65

1. Практична робота № 1 (Класичний метод)
Тема заняття : класичний метод визначення екстремуму функції.
Розглянемо метод пошуку екстремуму функції на прикладах.
Приклад 1: optyxyxyxyxF  12162425),(
Розв’язок:
Цей метод може бути використанийдля пошуку екстремуму функції оскільки
функція має першу і другупохідні відносно змінних і немає обмежень.
1. Знайдемо стаціонарні точки:












;01224
;016410
yx
y
F
yx
x
F
Розв’язкоюсистемирівнянь є точка з координатами
( , ) ( 4,14)x y    .
2. Матриця других похідних має вигляд:


































24
410
2
22
2
2
2
y
F
yx
F
yx
F
x
F
F
3. Перевіримо кутові мінори: .0444210,010 21  MM
4.За критерієм Сильвестраматриця є додатною, тоді точка ( , )x y  - є точкою
строгоголокального мінімуму.
Вона буде також точкоюстрогого глобальногомінімуму, оскільки функція
F(x,y) нескінченно зростаючана
2
R .
5. F ( , )x y  =-52.
Приклад 2. optyxexxeyxF  cos)1(),(

2. Розв’язок:
Знайдемо стаціонарні точки:












;0sin)1(
;0cos
yxe
y
F
yxexxexe
x
F
Розв`яжемо систему:
(1 cos ) 0
,
(1 )sin 0
x
x
e x y
e y
   

  . .т к
1 0
0
x
x
e
e
 

2 ,
01 cos 0
sin 0 2 ,
2
y n n Z
xx y
y y k k Z
x

 
  

        

 
Отже, точками, які задовольняють системірівнянь, будуть
 (x ,y ) (0;2 );( 2; 2 ) , .n k n k Z       
Матриця другихпохідних має вигляд:











yxeyxe
yxeyxexxexe
F
cos)1(sin
sincos2
Дослідимо першу групу точок:







20
01
)2;0( nF 
Перевіримо кутові мінори: М1=1>0, M2=1∙2-0∙0>0. За критерієм Сильвестра
отримуємо, що матриця других похідних в точці Znn ),2;0(  , додатньо
визначена. Отже, в цій точці маємо строгийлокальний мінімум.
Знайдемо значення функції F(x,y) в точці 2)2;0( nF  . Ця точка буде точкою
глобального мінімуму задачі, оскільки

3. ( , ) (1 )cos 1 ( 1) 1 ( )x x x x x
F x y xe e y xe e e x f x         
Дослідимо останню функцію однієї змінної на екстремум:
( ) 0x x x x
f x xe e e xe      ,
отже, оскільки 0x
e  , то 0x  - точкаїї екстремуму. Значення функції
(0) 2f   .
Це точка мінімуму ( )f x , так як ( ) ( 1)x x x
f x xe e e x    і (0) 1 0f    .
Дослідимо другу групу точок:











210
02
)2;2(
e
e
kF 
Перевіримо кутові мінори М1= e-2>0, М2= -e-2 (1+e-2)<0.
Отже, матриця других похідних в цій точцізнаконевизначена. Тому точка
Zkk  ),2;2(  не є точкою екстремуму.