
−1 2n}∪{p2} U 𝑙𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑜→∞ {x∈R||x−x0|<1/n}へそれぞれ写る。逆も同様。
(3) m ≥ 3 のとき,Xm はハウスドルフ空間でないことを示せ.
P1 P3 が分離できない。
なぜならどちらの開近傍も0を含んでしまうからである。