สมุดเล่มเล็กเล่มนี้ทำขึ้นให้ทุกคนได้ศึกษาทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นนะครับ เชิญทุกคนเข้าไปค้นคว้าได้เลยครับ

1. ทฤษฎีจำนวน
โดย
นายสหภาพ เนาวะราช
563050144-8
ทฤษฎีจานวนจะเป็นเรื่องง่าย
ขอแค่คุณตั้งใจ

3. 18
คำนำ
สิ่งพิมพ์เรื่องทฤษฎีจำนวนได้จัดทำขึ้นเพื่อให้ควำมรู้ต่ำงๆที่เกี่ยวกับเรื่อง ทฤษฎีจำนวน ซึ่งทฤษฎีจำนวนนั้นมีอยู่หลำยทฤษฎี ในสิ่งพิมพ์เล่มนี้กระผมจะ ยกทฤษฎีมำบำงทฤษฎีได้แก่ กำรหำรลงตัว จำนวนเฉพำะ จำนวนคู่ จำนวนคี่ ตัวหำรร่วมมำก ตัวคูณร่วมน้อย ซึ่งเรื่องนี้เป็นสิ่งที่ซับซ้อนและยุ่งยำก มักจะทำผิด กันมำก เพรำะเกิดจำกกำรเข้ำใจผิดหรือไม่เข้ำใจเกี่ยวกับทฤษฎีนั้นๆ กระผมเห็น ปัญหำในส่วนนี้จึงได้จัดทำสรุปหลักกำรต่ำงๆ ในสิ่งพิมพ์เล่มนี้ ให้ทุกคนได้เข้ำใจ ทฤษฎีจำนวนเป็นอย่ำงดีและจะสำมำรถทำโจทย์ที่เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนต่ำงๆได้ ในสิ่งพิมพ์เล่มนี้มีทั้งเนื้อหำ ตัวอย่ำงโจทย์ และแบบฝึกหัด ที่ให้ทุกคนได้ฝึกทำกัน นะครับเพื่อที่จะได้ทำโจทย์เกี่ยวกับเรื่องนี้ได้อย่ำงถูกต้องกันทุกคนครับ
กระผมหวังว่ำ สิ่งพิมพ์เรื่องทฤษฎีจำนวนเล่มนี้ จะเป็นประโยชน์ไม่มำกก็ น้อยต่อผู้ที่สนใจเข้ำมำศึกษำนะครับ ขอให้ทุกคนศึกษำเต็มที่ และเอำควำมรู้ให้ เต็มๆ นะครับ จะเป็นประโยชน์ต่อคุณในอนำคตครับ
สุดท้ำยนี้กระผมขอขอบคุณท่ำนอำจำรย์ ดร.อนุชำ โสมำบุตร ที่ได้ให้ โอกำสกระผมได้จัดทำสิ่งพิมพ์เล่มนี้ และถ้ำมีข้อผิดพลำดประกำรใดกระผมก็ขอ อภัยมำ ณ โอกำสนี้ครับ

4. สารบัญ
หน้า
การหาร 3
- การหารลงตัว 3
- ขั้นตอนวิธีการหาร 7
จานวนคู่และจานวนคี่ 8
 จานวนคู่ 8
 จานวนคี่ 8
จานวนเฉพาะและจานวนประกอบ 10
 จานวนเฉพาะ 10
 จานวนประกอบ 10
ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 11
 ห.ร.ม. 12
- วิธีการหา ห.ร.ม. แบบยุคลิก 13
- จานวนเฉพาะสัมพัสธ์ 14
 ค.ร.น. 15
ความสัมพันธ์ระหว่าง ห.ร.ม.กับ ค.ร.น. 16
แบบฝึกหัดท้ายบท 17
แบบฝึกหัดท้ำยบท
17

5. เมื่อห.ร.ม.กับค.ร.น. มำเจอกันจะเกิดอะไรขึ้น
16
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหาร
- การหารลงตัว
- ขั้นตอนวิธีการหาร
จานวนคู่และจานวนคี่
 จานวนคู่
 จานวนคี่
จานวนเฉพาะและจานวนประกอบ
 จานวนเฉพาะ
 จานวนประกอบ
ห.ร.ม. และ ค.ร.น.
 ห.ร.ม.
- วิธีการหา ห.ร.ม. แบบยุคลิก
- จานวนเฉพาะสัมพัสธ์
 ค.ร.น.
ความสัมพันธ์ระหว่าง ห.ร.ม.กับ ค.ร.น.
1

6. 2
15

7. 14
ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
การหารลงตัว
บทนิยาม
กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0 b หำร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a
พูดถึงเรื่องทฤษฎีจำนวนแล้ว ก็คงจะมีทฤษฎีให้เรำคิดมำกมำยแน่ๆเลย เรำไปลุย กับทฤษฎีแรกเลยดีกว่ำ พร้อมแล้วไปกันเลย
จำกบทนิยำมจะเห็นว่ำมีแต่กำรหำรลงตัวแล้วถ้ำหำรไม่ลงตัวบ้ำงหละ จะเป็นยังไง ผมมีคำตอบครับ ถ้ำ b หำร a ไม่ลงตัว แสดงว่ำไม่มี จำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลง ตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a
เช่น 3 | 9 เพรำะมี n = 3 ที่ทำให้ 9 = 3n
-5 | 10 เพรำะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = -5n
3

8. สมบัติของการหารลงตัวมีอะไรบ้างนะ?
ทฤษฎีบทที่ 1
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้ำ a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c
เช่น 5|10 และ 10|20 แล้ว 5|20
ทฤษฎีบทที่ 2
กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้ำ a | b แล้วจะได้ a ≤ b
เช่น 2|4 แล้วจะได้ 2 ≤ 4
ทฤษฎีบทที่ 3
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้ำ a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
เช่น 3|9 และ 9|18 แล้วจะได้ 3| 9(0) + 18(-1)
มีสามข้อเน้นๆครับผมจัดกันไปเลย!!!
4
13

9. 12
จงยกตัวอย่างจานวนเต็ม a , b , c ซึ่ง a | bc แต่ a †b และ a † c
เช่น a = 6 , b = 9 , c = 10
จะได้ว่า 6 | 9(10) แต่ 6 † 9 และ 6 † 10
จริงหรือไม่ ถ้า a |(b+ c) แล้ว a | b หรือ a | c
ไม่จริง เช่น a = 6 , b = 11 ,c = 7
จะได้ว่า 6 | (11+7) แต่ 6 † 11 และ 6 † 7
ตะลุยโจทย์กันเลยครับผม
5

10. . ถ้า a | (2p – 3q) และ a | (4p – 5q) จงแสดงว่า a | q
วิธีทำ เนื่องจำก a | (2p – 3q)
จะได้ 2p - 3q = ax , x เป็นจำนวนเต็ม ……. (1)
เนื่องจำก a | (4p – 5q)
จะได้ 4p – 5q = ay , y เป็นจำนวนเต็ม ………..(2)
นำ 2 คูณสมกำร (1)
จะได้ 4p – 6q = 2a ………..(3)
นำสมกำร (2) ลบ สมกำร (3)
จะได้ q = ay - 2ax
= a(y – 2x) และ y – 2x เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น a | q
จะง่ายไปไหนเนี่ย!!!
6
ขำๆ ก่อนเรียนทฤษฎีต่อไปครับ
11

11. 10
ผ่ำนไปแล้วหนึ่งทฤษฎีไปต่อกับขั้นตอนกำรหำรกันเลยดีกว่ำครับ
ขั้นตอนวิธีการหารจ้า
ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็น จำนวนเต็มที่ทำให้ a = bq + r เมื่อ 0 <r <|b| นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหำรด้วย b ได้ผลหำรคือ q และเศษ r
กำหนด a = 48, b = 7 จงหำ q และ r
เขียนให้อยู่ในรูป
a = bq + r
48 = 7 × 6 +6
∴
q = 6 และ r = 6
Wow!
7

12. บทนิยาม
จานวนเต็ม a จะเป็นจานวนคู่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a = 2m เมื่อ m เป็นจานวนเต็ม
จานวนเต็ม a จะเป็นจานวนคี่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a = 2m + 1 เมื่อ m เป็นจานวนเต็ม
เช่น 6 เป็นจานวนคู่ เพราะ 6 = 2(3) 9 เป็นจานวนคี่ เพราะ 9 = 2(4) + 1
จะเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่มำเรำมำรู้กันวันนี้หละ
สู้ต่อกับทฤษฎีต่อไปครับ!!!
8
รู้จักทฤษฎีแล้วไปต่อที่โจทย์เลย จ้ำ!
9