位相の真偽問題

1. X、Yを位相空間、f:X→Yを連続写像とする。以下の主張に対して、真
である場合は証明を与え偽である場合には反例をあげよ。
(1)Xが連続であれば、像f(X)も連結である。
答え 真
証明 [斎藤毅]集合と位相p145
(2)Xがハウスドルフであれば、像f(X)もハウスドルフである。
答え 偽
X＝{1,2,3}に離散位相を入れY={1,2,3}に密着位相を入れればこれはど
んな写像でに連続であるが、f(X)=Yであった場合ハウスドルフではな
い。
(3)Xがコンパクトであれば、像f(X)もコンパクトである。
答え 真
証明 [斎藤毅]集合と位相p158