商写像とコンパクトハウスドルフ

1. X, Y を位相空間とし,f: X → Y を連続な全射とする.f が 条件
「 𝑓−1(B) が X の開集合ならば B は Y の開集合である」 をみたすとき,f を商写像という.
(1) f が商写像であるためには,f が条件
「𝑓−1(B)が X の閉集合ならば B は Y の閉集合である」
をみたすことが必要十分であることを示せ.
証明
まずBが閉集合であることと、Bの補集合が開集合であることは同値である。
よって𝑓−1
(B)が X の閉集合ならばfが全写であるからX-𝑓−1
(B)= 𝑓−1
(X-B)が X の開集合であり、 B
が Y の閉集合ならばY-BはYの閉集合である。よって上から下が示せた。下から上も同様である。
(2) X がコンパクト空間であり,かつ,Y が Hausdorff 空間 であるならば,f は商写像であ
ることを示せ.
証明 [斎藤毅]集合と位相p162