סיכום בתחשיב היחסים. סיכום שהוא נוסף לסיכום בלוגיקה: https://www.slideshare.net/csnotes/ss-257932871

1. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬
‫היחסים‬ ‫בתחשיב‬ ‫סיכום‬
‫היחסים‬ ‫בתחשיב‬ ‫סיכום‬
(‫שול‬ ‫גילי‬ ‫ד"ר‬ ‫מאת‬ "‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫"לוגיקה‬ ‫בקורס‬ ‫היחסים‬ ‫תחשיב‬ ‫של‬ ‫)סיכום‬
I ‫חלק‬
‫בסיסיות‬ ‫הגדרות‬
(Terms) ‫העצם‬ ‫שמות‬ ‫שפת‬ 1
‫המקלדת‬ 1.1
. x, y, z, ... ‫או‬ v0, v1, ... ‫משתנים‬ ‫של‬ ‫שמות‬ ‫סדרת‬
."," ‫ופסיק‬ "(" ‫שמאלי‬ ‫סוגר‬ ,")" ‫ימני‬ ‫סוגר‬ :‫פיסוק‬ ‫סימני‬
‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫שמות‬ ‫שתיקרא‬ ‫סימנים‬ ‫של‬ ‫של‬ ‫אינסופית‬ ‫או‬ (‫ריקה‬ ‫)אולי‬ ‫סופית‬ ‫סדרה‬ :‫קבועים‬ ‫של‬ ‫שמות‬
.‫־מקומיות‬n
‫עצם‬ ‫שמות‬ 1.2
:‫רקורסיבית‬ ‫היא‬ ‫ההגדרה‬ .‫העצם‬ ‫שמות‬ ‫שפת‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ‫מקלדת‬ ‫בהינתן‬
‫שם־עצם‬ ‫ונקראת‬ ‫שם־עצם‬ ‫היא‬ ‫אז‬ ,‫קבוע‬ ‫של‬ ‫שם‬ ‫או‬ ‫משתנה‬ ‫שהוא‬ ‫יחיד‬ ‫סימן‬ ‫בת‬ ‫מחרוזת‬ ‫היא‬ t ‫אם‬ .1
.‫אלמנטרי‬
.d (t) = 0 :0 ‫הוא‬ ‫שלה‬ ‫המבני‬ ‫העומק‬
‫אזי‬ ‫מבנית‬ ‫עומק‬ ‫להם‬ ‫יש‬ ‫שכבר‬ ‫עצם‬ ‫שמות‬ ‫הם‬ t1, ..., tk ‫ואם‬ ‫־מקומית‬k ‫פונקציה‬ ‫סימן‬ ‫היא‬ F ‫אם‬ .2
.‫עצם‬ ‫שם‬ ‫היא‬ F (t1, ..., tk) ‫המחרוזת‬
.d (t) = 1 + max {d (t1) , ..., d (tk)} :‫הוא‬ ‫זה‬ ‫שם־עצם‬ ‫של‬ ‫המבני‬ ‫העומק‬
1

2. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬
‫היחסים‬ ‫בתחשיב‬ ‫סיכום‬
‫באינדוקציה‬ ‫ההגדרה‬ ‫משפט‬ 2
.‫עצם‬ ‫שמות‬ ‫שפת‬ ‫נתונה‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫אחרת‬ ‫קבוצה‬ ‫לכל‬ ‫העצם‬ ‫שמות‬ ‫מקבוצת‬ H ‫פונקציה‬ ‫את‬ ‫להגדיר‬ ‫אפשר‬
.(‫משתנה‬/‫)קבוע‬ t ‫אלמנטרי‬ ‫שם־עצם‬ ‫לכל‬ H (t) ‫את‬ ‫מגדירים‬ .1
‫בהנחה‬ 1
H (F (t1, .., tn)) ‫את‬ ‫מגדירים‬ t1, ..., tn ‫עצם‬ ‫ושמות‬ F ‫־מקומית‬n ‫פונקציה‬ ‫של‬ ‫שם‬ ‫לכל‬ .2
‫מוגדרים‬ ‫כבר‬ H (t1) , ..., H (tn) .‫ערכיה‬ ‫על‬ ‫ובהסתמך‬ t1, ..., tn ‫עבור‬ ‫מוגדרת‬ ‫כבר‬ H ‫שהפונקציה‬
.H (F (t1, ..., tn)) ‫את‬ ‫מגדירים‬ ‫לפיהם‬
‫במחרוזת‬ ‫הסגוריים‬ ‫מספר‬ ‫את‬ ‫סופרת‬ H :‫דוגמא‬ 2.1
H (t) =
(
0 t = C/V
2 +
Pn
i=1 H (ti)
.‫משתנה‬ ‫או‬ ‫קבוע‬ ‫הוא‬ t ‫אם‬ ‫־‬ (‫שלנו‬ ‫)במקרה‬ ‫כלומר‬ .‫משתנה‬ ‫או‬ ‫קבועו‬ ‫פירושו‬ = C/V
‫באינדוקציה‬ ‫ההגדרה‬ ‫לוקליות‬ 3
‫לקבועים‬ ‫ביחס‬ ‫אולי‬ ‫ונבדלות‬ ‫מבנית‬ ‫באינדוקציה‬ ‫במוגדרות‬ ‫פונקציות‬ H0
‫ו־‬ H‫ש־‬ ‫ונניח‬ ‫שם־עצם‬ t‫ש־‬ ‫נניח‬
‫אזי‬ ‫־‬ ‫המעבר‬ ‫לכללי‬ ‫ביחס‬ ‫ולא‬ t‫ב־‬ ‫המופיעים‬ ‫ולמשתנים‬ ‫לקבועים‬ ‫ביחס‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ t‫ב־‬ ‫מופיעים‬ ‫שאינם‬ ‫ולמשתנים‬
.H0
(t) = H (t)
?‫מבנית‬ ‫באינדוקציה‬ H ‫פונקציה‬ ‫מגדירים‬ ‫איך‬
H (F (t1, ..., tn)) ‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מגדירים‬ F ‫פונקציה‬ ‫של‬ ‫שם‬ ‫ולכל‬ ‫המשתנים‬ ‫ועל‬ ‫הקבועים‬ ‫על‬ H ‫את‬ ‫מגדירים‬
.H (t1) , ..., H (tn) ‫של‬ ‫הערכים‬ ‫סמך‬ ‫על‬
‫הצבה‬ 4
‫והיא‬ t [s/x]‫ב־‬ ‫מסומנת‬ t‫ב־‬ x ‫במקום‬ s ‫של‬ ‫הצבה‬ ‫אז‬ .‫משתנה‬ ‫של‬ ‫שם‬ ‫הוא‬ x‫ו־‬ ‫עצם‬ ‫שמות‬ ‫הם‬ t, s‫ש־‬ ‫נניח‬
.s ‫במחרוזת‬ x ‫האות‬ ‫של‬ ‫המופעים‬ ‫כל‬ ‫החלפת‬ ‫ע"י‬ ‫צא‬ ‫מהמחרוזת‬ ‫המתקבלת‬ ‫המחרוזת‬
.‫שם־עצם‬ ‫הוא‬ t [s/x] ‫אז‬ ‫משתנה‬ ‫של‬ ‫שם‬ x‫ו־‬ ‫עצם‬ ‫שמות‬ s‫ו־‬ t ‫אם‬ 4.1 ‫טענה‬
‫מבנית‬ ‫באינדוקציה‬ ‫שמוגדרת‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ H‫ש־‬ ‫ונניח‬ ,‫משתנה‬ ‫של‬ ‫שם‬ x‫ו־‬ ‫עצם‬ ‫שמות‬ t, s1, s2 ‫יהיו‬ 4.2 ‫טענה‬
:‫אזי‬ H (S1) = H (S2) ‫שמקיימת‬
H (t [s1/x]) = H (t [s2/x])
‫עצם‬ ‫שמות‬ ‫פירוש‬ 5
.‫שם־עצם‬ ‫של‬ ‫שפה‬ L ‫תהי‬
:‫מורכב‬ ‫בשפה‬ M ‫מודל‬/‫מבנה‬
.‫המבנה‬ ‫של‬ (‫העולם‬ :‫)או‬ ‫התחום‬ ‫הנקראת‬ ‫ריקה‬ ‫לא‬ A ‫מקבוצה‬ .1
F ‫סימן‬ ‫ולכל‬ cM
‫ב־‬ ‫שמסומן‬ ‫המבנה‬ ‫של‬ ‫בתחום‬ ‫עצם‬ ‫בשפה‬ c ‫קבוע‬ ‫של‬ ‫שם‬ ‫לכל‬ ‫שמתאימה‬ ‫מהתאמה‬ .2
‫היא‬ An
‫כאשר‬ FM
: An
→ A :‫כלומר‬ .F ‫עבור‬ ‫הנדרשת‬ ‫הערכיות‬ ‫עם‬ FM
‫פונקציה‬ ‫מתאימה‬ ‫בשפה‬
.(F ‫באמצעות‬ A‫ב־‬ ‫אחד‬ ‫לאיבר‬ ‫מעבירים‬ ‫שאנחנו‬ A ‫מתוך‬ ‫הערכים‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ n) ‫הנדרשת‬ ‫הערכיות‬
‫סימון‬ 5.1
:‫הוא‬ ‫המקובל‬ ‫הסימון‬
M = A; cM
1 , cM
2 , ....; FM
1 , FM
2 , .....
.‫מחרוזת‬ ‫היא‬ F (t1, .., tn)‫ש־‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬1
2

3. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬
‫היחסים‬ ‫בתחשיב‬ ‫סיכום‬
‫השמה‬ 6
‫איבר‬ ‫המתאימה‬ ‫־‬ S : {vo, v1, ....} → A :‫התאמה‬ ‫היא‬ ‫במבנה‬ ‫השמה‬ ,A ‫עולם‬ ‫עם‬ S ‫מודל‬/‫מבנה‬ ‫בהניתן‬
‫המשתנה‬ ‫של‬ ‫הפירוש‬ ‫לו‬ ‫ונקרא‬ xS
‫ב־‬ ‫או‬ S (x)‫ב־‬ x‫ל־‬ ‫המותאם‬ ‫האיבר‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ .‫משתנה‬ ‫של‬ ‫שם‬ ‫לכל‬ A‫ב־‬
.‫בהשמה‬
‫והשמה‬ ‫במודל‬ ‫עצם‬ ‫שם‬ ‫של‬ ‫פירוש‬ 7
:S ‫בהשמה‬ t ‫העצם‬ ‫שם‬ ‫של‬ tS
‫הפירוש‬ ‫מהו‬ ‫העצם‬ ‫שם‬ ‫מבנה‬ ‫על‬ ‫באינדוקציה‬ ‫נגדיר‬ ‫בשפהץ‬ M ‫מודל‬ ‫נתון‬
.(tS
= cM
:‫)או‬ S (t) = cM
‫אז‬ c ‫קבוע‬ ‫של‬ ‫עצם‬ ‫שם‬ ‫הוא‬ t ‫אם‬ .1
.(xS
= tS
:‫)או‬ tS
= S (x) ‫אז‬ x ‫משתנה‬ ‫של‬ ‫שם‬ ‫הוא‬ t ‫אם‬
:‫אזי‬ ,‫מוגדרים‬ 1 ≤ i ≤ n ‫לכל‬ ,S (ti) ‫שהעצמים‬ ‫ונניח‬ t = f (t1, ..., tn)‫ש־‬ ‫נניח‬ :‫מורכבים‬ ‫לשמות‬ .2
S (t) = fM
(S (t1) , ..., S (tn))
tS
= fM
tS
1 , ..., tS
n
:‫חלופי‬ ‫סימן‬
‫הלוקליות‬ ‫משפט‬ 7.1
:‫אזי‬ t‫ב־‬ ‫המוזכרים‬ ‫המשתנים‬ ‫על‬ ‫שמתלכדות‬ ‫השמות‬ ‫שתי‬ S1, S2‫ו־‬ ‫שם־עצם‬ t ,‫מודל‬ M ‫יהי‬
S1 (t) = S2 (t)
‫וזה‬ ,‫במודל‬ ‫ערך‬ ‫אותו‬ t‫ל־‬ ‫נותנות‬ ‫ההשמות‬ ‫כל‬ ‫אז‬ (‫משתנים‬ ‫בו‬ ‫מוזכרים‬ ‫)שלא‬ ‫קבוע‬ ‫שם־עצם‬ t ‫אם‬ :‫בפרט‬
.‫במודל‬ ‫שלו‬ ‫הפירוש‬
.tS
‫במקום‬ tM
‫ב־‬ ‫זאת‬ ‫לסמן‬ ‫אפשר‬
‫הצבה‬ ‫של‬ ‫מודולריות‬ 8
.‫משתנה‬ x‫ו־‬ ‫עצם‬ ‫שמות‬ t, s1, s2 ‫יהיו‬ .‫הצבות‬ S1, S2 ‫ותהיינה‬ ‫מבנה‬ M ‫יהי‬
:‫אזי‬ S1 (y) = S2 (y) t‫ב־‬ ‫ומופיע‬ x‫מ־‬ ‫השונה‬ y ‫משתנה‬ ‫ולכל‬ S1 (s1) = S2 (s2) ‫נניח‬
S1 (t [s1/x]) = S2 (t [s2/x])
II ‫חלק‬
‫היחסים‬ ‫שפת‬
:‫לשניים‬ ‫מתחלת‬ ‫המקלדת‬
‫לוגיים‬ ‫החוץ‬ ‫הסימנים‬ :‫ראשון‬ ‫חלק‬ 9
.c1, c2, ... :‫קבועים‬ ‫סימני‬
.F1, F2,, .... :‫פונקציות‬ ‫סימני‬
.R1, R2 :‫יחסים‬ ‫סימני‬
‫הלוגיים‬ ‫הסימנים‬ :‫שני‬ ‫חלק‬ 10
.¬, →, ∨, ∧, ↔ :‫הקשרים‬ .1
., ( ) :‫וסוגריים‬ ‫פיסוק‬ ‫סימני‬ .2
.(‫כאלה‬ ‫אינסוף‬ ‫)יש‬ v0, v1, ... :‫המשתנים‬ .3
.∃ ‫וקיים‬ ∀ ‫לכל‬ :‫הכמתים‬ .4
3

4. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬
‫היחסים‬ ‫בתחשיב‬ ‫סיכום‬
‫קשור‬ ‫ומשתנה‬ ‫חופשי‬ ‫משתנה‬ 11
‫של‬ ‫ממופע‬ ‫חלק‬ ‫הוא‬ ‫אלא‬ ‫משתנה‬ ‫של‬ ‫של‬ ‫מופע‬ ‫נקרא‬ ‫לא‬ ‫מופע‬ ‫נקרא‬ ‫לא‬ 2
Q ‫לכמת‬ ‫בסמוך‬ ‫המופיע‬ x ‫הסימן‬
.‫הכמת‬ ‫של‬
.‫חופשי‬ ‫יהיה‬ ‫או‬ Q1x ‫יחיד‬ ‫לכמת‬ ‫קשור‬ ‫יהיה‬ x (Q‫ל־‬ ‫צמוד‬ ‫)שאינו‬ x ‫של‬ ‫אחר‬ ‫מופע‬ ‫בכל‬
‫דוגמאות‬ 11.1
‫רק‬ ‫היא‬ ‫והמטרה‬ ‫היות‬ ‫לפונקציות‬ ‫פרנשות‬ ‫כרגע‬ ‫ניתן‬ ‫)ולא‬ A = {1, 2, 3, 4} ‫המספרים‬ ‫של‬ ‫בעולם‬ ‫שאנחנו‬ ‫נניח‬
.‫קשור‬ ‫ומשתנה‬ ‫חופשי‬ ‫משתנה‬ ‫מהו‬ ‫להמחיש‬
.‫כאן‬ ‫חופשי‬ ‫הוא‬ x ‫המשתנה‬ (x 2)
.‫כאן‬ ‫קשור‬ ‫הוא‬ x ‫המשתנה‬ ∀x (x 2)
.‫חופשי‬ ‫השני‬ x‫ה־‬ ‫ואילו‬ (∃ ‫)לכמת‬ ‫קשור‬ ‫משתנה‬ ‫הינו‬ ‫המודגש‬ x‫ה־‬ (∃x (x 2)) ∧ (x 4)
.‫קשורים‬ ‫כאן‬ x‫ה־‬ ‫של‬ ‫המופעים‬ ‫שני‬ (∀x (x 2)) ∨ ∃x (x 3)
!∀ ‫לכמת‬ ‫ולא‬ ∃ ‫לכמת‬ ‫שייך‬ ‫המודגש‬ x‫ה־‬ ‫־‬ ∀x (∃x (x 2)) : ‫בנוסחה‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
‫בנוסחה‬ ‫הצבה‬ 11.2
.‫שם־עצם‬ t‫ו־‬ ‫נוסחה‬ ϕ ‫יהיו‬
.t ‫במחרוזת‬ x ‫המשתנה‬ ‫של‬ ‫חופשי‬ ‫מופע‬ ‫כל‬ ‫מחליפה‬ ϕ [t/x] ‫ההצבה‬ .1
‫כתוצאה‬ ‫קשור‬ ‫להיות‬ ‫הופך‬ ‫אינו‬ t‫ב־‬ ‫המופיע‬ ‫משתנה‬ ‫אף‬ ‫אםם‬ (‫)חוקית‬ ‫כשרה‬ ‫הצבה‬ ‫היא‬ ϕ [t/x] ‫ההצבה‬ .2
.‫מההצבה‬
‫כל‬ ,‫כלומר‬ .‫חופשי‬ ‫משתנה‬ ‫שום‬ ‫בה‬ ‫אין‬ ‫אםם‬ (‫סגורה‬ ‫נוסחה‬ :‫)או‬ ‫פסוק‬ ‫בשם‬ ‫נקראת‬ ‫נוסחה‬ 11.1 ‫הגדרה‬
.‫קשורים‬ ‫הם‬ ‫המשתנים‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫המופעים‬
:‫כשרה‬ ‫שאינה‬ ‫להצבה‬ ‫דוגמא‬
.‫חופשי‬ ‫משתנה‬ y‫ו־‬ ‫קשור‬ ‫משתנה‬ x ‫כאן‬ ‫במקרה‬ ‫־‬ ϕ = ∃x (x y) ‫על‬ ‫נסתכל‬
‫הוא‬ ‫שנקבל‬ ‫מה‬ ‫אזי‬ ,‫חופשי‬ ‫הוא‬ ‫עוד‬ ‫כל‬ y ‫כל‬ ‫במקום‬ x ‫נציב‬ ‫למעלה‬ ‫שנוסחה‬ ‫אומרת‬ ϕ [y/x] ‫ההצבה‬
.‫חופשי‬ ‫שהיה‬ ‫משתנה‬ ‫קשרנו‬ ‫כי‬ ‫חוקי‬ ‫אינו‬ ‫וזה‬ ‫־‬ ϕ = ∃x (x x)
‫שוויון‬ ‫עם‬ ‫לוגיקה‬ 12
:‫כזהות‬ ‫מתפרש‬ ‫והוא‬ ‫בשפה‬ ‫דו־מקומי‬ ‫יחס‬ ‫כסימן‬ ‫נכלל‬ ≈ ‫הסימן‬ ‫שוויון‬ ‫עם‬ ‫בלוגיקה‬
≈M
=
ha, ai a ∈ A
.‫בשפה‬ ≈ ‫הסימן‬ ‫את‬ ‫בוחרים‬ ‫לא‬ ‫פעמים‬ ‫הרבה‬ ‫שוויון‬ ‫עם‬ ‫בלוגיקה‬ ‫שמשתמשים‬ ‫פעמים‬ ‫והרבה‬
:a, b ∈ A ‫לכל‬ ,‫כלומר‬
a ≈M
b
⇐⇒ a = b
.‫כזהות‬ ‫להתפרש‬ ‫חייב‬ ‫אינו‬ ‫הוא‬ ‫במקלדת‬ ≈ ‫הסימן‬ ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫גם‬ ‫שוויון‬ ‫ללא‬ ‫בלוגיקה‬
‫ובהשמה‬ ‫במודל‬ ‫נוסחה‬ ‫של‬ ‫האמת‬ ‫ערך‬ 13
a‫ל־‬ x ‫את‬ ‫השולח‬ S ‫של‬ ‫התיקון‬ ‫היא‬ S hx|ai ,‫בעולם‬ ‫עצם‬ ‫שם‬ a‫ו־‬ ‫משתנה‬ x ,M ‫במודל‬ ‫השמה‬ S ‫אם‬ :‫סימון‬
.(‫השמה‬ ‫לבנות‬ ‫ניתן‬ ‫ככה‬ ,‫אחרות‬ ‫)במילים‬ ‫הדבר‬ ‫אותו‬ ‫נשארת‬ S ‫אחר‬ ‫משתנה‬ ‫כל‬ ‫ועבור‬
.S x
a
‫ב־‬ ‫זאת‬ ‫לסמן‬ ‫גם‬ ‫ניתן‬
.S hx|3i ϕ = ∃x (x 3) :‫שלמעלה‬ ‫בדוגמא‬ ,‫למשל‬
.‫השמה‬ S ‫ותהי‬ ‫בשפה‬ ‫מודל‬ M ‫יהי‬ ,‫היחסים‬ ‫בשפת‬ ‫נוסחה‬ ϕ ‫תהי‬
RM
(t1, ..., tn) = T ‫אםם‬ S ‫בהשמה‬ ‫אמיתית‬/‫נכונה‬ ‫הנוסחה‬ ‫אזי‬ ,‫אטומית‬ ‫נוסחה‬ ϕ = R (t1, ..., tn) ‫אם‬ .1
.( tS
1 , ..., tS
n
∈ RM
:‫)או‬
.S (ψ) = F ⇐⇒ S (ϕ) = T ‫אז‬ ϕ = ¬ψ ‫אם‬ .2
.∃ ‫או‬ ∀ ‫או‬ ‫־‬ ‫כלשהו‬ ‫כמת‬ ‫פירושו‬ Q2
4

5. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬
‫היחסים‬ ‫בתחשיב‬ ‫סיכום‬
S (ψ) = F ‫אםם‬ S (ϕ) = T ‫אז‬ ϕ = (ψ → θ) ‫למשל‬ ,‫הפסוקית‬ ‫בשפה‬ ‫כמו‬ ‫היא‬ ‫אז‬ϕ = (ψ@θ) ‫אם‬ .3
.(‫דו־מקומי‬ ‫קשר‬ ‫־‬ @) .S (θ) = T ‫או‬
‫בהשמה‬ ‫נכונה‬ψ) S hx|ai |= ψ‫ש־‬ ‫כך‬ M ‫של‬ ‫בעולם‬ a ‫איבר‬ ‫קיים‬ ‫אםם‬ S (ϕ) = T ‫אז‬ ϕ = ∃xψ ‫אם‬ .4
‫הפסוק‬ ‫כל‬ ‫ואז‬ ‫־‬ T ‫נותנת‬ ‫שלו‬ ‫שההשמה‬ ‫־‬ ‫כזה‬ ‫אחד‬ ‫איבר‬ ‫רק‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מספיק‬ ,‫אחרות‬ ‫במילים‬ .(S hx|ai
.(‫אמת‬ ‫יהיה‬
a ∈ A ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ .S hx|ai ‫בהשמה‬ ‫נכונה‬ ψ M ‫של‬ ‫בעולם‬ a ‫לכל‬ ‫אםם‬ S (ϕ) = T ‫אז‬ ϕ = ∀xψ ‫אם‬ .5
.(S (ϕ) = F ‫ואז‬ ‫מספק‬ ‫שלא‬ ‫אחד‬ ‫איבר‬ ‫רק‬ ‫שיש‬ ‫מספיק‬ ,‫אחרת‬ ,ψ ‫את‬ ‫לספק‬ ‫חייב‬
‫בכל‬ ‫תלות‬ ‫יש‬ ‫אלא‬ ,x ‫במקום‬ ‫נשים‬ ‫הצבה‬ ‫איזו‬ ‫משנה‬ ‫לא‬ (4,5 ‫)סעיפים‬ ‫הכמתים‬ ‫של‬ ‫שבהקשר‬ ‫לב‬ ‫לשים‬ ‫כדי‬
.(‫לכמת‬ ‫)בהתאם‬ A ‫אברי‬
:‫סימון‬
.M |=S ϕ ,S |= ϕ ,S (ϕ) = T :S ‫בהשמה‬ ‫אמיתית‬/‫נכונה‬ ϕ ‫הנוסחה‬
.M 6|=S ϕ ,S 6|= ϕ ,S (ϕ) = F :S ‫בהשמה‬ ‫שקרית‬/‫נכונה‬ ‫אינה‬ ϕ ‫הנוסחה‬
‫דוגמאות‬ 14
‫הגרף‬ ‫דוגמת‬ 14.1
:‫הבא‬ ‫הגרף‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬
3
5 1 2
4
:‫הבא‬ ‫המודל‬ ‫על‬ ‫נתסכל‬
.‫הגרף‬ ‫קדוקודי‬ ‫הוא‬ ‫־‬ ‫שלנו‬ ‫העולם‬ ‫־‬ A
.(‫קבוע‬ ‫הוא‬ c) .5 ‫מספר‬ ‫קודקוד‬ ‫־‬ cM
.‫לא‬ ‫או‬ ‫שכנים‬ ‫הם‬ ‫אם‬ ‫אמת‬ ‫ומחזיר‬ ‫בגרף‬ ‫קודקדים‬ ‫שני‬ ‫המקבל‬ ‫מקומי‬ ‫דו‬ ‫יחס‬ ‫־‬ NM
(v1, v2)
.cM
‫לקודקוד‬ ‫המרחק‬ ‫את‬ ‫ומחזירה‬ ‫בגרף‬ x ‫קודקוד‬ ‫המקבלת‬ ‫פונקציה‬ ‫־‬ FM
1 (x)
.(‫שלהם‬ ‫הרגיל‬ ‫הנומרי‬ ‫)במובן‬ =, , , ≤, ≥ ‫היחסים‬ ‫את‬ ‫וישנם‬
—
:‫הבאים‬ ‫הפסוקים‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫כעת‬
‫לכן‬ ,‫השמה‬ ‫נצטרך‬ ‫אמת‬ ‫ערך‬ ‫לה‬ ‫לתת‬ ‫שבשביל‬ ‫נוסחה‬ ‫זוהי‬
.S x|cM
(ϕ) = F :‫וכמו־כן‬ ,S hx|2i (ϕ) = T
ϕ = FM
1 (x) = 2
‫ואכן‬ ,‫שלו‬ ‫שכן‬ ‫הוא‬ 5 ‫שקודקוד‬ ‫בגרף‬ x ‫קודקוד‬ ‫קיים‬ ,‫כלומר‬
‫שהפסוק‬ ‫כדי‬ ‫אחד‬ ‫רק‬ ‫שיש‬ ‫מספיק‬ ‫אבל‬ ,‫כזה‬ ‫מאחד‬ ‫יותר‬ ‫יש‬
.T ‫הוא‬ ‫הפסוק‬ ‫של‬ ‫ערכו‬ ‫ולכן‬ ,‫אמיתי‬ ‫יהיה‬
∃x NM
(x, c)
‫קודקוד‬ ‫שכל‬ ‫היא‬ ‫המשמעות‬ ‫שהפעם‬ ‫רק‬ ,‫מקודם‬ ‫כמו‬ ‫דבר‬ ‫אותו‬
.F ‫הוא‬ ‫הפסוק‬ ‫ערך‬ ,‫נכון‬ ‫לא‬ ‫וזה‬ ‫והיות‬ ,5 ‫של‬ ‫שכן‬ ‫הוא‬ ‫בגרף‬
∀x NM
(x, c)
.‫שכן‬ ‫קודקוד‬ ‫יש‬ ‫בגרף‬ ‫קודקוד‬ ‫לכל‬ ‫כי‬ ‫נכונה‬ ‫זאת‬ ‫נוסחה‬ ‫ואכן‬ ∀x∃y NM
(x, y)
‫שראינו‬ ‫כמו‬ ‫אמת‬ ‫הוא‬ ψ ‫של‬ ‫השמאלי‬ ‫החלק‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬
‫־‬ ‫חופשי‬ ‫הוא‬ ‫השני‬ ‫בחלק‬ x‫ה־‬ ‫זאת‬ ‫לעומת‬ ‫אבל‬ ,‫השני‬ ‫בפסוק‬
.‫בהשמה‬ ‫תלוי‬ ‫הוא‬ ‫ולכן‬
‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ .S hx|3i = F ‫ואילו‬ S x|cM
(ψ) = T :‫לכן‬
ψ ‫של‬ ‫השמאלי‬ ‫החלק‬ ‫של‬ ‫האמת‬ ‫ערך‬ ‫על‬ ‫משפיעה‬ ‫אינה‬ ‫ההשמה‬
.‫הימני‬ ‫החלק‬ ‫על‬ ‫רק‬ ‫אלא‬
.S hx|5i (ψ) = T ‫לכתוב‬ ‫יכולים‬ ‫גם‬ ‫היינו‬ ‫כמו־כן‬
ψ = ∃x NM
(x, c)
∧ FM
1 (x) = 0
.‫מודל‬ M‫ו־‬ ‫היחסים‬ ‫בשפת‬ ‫נוסחה‬ ϕ ‫תהי‬ 14.1 ‫משפט‬
.‫אמת‬ ‫ערך‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ϕ‫ל־‬ ‫נותנות‬ ϕ ‫של‬ ‫החופשיים‬ ‫המשתנים‬ ‫על‬ ‫המתלכדות‬ ‫השמות‬ ‫שתי‬ ‫כל‬ .1
.‫אמת‬ ‫ערך‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ϕ‫ל־‬ ‫נותנות‬ M‫ב־‬ ‫ההשמות‬ ‫כל‬ ‫אז‬ ‫פסוק‬ ϕ ‫אם‬ ,‫בפרט‬ .2
5

6. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬
‫היחסים‬ ‫בתחשיב‬ ‫סיכום‬
‫בנוסחאות‬ ‫ההצבה‬ ‫מודולריות‬ 15
.‫משתנה‬ x ‫ויהי‬ ‫שם־עצם‬ t ‫ויהי‬ ‫נוסחה‬ ϕ ‫תהי‬
.‫כשרה‬ ϕ [t/x] ‫שההצבה‬ ‫נניח‬
:‫המקיימות‬ ‫השמות‬ ‫שתי‬ S, S1 ‫תהיינה‬
:‫אזי‬ ,S (y) = S1 (y) :‫מתקיים‬ x‫מ־‬ ‫ושונה‬ ϕ‫ב־‬ ‫חופשי‬ ‫שהוא‬ y ‫משתנה‬ ‫לכל‬ ‫־‬ ‫וגם‬ S (x) = S1 (t)
S (ϕ) = S1 (ϕ [t/x])
.‫במודל‬ S ‫השמה‬ ‫בכל‬ ‫נכונה‬ ‫היא‬ ‫אםם‬ M ‫במודל‬ ‫נכונה‬ ϕ ‫נוסחה‬ 15.1 ‫הגדרה‬
.∀x1 · · · ∀xrϕ ‫הפסוק‬ ‫הוא‬ ϕ ‫של‬ ‫הכולל‬ ‫הסגור‬ ,ϕ‫ב־‬ ‫החופשיים‬ ‫המשתנים‬ ‫כל‬ ‫הם‬ x1, ..., xr ‫כי‬ ‫נניח‬ 15.2 ‫הגדרה‬
.M‫ב־‬ ‫נכונה‬ ∀xϕ ‫אםם‬ M ‫במודל‬ ‫נכונה‬ ϕ :‫אז‬ ,‫מודל‬ M‫ו־‬ ‫משתנה‬ x ,‫נוסחה‬ ϕ ‫יהיו‬ 15.3 ‫משפט‬
.M‫ב־‬ ‫נכון‬ ∀x1 · · · ∀xr ‫הכולל‬ ‫הסגור‬ ‫אםם‬ M ‫ב־מודל‬ ‫נכונה‬ϕ ‫הנוסחה‬ 15.4 ‫משפט‬
‫אמיתי‬ ‫הוא‬ ‫פסוק‬ ,‫בפרט‬ .‫השמה‬ ‫ובכל‬ ‫מודל‬ ‫בכל‬ ‫נכונה‬ ‫היא‬ ‫אםם‬ ‫לוגית‬ ‫אמיתית‬ ‫היא‬ ϕ ‫נוסחה‬ 15.5 ‫הגדרה‬
.‫מודל‬ ‫בכל‬ ‫אמיתי‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ ‫לוגית‬
.S |= ϕ ⇐⇒ S |= ψ .S ‫השמה‬ ‫ובכל‬ M ‫מודל‬ ‫בכל‬ ‫אםם‬ ϕ ≡ ψ ‫לוגית‬ ‫שקולות‬ ϕ, ψ ‫הנוסחאות‬ 15.6 ‫הגדרה‬
:‫אזי‬ ,ϕ ≡ ψ, ϕ1 ≡ ψ1 ‫כי‬ ‫נניח‬ 15.7 ‫משפט‬
.¬ϕ ≡ ¬ψ .1
.@ ‫דו־מקומי‬ ‫קשר‬ ‫לכל‬ (ϕ@ϕ1) ≡ (ψ@ψ1) .2
.∀xϕ ≡ ∀xψ .3
. ∃xϕ ≡ ∃xψ .4
‫היחסים‬ ‫שפת‬ ‫של‬ ‫טאוטולוגיה‬ ‫נקראת‬ ‫הפסוקים‬ ‫תחשיב‬ ‫של‬ ‫בטאוטולוגיה‬ ‫מהצבה‬ ‫המתקבלת‬ ‫נוסחה‬ 15.8 ‫הגדרה‬
.‫לוגית‬ ‫אמיתית‬ ‫והיא‬
:‫אזי‬ ,ϕ = (P ∨ ¬P) ,α = ∀xR (x, y) :‫למשל‬
.‫לוגית‬ ‫אמיתית‬ ‫היא‬ ϕ0
= ϕ [α/P]
.‫לוגית‬ ‫אמיתית‬ ‫היא‬ (∀xϕ → ϕ [t/x]) ‫אזי‬ ‫כשרה‬ ‫הצבה‬ ‫היא‬ ϕ [t/x] ‫אם‬ 15.9 ‫משפט‬
‫משתנים‬ ‫רענון‬ 16
:‫אז‬ ‫נוסחה‬ ‫היא‬ ϕ ‫כאשר‬ (‫קשור‬ ‫ולא‬ ‫חופשי‬ ‫)לא‬ ϕ‫ב־‬ ‫מופיע‬ ‫שאינו‬ ‫משתנה‬ y ‫אם‬
∀xϕ ≡ ∀yϕ [y/x]
.‫משתנים‬ ‫רענון‬ ‫נקרא‬ ‫זה‬
6

7. ‫המחשב‬ ‫למדעי‬ ‫לוגיקה‬
‫היחסים‬ ‫בתחשיב‬ ‫סיכום‬
‫כמתים‬ ‫עם‬ ‫שקילויות‬ 17
‫שלילה‬ 17.1
¬∀xϕ ≡∃x¬ϕ
¬∃ϕ ≡∀x¬ϕ
∀xϕ ≡¬∃x¬ϕ
∃xϕ ≡¬∀x¬ϕ
:ψ‫ב־‬ ‫חופשי‬ ‫מופיע‬ ‫אינו‬ x‫ש־‬ ‫נניח‬
(∀xϕ ∨ ψ) ≡∀x (ϕ ∨ ψ)
(∀xϕ ∧ ψ) ≡∀x (ϕ ∧ ψ)
(∃xϕ ∨ ψ) ≡∃x (ϕ ∨ ψ)
(∃xϕ ∧ ψ) ≡∃x (ϕ ∧ ψ)
‫חץ‬ 17.2
(ψ → ∀xϕ) ≡∀x (ψ → ϕ)
(∀xϕ → ψ) ≡∃x (ϕ → ψ)
‫נורמלית‬ ‫פרנקסית‬ ‫וצורה‬ ‫פרנקסית‬ ‫צורה‬ 18
‫בצורה‬ ‫נוסחה‬ ‫נקראת‬ ‫נוסחה‬ ,‫)כלומר‬ ‫שבהן‬ ‫נוסחאות‬ ‫עבור‬ ‫כתיבה‬ ‫צורת‬ ‫היא‬ ‫פרנקסית‬ ‫צורה‬ 18.1 ‫הגדרה‬
.‫כמתים‬ ‫חסרת‬ ‫נוסחת‬ ‫ולאחרים‬ ‫הנוסחה‬ ‫בראש‬ ‫מופיעים‬ ‫הכמתים‬ ‫כל‬ (...‫אם‬ ‫פרנקסית‬
.DNF ‫נורמלית‬ ‫דיסיונקטיבית‬ ‫בצורה‬ ‫הוא‬ ‫הכמתים‬ ‫חסר‬ ‫החלק‬ ‫אם‬ ‫נורמלית‬ ‫פרנקסית‬ ‫בצורה‬ ‫נקראת‬ ‫הנוסחה‬
.‫פרנקסית‬ ‫בצורה‬ ‫לנוסחה‬ ‫שקולה‬ ‫נוסחה‬ ‫כל‬ 18.2 ‫משפט‬
.‫נרומלית‬ ‫פרנקסית‬ ‫לנוסחה‬ ‫שקולה‬ ‫נוסחה‬ ‫כל‬ 18.3 ‫משפט‬
‫שהוצאות‬ ‫לנו‬ ‫יוכיח‬ ‫זה‬ ‫וכך‬ (‫מקודם‬ ‫שריאנו‬ ‫)כפי‬ ‫משתנים‬ ‫בריענון‬ ‫להעזר‬ ‫ניתן‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫לעשות‬ ‫רוצים‬ ‫אנחנו‬ ‫כאשר‬
.(‫שלמעלה‬ ‫לשקילויות‬ ‫)בהתאם‬ ‫חוקית‬ ‫היא‬ ‫הכמת‬
:‫למשל‬
‫עפ‬ ‫אותה‬ ‫לעשות‬ ‫)שנוכל‬ ‫הכמתים‬ ‫שהוצאת‬ ‫כדי‬ ‫משתנים‬ ‫ריענון‬ ‫לבצע‬ ‫נצטרך‬ ‫אזי‬ (∀xϕ ∨ ∀yϕ) ‫את‬ ‫ניקח‬
‫לשים‬ ‫אחת‬ ‫בבת‬ ‫את‬ ‫נעשה‬ ‫כאן‬ ‫אבל‬ ,‫שלב־שלב‬ ‫זה‬ ‫את‬ ‫לעשות‬ ‫)ניתן‬ ‫בנוסחה‬ ‫תפגע‬ ‫לא‬ (‫שלמעלה‬ ‫השקילויות‬
.(‫הקיצור‬
:‫משתנים‬ ‫הריענון‬ ‫את‬ ‫נבע‬ ‫כל‬ ‫קודם‬ ‫אזי‬
‫לעשות‬ ‫צורך‬ ‫ממש‬ ‫אין‬ ‫שכאן‬ ‫היא‬ ‫)האמת‬ ‫ההצבה‬ ‫עי‬ ,‫וככה‬ ‫־‬ (∀xϕ ∨ ∀yϕ) ≡ (∀xϕ [z/y] ∨ ∀yϕ [w/x])
:‫ולכן‬ ,‫כשרה‬ ‫תהיה‬ ‫ההוצאה‬ ‫הכמתים‬ ‫את‬ ‫נוציא‬ ‫שאם‬ ‫מבטיחים‬ ‫אנחנו‬ (‫משתנים‬ ‫רענון‬
≡ ∀x∀y (ϕ [z/y] ∨ ϕ [w/x])
:‫משתנים‬ ‫רענון‬ ‫עם‬ ‫פשוטה‬ ‫דוגמא‬
ψ ‫של‬ ‫־ים‬x‫ה־‬ ‫על‬ ‫ישפיע‬ ‫ושהוא‬ ‫השמאלי‬ ∀x‫ה־‬ ‫את‬ ‫להוציא‬ ‫רוצים‬ ‫לא‬ ‫אנחנו‬ ‫שכאן‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ‫־‬ (∀xϕ ∨ ∀xψ)
:‫משתנה‬ ‫ריענון‬ ‫נעשה‬ ‫ולכן‬
:‫הנוסחה‬ ‫בכשירות‬ ‫לפגוע‬ ‫מבלי‬ ‫הכמתים‬ ‫את‬ ‫להוציא‬ ‫נוכל‬ ‫וכעת‬ ‫־‬ (∀xϕ ∨ ∀yψ [y/x])
.∀x∀y (ϕ ∨ ψ [y/x])
7