Diferentsialni rivnyannya drugogo_poryadku

2. Диференціальні рівняння —
розділ математики, який вивчає
теорію та способи розв'язування
рівнянь, що містять шукану функцію
та її похідні різних порядків одного
аргументу (звичайні диференціальні)
чи кількох аргументів (диференціальні
рівняння в частинних похідних).
Диференціальні рівняння широко
використовуються на практиці,
зокрема для опису перехідних процесів.

3. Диференціальним рівнянням другого порядку
називається рівняння виду .
В його загальний розв’язок
входять дві довільні сталі величини .
Початкові умови диференціального рівняння
другого порядку мають такий вигляд :
Геометрично це означає, що із сімейства
двопараметричних кривих, що визначають
загальний розв’язок диференціального рівняння ,
виділяється та крива, що проходить через дану
точку і має в ній заданий напрям (напрям кривої
визначається кутом нахилу її дотичної в даній
точці).

5. Диференціальне рівняння другого
порядку типу y″=f(x)
розв’язується переходом до
диференціального рівняння першого
порядку" таким чином:

6. Для розв’язування рівняння виду
y″=f(y) використовується очевидна
рівність
Тоді:

7. Рівняння виду y″=f(y′) розв’язується
за допомогою підстановки y′=z, тоді
y″=z′.
Тому
З останнього рівняння знаходять
z=y′, а потім інтегруванням
обчислюють y.

9. Означення.
Лінійним диференціальним
рівнянням другого порядку називається
рівняння виду y′+p(x)y′+q(x)y=f(x), тобто
лінійне рівняння (першого степеня)
відносно шуканої функції і її похідних. Це
рівняння називається однорідним або
без правої частини, якщо f(x)=0. В
протилежному випадку воно
називається неоднорідним.

10. Теорема. Якщо y1 і y2 – два розв’язки
лінійного однорідного диференціального
рівняння y″+p(x)y′+q(x)y=0 другого
порядку ,причому
(тобто розв’язки
є лінійно незалежними ), то функція
є загальним розв’язком цього рівняння.

12. Нехай дано лінійне неоднорідне
диференціальне рівняння
y″+p(x)y′+q(x)y=f(x).
Супровідним рівнянням
диференціального рівняння
називається лінійне однорідне
диференціальне рівняння з тією ж
лівою частиною, тобто рівняння
y ″+p(x)y′+q(x)y=0.

13. Теорема. Якщо y0 – деякий
частинний розв’язок
диференціального рівняння ,
а Y- загальний розв’язок його
супровідного рівняння, то їх
сума y =Y + y0 є загальним
розв’язком даного
диференціального рівняння.

14. Диференціальне рівняння — це
рівняння, в якому невідомою
величиною є деяка функція. При
цьому, в самому рівнянні бере
участь не тільки невідома функція,
але й різні її похідні.
Диференціальним рівнянням
описується зв'язок між невідомою
функцією та її похідними.