presentation_senario

1. ΣΕΝΑΡΙΟ – ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ:
Η γραμμική εξίσωση: αx+βy=γ
Λύση γραμμικού συστήματος:
αx+βy=γ
κx+λy=δ
«Να χωριστεί ο αριθμός 100 σε δύο (ακεραίους)
αριθμούς οι οποίοι να έχουν διαφορά 40»
Απάντηση: Αν x ο μικρότερος τότε x+40 ο
μεγαλύτερος οπότε: x+(x+40)=100 ………….
Το πρόβλημα και η λύση του με δημιουργία
εξίσωσης περιέχονται στο βιβλίο «Αριθμητικά»
του Διόφαντου (3ος αιώνας μ.Χ.)

2. Στις διαφάνειες που ακολουθούν η μουσική που ακούγεται
δημιουργήθηκε αντιστοιχίζοντας κάθε νότα με ένα ψηφίο της
παγκόσμιας σταθεράς του Αρχιμήδη του αριθμού π=3,14…
Ο αριθμός π είναι το μήκος που
διαγράφει ένας κύκλος διαμέτρου 1
σε μια περιστροφή του

3. Ταυτότητα του Σεναρίου
Συγγραφείς:
Αρβανιτίδης Συμεών,
Γλατσάκη Κρυσταλλένια,
Πετεινάρα Αλεξάνδρα,
Μάλλιαρης Χρήστος
(Μαθηματικοί)
Τίτλος:
Η γραμμική εξίσωση
αx+βy=γ και η γραφική
επίλυση συστήματος
δυο γραμμικών
εξισώσεων.
Γνωστική
περιοχή:
Μαθηματικά Γ΄
γυμνασίου
Θέμα 1: Μελέτη του ρόλου των
συντελεστών α, β, γ στην γραμμή με
εξίσωση αx+βy=γ με πολλαπλές
αναπαραστάσεις, ανακάλυψη της λύσης
της παραπάνω εξίσωσης σαν ζεύγος
αριθμητικών συντεταγμένων σημείου
που ανήκει πάνω σε αυτήν
Θέμα 2: Μελέτη της σχετικής θέσης
δύο ευθειών που εξαρτάται από την
σχέση των λόγων των συντελεστών
τους και ανακάλυψη της λύσης του
συστήματος σαν ζεύγος αριθμητικών
συντεταγμένων κοινού σημείου, εάν
υπάρχει

4. Ταυτότητα του Σεναρίου
Βασική ιδέα:
• Η διδασκαλία της συγκεκριμένης ενότητας με
παραδοσιακά μέσα (πίνακας, κιμωλία, χαρτί, μολύβι)
είναι χρονοβόρα και παρουσιάζει αρκετές δυσκολίες
όσο αφορά την ακρίβεια. Τουναντίον, η διδασκαλία της
με τη βοήθεια δυναμικών λογισμικών γίνεται πιο
εύκολη, αφού τα δυναμικά λογισμικά παρέχουν στους
μαθητές δυνατότητες κατασκευής πολλαπλών
αναπαραστάσεων και δυναμικού χειρισμού των
μαθηματικών αντικειμένων.
Τεχνολογικά εργαλεία:
• Λογισμικό CAS Geogebra

5. Σκεπτικό της δραστηριότητας
Καινοτομίες.
1. Σύγχρονες εποικοδομητικές προσεγγίσεις εννοιών με
δυναμικό τρόπο, απειρία μετασχηματισμών, πολλαπλές
αναπαραστάσεις. Κάθε εξίσωση για τον μαθητή είναι
πλέον μια ευθεία την οποία μπορεί να σχεδιάσει και να
έχει μπροστά του πολλές αναπαραστάσεις της οπότε το
σύστημα έχει πιο κατανοητή μορφή.
2. Ομαδοσυνεργατική δουλειά για τη διαπραγμάτευση
των απόψεων και τελικών συμπερασμάτων από τους
μαθητές φιλοδοξώντας να αλλάξει την στάση των
μαθητών στα μαθηματικά και στην διαδικασία
προσέγγισης τους.
3. Φύλλα εργασίας με προσεκτικά σχεδιασμένες
ερωτήσεις
4. Καθηγητής στο ρόλο του εξυπηρετητή της μάθησης
του μαθητή Η διδασκαλία μπορεί να γίνει διαφορετική
δίνοντας έμφαση σε διαδικασίες που επιτρέπουν την
πειραματική προσέγγιση της γνώσης κάνοντας τον ίδιο
τον μαθητή ερευνητή μετέχοντας με τον ίδιο τον
δάσκαλο σε μια διαδικασία ενεργούς έρευνας η οποία
προάγει την αποτελεσματική διδασκαλία και βελτιώνει
την μάθηση
Προστιθέμενη αξία.
Το σενάριο αναδεικνύει συγκεκριμένες δράσεις οι οποίες δεν μπορούν
να υλοποιηθούν με τα συμβατικά αναπαραστατικά μέσα (βιβλίο –
τετράδιο - μολύβι) ενώ συγχρόνως επεκτείνουν τους γνωστικούς
ορίζοντες του χρήστη. Συγκεκριμένα οι μαθητές καλούνται:
1. Να ανιχνεύσουν την σχέση της εξίσωσης μιας τυχαίας ευθείας και
των συντεταγμένων οποιουδήποτε σημείου του επιπέδου, δηλαδή τι
συμβαίνει αλγεβρικά όταν ένα σημείο βρίσκεται πάνω στην ευθεία και
τι όταν ένα σημείο βρίσκεται σε ένα από τα δύο ημιεπίπεδα στα
οποία χωρίζει η ευθεία το επίπεδο.
2. Να αναπαραστήσουν την γραφική παράσταση της εξίσωσης
αx+βy=γ με άπειρες θεωρητικά τιμές των συντελεστών α, β, γ, που
τους παρέχει το λογισμικό με τους δρομείς.
3. Να διερευνήσουν και κατόπιν να ανακαλύψουν τις άπειρες λύσεις
της παραπάνω εξίσωσης σαν ζεύγος αριθμητικών συντεταγμένων
σημείου που βρίσκεται πάνω στην γραφική παράσταση της εξίσωσης.
4. Να πειραματιστούν με τους συντελεστές και να ανιχνεύσουν τη
σχετική θέση δύο ευθειών (πλήθος των λύσεων του συστήματος) σε
σχέση με τους λόγους των συντελεστών τους.

6. Στόχοι της δραστηριότητας
Οι δραστηριότητες του σεναρίου έχουν ως στόχο τη σύνδεση και κατανόηση, μέσω πειραματισμών, βασικών
Σκοπός των διαφορετικών προσεγγίσεων με τη βοήθεια του λογισμικού είναι μεταξύ άλλων και:
Από την πλευρά του γνωστικού
αντικειμένου:
η ανάκληση και εφαρμογή γεωμετρικών γνώσεων
η κατανόηση τι ονομάζεται γραμμική εξίσωση με
δυο αγνώστους και ποτέ ένα διατεταγμένο
ζεύγος είναι η λύση της.
η σύνδεση μιας γραμμικής εξίσωσης της μορφής
αx+βy=γ με την έννοια της ευθείας και πως αυτή
σχεδιάζεται (από τα α, β, γ) στις περιπτώσεις που
τέμνει τους άξονες ή είναι παράλληλη σ’ έναν από
αυτούς .
η υπερνίκηση των δυσκολιών που
παρουσιάζονται στη προσπάθεια των μαθητών
να επιλύσουν γραφικά ένα σύστημα με τον
παραδοσιακό τρόπο.
η γραφική επίλυση ενός συστήματος δυο
εξισώσεων με δυο αγνώστους και η αφομοίωση
του πότε έχει λύση, πότε είναι αδύνατο και πότε
είναι αόριστο.
Από την παιδαγωγική
πλευρά:
Να μάθουν να πειραματίζονται με τις περιεχόμενες
έννοιες και να βρίσκουν τις σχέσεις που τις
συνδέουν.
Να τους δοθεί η ευκαιρία να οργανώσουν τα
δεδομένα τους από τον πειραματισμό, ώστε να
διευκολυνθούν στην εξαγωγή συμπερασμάτων.
Να μάθουν να συνεργάζονται με τα άλλα μέλη της
ομάδας για να συζητήσουν τις παρατηρήσεις τους, να
οργανώσουν τα συμπεράσματά τους, να
διατυπώσουν κανόνες, να καταχωρίσουν τα
δεδομένα τους, να κατασκευάσουν σχέσεις που
συνδέουν μεγέθη, να παρουσιάσουν την εργασία τους
στις άλλες ομάδες.
Να οικοδομήσουν κώδικες επικοινωνίας ώστε να
γίνονται αντιληπτοί από τα άλλα μέλη της ομάδας,
από όλους τους συμμαθητές τους και από τον
καθηγητή τους.

7. Ανάλυση του σεναρίου.
Δραστηριότητα 1η
Με την χρήση του αρχείου 1_Γραμμικό Σύστημα.ggb. Μελετούμε την έννοια της λύσης μιας γραμμικής εξίσωσης σαν ζεύγος αριθμητικών
συντεταγμένων σημείου που βρίσκεται πάνω στην γραφική παράσταση της ευθείας. Προσπαθούμε να εμφανίσουμε τις περιπτώσεις
παραλληλίας της ευθείας με τους άξονες την μορφή που παίρνει η εξίσωση της και την μορφή που παίρνουν οι συντεταγμένες των σημείων
που βρίσκονται πάνω σε αυτήν. Επίσης σαν στόχο έχουμε ο μαθητής να ανακαλύψει την ικανή και αναγκαία συνθήκη που πρέπει να ισχύει
για τους συντελεστές α,β,γ ώστε να υπάρχει, να ορίζεται ευθεία, να καταλάβει την έννοια της αδύνατης και αόριστης εξίσωσης και τέλος το
πλήθος λύσεων αυτών των εξισώσεων σαν συνάρτηση της ύπαρξης η της ανυπαρξίας σημείων που βρίσκονται πάνω σε αυτές τις ευθείες.

8. Ανάλυση του σεναρίου.
Δραστηριότητα 2η
Με την χρήση του αρχείου 1_Γραμμικό Σύστημα.ggb Με σαφείς εντολές καλείται ο μαθητής να προσεγγίσει το σημείο Μ
κατάλληλα στο κοινό σημείο των δύο τεμνόμενων ευθειών με στόχο πρώτα να διερευνήσει και μετά να κατανοήσει ότι το
κοινό σημείο δύο ευθειών ( εάν υπάρχει) είναι η γραφική λύση του συστήματος. Μετακινώντας τους δρομείς α1, β1, γ1,
α2,β2,γ2 έτσι ώστε να προκύπτει ισότητα πρώτα των λόγων των συντελεστών α1, β1 και α2, β2 και κατόπιν και των τριών
ζευγών προκειμένου να εμφανιστεί η σχετική θέση των 2 ευθειών, και να βγουν συμπεράσματα για το πότε ένα σύστημα
είναι αόριστο, αδύνατο ή έχει μοναδική λύση.

9. Ανάλυση του σεναρίου.
Δραστηριότητα 3η
Η επιφάνεια γραφικών δείχνει την οθόνη –μόνιτορ του ραντάρ του πύργου ελέγχου ενός αεροδρομίου Ο που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. Τρία αεροπλάνα
ξεκινούν από 3 διαφορετικά αεροδρόμια Α, Γ και Π. Η θέση κάθε αεροπλάνου προσδιορίζεται από ένα σημείο Α1, Α2, Α3, στίγμα των οποίων οι συντεταγμένες
μεταβάλλονται σε σχέση με τον χρόνο t Ζητούμε από τους μαθητές να παρατηρήσουν τους συντελεστές των αγνώστων των εξισώσεων και να δικαιολογήσουμε
αλγεβρικά την οπτική αναπαράσταση της κίνησης. Ζητούμε επίσης να ελέγξουν αν κάποιο από τα αεροπλάνα περάσει από το αεροδρόμιο Ο προκειμένου να
ελέγξουμε αν έχουν κατανοήσει το τι σημαίνει λύση εξίσωσης. Τέλος λέγοντας τους ότι 2 από τα αεροπλάνα θα περάσουν από την ίδια θέση του ορίζοντα τους
καλούμε να δικαιολογήσουν τόσο την ύπαρξη κοινού σημείου των πορειών τους όσο και την στο να ανακαλύψουν ποια είναι η λύση του συστήματός των δύο
εξισώσεων των πορειών του. Για την υλοποίηση της δραστηριότητας δόθηκε το 3ο φύλλο εργασίας και προτείνεται μια ώρα για την υλοποίηση της εφαρμογής.