写像の性質

1. X, Y を集合とし, F : X → Y を写像とする. 以下の問に答えよ.
(1) Xの部分集合AとY の部分集合Bに対して F(A)={F(x)|x∈A}, 𝐹−1
(B)={x∈X |F(x)∈B}
とおくとき, 次の主張 (a), (b) について, 正しければ証明し, 誤りならば反例をあげよ.
(a) F(A1 ∩ A2) = F(A1) ∩ F(A2).
答え 偽
反例 F:{1,2,3}→{1,2}をF(1)=F(3)=1 F(2)=2, A1={1,2} A2={3,2}とすると(a)は成り立たない。
(a) (b) 𝐹−1(B1 ∩B2)=𝐹−1 (B1)∩𝐹−1 (B2).
答え 真
証明[斎藤毅]集合と位相p43
(2) X が空集合でなく, F : X → Y が単射ならば Y から X への全射が存在するこ と
を示せ.
証明 単射であるから、F(x)≠F(y)ならばx≠y G:Y→XをF(x)の点はxに、Y-F(X)の点をある１点
に写す写像を考える。すると全てのx∈Xに対してF(x)が存在し、G(F(x))=xとなるので全射で
ある。

2. X, Y を集合とし, F : X → Y を写像とする. 以下の問に答えよ.
(1) Xの部分集合AとY の部分集合Bに対して F(A)={F(x)|x∈A}, 𝐹−1(B)={x∈X |F(x)∈B}
とおくとき, 次の主張 (a), (b) について, 正しければ証明し, 誤りならば反例をあげよ.
(a) F(A1 ∩ A2) = F(A1) ∩ F(A2).
(b) (b) 𝐹−1
(B1 ∩B2)=𝐹−1
(B1)∩𝐹−1
(B2).
(2) X が空集合でなく, F : X → Y が単射ならば Y から X への全射が存在するこ と
を示せ.