位相の定義

1. 3 個の元よりなる集合 X = {a, b, c} について,以下の問いに答えよ.
(1) X の部分集合族 O = {∅, X, {a, c}, {b, c}, {c}} は開集合系の公理を満たすことを示せ.
証明
公理１ 空集合と全体を含む。
公理２ {a, c}U{b, c}=X∈O 以下同様にOの任意の２つの元の和集合はOに入る。
公理３ {a, c}∩{b, c}={c}∈O 以下同様にOの任意の２つの元の共通集合はOに入る。
よって位相の公理を満たす。
(2) X の部分集合 Y = {a, b} は O から定まる位相に関して閉集合であることを示せ.
証明 Xは閉集合かつ開集合であることに注意してY＝X＼{c}より閉集合。
(3) 関数g : Y → Rをg(a) = 0とg(b) = 1により定めるとき,gは連続であることを 示せ。
ただし,Y の位相は O から定まる X の位相の相対位相とする。
証明 OY={∅, X, {a}, {b}} 任意のRの開集合Uに対して、g−1(𝑈) =開集合である。
よってgは開集合。
(4) 関数 f : X → R を Y に制限すると (3) の関数 g になるものとする.このとき,f は連
続でないことを示せ。
証明 g(c)=0or1にすると、1点集合はR上閉集合であるが、f−1
(g(c))はX上開集合であり
閉集合でない。よって連続でない。g(c)≠0and1のとき、g(c)を含まず、g(a)=0,g(b)=1
を含む開集合Vを選ぶと、f−1(V)={a,b}で閉集合ではあるが、開集合ではない。よって
連続ではない。