1. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Η Γθ περιςτρζφεται γφρω από τον άξονά τθσ
με ςτακερι περίοδο. Αν τοποκετιςουμε ςτο
Βόρειο Πόλο μία φωτογραφικι μθχανι, αυτι
ςτθ διάρκεια τθσ νφχτασ κα φωτογραφίςει τισ
τροχιζσ των άςτρων. Όπωσ φαίνεται ςτθ
φωτογραφία, τα άςτρα φαίνεται να κάνουν
κυκλικι κίνθςθ.
Το αυτοκίνθτο κινείται ςτθν
κυκλικι πλατεία με ςτακερι
ταχφτθτα.

2. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Ομαλι χαρακτθρίηεται θ κυκλικι κίνθςθ ενόσ κινθτοφ,
όταν θ τιμι τθσ ταχφτθτάσ του παραμζνει ςτακερι.
Ο χρόνοσ που χρειάηεται το κινθτό για να κάνει μία
περιφορά, λζγεται περίοδοσ τθσ κυκλικισ κίνθςθσ και
ςυμβολίηεται με Τ.
Ο αρικμόσ των περιφορϊν που εκτελεί το κινθτό ςτθ
μονάδα του χρόνου λζγεται ςυχνότθτα τθσ κυκλικισ
κίνθςθσ και ςυμβολίηεται με f.
Από τον οριςμό τθσ ςυχνότθτασ προκφπτει ότι θ περίοδοσ και θ ςυχνότθτα
ςυνδζονται με τθ ςχζςθ:
Μονάδα τθσ ςυχνότθτασ είναι ο κφκλοσ ανά δευτερόλεπτο (c/s) που λζγεται 1Hz (Χερτη)
προσ τιμι του φυςικοφ Hertz που κεωρείται ζνασ από τουσ πρωτοπόρουσ ςτθ μελζτθ των
θλεκτρομαγνθτικϊν κυμάτων.
Πολλαπλάςια τθσ μονάδασ αυτισ είναι:
1kHz = 103Hz, 1MHz = 106Ηz, 1GHz = 109Ηz.

3. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Γραμμικι ταχφτθτα
Σφμφωνα με τον οριςμό τθσ ομαλισ κυκλικισ
κίνθςθσ θ τιμι τθσ ταχφτθτασ του κινθτοφ
παραμζνει ςτακερι, ενϊ θ κατεφκυνςι τθσ
μεταβάλλεται ςυνεχώσ, επειδι κάκε ςτιγμι
είναι εφαπτόμενθ ςτθν τροχιά.
Άρα τα διανυόμενα τόξα είναι ανάλογα των
χρόνων ςτουσ οποίουσ διανφονται.
Επομζνωσ το μζτρο τθσ ταχφτθτάσ του, που ονομάηεται γραμμικι ταχφτθτα κα είναι:

4. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Ασ υποκζςουμε ότι τθ χρονικι ςτιγμι t = 0 το
κινθτό βρίςκεται ςτθ κζςθ Α και μετά από χρόνο
Δt, κινοφμενο με γραμμικι ταχφτθτα υ, βρίςκεται
ςτθ κζςθ Β, ζχοντασ διανφςει το τόξο Δs. Η κζςθ
του κινθτοφ πάνω ςτθν τροχιά του μπορεί να
προςδιοριςκεί, κάκε ςτιγμι, με δφο τρόπουσ :
1) Με τθ μζτρθςθ του μικουσ του τόξου ΑΒ (Δs = υ·Δt).
2) Με τθ μζτρθςθ τθσ γωνίασ AÔB (AÔB = Δκ) τθν οποία
διαγράφει μία ακτίνα, που κεωροφμε ότι ςυνδζει κάκε ςτιγμι το
κινθτό με το κζντρο τθσ τροχιάσ του (επιβατικι ακτίνα). Ζτςι όταν
το κινθτό κα ζχει “διανφςει” τόξο μικουσ Δs θ επιβατικι ακτίνα
κα ζχει “διαγράψει” επίκεντρθ γωνία Δκ.
Γραμμικι ταχφτθτα

5. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Γωνιακι ταχφτθτα
Ζςτω τρία ςθμεία A, Β και Γ του δίςκου που
βρίςκονται πάνω ςτθν ίδια ακτίνα.
Σε ζνα μικρό χρονικό διάςτθμα, τα τρία ςθμεία
βρίςκονται ςτισ κζςεισ A′, Β′ και Γ′ αντίςτοιχα και ζχουν
διαγράψει τθν ίδια γωνία κ.
Ωςτόςο, τα μικθ των αντίςτοιχων τόξων ΑΑ′, ΒΒ′, ΓΓ′
είναι διαφορετικά μεταξφ τουσ, γεγονόσ που ςθμαίνει
ότι οι γραμμικζσ ταχφτθτεσ των ςθμείων Α, Β, Γ,
διαφζρουν
Στθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ λοιπόν, εκτόσ από τθν ταχφτθτα (γραμμικι) που
δίνει το ρυκμό με τον οποίο διανφει το κινθτό διαςτιματα, χρειαηόμαςτε και
ζνα άλλο μζγεκοσ που να δείχνει με τι ρυκμό θ επιβατικι ακτίνα διαγράφει
γωνίεσ.
Γι' αυτό ορίηουμε ζνα νζο φυςικό μζγεκοσ που λζγεται γωνιακι ταχφτθτα και
ςυμβολίηεται με ω.

6. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Γωνιακι ταχφτθτα
• Η τιμι είναι ίςθ με το ςτακερό πθλίκο τθσ γωνίασ κ που
διαγράφθκε από τθν επιβατικι ακτίνα ςε χρονικό
διάςτθμα t διά του αντίςτοιχου χρονικοφ διαςτιματοσ.
Γωνιακι ταχφτθτα ςτθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ ενόσ
κινθτοφ, ονομάηουμε ζνα διανυςματικό μζγεκοσ του
οποίου:
• Η διεφκυνςθ είναι κάκετθ ςτο επίπεδο τθσ τροχιάσ.
• Η φορά κακορίηεται με τον κανόνα του δεξιοφ χεριοφ όπωσ ςτθν εικόνα.
Το διάνυςμα ζχει τθ φορά, του αντίχειρα του δεξιοφ χεριοφ όταν θ φορά
περιςτροφισ του κινθτοφ ςυμπίπτει με τθ φορά των υπόλοιπων δακτφλων.

7. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Γωνιακι ταχφτθτα
Ωσ μονάδα γωνιακισ ταχφτθτασ χρθςιμοποιοφμε το ακτίνιο ανά
δευτερόλεπτο (1rad/s)

8. Σχζςθ μεταξφ τθσ γραμμικισ και τθσ γωνιακισ ταχφτθτασ
1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Η ςχζςθ αυτι ςυνδζει τθ γραμμικι ταχφτθτα με τθ γωνιακι και με τθν ακτίνα
τθσ τροχιάσ.
Φαίνεται απ' αυτιν πωσ όλα τα ςθμεία ενόσ περιςτρεφόμενου δίςκου, ενϊ
ζχουν τθν ίδια γωνιακι ταχφτθτα (ω), ζχουν γραμμικζσ ταχφτθτεσ (υ) θ τιμι
των οποίων είναι ανάλογθ με τθν απόςταςι τουσ από τον άξονα (κζντρο)
περιςτροφισ.

9. 1.2. Ομαλι κυκλικι κίνθςθ
Κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ
Στθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ θ τιμι τθσ
ταχφτθτασ είναι ςτακερι, όμωσ θ
διεφκυνςθ και θ φορά αλλάηουν ςυνεχϊσ.
Άρα το διάνυςμα τθσ ταχφτθτασ αλλάηει
με αποτζλεςμα να εμφανίηεται
επιτάχυνςθ που ζχει κατεφκυνςθ προσ το
κζντρο τθσ κυκλικισ τροχιάσ και λζγεται
κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ ακ.

10. 1.3. Κεντρομόλοσ δφναμθ
Οι κυκλικζσ και γενικά οι καμπυλόγραμμεσ κινιςεισ είναι μία μεγάλθ κατθγορία κινιςεων.
Ζχετε αναρωτθκεί ποιο είναι το αίτιό τουσ;
Ποια είναι παραδείγματοσ χάρθ θ αιτία που κρατά ςε τροχιά ζνα τεχνθτό δορυφόρο γφρω
από τθν Γθ;
Για ποιο λόγο θ Τροχαία βάηει όριο ταχφτθτασ ςτισ ςτροφζσ;

11. 1.3. Κεντρομόλοσ δφναμθ
Οι δφο πρώτοι νόμοι του Νεφτωνα μασ επιτρζπουν να περιγράφουμε τθν κίνθςθ που κάνει
ζνα ςϊμα όταν γνωρίηουμε τθ ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων που ενεργοφν ς' αυτό, τθν αρχικι
κζςθ του κακώσ και τθν αρχικι του ταχφτθτα.
Ζτςι αν ςε ζνα ςώμα δεν αςκοφνται δυνάμεισ, ι αν αςκοφνται και ζχουν ςυνιςταμζνθ μθδζν,
τότε ςφμφωνα με τον πρϊτο νόμο του Νεφτωνα αυτό κα θρεμεί ι κα κινείται με κίνθςθ
ευκφγραμμθ ομαλι.
Αν θ ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων που αςκοφνται ςε ζνα ςϊμα δεν είναι μθδζν, τότε ςφμφωνα
με το δεφτερο νόμο του Νεφτωνα αυτό ζχει επιτάχυνςθ α ομόρροπθ τθσ δφναμθσ, που
προςδιορίηεται από τθ ςχζςθ F= mα, όπου m είναι θ μάηα του ςϊματοσ.
Ασ κεωριςουμε τθν περίπτωςθ που ζνα ςϊμα εκτελεί
κυκλικι κίνθςθ με ταχφτθτα ςτακερισ τιμισ.
Επειδι θ κατεφκυνςθ τθσ ταχφτθτασ ςυνεχώσ μεταβάλλεται,
άρα υπάρχει επιτάχυνςθ (κεντρομόλοσ) και ςφμφωνα με το
δεφτερο νόμο του Νεφτωνα ςτο ςώμα αςκείται δφναμθ. Η
δφναμθ αυτι ζχει κατεφκυνςθ προσ το κζντρο τθσ κυκλικισ
τροχιάσ και γι' αυτό λζγεται κεντρομόλοσ δφναμθ

12. 1.3. Κεντρομόλοσ δφναμθ
Η κεντρομόλοσ δφναμθ είναι γενικά θ ςυνιςταμζνθ
των δυνάμεων που αςκοφνται ςτο ςϊμα κατά τθ
διεφκυνςθ τθσ ακτίνασ τθσ κυκλικισ τροχιάσ με
φορά προσ το κζντρο του κφκλου. Δεν πρόκειται
για μία ακόμα δφναμθ πάνω ςτο ςϊμα. Λζμε
ςυνικωσ ότι θ ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων (κατά
τθ διεφκυνςθ τθσ ακτίνασ) παίηει ρόλο
κεντρομόλου δφναμθσ.
‘Όταν ζνα αυτοκίνθτο εκτελεί ομαλι κυκλικι
κίνθςθ ςε ζνα επίπεδο δρόμο, θ κεντρομόλοσ
δφναμθ είναι θ δφναμθ τριβισ.
Η Σελινθ περιφζρεται γφρω από τθ Γθ λόγω τθσ
ελκτικισ δφναμθσ που δζχεται από αυτι. Η
δφναμθ αυτι παίηει τότε το ρόλο τθσ κεντρομόλου
δφναμθσ.
Τα θλεκτρόνια περιφζρονται γφρω από τον
πυρινα του ατόμου λόγω τθσ θλεκτρικισ δφναμθσ
Coulomb, που παίηει το ρόλο τθσ κεντρομόλου
δφναμθσ

13. 1.3. Κεντρομόλοσ δφναμθ
Γενικά κάκε δφναμθ που αναγκάηει ζνα ςώμα να
εκτελεί ομαλι κυκλικι κίνθςθ λζγεται
κεντρομόλοσ δφναμθ.
Η κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ ζχει τθν ίδια
κατεφκυνςθ με τθν κεντρομόλο δφναμθ.
Όπωσ είδαμε, θ τιμι τθσ κεντρομόλου επιτάχυνςθσ
δίνεται από τθ ςχζςθ:
ακ = υ2/R
όπου υ είναι το μζτρο τθσ ταχφτθτασ και R θ ακτίνα
τθσ κυκλικισ τροχιάσ.
Ζτςι θ τιμι τθσ κεντρομόλου δφναμθσ δίνεται από
τθ ςχζςθ:
F = m·υ2/R