Downloaded 13 times
![ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
15
24. Σώµα δεµένο ανάµεσα σε δυο ελατήρια και τριβή
Το σώµα Σ του σχήµατος, µάζας m=1Kg ισορροπεί οριακά πάνω σε οριζόντιο τραπέζι
δεµένο σε δυο οριζόντια ελατήρια µε σταθερές Κ1=40Ν/m και Κ2=10Ν/m, (αν
αποµακρύνουµε ελάχιστα το σώµα προς τα δεξιά αυτό αρχίζει να ολισθαίνει). Το
ελατήριο Κ1 είναι επιµηκυµένο
κατά x1=12 cm από τη θέση
φυσικού του µήκους ενώ το
ελατήριο Κ2 είναι επιµηκυµένο
κατά x2=28cm από τη θέση
φυσικού του µήκους. Τότε:
α) Να υπολογίσετε το
συντελεστή στατικής τριβής που
εδώ θεωρούµε πως είναι ίσος µε
το συντελεστή τριβής ολίσθησης.
β) Εξασκούµε στο σώµα µια οριζόντια δύναµη F και το µετατοπίζουµε µε σταθερή
ταχύτητα, κατά x=3cm προς τα δεξιά από την αρχική θέση ισορροπίας του. Να
υπολογίσετε το έργο της δύναµης F.
γ) Αφήνουµε στη συνέχεια το σώµα ελεύθερο. Να υπολογίσετε την ταχύτητά του όταν
περνά από την αρχική θέση ισορροπίας του.
δ) Που θα ισορροπήσει τελικά το σώµα; Ποια είναι τότε η τιµή της στατικής τριβής
µεταξύ του Σ και του τραπεζιού; ∆ίνεται g=10m/s2
.
25. Απλή αρµονική παλινδροµική κίνηση.
Υλικό σηµείο πραγµατοποιεί
στον άξονα x΄x την
παλινδροµική αρµονική
κίνηση που περιγράφεται
από την εξίσωση
x=5ηµ[2π(1+12t)t] (S.I).
α) Ποια χρονική στιγµή η αποµάκρυνση του σώµατος γίνεται µέγιστη για 1η
φορά;
β) Σε πόσο χρόνο η αποµάκρυνση του σώµατος γίνεται για πρώτη φορά x=
5 3
2
m ενώ
η ταχύτητα είναι αρνητική;
γ) Σε πόσο χρόνο πραγµατοποιεί 1 «ταλάντωση»;
δ) Πόσες φορές επαναλαµβάνεται η κίνηση του σώµατος (υλικού σηµείου) σε χρόνο
t=1 s; Να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση x(t) για 0≤t≤1s.
Θ.I
Σ
K
x
2KK1
1 x
1
2
Θ Φ.. Μ Θ Φ.. Μ2](https://image.slidesharecdn.com/mixail11-new-ekfon-190104113113/85/Mixail-oscillations-15-320.jpg)
![ΤΟ ∆++
ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Μιχαήλ Π. Μιχαήλ
25
µάζας m, γίνεται x=5⋅10-2
⋅ηµ(10t+θ), µε εφθ=
3
4
. Ποια είναι η εξίσωση ταλάντωσης της
οριζόντιας επιφάνειας;
43. Σύνθεση ταλαντώσεων
Σώµα Σ πραγµατοποιεί α.α.τ µε εξίσωση, x1=0,4⋅ηµ(10t+
5π
12
)⋅συν(10t+
5π
12
) (S.I),
γύρω από τη θέση ισορροπίας του.
Τη χρονική στιγµή t=0 το Σ αρχίζει να πραγµατοποιεί και µια εξαναγκασµένη
ταλάντωση στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας µε εξίσωση:
x2=0,2⋅[συν2
(10t+
5π
12
)- ηµ2
(10t+
5π
12
)] (S.I).
Πως µεταβάλλεται µε το χρόνο η επιτάχυνση του Σ1;
44. ∆ιακρότηµα
Ένα σώµα πραγµατοποιεί ταυτόχρονα δυο Α.Α.Τ που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και
γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας µε το ίδιο πλάτος Α και µε συχνότητες ω1 και ω2,
µε ω1>ω2. Το διακρότηµα που παράγεται έχει µέγιστο πλάτος 10cm και περίοδο Tδ=1s.
Αν από ένα µηδενισµό του διακροτήµατος µέχρι και τον επόµενο έχουµε 5 πλήρεις
ταλαντώσεις τότε:
α) Να γράψετε τις εξισώσεις των δυο επιµέρους Α.Α.Τ
β) Να γράψετε την εξίσωση της συνισταµένης κίνησης που πραγµατοποιεί το σώµα.
γ) Να γράψετε την εξίσωση του πλάτους της συνισταµένης κίνησης που πραγµατοποιεί
το σώµα και να γίνει η γραφική παράσταση του πλάτους σε συνάρτηση µε το χρόνο t.
δ) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο.
45. ∆ιακρότηµα µε αρχική φάση
Ένα σώµα πραγµατοποιεί ταυτόχρονα δυο α.α.τ ίδιου πλάτους, γύρω από το ίδιο σηµείο
στην ίδια διεύθυνση και µε συχνότητες που διαφέρουν λίγο µεταξύ τους µε εξισώσεις
x1=A⋅ηµ(ω1t+φ0) και x2=A⋅ηµω2t, τότε:
α) να γράψετε την εξίσωση της συνισταµένης κίνησης,
β) να δείξετε ότι η αυθαίρετη αρχική φάση φ0 αλλάζει τις χρονικές στιγµές που
µεγιστοποιείται το πλάτος του διακροτήµατος , όµως ο χρόνος µεταξύ δυο διαδοχικών
µεγιστοποιήσεων του πλάτους του διακροτήµατος παραµένει σταθερός.](https://image.slidesharecdn.com/mixail11-new-ekfon-190104113113/85/Mixail-oscillations-25-320.jpg)
Mixail oscillations
- 1. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση 1. Ταλάντωση και δύναµη Ένα σώµα µάζας m=1Kg ισορροπεί δεµένο πάνω σε κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=400Ν/m. Τη χρονική στιγµή t=0 εξασκούµε στο σώµα µια σταθερή κατακόρυφη δύναµη F=90N µε φορά προς τα κάτω όπως φαίνεται στο σχήµα. α) Να αποδείξετε ότι το σύστηµα πραγµατοποιεί α.α.τ και να υπολογιστεί η ενέργεια της ταλάντωσης. β) Να γράψετε την εξίσωση x(t) της α.α.τ. θεωρήστε την προς τα πάνω φορά θετική. γ) Να υπολογιστεί το έργο της δύναµης F (WF), το έργο του βάρους (Ww) καθώς και το έργο της δύναµης του ελατηρίου (WFελ), σε χρόνο T/4 από τη στιγµή που άρχισε να ασκείται η δύναµη F. δ) Να γίνει η γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης d του σώµατος από τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου σε συνάρτηση µε το χρόνο t. ∆ίνεται g=10m/s2 . 2. Ταλάντωση και νήµα Στο κατακόρυφο ελατήριο του σχήµατος σταθεράς Κ=100N/m, έχουµε δέσει το σώµα µάζας Μ=1Κg ενώ µέσω αβαρούς νήµατος το έχουµε συνδέσει µε τη σφαίρα µάζας m=3Kg. Αποµακρύνουµε το σύστηµα των δυο σωµάτων κατακόρυφα προς τα κάτω κατά Α=0,2m και αφήνουµε το σύστηµα να ταλαντωθεί. α) Να δείξετε ότι το σύστηµα θα πραγµατοποιήσει α.α.τ. β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της τάσης του νήµατος T(x) σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας. Θ.Ι.Τ Θ.Ι. (m) Θ.Φ.Μ
- 2. 2 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της τάσης του νήµατος T(t) σε συνάρτηση µε το χρόνο. Θεωρήστε την προς τα κάτω φορά θετική. δ) Για ποιο πλάτος ταλάντωσης η τάση του νήµατος µηδενίζεται; ε) Αν το όριο θραύσης του νήµατος είναι Τθρ=330Ν, τότε για ποια συχνότητα ταλάντωσης κόβεται το νήµα στη θέση x=0,25m από τη θέση ισορροπίας; Θεωρήστε ότι έχουµε επιλέξει κατάλληλο πλάτος ταλάντωσης. ∆ίνεται g=10m/s2 . 3. Ταλάντωση και νήµα (2) Το ελατήριο του σχήµατος σταθεράς Κ=100Ν/m είναι δεµένο στο άκρο Α νήµατος το άλλο άκρο του οποίου είναι δεµένο σε οροφή στο σηµείο Β. Στο ελεύθερο άκρο του κατακόρυφου ελατηρίου, δένουµε σώµα µάζας m=4Kg και αρχικά το σύστηµα ισορροπεί. Στη συνέχεια επιµηκύνουµε το ελατήριο µαζί µε το σώµα κατακόρυφα κατά d=2cm και το αφήνουµε ελεύθερο να πραγµατοποιήσει α.α.τ. Θεωρούµε την προς τα κάτω φορά θετική. Τότε: α) Πώς µεταβάλλεται η δύναµη T που ασκεί το νήµα στην οροφή σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση x, από τη θέση ισορροπίας και σε συνάρτηση µε ο χρόνο; β) Αν το όριο θραύσης του νήµατος είναι Tθρ=45N, τότε ποιο είναι το µικρότερο πλάτος ταλάντωσης για το οποίο κόβεται το συγκεκριµένο νήµα; γ) Για ποιο πλάτος ταλάντωσης χαλαρώνει το νήµα; Πόσο θα έπρεπε να είναι τότε το όριο θραύσης του; ∆ίνεται g=10m/s2 . 4. Ταλάντωση και νήµα (3) Σε κατακόρυφο αβαρές ελατήριο σταθεράς Κ=100Ν/m ισορροπεί ένα σώµα µάζας m=1Kg το οποίο όµως είναι δεµένο µε το ελατήριο µε αβαρές νήµα µήκους L=0,1m. Συµπιέζουµε το ελατήριο κατακόρυφα προς τα κάτω κατά d=0,2m και αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο να ταλαντωθεί.
- 3. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 3 α) Σε ποια θέση θα αρχίσει το νήµα να ξετυλίγεται; β) Αφού ξετυλιχθεί όλο το νήµα, πόσο επιπλέον θα επιµηκυνθεί το ελατήριο; Πόση θα είναι σε εκείνη τη θέση η τάση του νήµατος; γ) Αν το όριο θραύσης του νήµατος ήταν Tθρ=2Ν, τότε πόσο θα µπορούσε να είναι το πλάτος της ταλάντωσης, ώστε αυτό να µην κοπεί; g=10m/s2 . 5. ∆υο ταλαντώσεις ∆υο µάζες m=1Kg και M=3Kg, συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές νήµα µέσω τροχαλίας αµελητέας µάζας, όπως φαίνεται στο σχήµα. Η µάζα m είναι δεµένη σε ελατήριο σταθεράς Κ1=100Ν/m και το σύστηµα ισορροπεί µε το ελατήριο Κ1 επιµηκυµένο. Αν κάποια στιγµή που τη θεωρούµε αρχή των χρόνων (t0=0s) κόψουµε το νήµα, τότε η µάζα m πραγµατοποιεί απλή αρµονική ταλάντωση και η µάζα Μ αφού ολισθήσει πάνω στο λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=300 και διανύσει απόσταση S=7,5cm, συναντάει στη βάση του ένα στερεωµένο ελατήριο σταθεράς Κ2=300N/m, το οποίο και συσπειρώνει µέγιστα. α) Να βρείτε την εξίσωση της ταλάντωσης που θα πραγµατοποιήσει η m µόλις κόψουµε το νήµα. (Θεωρήστε την προς τα πάνω φορά θετική). m φ S M K1K2
- 4. 4 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ β) Να υπολογίσετε τη µέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου Κ2. γ) Να υπολογίσετε σε πόσο χρόνο µετά από τη στιγµή που κόψαµε το νήµα (t0=0), η µάζα Μ θα σταµατήσει για πρώτη φορά. ∆ίνονται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10m/s2 , 3 =1,7 και 15 π =0,21. 6. Ταλάντωση και «αποχωρισµός» Τα σώµατα Σ1 και Σ2 του σχήµατος µε m1=1Kg και m2=3Kg αντίστοιχα, είναι τοποθετηµένα σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=300 και εφάπτονται µεταξύ τους. Το Σ1 είναι δεµένο στην άκρη του ελατηρίου σταθεράς Κ=100N/m. Αρχικά το σύστηµα ισορροπεί. Μετακινούµε τα σώµατα ώστε το ελατήριο να συσπειρωθεί κατά Α=40cm και στη συνέχεια τα αφήνουµε ελεύθερα. Να βρείτε: α) Πως µεταβάλλεται η δύναµη ανάµεσα στις δυο µάζες, µε το χρόνο και µέχρι να αποχωριστούν τα Σ1 και Σ2, αν για t=0 είναι x=0 και υ>0, β) τη θέση στην οποία θα αποχωριστεί το Σ2 από το Σ1, γ) την ενέργεια της ταλάντωσης που εκτελεί το Σ1 αφού αποχωριστεί από το Σ2, δ) το κλάσµα της κινητικής ενέργειας του Σ2, αµέσως µετά τον αποχωρισµό, προς την αρχική ενέργεια της ταλάντωσης των δυο σωµάτων, ε) την απόσταση µεταξύ των δυο σωµάτων όταν το Σ1 πραγµατοποιήσει µια ταλάντωση µετά τον αποχωρισµό. στ) Αν κολλήσουµε τα δυο σώµατα, µε µια κόλλα, τότε ποια είναι η µέγιστη σταθερή ελκτική δύναµη που πρέπει να ασκεί η κόλλα στα δυο σώµατα ώστε κάποτε να αποχωριστούν; ∆ίνεται π=3,14, π2 =10, 3 =1,7 και g=10m/s2 . Σ Σ1 K 2
- 5. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 5 7. Ταλάντωση και ολίσθηση Τα σώµατα Σ1 και Σ2 του σχήµατος µε µάζες αντίστοιχα, m1= 1Kg και m2=4 Kg αρχικά ισορροπούν. Το Σ1 βρίσκεται πάνω στο Σ2. Το επίπεδο επαφής των δυο σωµάτων είναι οριζόντιο και ο συντελεστής τριβής µεταξύ τους είναι µ=0,5. Το Σ2 βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ακόµη το Σ2 είναι δεµένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=400N/m, όπως φαίνεται στο σχήµα. Κάποια στιγµή και ενώ το σύστηµα των δυο σωµάτων ισορροπεί, δίνουµε αρχική ταχύτητα υ0= π 2 m/s στο Σ1, οπότε και αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στο Σ2. α) Πόσο µετακινείται το Σ1 πάνω στο Σ2 µέχρι να σταµατήσει η ολίσθηση; β) Πόση είναι η κοινή ταχύτητα που αποκτούν τα δύο σώµατα; γ) Πόσο µετακινήθηκε το Σ1 σε σχέση µε το Σ2 µέχρι τη στιγµή αυτή; δ) Πόση είναι η θερµότητα που µεταφέρεται στο περιβάλλον; ε) Τι είδους κίνηση θα ακολουθήσει µετά από τη στιγµή αυτή; ∆ίνεται g=10m/s2 και π2 =10. 8. ∆ύναµη και ταλάντωση Ένα σώµα µάζας m=4Kg ισορροπεί δεµένο σε ελατήριο σταθεράς Κ=400Ν/m πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας φ=300 . Τη χρονική στιγµή t=0 εξασκούµε στο σώµα µια σταθερή δύναµη F=80N µε φορά προς τα πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήµα. α) Να αποδείξετε ότι το σύστηµα πραγµατοποιεί α.α.τ, β) Να γράψετε την εξίσωση x(t) της α.α.τ, καθώς και τη χρονική εξίσωση της δύναµης επαναφοράς ΣF(t). F m)Θ.Ι.( Θ.Φ.Μ K m x1 (+) Θ.Φ.Μ Σ1 0 K υ Σ2
- 6. 6 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ γ) Να γράψετε την εξίσωση d(t) της αποµάκρυνσης d του σώµατος από τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου σε συνάρτηση µε το χρόνο t, καθώς και τη χρονική εξίσωση της δύναµης του ελατηρίου Fελ(t). δ) Να υπολογίσετε το ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας της µάζας m, τη χρονική στιγµή t= π 40 s. Να θεωρήσετε την προς τα πάνω φορά θετική. ∆ίνεται g=10m/s2 . 9. Μεταβλητή δύναµη και ταλάντωση Ένα σώµα µάζας m=4Kg ισορροπεί δεµένο σε ελατήριο σταθεράς Κ=80Ν/m πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας φ=300 . Τη χρονική στιγµή t=0 εξασκούµε στο σώµα µια µεταβλητή δύναµη F=40-20x (S.I) όπου x είναι η αποµάκρυνση από την αρχική θέση ισορροπίας της µάζας m και µε φορά προς τα πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήµα. α) Να αποδείξετε ότι το σύστηµα πραγµατοποιεί α.α.τ, β) Να γράψετε την εξίσωση x(t) της α.α.τ, και να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης. γ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της µεταβλητής δύναµης F(t). δ) Να γράψετε την εξίσωση της δύναµης επαναφοράς σε συνάρτηση µε την απόσταση από την αρχική θέση ισορροπίας της µάζας m. ε) Να υπολογίσετε το ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας της µάζας m, τη χρονική στιγµή t= π 20 s. στ) Αν τη στιγµή που η µάζα m, µετατοπιστεί κατά +Α από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης καταργηθεί η εξωτερική δύναµη F, τότε πόση είναι η προσφερόµενη ενέργεια στο σύστηµα από τη δύναµη F; Θεωρήστε την προς τα πάνω φορά θετική. ∆ίνεται g=10m/s2 . F F Θ.Ι.Τ m)Θ.Ι.( Θ.Φ.Μ x x K 2 Fελ Fελ Κx m mgηµφ mgηµφmgηµφ 2 x1 (+)
- 7. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 7 10. ∆ύναµη και ταλάντωση σε οριζόντιο επίπεδο Ένα σώµα µάζας m=1Kg ισορροπεί δεµένο σε ελατήριο σταθεράς Κ=100Ν/m πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή εξασκούµε στο σώµα µια σταθερή δύναµη F=20 Ν και µε φορά προς τα δεξιά, όπως φαίνεται στο σχήµα. Όταν το ελατήριο επιµηκυνθεί µέγιστα κατά ∆ℓ=0,4m από τη Θ.Φ.Μ καταργούµε τη δύναµη F. Μόλις πάψει να εξασκείται η δύναµη (t=0) το σύστηµα πραγµατοποιεί α.α.τ. α) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης. β) Να υπολογίσετε την προσφερόµενη ενέργεια µέσω του έργου της εξωτερικής δύναµης F και µέχρι το σώµα να επιµηκυνθεί κατά ∆ℓ, καθώς και το έργο της δύναµης του ελατηρίου. Να υπολογίσετε τότε τη δυναµική ενέργεια του ελατηρίου και τη δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης. γ) Να γράψετε τις εξισώσεις x(t) και υ(t) της α.α.τ που πραγµατοποιεί το σώµα µόλις καταργήσουµε τη δύναµη F. δ) Να υπολογίσετε το ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας της µάζας m, καθώς και το ρυθµό µεταβολής της ορµής της τη χρονική στιγµή t= π 40 s. ε) Όταν ακόµη ασκούµε τη δύναµη F, να υπολογίσετε την ταχύτητα της µάζας m, τη στιγµή που x= ∆ℓ/2 από τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου. στ) Αν καταργήσουµε την εξωτερική δύναµη F, τη στιγµή που η µάζα m, έχει µετατοπιστεί κατά x=x1=∆ℓ/2 από τη θέση φυσικού µήκους του ελατηρίου, τότε πόση είναι η προσφερόµενη ενέργεια στο σύστηµα από τη δύναµη F και ποια είναι η ενέργεια της καινούργιας ταλάντωσης; Ακόµη να υπολογίσετε τη δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης και την κινητική ενέργεια του σώµατος m, εκείνη τη στιγµή. Τι παρατηρείτε; ζ) Αν δεν καταργήσουµε τη δύναµη F, τότε να δείξετε ότι το σώµα πραγµατοποιεί α.α.τ και να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης x(t) που πραγµατοποιεί. Θεωρήστε την προς τα δεξιά φορά θετική. F F Θ.Φ.Μ (Α) (Β) K m Δ(+)
- 8. 8 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ 11. Ταλάντωση και «κόλλα» Τα σώµατα Σ1 και Σ2 του σχήµατος έχουν µάζες Μ=3Kg και m=1Kg αντίστοιχα. Κολλάµε τα δυο σώµατα, µε µια κόλλα που ασκεί σταθερή ελκτική δύναµη F=20N. Το Σ1 είναι δεµένο στην άκρη του ελατηρίου σταθεράς Κ=400N/m. Αρχικά το σύστηµα ισορροπεί. Μετακινούµε τα σώµατα ώστε το ελατήριο να συσπειρωθεί επιπλέον κατά A=∆L=0,5m και στη συνέχεια τα αφήνουµε ελεύθερα. Να βρείτε: α) Το ελάχιστο πλάτος ταλάντωσης Αmin, για το οποίο θα αποχωριστεί το Σ2 από το Σ1. Σε ποια θέση αποχωρίζονται τα δυο σώµατα; Πόσο είναι το έργο της δύναµης F, µέχρι τη στιγµή του αποχωρισµού; β) Πως µεταβάλλεται µε το χρόνο και µέχρι να αποχωριστούν τα Σ1 και Σ2, η κάθετη αντίδραση ανάµεσα στις δυο µάζες, αν για t=0 είναι x=0 και υ>0, γ) Πόση είναι η κάθετη αντίδραση ανάµεσα στις δυο επιφάνειες για x= -Α/2; δ) Πως µεταβάλλεται µε το χρόνο η επιτάχυνση του Σ2; ε) Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του Σ2 αµέσως µετά τον αποχωρισµό, καθώς και την ενέργεια της ταλάντωσης που εκτελεί το Σ1 αφού αποχωριστεί από το Σ2. στ) Αν θέλουµε τα σώµατα να αποχωριστούν στο µισό της αποµάκρυνσης που βρήκαµε στο ερώτηµα (α) τότε τι τιµή πρέπει να έχει η σταθερά K, του ελατηρίου; Αν ω και ω΄ είναι οι γωνιακές συχνότητες των Σ1+Σ2 στο ερώτηµα (α) και στο ερώτηµα (στ), να βρείτε το λόγο ω ω ′ . ∆ίνεται g=10m/s2 . 12. Ταλάντωση αποχωρισµός και ανύψωση Τα σώµατα Σ1, Σ2 και Σ3 του σχήµατος έχουν µάζες m1=2Kg, m2=1Kg και m3=0,5Kg αντίστοιχα. Τα Σ1 και Σ2 είναι δεµένα στα άκρα του κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=150N/m. Αρχικά το σύστηµα ισορροπεί. Να βρείτε: α) Ποια είναι η µέγιστη δύναµη F που µπορούµε να ασκήσουµε ώστε να µην αποχωριστούν τα Σ2 και Σ3 αλλά ούτε και να ανυψωθεί το Σ1 από το έδαφος; β) Για ποια τιµή της δύναµης F αποκολλάται το Σ1 από το έδαφος; K 1 Σ 2 Σ K 1 Σ 2 3 Σ Σ
- 9. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 9 γ) Αν ρίξουµε κόλλα ανάµεσα στα Σ2 και Σ3, τότε τι τιµή πρέπει να έχει η η δύναµη Fκ που ασκεί η κόλλα στα δυο σώµατα, ώστε τη στιγµή που το Σ1 µόλις ανυψώνεται από το έδαφος να αποχωρίζεται και το σώµα Σ3 από το Σ2; ∆ίνεται g=10m/s2 . 13. Πότε συναντώνται (1); Έστω δυο απλές αρµονικές ταλαντώσεις x1=Aηµ(ωt+ π 6 ) και x2=Aηµ(ωt+ 7π 6 ), οι οποίες πραγµατοποιούνται ξεχωριστά η µια από την άλλη στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Ποια χρονική στιγµή συναντιούνται τα σώµατα για πρώτη φορά; 14. Πότε συναντώνται (2); Έστω δυο απλές αρµονικές ταλαντώσεις x1=A1ηµ(ω1t+ π 6 ) και x2=A2ηµ(ω2t+ 7π 6 ) µε Α1=Α2=Α οι οποίες πραγµατοποιούνται ξεχωριστά η µια από την άλλη στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Ποια χρονική στιγµή συναντιούνται τα σώµατα για πρώτη φορά; 15. Αποµακρύνονται ή πλησιάζουν; Α) ∆υο σώµατα πραγµατοποιούν Α.Α.Τ µε εξισώσεις x1=A1⋅ηµω1t και x2=A2⋅ηµω2t µε Α2=2A1 και ω1=3ω2, γύρω από την ίδια Θ.Ι. και στην ίδια ευθεία κίνησης. Τότε: α) να βρείτε ποιες χρονικές στιγµές στη διάρκεια µιας περιόδου τα δυο σώµατα συναντώνται. β) Από τη χρονική στιγµή 0 (αρχή της ταλάντωσης των δυο σωµάτων), µέχρι και τη χρονική στιγµή της πρώτης συνάντησής τους τα σώµατα πλησιάζουν ή αποµακρύνονται; Β) Αν τα δυο σώµατα πραγµατοποιούν Α.Α.Τ µε εξισώσεις x1=A1⋅ηµω1t και x2=A2⋅ηµω2t µε Α2=4A1 και ω1=4ω2. Τότε να βρείτε ποιες χρονικές στιγµές στη διάρκεια µιας περιόδου τα δυο σώµατα συναντώνται.
- 10. 10 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ 16. A.A.T και κύκλος αναφοράς. Σώµα πραγµατοποιεί Α.Α.Τ µε εξίσωση x=4ηµ(15t+ π 3 ) (S.I). Ποια χρονική στιγµή t ισχύει U=K για πρώτη φορά; 17. A.A.T και ένταση Σώµα πραγµατοποιεί Α.Α.Τ στον άξονα xx΄ πλάτους Α και περιόδου T. Τη χρονική t το σώµα βρίσκεται στη θέση Κ µε x1=-10cm κινούµενο µε θετική ταχύτητα (υ>0) και τη χρονική στιγµή t+6 περνάει για πρώτη φορά από τη θέση Λ µε x2=10 3 cm. Αν τη χρονική στιγµή t+12 περνάει για πρώτη φορά από τη θέση Μ µε x1=10cm κινούµενο µε αρνητική ταχύτητα (υ<0) τότε: α) Να υπολογιστούν η περίοδος T και το πλάτος Α της ταλάντωσης. β) Αν t=1s τότε να υπολογιστεί η αρχική φάση φ0 της ταλάντωσης δεδοµένου ότι η εξίσωση της α.α.τ είναι της µορφής x=Aηµ(ωt+φ0). γ) Ποια είναι η µικρότερη τιµή του t για την οποία η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι µηδέν; δ) Να κατασκευάσετε το διάγραµµα x(t) για 0≤t≤T. ε) Να υπολογιστεί η ένταση της ταλάντωσης. 18. Απλή αρµονική ταλάντωση και χρόνος µετάβασης 1. Σώµα πραγµατοποιεί απλή αρµονική ταλάντωση µε χρονοεξαρτηµένη εξίσωση ταλάντωσης x=5ηµ(10t+φ0) (S.I). Αν τη χρονική στιγµή t0=0 το σώµα βρίσκεται στη θέση x= 5 3 2 m και κινείται προς τη θέση ισορροπίας του (υ<0) τότε: α) Να υπολογιστεί η αρχική φάση φ0 της ταλάντωσης. β) Να γίνει η γραφική παράσταση της x(t). x x΄ Άξονας ταλάντωσης O K K΄ Μ θ φ φ΄ θ θ 1 1 2 Μ΄ Λ Λ΄
- 11. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 11 γ) Να υπολογιστεί το χρονικό διάστηµα ∆t που απαιτείται για να µεταβεί το σώµα από τη θέση x=-2,5m έχοντας αρνητική ταχύτητα (υ<0) στη θέση x= 5 3 2 m για πρώτη φορά (υ>0). δ) Αν το σώµα κινούνταν µε σταθερή κατά µέτρο ταχύτητα υ, µε τιµή ίση µε τη µέγιστη τιµή της ταχύτητας ταλάντωσης, τότε πόσο χρονικό διάστηµα θα απαιτούνταν για την παραπάνω µετάβαση; ε) Να υπολογιστεί η µέση αριθµητική και η µέση διανυσµατική ταχύτητα του κινητού για την ίδια µετάβαση κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης. 2. Σώµα πραγµατοποιεί απλή αρµονική ταλάντωση µε χρονοεξαρτηµένη εξίσωση ταλάντωσης x=8ηµ(4πt+φ0) (S.I). Αν τη χρονική στιγµή t0=0 το σώµα βρίσκεται στη θέση x=0 m και κινείται µε αρνητική ταχύτητα (υ<0) τότε: α) Να υπολογιστεί η αρχική φάση φ0 της ταλάντωσης. β) Να γίνει η γραφική παράσταση της x(t). γ) Να υπολογιστεί το χρονικό διάστηµα ∆t που απαιτείται για να µεταβεί το σώµα από τη θέση x=+4m έχοντας θετική ταχύτητα (υ>0), στην ακραία θέση x=8m. 3. Σώµα πραγµατοποιεί απλή αρµονική ταλάντωση µε χρονοεξαρτηµένη εξίσωση ταλάντωσης x=0,4ηµ(20πt+ 5π 6 ) (S.I). α) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των x(t) και υ(t). β) Ποια χρονική στιγµή είναι x= -0,4m για 1η φορά; γ) Να υπολογιστεί το ελάχιστο χρονικό διάστηµα ∆t που απαιτείται για να µεταβεί το σώµα από τη θέση x=-0,2 m στη θέση x=+0,2 m. 19. A.A.T και µεταβλητή µάζα Σώµα µάζας m=9 Kg πραγµατοποιεί Α.Α.Τ στον άξονα xx΄. Τη χρονική t0=0 το σώµα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του κινούµενο προς τη θετική κατεύθυνση και η εξίσωση της αποµάκρυνσής του είναι x=8ηµ( π 12 t) S.I. Αν κάθε φορά που το σώµα περνά από τις θέσεις µέγιστης αποµάκρυνσης καθώς και από τη θέση ισορροπίας του, η µάζα του ελαττώνεται κατά m 4 , τότε: α) Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσής του για t>t3 όπου t3 είναι η χρονική στιγµή που θα βρεθεί στη θέση x=-A΄ για πρώτη φορά.
- 12. 12 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ β) Πόση είναι τότε η ενέργεια της ταλάντωσής του; ∆ίνεται 3 =1,7 και 2 =1,4 και π2 =10. 20. Ταλάντωση και ολίσθηση σε κεκλιµένο επίπεδο Σώµα Σ1 µάζας M=4Kg ηρεµεί πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=300 δεµένο στην άκρη ελατηρίου σταθεράς Κ=200N/m. Πάνω στο σώµα Σ1 τοποθετούµε ένα δεύτερο σώµα Σ2 µάζας m=1Kg. Αν ο συντελεστής στατικής τριβής µεταξύ των επιφανειών των δυο σωµάτων είναι µ= 3 2 , τότε: α) Να δείξετε ότι το Σ2 δεν ολισθαίνει πάνω στο Σ1. β) Να βρείτε τη θέση ισορροπίας των δυο σωµάτων. γ) Αποµακρύνουµε το σύστηµα των δυο σωµάτων από τη θέση ισορροπίας του κατά τη διεύθυνση του ελατηρίου και το αφήνουµε ελεύθερο. Αν το σύστηµα των δυο σωµάτων πραγµατοποιεί α.α.τ τότε ποια είναι η µέγιστη τιµή του πλάτους Αmax της ταλάντωσης ώστε το Σ2 να µη γλιστρά πάνω στο Σ1; δ) Αν αυξήσουµε το πλάτος της ταλάντωσης τότε σε ποια θέση αρχίζει το Σ2 να γλιστρά πάνω στο Σ1; ε) Αν t=0 είναι η χρονική στιγµή, που τοποθετούµε το Σ2 πάνω στο Σ1, τότε να γράψετε την εξίσωση της α.α.τ για το Σ2, δεδοµένου ότι ισχύει x=A⋅ηµ(ωt+φ0) και ότι η προς τα πάνω φορά είναι θετική. ∆ίνεται g=10m/s2 . Σ Σ 1 K 2
- 13. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 13 21. Ταλάντωση µε δυο ελατήρια σε «σειρά» Το σώµα Σ του σχήµατος έχει µάζα m=4Kg. Το Σ είναι δεµένο στην άκρη δυο κατακόρυφων ελατηρίων συνδεδεµένων σε σειρά µε σταθερές Κ1=200Ν/m και Κ2=400N/m όπως φαίνεται στο σχήµα. Αρχικά το σύστηµα ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στη συνέχεια ανυψώνουµε κατακόρυφα το σώµα κατά h=1m πάνω από το οριζόντιο επίπεδο, εξασκώντας στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου Κ1 κατάλληλη κατακόρυφη δύναµη F και το στερεώνουµε στην οροφή στο σηµείο Α. Να βρείτε: α) Το ελάχιστο έργο της δύναµης F, µέχρι τη στιγµή που αναρτούµε το σώµα στο σηµείο Α. β) Στη συνέχεια αποµακρύνουµε µέγιστα το σώµα Σ, κατακόρυφα προς τα κάτω και το ελατήριο Κ2 επιµηκύνεται επιπλέον κατά ∆L2=0,06 m ενώ τη χρονική στιγµή t=0 το αφήνουµε ελεύθερο. Να δείξετε ότι το σύστηµα πραγµατοποιεί α.α.τ και να γράψετε την εξίσωσή της. Θεωρήστε την προς τα κάτω φορά θετική. γ) Κόβουµε το ελατήριο Κ1 στη µέση και δένουµε στο ένα άκρο του το σώµα µάζας m. Στη συνέχεια αναρτούµε το σύστηµα κατακόρυφα και το θέτουµε σε α.α.τ. Να συγκρίνετε την περίοδο της ταλάντωσης µε αυτή του προηγούµενου ερωτήµατος. ∆ίνεται g=10m/s2 . 22. Μια αρµονική ταλάντωση που δεν είναι απλή Το σώµα Σ του σχήµατος έχει µάζα , m= 1Kg και αρχικά ισορροπεί δεµένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ1=100N/m, ενώ απλώς ακουµπάει στο ελατήριο σταθεράς Κ2=800Ν/m. Το Σ βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ τα K K F h 1 Α 2 Σ Σ Σ
- 14. 14 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ ελατήρια έχουν το ίδιο φυσικό µήκος, όπως φαίνεται στο σχήµα. Αποµακρύνουµε το σώµα Σ από τη θέση ισορροπίας του κατά d=0,6m και το αφήνουµε ελεύθερο. α) Να γίνει η γραφική παράσταση της δύναµης επαναφοράς που εξασκείται πάνω στο σώµα σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση x από τη Θ.Ί.Τ και µεταξύ των ακραίων θέσεων της ταλάντωσης. β) Να γίνει η γραφική παράσταση της δυναµικής ενέργειας σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση x από τη Θ.Ί.Τ. γ) Ποια είναι η περίοδος T της αρµονικής ταλάντωσης; Να γίνει η γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης x(t) για 0≤t≤T. 23. Πότε ολισθαίνει; Τα σώµατα Σ1 και Σ2 του σχήµατος έχουν µάζες Μ=4Kg και m=1Kg αντίστοιχα. Το Σ1 είναι δεµένο στην άκρη δυο όµοιων ελατηρίων συνολικής σταθεράς Κ=500N/m ενώ το Σ2 ακουµπά πάνω στο Σ1. Αρχικά το σύστηµα ισορροπεί. Μετακινούµε τα σώµατα ώστε τα ελατήρια να συσπειρωθούν επιπλέον κατά A=∆L=0,1m ενώ ασκούµε στο Σ2 µια σταθερή οριζόντια δύναµη F=2,5N όπως φαίνεται στο σχήµα. Στη συνέχεια τη χρονική στιγµή t=0, αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο και αυτό πραγµατοποιεί α.α.τ. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ των δυο σωµάτων είναι µ=0,5 να βρείτε: α) Σε ποια θέση αρχίζει η ολίσθηση του Σ2; Ποια χρονική στιγµή γίνεται αυτό για πρώτη φορά; β) Ποια είναι η συνολική επιτάχυνση του Σ2 στη θέση που τα ελατήρια έχουν το φυσικό του µήκος; ∆ίνεται g=10m/s2 .
- 15. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 15 24. Σώµα δεµένο ανάµεσα σε δυο ελατήρια και τριβή Το σώµα Σ του σχήµατος, µάζας m=1Kg ισορροπεί οριακά πάνω σε οριζόντιο τραπέζι δεµένο σε δυο οριζόντια ελατήρια µε σταθερές Κ1=40Ν/m και Κ2=10Ν/m, (αν αποµακρύνουµε ελάχιστα το σώµα προς τα δεξιά αυτό αρχίζει να ολισθαίνει). Το ελατήριο Κ1 είναι επιµηκυµένο κατά x1=12 cm από τη θέση φυσικού του µήκους ενώ το ελατήριο Κ2 είναι επιµηκυµένο κατά x2=28cm από τη θέση φυσικού του µήκους. Τότε: α) Να υπολογίσετε το συντελεστή στατικής τριβής που εδώ θεωρούµε πως είναι ίσος µε το συντελεστή τριβής ολίσθησης. β) Εξασκούµε στο σώµα µια οριζόντια δύναµη F και το µετατοπίζουµε µε σταθερή ταχύτητα, κατά x=3cm προς τα δεξιά από την αρχική θέση ισορροπίας του. Να υπολογίσετε το έργο της δύναµης F. γ) Αφήνουµε στη συνέχεια το σώµα ελεύθερο. Να υπολογίσετε την ταχύτητά του όταν περνά από την αρχική θέση ισορροπίας του. δ) Που θα ισορροπήσει τελικά το σώµα; Ποια είναι τότε η τιµή της στατικής τριβής µεταξύ του Σ και του τραπεζιού; ∆ίνεται g=10m/s2 . 25. Απλή αρµονική παλινδροµική κίνηση. Υλικό σηµείο πραγµατοποιεί στον άξονα x΄x την παλινδροµική αρµονική κίνηση που περιγράφεται από την εξίσωση x=5ηµ[2π(1+12t)t] (S.I). α) Ποια χρονική στιγµή η αποµάκρυνση του σώµατος γίνεται µέγιστη για 1η φορά; β) Σε πόσο χρόνο η αποµάκρυνση του σώµατος γίνεται για πρώτη φορά x= 5 3 2 m ενώ η ταχύτητα είναι αρνητική; γ) Σε πόσο χρόνο πραγµατοποιεί 1 «ταλάντωση»; δ) Πόσες φορές επαναλαµβάνεται η κίνηση του σώµατος (υλικού σηµείου) σε χρόνο t=1 s; Να γίνει η αντίστοιχη γραφική παράσταση x(t) για 0≤t≤1s. Θ.I Σ K x 2KK1 1 x 1 2 Θ Φ.. Μ Θ Φ.. Μ2
- 16. 16 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ 26. Ενέργεια ταλάντωσης και κρούση Στο ελεύθερο άκρο του κατακόρυφου ελατήριου του σχήµατος σταθεράς Κ=12,5Ν/m, έχουµε δέσει σώµα µάζας m2=2Kg και το σύστηµα αρχικά ισορροπεί. Ένα δεύτερο σώµα µάζας m1=m2 κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω και συγκρούεται µετωπικά και πλαστικά µε το σώµα m2. Αν η αρχική κινητική ενέργεια της m1 λίγο πριν την κρούση είναι Καρχ=20 J τότε η ενέργεια Ε της ταλάντωσης µετά την κρούση είναι: α) Ε<20J β) Ε=20J γ) Ε>20J δ) δε γνωρίζουµε. 27. Ενέργεια ταλάντωσης και έργο εξωτερικής δύναµης. Στο ελεύθερο άκρο του κατακόρυφου ελατήριου του σχήµατος σταθεράς Κ, έχουµε δέσει σώµα µάζας m και το σύστηµα αρχικά ισορροπεί. Στη συνέχεια εξασκώντας κατάλληλη εξωτερική δύναµη Fεξ µετατοπίζουµε µε σταθερή ταχύτητα το σώµα από την αρχική του θέση µέχρι τη θέση όπου το ελατήριο συµπιέζεται µέγιστα κατά ∆L. Αν αφήσουµε το σώµα ελεύθερο να κινηθεί από τη θέση της µέγιστης συµπίεσης τότε πραγµατοποιεί α.α.τ. Να υπολογίσετε την ενέργεια Ε της ταλάντωσης καθώς και το έργο WFεξ της εξωτερικής δύναµης κατά τη µετακίνηση του σώµατος από τη Θ.Ι.Τ στη µέγιστη συµπίεση (Α→Β). Τι παρατηρείτε;. m m x x 2 1 1 2 υΘ.Ι.Τ Θ.Φ.Μ Θ.Ι. +mm 21 1 K m2 V (A) (B) mmg L x xx x1 11 1 Θ.Ι.Τ Θ.Φ.Μ K (A) (B) A K
- 17. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 17 28. Μέση ταχύτητα στην α.α.τ Σώµα πραγµατοποιεί την α.α.τ x=Aηµωt. Να υπολογιστεί η µέση διανυσµατική ταχύτητα του σώµατος για χρόνο: (t0=0) α) t= T 4 β) t= T γ) t=kT+ T 4 29. α.α.τ εµβαδά και διάγραµµα s(t) 1. ∆ίνεται το διπλανό διάγραµµα ταχύτητας – χρόνου για ένα σώµα που πραγµατοποιεί την απλή αρµονική ταλάντωση x=Aηµωt. Τότε το συνολικό γραµµοσκιασµένο εµβαδό που περικλείεται µεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα των χρόνων είναι: α) Α β) 2Α γ) 2,5Α δ) 0 30. Θέση, µετατόπιση και διάστηµα στην Α.Α.Τ Υλικό σηµείο πραγµατοποιεί απλή αρµονική ταλάντωση και η αποµάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας περιγράφεται από τη χρονική εξίσωση: x=Aηµ(ωt+ π 3 ) (S.I). A) Να υπολογίσετε: α) τη θέση x του υλικού σηµείου τη χρονική στιγµή t1= 5 2 Τ σε s, β) τη µετατόπιση ∆x και - ωΑ ωΑ υ tT/4 - ωΑ ωΑ υ tT 5T/4T/4 E E E1 2 3
- 18. 18 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ γ) το διάστηµα s που έχει διανύσει το υλικό σηµείο, από την αρχή της ταλάντωσης t0=0s έως και τη χρονική στιγµή t1= 5 2 Τ σε s. B) Να απαντήσετε στα παραπάνω ερωτήµατα για t1= 5 12 Τ σε s. 31. Πιθανότητα και α.α.ταλάντωση Υλικό σηµείο πραγµατοποιεί α.α.τ µεταξύ των θέσεων -Α έως και Α. Τότε: α) Μεγαλύτερη πιθανότητα έχουµε να παρατηρήσουµε το σώµα κοντά στη Θ.Ι.Τ ή κοντά σε κάποια από τις ακραίες θέσεις (Α.Θ); β) Πόση είναι η πιθανότητα να το παρατηρήσουµε από 0-Α/2 και πόση από Α/2 έως Α; 32.Ταλάντωση 1993 Σώµα µάζας m=1,5kgr εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση χωρίς τριβές και εκτός πεδίου βαρύτητας µε περίοδο Τ=1sec. Τη στιγµή που το σώµα βρίσκεται στο µέσο του διαστήµατος µε άκρα το σηµείο ισορροπίας Ο και το σηµείο µέγιστης αποµάκρυνσης Α και κινείται µε ταχύτητα υ=1m/sec δέχεται στιγµιαία ώθηση µε φορά από το Α προς το Ο. Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται A1=0,2m όταν η ώθηση και η ταχύτητα είναι της ίδιας φοράς και A2=0,1m όταν είναι αντίθετης φοράς. Να υπολογισθεί: α) Η ώθηση που δέχθηκε το σώµα δηλαδή να υπολογιστεί η µεταβολή της ορµής του ∆p. β) Η περίοδος των ταλαντώσεων και στις δύο περιπτώσεις. (π2 ~10). A (x) P(x) -A 0,5 -0,5
- 19. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 19 33. Φθίνουσα µηχανική ταλάντωση Σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση µε δύναµη απόσβεσης της µορφής Fαπ= - , (υ είναι η στιγµιαία ταχύτητα του ταλαντούµενου σώµατος) η εξίσωση της αποµάκρυνσης σε συνάρτηση µε το χρόνο δίνεται από τη σχέση: x=37⋅e-t/2000 ⋅συν( t) (cm). Η µάζα του σώµατος είναι m=1Kg. α) Να βρεθεί ο παράγοντας πλάτους Α της ταλάντωσης σε χρόνο t= s, β) Να βρεθεί η αποµάκρυνση x1 του σώµατος τη χρονική στιγµή t1=T. ∆ίνεται: e-1/250 =0,996. γ) Να υπολογιστεί το ποσοστό απώλειας της µηχανικής ενέργειας του συστήµατος που ταλαντώνεται στη διάρκεια της κάθε περιόδου. Τι παρατηρείτε; δ) Να υπολογιστεί το ποσό απώλειας της µηχανικής ενέργειας |∆Ε| του συστήµατος που ταλαντώνεται στη διάρκεια της πρώτης και στη διάρκεια της δεύτερης περιόδου. Τι παρατηρείτε; ε) Να υπολογιστεί το έργο της δύναµης απόσβεσης F= - σε χρόνο t=2T. στ) Να βρεθεί ο ρυθµός κατανάλωσης ενέργειας από τη δύναµη F, τη χρονική στιγµή t1=T. ζ) Να παραστήσετε γραφικά (ποιοτικό διάγραµµα) τη συνάρτηση x=37⋅e-t/2000 ⋅συν( t) (cm). ηα) Να βρεθεί ο αριθµός των ταλαντώσεων για να µειωθεί το πλάτος στο της αρχικής του τιµής. β) Τι θα ίσχυε στην περίπτωση που ήταν Λ=0,5s-1 ; θ) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώµατος τη χρονική στιγµή t=0 s. ∆ίνεται e2 =7,4 και π2 =10. υ 1000 π 2 4 Λ υ 1000 π 2 1 25
- 20. 20 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ 34. Φθίνουσα µηχανική ταλάντωση (2) Σώµα µάζας m=1Kg πραγµατοποιεί α.α.τ πλάτους Α=8cm µε συχνότητα f= 5 π Hz. Τη χρονική στιγµή t=0, έχει αρνητική επιτάχυνση και κινείται προς τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης. Τότε: α) Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης του σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο αν τη χρονική στιγµή t=0 το µέτρο της επιτάχυνσης είναι 4m/s2 . β) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των x(t), υ(t) και α(t) για χρόνο t= 13π 60 s . γ) Μια δεύτερη α.α.τ έχει πλάτος Α2= 1Α 2 και πλάτος ταχύτητας υ2(max)=υ1(max), ενώ δεν έχει αρχική φάση. Να συγκρίνετε τις ενέργειες των δυο ταλαντώσεων για την ίδια µάζα δ)i) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση του ρυθµού µεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώµατος dΚ dt (t). ii) Ποια χρονική στιγµή ο παραπάνω ρυθµός γίνεται µέγιστος για πρώτη φορά; iii) Ποιος είναι τότε ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος dp dt ; iv) Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης dΚ dt (t). ε) Να βρείτε ποια χρονική στιγµή το σώµα θα ξαναπεράσει από το ίδιο σηµείο στο οποίο βρισκόταν τη χρονική στιγµή t=0, για πρώτη φορά. στ) Αν τη χρονική στιγµή που το σώµα βρίσκεται στη µέγιστη θετική αποµάκρυνση για πρώτη φορά ασκηθεί σε αυτό δύναµη απόσβεσης F=-bυ, ενώ η σταθερά της φθίνουσας ταλάντωσης είναι Λ=2s-1 , τότε να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης x(t) της φθίνουσας ταλάντωσης σε συνάρτηση µε το χρόνο. Θεωρήστε ότι η συχνότητα της φθίνουσας ταλάντωσης είναι η συχνότητα της ελεύθερης και αµείωτης ταλάντωσης του σώµατος. 35. Φθίνουσα – εξαναγκασµένη µηχανική ταλάντωση Σε ταλαντωτή που αποτελείται από µάζα m=2Kg και ελατήριο σταθεράς Κ, προσφέρουµε µια φορά ενέργεια τη χρονική στιγµή t0=0 και αυτός πραγµατοποιεί φθίνουσα ταλάντωση µε περίοδο T=1s, όση και η περίοδος της ελεύθερης και αµείωτης ταλάντωσης του συστήµατος. Η ταλάντωση είναι της µορφής x=A⋅συνωt, ενώ το πλάτος της µεταβάλλεται µε το χρόνο σύµφωνα µε τη σχέση Α=10⋅e-ln2⋅t (cm). Στη συνέχεια µετά από χρόνο t=2s, εξασκούµε εξωτερική περιοδική δύναµη µε περίοδο
- 21. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 21 T΄= π 10 s και ο ταλαντωτής πραγµατοποιεί εξαναγκασµένη ταλάντωση µε πλάτος Α αυτό που είχε τη στιγµή t=2s. α) Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης x σε συνάρτηση µε το χρόνο t, για την εξαναγκασµένη ταλάντωση, β) Να υπολογίσετε το µέτρο της εξωτερικής περιοδικής δύναµης όταν ο ταλαντωτής m, περνάει από τη θέση ισορροπίας (x=0). ∆ίνεται Λ= b 2m . γ) Να υπολογίσετε το µέγιστο ρυθµό , µε τον οποίο αφαιρείται ενέργεια από το σώµα µέσω της δύναµης απόσβεσης. Ποια χρονική στιγµή γίνεται αυτός µέγιστος για πρώτη φορά; δ) Να υπολογίσετε τη συχνότητα συντονισµού του συστήµατος και τη σταθερά Κ του ελατηρίου. Να γράψετε τις σχέσεις της δυναµικής της κινητικής και της ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας (x=0) και να κάνετε τις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. Τι παρατηρείτε; ε) Να γράψετε τη σχέση που δίνει τη συνολική δύναµη ΣF σε συνάρτηση µε το χρόνο t, για την εξαναγκασµένη ταλάντωση. στ) Να γίνει η γραφική παράσταση x(t) και Α(t) από την αρχή του φαινοµένου και για χρόνο t=2T+2T΄ s. ζ) Αν το πλάτος της ταλάντωσης κατά το συντονισµό είναι Α0=1m ποιο είναι τότε το έργο που πρέπει να προσφερθεί, κατά το συντονισµό από την εξωτερική περιοδική δύναµη σε χρόνο ∆t=10 s, από τη στιγµή που άρχισε να εξασκείται η δύναµη, ώστε να πραγµατοποιείται η εξαναγκασµένη ταλάντωση; ∆ίνεται π2 =10. 36. Εξαναγκασµένη ταλάντωση Στη διάταξη του σχήµατος δίνονται η σταθερά του ιδανικού ελατηρίου K=D=20N/m και ότι η µάζα του σώµατος Σ είναι m=1Kg. Η τροχαλία θεωρείται αβαρής. Το χέρι µας ασκεί περιοδική δύναµη F, και το σώµα Σ εκτελεί εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση συχνότητας f1= 4 2π Hz και πλάτους Α=10 cm χωρίς αρχική φάση. Το σώµα κινούµενο δέχεται δύναµη αντίστασης Fαντ= -b⋅υ µε σταθερά απόσβεσης b=0,75 Kg⋅s-1 . α) Να γράψετε τις σχέσεις της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας του ταλαντωτή σε συνάρτηση µε το χρόνο. β) Να γράψετε την εξίσωση της δύναµης F του διεγέρτη σε συνάρτηση µε το χρόνο. F K
- 22. 22 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ γ) Να υπολογίσετε τη δύναµη του διεγέρτη τη χρονική στιγµή t= π 4 s, καθώς και το ρυθµό προσφερόµενης ενέργειας εκείνη τη στιγµή. δ) Να γράψετε την εξίσωση της δύναµης F του διεγέρτη σε συνάρτηση µε το χρόνο όταν έχουµε συντονισµό. Θεωρείστε το F0 σταθερό και ανεξάρτητο της συχνότητας ω της ταλάντωσης. ε) Αν κάποια χρονική στιγµή η αποµάκρυνση του σώµατος x , όπως και η ταχύτητά του υ είναι θετικά ενώ η εξωτερική δύναµη είναι αρνητική, τότε να συγκρίνετε τη συχνότητα του διεγέρτη µε την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. στ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των U(x), K(x) και E(x) σε συνάρτηση µε την αποµάκρυνση x του σώµατος από τη θέση ισορροπίας του καθώς και των U(t), K(t) και E(t) για την εξαναγκασµένη ταλάντωση. ζ) Για ποια συχνότητα f2 το πλάτος της ταλάντωσης ξαναγίνεται ίσο µε 10 cm;. 37. Eξαναγκασµένη ταλάντωση: διαφορετικές συχνότητες ίδιο πλάτος. Στη διάταξη του σχήµατος η σταθερά του ιδανικού ελατηρίου είναι K=100N/m και η µάζα του σώµατος είναι m=4Kg. Το χέρι µας ασκεί περιοδική δύναµη F, και το σώµα µόλις σταµατήσουν τα µεταβατικά φαινόµενα και σταθεροποιηθεί το πλάτος (µόνιµη κατάσταση) εκτελεί εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση συχνότητας f1= 4 2π Hz και πλάτους Α=4,4cm χωρίς αρχική φάση. Το σώµα κινούµενο δέχεται δύναµη αντίστασης Fαντ= -b⋅υ µε σταθερά απόσβεσης b=0,4Kg⋅s-1 . Για ποια συχνότητα f2 το πλάτος της ταλάντωσης ξαναγίνεται ίσο µε 4,4 cm; 38. Μέγιστη προσφερόµενη ενέργεια ανά περίοδο σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση . Θ.Ι.Τ a K
- 23. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 23 39. Ρυθµοί µεταβολής ενέργειας και ταλάντωση σε κατακόρυφο ελατήριο Α) Α.Α ταλάντωση Το σώµα του σχήµατος µάζας m=0,2 Kg είναι δεµένο στο κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=500Ν/m και πραγµατοποιεί απλή αρµονική ταλάντωση ενώ η αποµάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας περιγράφεται από τη χρονική εξίσωση: x=0,2ηµ(50t) (S.I). Κάποια χρονική στιγµή είναι x=-0,1m και υ=5 3 m/s. Να υπολογιστούν εκείνη τη στιγµή οι ρυθµοί µεταβολής ενέργειας ∆K ∆t , ταλ∆U ∆t , ελF∆U ∆t , βαρ∆U ∆t . Β) Φθίνουσα ταλάντωση Κάποια χρονική στιγµή (που τώρα τη θεωρούµε t0=0) και ενώ το σώµα βρίσκεται στη µέγιστη θετική του αποµάκρυνση ασκείται σε αυτό δύναµη απόσβεσης της µορφής Fαπ=-0,3 υ (S.I). Μια επόµενη χρονική στιγµή t1 το σώµα κινείται προς τα κάτω µε ταχύτητα υ=-8m/s πλησιάζοντας την αρχική θέση ισορροπίας ενώ απέχει από αυτή x=+12 cm, τότε να υπολογιστούν εκείνη τη στιγµή οι ρυθµοί µεταβολής ενέργειας ∆K ∆t , ταλ∆U ∆t , απF∆W ∆t , ελF∆U ∆t , βαρ∆U ∆t . Γ) Εξαναγκασµένη ταλάντωση Στη συνέχεια (t0=0) εξασκούµε κατάλληλη αρµονική δύναµη F=F0ηµ(ωt+θ) και το σώµα πραγµατοποιεί εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση µε εξίσωση x=0,4ηµ(40t) (S.I). mg x xx υx x1 11 1 Θ.Ι.Τ Θ.Φ.Μ K A K A.Θ T.Θ (+)
- 24. 24 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ Κάποια χρονική στιγµή το σώµα απέχει από τη Θ.Ι.Τ x=+0,2m και έχει ταχύτητα υ=+8 3 m/s και επιτάχυνση α=-ω2 x=-320 m/s2 , τότε να υπολογιστούν εκείνη τη στιγµή οι ρυθµοί µεταβολής ενέργειας ∆K ∆t , ταλ∆U ∆t , απF∆W ∆t , εξF∆W ∆t , ελF∆U ∆t , βαρ∆U ∆t . 40. Σύνθεση τριών ταλαντώσεων Ένα σώµα πραγµατοποιεί ταυτόχρονα τρεις αρµονικές ταλαντώσεις, µε εξισώσεις x1=3·ηµ10t, x2=4·ηµ(10t+ 6 π ) και x3=4·ηµ(10t+ 6 5π ) (S.I), που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας ταλάντωσης. Τότε να γράψετε την εξίσωση της συνισταµένης ταλάντωσης που πραγµατοποιεί το σώµα. 41. Σύνθεση ταλαντώσεων και ταχύτητες Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δυο Α.Α.Τ γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και στην ίδια διεύθυνση. Η ταχύτητα ταλάντωσης εξαιτίας της πρώτης ταλάντωσης είναι υ1=3⋅συν10t ενώ εξαιτίας της δεύτερης είναι υ2=3⋅συν(10t+ π 3 ). α) Να γράψετε την εξίσωση της συνισταµένης ταλάντωσης. β) Να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση της εξίσωσης της συνισταµένης ταλάντωσης x(t) σε συνάρτηση µε το χρόνο t. 42. Εξίσωση ταλάντωσης οριζόντιας επιφάνειας Σώµα µάζας m=1kg είναι δεµένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς K=100N/m που αρχικά βρίσκεται στη θέση φυσικού του µήκους. Η µάζα m βρίσκεται σε επαφή µε λεία οριζόντια επιφάνεια. Αποµακρύνουµε το σώµα από την αρχική του θέση κατά 3cm και το αφήνουµε ελεύθερο να ταλαντώνεται. Τότε: α) Να γράψετε την εξίσωση της Α.Α.Τ της µάζας m. β) Κάποια χρονική στιγµή που τη θεωρούµε αρχή των χρόνων και που η µάζα m βρίσκεται στη µέγιστη θετική της αποµάκρυνση +Α, αρχίζει να ταλαντώνεται και η λεία οριζόντια επιφάνεια πραγµατοποιώντας Α.Α.Τ της ίδιας διεύθυνσης xx΄ γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και µε την ίδια συχνότητα ω. Τότε η εξίσωση ταλάντωσης της
- 25. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 25 µάζας m, γίνεται x=5⋅10-2 ⋅ηµ(10t+θ), µε εφθ= 3 4 . Ποια είναι η εξίσωση ταλάντωσης της οριζόντιας επιφάνειας; 43. Σύνθεση ταλαντώσεων Σώµα Σ πραγµατοποιεί α.α.τ µε εξίσωση, x1=0,4⋅ηµ(10t+ 5π 12 )⋅συν(10t+ 5π 12 ) (S.I), γύρω από τη θέση ισορροπίας του. Τη χρονική στιγµή t=0 το Σ αρχίζει να πραγµατοποιεί και µια εξαναγκασµένη ταλάντωση στην ίδια διεύθυνση γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας µε εξίσωση: x2=0,2⋅[συν2 (10t+ 5π 12 )- ηµ2 (10t+ 5π 12 )] (S.I). Πως µεταβάλλεται µε το χρόνο η επιτάχυνση του Σ1; 44. ∆ιακρότηµα Ένα σώµα πραγµατοποιεί ταυτόχρονα δυο Α.Α.Τ που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας µε το ίδιο πλάτος Α και µε συχνότητες ω1 και ω2, µε ω1>ω2. Το διακρότηµα που παράγεται έχει µέγιστο πλάτος 10cm και περίοδο Tδ=1s. Αν από ένα µηδενισµό του διακροτήµατος µέχρι και τον επόµενο έχουµε 5 πλήρεις ταλαντώσεις τότε: α) Να γράψετε τις εξισώσεις των δυο επιµέρους Α.Α.Τ β) Να γράψετε την εξίσωση της συνισταµένης κίνησης που πραγµατοποιεί το σώµα. γ) Να γράψετε την εξίσωση του πλάτους της συνισταµένης κίνησης που πραγµατοποιεί το σώµα και να γίνει η γραφική παράσταση του πλάτους σε συνάρτηση µε το χρόνο t. δ) Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο. 45. ∆ιακρότηµα µε αρχική φάση Ένα σώµα πραγµατοποιεί ταυτόχρονα δυο α.α.τ ίδιου πλάτους, γύρω από το ίδιο σηµείο στην ίδια διεύθυνση και µε συχνότητες που διαφέρουν λίγο µεταξύ τους µε εξισώσεις x1=A⋅ηµ(ω1t+φ0) και x2=A⋅ηµω2t, τότε: α) να γράψετε την εξίσωση της συνισταµένης κίνησης, β) να δείξετε ότι η αυθαίρετη αρχική φάση φ0 αλλάζει τις χρονικές στιγµές που µεγιστοποιείται το πλάτος του διακροτήµατος , όµως ο χρόνος µεταξύ δυο διαδοχικών µεγιστοποιήσεων του πλάτους του διακροτήµατος παραµένει σταθερός.
- 26. 26 ΤΑΛΑΝΤ ΣΕΙΣ ΜιχαήλΠ. Μιχαήλ 46. Σύνθεση δυο ταλαντώσεων και κρούση Σώµα µάζας m=1kg είναι δεµένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς K που αρχικά βρίσκεται στη θέση φυσικού του µήκους. Η µάζα m βρίσκεται σε επαφή µε λεία οριζόντια επιφάνεια. Αποµακρύνουµε το σώµα από την αρχική του θέση κατά A1 και το αφήνουµε ελεύθερο να ταλαντώνεται. α) Κάποια χρονική στιγµή που τη θεωρούµε αρχή των χρόνων (t=0) και που τότε η µάζα m βρίσκεται στη θέση x1=+A1/2 και έχει υ1>0, αρχίζει να πραγµατοποιεί και µια δεύτερη Α.Α.Τ της ίδιας διεύθυνσης xx΄ γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, µε την ίδια συχνότητα ω και µε πλάτος Α2=2Α1. Τότε η εξίσωση ταλάντωσης της µάζας m, γίνεται x=2⋅ 3 ηµ(10t+ 3 π2 ) (S.I). Ποια είναι η εξίσωση της δεύτερης ταλάντωσης; Θεωρήστε πως για όλες τις ταλαντώσεις ισχύει η γενική εξίσωση x=A⋅ηµ(ωt+φ). β) Τη χρονική στιγµή t= 15 π2 s, η µάζα m συγκρούεται µε σώµα µάζας m1=m που κινείται αντίθετα µε ταχύτητα υ1=20 3 m/s. Να υπολογιστεί η απώλεια της µηχανικής ενέργειας κατά την κρούση. Ποια είναι τότε η εξίσωση ταλάντωσης του συσσωµατώµατος µάζας m+m1; γ) Αν κάποια χρονική στιγµή πριν από την κρούση που τη θεωρούµε πάλι αρχή των χρόνων (t=0) η µάζα m αρχίζει να πραγµατοποιεί φθίνουσα ταλάντωση µε εξίσωση αυτή που υπολογίστηκε στο ερώτηµα (α) όπου Α1=Α10⋅e-Λt , τότε να γράψετε την εξίσωση της συνισταµένης ταλάντωσης του σώµατος. 47…και σύνθεση ταλαντώσεων και ανεξάρτητες ταλαντώσεις. Ένα σώµα (υλικό σηµείο) εξαναγκάζεται ταυτόχρονα σε δυο αρµονικές ταλαντώσεις µε εξισώσεις x1= 3 ηµ10t και x2=3ηµ(10t+ π 2 ) (S.I). i) Να γράψετε την εξίσωση σε συνάρτηση µε το χρόνο της συνισταµένης ταλάντωσης. ii) Αν οι δυο αρχικές ταλαντώσεις πραγµατοποιούνταν ξεχωριστά η µία από την άλλη, τότε: α) Να βρείτε ποια χρονική στιγµή ισχύει x1=-x2 για πρώτη φορά; β) Πόση είναι τότε η απόσταση µεταξύ των δυο υλικών σηµείων;
- 27. ΤΟ ∆++ ΘΕΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣΓ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μιχαήλ Π. Μιχαήλ 27 γ) Πόση είναι η µέγιστη απόσταση στην οποία µπορεί να βρεθούν τα δυο υλικά σηµεία; 48. Η ενέργεια στη σύνθετη ταλάντωση Σώµα εκτελεί αρµονική ταλάντωση και η εξίσωση της αποµάκρυνσής του σε συνάρτηση µε το χρόνο είναι x=Αηµ(ωt+θ). Η προηγούµενη εξίσωση θεωρούµε ότι προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων x1=Α1ηµ(ωt) και x2=Α2ηµ(ωt+φ) που αντιστοιχούν στις εξισώσεις των αποµακρύνσεων δύο αρµονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότητας, ίδιας διεύθυνσης και ίδιας θέσης ισορροπίας µε 0≤θ<φ<2π. Αν Ε, Ε1 και Ε2 είναι οι ενέργειες των ταλαντώσεων, x, x1 και x2 αντίστοιχα, Κ, Κ1 και Κ2 είναι οι αντίστοιχες κινητικές ενέργειες των ταλαντώσεων και U, U1 και U2 είναι οι αντίστοιχες δυναµικές τους ενέργειες την ίδια χρονική στιγµή t, τότε να δείξετε πως ισχύει: Ε=Ε1+Ε2+2(± 1 2K K ± 1 2U U )=Ε1+Ε2+2 1 2E E συνφ 49.Σύνθεση τριών αρµονικών εξισώσεων-διακρότηµα Η εξίσωση κίνησης ενός σώµατος θεωρούµε ότι προκύπτει από την επαλληλία των εξισώσεων, x1=3ηµ202t, x2= 3 ηµ200t και x3= 3 ηµ(200t+ π 3 ) που αντιστοιχούν στις εξισώσεις των αποµακρύνσεων τριών αρµονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης και ίδιας θέσης ισορροπίας. Τότε να γράψετε τη χρονική εξίσωση της περιοδικής κίνησης x(t) του σώµατος. 50. ∆ιακρότηµα: Πότε ισχύει x=2A; Ένα σώµα εξαναγκάζεται ταυτόχρονα σε δυο αρµονικές ταλαντώσεις ίδιου πλάτους, γύρω από το ίδιο σηµείο στην ίδια διεύθυνση µε εξισώσεις x1=A⋅ηµω1t και x2=A⋅ηµω2t, οπότε δηµιουργείται διακρότηµα. Τότε για ποια σχέση των δυο κυκλικών συχνοτήτων ω1 και ω2 ισχύει x=2A;