位相の基礎的問題

1. X を位相空間とし, A, B を X の部分集合とする. X の部分位相
空間A, B, A∪B に 関する以下の 3 つの命題について, 正しけれ
ば証明し, 正しくなければ反例をあげよ。
(1)A, B がともにコンパクトであるとき, A ∪ B はコンハ
゚クトである。
答え コンパクトである。
証明 [斎藤毅]集合と位相p157参照
(2)A, B がともにハウスドルフ空間であるとき, A ∪ B は
ハウスドルフ空間である。
反例X={1,2,3,4,5} O={{1},{2},{3},{4,5}}で生成される位相。
A={1,2,3,4} B={1,2,3,5}は部分位相としては離散位相になる。
しかしA∪B =Xはハウスドルフ空間でない。
(４と５が分離できない。)
(3) A ∩ B ̸= ∅ とする. A, B がともに連結であるとき, A ∪
B は連結である。
答え 連結である。
証明 [斎藤毅]集合と位相p104参照