2. Οι ςφνθετεσ κινήςεισ
Η αρχή τησ ανεξαρτηςίασ ή τησ επαλληλίασ των
κινήςεων: «Όταν ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα πολλέσ
κινήςεισ κάθε μία από αυτέσ εξελίςςεται ανεξάρτητα από
τισ άλλεσ». Αυτό ςημαίνει ότι:
α) Η θέςη ενόσ κινητού που ςυμμετέχει ςε πολλέσ
κινήςεισ, καθορίζεται μετά από χρόνο t, αν
φανταςτούμε ότι το κινητό εκτελεί τη μία κίνηςη μετά
την άλλη (διαδοχικά) και επί τον ίδιο χρόνο t.
β) Η ταχύτητα (και η επιτάχυνςη) του κινητού
μετά από χρόνο t, είναι ίςη με το διανυςματικό
άθροιςμα των ταχυτήτων (ή των επιταχύνςεων) που
θα είχε το κινητό, αν εκτελούςε κάθε μια απλή κίνηςη
ανεξάρτητα και για τον ίδιο χρόνο t.
Μάκησ Αθαναςόπουλοσ – Καμπυλ. Κινήςεισ
3. Οριζόντια βολθ
Ρίχνουμε από κάποιο φψοσ με οριηόντια
ταχφτθτα ζνα ςϊμα. Σότε εκτελεί μία ςφνκετθ
κίνθςθ που μποροφμε να κεωριςουμε ότι
αποτελείται από τισ εξισ δφο απλοφςτερεσ:
α) τον άξονα Οx εκτελεί ευκφγραμμθ
ομαλι κίνθςθ με ταχφτθτα υ0. Άρα ιςχφει:
x υ 0 t (1)
β) τον άξονα Oy εκτελεί ελεφκερθ
πτϊςθ. Ιςχφουν:
υ y gt (2)
1 2
y gt (3)
2
Μάκησ Αθαναςόπουλοσ – Καμπυλ. Κινήςεισ
4. Εξίςωςη τροχιάσ είναι μία εξίςωςθ που
ςυνδζει τισ ςυντεταγμζνεσ x, y των ςθμείων
από τα οποία διζρχεται το ςϊμα. Αν λφςουμε
x
τθν (1) ωσ προσ το χρόνο t: t
υ 0 και
αντικαταςτιςουμε ςτθν (3) παίρνουμε:
2
1 x g x2
y g y
2 υ0 2υ 0
2
Αυτι είναι θ εξίςωςθ τροχιάσ για τθν
οριηόντια βολι. Παρατθροφμε ότι είναι 2ου
βακμοφ ωσ προσ x και άρα πρόκειται για
παραβολή.
Η ταχύτητα ςε κάποιο ςθμείο
υπολογίηεται από τθ ςφνκεςθ τθσ οριηόντιασ
υ0 και τθσ κατακόρυφθσ υy:
υ υ0
2
υ2
y
Μάκησ Αθαναςόπουλοσ – Καμπυλ. Κινήςεισ
5. Κυκλική κίνηςη
Κυκλική κίνηςη είναι θ κίνθςθ που θ
τροχιά είναι περιφζρεια κφκλου.
Ομαλή κυκλική κίνηςη είναι θ κίνθςθ
που θ τροχιά είναι κφκλοσ και το μζτρο τθσ
ταχφτθτασ είναι ςτακερό.
υ σταθ.
Προςοχι: υ σταθ.
Περίοδοσ Τ είναι ο χρόνοσ που χρειάηεται
το κινθτό για να κάνει μια περιφορά.
Συχνότητα f είναι ο αρικμόσ των
περιφορϊν που εκτελεί το κινθτό ςτθ μονάδα
N 1
του χρόνου δθλ. f f
t T
Μάκησ Αθαναςόπουλοσ – Καμπυλ. Κινήςεισ
6. • Γραμμική ταχφτητα
τθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ το μζτρο τθσ
ταχφτθτασ υπολογίηεται από το πθλίκο του
τόξου s που διαγράφει το κινθτό προσ τον
αντίςτοιχο χρόνο:
s 2πR
υ υ (γραμμικι ταχφτθτα)
t T
Σο διάνυςμα τθσ ταχφτθτασ εφάπτεται ςτθν
κυκλικι τροχιά.
Μάκησ Αθαναςόπουλοσ – Καμπυλ. Κινήςεισ
7. • Γωνιακή ταχφτητα
Γωνιακή ταχφτητα ω είναι ζνα διανυςματικό
μζγεκοσ που ζχει κατεφκυνςθ κάκετθ ςτο
επίπεδο τθσ κυκλικισ τροχιάσ και μζτρο το
πθλίκο τθσ γωνίασ κ που διαγράφει θ
επιβατικι ακτίνα ςε χρόνο t προσ το χρόνο:
θ
ω
t
Η γωνιακι ταχφτθτα μετριζται ςτο S.I. ςε
rad/s.
τθν ομαλι κυκλικι κίνθςθ το διάνυςμα τθσ
γωνιακισ ταχφτθτασ παραμζνει ςτακερό.
Μάκησ Αθαναςόπουλοσ – Καμπυλ. Κινήςεισ
8. Σχζςη γωνιακήσ ταχφτητασ με περίοδο ή
ςυχνότητα.
Από τθ ςχζςθ ω=κ/t, αν πάρουμε για t=
1Σ το κινθτό κα κάνει τότε μία περιςτροφι,
δθλ Δκ= 2π. Άρα:
2π
ω
Τ
Αν τϊρα αντικαταςτιςουμε το 1/Σ = f
παίρνουμε:
ω 2π f
Μάκησ Αθαναςόπουλοσ – Καμπυλ. Κινήςεισ
9. Κεντρομόλοσ επιτάχυνςη. τθν ομαλι κυκλικι
κίνθςθ το διάνυςμα τθσ ταχφτθτασ υ αλλάηει
ςυνζχεια κατεφκυνςθ και άρα μεταβάλλεται.
Μεταβολι τθσ ταχφτθτασ όμωσ ςυνεπάγεται
επιτάχυνςθ που εδϊ λζγεται κεντρομόλοσ
επιτάχυνςθ.
Η κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ ζχει
κατεφκυνςθ προσ το κζντρο τθσ κυκλικισ
τροχιάσ και μζτρο που δίνεται από τθ ςχζςθ:
υ2
ακ
R
Η κεντρομόλοσ επιτάχυνςθ είναι
υπεφκυνθ για τθν αλλαγι κατεφκυνςθσ ςε μία
καμπυλόγραμμθ κίνθςθ και δεν επθρεάηει το
μζτρο τθσ ταχφτθτασ.
Μάκησ Αθαναςόπουλοσ – Καμπυλ. Κινήςεισ
10. • Δυναμικθ στην ομαλθ κυκλικθ κίνηση
Όταν ζνα ςϊμα εκτελεί ομαλι κυκλικι κίνθςθ
θ ςυνιςταμζνθ όλων των δυνάμεων που
αςκοφνται ςτο ςϊμα, κα ζχει κατεφκυνςθ
προσ το κζντρο τθσ κυκλικι τροχιάσ και το
μζτρο τθσ κα είναι ίςο με το γινόμενο τθσ
μάηασ επί τθν κεντρομόλο επιτάχυνςθ:
υ2
F m ακ F m
R
τθν περίπτωςθ αυτι θ ςυνιςταμζνθ F
λζγεται κεντρομόλοσ δύναμη. Δθλαδι θ
κεντρομόλοσ δεν είναι κάποια «ειδικι»
δφναμθ αλλά θ ςυνιςταμζνθ των δυνάμεων
που αςκοφνται ςτο ςϊμα.
Μάκησ Αθαναςόπουλοσ – Καμπυλ. Κινήςεισ
