1/30 日曜数学会vlo.4　の発表資料です。 sinc関数の広義積分についての考察。 （先駆者、先行研究あり。）

1. 1
Sinc関数の広義積分について
日曜数学者
Kuma
日曜数学会 vol.4
2016年1月30日
0
sin( )
n
n
x
I dx
x
  
  
 


2. Agenda
2
1. 自己紹介
2. きっかけ ～２つの疑問～
3.取り組み
3.1 第1の疑問～Fourier変換の妙～
3.2 第2の疑問

3. 3
簡単な自己紹介
HN：くま (Kuma)
経歴：工学修士卒→会社員（技術屋）
注意!! 数学と本業の接点はなし。全て独学です！
好きな分野：理論物理学、解析学、工学理論
趣味：バードウォッチャー（見習い）、日本酒、ゆるキャラ
生主やってます。 講座/演習、理系ニュース紹介
Co1644269
[数学・物理学の話をしようず]

4. きっかけ ～２つの疑問～
4
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR R
Re
Im
𝐶4
2
0
sin( )x
dx
x
  
 
 
 を求めよ。
とある大学院試験本番にて遭遇
0
sin( )
2
x
dx
x
  
 
 

を応用して解けそう・・・・

5. きっかけ ～２つの疑問～
5
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR R
Re
Im
𝐶4
2
0
sin( )
2
x
dx
x
  
 
 

0
sin( )
2
x
dx
x
  
 
 

を応用して解けそう・・・・
なんと…同じく
𝜋
2
になるのです！

6. きっかけ ～２つの疑問～
6
【疑問】 なぜ𝑰 𝟏 = 𝑰 𝟐となるのか？
0
sin( )
n
n
x
I dx
x
  
  
 

【挑戦】 𝑰 𝒏の公式を出してみよう
誰得な公式だけど未発表だったら嬉しいじゃん？
今のところ納得できる理由得られず。。。

7. 取り組み ~第1の疑問～
7
【疑問】 なぜ𝑰 𝟏 = 𝑰 𝟐となるのか？
0
sin( )
n
n
x
I dx
x
  
  
 

𝑰 𝟏 > 𝑰 𝟐となってもよさそう。。
sinc(x) Sinc^2(x)1/x 1/x^2
減衰遅い 減衰早い

8. 8
【疑問】 なぜ𝑰 𝟏 = 𝑰 𝟐となるのか？
0
sin( )
n
n
x
I dx
x
  
  
 

sinc(x) Sinc^2(x)1/x 1/x^2
Sinc^1の負の積分による損 と sinc^2 の減衰による損 が釣り合う！？
ほんとに“偶然”？
取り組み ~第1の疑問～

9. 9
寄り道 ~第1の疑問～
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR R
Re
Im
2
0
sin( )x
dx
x
  
 
 
 を求めよ。
①複素積分を使わずに
②複雑な計算なしで
違うアプローチで導出できないか？
(sincの性質をもう少し知りたい！）
Fourier変換を用いると導出することが出来る！

10. ( ) ( )f x g x
【事実1】
( )× ( )F G 
Fourier変換対
2
( ) ( ) j fx
F f x e dx




 
sinc(x)
【事実2】
rect( ) 
Fourier変換対
( ) ( ) : ( ) ( )f x g x f g x d  


  
rect(x)sinc(x) Fourier変換対
2
( ) ( ) j fx
f x F f e df


 

11. ( ) ( ) : ( ) ( )f x g x f g x d  


  
sincf g  とする。
sinc sinc
Fourier変換対 2 2
rect
2
rect rect だから
sinc sinc
Fourier変換対
2
rect
sinc
( ) ( )f x g x
【事実1】
( ) ( )F G 
Fourier変換対

12. ( ) ( ) : ( ) ( )f x g x f g x d  


  
sincf g  とすると
sinc sinc ( ) sinc( )x x 
【事実3】
2
2
0
sinc( )sinc( ) sinc( )
0
sinc( )
sinc sinc( )
2
x d x
x
d
d
   
  

 





 






とすると
は偶関数だから
Sincの累乗に
一般化できないか？
→3連畳み込みは3乗の積分
には持ち込めない。。
フーリエ変換のパーセバルの等式使えばすぐ出せるんだけどね・・・。

13. sinc sinc ( ) sinc( )x x 
【寄り道の成果】
をFourier変換を用いて導出できることを示した。
同時に、直感的な（易しい）理解を与えた。
【疑問】 なぜ𝑰 𝟏 = 𝑰 𝟐となるのか？
は未解決。。
まとめ ~第1の疑問～
【課題】
フーリエ変換がF^2=kF となる任意の関数の二乗積分を求められる。

14. 0
sin( )
n
n
x
I dx
x
  
  
 

【挑戦】 𝑰 𝒏の公式を出してみよう
誰得な公式だけど未発表だったら嬉しいじゃん？
挑戦 ~第2の疑問～
1乗、2乗の時の単純な応用で出すことができた。
（複素積分。計算は大変よ）

15. 0
sin( )
( )
C
x
dx
x
g z dz



＝？
⇒ を分割して考える。
1. 閉路𝐶は留数定理により積分値0
2. 𝐶4 はR→∞で0に収束（Jordanの補題)
3. 𝐶1 + 𝐶3の積分は 𝒔𝒊𝒏𝒄 𝒙 𝒅𝒙
+∞
𝟎
に等しい
1 3 20
sinc( ) ( ) ( )
C C C
x dx g z dz g z dz


    
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR R
Re
Im
𝐶4
( )
2
jz
e
g z
jz

(補足) sinc^1の積分

16.    
sin 1
2 2
1
( )
2
jx jx jx jx
R R R R
r r r r
jx
R R R R
r r r r
x e e e e
dx dx dx
x jx j x x
e
dx g x dx
j x
 
 
 
 
 
   
 
   
   
   
𝐶1 + 𝐶3の積分は 𝒔𝒊𝒏𝒄 𝒙 𝒅𝒙
+∞
𝟎
に等しい
1 30
sinc( ) ( )
C C
x dx g z dz


 
【証明】

17. 1 3 20
sinc( ) ( ) ( )
C C C
x dx g z dz g z dz


    
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR R
Re
Im1
0
1
0
1 ( )
( )
2 2 !
log( ), ( 1)
, ( 1)
1
, ( 1)
0, ( 1)
jz n
n
n
k k
r
e jz
g z z
jz j n
z k
z dz z
k
k
j k
k

 



 
 

 
 

  

 

ここで
𝑧−1の項しか寄与しない
0
( )
sinc( )
2 2
j
x dx
j
   
 

18. ( )
sin
2
1
(2 )
nn jx jx
R R
r r
R
jkx jx n k
n kn kr
x e e
dx dx
x jx
C e e dx
jx

 

 
  
   
   

 

Sincのn乗になると何が違う？
二項定理
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR R
Re
Im
積分するとき𝑧−1の項しか寄与しない
0
( )
!
n
njz
n
jz
e
n


 
nI の公式が得られる！
sinc^nの積分

19. 2 1
1 2
2 12 1
0
1
( 1) ( )( (2 2 1)) / (2 )!
(2 )
m
k m
k m
m km
k
I
C j j k m m
j







   
(OEISA049330 and A049331; Grimsey 1945, Medhurst and Roberts 1965).
しかし、残念ながらすでに計算されていた。。
まとめ ~第2の疑問～
目標の公式を得ることができた！

20. 20
まとめ
【疑問】 なぜ𝑰 𝟏 = 𝑰 𝟐となるのか？
は未解決。。
【課題】
𝑰 𝒏の公式の導出に成功。先駆者あり。。
【成果】
𝒔𝒊𝒏𝒄の畳み込み公式の
新たな手法での導出。
【成果】
フーリエ変換がF^2=kF となる任意の関数の二乗積分を求められる。

21. 付録：sincの2乗の計算過程

22.  
22
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 2
sin
2
1 1
2
(2 )
1 1 1
(2 )
1
( ) ( ) ( )
(2 )
jx jx
R R
r r
j x j x
R R R
r r r
j x j x
R R
r r
j x
R r
r R
x e e
dx dx
x jx
e e
dx
j x x x
e e
dx
j x x
e
h x h x h x dx
j x

 




  
   
   
 
   
 
  
  
 

 
 
  
 
 とすると
Nが偶数
⇒expが打ち消し合い
1/x^nが出現
付録：sincの2乗の場合の計算

23. 1. 閉路𝐶は留数定理により積分値0
2. 𝐶4 はR→∞で0に収束（Jordanの補題)[※]
3. 𝐶1 + 𝐶3の積分は 𝒔𝒊𝒏𝒄 𝒙 𝒏 𝒅𝒙
+∞
𝟎
に等しい
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR R
Re
Im
𝐶4
2
2 2
1
( )
(2 )
j z
e
h z
j z


1乗の時の以下の性質は同様に成り立つ。
※2.については1/x^2の項もC4上での積分計算すれば0となることが分かる。
付録：sincの2乗の場合の計算

24. 24
inf .
0
inf .
2 1
2 1 2 10
2 1
2 1 2 1
0 2 1
2 1 2 1
0 2 1 2
: (sin / )
2 1, 0,1,2...
1
(exp( ) exp( ))
(2 )
(e )
( ) ( e )
( ) (e )
n
n
m
m m
jx jx m
k m jx k jx m k
k m k
k m jx k jx m k k m
k m k k m m
I x x dx
n m m
jx jx dx
jx
e
C e
C e



 
 
    
 
     
   

  
  

  
   


疑問
簡単のため、 について導出を行う。
I
2 1
1
2 1 0 2 1
0 2 1 2 1 2 1
2 1 0 2 1
0 2 1 2 1
2 1
0 2 1
( ) ( e )
2 1
( ) (e ) ( ) ( e )
( ) (e ) ( ) ( e )
( ) (e )
jx k jx m k
k
k m jx k jx m k l jx m l jx l
k m k l m m m l
k m jx k jx m k l jx m l jx l
k m k l m m l
k m jx k jx m k
k m k
C e
l m k
C e C e
C e C e
C e
  
       
     
       
   
   
 

  
   
    
 
とおくと
0 2 1
2 1
2 1 2 1
0 2 1 0 2 1
2 1
inf .
2 1 0 2 1
0 2 1 2 12 10
inf .
( ) ( e )
( ) (e ) ( ) (e )
1
( ( ) (e ) ( ) (e ) )
(2 )
lim
l jx m l jx l
l m m l
k m jx k jx m k l m jx l jx m l
k m k l m l
m
k m jx k jx m k l jx l jx m l
k m k l m m lm
R
C e
C e C e
I
C e C e dx
jx
   
 
       
   


       
   

  
    
    


.
2 1 0 2 1
0 0 2 1 2 12 1
.
2 1
inf . 0 0 2 12 1
2 1 0
22 1
1
lim ( ( ) (e ) ( ) (e ) )
(2 )
1
lim lim ( ( ) (e ) )
(2 )
1
( 1) (
(2 )
R
k m jx k jx m k l jx l jx m l
r k m k l m m lmr
R
k m jx k jx m k
R r k m kmr
m l
l mm
C e C e dx
jx
x x
C e dx
jx
jx
       
    
   
   
 

   

 
  


第二項のみ を とおきかえると
2 1
1
2 1 2 1
inf . 0 0 2 12 1 2 1 2 1
1
( ) (e ) )
(
1 1 1
lim lim ( 1) ( ) (e ) ( ) (e )
(2 )
I
r
jx l jx m l
m lR
R R
k m k jx k jx m k jx k jx m k
R r k m km m mr r
C e dx
dx dx
C e e
j x x

  


      
     


 
   
 

 
ここで が に置き換わる際の負号を利用して、積分区間を反転した）
=
を求める場合と同様の積分路を利用する。半径r
2 1
2 1 inf . 0 0 2 12 1 2 1
2 2 1
inf . 0 0 2 12 1 2 1
1 1
lim lim ( 1) ( ) (e )
(2 )
1 1
lim lim ( 1) ( )
(2 )
1/
k m k jx k jx m k
m R r k m km mC
k m k jx k m
R r k m km mC
I C e
j x
C e
j x
x
   
     
  
    
  
    
 
  
    
 


で時計回りに-rから+rまで回る積分路をCとして
の中身で非零な積分値を与えるのは の項
2
1 2
2 1 0 2 12 1
exp
1
1/ ( (2 2 1)) 1/
(2 )!
1
( 1) ( )( (2 2 1)) / (2 )!
(2 )
m
k m k m
m k m km
x j k m xdx j
m
I C j j k m m
j

 
  
   
     


だけ。 のマクローリン展開を行うと
の項の係数は とわかるので, より
sinc^nの積分
拡大するかMath Typeで開いてください。

25. 付録：sinc^1の計算（詳細)

26. 𝐶1
𝐶2
𝐶3
𝐶4
r rR R Re
Im
閉路𝐶 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + 𝐶4とすると
 1 2 3 4
( ) ( )
C C C C C
g z dz g z dz       
( )
2
jz
e
g z
jz


27. 𝐶1
𝐶2
𝐶3
𝐶4
r rR R Re
Im
閉路𝐶は留数定理により積分値0
 1 2 3 4
0 ( )
C C C C
g z dz      
0

28. 𝐶1
𝐶2
𝐶3
𝐶4
r rR R Re
Im
𝐶4 はR→∞で0に収束（Jordanの補題)
 1 2 3
0 ( )
C C C
g z dz    
0
( )
2
jz
e
g z
jz


29. 𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR R Re
Im
𝐶1 + 𝐶3の積分は 𝒔𝒊𝒏𝒄 𝒙 𝒅𝒙
+∞
𝟎
に等しい
1 3 20
sinc( ) ( ) ( )
C C C
x dx g z dz g z dz


    
𝒔𝒊𝒏𝒄 𝒙 𝒅𝒙
+∞
𝟎

30. 1 3 20
sinc( ) ( ) ( )
C C C
x dx g z dz g z dz


    
𝐶1
𝐶2
𝐶3
r rR R
Re
Im1
0
1
0
1 ( )
( )
2 2 !
log( ), ( 1)
, ( 1)
1
, ( 1)
0, ( 1)
jz n
n
n
k k
r
e jz
g z z
jz j n
z k
z dz z
k
k
j k
k

 



 
 

 
 

  

 

ここで
𝑧−1の項しか寄与しない
0
( )
sinc( )
2 2
j
x dx
j
   
 

31. 付録：sinc^2の
パーセバルの等式による方法

32. 22
( ) ( )f x dx F k dk
 
 
 
【事実1】
2
( ) ( ) j fx
F f x e dx




 
sinc(x)
【事実2】
rect( )
Fourier変換対
rect(x)sinc(x) Fourier変換対
2
( ) ( ) j fx
f x F f e df


 

33. 22
( ) ( )f x dx F k dk
 
 
 
【事実1】
2
( ) ( ) j fx
F f x e dx




 
sinc(x)
【事実2】
rect( )
Fourier変換対
rect(x)sinc(x) Fourier変換対
2
( ) ( ) j fx
f x F f e df


 
22
sinc( ) ( )x dx rect k dk 
 
 
  
π
1/2p-1/2p