Thales and friends, profile picture
Uploaded byThales and friends
PPT, PDF1,838 views

Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρόγραμμα του Λυκείου

Γιάννης Θωμαΐδης, Διδάκτωρ Διδακτικής των Μαθηματικών, Σχολικός Σύμβουλος Νομού Κιλκίς: Η θεσμοθέτηση των ερευνητικών εργασιών στο υποχρεωτικό πρόγραμμα του Λυκείου: Μια πρόκληση για την Ελληνική μαθηματική εκπαίδευση. Ο Γιάννης Θωμαϊδης εκθέτει τα επιχειρήματά του υπέρ της άποψης ότι η θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο Λύκειο αποτελεί μια μεγάλη ευκαιρία για τον απεγκλωβισμό της ελληνικής μαθηματικής εκπαίδευσης από το τέλμα στο οποίο βρίσκεται εδώ και δεκαετίες. Με βάση αυτά τα επιχειρήματα αναλύει, στη συνέχεια, ένα παράδειγμα ερευνητικής εργασίας που αντλεί την προβληματική της από την Ιστορία και τη Διδακτική των Μαθηματικών.

Embed presentation

Downloaded 21 times
Η θεσμοθέτηση των ερευνητικών εργασιών στο υποχρεωτικό πρόγραμμα του Λυκείου: Μια πρόκληση για την Ελληνική μαθηματική εκπαίδευση Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Κιλκίς
Οι παιδαγωγικές αρχές της καινοτομίας των Ερευνητικών Εργασιών στο Λύκειο 1. Η αρχή της Διερευνητικής Προσέγγισης της Μάθησης 2. Η αρχή της Διεπιστημονικής Συνεργασίας των Καθηγητών 3. Η αρχή της Διαφοροποίησης του Περιεχομένου, της Διαδικασίας και του Πλαισίου της Μάθησης 4. Η αρχή της Ομαδικής Συνεργασίας των Μαθητών
Ποιο είναι το αντικείμενο της μάθησης στην περίπτωση των Ερευνητικών Εργασιών; 1. Η ανάπτυξη της κατανόησης των προαπαιτούμενων επιστημονικών γνώσεων 2. Η ανάπτυξη των διαδικασιών, μεθόδων και μέσων έρευνας 3. Η ανάπτυξη των τρόπων επιχειρηματολογίας και επεξηγήσεων 4. Η ανάπτυξη του επιστημονικού τρόπου σκέψης σε μεταγνωστικό επίπεδο 5. Η ανάπτυξη των επιστημονικών ειδών λόγου 6. Η ανάπτυξη της στοχαστικής ανάλυσης διαδικασιών και συμπερασμάτων με επιστημονικά και αξιακά κριτήρια
Ένα ρητορικό ερώτημα … Γιατί όλα τα προηγούμενα συνιστούν μια πρόκληση για την Ελληνική μαθηματική εκπαίδευση;
Διαχρονικά “πάθη” της Ελληνικής μαθηματικής εκπαίδευσης… Αποφοιτών [ο μαθητής] του σχολείου μένει με την εντύπωσιν ότι τα μαθηματικά συνίστανται από την Γεωμετρίαν των αρχαίων Ελλήνων και αυτήν ως την ηρμήνευσαν οι μαθηματικοί της εποχής του Legendre, δηλαδή χωρίς την ακριβολογίαν του Ευκλείδου και του Αρχιμήδους, από την Αριθμητικήν, την Άλγεβραν και την Τριγωνομετρίαν και μία κατά κόρον “ασκησεολογίαν”, την οποίαν επέβαλον εις την Γαλλίαν αι αυστηραί εξετάσεις του baccalaureat, εις δε την χώραν μας αι αυστηραί εισιτήριοι εξετάσεις των ανωτάτων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων και κυρίως του Πολυτεχνείου.
Αν βραδύτερον ούτος εισέλθη εις το Πανεπιστήμιον ή άλλην ανωτάτην σχολήν και πρόκειται να σπουδάση επιστήμην, σχέσιν έχουσαν με τα μαθηματικά, διαπιστώνει ότι η μακροχρόνιος απασχόλησίς του με την ασκησεολογίαν εις τίποτε δεν τον ωφέλησεν. Τουναντίον διαπιστώνει ότι στερείται βασικών γνώσεων, αι οποίαι θα τον εβοήθουν να κατανοήση τον τρόπον της μαθηματικής σκέψεως των συγχρόνων μαθηματικών. Δ. Κάππος (1905–1985): Η Μαθηματική Λογική και η Θεωρία Συνόλων. Ο ρόλος των εις την διδασκαλίαν των σχολείων Μέσης Παιδείας. Διαλέξεις Ε.Μ.Ε. (1966)
Μια νεώτερη εξιστόρηση των “παθών” … Όλα αυτά απαιτούν βέβαια ενθουσιασμό και ιδιαίτερη προσπάθεια από τον δάσκαλο και, κυρίως, παίρνουν χρόνο, και αναγκαστικά περιορίζουν την ύλη που μπορεί να διδαχθεί. Δεν πειράζει, ας περιοριστεί η ύλη. Είναι ήδη πολλή. Επίσης, είναι δύσκολο να αξιολογηθούν, με αντικειμενικό τρόπο, με τις εξετάσεις για την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση, όπως γίνονται σήμερα. Τα παιδιά, σήμερα, ασκούνται να κατατάσσουν τα μαθηματικά ερωτήματα (και γρήγορα μάλιστα) σε κατηγορίες διδαγμένων ασκήσεων, που έχουν ενδεχομένως και αποστηθίσει, με στόχο να τις ανασύρουν εύκολα από τη μνήμη τους για να αποδώσουν τα μέγιστα την ημέρα της κρίσεως.
Αυτή είναι η περίφημη «ασκησιολογία» ή «μεθοδολογία λύσης των ασκήσεων», το κυριότερο πρόβλημα της εκπαίδευσης στα μαθηματικά στο Λύκειο σήμερα. Και υπαγορεύεται, βέβαια, από τη σημερινή μορφή των εξετάσεων και τις ανάγκες ενός ομοιόμορφου τρόπου βαθμολογίας. Δεν βλέπω άλλη λύση για την πάταξη αυτής της συνταγολογίας από το αδυνάτισμα του ρόλου των εισαγωγικών εξετάσεων και την αντικατάσταση ορισμένων ασκήσεων από πιο σύνθετα προβλήματα. Δεν είμαι όμως σίγουρος αν το εκπαιδευτικό σύστημα – και η ελληνική κοινωνία – είμαστε ακόμα ώριμοι για μια τέτοια μετεξέλιξη. Εν τω μεταξύ θα πρέπει εμείς στα πανεπιστήμια να αντιμετωπίσουμε πρακτικά το πρόβλημα των αποτελεσμάτων της «ασκησιολογίας» στο πρώτο έτος και να δώσουμε μεγάλη προσοχή στο πώς θα εισαγάγουμε τους νέους φοιτητές στα μαθηματικά.
Πώς θα καλύψουμε τα κενά των γνώσεών τους, και το κυριότερο, πώς θα τους βοηθήσουμε να γεφυρώσουν την οδυνηρή ασυνέχεια από τις ασκήσεις της προετοιμασίας για τις εξετάσεις στην κατανόηση των εννοιών των μαθηματικών, την ιστορία τους και τη χρήση τους με ακρίβεια, αυστηρότητα, αλλά και αποτελεσματικότητα. Αυτό είναι δική μας δουλειά και δεν ωφελεί να διαμαρτυρόμαστε για το επίπεδο των πρωτοετών. Θα πρέπει να προσαρμοστούμε και ν’ αντιμετωπίσουμε αυτό ακριβώς το επίπεδο που υπάρχει σήμερα, ελαττώνοντας π.χ. την ύλη που διδάσκουμε, για να βρούμε καιρό για τα βασικά. Β. Δουγαλής: Μερικές σκέψεις για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Ομιλία κατά την τελετή απονομής του βραβείου εξαίρετης πανεπιστημιακής διδασκαλίας Ξανθόπουλου – Πνευματικού (2000)
Λεξικόν ασκησιολογίας • Ασκησιολογία, Ασκησιομάθεια, Ασκησιολαγνεία, Ασκησιοθεραπεία • Ψευδοευφυείς ασκησιολόγοι • Ασκητήρια (= φροντιστήρια) • Βιομηχανία ασκησιολογίας, Εφιάλτης ασκησιολογίας, Χείμαρρος ασκησιολογίας • Ακάλυπτη ασκησιολογία, Ακατάσχετη ασκησιολογία, Ασυνάρτητη ασκησιολογία, Εκτρωματική ασκησιολογία, Στείρα ασκησιολογία • Ασκησιακή συνύπαρξη Ένα βιβλίο που θα ξεκουράσει το δάσκαλο των Μαθηματικών από τη λαίλαπα της σκληρής ασκησιολογίας που μαστίζει τη σημερινή διδακτική πράξη. (Από διαφήμιση βιβλίου με τίτλο “Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών”) Η αφηγηματική παρουσίαση της θεωρίας και η οργανωμένη ασκησιολογία, το κάνουν να μοιάζει με ένα γλαφυρό και ευχάριστο μυθιστόρημα. (Από διαφήμιση βιβλίου με τίτλο “Μεθοδολογία Παραγώγων”)
Ασκησιολογία ή Θεωρητικολογία; Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας και μάθησης των Μαθηματικών από μια ευρύτερη οπτική γωνία
Η παραγωγική μέθοδος Η ευκλείδεια μεθοδολογία έχει επιβάλλει ένα συγκεκριμένο είδος παρουσίασης. Θα αναφέρομαι σ’ αυτό με τον όρο “παραγωγικό ύφος”. Το παραγωγικό ύφος αρχίζει με την εξαντλητική παρουσίαση ενός καταλόγου αξιωμάτων, λημμάτων ή και ορισμών. Πολύ συχνά τα αξιώματα και οι ορισμοί είναι τεχνητοί και μυστικοπαθώς περίπλοκοι. Κανένας δεν εξηγεί την προέλευση των περιπλοκών. Ο κατάλογος ακολουθείται από προσεκτικά διατυπωμένα θεωρήματα τα οποία φέρουν επαχθείς συνθήκες και φαίνεται αδύνατο να τις μαντέψει κανείς. Κάθε θεώρημα ακολουθείται από την απόδειξή του.
Ο σπουδαστής των μαθηματικών υποχρεούται, σύμφωνα με αυτό το ευκλείδειο τελετουργικό, να παρακολουθεί αυτή τη μαγική διαδικασία χωρίς να θέτει ερωτήματα για το γνωστικό υπέδαφος των παρουσιαζομένων ούτε και για το πώς εκτελείται η όλη ταχυδακτυλουργία. Αν ο σπουδαστής ανακαλύψει τυχαία ότι κάποιοι ουρανοκατέβατοι ορισμοί είναι έννοιες που γεννήθηκαν από την απόδειξη, αν απορήσει γιατί αυτοί οι ορισμοί, τα λήμματα και το θεώρημα προηγούνται αντί να προκύπτουν από τη σχετική απόδειξη, ο ευκλείδειος μάγος θα τον εξοστρακίσει ως μαθηματικά ανώριμο. Imre Lakatos (1922–1974): Αποδείξεις & Ανασκευές. Η Λογική της Μαθηματικής Ανακάλυψης. (1976/1996, σ.211)
Η απo-δόμηση του “ευκλείδειου τελετουργικού” ως θέμα ερευνητικής εργασίας Ανάλυση της λογικής δομής μιας “νησίδας” προτάσεων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
Σε κάθε τρίγωνο απέναντι Κάθε πλευρά τριγώνου Να κατασκευαστεί από την μεγαλύτερη είναι μικρότερη από το τρίγωνο όταν πλευρά βρίσκεται η άθροισμα των δύο δίνονται οι τρεις μεγαλύτερη γωνία και άλλων και μεγαλύτερη πλευρές του αντιστρόφως από τη διαφορά τους Ευκλείδειο αίτημα Κάθε εξωτερική γωνία Σε κάθε τρίγωνο το Καὶ ἐὰ ν εἰ ς δύ ο εὐ θεί ας εὐ θεῖ α τριγώνου είναι άθροισμα δύο ἐ μπί πτουσα τὰ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἐ πὶ μεγαλύτερη καθεμιάς οποιωνδήποτε γωνιών τὰ αὐ τὰ μέ ρη γωνί ας δύ ο ὀ ρθῶ ν των απέναντι είναι μικρότερο από ἐ λά σσονας ποιῇ , ἐ κβαλλομέ νας τὰ ς δύ ο εὐ θεί ας ἐ π' ἄ πειρον εσωτερικών γωνιών δύο ορθές γωνίες συμπί πτειν, ἐ φ' ἃ μέ ρη εἰ σὶ ν αἱ τῶ ν δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά σσονες. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες Αν δύο παράλληλες Το άθροισμα των από τρίτη σχηματίζουν τις ευθείες τέμνονται από εσωτερικών εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τρίτη, τότε σχηματίζουν γωνιών κάθε τότε είναι παράλληλες τις εντός εναλλάξ τριγώνου είναι γωνίες ίσες ίσο με δύο ορθές
Στοιχεία Εὐ κλείδου α΄, Ἔ στω τρί γωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλή σθω αὐ τοῦ Πρότασις ις΄ μί α πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐ πὶ τὸ Δ· λέ γω, ὅ τι ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α ἡ ὑ πὸ ΑΓΔ μεί ζων ἐ στὶ ν ἑ κατέ ρας τῶ ν ἐ ντὸ ς καὶ Παντὸ ς τριγώ νου μιᾶ ς ἀ πεναντί ον τῶ ν ὑ πὸ ΓΒΑ, ΒΑΓ γωνιῶ ν. τῶ ν πλευρῶ ν Τετμή σθω ἡ ΑΓ δί χα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐ πιζευχθεῖ σα ἡ προσεκβληθεί σης ἡ ΒΕ ἐ κβεβλή σθω ἐ π' εὐ θεί ας ἐ πὶ τὸ Ζ, καὶ κεί σθω τῇ ΒΕ ἴ ση ἡ ΕΖ, καὶ ἐ πεζεύ χθω ἡ ΖΓ, καὶ διή χθω ἡ ΑΓ ἐ κτὸ ς γωνί α ἑ κατέ ρας ἐ πὶ τὸ Η. τῶ ν ἐ ντὸ ς καὶ Ἐ πεὶ οὖ ν ἴ ση ἐ στὶ ν ἡ μὲ ν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΕΖ, ἀ πεναντί ον γωνιῶ ν δύ ο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυσὶ ταῖ ς ΓΕ, ΕΖ ἴ σαι εἰ σὶ ν ἑ κατέ ρα μεί ζων ἐ στί ν. ἑ κατέ ρᾳ · καὶ γωνί α ἡ ὑ πὸ ΑΕΒ γωνίᾳ τῇ ὑ πὸ ΖΕΓ ἴ ση ἐ στί ν· κατὰ κορυφὴ ν γά ρ· βά σις ἄ ρα ἡ ΑΒ βά σει τῇ ΖΓ ἴ ση ἐ στί ν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρί γωνον τῷ ΖΕΓ τριγώ νῳ ἐ στὶ ν ἴ σον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνί αι ταῖ ς λοιπαῖ ς γωνί αις ἴ σαι εἰ σὶ ν ἑ κατέ ρα ἑ κατέ ρᾳ , ὑ φ' ἃ ς αἱ ἴ σαι πλευραὶ ὑ ποτεί νουσιν· ἴ ση ἄ ρα ἐ στὶ ν ἡ ὑ πὸ ΒΑΕ τῇ ὑ πὸ ΕΓΖ. μεί ζων δέ ἐ στιν ἡ ὑ πὸ ΕΓΔ τῆ ς ὑ πὸ ΕΓΖ· μεί ζων ἄ ρα ἡ ὑ πὸ ΑΓΔ τῆ ς ὑ πὸ ΒΑΕ. ὁ μοί ως δὴ τῆ ς ΒΓ τετμημέ νης δί χα δειχθή σεται καὶ ἡ ὑ πὸ ΒΓΗ, τουτέ στιν ἡ ὑ πὸ ΑΓΔ, μεί ζων καὶ τῆ ς ὑ πὸ ΑΒΓ. Παντὸ ς ἄ ρα τριγώ νου μιᾶ ς τῶ ν πλευρῶ ν προσεκβληθεί σης ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α ἑ κατέ ρας τῶ ν ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον γωνιῶ ν μεί ζων ἐ στί ν· ὅ περ ἔ δει δεῖ ξαι.
Ἔ στω τρί γωνον τὸ ΑΒΓ· λέ γω, ὅ τι Στοιχεία Εὐ κλείδου α΄, τοῦ ΑΒΓ τριγώ νου αἱ δύ ο γωνί αι Πρότασις ιζ΄ δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά ττονέ ς εἰ σι πά ντῃ μεταλαμβανό μεναι. Παντὸ ς τριγώ νου αἱ Ἐ κβεβλή σθω γὰ ρ ἡ ΒΓ ἐ πὶ τὸ Δ. δύ ο γωνί αι δύ ο ὀ ρθῶ ν Καὶ ἐ πεὶ τριγώ νου τοῦ ΑΒΓ ἐ κτό ς ἐ λά σσονέ ς εἰ σι πά ντῃ ἐ στι γωνί α ἡ ὑ πὸ ΑΓΔ, μεί ζων ἐ στὶ τῆ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον τῆ ς ὑ πὸ μεταλαμβανό μεναι. ΑΒΓ. κοινὴ προσκεί σθω ἡ ὑ πὸ ΑΓΒ· αἱ ἄ ρα ὑ πὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τῶ ν ὑ πὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ μεί ζονέ ς εἰ σιν. ἀ λλ' αἱ ὑ πὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δύ ο ὀ ρθαῖ ς ἴ σαι εἰ σί ν· αἱ ἄ ρα ὑ πὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά σσονέ ς εἰ σιν. ὁ μοί ως δὴ δεί ξομεν, ὅ τι καὶ αἱ ὑ πὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά σσονέ ς εἰ σι καὶ ἔ τι αἱ ὑ πὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ. Παντὸ ς ἄ ρα τριγώ νου αἱ δύ ο γωνί αι δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά σσονέ ς εἰ σι πά ντῃ μεταλαμβανό μεναι· ὅ περ ἔ δει δεῖ ξαι.
Στοιχεία Εὐ κλείδου α΄, Ἔ στω τρί γωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλή σθω αὐ τοῦ Πρότασις λβ΄ μί α πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐ πὶ τὸ Δ· λέ γω, ὅ τι ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α ἡ ὑ πὸ ΑΓΔ ἴ ση ἐ στὶ δυσὶ ταῖ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον ταῖ ς ὑ πὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, καὶ αἱ ἐ ντὸ ς τοῦ τριγώ νου τρεῖ ς Παντὸ ς τριγώ νου μιᾶ ς γωνί αι αἱ ὑ πὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ δυσὶ ν ὀ ρθαῖ ς ἴ σαι τῶ ν πλευρῶ ν εἰ σί ν. προσεκβληθεί σης ἡ Ἤ χθω γὰ ρ διὰ τοῦ Γ σημεί ου τῇ ΑΒ εὐ θείᾳ ἐ κτὸ ς γωνί α δυσὶ ταῖ ς παρά λληλος ἡ ΓΕ. ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον Καὶ ἐ πεὶ παρά λληλό ς ἐ στιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰ ς αὐ τὰ ς ἴ ση ἐ στί ν, καὶ αἱ ἐ ντὸ ς ἐ μπέ πτωκεν ἡ ΑΓ, αἱ ἐ ναλλὰ ξ γωνί αι αἱ ὑ πὸ ΒΑΓ, τοῦ τριγώ νου τρεῖ ς ΑΓΕ ἴ σαι ἀ λλή λαις εἰ σί ν. πά λιν, ἐ πεὶ παρά λληλό ς ἐ στιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰ ς αὐ τὰ ς ἐ μπέ πτωκεν εὐ θεῖ α ἡ γωνί αι δυσὶ ν ὀ ρθαῖ ς ΒΔ, ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α ἡ ὑ πὸ ΕΓΔ ἴ ση ἐ στὶ τῇ ἐ ντὸ ς καὶ ἴ σαι εἰ σί ν. ἀ πεναντί ον τῇ ὑ πὸ ΑΒΓ. ἐ δεί χθη δὲ καὶ ἡ ὑ πὸ ΑΓΕ τῇ ὑ πὸ ΒΑΓ ἴ ση· ὅ λη ἄ ρα ἡ ὑ πὸ ΑΓΔ γωνί α ἴ ση ἐ στὶ δυσὶ ταῖ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον ταῖ ς ὑ πὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ. Κοινὴ προσκεί σθω ἡ ὑ πὸ ΑΓΒ· αἱ ἄ ρα ὑ πὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τρισὶ ταῖ ς ὑ πὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ ἴ σαι εἰ σί ν. ἀ λλ' αἱ ὑ πὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δυσὶ ν ὀ ρθαῖ ς ἴ σαι εἰ σί ν· καὶ αἱ ὑ πὸ ΑΓΒ, ΓΒΑ, ΓΑΒ ἄ ρα δυσί ν ὀ ρθαῖ ς ἴ σαι εἰ σί ν. Παντὸ ς ἄ ρα τριγώ νου μιᾶ ς τῶ ν πλευρῶ ν προσεκβληθεί σης ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α δυσὶ ταῖ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον ἴ ση ἐ στί ν, καὶ αἱ ἐ ντὸ ς τοῦ τριγώ νου τρεῖ ς γωνί αι δυσὶ ν ὀ ρθαῖ ς ἴ σαι εἰ σί ν· ὅ περ ἔ δει
Τα Σχόλια του Πρόκλου στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη Αποδείξεις από τεκμήριο, αποδείξεις από αιτία, ενστάσεις και αφηγηματική τέχνη κατά την ύστερη αρχαιότητα
Μια προειδοποίηση του Πρόκλου προς τον αναγνώστη
Τα σχόλια του Πρόκλου στις Προτάσεις Ι 16 & Ι 17 Παντὸ ς τριγώ νου μιᾶ ς τῶ ν πλευρῶ ν προσεκβληθεί σης ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α ἑ κατέ ρας τῶ ν ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον γωνιῶ ν μεί ζων ἐ στί ν. Πρώτες νύξεις για το ρόλο της εξωτερικής γωνίας Κάποιοι έχουν παραθέσει αυτήν την πρόταση με ελλιπή τρόπο, χωρίς το “μιας των πλευρών προσεκβληθείσης”, και έδωσαν έτσι αφορμή σε ορισμένους και σίγουρα στον Φίλιππο, όπως μας πληροφορεί ο Ήρων ο μηχανικός, να τη διαβάλουν. Διότι το τρίγωνο καθεαυτό ποτέ δεν έχει εξωτερική γωνία. Όσοι όμως θέλησαν να προλάβουν αυτή την αιτίαση, τη διατύπωσαν μαζί με τη συγκεκριμένη συνθήκη όπως είναι σύνηθες στον γεωμέτρη.
Αποδείξεις από “αιτία” Με αυτό το θεώρημα μπορούμε να αποδείξουμε, ότι αν σε δύο ευθείες προσπίπτει μια ευθεία κάνοντας την εξωτερική γωνία ίση με μια απέναντι εσωτερική, οι ευθείες αυτές ούτε θα τέμνονται ούτε θα σχηματίζουν τρίγωνο, διότι τότε η γωνία αυτή θα είναι ταυτόχρονα ίση και μεγαλύτερη από αυτήν, πράγμα αδύνατο. Α Γ Έστω οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ στις οποίες προσπίπτει η ΒΕ κάνοντας ίσες τις γωνίες ΑΒΔ και ΓΔΕ. Αν οι ΑΒ και ΓΔ τέμνονταν, τότε η γωνία ΓΔΕ ως εξωτερική θα ήταν μεγαλύτερη από την απέναντι και εσωτερική ΑΒΔ. Αναγκαία λοιπόν, αν τέμνονται, ούτε οι γωνίες Β Δ Ε θα παραμένουν ίσες, αλλά σε κάθε περίπτωση η γωνία στο Δ θα αυξάνεται. Διότι, θεωρώντας την ΑΒ ακίνητη και την ΓΔ κινούμενη προς αυτήν για να την συναντήσει, θα κάνεις μεγαλύτερη την απόκλιση της γωνίας ΓΔΕ, επειδή όσο προσεγγίζει η ΓΔ την ΑΒ τόσο περισσότερο αποκλίνει από την ΔΕ.
Είτε θεωρώντας την ΓΔ ακίνητη και την ΑΒ κινούμενη προς αυτήν, ελαττώνεις τη γωνία ΑΒΔ, διότι η ΑΒ κινείται συγχρόνως προς την ΓΔ και τη ΒΔ. Είτε ακόμη θεωρώντας αμφότερες να κινούνται η μια προς την άλλη, θα διαπιστώσεις τη μεν ΑΒ να φέρεται προς τη ΒΔ και να συστέλλει τη γωνία της, τη δε ΓΔ καθώς κινείται προς την ΑΒ να αποκλίνει από την ΔΕ και να αυξάνει τη γωνία ΓΔΕ. Αναγκαία λοιπόν, όταν δημιουργείται τρίγωνο και οι ΑΒ και ΓΔ τέμνονται, η εξωτερική γωνία θα είναι μεγαλύτερη από την απέναντι εσωτερική. Διότι όταν η εσωτερική γωνία παραμένει αμετάβλητη η εξωτερική αυξάνεται, όταν η εξωτερική παραμένει αμετάβλητη η εσωτερική μειώνεται και τέλος, όταν και οι δύο μεταβάλλονται τότε η εσωτερική συστέλλεται και η εξωτερική διαστέλλεται. Η αιτία αυτών των μεταβολών είναι η κίνηση των ευθειών, η μια συγκλίνοντας προς την πλευρά που σχηματίζει την εσωτερική γωνία, η δε άλλη αποκλίνοντας από την πλευρά που σχηματίζει την εξωτερική γωνία. Και έχεις εκ τούτων συλλογίζεσθαι, πώς αι γενέσεις των πραγμάτων υπ’ όψιν ημίν τας αληθινάς άγουσι των ζητουμένων αιτίας…
Παντὸ ς τριγώ νου αἱ δύ ο γωνί αι δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά σσονέ ς εἰ σι πά ντῃ μεταλαμβανό μεναι. Η απόδειξη του στοιχειωτή ακολουθεί ένα φανερό δρόμο επειδή χρησιμοποιεί το προηγούμενο θεώρημα. Αλλά για να ανακαλύψουμε την αιτία Α Γ της συγκεκριμένης ιδιότητας πρέπει και εδώ, όπως κάναμε στο προηγούμενο θεώρημα, να εξετάσουμε την κατασκευή των τριγώνων. Έστω λοιπόν τα τμήματα ΑΒ, ΓΔ κάθετα προς την ευθεία ΒΔ. Για να υπάρξει τρίγωνο πρέπει τα Β Δ ΑΒ και ΓΔ να συγκλίνουν το ένα προς το άλλο. Αυτή η σύγκλιση όμως ελαττώνει τις εσωτερικές γωνίες, έτσι ώστε να γίνονται μικρότερες από Α Γ δύο ορθές, διότι ήταν ορθές πριν από τη σύγκλιση. Ομοίως αν θεωρήσουμε τα ΑΓ, ΒΔ κάθετα στην ΑΒ θα συμβούν τα ίδια κατά τη σύγκλιση των ευθειών και θα γίνουν οι γωνίες οι προσκείμενες Β Δ στην ΑΒ μικρότερες από δύο ορθές. Το ίδιο και για την τρίτη πλευρά.
Αυτή λοιπόν είναι η αιτία, και όχι το γεγονός ότι η εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από κάθε απέναντι εσωτερική γωνία. Διότι δεν είναι αναγκαίο να προεκτείνουμε την πλευρά, ούτε να κατασκευάσουμε εξωτερική γωνία. Αναγκαίο όμως είναι ότι δύο οποιεσδήποτε εσωτερικές γωνίες είναι μικρότερες από δύο ορθές. Πώς λοιπόν μπορεί το μη αναγκαίο να είναι η αιτία του αναγκαίου; Αλλά όπως είπα, το αίτιο είναι αυτό που δηλώθηκε, η σύγκλιση των ευθειών προς τη βάση η οποία ελαττώνει τις ορθές. Επειδή ο στοιχειωτής έχει αποδείξει το ζητούμενο με τη βοήθεια της εξωτερικής γωνίας, θα επαληθεύσουμε το ίδιο αποτέλεσμα χωρίς να προεκτείνουμε καμιά πλευρά. A B Γ Δ
Τα σχόλια του Πρόκλου στην Πρόταση Ι 32 Παντὸ ς τριγώ νου μιᾶ ς τῶ ν πλευρῶ ν προσεκβληθεί σης ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α δυσὶ ταῖ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον ἴ ση ἐ στί ν, καὶ αἱ ἐ ντὸ ς τοῦ τριγώ νου τρεῖ ς γωνί αι δυσὶ ν ὀ ρθαῖ ς ἴ σαι εἰ σί ν. Ό,τι έλειπε από το 16ο και το 17ο θεώρημα προστίθεται με το 32ο. Διότι μαθαίνουμε τώρα, όχι μόνο ότι η εξωτερική γωνία του τριγώνου είναι μεγαλύτερη καθεμιάς των απέναντι εσωτερικών γωνιών, αλλά και πόσο μεγαλύτερη. Διότι, αφού ισούται με το άθροισμά τους, είναι μεγαλύτερη καθεμιάς κατά το μέτρο της άλλης. Επίσης μαθαίνουμε, όχι μόνο ότι δύο οποιεσδήποτε γωνίες του τριγώνου έχουν άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών, αλλά και πόσο μικρότερο, δηλαδή κατά το μέτρο της τρίτης γωνίας.
Εκείνα λοιπόν τα θεωρήματα ήταν κάπως αόριστα ενώ τούτο τα δίνει μια επιστημονική πληρότητα. Και βέβαια δεν πρέπει εξ’ αυτού να θεωρήσουμε ότι τα προηγούμενα ήταν περιττά, διότι αφενός μας βοήθησαν σε πολλές αποδείξεις όπως του παρόντος, και αφετέρου δείχνουν ότι, καθώς η γνώση μας προχωρεί από το ατελές προς το τέλειο, θα μεταβαίνει αναγκαστικά από τις αόριστες διαισθήσεις στις οριστικές και αναμφισβήτητες διαπιστώσεις. Αλλά ο στοιχειωτής απέδειξε τα ζητούμενα φέρνοντας την παράλληλη στο εξωτερικό του τριγώνου. Είναι όμως δυνατό να τα αποδείξουμε χωρίς να την φέρουμε εξωτερικά, αλλάζοντας μόνο τη σειρά των αποδεικνυομένων. Διότι αυτός προηγουμένως έδειξε ότι η εκτός γωνία είναι ίση με τις δύο εντός και απέναντι, και από αυτό έδειξε το υπόλοιπο. Εμείς όμως θα ακολουθήσουμε την αντίστροφη πορεία.
Στοιχεία Εὐ κλείδου α΄, Ἔ στω γὰ ρ τρί γωνον τὸ ΑΒΓ· λέ γω, ὅ τι Πρότασις κ΄ τοῦ ΑΒΓ τριγώ νου αἱ δύ ο πλευραὶ τῆ ς λοιπῆ ς μεί ζονέ ς εἰ σι πά ντῃ μεταλαμβανό μεναι, αἱ μὲ ν ΒΑ, ΑΓ τῆ ς ΒΓ, Παντὸ ς τριγώ νου αἱ αἱ δὲ ΑΒ, ΒΓ τῆ ς ΑΓ, αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆ ς ΑΒ. δύ ο πλευραὶ τῆ ς Διή χθω γὰ ρ ἡ ΒΑ ἐ πὶ τὸ Δ σημεῖ ον, καὶ λοιπῆ ς μεί ζονέ ς εἰ σι κεί σθω τῇ ΓΑ ἴ ση ἡ ΑΔ, καὶ ἐ πεζεύ χθω ἡ πά ντῃ ΔΓ. Ἐ πεὶ οὖ ν ἴ ση ἐ στὶ ν ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ, ἴ ση μεταλαμβανό μεναι. ἐ στὶ καὶ γωνί α ἡ ὑ πὸ ΑΔΓ τῇ ὑ πὸ ΑΓΔ· μεί ζων ἄ ρα ἡ ὑ πὸ ΒΓΔ τῆ ς ὑ πὸ ΑΔΓ· καὶ ἐ πεὶ τρί γωνό ν ἐ στι τὸ ΔΓΒ μεί ζονα ἔ χον τὴ ν ὑ πὸ ΒΓΔ γωνί αν τῆ ς ὑ πὸ ΒΔΓ, ὑ πὸ δὲ τὴ ν μεί ζονα γωνί αν ἡ μεί ζων πλευρὰ ὑ ποτεί νει, ἡ ΔΒ ἄ ρα τῆ ς ΒΓ ἐ στι μεί ζων. ἴ ση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ· μεί ζονες ἄ ρα αἱ ΒΑ, ΑΓ τῆ ς ΒΓ· ὁ μοί ως δὴ δεί ξομεν, ὅ τι καὶ αἱ μὲ ν ΑΒ, ΒΓ τῆ ς ΓΑ μεί ζονέ ς εἰ σιν, αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆ ς ΑΒ. Παντὸ ς ἄ ρα τριγώ νου αἱ δύ ο πλευραὶ τῆ ς λοιπῆ ς μεί ζονέ ς εἰ σι πά ντῃ μεταλαμβανό μεναι· ὅ περ ἔ δει δεῖ ξαι.
Τα σχόλια του Πρόκλου στην Πρόταση Ι 20 Παντὸ ς τριγώ νου αἱ δύ ο πλευραὶ τῆ ς λοιπῆ ς μεί ζονέ ς εἰ σι πά ντῃ μεταλαμβανό μεναι. Οι Επικούρειοι συνηθίζουν να διασύρουν αυτό το θεώρημα, λέγοντας ότι είναι προφανές ακόμη και σ’ ένα γάιδαρο και δεν χρειάζεται καμιά απόδειξη. Αποτελεί, λένε, γνώρισμα αυτού που δεν κατέχει επιστημονική γνώση να απαιτεί εξηγήσεις για τα προφανή όσο και να πιστεύει αμέσως τα αβέβαια. Διότι όποιος συγχέει αυτά τα δύο είναι φανερό ότι αγνοεί τι είναι εκείνο που δεν επιδέχεται απόδειξη και τι εκείνο που μπορεί να αποδειχθεί. Αποδεικνύουν δε [οι Επικούρειοι] ότι το προκείμενο θεώρημα το γνωρίζουν ακόμη και οι γάιδαροι από το γεγονός ότι αν τοποθετηθεί σανός στο ένα άκρο των πλευρών, ο γάιδαρος που αναζητά τροφή θα διασχίσει τη μια πλευρά και όχι τις άλλες δύο. Σε αυτά πρέπει να απαντήσουμε ότι αν και το θεώρημα είναι φανερό στις αισθήσεις, δεν είναι εν τούτοις φανερό στην επιστημονική σκέψη.
Διότι πολλά πράγματα έχουν αυτό το γνώρισμα, όπως π.χ. ότι η φωτιά θερμαίνει. Και αυτό είναι φανερό στις αισθήσεις, αλλά έργο της επιστήμης είναι να διαπιστώσει πώς θερμαίνει. Μέσω μιας ασώματης δύναμης ή με φυσικά μέρη, όπως σφαιρικά ή πυραμιδοειδή μόρια; Επίσης είναι φανερό στις αισθήσεις ότι κινούμαστε, αλλά είναι δύσκολο στο λογισμό να εξηγήσει πώς κινούμαστε. Κατά αμερές ή κατά διάστημα, και στην περίπτωση αυτή πώς είναι δυνατόν να διανύσουμε άπειρα διαστήματα, αφού κάθε μέγεθος είναι διαιρετό επ’ άπειρον; Έτσι και για το τρίγωνο, έστω ότι είναι ολοφάνερο στις αισθήσεις ότι οι δύο πλευρές είναι μεγαλύτερες της άλλης. Είναι όμως έργο της επιστήμης να πει πώς γίνεται αυτό. Αυτά είναι αρκετά ως απάντηση στους Επικούρειους. Πρέπει τώρα να εκθέσουμε με συντομία και τις άλλες αποδείξεις αυτού του θεωρήματος, όσες έχουν κατασκευάσει οι συνεργάτες του Ήρωνα και του Πορφύριου χωρίς να προεκτείνουν την ευθεία όπως έχει κάνει ο στοιχειωτής.
Ένας νομικός περιγράφει την ουσία των Μαθηματικών Ακόμη και οι υποστηρικτές μιας ολιστικής άποψης για την επιστήμη οφείλουν να παραδεχθούν ότι για πολλούς λόγους τα Μαθηματικά είναι η αδιαμφισβήτητη μητέρα της σύγχρονης επιστήμης. Στην ουσία πρόκειται για την ικανότητά μας να οργανώνουμε και να εστιάζουμε τη σκέψη μας, να αντιλαμβανόμαστε νοητικές σχέσεις και να κατανοούμε τον απείρως πολύπλοκο κόσμο στον οποίο ζούμε.
Δεν είναι συμπτωματικό το γεγονός ότι η αρχαία ελληνική φιλοσοφία αναπτύχθηκε χέρι – χέρι με τα Μαθηματικά, βασισμένη στη Σωκρατική σοφία ότι η μεγαλύτερη πρόκληση για την ανθρώπινη νόηση δεν είναι η απόκτηση καινούργιας γνώσης, αλλά η κατανόηση των σχέσεων μεταξύ όσων ήδη ξέρουμε ή ανακαλύπτουμε και των συνεπειών τους. Αυτή η οπτική είναι τεράστιας σημασίας, ακόμη και για τομείς στους οποίους δεν χρησιμοποιούνται μαθηματικά μοντέλα, όπως ο δικός μου: η Νομική. J.F. Bernt, Πρόεδρος της Νορβηγικής Ακαδημίας Γραμμάτων και Επιστημών: Ομιλία κατά την απονομή του βραβείου Abel στον Srinivasan Varadhan (2007) Το Φι, τεύχος 4 σ.284.

More Related Content

PPT
Γιάννης Θωμαΐδης: «Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές ε...
byThales and friends
 
PPTX
Η αρμονία των Μαθηματικών στη φύση
bygper2014
 
PPTX
Σημείο, ευθεία, ευθύγραμμο τμήμα, κύκλος
byEleftheria Kaloudi
 
PDF
Θεωρία αριθμών
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Algebra a lykeiou
byChristos Loizos
 
PDF
Επίλυση εξισώσεων
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Μη Ευκλείδιες Γεωμετρίες
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
Η ιστορία των λογαρίθμων
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Γιάννης Θωμαΐδης: «Η ιστορία των μαθηματικών ως πηγή ιδεών για ερευνητικές ε...
byThales and friends
 
Η αρμονία των Μαθηματικών στη φύση
bygper2014
 
Σημείο, ευθεία, ευθύγραμμο τμήμα, κύκλος
byEleftheria Kaloudi
 
Θεωρία αριθμών
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Algebra a lykeiou
byChristos Loizos
 
Επίλυση εξισώσεων
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Μη Ευκλείδιες Γεωμετρίες
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
Η ιστορία των λογαρίθμων
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 

What's hot

PDF
αλγεβρα α λυκειου
bybagg1
 
PDF
Μαθηματικά Δ΄ 5. 27. ΄΄Γνωρίζω τις παράλληλες και τις τεμνόμενες ευθείες΄΄
byΧρήστος Χαρμπής
 
PPT
Η ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
PDF
Μαθηματικές ιστορίες
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
PDF
τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light
byTakis Tsakalakos
 
PDF
τσακαλάκος τάκης γεωμετρία α' λυκείου
byChristos Loizos
 
PPT
Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία
bykatpapado
 
PDF
άλγεβρα α λυκείου_ανδρεαδάκης
byjzkor
 
PPTX
Μαθηματικά αλλιώς
byxpapas
 
PDF
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου ν ράπτης
byChristos Loizos
 
PDF
Αρρητοι αριθμοί- Το βιβλίο 10 του Ευκλείδη
byDr. Maria D. Chalkou
 
PDF
Teukhos 4
byChristos Loizos
 
DOC
E maths bm_107_143
byNanouli Zafiridou
 
PDF
Neo a lykeioy_algebra
byLia Papapetrou-2nd Geniko Lykeio Echedorou
 
PPT
6104185
byPopi Selianaki
 
PPS
F
byΛόγοι πνευματικοί
 
PDF
Irrational Numbers. The mystery
byDr. Maria D. Chalkou
 
PDF
Πλατάρος-γιάννης-μικρές-μαθηματικές-εργασίες-6-από-6-αρχεία (117 σελίδες)
byΓιάννης Πλατάρος
 
ODP
Mathimatika
byantwnaros
 
PPT
Η Εκτίναξη της Αρχαίας Ελληνικής Μαθηματικής Παιδείας την Αλεξανδρινή Περίοδο
byalexmath
 
αλγεβρα α λυκειου
bybagg1
 
Μαθηματικά Δ΄ 5. 27. ΄΄Γνωρίζω τις παράλληλες και τις τεμνόμενες ευθείες΄΄
byΧρήστος Χαρμπής
 
Η ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΑΛΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ
byΚΩΣΤΑΣ ΓΚΑΒΕΡΑΣ
 
Μαθηματικές ιστορίες
byΓιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)
 
τακης τσακαλακος τραπεζα θεματων γεωμετρια α λυκειου (4ο θεμα)light
byTakis Tsakalakos
 
τσακαλάκος τάκης γεωμετρία α' λυκείου
byChristos Loizos
 
Μη Ευκλείδεια Γεωμετρία
bykatpapado
 
άλγεβρα α λυκείου_ανδρεαδάκης
byjzkor
 
Μαθηματικά αλλιώς
byxpapas
 
μαθηματικα προσανατολισμου β λυκειου ν ράπτης
byChristos Loizos
 
Αρρητοι αριθμοί- Το βιβλίο 10 του Ευκλείδη
byDr. Maria D. Chalkou
 
Teukhos 4
byChristos Loizos
 
E maths bm_107_143
byNanouli Zafiridou
 
Neo a lykeioy_algebra
byLia Papapetrou-2nd Geniko Lykeio Echedorou
 
6104185
byPopi Selianaki
 
F
byΛόγοι πνευματικοί
 
Irrational Numbers. The mystery
byDr. Maria D. Chalkou
 
Πλατάρος-γιάννης-μικρές-μαθηματικές-εργασίες-6-από-6-αρχεία (117 σελίδες)
byΓιάννης Πλατάρος
 
Mathimatika
byantwnaros
 
Η Εκτίναξη της Αρχαίας Ελληνικής Μαθηματικής Παιδείας την Αλεξανδρινή Περίοδο
byalexmath
 

Viewers also liked

PPTX
Πότα Κοταρίνου : Tο μέτρο του κόσμου και άλλες ιστορίες
byThales and friends
 
PPT
Ηλίας Ανδριανός : ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ
byThales and friends
 
PPTX
Rock μουσική
by6lykeiovolou
 
PPT
Παραδοσιακή μουσική
by6lykeiovolou
 
PPT
Οι δημιουργικές εργασίες στο Γενικό Λύκειο
byVasiliki Papaioannou
 
PPTX
Ρεμπέτικο
by6lykeiovolou
 
PPT
Έντεχνο τραγούδι
by6lykeiovolou
 
PPTX
Rap hip hop μουσική
by6lykeiovolou
 
PPTX
Γερμανικός κινηματογράφος
by6lykeiovolou
 
PPSX
Κατερίνα Καλφοπούλου : Η επινόηση της γραφής και της αρίθμησης
byThales and friends
 
PPTX
Μαρία Φαλίδα : Mathematical fiction and Extended essay
byThales and friends
 
PPTX
Tεύκρος Μιχαηλίδης : «Δημιουργική ανάγνωση ενός βιβλίου μαθηματικής λογοτεχνίας»
byThales and friends
 
PPT
Ανδρέας Λύκος : «Μαθηματικά, τέχνη και ιστορία συναντιούνται σε ένα μυθιστόρη...
byThales and friends
 
PPT
Σοβιετικός - Ιταλικός κινηματογράφος
by6lykeiovolou
 
ODP
Festival documentary
by6lykeiovolou
 
DOCX
ομάδες ειδών ελληνικής_μουσικής
by6lykeiovolou
 
DOCX
Ομάδες ευρωπαικού κινηματογράφου
by6lykeiovolou
 
PPTX
Ευρωπαικό animation
by6lykeiovolou
 
DOCX
σκανδιναβικος κινηματογράφος
by6lykeiovolou
 
Πότα Κοταρίνου : Tο μέτρο του κόσμου και άλλες ιστορίες
byThales and friends
 
Ηλίας Ανδριανός : ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ
byThales and friends
 
Rock μουσική
by6lykeiovolou
 
Παραδοσιακή μουσική
by6lykeiovolou
 
Οι δημιουργικές εργασίες στο Γενικό Λύκειο
byVasiliki Papaioannou
 
Ρεμπέτικο
by6lykeiovolou
 
Έντεχνο τραγούδι
by6lykeiovolou
 
Rap hip hop μουσική
by6lykeiovolou
 
Γερμανικός κινηματογράφος
by6lykeiovolou
 
Κατερίνα Καλφοπούλου : Η επινόηση της γραφής και της αρίθμησης
byThales and friends
 
Μαρία Φαλίδα : Mathematical fiction and Extended essay
byThales and friends
 
Tεύκρος Μιχαηλίδης : «Δημιουργική ανάγνωση ενός βιβλίου μαθηματικής λογοτεχνίας»
byThales and friends
 
Ανδρέας Λύκος : «Μαθηματικά, τέχνη και ιστορία συναντιούνται σε ένα μυθιστόρη...
byThales and friends
 
Σοβιετικός - Ιταλικός κινηματογράφος
by6lykeiovolou
 
Festival documentary
by6lykeiovolou
 
ομάδες ειδών ελληνικής_μουσικής
by6lykeiovolou
 
Ομάδες ευρωπαικού κινηματογράφου
by6lykeiovolou
 
Ευρωπαικό animation
by6lykeiovolou
 
σκανδιναβικος κινηματογράφος
by6lykeiovolou
 

Similar to Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρόγραμμα του Λυκείου

PDF
σύστημα αξιωμάτων
byΓιάννης Πλατάρος
 
PDF
Φύλλα εργασίας Γεωμετρίας για την Α και Β Λυκείου [2018 - 19]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
PDF
ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 2020-2021
byGeneral Lyceum "Menelaos Lountemis"
 
PPTX
Eισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία
byNatasa Liri
 
PPTX
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡ.1.1
byxr3dis
 
PPTX
Project Α΄ Λυκείου 2012-2013, Μαθηματικά
bypaez2013
 
PPT
Έρευνας Δράσης
bypsalexpolis
 
PDF
C geometria
by6ο Γυμνάσιο Ζωγράφου
 
PDF
gymnasioum book for b class
byChristos Loizos
 
PPT
οι μέθοδοι της σύνθεσης και της ανάλυσης στα
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Systhma axiomatwn
byΓιάννης Πλατάρος
 
PPTX
Eukleideies protaseis tsakmane-tsakiridou
byKonstantinaRatzou
 
DOC
εργασία συνεδρίου για τπε
byΓιάννης Πλατάρος
 
PPTX
Ημερίδα Metalogic (1).pptx
byΘΑΛΗΣ + ΦΙΛΟΙ
 
PDF
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
byChristos Loizos
 
DOC
Η διδακτέα ύλη των θετικών μαθημάτων Β΄ και Γ΄ Γενικού Λυκείου για το σχ. έτο...
by1o Γενικό Λύκειο Ηγουμενίτσας
 
PDF
Arthro gia blog
byChristos Loizos
 
PPT
Euklides elites
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
PDF
Dixeirisi ulis b luk geometria
byΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
 
DOC
Odhgies thetikwn mathhmatwn__b_kai__g_hmerhsioy_kai_esperinoy_lykeioy_2011_12...
byadais1967
 
σύστημα αξιωμάτων
byΓιάννης Πλατάρος
 
Φύλλα εργασίας Γεωμετρίας για την Α και Β Λυκείου [2018 - 19]
byΜάκης Χατζόπουλος
 
ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 2020-2021
byGeneral Lyceum "Menelaos Lountemis"
 
Eισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία
byNatasa Liri
 
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡ.1.1
byxr3dis
 
Project Α΄ Λυκείου 2012-2013, Μαθηματικά
bypaez2013
 
Έρευνας Δράσης
bypsalexpolis
 
C geometria
by6ο Γυμνάσιο Ζωγράφου
 
gymnasioum book for b class
byChristos Loizos
 
οι μέθοδοι της σύνθεσης και της ανάλυσης στα
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Systhma axiomatwn
byΓιάννης Πλατάρος
 
Eukleideies protaseis tsakmane-tsakiridou
byKonstantinaRatzou
 
εργασία συνεδρίου για τπε
byΓιάννης Πλατάρος
 
Ημερίδα Metalogic (1).pptx
byΘΑΛΗΣ + ΦΙΛΟΙ
 
22 0017 eukleideia-geometria-a-b-lyk_bm_lyseis
byChristos Loizos
 
Η διδακτέα ύλη των θετικών μαθημάτων Β΄ και Γ΄ Γενικού Λυκείου για το σχ. έτο...
by1o Γενικό Λύκειο Ηγουμενίτσας
 
Arthro gia blog
byChristos Loizos
 
Euklides elites
byΣωκράτης Ρωμανίδης
 
Dixeirisi ulis b luk geometria
byΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
 
Odhgies thetikwn mathhmatwn__b_kai__g_hmerhsioy_kai_esperinoy_lykeioy_2011_12...
byadais1967
 

Γιάννης Θωμαΐδης : H θεσμοθέτηση των Ερευνητικών Εργασιών στο υποχρεωτικό πρόγραμμα του Λυκείου

  • 1.
    Η θεσμοθέτηση τωνερευνητικών εργασιών στο υποχρεωτικό πρόγραμμα του Λυκείου: Μια πρόκληση για την Ελληνική μαθηματική εκπαίδευση Γιάννης Θωμαΐδης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ν. Κιλκίς
  • 2.
    Οι παιδαγωγικές αρχέςτης καινοτομίας των Ερευνητικών Εργασιών στο Λύκειο 1. Η αρχή της Διερευνητικής Προσέγγισης της Μάθησης 2. Η αρχή της Διεπιστημονικής Συνεργασίας των Καθηγητών 3. Η αρχή της Διαφοροποίησης του Περιεχομένου, της Διαδικασίας και του Πλαισίου της Μάθησης 4. Η αρχή της Ομαδικής Συνεργασίας των Μαθητών
  • 3.
    Ποιο είναι τοαντικείμενο της μάθησης στην περίπτωση των Ερευνητικών Εργασιών; 1. Η ανάπτυξη της κατανόησης των προαπαιτούμενων επιστημονικών γνώσεων 2. Η ανάπτυξη των διαδικασιών, μεθόδων και μέσων έρευνας 3. Η ανάπτυξη των τρόπων επιχειρηματολογίας και επεξηγήσεων 4. Η ανάπτυξη του επιστημονικού τρόπου σκέψης σε μεταγνωστικό επίπεδο 5. Η ανάπτυξη των επιστημονικών ειδών λόγου 6. Η ανάπτυξη της στοχαστικής ανάλυσης διαδικασιών και συμπερασμάτων με επιστημονικά και αξιακά κριτήρια
  • 4.
    Ένα ρητορικό ερώτημα… Γιατί όλα τα προηγούμενα συνιστούν μια πρόκληση για την Ελληνική μαθηματική εκπαίδευση;
  • 5.
    Διαχρονικά “πάθη” τηςΕλληνικής μαθηματικής εκπαίδευσης… Αποφοιτών [ο μαθητής] του σχολείου μένει με την εντύπωσιν ότι τα μαθηματικά συνίστανται από την Γεωμετρίαν των αρχαίων Ελλήνων και αυτήν ως την ηρμήνευσαν οι μαθηματικοί της εποχής του Legendre, δηλαδή χωρίς την ακριβολογίαν του Ευκλείδου και του Αρχιμήδους, από την Αριθμητικήν, την Άλγεβραν και την Τριγωνομετρίαν και μία κατά κόρον “ασκησεολογίαν”, την οποίαν επέβαλον εις την Γαλλίαν αι αυστηραί εξετάσεις του baccalaureat, εις δε την χώραν μας αι αυστηραί εισιτήριοι εξετάσεις των ανωτάτων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων και κυρίως του Πολυτεχνείου.
  • 6.
    Αν βραδύτερον ούτοςεισέλθη εις το Πανεπιστήμιον ή άλλην ανωτάτην σχολήν και πρόκειται να σπουδάση επιστήμην, σχέσιν έχουσαν με τα μαθηματικά, διαπιστώνει ότι η μακροχρόνιος απασχόλησίς του με την ασκησεολογίαν εις τίποτε δεν τον ωφέλησεν. Τουναντίον διαπιστώνει ότι στερείται βασικών γνώσεων, αι οποίαι θα τον εβοήθουν να κατανοήση τον τρόπον της μαθηματικής σκέψεως των συγχρόνων μαθηματικών. Δ. Κάππος (1905–1985): Η Μαθηματική Λογική και η Θεωρία Συνόλων. Ο ρόλος των εις την διδασκαλίαν των σχολείων Μέσης Παιδείας. Διαλέξεις Ε.Μ.Ε. (1966)
  • 7.
    Μια νεώτερη εξιστόρησητων “παθών” … Όλα αυτά απαιτούν βέβαια ενθουσιασμό και ιδιαίτερη προσπάθεια από τον δάσκαλο και, κυρίως, παίρνουν χρόνο, και αναγκαστικά περιορίζουν την ύλη που μπορεί να διδαχθεί. Δεν πειράζει, ας περιοριστεί η ύλη. Είναι ήδη πολλή. Επίσης, είναι δύσκολο να αξιολογηθούν, με αντικειμενικό τρόπο, με τις εξετάσεις για την εισαγωγή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση, όπως γίνονται σήμερα. Τα παιδιά, σήμερα, ασκούνται να κατατάσσουν τα μαθηματικά ερωτήματα (και γρήγορα μάλιστα) σε κατηγορίες διδαγμένων ασκήσεων, που έχουν ενδεχομένως και αποστηθίσει, με στόχο να τις ανασύρουν εύκολα από τη μνήμη τους για να αποδώσουν τα μέγιστα την ημέρα της κρίσεως.
  • 8.
    Αυτή είναι ηπερίφημη «ασκησιολογία» ή «μεθοδολογία λύσης των ασκήσεων», το κυριότερο πρόβλημα της εκπαίδευσης στα μαθηματικά στο Λύκειο σήμερα. Και υπαγορεύεται, βέβαια, από τη σημερινή μορφή των εξετάσεων και τις ανάγκες ενός ομοιόμορφου τρόπου βαθμολογίας. Δεν βλέπω άλλη λύση για την πάταξη αυτής της συνταγολογίας από το αδυνάτισμα του ρόλου των εισαγωγικών εξετάσεων και την αντικατάσταση ορισμένων ασκήσεων από πιο σύνθετα προβλήματα. Δεν είμαι όμως σίγουρος αν το εκπαιδευτικό σύστημα – και η ελληνική κοινωνία – είμαστε ακόμα ώριμοι για μια τέτοια μετεξέλιξη. Εν τω μεταξύ θα πρέπει εμείς στα πανεπιστήμια να αντιμετωπίσουμε πρακτικά το πρόβλημα των αποτελεσμάτων της «ασκησιολογίας» στο πρώτο έτος και να δώσουμε μεγάλη προσοχή στο πώς θα εισαγάγουμε τους νέους φοιτητές στα μαθηματικά.
  • 9.
    Πώς θα καλύψουμετα κενά των γνώσεών τους, και το κυριότερο, πώς θα τους βοηθήσουμε να γεφυρώσουν την οδυνηρή ασυνέχεια από τις ασκήσεις της προετοιμασίας για τις εξετάσεις στην κατανόηση των εννοιών των μαθηματικών, την ιστορία τους και τη χρήση τους με ακρίβεια, αυστηρότητα, αλλά και αποτελεσματικότητα. Αυτό είναι δική μας δουλειά και δεν ωφελεί να διαμαρτυρόμαστε για το επίπεδο των πρωτοετών. Θα πρέπει να προσαρμοστούμε και ν’ αντιμετωπίσουμε αυτό ακριβώς το επίπεδο που υπάρχει σήμερα, ελαττώνοντας π.χ. την ύλη που διδάσκουμε, για να βρούμε καιρό για τα βασικά. Β. Δουγαλής: Μερικές σκέψεις για τη διδασκαλία των Μαθηματικών. Ομιλία κατά την τελετή απονομής του βραβείου εξαίρετης πανεπιστημιακής διδασκαλίας Ξανθόπουλου – Πνευματικού (2000)
  • 10.
    Λεξικόν ασκησιολογίας • Ασκησιολογία,Ασκησιομάθεια, Ασκησιολαγνεία, Ασκησιοθεραπεία • Ψευδοευφυείς ασκησιολόγοι • Ασκητήρια (= φροντιστήρια) • Βιομηχανία ασκησιολογίας, Εφιάλτης ασκησιολογίας, Χείμαρρος ασκησιολογίας • Ακάλυπτη ασκησιολογία, Ακατάσχετη ασκησιολογία, Ασυνάρτητη ασκησιολογία, Εκτρωματική ασκησιολογία, Στείρα ασκησιολογία • Ασκησιακή συνύπαρξη Ένα βιβλίο που θα ξεκουράσει το δάσκαλο των Μαθηματικών από τη λαίλαπα της σκληρής ασκησιολογίας που μαστίζει τη σημερινή διδακτική πράξη. (Από διαφήμιση βιβλίου με τίτλο “Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών”) Η αφηγηματική παρουσίαση της θεωρίας και η οργανωμένη ασκησιολογία, το κάνουν να μοιάζει με ένα γλαφυρό και ευχάριστο μυθιστόρημα. (Από διαφήμιση βιβλίου με τίτλο “Μεθοδολογία Παραγώγων”)
  • 11.
    Ασκησιολογία ή Θεωρητικολογία; Το βασικό πρόβλημα της διδασκαλίας και μάθησης των Μαθηματικών από μια ευρύτερη οπτική γωνία
  • 12.
    Η παραγωγική μέθοδος Ηευκλείδεια μεθοδολογία έχει επιβάλλει ένα συγκεκριμένο είδος παρουσίασης. Θα αναφέρομαι σ’ αυτό με τον όρο “παραγωγικό ύφος”. Το παραγωγικό ύφος αρχίζει με την εξαντλητική παρουσίαση ενός καταλόγου αξιωμάτων, λημμάτων ή και ορισμών. Πολύ συχνά τα αξιώματα και οι ορισμοί είναι τεχνητοί και μυστικοπαθώς περίπλοκοι. Κανένας δεν εξηγεί την προέλευση των περιπλοκών. Ο κατάλογος ακολουθείται από προσεκτικά διατυπωμένα θεωρήματα τα οποία φέρουν επαχθείς συνθήκες και φαίνεται αδύνατο να τις μαντέψει κανείς. Κάθε θεώρημα ακολουθείται από την απόδειξή του.
  • 13.
    Ο σπουδαστής τωνμαθηματικών υποχρεούται, σύμφωνα με αυτό το ευκλείδειο τελετουργικό, να παρακολουθεί αυτή τη μαγική διαδικασία χωρίς να θέτει ερωτήματα για το γνωστικό υπέδαφος των παρουσιαζομένων ούτε και για το πώς εκτελείται η όλη ταχυδακτυλουργία. Αν ο σπουδαστής ανακαλύψει τυχαία ότι κάποιοι ουρανοκατέβατοι ορισμοί είναι έννοιες που γεννήθηκαν από την απόδειξη, αν απορήσει γιατί αυτοί οι ορισμοί, τα λήμματα και το θεώρημα προηγούνται αντί να προκύπτουν από τη σχετική απόδειξη, ο ευκλείδειος μάγος θα τον εξοστρακίσει ως μαθηματικά ανώριμο. Imre Lakatos (1922–1974): Αποδείξεις & Ανασκευές. Η Λογική της Μαθηματικής Ανακάλυψης. (1976/1996, σ.211)
  • 14.
    Η απo-δόμηση του“ευκλείδειου τελετουργικού” ως θέμα ερευνητικής εργασίας Ανάλυση της λογικής δομής μιας “νησίδας” προτάσεων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας
  • 15.
    Σε κάθε τρίγωνοαπέναντι Κάθε πλευρά τριγώνου Να κατασκευαστεί από την μεγαλύτερη είναι μικρότερη από το τρίγωνο όταν πλευρά βρίσκεται η άθροισμα των δύο δίνονται οι τρεις μεγαλύτερη γωνία και άλλων και μεγαλύτερη πλευρές του αντιστρόφως από τη διαφορά τους Ευκλείδειο αίτημα Κάθε εξωτερική γωνία Σε κάθε τρίγωνο το Καὶ ἐὰ ν εἰ ς δύ ο εὐ θεί ας εὐ θεῖ α τριγώνου είναι άθροισμα δύο ἐ μπί πτουσα τὰ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἐ πὶ μεγαλύτερη καθεμιάς οποιωνδήποτε γωνιών τὰ αὐ τὰ μέ ρη γωνί ας δύ ο ὀ ρθῶ ν των απέναντι είναι μικρότερο από ἐ λά σσονας ποιῇ , ἐ κβαλλομέ νας τὰ ς δύ ο εὐ θεί ας ἐ π' ἄ πειρον εσωτερικών γωνιών δύο ορθές γωνίες συμπί πτειν, ἐ φ' ἃ μέ ρη εἰ σὶ ν αἱ τῶ ν δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά σσονες. Αν δύο ευθείες τεμνόμενες Αν δύο παράλληλες Το άθροισμα των από τρίτη σχηματίζουν τις ευθείες τέμνονται από εσωτερικών εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τρίτη, τότε σχηματίζουν γωνιών κάθε τότε είναι παράλληλες τις εντός εναλλάξ τριγώνου είναι γωνίες ίσες ίσο με δύο ορθές
  • 16.
    Στοιχεία Εὐ κλείδουα΄, Ἔ στω τρί γωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλή σθω αὐ τοῦ Πρότασις ις΄ μί α πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐ πὶ τὸ Δ· λέ γω, ὅ τι ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α ἡ ὑ πὸ ΑΓΔ μεί ζων ἐ στὶ ν ἑ κατέ ρας τῶ ν ἐ ντὸ ς καὶ Παντὸ ς τριγώ νου μιᾶ ς ἀ πεναντί ον τῶ ν ὑ πὸ ΓΒΑ, ΒΑΓ γωνιῶ ν. τῶ ν πλευρῶ ν Τετμή σθω ἡ ΑΓ δί χα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐ πιζευχθεῖ σα ἡ προσεκβληθεί σης ἡ ΒΕ ἐ κβεβλή σθω ἐ π' εὐ θεί ας ἐ πὶ τὸ Ζ, καὶ κεί σθω τῇ ΒΕ ἴ ση ἡ ΕΖ, καὶ ἐ πεζεύ χθω ἡ ΖΓ, καὶ διή χθω ἡ ΑΓ ἐ κτὸ ς γωνί α ἑ κατέ ρας ἐ πὶ τὸ Η. τῶ ν ἐ ντὸ ς καὶ Ἐ πεὶ οὖ ν ἴ ση ἐ στὶ ν ἡ μὲ ν ΑΕ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΕΖ, ἀ πεναντί ον γωνιῶ ν δύ ο δὴ αἱ ΑΕ, ΕΒ δυσὶ ταῖ ς ΓΕ, ΕΖ ἴ σαι εἰ σὶ ν ἑ κατέ ρα μεί ζων ἐ στί ν. ἑ κατέ ρᾳ · καὶ γωνί α ἡ ὑ πὸ ΑΕΒ γωνίᾳ τῇ ὑ πὸ ΖΕΓ ἴ ση ἐ στί ν· κατὰ κορυφὴ ν γά ρ· βά σις ἄ ρα ἡ ΑΒ βά σει τῇ ΖΓ ἴ ση ἐ στί ν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρί γωνον τῷ ΖΕΓ τριγώ νῳ ἐ στὶ ν ἴ σον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνί αι ταῖ ς λοιπαῖ ς γωνί αις ἴ σαι εἰ σὶ ν ἑ κατέ ρα ἑ κατέ ρᾳ , ὑ φ' ἃ ς αἱ ἴ σαι πλευραὶ ὑ ποτεί νουσιν· ἴ ση ἄ ρα ἐ στὶ ν ἡ ὑ πὸ ΒΑΕ τῇ ὑ πὸ ΕΓΖ. μεί ζων δέ ἐ στιν ἡ ὑ πὸ ΕΓΔ τῆ ς ὑ πὸ ΕΓΖ· μεί ζων ἄ ρα ἡ ὑ πὸ ΑΓΔ τῆ ς ὑ πὸ ΒΑΕ. ὁ μοί ως δὴ τῆ ς ΒΓ τετμημέ νης δί χα δειχθή σεται καὶ ἡ ὑ πὸ ΒΓΗ, τουτέ στιν ἡ ὑ πὸ ΑΓΔ, μεί ζων καὶ τῆ ς ὑ πὸ ΑΒΓ. Παντὸ ς ἄ ρα τριγώ νου μιᾶ ς τῶ ν πλευρῶ ν προσεκβληθεί σης ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α ἑ κατέ ρας τῶ ν ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον γωνιῶ ν μεί ζων ἐ στί ν· ὅ περ ἔ δει δεῖ ξαι.
  • 17.
    Ἔ στω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ· λέ γω, ὅ τι Στοιχεία Εὐ κλείδου α΄, τοῦ ΑΒΓ τριγώ νου αἱ δύ ο γωνί αι Πρότασις ιζ΄ δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά ττονέ ς εἰ σι πά ντῃ μεταλαμβανό μεναι. Παντὸ ς τριγώ νου αἱ Ἐ κβεβλή σθω γὰ ρ ἡ ΒΓ ἐ πὶ τὸ Δ. δύ ο γωνί αι δύ ο ὀ ρθῶ ν Καὶ ἐ πεὶ τριγώ νου τοῦ ΑΒΓ ἐ κτό ς ἐ λά σσονέ ς εἰ σι πά ντῃ ἐ στι γωνί α ἡ ὑ πὸ ΑΓΔ, μεί ζων ἐ στὶ τῆ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον τῆ ς ὑ πὸ μεταλαμβανό μεναι. ΑΒΓ. κοινὴ προσκεί σθω ἡ ὑ πὸ ΑΓΒ· αἱ ἄ ρα ὑ πὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τῶ ν ὑ πὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ μεί ζονέ ς εἰ σιν. ἀ λλ' αἱ ὑ πὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δύ ο ὀ ρθαῖ ς ἴ σαι εἰ σί ν· αἱ ἄ ρα ὑ πὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά σσονέ ς εἰ σιν. ὁ μοί ως δὴ δεί ξομεν, ὅ τι καὶ αἱ ὑ πὸ ΒΑΓ, ΑΓΒ δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά σσονέ ς εἰ σι καὶ ἔ τι αἱ ὑ πὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ. Παντὸ ς ἄ ρα τριγώ νου αἱ δύ ο γωνί αι δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά σσονέ ς εἰ σι πά ντῃ μεταλαμβανό μεναι· ὅ περ ἔ δει δεῖ ξαι.
  • 19.
    Στοιχεία Εὐ κλείδουα΄, Ἔ στω τρί γωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ προσεκβεβλή σθω αὐ τοῦ Πρότασις λβ΄ μί α πλευρὰ ἡ ΒΓ ἐ πὶ τὸ Δ· λέ γω, ὅ τι ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α ἡ ὑ πὸ ΑΓΔ ἴ ση ἐ στὶ δυσὶ ταῖ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον ταῖ ς ὑ πὸ ΓΑΒ, ΑΒΓ, καὶ αἱ ἐ ντὸ ς τοῦ τριγώ νου τρεῖ ς Παντὸ ς τριγώ νου μιᾶ ς γωνί αι αἱ ὑ πὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ δυσὶ ν ὀ ρθαῖ ς ἴ σαι τῶ ν πλευρῶ ν εἰ σί ν. προσεκβληθεί σης ἡ Ἤ χθω γὰ ρ διὰ τοῦ Γ σημεί ου τῇ ΑΒ εὐ θείᾳ ἐ κτὸ ς γωνί α δυσὶ ταῖ ς παρά λληλος ἡ ΓΕ. ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον Καὶ ἐ πεὶ παρά λληλό ς ἐ στιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰ ς αὐ τὰ ς ἴ ση ἐ στί ν, καὶ αἱ ἐ ντὸ ς ἐ μπέ πτωκεν ἡ ΑΓ, αἱ ἐ ναλλὰ ξ γωνί αι αἱ ὑ πὸ ΒΑΓ, τοῦ τριγώ νου τρεῖ ς ΑΓΕ ἴ σαι ἀ λλή λαις εἰ σί ν. πά λιν, ἐ πεὶ παρά λληλό ς ἐ στιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΕ, καὶ εἰ ς αὐ τὰ ς ἐ μπέ πτωκεν εὐ θεῖ α ἡ γωνί αι δυσὶ ν ὀ ρθαῖ ς ΒΔ, ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α ἡ ὑ πὸ ΕΓΔ ἴ ση ἐ στὶ τῇ ἐ ντὸ ς καὶ ἴ σαι εἰ σί ν. ἀ πεναντί ον τῇ ὑ πὸ ΑΒΓ. ἐ δεί χθη δὲ καὶ ἡ ὑ πὸ ΑΓΕ τῇ ὑ πὸ ΒΑΓ ἴ ση· ὅ λη ἄ ρα ἡ ὑ πὸ ΑΓΔ γωνί α ἴ ση ἐ στὶ δυσὶ ταῖ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον ταῖ ς ὑ πὸ ΒΑΓ, ΑΒΓ. Κοινὴ προσκεί σθω ἡ ὑ πὸ ΑΓΒ· αἱ ἄ ρα ὑ πὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ τρισὶ ταῖ ς ὑ πὸ ΑΒΓ, ΒΓΑ, ΓΑΒ ἴ σαι εἰ σί ν. ἀ λλ' αἱ ὑ πὸ ΑΓΔ, ΑΓΒ δυσὶ ν ὀ ρθαῖ ς ἴ σαι εἰ σί ν· καὶ αἱ ὑ πὸ ΑΓΒ, ΓΒΑ, ΓΑΒ ἄ ρα δυσί ν ὀ ρθαῖ ς ἴ σαι εἰ σί ν. Παντὸ ς ἄ ρα τριγώ νου μιᾶ ς τῶ ν πλευρῶ ν προσεκβληθεί σης ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α δυσὶ ταῖ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον ἴ ση ἐ στί ν, καὶ αἱ ἐ ντὸ ς τοῦ τριγώ νου τρεῖ ς γωνί αι δυσὶ ν ὀ ρθαῖ ς ἴ σαι εἰ σί ν· ὅ περ ἔ δει
  • 21.
    Τα Σχόλια τουΠρόκλου στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη Αποδείξεις από τεκμήριο, αποδείξεις από αιτία, ενστάσεις και αφηγηματική τέχνη κατά την ύστερη αρχαιότητα
  • 22.
    Μια προειδοποίηση τουΠρόκλου προς τον αναγνώστη
  • 23.
    Τα σχόλια τουΠρόκλου στις Προτάσεις Ι 16 & Ι 17 Παντὸ ς τριγώ νου μιᾶ ς τῶ ν πλευρῶ ν προσεκβληθεί σης ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α ἑ κατέ ρας τῶ ν ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον γωνιῶ ν μεί ζων ἐ στί ν. Πρώτες νύξεις για το ρόλο της εξωτερικής γωνίας Κάποιοι έχουν παραθέσει αυτήν την πρόταση με ελλιπή τρόπο, χωρίς το “μιας των πλευρών προσεκβληθείσης”, και έδωσαν έτσι αφορμή σε ορισμένους και σίγουρα στον Φίλιππο, όπως μας πληροφορεί ο Ήρων ο μηχανικός, να τη διαβάλουν. Διότι το τρίγωνο καθεαυτό ποτέ δεν έχει εξωτερική γωνία. Όσοι όμως θέλησαν να προλάβουν αυτή την αιτίαση, τη διατύπωσαν μαζί με τη συγκεκριμένη συνθήκη όπως είναι σύνηθες στον γεωμέτρη.
  • 24.
    Αποδείξεις από “αιτία” Με αυτό το θεώρημα μπορούμε να αποδείξουμε, ότι αν σε δύο ευθείες προσπίπτει μια ευθεία κάνοντας την εξωτερική γωνία ίση με μια απέναντι εσωτερική, οι ευθείες αυτές ούτε θα τέμνονται ούτε θα σχηματίζουν τρίγωνο, διότι τότε η γωνία αυτή θα είναι ταυτόχρονα ίση και μεγαλύτερη από αυτήν, πράγμα αδύνατο. Α Γ Έστω οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ στις οποίες προσπίπτει η ΒΕ κάνοντας ίσες τις γωνίες ΑΒΔ και ΓΔΕ. Αν οι ΑΒ και ΓΔ τέμνονταν, τότε η γωνία ΓΔΕ ως εξωτερική θα ήταν μεγαλύτερη από την απέναντι και εσωτερική ΑΒΔ. Αναγκαία λοιπόν, αν τέμνονται, ούτε οι γωνίες Β Δ Ε θα παραμένουν ίσες, αλλά σε κάθε περίπτωση η γωνία στο Δ θα αυξάνεται. Διότι, θεωρώντας την ΑΒ ακίνητη και την ΓΔ κινούμενη προς αυτήν για να την συναντήσει, θα κάνεις μεγαλύτερη την απόκλιση της γωνίας ΓΔΕ, επειδή όσο προσεγγίζει η ΓΔ την ΑΒ τόσο περισσότερο αποκλίνει από την ΔΕ.
  • 25.
    Είτε θεωρώντας τηνΓΔ ακίνητη και την ΑΒ κινούμενη προς αυτήν, ελαττώνεις τη γωνία ΑΒΔ, διότι η ΑΒ κινείται συγχρόνως προς την ΓΔ και τη ΒΔ. Είτε ακόμη θεωρώντας αμφότερες να κινούνται η μια προς την άλλη, θα διαπιστώσεις τη μεν ΑΒ να φέρεται προς τη ΒΔ και να συστέλλει τη γωνία της, τη δε ΓΔ καθώς κινείται προς την ΑΒ να αποκλίνει από την ΔΕ και να αυξάνει τη γωνία ΓΔΕ. Αναγκαία λοιπόν, όταν δημιουργείται τρίγωνο και οι ΑΒ και ΓΔ τέμνονται, η εξωτερική γωνία θα είναι μεγαλύτερη από την απέναντι εσωτερική. Διότι όταν η εσωτερική γωνία παραμένει αμετάβλητη η εξωτερική αυξάνεται, όταν η εξωτερική παραμένει αμετάβλητη η εσωτερική μειώνεται και τέλος, όταν και οι δύο μεταβάλλονται τότε η εσωτερική συστέλλεται και η εξωτερική διαστέλλεται. Η αιτία αυτών των μεταβολών είναι η κίνηση των ευθειών, η μια συγκλίνοντας προς την πλευρά που σχηματίζει την εσωτερική γωνία, η δε άλλη αποκλίνοντας από την πλευρά που σχηματίζει την εξωτερική γωνία. Και έχεις εκ τούτων συλλογίζεσθαι, πώς αι γενέσεις των πραγμάτων υπ’ όψιν ημίν τας αληθινάς άγουσι των ζητουμένων αιτίας…
  • 26.
    Παντὸ ς τριγώνου αἱ δύ ο γωνί αι δύ ο ὀ ρθῶ ν ἐ λά σσονέ ς εἰ σι πά ντῃ μεταλαμβανό μεναι. Η απόδειξη του στοιχειωτή ακολουθεί ένα φανερό δρόμο επειδή χρησιμοποιεί το προηγούμενο θεώρημα. Αλλά για να ανακαλύψουμε την αιτία Α Γ της συγκεκριμένης ιδιότητας πρέπει και εδώ, όπως κάναμε στο προηγούμενο θεώρημα, να εξετάσουμε την κατασκευή των τριγώνων. Έστω λοιπόν τα τμήματα ΑΒ, ΓΔ κάθετα προς την ευθεία ΒΔ. Για να υπάρξει τρίγωνο πρέπει τα Β Δ ΑΒ και ΓΔ να συγκλίνουν το ένα προς το άλλο. Αυτή η σύγκλιση όμως ελαττώνει τις εσωτερικές γωνίες, έτσι ώστε να γίνονται μικρότερες από Α Γ δύο ορθές, διότι ήταν ορθές πριν από τη σύγκλιση. Ομοίως αν θεωρήσουμε τα ΑΓ, ΒΔ κάθετα στην ΑΒ θα συμβούν τα ίδια κατά τη σύγκλιση των ευθειών και θα γίνουν οι γωνίες οι προσκείμενες Β Δ στην ΑΒ μικρότερες από δύο ορθές. Το ίδιο και για την τρίτη πλευρά.
  • 27.
    Αυτή λοιπόν είναιη αιτία, και όχι το γεγονός ότι η εξωτερική γωνία είναι μεγαλύτερη από κάθε απέναντι εσωτερική γωνία. Διότι δεν είναι αναγκαίο να προεκτείνουμε την πλευρά, ούτε να κατασκευάσουμε εξωτερική γωνία. Αναγκαίο όμως είναι ότι δύο οποιεσδήποτε εσωτερικές γωνίες είναι μικρότερες από δύο ορθές. Πώς λοιπόν μπορεί το μη αναγκαίο να είναι η αιτία του αναγκαίου; Αλλά όπως είπα, το αίτιο είναι αυτό που δηλώθηκε, η σύγκλιση των ευθειών προς τη βάση η οποία ελαττώνει τις ορθές. Επειδή ο στοιχειωτής έχει αποδείξει το ζητούμενο με τη βοήθεια της εξωτερικής γωνίας, θα επαληθεύσουμε το ίδιο αποτέλεσμα χωρίς να προεκτείνουμε καμιά πλευρά. A B Γ Δ
  • 28.
    Τα σχόλια τουΠρόκλου στην Πρόταση Ι 32 Παντὸ ς τριγώ νου μιᾶ ς τῶ ν πλευρῶ ν προσεκβληθεί σης ἡ ἐ κτὸ ς γωνί α δυσὶ ταῖ ς ἐ ντὸ ς καὶ ἀ πεναντί ον ἴ ση ἐ στί ν, καὶ αἱ ἐ ντὸ ς τοῦ τριγώ νου τρεῖ ς γωνί αι δυσὶ ν ὀ ρθαῖ ς ἴ σαι εἰ σί ν. Ό,τι έλειπε από το 16ο και το 17ο θεώρημα προστίθεται με το 32ο. Διότι μαθαίνουμε τώρα, όχι μόνο ότι η εξωτερική γωνία του τριγώνου είναι μεγαλύτερη καθεμιάς των απέναντι εσωτερικών γωνιών, αλλά και πόσο μεγαλύτερη. Διότι, αφού ισούται με το άθροισμά τους, είναι μεγαλύτερη καθεμιάς κατά το μέτρο της άλλης. Επίσης μαθαίνουμε, όχι μόνο ότι δύο οποιεσδήποτε γωνίες του τριγώνου έχουν άθροισμα μικρότερο των δύο ορθών, αλλά και πόσο μικρότερο, δηλαδή κατά το μέτρο της τρίτης γωνίας.
  • 29.
    Εκείνα λοιπόν ταθεωρήματα ήταν κάπως αόριστα ενώ τούτο τα δίνει μια επιστημονική πληρότητα. Και βέβαια δεν πρέπει εξ’ αυτού να θεωρήσουμε ότι τα προηγούμενα ήταν περιττά, διότι αφενός μας βοήθησαν σε πολλές αποδείξεις όπως του παρόντος, και αφετέρου δείχνουν ότι, καθώς η γνώση μας προχωρεί από το ατελές προς το τέλειο, θα μεταβαίνει αναγκαστικά από τις αόριστες διαισθήσεις στις οριστικές και αναμφισβήτητες διαπιστώσεις. Αλλά ο στοιχειωτής απέδειξε τα ζητούμενα φέρνοντας την παράλληλη στο εξωτερικό του τριγώνου. Είναι όμως δυνατό να τα αποδείξουμε χωρίς να την φέρουμε εξωτερικά, αλλάζοντας μόνο τη σειρά των αποδεικνυομένων. Διότι αυτός προηγουμένως έδειξε ότι η εκτός γωνία είναι ίση με τις δύο εντός και απέναντι, και από αυτό έδειξε το υπόλοιπο. Εμείς όμως θα ακολουθήσουμε την αντίστροφη πορεία.
  • 30.
    Στοιχεία Εὐ κλείδουα΄, Ἔ στω γὰ ρ τρί γωνον τὸ ΑΒΓ· λέ γω, ὅ τι Πρότασις κ΄ τοῦ ΑΒΓ τριγώ νου αἱ δύ ο πλευραὶ τῆ ς λοιπῆ ς μεί ζονέ ς εἰ σι πά ντῃ μεταλαμβανό μεναι, αἱ μὲ ν ΒΑ, ΑΓ τῆ ς ΒΓ, Παντὸ ς τριγώ νου αἱ αἱ δὲ ΑΒ, ΒΓ τῆ ς ΑΓ, αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆ ς ΑΒ. δύ ο πλευραὶ τῆ ς Διή χθω γὰ ρ ἡ ΒΑ ἐ πὶ τὸ Δ σημεῖ ον, καὶ λοιπῆ ς μεί ζονέ ς εἰ σι κεί σθω τῇ ΓΑ ἴ ση ἡ ΑΔ, καὶ ἐ πεζεύ χθω ἡ πά ντῃ ΔΓ. Ἐ πεὶ οὖ ν ἴ ση ἐ στὶ ν ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ, ἴ ση μεταλαμβανό μεναι. ἐ στὶ καὶ γωνί α ἡ ὑ πὸ ΑΔΓ τῇ ὑ πὸ ΑΓΔ· μεί ζων ἄ ρα ἡ ὑ πὸ ΒΓΔ τῆ ς ὑ πὸ ΑΔΓ· καὶ ἐ πεὶ τρί γωνό ν ἐ στι τὸ ΔΓΒ μεί ζονα ἔ χον τὴ ν ὑ πὸ ΒΓΔ γωνί αν τῆ ς ὑ πὸ ΒΔΓ, ὑ πὸ δὲ τὴ ν μεί ζονα γωνί αν ἡ μεί ζων πλευρὰ ὑ ποτεί νει, ἡ ΔΒ ἄ ρα τῆ ς ΒΓ ἐ στι μεί ζων. ἴ ση δὲ ἡ ΔΑ τῇ ΑΓ· μεί ζονες ἄ ρα αἱ ΒΑ, ΑΓ τῆ ς ΒΓ· ὁ μοί ως δὴ δεί ξομεν, ὅ τι καὶ αἱ μὲ ν ΑΒ, ΒΓ τῆ ς ΓΑ μεί ζονέ ς εἰ σιν, αἱ δὲ ΒΓ, ΓΑ τῆ ς ΑΒ. Παντὸ ς ἄ ρα τριγώ νου αἱ δύ ο πλευραὶ τῆ ς λοιπῆ ς μεί ζονέ ς εἰ σι πά ντῃ μεταλαμβανό μεναι· ὅ περ ἔ δει δεῖ ξαι.
  • 32.
    Τα σχόλια τουΠρόκλου στην Πρόταση Ι 20 Παντὸ ς τριγώ νου αἱ δύ ο πλευραὶ τῆ ς λοιπῆ ς μεί ζονέ ς εἰ σι πά ντῃ μεταλαμβανό μεναι. Οι Επικούρειοι συνηθίζουν να διασύρουν αυτό το θεώρημα, λέγοντας ότι είναι προφανές ακόμη και σ’ ένα γάιδαρο και δεν χρειάζεται καμιά απόδειξη. Αποτελεί, λένε, γνώρισμα αυτού που δεν κατέχει επιστημονική γνώση να απαιτεί εξηγήσεις για τα προφανή όσο και να πιστεύει αμέσως τα αβέβαια. Διότι όποιος συγχέει αυτά τα δύο είναι φανερό ότι αγνοεί τι είναι εκείνο που δεν επιδέχεται απόδειξη και τι εκείνο που μπορεί να αποδειχθεί. Αποδεικνύουν δε [οι Επικούρειοι] ότι το προκείμενο θεώρημα το γνωρίζουν ακόμη και οι γάιδαροι από το γεγονός ότι αν τοποθετηθεί σανός στο ένα άκρο των πλευρών, ο γάιδαρος που αναζητά τροφή θα διασχίσει τη μια πλευρά και όχι τις άλλες δύο. Σε αυτά πρέπει να απαντήσουμε ότι αν και το θεώρημα είναι φανερό στις αισθήσεις, δεν είναι εν τούτοις φανερό στην επιστημονική σκέψη.
  • 33.
    Διότι πολλά πράγματαέχουν αυτό το γνώρισμα, όπως π.χ. ότι η φωτιά θερμαίνει. Και αυτό είναι φανερό στις αισθήσεις, αλλά έργο της επιστήμης είναι να διαπιστώσει πώς θερμαίνει. Μέσω μιας ασώματης δύναμης ή με φυσικά μέρη, όπως σφαιρικά ή πυραμιδοειδή μόρια; Επίσης είναι φανερό στις αισθήσεις ότι κινούμαστε, αλλά είναι δύσκολο στο λογισμό να εξηγήσει πώς κινούμαστε. Κατά αμερές ή κατά διάστημα, και στην περίπτωση αυτή πώς είναι δυνατόν να διανύσουμε άπειρα διαστήματα, αφού κάθε μέγεθος είναι διαιρετό επ’ άπειρον; Έτσι και για το τρίγωνο, έστω ότι είναι ολοφάνερο στις αισθήσεις ότι οι δύο πλευρές είναι μεγαλύτερες της άλλης. Είναι όμως έργο της επιστήμης να πει πώς γίνεται αυτό. Αυτά είναι αρκετά ως απάντηση στους Επικούρειους. Πρέπει τώρα να εκθέσουμε με συντομία και τις άλλες αποδείξεις αυτού του θεωρήματος, όσες έχουν κατασκευάσει οι συνεργάτες του Ήρωνα και του Πορφύριου χωρίς να προεκτείνουν την ευθεία όπως έχει κάνει ο στοιχειωτής.
  • 34.
    Ένας νομικός περιγράφειτην ουσία των Μαθηματικών Ακόμη και οι υποστηρικτές μιας ολιστικής άποψης για την επιστήμη οφείλουν να παραδεχθούν ότι για πολλούς λόγους τα Μαθηματικά είναι η αδιαμφισβήτητη μητέρα της σύγχρονης επιστήμης. Στην ουσία πρόκειται για την ικανότητά μας να οργανώνουμε και να εστιάζουμε τη σκέψη μας, να αντιλαμβανόμαστε νοητικές σχέσεις και να κατανοούμε τον απείρως πολύπλοκο κόσμο στον οποίο ζούμε.
  • 35.
    Δεν είναι συμπτωματικότο γεγονός ότι η αρχαία ελληνική φιλοσοφία αναπτύχθηκε χέρι – χέρι με τα Μαθηματικά, βασισμένη στη Σωκρατική σοφία ότι η μεγαλύτερη πρόκληση για την ανθρώπινη νόηση δεν είναι η απόκτηση καινούργιας γνώσης, αλλά η κατανόηση των σχέσεων μεταξύ όσων ήδη ξέρουμε ή ανακαλύπτουμε και των συνεπειών τους. Αυτή η οπτική είναι τεράστιας σημασίας, ακόμη και για τομείς στους οποίους δεν χρησιμοποιούνται μαθηματικά μοντέλα, όπως ο δικός μου: η Νομική. J.F. Bernt, Πρόεδρος της Νορβηγικής Ακαδημίας Γραμμάτων και Επιστημών: Ομιλία κατά την απονομή του βραβείου Abel στον Srinivasan Varadhan (2007) Το Φι, τεύχος 4 σ.284.