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![圏論
𝑛
例：自然数とその列
[𝑛]
𝐹 = [ ]
米田の補題 Nat(Hom 𝑆𝑒𝑡𝑠(𝑋, _), 𝐹) ≅ 𝐹(𝑋)
X
Hom 𝑆𝑒𝑡𝑠(𝑋, _)
圏𝐶
𝐹(𝑋)
圏𝑆𝑒𝑡𝑠
𝐹
随伴関手Hom 𝐴(𝐿(𝐵), 𝐴) ≅ Hom 𝐵(𝐵, 𝑅(𝐴))
圏𝐵 圏𝐴
𝐿
𝑅
赤ん坊
の世界
雑音
中学生
の世界
会話中学生：職場体験
𝑎
𝑏
𝑏 ∘ 𝑎
= 𝑏 + 𝑎
(+𝑎)
(+𝑏)
+𝑏 ∘ +𝑎
= + 𝑏 + 𝑎
𝐹
𝒞1 ࣝ2
ℕ
ℕ
ℕ
例：カリー化からモ
ノイドへの写像
関手：
圏𝒞から圏𝒟への関手𝐹: 𝒞 → 𝒟とは、圏𝒞の対象𝐴を圏𝒟の対象𝐹(𝐴)に対応付け、圏𝒞の 射
𝑓: 𝐴 → 𝐵を圏𝒟の対象𝐹(𝑓)に対応付ける関数の組で、次の二つの条件を満たすものである。
1) 𝒞の任意の二つの射𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑔: 𝐵 → 𝐶に対して、𝐹(𝑔 ⋅ 𝑓) = 𝐹(𝑔) ∘ 𝐹(𝑓)である。
2) 𝒞の任意の対象𝐴に対して、𝐹(1 𝐴) = 1 𝐹( 𝐴)
である。
𝐴
𝐵
𝑓
𝒞
𝐹(𝐴)
𝐹(𝐵)
𝐹(𝑓)
𝒟
𝐹
新しい圏に](https://image.slidesharecdn.com/haskell-160319112142/85/Haskell-4-320.jpg)
![Haskell プログラミング言語で、カテゴリー（圏論）を
ベースにしているのは、Haskell
関数型言語の歴史
素数
primes = filterPrime [2..]
where filterPrime (p:xs) =
p : filterPrime [x | x <- xs, x `mod` p /= 0]
クイックソート
quicksort [] = []
quicksort (x:xs) = quicksort smaller ++ [x] ++ quicksort larger
where smaller = [a | a <- xs, a < x]
larger = [a | a <- xs, a >= x]
関数とは
𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑑𝑡（速度）
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑑𝑡（位置）
言語 年 発明者
ラムダ計算 1930 チャーチ
圏論 1945 マックレーン
LISP 1958 マッカーシー
Scheme 1975 サスマン
Smalltalk-80 1980 ゼロックス社
Haskell 1.0 1990 ハスケル・カリーに因
んで
Haskell 2010 2010](https://image.slidesharecdn.com/haskell-160319112142/85/Haskell-7-320.jpg)
![Riemann球面に 内接する直方体[第四回日曜数学会]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/sundaymath2anogif-160203122718-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
圏論とHaskellは仲良し
- 1.
- 2.
- 3. 圏論 数学は、元来、抽象的だが、 その中で最も抽象的なのが圏論 それぞれの分野を圏とし、 それらに共通するものを扱う カテゴリーには、 ・集合の圏 ・モノイドの圏 ・群の圏 ・ベクトル空間の圏 ・グラフの圏 ・実数の集合と 連続関数の圏 ・位相空間の圏 ・デカルト閉圏 圏とは １．対象（集合：要素の集まり） ２．射（関数） ３．ソース、ターゲット ４．恒等射 ５．合成（結合律） 例：自然数の加算 （モノイド） 𝑛 恒等射：0 合成： ＋ 0 1 ・ 例：自然数の加算 +𝑛 恒等射：0 合成： +𝑚 °+𝑛 = +(𝑚 + 𝑛) +0 +1 ・ ℕ カリー化 𝑓 𝑔 ℎ 𝐴 𝐵 𝐶 例：集合と写像の圏 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑢 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑥 𝑦 𝑧𝑢 𝑣 𝑤 𝑑 𝑒𝑎 𝑏 𝑐 𝑋 𝑃 𝑠 𝑡 例：グラフの圏 ノードとエッジを対象に
- 4. 圏論 𝑛 例：自然数とその列 [𝑛] 𝐹 = [] 米田の補題 Nat(Hom 𝑆𝑒𝑡𝑠(𝑋, _), 𝐹) ≅ 𝐹(𝑋) X Hom 𝑆𝑒𝑡𝑠(𝑋, _) 圏𝐶 𝐹(𝑋) 圏𝑆𝑒𝑡𝑠 𝐹 随伴関手Hom 𝐴(𝐿(𝐵), 𝐴) ≅ Hom 𝐵(𝐵, 𝑅(𝐴)) 圏𝐵 圏𝐴 𝐿 𝑅 赤ん坊 の世界 雑音 中学生 の世界 会話中学生：職場体験 𝑎 𝑏 𝑏 ∘ 𝑎 = 𝑏 + 𝑎 (+𝑎) (+𝑏) +𝑏 ∘ +𝑎 = + 𝑏 + 𝑎 𝐹 𝒞1 ࣝ2 ℕ ℕ ℕ 例：カリー化からモ ノイドへの写像 関手： 圏𝒞から圏𝒟への関手𝐹: 𝒞 → 𝒟とは、圏𝒞の対象𝐴を圏𝒟の対象𝐹(𝐴)に対応付け、圏𝒞の 射 𝑓: 𝐴 → 𝐵を圏𝒟の対象𝐹(𝑓)に対応付ける関数の組で、次の二つの条件を満たすものである。 1) 𝒞の任意の二つの射𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑔: 𝐵 → 𝐶に対して、𝐹(𝑔 ⋅ 𝑓) = 𝐹(𝑔) ∘ 𝐹(𝑓)である。 2) 𝒞の任意の対象𝐴に対して、𝐹(1 𝐴) = 1 𝐹( 𝐴) である。 𝐴 𝐵 𝑓 𝒞 𝐹(𝐴) 𝐹(𝐵) 𝐹(𝑓) 𝒟 𝐹 新しい圏に
- 5. Universal Properties 積の定義： 対象𝐵1, 𝐵2の積とは、対象𝑃、射𝑝1:𝑃 → 𝐵1, 𝑝2: 𝑃 → 𝐵2から なり、次の条件を満足するものである。 任意の対象𝑋と任意の射𝑓1: 𝑋 → 𝐵1, 𝑓2: 𝑋 → 𝐵2が与えられ た時、以下の図式が可換となるような𝑢: 𝑋 → 𝑃が唯一つ 存在する。 このとき、𝑃は 𝐵1 × 𝐵2と表す。 最大公約数 積集合
- 6. Universal Properties 和の定義： 対象𝐵1, 𝐵2の和とは、対象𝑄、射𝑞1:𝑄 → 𝐵1, 𝑞2: 𝑃 → 𝐵2か らなり、次の条件を満足するものである。 任意の対象𝑌と任意の射𝑔1: 𝐵1 → 𝑌, 𝑔2: 𝐵2 → 𝑌が与えられ た時、以下の図式が可換となるような𝑢′: 𝑄 → 𝑌が唯一つ 存在する。 このとき、𝑄は 𝐵1 + 𝐵2と表す。 最小公倍数 和集合
- 7. Haskell プログラミング言語で、カテゴリー（圏論）を ベースにしているのは、Haskell 関数型言語の歴史 素数 primes =filterPrime [2..] where filterPrime (p:xs) = p : filterPrime [x | x <- xs, x `mod` p /= 0] クイックソート quicksort [] = [] quicksort (x:xs) = quicksort smaller ++ [x] ++ quicksort larger where smaller = [a | a <- xs, a < x] larger = [a | a <- xs, a >= x] 関数とは 𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑑𝑡（速度） 𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑑𝑡（位置） 言語 年 発明者 ラムダ計算 1930 チャーチ 圏論 1945 マックレーン LISP 1958 マッカーシー Scheme 1975 サスマン Smalltalk-80 1980 ゼロックス社 Haskell 1.0 1990 ハスケル・カリーに因 んで Haskell 2010 2010
- 8. Haskellと圏論 圏 １．対象 ２．射 ３．ソース、ターゲット ４．恒等射 ５．合成（結合律） Haskell １．データ型（集合：要素の集まり） ２．関数（クラス・インスタンス） ３．シグニチャ データ型𝐶 𝑓 𝑔 𝑔°𝑓 データ型𝐷 𝑓′ = 𝑓𝑚𝑎𝑝 𝑓 𝑔′ =𝑓𝑚𝑎𝑝 𝑔 𝑔′ °𝑓′ = 𝑓 𝑚𝑎𝑝 𝑔°𝑓 = 𝑓𝑚𝑎𝑝 𝑔 °(𝑓𝑚𝑎𝑝 𝑓) Haskellでの関手 随伴関手 モナド 𝑅°𝐿 モナドの例 入出力 ファイル Maybe (例外事象) モナドの利点 ドメイン固有言語 →簡単に作成 圏𝐵 圏𝐴 𝐿 𝑅 忘却関手 赤ん坊 の世界 雑音 中学生 の世界 会話 実世界 純粋な 世界
- 9. 関数型リアクティブ プログラミング 関数型言語を実世界へ ・ロボット ・ゲーム ・シミュレーション 動画 ビリヤード台で衝突 しあう二つのボール ビリヤード座標系 重心座標系 simulation ::HasTime t s => Wire s () IO a (Ball, Ball) simulation = proc _ -> do rec b1 <- ball "ball1" mass1 radius1 vInit1 pInit1 -< ("ball1", c) b2 <- ball "ball2" mass2 radius2 vInit2 pInit2 -< ("ball2", c) c <- collision -< (b1, b2) returnA -< (b1, b2) 振舞い：時間を変数とする関数 イベント：ある時間での事象 例 ：音楽 振舞い ：曲 イベント：打鍵 デモ Time Int x Time Int 2 stepper 2 x 詳細は http://bitterharvest.hatenablog.com/entry /2015/09/24/164937
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