著者:結城 浩-『プログラマの数学』の第8章をスライド資料にしたもの

1. 計算不可能な問題
B17727 福井敬徳

2. この章で学ぶこと
• 背理法
• 矛盾を導く証明方法
• カウンタブル
• 数えられるもの，数えられないもの
• 停止判定問題
• 絶対に作れないプログラム

3. 背理法
矛盾を導く証明方法

4. 背理法の証明手順
1. 「証明したい命題の否定」が成り立つと仮定
2. 仮定をもとに論証を進め，矛盾を導く
背理法
矛盾
最初の仮定が間違っている
証明したい命題の否定は間違っている
証明したい命題は正しい

5. 「最大の整数は存在しない」：証明
1. 「証明したい命題の否定」が成り立つと仮定
証明したい命題 ＝ 「最大の整数は存在しない」
証明したい命題の否定 ＝ 「最大の整数は存在する」
2. 仮定をもとに論証を進め，矛盾を導く
①最大の整数を M とする
②Mは整数だから足し算できる
M + 1 最大の整数
M より大き
い数矛盾
背理法

6. ⑴最大の整数 ⑵論証を進めて作り出し
た最大の整数
矛盾
M + 1M
最大の整数よりも最大の整数
2. 仮定をもとに論証を進め，矛盾を導く
背理法

7. 「最大の整数は存在しない」：証明終了
「最大の整数は存在しない」は
は正しい！
矛盾 最初の仮定が間違っている
証明したい命題の否定は間違っている
証明したい命題は正しい
背理法

8. 「素数は無数にある」：証明
1. 「証明したい命題の否定」が成り立つと仮定
証明したい命題 ＝ 「素数は無数にある」
証明したい命題の否定 ＝ 「素数は無数にない（有限個）」
2. 仮定をもとに論証を進め，矛盾を導く
①素数は有限個である
2, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, … ,P
②最後の素数を
P とする
背理法

9. 2, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, … ,P
「素数は無数にある」：証明
2. 仮定をもとに論証を進め，矛盾を導く
背理法
最大の整数をMとした。
Mを使ってMより大きい整
数を導いた
最後の素数をPとした。
Pを使ってPより大きい素数を導く

10. 素数の作り方
素数を順番にかけたものに1を足したものは素数である
2 × 3 × 5 × 7 + 1
= 211
2 × 3 × 5 + 1 = 31
2 × 3 + 1 = 7
どんな数で割っても
１余る

11. 「素数は無数にある」：証明
2. 仮定をもとに論証を進め，矛盾を導く
2 × 3 × 5 × 7 × ⋯ × 𝑃 + 1 = 𝑄
素数を順番にかけたものに1を足したものは素数である
素数の作り方
2 × 3 × 5 × 7 + 1
= 211
2 × 3 × 5 + 1 = 31
2 × 3 + 1 = 7
⋮
最後の素数
P より
最後の素数矛盾
背理法
P < Q

12. 「素数は無数にある」：証明
「素数は無数にある」は
は正しい！
⑴最後の素数 ⑵論証を進めて作り出した
最後の素数
QP 矛盾
背理法

13. カウンタブル
数えられるもの，数えられないもの

14. カウンタブル
要素をもれなく，ダブりなく数える
ルールを定められる
カウンタブル
有限集合は
すべてカウンタブル

15. 無限集合には２種類ある
• カウンタブルな（数えられる）無限集合
• 0以上の偶数全体の集合．．．など
• カウンタブルでない（数えられない）無限集合
• 整数列全体の集合．．．など

16. 0以上の偶数全体の集合
0 84 62
番号 1 2 3 4 5 ...
…
要素をもれなく，ダブりなく数える
ルールを定められる
ルール：偶数2 × (𝑘 − 1)に𝑘番と番号をつける
カウンタブル

17. 1以上の奇数全体の集合
1 95 73
番号 1 2 3 4 5 ...
…
要素をもれなく，ダブりなく数える
ルールを定められる
ルール：奇数2 × 𝑘 − 1に𝑘番と番号をつける
カウンタブル

18. 整数全体の集合
0 -2-1 21
番号 1 2 3 4 5 ...
…
なぜ正数と負数を交互
に？
カウンタブル
ルール：0から 正数 と 負数 を交互に数える

19. 正数と負数を交互に数える理由
0 42 31
番号 1 2 3 4 5 ...
…
数え終わらないや！
正数を数えてから負数を数えれば？
カウンタブル

20. 有理数全体の集合
0
2
1
1
1
2
0
1
−1
2
−1
1
−2
1
−2
2
−2
3
−1
3
0
3
1
3
整数
1以上の整数
の形で表すことができる数字
1 2 3 ４ 5
6 7 8 9
有理数
カウンタブル
+ と - を交互に！

21. 有理数の数え方
分母
分子
0
2
1
1
1
2
0
1
−1
2
−1
1
−2
1
−2
2
−2
3
−1
3
0
3
1
3
2
3
2
2
3
1
4
1
Start
𝑦
𝑥

22. カウンタブルではないもの
カウンタブル
でないもの
ってあるの？
カウンタブル

23. 整数列全体の集合
• 0以上の整数列
• 0以上の偶数列
• 1以上の奇数列
• フィボナッチ数列
• すべて0の数列
• 円周率の各桁の列
整数列
整数を無限に並べた数
例えば……
：
無限に考えられる
カウンタブル
無限集合

24. 整数列全体の集合は
カウンタブルではない
1. 0以上の整数列
2. 0以上の偶数列
3. 1以上の奇数列
4. フィボナッチ数列
5. すべて0の数列
6. 円周率の各桁の列
7. ．．．
要素をもれなく，ダブりなく数える
ルールを定められる
カウンタブル
カウンタブル

25. 「整数列全体の集合は
カウンタブルではない」：証明
1. 「証明したい命題の否定」が成り立つと仮定
2. 仮定をもとに論証を進め，矛盾を導く
証明したい命題 ＝ 「整数列全体の集合は
カウンタブルではない」
証明したい命題の否定 ＝ 「整数列全体の集合は
カウンタブルである」
①すべての整数列に番号付ができる
②すべての整数列は順番に並べられる
カウンタブル

26. すべての整数列の表
整数列 番号
0以上の整数列 1 0 1 2 3 4 5 6 7 …
0以上の偶数列 2 0 2 4 6 8 10 12 14 …
1以上の奇数列 3 1 3 5 7 9 11 13 15 …
フィボナッチ数列 4 0 1 1 2 3 5 8 13 …
すべて0の数列 5 0 0 0 0 0 0 0 0 …
… … …
（最後の数列） K ? ? ? ? ? ? ? ? ?
矛盾この表にない整数列を作る
カウンタブル

27. すべての整数列の表にない整数列
すべての整数列の表
にない整数列なんて
ないでしょ？
カウンタブル

28. 今までのやり方を思い出して…
最大の整数をMとした
Mを使ってMより大き
い整数を導いた
すべての整数列の表から
新しい整数列を作り出せば．．．？
カウンタブル

29. 対角線論法
1. 表に含まれない数を作るために，表の対角線を通るように
して数を選んでいく
2. 選んだ数に1を足して新しい数列を作る
整数列 番号
0以上の整数列 1 0 1 2 3 4 5 6 7 …
0以上の偶数列 2 0 2 4 6 8 10 12 14 …
1以上の奇数列 3 1 3 5 7 9 11 13 15 …
フィボナッチ数列 4 0 1 1 2 3 5 8 13 …
… … …
（最後の数列） K ? ? ? ? ? ? ? ? ?
新しい数列 K+1 1 3 6 3 . . . . .
カウンタブル

30. 「整数列全体の集合は
カウンタブルではない」：証明
「整数列全体の集合はカウンタブルではない」
は正しい！
⑴すべての整数列の表 ⑵論証を進めて作り出した
「すべての整数列の表」
にない数列
矛盾
カウンタブル

31. 「0以上１以下の実数は
カウンタブルではない」：証明
1. 「証明したい命題の否定」が成り立つと仮定
2. 仮定をもとに論証を進め，矛盾を導く
証明したい命題 ＝ 「実数全体の集合は
カウンタブルではない」
証明したい命題の否定 ＝ 「実数全体の集合は
カウンタブルである」
①すべての実数列に番号付ができる
②すべての実数列は順番に並べられる
カウンタブル

32. 0以上1以下のすべての実数列の表
整数列 番号
0と1の繰り返し 1 0. 1 0 1 0 1 0 1 …
123の繰り返し 2 0. 1 2 3 1 2 3 1 …
√2 ÷ 10 3 0. 1 4 1 4 2 1 3 …
𝜋 ÷ 10 4 0. 3 1 4 1 5 9 2 …
0の繰り返し 5 0. 0 0 0 0 0 0 0 …
… … …
（最後の数列） K ? ? ? ? ? ? ? ? ?
矛盾この表にない実数列を作る
カウンタブル

33. 新しい数列を作り出す
整数列 番号
0と1の繰り返し 1 0. 1 0 1 0 1 0 1 …
123の繰り返し 2 0. 1 2 3 1 2 3 1 …
√2 ÷ 10 3 0. 1 4 1 4 2 1 3 …
𝜋 ÷ 10 4 0. 3 1 4 1 5 9 2 …
0の繰り返し 5 0. 0 0 0 0 0 0 0 …
… … …
（最後の数列） K ? ? ? ? ? ? ? ? ?
新しい数列 K+1 0. 2 3 2 2 1 . . .
カウンタブル
矛盾
0以上1以下のすべての実数列は
カウンタブルではない

34. 関数の集合もカウンタブルではない
整数列 番号
0 1 2 3 4 5 6 7 …
与えた整数に１
を加える関数
1 1 2 3 4 5 6 7 8 …
与えた整数を２
乗する関数
2 0 1 4 9 16 25 36 49 …
与えた整数が
素数である: 1
素数でない: 0
3 0 0 1 1 0 1 0 1 …
… … …
（最後の数列） K ? ? ? ? ? ? ? ? ?
カウンタブル

35. 対角線論法（補足）
整数列 番号
数列 1 0 1 2 3 4 5 6 7 …
数列 2 0 2 4 6 8 10 12 14 …
数列 3 1 3 5 7 9 11 13 15 …
… … …
（最後の数列） K ? ? ? ? ? ? ? ? ?
新しい数列 K+1 1 0 0 . . . . . .
1. 表の対角線を通るようにして数を選んでいく
2. 数に同じ処理を行い新しい数列を作る
ex: 0 なら 1，それ以外なら0に変換する

36. 停止判定問題
絶対に作れないプログラム
次週

37. 計算不可能な問題
プログラムで解くことが
原理的に不可能な問題
プログラムで解くことができる問題の集合に
含まれていない問題
• 解を求めるのにたくさん時間がかかる問題
• そもそも解が存在しない問題
• 現在は誰も解き方を知らない未解決の問題

38. 次のプログラムは「計算可能」か？
• 1以上の整数nを入力すると，n+1を出力する関数
• １以上の整数nを入力すると，nが素数なら1，素数でないなら0を出
力する関数
• 1以上の整数nを入力すると，2×n = 1 を満たすなら1，満たさない
なら0を出力する関数
• あるプログラムが1以上の整数nを入力すると整数を出力するか調
べる関数
• あるプログラムがどんな入力を受け取っても「Hello, world!」を出力
するかどうかを `実行せずに’ 判定する関数

39. クイズ：証明の間違いを探す
「プログラムで生成できる整数列全
体の集合」はカウンタブルではない
「整数列全体の集合」は
カウンタブルではない
ことは証明済み

40. 「プログラムで生成できる整数列全体の
集合はカウンタブルではない」：証明
1. 「証明したい命題の否定」が成り立つと仮定
2. 仮定をもとに論証を進め，矛盾を導く
証明したい命題 ＝ 「プログラム…は
カウンタブルではない」
証明したい命題の否定 ＝ 「プログラム…は
カウンタブルである」
①すべての整数列に番号付ができる
②すべての整数列は順番に並べられる

41. 新しい数列を作り出す
整数列 番号
生成した整数列 1 1 0 1 0 1 0 1 …
生成した整数列 2 1 2 3 1 2 3 1 …
．．． 3 1 4 1 4 2 1 3 …
．． 4 3 1 4 1 5 9 2 …
… …
（最後の数列） K ? ? ? ? ? ? ? ?
新しい数列 K+1 2 3 2 2 1 . . .
カウンタブル
矛盾
プログラムで生成できる整数列全体の集合は
カウンタブルではない

42. 背理法の落とし穴
1. 表の対角線を通るようにして数を選んでいく
2. 数に同じ処理を行い新しい数列を作る
3. 新しい数列は表にない数列である
4. すべての表にない数列を作り出すことにって矛盾
が生じる
新しい数列は
「プログラムで生成できる整数列」
ではないかもしれない

43. 新しい数列の妥当性