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フラクタル音楽 〜可視化と可聴化の世界〜
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Yu(u)ki IWABUCHI
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MathPower 2016 プログラマのための数学勉強会コーナーの発表資料です。
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フラクタル音楽 〜可視化と可聴化の世界〜
1.
フラクタル音楽 〜可視化と可聴化の世界〜 MathPower 2016-10-04 岩淵 勇樹
(@butchi_y)
2.
アカウント紹介 https://twitter.com/butchi_y https://www.instagram.com/carpet_fra ctal/ #フラクタル音楽 で検索
3.
4.
ソース画像と生成された音楽
5.
自己紹介 岩淵勇樹 (
IWABUCHI Yu(u)ki ) 金沢大学自然科学研究科修了 博士(工学) 面白法人カヤック HTMLファイ部・人事部 博士論文は 「図形と音声の変換方法と その応用に関する研究」
6.
用語 カーペットフラクタル(造語) 解析信号
ラスタスキャン
7.
岩淵流フラクタル生成法 カーペットフラクタル → シェルピンスキーのカーペットに 類似した汎用生成方法
代表的な有名フラクタル ◦ シェルピンスキーのギャスケット ◦ Hexaflake ◦ カントールの塵 今日はこの手法を発展させます。
8.
シェルピンスキーのカーペットとは 正方形3分の1ずつ 切り抜く それを繰り返した 極限(フラクタル)
面積0 https://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_carpet
9.
カーペットフラクタルとは 1×1配列→3×3配列→9×9配列 と膨張していく 配列の便宜上、「くり抜く」ではなく 「膨張」の手法をとる (→あとで縮小すればいい) 1
1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0を に置換 を に置換
10.
膨張していく様子 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 → →
11.
カーペットフラクタルの多様性 以外の配列を指定(大きさも自由) することにより汎用的に使える 1 1 1 1
0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 とか 1 1 1 1 0 1 1 1 1 とか とか
12.
デモ http://jsdo.it/butchi/carpet_fractal
13.
広義のカーペットフラクタル くり抜く部分にビットを埋め込む 例: 1
1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 → →
14.
ラスタスキャン ブラウン管テレビ時代の 表示方式 左から右へ、そして 上から下へ
幾何学模様との 相性がいいことが判明 W. S. Yeo, et al. Raster Scanning: A New Approach to Image Sonification, Sound Visualization, Sound Analysis And Synthesis
15.
ラスタスキャン
16.
映像 ソースのカーペットは静止画で味気ない 解析信号によって音声と連動し可視化 参考:
岩淵勇樹 博士論文
17.
音を形にする Sinc関数 鋸波 三味線 ハーモニカ
ギター バイオリン
18.
予備知識 三角関数 sin(t+p/2) =
cos(t) 複素平面 x軸が実数部(Re)でy軸が虚数部(Im) オイラーの公式 eiwt = cos(t) + i sin(t) (フーリエ変換・フーリエ級数展開) (関数を三角関数に分解する)
19.
三角関数と指数関数 三角関数 (cos(a t+q))は 指数関数(ei
a t+q)の 実数部(オイラーの公式より) ばね(指数関数)の方 が自然な形 cf) |{cos(t)}’| =|-sin(t)| |{ei t}’| =|i ei t| =1
20.
ヒルベルト変換 1. 音声信号を三角関数(正弦波)に分解 2. 位相を1/4周期(90度)ずらす(cosをsinに) 3.
分解した正弦波を足し合わせる ⇒ヒルベルト変換 音声信号 (例: 三角波) 6 4 2 2 4 6 1.0 0.5 0.5 1.0 6 4 2 2 4 6 1.0 0.5 0.5 1.0 6 4 2 2 4 6 1.0 0.5 0.5 1.0 6 4 2 2 4 6 1.0 0.5 0.5 1.0 = + + +… 6 4 2 2 4 6 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 = 6 4 2 2 4 6 1.0 0.5 0.5 1.0 6 4 2 2 4 6 1.0 0.5 0.5 1.0 6 4 2 2 4 6 1.0 0.5 0.5 1.0 + + +… ↓ ↓ ↓ ⇒ ヒルベルト変換
21.
音声信号の複素化 実数部: 元の音声信号 虚数部: ヒルベルト変換した音声信号 t t Re Im t + Re Im Re Im Re Im 複素平面に投影 (時間軸を潰す)
22.
音は形にできる Sinc関数 鋸波 三味線 ハーモニカ
ギター バイオリン
23.
鳴らす フラクタル音楽の出来上がり〜
24.
Mathematicaプログラム 生成から画像出力・音声出力まで たったの3行 Mathematica素晴らしい!
25.
なぜ音楽に聞こえるのか 一つのフラクタル図形が、音色と音階 と旋律合わせた音声信号を生成 カーペットのジェネレーターの高さが 偶数だと四拍子的に聞こえる
26.
更新内容 6月12日〜 2x2カーペットのシフト★ 6月30日〜 2x2カーペット
7月9日〜 2x4のカーペット★★ 7月17日〜 8x2のカーペット★ 8月1日〜 5x2のカーペット 8月8日〜 2x5のカーペット 8月16日〜 2x3のカーペット 8月22日〜 2x4のカーペット 8月30日〜 2x13のカーペット★ 9月5日〜 2x7のカーペット★ 9月13日〜 3x2のカーペット 9月20日〜 4x4のカーペット★ 9月20日〜 3x3のカーペット★ 10月3日〜 2x2カーペットのシフト★
27.
今後の予定 これまでは0,1列がメインだったので 実数範囲で動く波形を増やしたい! そもそもの生成方法を模索
28.
おさらい 1. ジェネレーターを指定 2. カーペットフラクタル生成 3.
ラスタスキャンによる可聴化 4. 解析信号による可視化
29.
聴いてください。「Real Xor」
30.
これは何? 本来は整数に 適用する「BitXor」 これを間違えて 実数に適用
そして偶然現れた 音楽。
31.
1桁のBitXor BitXor[0, 0]
= 0 BitXor[0, 1] = 1 BitXor[1, 0] = 1 BitXor[1, 1] = 0
32.
複数桁のBitXor BitXor[61, 15]
== 50 6110 == 1111012 1510 == 0011112 5010 == 1100102
33.
実数のBitXor BitXor[0.2, 0.2]
== 0 BitXor[0.1, 0.2] == BitXor[0.1, 0.2] BitXor[0.2, 0.2, 0.1] == 0.1 BitXor[0.1, 0.1, 0.2, 0.2] == 0 BitXor[hoge, hoge] == 0 BitXor[hoge, piyo, hoge] == piyo
34.
今後のフラクタル音楽候補
35.
ウォルシュ行列
36.
自己加算カーペット
37.
フーリエ変換カーペット
38.
カオスと秩序の狭間1 「Real Xor」のランダム値に 偏りを持たせる
39.
カオスと秩序の狭間2 「Real Xor」のランダム値に もっと偏りを持たせる
40.
まとめ 規則的な幾何学模様をラスタスキャン すると音楽になる フラクタルによる音楽生成を実現
様々な生成方法を模索中
41.
以上 ご清聴ありがとうございました。
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