แบบฝึกเสริมทักษะทางคณิตศาสตร์

1. แบบฝึกเสริมทักษะคณิตศาสตร์
เรื่อง
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
(ชุด 1 การหารลงตัว)
รายวิชาคณิตศาสตร์ GP1
ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2559

2. นางขวัญแก้ว มีเหมือน
ผลการเรียนรู้
นักเรียนเข้าใจสมบัติของจานวนเต็ม และนาไปใช้ในการให้
เหตุผล เกี่ยวกับการหารลงตัวได้

3. 1.1 การหารลงตัว (Exact Division)
บทนิยาม ให้ a และ b เป็นจานวนเต็ม โดยที่ b ไม่เท่ากับ 0
b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจานวนเต็ม c ที่ทาให้ a = bc
เรียก b ว่าเป็น ตัวหาร(divisor) ของ a และเรียก a เป็น
พหุคูณ (multiple) ของ b
ใช้สัญลักษณ์ b/a แทน “b หาร a ลงตัว

4. จงแสดงว่า 3/12, -4/12, 9/54, 7/0, -11/-121, 5/-25, -3/0
3/12 เพราะ 12 = 3(4)
-4/12 เพราะ 12 = -4(3)
9/54 เพราะ 54 = 9(6)
7/0 เพราะ 0 = 7(0)
-11/-121 เพราะ -121 = -11(11)
5/-25 เพราะ -25 = 5(-5)
-3/0 เพราะ 0 = -3(0)

5. ตัวอย่างที่ 2 จงแสดงว่า - 3/12, 4/-12, -9/54, - 7/0, 11/-121,
5/-25, 2/0
วิธีทา -3/12 เพราะ 12 = -3(-4)
4/-12 เพราะ -12 = 4(-3)
-9/54 เพราะ 54 = -9(-6 )
-7/0 เพราะ 0 = - 7(0)
11/-121 เพราะ -121 = 11(-11)
- -5/-25 เพราะ -25 = -5(5)
2/0 เพราะ 0 = 2(0)

6. แบบฝึกหัด 1.1 การหารลงตัว
1. จงแสดงว่า -6/12 , 8/-16 , 5/25 , -9/0 , 10/-100 , -25/-25 ,
-2/0 , 4/0 , -11/0 , -1/1
วิธีทา -6/12 เพราะ 12 = -6(……)
8/-16 เพราะ -16 = 8(……)
5/25 เพราะ 25 = 5(…… )
-9/0 เพราะ 0 = - 9(……)
10/-100 เพราะ -100 = 10(…..)
-25/-25 เพราะ -25 = -25(……)
-2/0 เพราะ 0 = -2(……)
4/0 เพราะ 0 = 4(……)
-11/0 เพราะ 0 = -11(……)
-1/1 เพราะ 1 = -1(……)

7. 2. จงแสดงว่า 12/0 , -8/-32 , -5/125 , -91/0 ,
100/-1,000 , -125/-250
1) 12/0 เพราะ ……………………..
2) -8/-32 เพราะ ……………………..
3) -5/125 เพราะ ……………………..
4) -91/0 เพราะ ……………………..
5) 100/-1,000 เพราะ ……………………..
6) -125/-250 เพราะ ……………………..

8. 1.2 ทฤษฎีบทการหารลงตัว
ทฤษฎีบท
ให้ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a ไม่เท่ากับศูนย์
และ b ไม่เท่ากับศูนย์ถ้า a/b และ b/c
แล้ว a/c
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = by
ดังนั้น c = (ax)y
c = a(xy) และ xy เป็นจานวนเต็ม
ดังนั้น a/c

9. ทฤษฎีบท 2
ให้ a และ b เป็นจานวนเต็มบวก ซึ่ง a/b แล้ว a ≤ b
พิสูจน์ สมมติ a/b
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
เนื่องจาก a และ b เป็นจานวนเต็มบวก จะได้ x เป็นจานวน
เต็มบวก
จะได้ ax ≥ a (เพราะ a เป็นจานวนเต็มบวก)
ดังนั้น b ≥ a
เช่น 3/12 จะเห็นว่า 3≤12
3/3 จะเห็นว่า 3=3

10. ทฤษฎีบท 3
ให้ a, b และ c เป็นจานวนเต็ม โดยที่ a/b และ a/c
แล้ว a/(bx + cy) เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็มใดๆ
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจานวนเต็ม d ที่ทาให้ b = ad
และมีจานวนเต็ม e ที่ทาให้ c = ae
ดังนั้น bx + cy = (ad)x + (ae)y
เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
bx + cy = a(dx + ey)
เนื่องจาก dx + ey เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/(bx + cy)
นิพจน์ในรูป bx + cy เรียกว่า ผลรวมเชิงเส้น ของ b และ c

11. ตัวอย่าง 1
กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ
b/c แล้ว a/(b+c)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = by
ดังนั้น b + c = ax + by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= ax + (ax)y เพราะ b = ax
= a(x+xy) เนื่องจาก x + xy เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/(b + c)

12. ตัวอย่าง 2 กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b
และ b/c แล้ว a/(b - c)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = by
ดังนั้น b - c = ax - by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= ax - (ax)y เพราะ b = ax
= a(x-xy) เนื่องจาก x - xy เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/(b - c)

13. ตัวอย่าง 3 กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(2x – 3y)
และ a/(4x – 3y) แล้ว a/y
พิสูจน์ สมมติ a/(2x – 3y) และ a/(4x – 3y)
จะมีจานวนเต็ม n ที่ทาให้ 2x – 3y = an
และมีจานวนเต็ม m ที่ทาให้ 4x – 3y = am
ให้ 2x – 3y = an ……….(1)
4x – 3y = am ………..(2)
(1)×2 จะได้สมการเป็น 4x – 6y = 2an ……….(3)
(2)- (3) จะได้ 4x – 3y - 4x + 6y = am – 2an
3y = a(m-2n)
y = 3 / a(m-2n)
เนื่องจาก 3 / m-2n เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/y

14. ตัวอย่าง 4 กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(3x – 4y) และ
a/(6x – 2y) แล้ว a/x
พิสูจน์ สมมติ a/(3x – 4y) และ a/(6x – 2y) จะมีจานวนเต็ม n ที่ทาให้ 3x – 4y = an
และมีจานวนเต็ม m ที่ทาให้ 6x – 2y = am
ให้ 3x – 4y = an ……….(1)
6x – 2y = am ………..(2)
(2)×2 จะได้สมการเป็น 12x – 4y = 2am ……….(3)
(1)- (3) จะได้ 3x – 4y - 12x + 4y = an – 2am
-9x = a(n-2m)
x = -9 / a(n-2m)
เนื่องจาก -9 / (n-2m) เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/x

15. แบบฝึกหัด 1.2 ตอนที่ 1
คาชี้แจง จงเติมคาตอบในช่องว่างให้ถูกต้อง
1. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ
a/c แล้ว a/(bc)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ a/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = (…..)y
ดังนั้น bc = ax( ……. ) เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= ax…..
= a(xay)
เนื่องจาก ............... เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/(bc)

16. 2. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ a/c
แล้ว a /(bc)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ a/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = (…..)y
ดังนั้น bc = ax( ……. ) เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= ax…..
= a (xy)
เนื่องจาก ............... เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a /(bc)

17. 3. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c
แล้ว a/(b - c)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = (…..)y
ดังนั้น ………. = ax- by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= ………….
= a(x - xy)
เนื่องจาก ............... เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/………..

18. คาชี้แจง จงพิสูจน์
1. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b และ b/c แล้ว
a/(b+c)
พิสูจน์…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

19. 2. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(2b-3c )
และ a/(b-2c) แล้ว a/c
พิสูจน์……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
………

20. 3. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(-4b+3c ) และ
a/(3b-2c) แล้ว a/b
พิสูจน์………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..
จบแล้วค่ะ
แล้วพบกันใหม่ชุด 2 จานวนเฉพาะ

21. เฉลยแบบฝึกหัด 1.1 การหารลงตัว
1. จงแสดงว่า -6/12 , 8/-16 , 5/25 , -9/0 , 10/-100 , -25/-25 , -2/0 ,
4/0 , -11/0 , -1/1
-6/12 เพราะ 12 = -6( -2)
8/-16 เพราะ -16 = 8( -2)
5/25 เพราะ 25 = 5( 5 )
-9/0 เพราะ 0 = - 9(0)
10/-100 เพราะ -100 = 10(-10)
-25/-25 เพราะ -25 = -25(1)
-2/0 เพราะ 0 = -2(0)
4/0 เพราะ 0 = 4(0)
-11/0 เพราะ 0 = -11(0)
-1/1 เพราะ 1 = -1(-1)

22. 2. จงแสดงว่า 12/0 , -8/-32 , -5/125 , -91/0 , 100/-1,000 ,
-125/-250
1) 12/0 เพราะ 0 = 12(0)
2) -8/-32 เพราะ -32 = -8(4)
3) -5/125 เพราะ 125 = -5(-25)
4) -91/0 เพราะ 0 = -91(0)
5) 100/-1,000 เพราะ -1,000 = 100(-10)
6) -125/-250 เพราะ -250 = -125(2)

23. ตอนที่ 1
1. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b
และ a/c แล้ว a/(bc)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ a/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = (a)y
ดังนั้น bc = ax( ay ) เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= axay
= a(xay)
เนื่องจาก xay เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/(bc)

24. 2. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b
และ a/c แล้ว a /(bc)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ a/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = (a)y
ดังนั้น bc = ax( ay ) เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= axay
= a (xy) เนื่องจาก xy เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a /(bc)

25. 3. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/b
และ b/c แล้ว a/(b - c)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = (b)y
ดังนั้น b-c = ax- by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= ax - axy
= a(x - xy) เนื่องจาก x - xy เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/(b - c)

26. คาชี้แจง จงพิสูจน์
1. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า
a/b และ b/c แล้ว a/(b+c)
พิสูจน์ สมมติ a/b และ b/c
จะมีจานวนเต็ม x ที่ทาให้ b = ax
และมีจานวนเต็ม y ที่ทาให้ c = by
ดังนั้น b+c = ax+ by เมื่อ x และ y เป็นจานวนเต็ม
= ax + axy
= a(x + xy)
เนื่องจาก x + xy เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/(b + c)

27. 2. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(2b-3c ) และ
a/(b-2c) แล้ว a/c
พิสูจน์ สมมติ a/(2b – 3c) และ a/(b-2c)
จะมีจานวนเต็ม n ที่ทาให้ 2b – 3c = an
และมีจานวนเต็ม m ที่ทาให้ b - 2c = am
ให้ 2b – 3c = an ……….(1)
b - 2c = am ………..(2)
(2)×2 จะได้สมการเป็น 2b - 4c = 2am ……….(3)
(1)- (3) จะได้ 2b – 3c - 2b + 4c = an – 2am
c = a(n-2m) เนื่องจาก n-2m เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/c

28. 3. กาหนดให้ a, b, c, x และ y เป็นจานวนเต็ม จงแสดงว่า ถ้า a/(-4b+3c ) และ a/(3b-
2c) แล้ว a/b
พิสูจน์ สมมติ a/(-4b + 3c) และ a/(3b-2c)
จะมีจานวนเต็ม n ที่ทาให้ -4b + 3c = an
และมีจานวนเต็ม m ที่ทาให้ 3b - 2c = am
ให้ -4b + 3c = an ……….(1)
3b - 2c = am ………..(2)
(1)×2 จะได้สมการเป็น -8b + 6c = 2an ……….(3)
(2)×3 จะได้สมการเป็น 9b - 6c = 3am ……….(4)
(3)+ (4) จะได้ -8b + 6c + 9b - 6c = 2an + 3am
b = a(2n+3m) เนื่องจาก 2n+3m เป็นจานวนเต็ม
จะได้ a/b