csnotes, profile picture
Uploaded bycsnotes
541 views

סיכום במורכבות החישובים

סיכום הכולל בין השאר - מכונת טיורינג, מחלקות סיבוכיות, גישת האורקל, משפט ה-PCP, משפט קוק-לוין, רדוקצית קארפ, היררכיה פולינומית, IP ועוד... הסיכום כולל דוגמאות והוכחות מרכזיות. הסיכום לקוח מהאתר : http://www.letach.net

Embed presentation

Downloaded 15 times
‫הסתברות‬ 1‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ !‫בסוף‬ ‫עניינים‬ ‫תוכן‬ I ‫חלק‬ ‫חזרה‬ ‫הסתברות‬ 1 ‫מדגם‬ ‫מרחב‬ 1.1 :‫וקביה‬ ‫הטלת‬ ‫עבור‬ ,‫למשל‬ .‫מסוים‬ ‫מאורע‬ ‫עבור‬ ‫שיש‬ ‫האפשרויות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ,‫כלומר‬ .‫המדגם‬ ‫מרחב‬ ‫את‬ Ω-‫ב‬ ‫נסמן‬ .Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∀x ∈ Ω : 0 ≤ Pr (x) ≤ 1 ‫מאורע‬ 1.2 .A ⊆ Ω ,Ω ‫של‬ ‫תת-קבוצה‬ ‫היא‬ ‫מאורע‬ Pr (A) = ∑ x∈A Pr (x) .(‫לתת-בעיות‬ ‫הבעיה‬ ‫את‬ ‫)לחלק‬ ‫פשוטים‬ ‫יותר‬ ‫מאורעות‬ ‫של‬ ‫בצורה‬ ‫אותו‬ ‫ולהציג‬ ‫אותו‬ ‫לפשט‬ ‫נעדיף‬ A ‫מאורע‬ ‫כשיש‬ A ‫מאורע‬ ‫פירוק‬ 1.3 .‫לתתי-מאורעות‬ ‫אחד‬ ‫מאורע‬ ‫שמפרקים‬ ‫או‬ ,‫מאורעות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫כאשר‬ Union Bound ‫האיחוד‬ ‫חסם‬ 1.3.1 Pr (A ∪ B) ≤ Pr (A) + Pr (B) 1
‫הסתברות‬ 1‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫והדחה‬ ‫הכלה‬ 1.3.2 Pr (A ∪ B) = Pr (A) + Pr (B) − Pr (A ∩ B) ‫לפעמים‬ ‫קשה‬ ‫יותר‬ ‫גם‬ ‫ולכן‬ ‫יותר‬ ‫עדין‬ ‫כלי‬ ‫זהו‬ ‫והדחה‬ ‫הכלה‬ .‫והדחה‬ ‫הכלה‬ ‫מאשר‬ ‫יותר‬ ‫גס‬ ‫כלי‬ ‫הוא‬ ‫האיחוד‬ ‫חסם‬ .‫בעיות‬ ‫איתו‬ ‫לפתור‬ ‫מותנית‬ ‫הסתברות‬ 1.4 A ‫מאורע‬ ‫שקרה‬ ‫בהינתן‬ ,‫כלומר‬ ,P (B|A) :‫היא‬ B-‫ב‬ A ‫של‬ ‫המותנית‬ ‫ההסתברות‬ .A, B :‫מאורעות‬ ‫שני‬ ‫לנו‬ ‫נתונים‬ ...‫יקרה‬ B-‫ש‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ :‫שיקרו‬ ‫המאורעות‬ ‫שני‬ ‫על‬ ‫מדובר‬ ‫כאשר‬ Pr (A ∩ B) = Pr (A) ‫קודם‬ · Pr (B|A) ‫אח"כ‬ ‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫מאורעות‬ 1.4.1 B-‫ש‬ ‫ההסתברות‬ ‫על‬ ‫ישפיע‬ ‫לא‬ ‫התרחש‬ ‫לא‬ ‫או‬ ‫התרחש‬ A-‫ש‬ ‫שזה‬ ‫אומר‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ ,(‫)ב"ת‬ ‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫המאורעות‬ ‫כאשר‬ .‫יתרחש‬ :‫כזה‬ ‫במקרה‬ Pr (A|B) = Pr (A) , Pr (B|A) = Pr (B) :‫אפשרויות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנן‬ Pr (A|B) > Pr (A) , Pr (B|A) > Pr (B) :‫חיובית‬ ‫תלות‬ Pr (A|B) < Pr (A) , Pr (B|A) < Pr (B) :‫שלילית‬ ‫תלות‬ Pr (A ∩ B) = Pr (A) · Pr (B) :‫אי-תלות‬ :‫אי-תלות‬ ‫ישנה‬ ‫כאשר‬ ,‫כללי‬ ‫ובאופן‬ Pr (A1 ∩ · · · ∩ An) = ∏ 1≤i≤n Pr (Ai) ,∀i : Pr (Ai) = p :‫כלומר‬ ,‫הסתברות‬ ‫אותה‬ ‫את‬ ‫יש‬ ‫המאורעות‬ ‫לכל‬ ‫ואם‬ .Pr (A1 ∩ · · · ∩ An) = pn :‫אזי‬ :‫מאורע‬ ‫לכל‬ ‫קבועה‬ ‫ההסתברות‬ ‫כאשר‬ ‫רעיון‬ ‫אותו‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ ‫איחוד‬ ‫לגבי‬ Pr (A1 ∪ · · · ∪ An) ≤ ∑ 1≤i≤n Pr (Ai) = n · Pr (Ai) .(‫חזק‬ ‫כלי‬ ‫זה‬ ‫)ולכן‬ .‫בלתי-תלויים‬ ‫למאורעות‬ ‫וגם‬ ‫תלויים‬ ‫למאורעות‬ ‫גם‬ ‫נכון‬ ‫וזה‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ 1.5 .f : Ω → R :R-‫ל‬ Ω-‫מ‬ ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ .X, Y, Z, ...-‫ב‬ ‫אותה‬ ‫נסמן‬ ‫אנחנו‬ ‫תוחלת‬ 1.6 .E (f) = µ (f) :‫מסמנים‬ f ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ ‫עבור‬ ‫אשר‬ ,‫משוקלל‬ ‫ממוצע‬ ‫היא‬ ‫תוחלת‬ :‫נשתמש‬ ‫לא‬ ‫שבהן‬ ‫לתוחלת‬ ‫הגדרות‬ ‫שתי‬ 2
‫קירוב‬ ‫אלגוריתמי‬ 3‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ $$$$$$$$∑ x∈Ω Pr (x) · f (x) $$$$$$$$$$$∑ V ∈Im(f) Pr (x = V ) · V z .‫התוחלת‬ ‫לינאריות‬ ‫הוא‬ ‫בו‬ ‫שנשתמש‬ ‫הכלי‬ ‫זאת‬ ‫לעומת‬ .(‫לחסם‬ ‫)בדומה‬ ‫עובדת‬ ‫תמיד‬ ‫התוחלת‬ ‫לינאריות‬ E (f + g) = E (f) + E (g) E   ∑ 1≤i≤n fi   = ∑ 1≤i≤n E (fi) ∑ x Pr (x) (f (x) + g (x)) = ∑ x Pr (x) f (x) + ∑ x Pr (x) g (x) :‫יותר‬ ‫קצר‬ ‫בניסוח‬ ‫או‬ E (∑ fi ) = ∑ E (fi) ‫טיילור‬ ‫קירוב‬ 2 :x < 1 2 ‫עבור‬ e x 2 ≤ 1 + x ≤ ex ≤ 1 + 2x :ln ‫נעשה‬ ‫וכעת‬ x 2 ≤ ln (1 + x) ≤ x ≤ ln (1 + 2x) ‫קירוב‬ ‫אלגוריתמי‬ 3 :‫קירוב‬ ‫לאלגוריתמי‬ ‫גרסאות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנן‬ .‫הכרעה‬ .‫חיפוש‬ .‫אופטימיזציה‬ (G ‫גרף‬ ‫)של‬ ‫הקשירות‬ ‫בעיית‬ :‫דוגמה‬ 3.1 (‫קשיר‬ ‫הוא‬ ‫הגרף‬ ‫)האם‬ .G ‫הגרף‬ :‫קלט‬ ?‫קשיר‬ G ‫הגרף‬ ‫האם‬ ‫הכרעה‬ ‫בעיית‬ (?‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫ישנו‬ ‫)האם‬ .‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫מצא‬ ‫חיפוש‬ ‫בעיית‬ (?‫מינימלי‬ ‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫ישנו‬ ‫)האם‬ .‫מינימלי‬ ‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫מצא‬ ‫אופטימיזציה‬ ‫בעיית‬ 3
(k-wise independece) ‫משתנים‬ ‫של‬ ‫אי-תלות‬ 4‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫ערך‬ ‫פונקציית‬ 3.2 .‫מסוים‬ ‫ערך‬ ‫לנו‬ ‫מחזירה‬ ‫והיא‬ ‫לבעיה‬ ‫מבעיה‬ ‫שמשתנה‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ ‫ערך‬ ‫פונקציית‬ :‫הקשירות‬ ‫בעיית‬ ‫בדוגמת‬ ,‫למשל‬ ‫קשירות‬ (G, w, T) = {∑ e∈T w (e) T − ‫פורש‬ ‫עץ‬ w (G) + 1 ‫אחרת‬ (‫קבוע‬ ‫)=יחס‬ ‫קירוב‬ ‫פקטור‬ 3.3 .‫קירוב‬ ‫מצאנו‬ ‫אבל‬ ‫האופטימלי‬ ‫הפתרון‬ ‫את‬ ‫לה‬ ‫מצאנו‬ ‫שלא‬ ‫בעיה‬ ‫ישנה‬ .‫באחוזים‬ ‫אותה‬ ‫נמדוד‬ ,‫כלומר‬ - ‫כפלית‬ ‫שגיאה‬ ‫נמדוד‬ .α = 1.1 :‫הקירוב‬ ‫פקטור‬ .(‫)למשל‬ 10% ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫נשלם‬ - ‫מינימיזציה‬ ‫בעיית‬ .‫מקורב‬ ‫מחיר‬ ≤ 1.1· ‫מזערי‬ ‫מחיר‬ :‫כלומר‬ .α = 0.8 ‫הקירוב‬ ‫פקטור‬ .‫מהמקסימום‬ ‫פחות‬ 20% ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫נרוויח‬ - ‫מקסימיזציה‬ ‫בעיית‬ .‫מקורב‬ ‫≥רווח‬ 0.8· ‫מרבי‬ ‫רווח‬ :‫כלומר‬ ‫מדויקות‬ ‫הגדרות‬ 3.3.1 ?α (‫תחרותיות‬ ‫)יחס‬ ‫פקטור‬ ‫מבטיח‬ A ‫אלגוריתם‬ ‫מתי‬ ‫מקסימיזציה‬ (x, A (x)) ≥ ≤1 α. max w sols (x, w) .‫משתפר‬ ‫הקירוב‬ ‫כך‬ α → 1-‫ש‬ ‫ככל‬ .‫אופטימלי‬ ‫למעשה‬ ‫המקורב‬ ‫הפתרון‬ α = 1 ‫כאשר‬ ‫מינימיזציה‬ (x, A (x)) ≤ ≥1 α. min w sols (x, w) .‫רע‬ ‫נהיה‬ ‫הקירוב‬ α → 0 ‫כש‬ .‫משתפר‬ ‫הקירוב‬ ‫כך‬ α → 1-‫ש‬ ‫ככל‬ .‫אופטימלי‬ ‫פתרון‬ ‫למעשה‬ ‫הוא‬ ‫המקורב‬ ‫הפתרון‬ - α = 1 ‫כאשר‬ .‫רע‬ ‫נהיה‬ ‫הקירוב‬ α → ∞-‫כש‬ (k-wise independece) ‫משתנים‬ ‫של‬ ‫אי-תלות‬ 4 .‫ב"ת‬ ‫אחידים‬ ‫מקריים‬ ‫משתנים‬ X, Y ∈ {0, 1} .Z2-‫ב‬ ‫שאיבריו‬ ‫בשדה‬ ‫חיבור‬ - Z = X ⊕ Y ‫שלישי‬ ‫משתנה‬ ‫נגדיר‬ ‫ההסתברות‬ X Y Z 1 4 0 0 0 1 4 0 1 1 1 4 1 0 1 1 4 1 1 0 ‫)אם‬ ‫חזקה‬ ‫מאוד‬ ‫תלות‬ ‫יש‬ ‫בשלשות‬ .‫השלישי‬ ‫את‬ ‫יודעים‬ ‫תמיד‬ - ‫שניים‬ ‫יודעים‬ ‫אם‬ - Y, Z ‫ועל‬ X, Z ‫על‬ ‫להסתכל‬ ‫ניתן‬ .(‫השלישי‬ ‫את‬ ‫יודעים‬ - ‫שניים‬ ‫יודעים‬ .(‫אחידה‬ ‫בהתפלגות‬ ‫הן‬ ‫האפשרויות‬ ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ ‫האחר‬ ‫מה‬ ‫יודעים‬ ‫לא‬ ⇐ ‫אחד‬ ‫יודעים‬ ‫אם‬ :‫אי-תלות‬ ‫יש‬ ‫בזוגות‬ 4
‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬ ‫פולינומים‬ 5‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫הכללות‬ 4.1 :‫על‬ ‫נדבר‬ Z2-‫ב‬ ‫שלוש‬ ‫מול‬ ‫משתנים‬ ‫שני‬ ‫במקום‬ .(Zp = {0, 1, ..., p − 1} :‫)תזכורת‬ .‫ראשוני‬ ‫הוא‬ p ‫כאשר‬ Zp-‫ב‬ k + 1 ‫מול‬ ‫משתנים‬ k :‫וב"ת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫מגרילים‬ x1, . . . , xk ∈ Zp :‫עבור‬ ‫אזי‬ xk+1 = (x1 + · · · + xk) mod p .‫(-יות‬k + 1)-‫ב‬ ‫מלאה‬ ‫תלות‬ ‫יש‬ .‫א‬ .‫בשדה‬ ‫אחיד‬ xk+1 .‫ב‬ .‫-יות‬k-‫ב‬ ‫ב"ת‬ ‫הם‬ x1, . . . , xk+1 :‫המקריים‬ ‫המשתנים‬ ‫כל‬ .‫ג‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫עיקרון‬ 4.2 :‫אם‬ .(0 ‫כולם‬ ‫)שלא‬ ‫קבועים‬ a1, . . . , ak ∈ Zp .‫וב"ת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫מוגרלים‬ x1, . . . , xk ∈ Zp :‫אזי‬ .Zp ‫מעל‬ ‫אחיד‬ ‫מתפלג‬ - xk+1 = a1x1 + · · · + akxk .Pr (xk+1 = v) = 1 p :v ∈ Zp ‫לכל‬ ,‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬ ‫פולינומים‬ 5 XOR ‫שער‬ - ‫בולאני‬ ‫למעגל‬ ‫דוגמה‬ 5.1 1 = T, 0 = F :‫תזכורת‬ ‫פלט‬ ?>=<89:;∨ OO1 1 1 ?>=<89:;∧ 66llllllllll ?>=<89:;∧ hh‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚ ?>=<89:;¬ 33ggggggggggggggggg ?>=<89:;¬ kk‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡ x1 OO =={{{{ x2 aagggg OO XOR ‫בולאני‬ ‫למעגל‬ ‫דוגמה‬ :1 ‫איור‬ .‫מעגלים‬ ‫ללא‬ ‫מכוון‬ ‫גרף‬ :‫בולאני‬ ‫מעגל‬ .0 ‫כניסה‬ ‫דרגת‬ ‫קלטים‬ .0 ‫יציאה‬ ‫דרגת‬ ‫פלטים‬ 5
‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬ ‫פולינומים‬ 5‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫המעגל‬ ‫חיזוק‬ 5.2 .‫וקטן‬ ‫קבוע‬ ,‫ראשוני‬ ‫הוא‬ q ‫כאשר‬ Zq ‫משדה‬ ‫יהיו‬ (0/1)Z2-‫ב‬ ‫להיות‬ ‫במקום‬ ,‫הביניים‬ ‫תוצאות‬ :MOD ‫שער‬ - ‫נוסף‬ ‫מסוג‬ ‫שער‬ ‫ונוסיף‬ MODq (y1, . . . , ym) = { 0 ∑m i=1 yi = 0 1 ∑m i=1 yi ̸= 0 ‫פולינומים‬ 5.3 (‫יחיד‬ ‫)משתנה‬ ‫הגדרה‬ 5.3.1 P (y) = ∑ 1≤i≤d aiyi .d = deg (P (y))-‫ו‬ ad ̸= 0 ‫כאשר‬ ,‫בשדה‬ ‫קבועים‬ ‫הם‬ ‫-ים‬a-‫ה‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ ‫רב-משתנים‬ ‫לפולינום‬ ‫דוגמה‬ 5.3.2 :5.1 ‫דוגמא‬ 2 · y1 deg=1 +3 · (y2) 4 deg=4 +1 · (y1) 3 · (y2) 2 deg=3+2=5 deg = max {1, 4, 5} = 5 :‫היא‬ ‫הפולינום‬ ‫דרגת‬ ‫ולכן‬ ‫נמוכה‬ ‫מדרגה‬ ‫פולינומים‬ ‫ע"י‬ ‫מעגלים‬ ‫קרוב‬ 5.4 ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ 5.4.1 ‫הגדרה‬ ‫הפלט‬ ‫את‬ ‫מניב‬ Cn (x1, . . . , xn) :‫מתקיים‬ x1, . . . , xn ‫קלט‬ ‫לכל‬ ‫אם‬ ‫חישובית‬ ‫בעיה‬ ‫פותרת‬ {Cn} ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ .‫הנכון‬ ‫יעילות‬ .Cn ‫במעגל‬ ‫הצלעות‬ ‫מספר‬ ‫ע"פ‬ {Cn} ‫של‬ ‫היעילות‬ ‫את‬ ‫למדוד‬ ‫מקובל‬ ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ 5.4.2 ‫הגדרה‬ .‫הנכון‬ ‫הפלט‬ ‫את‬ ‫מניב‬ Pn (x1, . . . , xn) x1, . . . , xn ‫קלט‬ ‫לכל‬ ‫אם‬ ‫חישובית‬ ‫בעיה‬ ‫פותרת‬ {Pn} ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ ‫יעילות‬ .deg (Pn) ‫הפולינום‬ ‫כדרגת‬ {Pn} ‫של‬ ‫היעילות‬ ‫את‬ ‫למדוד‬ ‫מקובל‬ ‫משפט‬ ‫השדה‬ ‫)מעל‬ ‫יחסית‬ ‫קטנה‬ ‫מדרגה‬ ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ ‫ע"י‬ ‫לקרב‬ ‫ניתן‬ ‫יחסית‬ ‫קטן‬ s ‫שערים‬ ‫מספר‬ ‫עם‬ cn ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ ‫כל‬ .(‫ראשוני‬ q ‫כאשר‬ ,Zq .Prx1,...,xn [Pn (x1, . . . , xn) ̸= Cn (x1, . . . , xn)] = o (1) ,‫כלומר‬ .‫לאפס‬ ‫שואף‬ ⇐ o (1) :‫למעלה‬ ‫שלנו‬ ‫ובמקרה‬ , f(n) g(n) −−−−→ n→∞ 0 ‫אם‬ f (n) = o (g (n)) :‫תזכורת‬ 6
‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬ ‫פולינומים‬ 5‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫לפולינומים‬ (‫)מעגלים‬ ‫שערים‬ ‫המרת‬ 5.5 ‫פרמה‬ ‫משפט‬ 5.5.1 :(a p) p-‫ל‬ ‫שזר‬ a ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫ראשוני‬ p ‫אם‬ ap−1 ≡ 1 (mod p) NOT ‫שער‬ 5.5.2 PNOT (y) = 1 − y MOD ‫שער‬ 5.5.3 PMOD (y1, . . . , yn) = ( n∑ i=1 yi )q−1 = { 0 ∑ yi = 0 1 ∑ yi ̸= 0 AND ‫שער‬ 5.5.4 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ PAND (y1, . . . , ym) = m∏ i=1 yi = { 1 ∏ yi = 1 0 ∃i (yi) = 0 :‫זאת‬ ‫ובמקום‬ ‫זאת‬ ‫נפסול‬ ‫לכן‬ - (m) ‫עצומה‬ ‫דרגה‬ ‫בעל‬ ‫אבל‬ ‫מדויק‬ PAND (y1, . . . , ym) = 1 − (POR (1 − y1, . . . , 1 − ym)) OR ‫שער‬ 5.5.5 .‫לשגיאה‬ ‫קטן‬ ‫סיכוי‬ ‫כבר‬ ‫יש‬ ‫ולכן‬ ‫הסתברות‬ ‫מכניסים‬ ‫כבר‬ ‫אנחנו‬ OR-‫ה‬ ‫בשער‬ .(‫מדויק‬ ‫)ולא‬ ‫מקורב‬ ‫פתרון‬ ‫פירושו‬ - P :‫נסמן‬ :(5.5.1) ‫פרמה‬ ‫ובמשפט‬ (4.2) ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫בעיקרון‬ ‫נשתמש‬ POR (y1, . . . , ym) = ( m∑ i=1 aiyi )q−1 .‫וב"ת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫מוגרלים‬ a1, . . . , am ∈ Zq ‫כאשר‬ :‫יהיה‬ ‫הסופי‬ ‫השער‬ ,‫לבסוף‬ POR (y1, . . . , ym) = POR ( P (1) OR (y1, . . . , ym) , . . . , P (r) OR (y1, . . . , ym) ) 7
‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬ 7‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫מסכמת‬ ‫טבלה‬ 5.6 Pr (‫)שגיאה‬ deg NOT 0 1 MOD 0 q − 1 OR 1 q q − 1 ‫הגברה‬ ‫לפני‬ 1 qr r (q − 1) ‫הגברה‬ ‫אחרי‬ AND 1 qr r (q − 1) ‫הקירוב‬ ‫משפט‬ 5.7 ‫משפט‬ ‫השדה‬ ‫)מעל‬ {Pn} ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ ‫ע"י‬ ‫לקרב‬ ‫ניתן‬ ,d ‫קבוע‬ ‫בעומק‬ s = 2 O ( n 1 2d ) ‫מגודל‬ {Cn} ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ ‫כל‬ .O ( √ n) - ‫יחסית‬ ‫קטנה‬ ‫מדרגה‬ (‫וקבוע‬ ‫ראשוני‬ q ‫כאשר‬ Zq (‫קירוב‬ ‫)יחס‬ ‫פקטור‬ 6 :‫כרצוננו‬ ‫טוב‬ ‫קירוב‬ ‫לקבל‬ ‫היא‬ ‫מטרה‬ A ‫אלגוריתם‬ ( x ‫קלט‬ , ε ‫דיוק‬ ‫דרישת‬ ) .1 − ε :‫קירוב‬ ‫פקטור‬ - ‫מקסימיזציה‬ ‫בעיית‬ .1 + ε :‫קירוב‬ ‫פקטור‬ - ‫מינימיזציה‬ ‫בעיית‬ Poly ( n, 1 ε ) :‫הריצה‬ ‫זמן‬ .n3 · 2(1 ε ) :‫פולינומי‬ ‫לא‬ ‫ריצה‬ ‫לזמן‬ ‫דוגמה‬ ,n3 · (1 ε )2 :‫פולינומי‬ ‫ריצה‬ ‫לזמן‬ ‫דוגמה‬ ‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬ 7 ‫לינאריות‬ ‫ופונקציות‬ ‫בולאניות‬ ‫פונקציות‬ ‫הגדרת‬ 7.1 :‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫זאת‬ Hn Hn = { h h : {0, 1} n → {0, 1} } :‫למשל‬ f : {0, 1} n → {0, 1} f (⃗x) = n∑ i=1 xi .1 ‫אחרת‬ 0 ‫מחזירה‬ ‫היא‬ ‫זוגי‬ ‫הוא‬ ‫בו‬ ‫האחדות‬ ‫מספר‬ ‫ואם‬ {0, 1}-‫מ‬ ‫המורכב‬ n ‫באורך‬ ‫וקטור‬ ‫המקבלת‬ ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ .f ∈ Hn ‫כמובן‬ ‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כמות‬ 7.1.1 .2(2n ) = 4n ‫היא‬ ‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כמות‬ :‫הסבר‬ 2n ‫עבור‬ ‫לכן‬ ,‫לפלט‬ ‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אפשרות‬ ‫ולכל‬ ‫קלט‬ ‫לווקטורי‬ ‫אפשרויות‬ 2n ‫לנו‬ ‫יש‬ n ‫באורך‬ ‫וקטור‬ ‫עבור‬ .4n - ‫אפשריות‬ ‫תוצאות‬ 2(2n ) ‫סה"כ‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אפשרויות‬ 8
‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬ 7‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫לינאריות‬ ‫פונקציות‬ 7.1.2 :Ln ‫של‬ ‫ההגדרה‬ .‫לינאריות‬ ‫גם‬ ‫שהם‬ ‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫קבוצת‬ ‫זוהי‬ Ln Ln = { h h ∈ Hn ∧ (h (⃗x) + h (⃗y) = h (⃗x + ⃗y)) } .‫כמובן‬ f (x) ∈ Ln :⃗x + ⃗y ‫של‬ ‫ההגדרה‬ (⃗x + ⃗y) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) ‫הסטטיסטי‬ ‫המרחק‬ 7.2 ‫פונקציות‬ ‫שתי‬ ‫בין‬ ‫הסטטיסטי‬ ‫המרחק‬ 7.2.1 ‫קלטים‬ ‫מגרילים‬ ‫אנחנו‬ :‫הסתברותיים‬ ‫לכלים‬ ‫עוברים‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ,Ω (2n ) :‫עצום‬ ‫הוא‬ f ∈ Hn ‫של‬ ‫הקלטים‬ ‫ומרחב‬ ‫היות‬ .‫תלוי‬ ‫ובלתי‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ .⃗x ∈ {0, 1} n :‫נגדיר‬ ∆ (f, g) = Pr [f (⃗x) ̸= g (⃗x)] :‫אזי‬ 2n -‫ה‬ ‫מתוך‬ ‫קלטים‬ ‫בשני‬ ‫רק‬ ‫נבדלות‬ (‫מהן‬ ‫כרגע‬ ‫משנה‬ ‫)שלא‬ f, g ∈ Hn ‫הפונקציות‬ ‫כי‬ ‫נניח‬ ∆ (f, g) = Pr [f (⃗x) ̸= g (⃗x)] = 2 2n = 1 2n−1 ‫לינארית‬ ‫לפונקציה‬ ‫סטטיסטי‬ ‫מרחק‬ 7.2.2 .‫לינארית‬ ‫אינה‬ f ∈ Hn ‫הפונקציה‬ ‫כי‬ ‫נניח‬ :‫כעת‬ ∆ (f) = min l∈Ln {∆ (f, l)} ‫לינארית‬ ‫פונקציה‬ ‫לבין‬ f ‫בין‬ ‫הבדל‬ ‫פחות‬ ‫כמה‬ ‫שיש‬ ‫זאת‬ - "‫קרובה‬ ‫"הכי‬ ‫הלינארית‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬ .‫כלשהי‬ ‫המרכזי‬ ‫המשפט‬ 7.3 :‫מתקיים‬ f ∈ Hn ‫פונקציה‬ ‫לכל‬ ε (f) ≤ 3 · ∆ (f) (1) ∆ (f) ≤ 3 · ε (f) (2) .ε (f) < 1 6 ‫כאשר‬ ‫רק‬ ‫מתקיים‬ (2) ‫חלק‬ .‫לינארית‬ ‫לפונקציה‬ ‫סטטיסטית‬ ‫קרבה‬ ‫בין‬ ‫קשר‬ ‫לנו‬ ‫נותן‬ ‫המשפט‬ ‫התפלגות‬ ‫שיש‬ ‫)בהנחה‬ ‫הקלט‬ ‫של‬ ‫דגימות‬ ‫עושים‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ,‫לינארית‬ ‫היא‬ ‫הפונקציה‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ‫תמיד‬ ‫ולא‬ ‫היות‬ .(‫לקלטים‬ ‫אחידה‬ 9
‫חישובים‬ ‫מורכבות‬ 8‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ II ‫חלק‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונות‬ ‫חישובים‬ ‫מורכבות‬ 8 .‫קוגניטיבית‬ ‫מורכבות‬ ‫על‬ ‫ולא‬ (‫המחשב‬ ‫של‬ ‫)משאבים‬ ‫אלגוריתמית‬ ‫מורכבות‬ ‫על‬ ‫כאן‬ ‫על‬ ‫ידובר‬ ‫אלגוריתם‬ ‫מאפיין‬ ‫מה‬ 8.1 ‫נתונים‬ 8.1.1 (‫)בהתחלה‬ ‫קלט‬ .‫ביניים‬ ‫תוצאת‬ .(‫)בסוף‬ ‫פלט‬ :‫עיקריות‬ ‫תכונות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנן‬ ‫כאשר‬ .‫מוסכם‬ ‫קידוד‬ ‫לכולם‬ ‫יש‬ .1 .(‫סופי‬ ‫הוא‬ ‫גם‬ ‫)הקידוד‬ ‫סופי‬ ‫גודל‬ ‫בעל‬ ‫כולם‬ .2 .(‫גודל‬ ‫בכל‬ ‫להיות‬ ‫יכולים‬ ‫אבל‬ ,‫סופי‬ ‫בגודל‬ ‫הם‬ ,‫)כלומר‬ ‫חסום‬ ‫אינו‬ ‫הנתונים‬ ‫גודל‬ .3 ‫חוקים‬ 8.1.2 :‫תכונות‬ ‫כמה‬ ‫גם‬ ‫ישנן‬ (8.1.1 ‫הנתונים‬ ‫עם‬ ‫לעבוד‬ ‫איך‬ ‫)של‬ ‫החוקים‬ ‫מבחינת‬ .(‫דרכים‬ ‫בכמה‬ ‫חוק‬ ‫חוק‬ ‫לפרש‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬ ,‫)כלומר‬ .‫חד-משמעיים‬ ‫הם‬ ‫החוקים‬ .‫מופעל‬ ‫חוק‬ ‫איזה‬ ‫ידוע‬ (‫צעד‬ ‫)בכל‬ ‫רגע‬ ‫בכל‬ .‫סופי‬ ‫הוא‬ ‫החוקים‬ ‫מספר‬ .‫החישוב‬ ‫מקומיות‬ :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫עובד‬ ‫חוק‬ ‫כל‬ .‫נתונים‬ Θ (1) ‫קרא‬ .1 .‫עליהם‬ ‫מקומית‬ ‫פעולה‬ ‫עשה‬ .2 .‫אחרים‬ ‫נתונים‬ Θ (1) ‫כתוב‬ .3 10
‫חישוב‬ ‫מכונות‬ 9‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫היסודית‬ ‫השאלה‬ 8.2 .‫אותה‬ ‫לפתור‬ ‫שיכול‬ ‫אלגוריתם‬ ‫יש‬ (‫חישובית‬ ‫)בעיה‬ ‫בעיה‬ ‫לכל‬ ‫האם‬ ‫בחישוביות‬ ‫היסודית‬ ‫השאלה‬ .‫נכון‬ ‫פלט‬ ‫סופי‬ ‫בזמן‬ ‫מפיקה‬ ‫קלט‬ ‫שעל‬ (‫חישוב‬ ‫)שיטת‬ ‫אלגוריתם‬ ‫ישנו‬ ,‫כלומר‬ (39 ‫בעמוד‬ i ‫בהוכחה‬ ‫העצירה‬ ‫בעיית‬ ‫את‬ ‫לראות‬ ‫)ניתן‬ !‫לא‬ - (1936) ‫טיורינג‬ ‫ע"פ‬ ‫חישוב‬ ‫מכונות‬ 9 :‫החישוב‬ ‫במכונת‬ ‫נתונים‬ ‫של‬ ‫מקומות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנם‬ .‫קלט‬ .1 .‫ביניים‬ ‫תוצאת‬ .2 .‫פלט‬ .3 .‫חסום‬ ‫ולא‬ ‫סופי‬ ‫הוא‬ ‫מאלה‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫הקידוד‬ ‫כאשר‬ ‫קלט‬ ‫סרט‬ △ a b ↑ ‫עבודה‬ ‫סרט‬ △ d c e ↑ ‫פלט‬ ‫סרט‬ △ f g ↑ Σ - ‫וסופי‬ ‫מוסכם‬ ‫מאלף-בית‬ ‫אות‬ ‫תא‬ ‫בכל‬ 9 8 6 7 ‫טיורינג‬ ‫למכונת‬ ‫דוגמה‬ :2 ‫איור‬ ‫החישוב‬ ‫אופן‬ 9.1 .‫סופית‬ Q ‫מצבים‬ ‫קבוצת‬ ‫ישנה‬ :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫מתבצע‬ ‫חישוב‬ ‫מעברים‬ ‫פונקציית‬f (q, σI, σW , σO) = (q′ , σI, dI, σ′ W , dW , σW , dO) .(‫בהתאמה‬ .‫פלט‬ ,‫עבודה‬ ,‫)קלט‬ Input, Work, Output :‫המכונה‬ ‫סרטי‬ ‫שלושת‬ ‫את‬ ‫מסמלים‬ - I, W, O ‫כאשר‬ .σ ∈ Σ, d ∈ {L, S, R} = {Left, Stay, Right} .‫הבא‬ ‫המצב‬ = q′ .(↑-‫ב‬ ‫מסומן‬ ‫זה‬ ‫)אצלנו‬ ‫קורא‬ ‫ראש‬ ‫סרט‬ ‫לכל‬ ‫חישוב‬ ‫מתבצע‬ ‫כיצד‬ 9.1.1 ‫אתחול‬ . ‫ואחריו‬ ‫קלט‬ ‫רשום‬ - ‫קלט‬ ‫סרט‬ . - ‫ריקים‬ - ‫עבודה/פלט‬ ‫סרט‬ .(‫)בהתחלה‬ ‫בקצה‬ ‫הסרטים‬ ‫בכל‬ ‫קורא‬ ‫ראש‬ .‫באתחול‬ ‫המכונה‬ ‫נמצאת‬ ‫ובו‬ qstart ∈ Q ‫מצב‬ ‫יש‬ ‫החישוב‬ ‫עצירת‬ .‫החישוב‬ ‫לעצירה‬ ‫גורמת‬ ‫אליהם‬ ‫שהגעה‬ Q′ ⊆ Q ‫מצבים‬ ‫של‬ ‫תת-קבוצה‬ ‫יש‬ .‫כפלט‬ ‫שנחשב‬ ‫מה‬ ‫זה‬ - ‫העצירה‬ ‫ברגע‬ ‫הפלט‬ ‫בסרט‬ ‫שרשום‬ ‫מה‬ 11
‫אוניברסליות‬ 10‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫החישוב‬ ‫פלט‬ ‫סימון‬ 9.1.2 :‫מסומן‬ ‫החישוב‬ ‫פלט‬ M (x) [x ‫קלט‬ ‫עם‬ M ‫]מכונה‬ .M (x) = ∞ :‫מסמנים‬ ‫צעדים‬ ‫אינסוף‬ ‫מבצע‬ ‫חישוב‬ ‫אם‬ .‫בלבד‬ ‫לקריאה‬ - ‫הקלט‬ ‫סרט‬ .‫בלבד‬ ‫לכתיבה‬ - ‫הפלט‬ ‫סרט‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫של‬ ‫וריאנטים‬ 9.2 ‫מכילה‬ ‫היא‬ ‫מה‬ ‫המכונה‬ ‫וריאנט‬ ‫סופי‬ Σ ,‫פלט‬ ‫סרט‬ ,‫עבודה‬ ‫סרט‬ ,‫קלט‬ ‫סרט‬ ‫סטנדרטית‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫עבודה‬ ‫-סרטי‬k ‫שיש‬ ‫רק‬ ‫סטנדרטית‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫כמו‬ ‫דבר‬ ‫אותו‬ ‫מחוזקת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫סופי‬ Σ ,‫יחיד‬ ‫סרט‬ ‫מוחלשת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫בינארי‬ Σ ,‫יחיד‬ ‫סרט‬ ‫מאוד‬ ‫מוחלשת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ..‫כך‬ ‫נקרא‬ RAM ‫עם‬ ‫למ"ט‬ ‫לכן‬ ‫במ"ט‬ ‫שאין‬ ‫מה‬ ‫אקראית‬ ‫גישה‬ ‫יש‬ ‫מודרני‬ ‫למחשב‬ RAM ‫מחוזקת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫המרכזי‬ ‫המשפט‬ 9.2.1 :9.1 ‫משפט‬ .‫שקולים‬ ‫המודלים‬ ‫כל‬ .M′ (x) = M (x) :x ‫קלט‬ ‫שלכל‬ ‫כך‬ ‫בינארי‬ Σ ‫יחיד‬ ‫סרט‬ ‫עם‬ ‫מוחלשת‬ M′ ‫מ"ט‬ ‫יש‬ M ‫מודרני‬ ‫מחשב‬ ‫לכל‬ ‫יעילה‬ ‫סימולציה‬ 9.2.2 :‫קבוע‬ c ‫כאשר‬ Time (M′ (x)) ≤ (Time (M (x))) c ‫סימולציה‬ ‫זמן‬ 9.2.3 :‫למכונה‬ ‫ממכונה‬ ‫מעבר‬ ‫בין‬ ‫יש‬ ‫האטה‬ ‫זמן‬ ‫כמה‬ ‫מ"ט‬ ‫מוחלשת‬ ‫מאוד‬ ‫מ"ט‬ ‫מוחלשת‬ O(1) kk ‫מ"ט‬ ‫מחוזקת‬ O(n2 ) kk ‫מ"ט‬ ‫מחוזקת‬ RAM O(n2 ) kk ‫מחשב‬ ‫מודרני‬ O(1) kk ‫אוניברסליות‬ 10 .‫נפרדת‬ ‫מכונה‬ ‫היה‬ ‫אלגוריתם‬ ‫כל‬ ‫טיורינג‬ ‫עד‬ .‫אוניברסלית‬ ‫מכונה‬ ‫היא‬ ‫טיורנג‬ ‫מכונת‬ 12
‫חישובית‬ ‫מורכבות‬ 12‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :10.1 ‫משפט‬ :‫מקיים‬ M ‫מ"ט‬ ‫של‬ ‫קידוד‬ M ‫כאשר‬ - ⟨M⟩ , x - ‫קלט‬ ‫שכל‬ MU ‫אוניברסלית‬ ‫מכונה‬ ‫יש‬ .MU (⟨M⟩ , x) = M (x) :x ‫קלט‬ ‫לכל‬ :‫נכונות‬ .T = Time (M (x)) ‫כאשר‬ Time (MU (⟨M⟩ , x)) ≤ Θ (T · ln T) :‫יעילות‬ ‫אלגוריתם‬ ‫של‬ ‫יעילות‬ 11 :‫אם‬ ‫יעיל‬ ‫יקרא‬ M ‫אלגוריתם‬ max |x|=n (Time (M (x))) = Θ (nc ) .‫קבוע‬ c ‫כאשר‬ .‫הקלט‬ ‫באורך‬ ‫כתלות‬ ‫בזמן‬ ‫יעילות‬ ‫מודדים‬ ‫שאנחנו‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ .‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫רץ‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ ,‫יעיל‬ ‫הוא‬ ‫אלגוריתם‬ ,‫כלומר‬ .‫סביר‬ ‫בזמן‬ ‫מודרני‬ ‫מחשב‬ ‫על‬ ‫רץ‬ - n · log n, n2 , n3 - ‫יעיל‬ .‫יעיל‬ ‫לא‬ ‫בזמן‬ ‫מודרני‬ ‫מחשב‬ ‫על‬ ‫רץ‬ - 2n , n! - ‫יעיל‬ ‫לא‬ III ‫חלק‬ (‫)חזרה‬ ‫חישוביות‬ :‫הבסיסית‬ ‫מהשאלה‬ ‫נתחיל‬ ?‫כריעות‬ ‫לא‬ ‫בעיות‬ ‫יש‬ ‫האם‬ .HALT -‫העצירה‬ ‫בעיית‬ ‫את‬ ‫יש‬ - ‫שכן‬ ‫היא‬ ‫התשובה‬ ‫כריעות‬ ‫לא‬ •HALT ‫כריעות‬ ‫חישובית‬ ‫מורכבות‬ 12 ?(‫קלות‬ ‫שכולן‬ ‫)או‬ ‫קשות‬ ‫כריעות‬ ‫בעיות‬ ‫ישנן‬ ‫האם‬ "‫הבאה‬ ‫השאלה‬ ‫נשאלת‬ ‫כעת‬ ,‫כלומר‬ ‫כריע‬ ‫לא‬ ‫כריע‬ ‫לא‬ :‫או‬ ‫קשה‬ ‫כריע‬ ‫קל‬ ‫כריע‬ ‫קל‬ ‫כריע‬ .‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫פתיר‬ ‫קל‬ .‫פולינומי‬ ‫סופר‬ ‫בזמן‬ ‫אלגוריתם‬ ‫כל‬ ‫קשה‬ ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ 12.1 :‫הגדרה‬ :‫הבאה‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ,T : N → N :‫בהינתן‬ DTIME (T) = Time (T) = { L Θ (T (n)) ‫בזמן‬ L ‫את‬ ‫שמכריעה‬ M ‫מ"ט‬ ‫יש‬ } .(n ‫)או‬ .‫הקלט‬ ‫אורך‬ ‫הוא‬ L ‫כאשר‬ :‫למשל‬ L = { G ‫קשיר‬ ‫גרף‬ G } ∈ Time (n) :Time ‫של‬ ‫מחלקות‬ ‫כמה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫כעת‬ 13
‫טבעית‬ ‫בעיות‬ 13‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ Time (2n ) P Time ( n3 ) Time ( n2 ) Time (n) § ¦ ¤ ¥ # " ! 5 4 2 3 ' & $ % 9 8 6 7 :‫היא‬ ‫שלה‬ ‫וההגדרה‬ ‫הפולינומית‬ ‫המחלקה‬ ‫היא‬ P P = ∪ k∈N DTIME ( nk ) (.‫הריצה‬ ‫כדי‬ ‫תוך‬ ‫שקורה‬ ‫מה‬ ‫אלא‬ ‫הפלט/קלט‬ ‫לא‬ ‫היא‬ ‫הבעיה‬ ‫לכן‬ .‫ביט‬ ‫בד"כ‬ ‫הוא‬ ‫הפלט‬ ,‫הכרעה‬ ‫בבעיית‬ ‫ומדובר‬ ‫)היות‬ :12.1 ‫משפט‬ .(‫)סבירות‬ T1, T2 : N → N ‫לכל‬ :T1 ‫בזמן‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ T2 ‫בזמן‬ ‫להכריע‬ ‫שניתן‬ ‫בעיות‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ T1 ln T1 ≪ T2 ‫אם‬ ∃L ∈ DTIME (T2) DTIME (T1) .40 ‫בעמוד‬ ‫נמצאת‬ 1 ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ ‫כריעות‬ ‫אינן‬ ‫)ובפרט‬ Θ (2n )-‫ב‬ ‫כריעות‬ ‫אינן‬ ‫אבל‬ Θ (3n ) :‫בזמן‬ ‫שכריעות‬ ‫בעיות‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ :T1 = 2n , T2 = 3n :‫למשל‬ .(‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫טבעית‬ ‫בעיות‬ 13 ?‫קשות‬ (‫)מעניינות‬ ‫טבעיות‬ ‫בעיות‬ ‫ישנן‬ ‫אם‬ ‫השאלה‬ ?‫טבעית‬ ‫בעיה‬ ‫נגדיר‬ ‫כיצד‬ 13.1 .S (‫השאלה‬ ‫על‬ ‫ְעונה‬) ‫חוקי‬ ‫פתרון‬ ‫למצוא‬ ‫צריך‬ ,‫קלט‬ ‫בהינתן‬ ,‫כלומר‬ ,‫חיפוש‬ ‫בבעיות‬ ‫נתמקד‬ ‫טבעית‬ ‫בעיה‬ ‫להגדיר‬ ‫כדי‬ ?‫טבעית‬ ‫לא‬ ‫חיפוש‬ ‫בעיית‬ ‫נגדיר‬ ‫איך‬ 13.2 .x ‫לקלט‬ ‫ביחס‬ ‫חוקי‬ ‫פתרון‬ S ‫האם‬ ,‫ביעילות‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬ ,S ‫פתרון‬ ‫הצעת‬ ‫בהינתן‬ ‫אפילו‬ :‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫מתקיים‬ ‫אם‬ ‫טבעית‬ ‫נקראת‬ ‫חיפוש‬ ‫בעיית‬ ,‫אחרות‬ ‫במילים‬ .x ‫לקלט‬ ‫ביחס‬ ‫חוקי‬ ‫פתרון‬ S ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ,(‫פתרון‬ ‫)הצעת‬ S ‫בהינתן‬ :13.1 ‫דוגמא‬ ‫כלשהו‬ ‫מספר‬ - n ,‫מספרים‬ ‫של‬ A ‫קבוצה‬ ‫לנו‬ ‫נתונה‬ ‫שבה‬ (SUBSET-SUM) ‫הסכום‬ ‫בעיית‬ ‫את‬ ‫למשל‬ ‫ניקח‬ .‫בלכסון‬ ‫שמתרכזת‬ ‫חלקית‬ ‫בהוכחה‬ ‫אלא‬ ‫מלאה‬ ‫בהוכחה‬ ‫מדובר‬ ‫לא‬1 14
NP ‫המחלקה‬ 14‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :‫שיתקיים‬ ‫כך‬ S ⊆ A ‫תת-קבוצה‬ ‫קיימת‬ ‫האם‬ :‫היא‬ ‫והשאלה‬ |S| ∑ i=0 Si = n ?n ‫הוא‬ ‫אבריה‬ ‫שסכום‬ (S) A ‫של‬ ‫תת-קבוצה‬ ‫קיימת‬ ‫האם‬ - ‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫או‬ .A ‫של‬ ‫תת-קבוצה‬ ‫זוהי‬ S-‫ו‬ ,n ‫והחסם‬ (A) ‫הקבוצה‬ ‫זאת‬ x ‫כאן‬ ‫כלומר‬ :13.2 ‫דוגמא‬ ‫ליטרלים‬ k ‫יש‬ ‫שלו‬ ‫פסוקית‬ ‫שבכל‬ CNF ‫פסוק‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫שבה‬ ‫בעיה‬ .k − SAT-‫ה‬ ‫בעיית‬ ‫היא‬ ‫נוספת‬ ‫דוגמה‬ :‫למשל‬ .(‫שלילתם‬ ‫או‬ ‫)משתנים‬ C = ∧  α1 ∨ · · · ∨ αk ‫ליטרלים‬ k   .αi ∈ {x1, . . . xn, x1, . . . , xn} :‫מתקיים‬ 1 ≤ i ≤ k ‫לכל‬ ‫כאשר‬ .‫אמת‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫תתן‬ C ‫)כלומר‬ C = T-‫ש‬ ‫כך‬ - xi ∈ {T, F} :i ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫השמה‬ ‫ישנה‬ ‫האם‬ ‫היא‬ ‫השאלה‬ .(C ‫את‬ ‫תספק‬ ‫ההשמה‬ .‫השמה‬ ‫תהיה‬ S-‫ו‬ ,(φ ‫הפסוקית‬ ‫של‬ ‫קידוד‬ ‫שזה‬ ‫בגלל‬ ‫זה‬ ⟨⟩-‫)ה‬ ⟨φ⟩-‫ב‬ ‫שנסמנה‬ ‫הפסוקית‬ ‫תהיה‬ x ‫כאן‬ ‫אזי‬ .‫טבעית‬ ‫שלה‬ ‫החיפוש‬ ‫גרסת‬ ‫אם‬ ‫טבעית‬ ‫נקראת‬ ‫הכרעה‬ ‫בעיית‬ :‫ביעילות‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ :(‫פתרון‬ - S ,‫קלט‬ - x) ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫יש‬ M (x, S) = { Accept x − ‫ל‬ ‫ביחס‬ ‫חוקי‬ S Reject ‫אחרת‬ NP ‫המחלקה‬ 14 :‫דברים‬ ‫שלושה‬ ‫לקיים‬ ‫צריכה‬ ‫היא‬ ,L ∈ NP ‫כלומר‬ ,NP ‫למחלקה‬ ‫שייכת‬ ‫תהיה‬ L ‫ששפה‬ ‫בשביל‬ ‫תקבל‬ ‫היא‬ ‫אם‬ ‫אמת‬ ‫תחזיר‬ ,‫השפה‬ ‫את‬ ‫שמכריעה‬ M ‫)המכונה‬ L ‫בשפה‬ ‫נמצא‬ x ‫הקלט‬ ,‫כלומר‬ ,x ∈ L ‫אם‬ ‫שלמות‬ :(‫כקלט‬ x ‫את‬ ∃S ⇒ M (x, S) = Accept :‫אזי‬ ,x /∈ L ‫אם‬ ‫נאותות‬ ∀S ⇒ M (x, S) = Reject :‫קבוע‬ c, d, f < 0 ‫עבור‬ ‫יעילות‬ Time (M (x, S)) ≤ Θ (|x| c ) :‫נדרוש‬ ,‫הרבה‬ ‫מאיתנו‬ ‫יידרש‬ ‫לא‬ ‫הפתרון‬ ‫שגם‬ ‫כדי‬ ‫אבל‬ Time (M (x, S)) ≤ Θ ( (|x| + |S|) d ) .|S| ≤ Θ ( |x| f ) :‫הוא‬ ‫שלהן‬ ‫שהאורך‬ ‫פתרונות‬ ‫על‬ ‫רק‬ (‫כימות‬ ‫נעשה‬ ‫)או‬ ‫נדרוש‬ ‫לכן‬ 15
‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ - (Karp) ‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ 15‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :1 ‫הסבר‬ ‫קיים‬ x ∈ L ‫אם‬ ‫אזי‬ ,S ‫פתרון‬ ‫והצעת‬ x ‫קלט‬ ‫מקבלת‬ ‫והיא‬ L ‫השפה‬ ‫את‬ ‫שמכריעה‬ M ‫מכונה‬ ‫לנו‬ ‫ונתונה‬ ‫נניח‬ .‫אמת‬ ‫תחזיר‬ ‫המכונה‬ x ‫את‬ ‫נכניס‬ ‫אם‬ ‫שבו‬ (‫לפחות‬ ‫)אחד‬ ‫חוקי‬ ‫פתרון‬ .‫מהשפה‬ ‫חלק‬ ‫לא‬ ‫הוא‬ x ‫כי‬ ‫אותו‬ ‫תדחה‬ ‫תמיד‬ ‫המכונה‬ - ‫נקבל‬ S ‫פתרון‬ ‫איזה‬ ‫משנה‬ ‫לא‬ ‫אזי‬ x /∈ L ‫אם‬ ,‫שני‬ ‫מצד‬ ,(‫מהשפה‬ ‫חלק‬ ‫הוא‬ ‫)כי‬ ‫אמת‬ ‫עבורו‬ ‫שיחזיר‬ ‫פתרון‬ ‫לקבל‬ ‫לדעת‬ ‫צריכה‬ ‫המכונה‬ - x ∈ L ‫אם‬ ,‫אחד‬ ‫מצד‬ ,‫כלומר‬ .(....‫אותה‬ "‫"לרמות‬ ‫ניתן‬ ‫יהיה‬ ‫)שלא‬ x /∈ L- ‫במידה‬ ‫פתרון‬ ‫כל‬ ‫לדחות‬ ‫לדעת‬ ‫צריכה‬ ‫גם‬ ‫היא‬ ‫שני‬ ‫מצד‬ .‫הכרחיות‬ ‫אלו‬ ‫תכונות‬ ‫שתי‬ ‫לכן‬ ‫המחשב‬ ‫במדעי‬ ‫המרכזית‬ ‫הבעיה‬ 14.1 ?‫קלה‬ ‫היא‬ ‫טבעית‬ ‫בעיה‬ ‫שכל‬ ‫או‬ ?‫קשות‬ ‫טבעית‬ ‫בעיות‬ ‫ישנן‬ ‫האם‬ ‫היא‬ ‫השאלה‬ ‫טבעיות‬ NP ‫קשות‬ ‫טבעיות‬ P ‫קלות‬ :‫או‬ P = NP ‫קלות‬ P NP P = NP ‫מייצגת‬ ‫בעיה‬ 14.2 .‫מייצגת‬ ‫בעיה‬ ,‫כלומר‬ ,‫נציג‬ (P, NP, ...) ‫מחלקה‬ ‫לכל‬ ‫למצוא‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫הניסיון‬ :‫מייצגת‬ ‫תהיה‬ ‫שהיא‬ ‫כדי‬ ‫הדרישות‬ ‫אלו‬ C ‫מהמחלקה‬ L ‫שפה‬ ‫עבור‬ .L ∈ C .1 .C-‫ב‬ 2 ‫קשה‬ ‫הכי‬ L .2 :‫לזכור‬ ‫כדאי‬ .‫קשה‬ C ⇐ ‫קשות‬ ‫בעיות‬ C-‫ב‬ ‫⇐יש‬ ‫קשה‬ L ‫אם‬ .‫קלה‬ C ⇐ ‫קלות‬ C-‫ב‬ ‫הבעיות‬ ‫כל‬ ⇐ ‫קלה‬ L ‫אם‬ ?"‫קשה‬ ‫"הכי‬ ‫נגדיר‬ ‫איך‬ 14.2.1 .L′ ‫כמו‬ ‫לפחות‬ ‫קשה‬ L ‫יתקיים‬ L′ ∈ C ‫לכל‬ :14.1 ‫הגדרה‬ .L′ ‫להכרעת‬ ‫יעיל‬ ‫לאלגוריתם‬ ‫להסב‬ ‫ניתן‬ L ‫להכרעת‬ ‫יעיל‬ A ‫אלגוריתם‬ ‫כל‬ ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ - (Karp) ‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ 15 .‫בתשובה‬ ‫לגעת‬ ‫בלי‬ L-‫ל‬ L′ ‫של‬ ‫מקלט‬ ‫אחת‬ ‫שאילתה‬ ‫לבצע‬ ‫אפשרות‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫שבה‬ L-‫ל‬ L′ -‫מ‬ ‫רדוקציה‬ ‫זוהי‬ L-‫ל‬ ‫כקלט‬ ‫שולחים‬ ‫שאותה‬ f (x) ‫ופונקציה‬ L′ -‫ל‬ ‫כקלט‬ ‫אותו‬ ‫ששולחים‬ x ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כלומר‬ :‫מתקיימים‬ ‫הבאים‬ ‫התנאים‬ ‫שני‬ ‫כאשר‬ .x ∈ L′ ⇐⇒ f (x) ∈ L .‫א‬ .‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫חשיבה‬ ‫הפונקציה‬ ‫כלומר‬ .(‫קבוע‬ c ‫)כאשר‬ Time (f (x)) = Θ (|x| c ) .‫ב‬ .L′ ≤p L :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫הרדוקציה‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ .‫יותר‬ ‫גדול‬ ‫ריצה‬ ‫זמן‬ = ‫קושי‬ ‫יותר‬ ,‫כלומר‬ ,‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫מבחינת‬ ‫לקושי‬ ‫הכוונה‬2 16
‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ - (Karp) ‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ 15‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :15.1 ‫דוגמא‬ :‫הבאות‬ ‫השפות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ .A2 = { x x 2 ∈ N } ,A1 = { x ‫ראשוני‬ x, x ≥ 3 } .‫הזוגיים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ = A2-‫ו‬ ,3-‫מ‬ ‫הגדולים‬ ‫הראשוניים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ = A1 :‫הבאה‬ ‫הרדוקציה‬ ‫להיות‬ ‫יכולה‬ A1 ≤p A2 ,‫אזי‬ .x ∈ N :‫קלט‬ .f (x) ∈ N :‫פלט‬ .x ‫את‬ ‫קרא‬ .‫א‬ .3-‫מ‬ ‫וגדול‬ ‫ראשוני‬ x ‫האם‬ ‫בדוק‬ .‫ב‬ .x + 1 ‫את‬ ‫החזר‬ :‫כן‬ ‫אם‬ 1. .x ‫את‬ ‫החזר‬ :‫אחרת‬ 2. :‫הבאה‬ ‫הפונקציה‬ ‫זאת‬ ‫כאן‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ f (x) = { x + 1 ‫ראשוני‬ x ≥ 3 x ‫אחרת‬ .f (x) = 18 ∈ A2-‫ו‬ x = 17 ∈ A1 :‫ואכן‬ f (x) = 18 ‫אזי‬ x = 17 ‫למשל‬ ‫ניקח‬ ‫ואם‬ .f (x) = 27 /∈ A2-‫ו‬ x = 27 /∈ A1 ‫אזי‬ x = 27 ‫ניקח‬ ‫אם‬ :‫זאת‬ ‫ולעומת‬ .(‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫חשיבה‬ f-‫ש‬ ‫)וכמובן‬ ‫בדוגמה‬ ‫שיש‬ ‫)מה‬ ‫אחרת‬ ‫לשפה‬ ‫אותה‬ ‫לנו‬ ‫מתרגמת‬ ‫רק‬ ‫אלא‬ ‫בעיה‬ ‫לנו‬ ‫פותרת‬ ‫אינה‬ ‫שהיא‬ - ‫הרדוקציה‬ ‫לגבי‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬ ‫ברדוקציות‬ ,‫הבעיות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫שניתן‬ ‫כמובן‬ ,‫הרעיון‬ ‫את‬ ‫להמחיש‬ ‫יותר‬ ‫שבאה‬ ‫פשוטה‬ ‫מאוד‬ ‫דוגמה‬ ‫זאת‬ 15.1 ‫הפלט‬ ‫על‬ ‫תעבוד‬ ‫והפונקציה‬ ‫לפתרון‬ ‫כבדיקה‬ "‫ב"עד‬ ‫נשתמש‬ ‫ולכן‬ ,‫הבעיה‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫איך‬ ‫נדע‬ ‫תמיד‬ ‫לא‬ ‫יותר‬ ‫מתקדמות‬ .(13.2-‫ב‬ ‫שהוסבר‬ ‫כפי‬ ,‫למאמת‬ ‫העד‬ ‫מהכנסת‬ ‫שיוחזר‬ :‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫בעצם‬ ‫זה‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ,‫לכן‬ L′ x• (L′ )C x• Lf(x) LCf(x) %% 99 ‫הפולינומית‬ ‫הרדוקציה‬ ‫פעולת‬ :3 ‫איור‬ ‫מעבירה‬ ‫רק‬ ‫הרדוקציה‬ .‫בשפה‬ ‫אינו‬ ‫שהוא‬ ‫או‬ ‫בשפה‬ ‫שהוא‬ ‫או‬ (x) ‫קלט‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ ,‫שיש‬ ‫הקלטים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מסמל‬ ‫עיגול‬ ‫כל‬ .‫אותה‬ ‫פותרת‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ‫לשנייה‬ ‫אחת‬ ‫מבעיה‬ ‫אותנו‬ .f (x) /∈ L2 ‫בהכרח‬ ‫אזי‬ x /∈ L1 ‫אם‬ ‫אזי‬ ,L1 ≤p L2 ‫רדוקציה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .‫ועל‬ ‫חח"ע‬ ‫בהכרח‬ ‫אינן‬ ‫אך‬ ‫ההפרדה‬ ‫על‬ ‫שומרות‬ (‫)הרדוקציות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כי‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬ ‫-שלמה‬C ‫שפה‬ 15.1 :15.1 ‫הגדרה‬ :‫מתקיים‬ L ∈ C ‫לכל‬ ‫אם‬ ,(C ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקת‬ ‫עבור‬ ‫)קשה‬ ‫-קשה‬C ‫הינה‬ L L ≤p L 17
‫ואופטימיזציה‬ ‫חיפוש‬ ,‫הכרעה‬ ‫של‬ ‫גרסאות‬ ‫בין‬ ‫שקילות‬ 16‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .‫-שלמה‬C ‫נקראת‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ L ∈ C ‫אם‬ :‫אזי‬ ,(‫-שלמה‬NP ‫הינה‬ L ,‫)כלומר‬ L ∈ NPC ‫תהי‬ .NP P ‫קשה‬ ‫מחלקה‬ NP ‫אז‬ L /∈ P ,‫כלומר‬ ,"‫"קשה‬ L ‫אם‬ .‫א‬ .NP ⊆ P ‫קלה‬ ‫מחלקה‬ NP ‫אז‬ ,L ∈ P ,‫כלומר‬ ,"‫"קלה‬ L ‫אם‬ .‫ב‬ ‫ואופטימיזציה‬ ‫חיפוש‬ ,‫הכרעה‬ ‫של‬ ‫גרסאות‬ ‫בין‬ ‫שקילות‬ 16 .‫האופטימיזציה‬ ‫גרסת‬ ‫את‬ ‫שמגדירה‬ ‫קלה‬ ‫ערך‬ ‫פונקציית‬ ‫יש‬ Karp ‫של‬ ‫הבעיות‬ 22 ‫ובפרט‬ ‫שלמות‬ NP-‫ה‬ ‫הבעיות‬ ‫למרבית‬ :‫הגדרה‬ ‫מעצם‬ ‫הכרעה‬ ‫גרסת‬ ≤ ‫חיפוש‬ ‫גרסת‬ ≤ ‫אופטימיזציה‬ ‫גרסת‬ .‫יעיל‬ ‫חישוב‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ‫שקולות‬ ‫כולם‬ ‫למעשה‬ 3 − SAT ‫דוגמת‬ 16.1 :‫מצבים‬ ‫שני‬ ‫רק‬ ‫ישנם‬ 3 − SAT ‫עבור‬ .‫קשות‬ ‫שהן‬ ‫או‬ ‫קלות‬ ‫הגרסאות‬ ‫ששלושת‬ ‫או‬ ‫שקילות‬ ‫דוגמת‬ 16.1.1 .‫החיפוש‬ ‫לגרסת‬ ‫יעיל‬ ‫אלגוריתם‬ ‫יש‬ NP-‫ב‬ ‫בעיה‬ ‫לכל‬ ‫אזי‬ P = NP ‫אם‬ :‫האלגוריתם‬ .‫החיפוש‬ ‫להכרעת‬ B ‫יעיל‬ ‫אלגוריתם‬ ‫נראה‬ 3 SAT ‫להכרעת‬ ‫יעיל‬ A ‫אלגוריתם‬ ‫בהינתן‬ φ (x1, . . . , xn) :‫קלט‬ ."‫ספיקה‬ ‫לא‬ φ"‫ש‬ ‫ומכריז‬ ‫עוצר‬ ‫החיפוש‬ ‫אלגוריתם‬ ‫אזי‬ ‫ספיקה‬ ‫לא‬ φ-‫ש‬ ‫קובע‬ A ‫אם‬ .‫א‬ :‫אחרת‬ .‫ב‬ :n ‫עד‬ 1-‫מ‬ ‫החל‬ i ‫משתנה‬ ‫לכל‬ (1) -‫ש‬ ‫סופית‬ ‫נקבע‬ ‫אזי‬ ‫ספיקה‬ ‫נוסחה‬ φ (x1 ← v1, . . . , xi ← T, . . . xn ← vn) :‫כי‬ ‫קובע‬ A ‫אם‬ .i .‫הבא‬ ‫למשתנה‬ ‫ונמשיך‬ xi = T .xi = F-‫ש‬ ‫סופית‬ ‫נקבע‬ :‫אחרת‬ .ii :‫האלגוריתם‬ ‫ריצת‬ ‫זמן‬ Θ (n · Time (A)) .P-‫ב‬ ‫הנ"ל‬ ‫האלגוריתם‬ ‫גם‬ ‫אזי‬ A ∈ P-‫ש‬ ‫ובכלל‬ :2 ‫הסבר‬ ‫השמה‬ ‫ישנה‬ ‫כי‬ ‫שקבע‬ A ‫אלגוריתם‬ ‫באותו‬ ‫השתמשנו‬ ,‫כלומר‬ ,‫ספיקה‬ ‫היא‬ φ ‫כי‬ ‫לנו‬ ‫נאמר‬ ‫באלגוריתם‬ ‫השני‬ ‫בשלב‬ ‫עוברים‬ ‫אנחנו‬ ‫ולכן‬ .‫אותה‬ ‫תספק‬ φ-‫ל‬ ‫שההשמה‬ ‫כך‬ T/F ‫בולאנית‬ ‫השמה‬ ‫קיימת‬ xi ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,φ-‫ל‬ ‫מספקת‬ ‫ערך‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫נציב‬ ‫)כאשר‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫תתן‬ F-‫ש‬ ‫בוודאי‬ ‫אז‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫תתן‬ ‫לא‬ T ‫ואם‬ ‫משתנה‬ ‫משתנה‬ .φ-‫ל‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫אין‬ ‫כי‬ ‫מגלים‬ ‫היינו‬ ‫הראשון‬ ‫בשלב‬ ‫כבר‬ ‫אחרת‬ .(‫במשתנה‬ ."‫שחורה‬ ‫"קופסה‬ ‫בתור‬ ‫בו‬ ‫משתמשים‬ ‫ואנחנו‬ ‫קיים‬ ‫שהוא‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אבל‬ ,A ‫אלגוריתם‬ ‫אותו‬ ‫מהו‬ ‫יודעים‬ ‫לא‬ ‫שאנחנו‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬3 18
coNP ‫המחלקה‬ 19‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ DSR ‫שיטת‬ 17 ‫הקלט‬ ‫כמות‬ ‫את‬ ‫במעט‬ ‫הורדנו‬ ‫פעם‬ ‫כל‬ ‫אנחנו‬ (3−SAT ‫בעיית‬ ‫עבור‬ ‫השקילות‬ ‫)דוגמת‬ 16.1.1-‫ב‬ ‫באלגוריתם‬ ‫שראינו‬ ‫כמו‬ .‫הנתון‬ ....‫בודקים‬ ‫ואז‬ ‫הקלט‬ ‫את‬ ‫מפחיתים‬ ‫אנחנו‬ ‫פעם‬ ‫שכל‬ ‫הרעיון‬ - Downward Self Reducibility - DSR :‫נקרא‬ ‫זה‬ ‫דבר‬ (‫-דטרמיניסטי‬ ‫לא‬ ‫חישוב‬ NP ‫)הגדרת‬ ‫מטל"ד‬ 18 ‫עוברים‬ - ‫לאחרת‬ ‫אחת‬ ‫קונפיגורציה‬ ‫מכל‬ ‫שעוברים‬ ‫במקום‬ ‫שבה‬ ‫מכונה‬ ‫היא‬ (‫דטרמיניסטית‬ ‫לא‬ ‫טיורינג‬ ‫)מכונת‬ ‫מטל"ד‬ .‫אחת‬ ‫מקונפיגורציה‬ ‫ליותר‬ δ (q, σ1, . . . , σk) δ (q, σ1, . . . , σk) 55kkkkkkkkkkk ))‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚ ... δ ( q, σ (l) 1 , . . . , σ (l) k ) .‫שונות‬ ‫תוצאות‬ x ‫אותו‬ ‫על‬ M ‫של‬ ‫שונות‬ ‫בהרצות‬ ‫יתכנו‬ ‫לכן‬ .T (n) ≤ Θ (|x| c ) :‫אפשרית‬ ‫ריצה‬ ‫ולכל‬ x ‫שלכל‬ ‫כך‬ C ‫קבוע‬ ‫ישנו‬ ‫אם‬ ‫יעילה‬ ‫היא‬ ‫כי‬ M ‫כל‬ ‫נאמר‬ :(‫הרצות‬ ‫כמה‬ ‫בפועל‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫)אשר‬ x ‫על‬ M ‫של‬ ‫אפשרית‬ ‫הרצה‬ ‫בכל‬ ‫כל‬ ,‫זאת‬ ‫לעומת‬ ‫אם‬ .M (x) = Accept ‫כי‬ ‫נאמר‬ ‫אזי‬ ,Accept-‫ב‬ ‫שמסיימת‬ ‫מסוים‬ ‫קלט‬ ‫על‬ ,‫אחת‬ ‫הרצה‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬ M (x) = ‫כי‬ ‫נאמר‬ ‫אזי‬ ,Accept-‫ב‬ ‫שמסתיימת‬ ‫אחת‬ ‫הרצה‬ ‫אפילו‬ ‫אין‬ ,‫קרי‬ ,Reject-‫ב‬ ‫מסתימות‬ ‫האפשריות‬ ‫ההרצות‬ .Reject .NPnd-‫ב‬ ‫הזה‬ ‫מהסוג‬ ‫המכונות‬ ‫של‬ ‫המחלקה‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ :18.1 ‫משפט‬ NPnd = NP∃ .(14) NP ‫המחלקה‬ ‫של‬ ‫הרגילה‬ ‫ההגדרה‬ ‫זאת‬ NP∃ ‫כאשר‬ coNP ‫המחלקה‬ 19 coC ‫המחלקה‬ 19.1 :‫הבא‬ ‫באופן‬ coC ‫את‬ ‫להגדיר‬ ‫תמיד‬ ‫ניתן‬ C ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקת‬ ‫בהינתן‬ coC = { L LC ∈ C } = { LC L ∈ C } .(‫החישוביות‬ ‫בתורת‬ ‫שנהוג‬ ‫)כמו‬ ‫שפה‬ ‫על‬ ‫ולא‬ x ‫קלט‬ ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫שאנחנו‬ ‫לציין‬ ‫חשוב‬ .x /∈ L ⇐⇒ x ∈ LC :‫וההפך‬ x ∈ L ⇐⇒ x /∈ LC :‫כלומר‬ L LC •x •y .x /∈ LC , y /∈ L :‫ולכן‬ ,x ∈ L, y ∈ LC :‫למשל‬ ‫שלמעלה‬ ‫באיור‬ 19
coNP ‫המחלקה‬ 19‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ coP = P 19.2 .(‫)ביעילות‬ ‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫השפות‬ ‫שתי‬ ‫ואת‬ ‫היות‬ coP = P ‫כי‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬ P ‫המחלקה‬ ‫של‬ ‫במקרה‬ .‫ל"ד‬ ‫נתונים‬ ‫ובלי‬ ‫כמתים‬ ‫בלי‬ ‫מוגבלים‬ ‫במשאבים‬ ‫חישוב‬ ‫ע"י‬ ‫שמוגדרת‬ ‫מחלקה‬ ‫היא‬ P .‫וההפך‬ ‫מקבלים‬ ‫ללא‬ ‫המקבלים‬ ‫המצבים‬ ‫את‬ ‫להפוך‬ ‫הוא‬ P ‫של‬ ‫במקרה‬ ‫לעשות‬ ‫שצריך‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫לפתור‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ (‫)עד‬ ‫נכון‬ ‫הוא‬ ‫פתרון‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ NP-‫שב‬ ‫מכיוון‬ ‫יותר‬ ‫מורכב‬ ‫כבר‬ ‫המצב‬ coNP-‫ב‬ .‫העדים‬ ‫מבחינת‬ ‫הפוך‬ coNP ‫את‬ ‫להגדיר‬ ‫הוא‬ ‫שנצטרך‬ ‫מה‬ ‫לכן‬ ,‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫הבעיה‬ ‫את‬ ‫מצב‬ ← M-‫ב‬ ‫מקבל‬ ‫שמצב‬ ‫לכך‬ ‫פרט‬ M ‫למכונה‬ ‫שזהה‬ MC ‫במכונה‬ ‫נביט‬ T (n) ‫בזמן‬ L ‫את‬ ‫מכריעה‬ M ‫אם‬ .MC -‫ב‬ ‫מקבל‬ ‫מצב‬ ← M-‫ב‬ ‫דוחה‬ ‫ומצב‬MC -‫ב‬ ‫דוחה‬ Time (M (x)) = Time ( MC (x) ) .Θ-‫ב‬ ‫צורך‬ ‫אין‬ ‫שאפילו‬ ‫כך‬ ‫לחלוטין‬ ‫זהה‬ ‫וזה‬ coNP = { L LC ∈ NP } = { LC L ∈ NP } :coNP-‫ב‬ ‫נמצאות‬ ‫אשר‬ ‫שפות‬ ‫שתי‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ :19.1 ‫דוגמא‬ :φ ‫נוסחה‬ ‫של‬ ‫הספיקות‬ ‫לבעיית‬ ‫באשר‬ (SAT) C = SATC = { ⟨φ⟩ ‫ספיקה‬ ‫לא‬ φ } .SATC -‫ב‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ ‫ספיקה‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ‫ואם‬ SAT-‫ב‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ ‫ספיקה‬ ‫נוסחה‬ ‫היא‬ φ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ :19.2 ‫דוגמא‬ :‫בגרפים‬ ‫צביעה‬ ‫בעיית‬ .‫3-צביע‬ ‫הוא‬ G ‫גרף‬ ‫האם‬ (3 − COL) C = { ⟨G⟩ ‫3-צביע‬ ‫אינו‬ G } .‫המשלימה‬ ‫השפה‬ ‫את‬ ‫חיפשנו‬ ‫שלמעלה‬ ‫הדוגמאות‬ ‫בשתי‬ .‫3-צביע‬ ‫אינו‬ ‫שהוא‬ ‫גרף‬ ‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬ (3 − COL) C -‫ב‬ ‫אזי‬ ,‫3-צביע‬ ‫שהוא‬ ‫גרף‬ ‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬ 3−COL-‫ב‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ‫כמתים‬ ‫באמצעות‬ coNP ‫הגדרת‬ 19.3 :‫נחליף‬ ‫שפשוט‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ ,∀, ∃ ‫כמתים‬ ‫עם‬ (14) NP ‫את‬ ‫הגדרנו‬ :L ∈ coNP ‫אם‬ x ∈ L ⇐⇒ ∀ ˜w ⇒ V (x, w) = Accept x /∈ L ⇐⇒ ∃ ˜w ⇒ V (x, w) = Reject :‫)תזכורת‬ ‫תתקבל‬ ‫לגרף‬ ‫שניתן‬ ‫צביעה‬ ‫כל‬ :‫אזי‬ ‫צביע‬ ‫שאינו‬ G ‫גרף‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ ,(‫בגרפים‬ ‫צביעה‬ ‫)בעיית‬ 19.2 ‫לדוגמה‬ ‫בהמשך‬ .‫דחייה‬ ‫נקבל‬ - (w) ‫שלו‬ ‫לצביעה‬ ‫העד‬ ‫את‬ ‫שנתן‬ ‫ברגע‬ ‫אזי‬ ,‫צביע‬ G ‫ואם‬ (....3 − COLC ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫אנחנו‬ 20
‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :3 ‫הסבר‬ ‫אזי‬ (‫צביע‬ ‫שאינו‬ ‫גרף‬ ,‫)למשל‬ ‫בשפה‬ ‫קלט‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ :‫הפוך‬ ‫בדיוק‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ ‫כאן‬ - 1 ‫בהסבר‬ ‫שמתואר‬ ‫כפי‬ ‫אזי‬ ,‫3-צביע‬ ‫הגרף‬ ‫אם‬ ,‫זאת‬ ‫לעומת‬ .‫צבעים‬ ‫בשלושה‬ ‫הגרף‬ ‫את‬ ‫לצבוע‬ ‫ניתן‬ ‫ולא‬ ‫היות‬ ‫לבדיקה‬ ‫עד‬ ‫כל‬ ‫תקבל‬ ‫המכונה‬ 3 − COL-‫ב‬ ‫נהיה‬ ‫ואנחנו‬ ‫היות‬ - Reject ‫תחזיר‬ ‫המכונה‬ ‫אזי‬ - ‫אותה‬ ‫נקבל‬ ‫ואם‬ ,‫הגרף‬ ‫של‬ ‫חוקית‬ ‫צביע‬ ‫קיימת‬ .3 − COLC -‫ב‬ ‫ולא‬ G ∈ 3 − COLC ⇐⇒ ‫3-צביע‬ ‫אינו‬ G ⇐⇒ ∀ ˜w V (G, w) = Accept G /∈ 3 − COLC ⇐⇒ ‫3-צביע‬ G ⇐⇒ ∃ ˜w V (G, w) = Reject :19.1 ‫משפט‬ .LC ‫השפה‬ ‫הגדרת‬ ‫ובאמצעות‬ ‫הכמתים‬ ‫באמצעות‬ ‫ההגדרה‬ :‫שקולות‬ coNP ‫של‬ ‫ההגדרות‬ ‫שתי‬ NP ̸= coNP-‫ש‬ ‫ההשערה‬ 19.4 :‫שלמטה‬ ‫באיור‬ ‫שמתואר‬ ‫כפי‬ .NP ̸= coNP :‫היא‬ ‫המרכזית‬ ‫ההשערה‬ ‫אבל‬ ,P ⊆ coNP-‫ו‬ P ⊆ NP :‫בבירור‬ P coNPNP rrrrrrrrrrrrrrrrr vvvvvvvvvvvvvvvvv :‫למשל‬ ‫אבל‬ ,‫ספיקה‬ φ-‫ש‬ ‫לבדיקה‬ ‫וקל‬ ‫קצר‬ ‫עד‬ ‫מהווה‬ w ‫יחידה‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ φ ‫פסוקית‬ ‫עבור‬ ‫כי‬ SATC /∈ NP ‫כי‬ ‫משוער‬ ?‫ספיקה‬ ‫אינה‬ φ ‫כי‬ ‫יעיד‬ ‫לבדיקה‬ ‫וקל‬ ‫קצר‬ ‫עד‬ ‫איזה‬ ...3 − COLC ‫לגבי‬ ‫כנ"ל‬ co (NPC) = (coNP) C IV ‫חלק‬ PH - ‫פולינומית‬ ‫היררכיה‬ 21
coNP-‫ו‬ NP-‫ל‬ ‫שמעבר‬ ‫מה‬ 20‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ coNP-‫ו‬ NP-‫ל‬ ‫שמעבר‬ ‫מה‬ 20 ‫משתי‬ ‫אחת‬ ‫באף‬ ‫נמצאות‬ ‫שלא‬ ‫בעיות‬ ‫גם‬ ‫ישנן‬ ‫אבל‬ ,coNP-‫ב‬ ‫או‬ NP-‫ב‬ ‫שהן‬ (‫)שפות‬ ‫בעיות‬ ‫עם‬ ‫התעסקנו‬ ‫עכשיו‬ ‫עד‬ ...‫הללו‬ ‫המחלקות‬ ‫לפתרון‬ ,‫אחד‬ ‫כמת‬ ‫רק‬ ‫היה‬ coNP-‫וב‬ NP-‫ב‬ .‫בבעיה‬ ‫שיש‬ ‫הכמתים‬ ‫לכמות‬ ‫להתייחס‬ ‫צריך‬ ‫הרעיון‬ ‫את‬ ‫להבין‬ ‫בשביל‬ .‫כמתים‬ ‫שני‬ ‫שמצריכה‬ ‫לבעיה‬ ‫דוגמה‬ ‫נראה‬ ‫עכשיו‬ ‫אבל‬ (‫כמתים‬ ‫שני‬ ‫עם‬ ‫לבעיה‬ ‫)דוגמה‬ ‫המזערי‬ ‫המעגל‬ ‫בעיית‬ 20.1 :‫הבאה‬ ‫השפה‬ ‫על‬ ‫נתסכל‬ MinCircut = { ⟨C⟩ ‫הוא‬ C ‫הבולאני‬ ‫המעגל‬ fC ‫לחישוב‬ ‫מזערי‬ ‫בגודל‬ ‫מעגל‬ } C ‫על‬ ” < ” ‫יחס‬ .C ‫של‬ ‫בגרף‬ ‫הצלעות‬ ‫כמספר‬ ‫מוגדר‬ ‫גודל‬ ‫כאשר‬ ,C2-‫מ‬ ‫קטן‬ C1 ‫המעגל‬ ‫כאשר‬ - C1 < C2 :‫סימון‬ 4 ‫מלא‬ ‫סדר‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ ∀C′ ( (C′ < C) → ∃y (C′ (y) ̸= C (y)) ) .‫למעגלים‬ ‫קלט‬ ‫הוא‬ y ‫כאשר‬ .‫שגוי‬ ‫מעגל‬ C′ ‫אז‬ C-‫מ‬ ‫יותר‬ ‫קטן‬ C′ ‫אם‬ ,C′ ‫אחר‬ ‫מעגל‬ ‫לכל‬ :‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫היא‬ ‫אומרת‬ ‫שלמעלה‬ ‫שהנוסחה‬ ‫מה‬ :‫הבאים‬ ‫התנאים‬ ‫התקיימו‬ ‫כאן‬ ‫בבעיה‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ .∀, ∃ :‫כימותים‬ ‫שני‬ ‫היו‬ .‫א‬ .|C′ | , |y| = poly (n) ‫מחרוזת‬ ‫על‬ ‫היה‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ .‫ב‬ .‫לבדיקה‬ ‫קל‬ ‫היה‬ ‫התנאי‬ .‫ג‬ :‫מתקיימים‬ ‫התנאים‬ ‫שלושת‬ ‫בה‬ ‫שגם‬ ‫דוגמה‬ ‫עוד‬ ‫על‬ ‫נתסכל‬ :φ-‫ב‬ ‫לספק‬ ‫מצליחה‬ w ‫שההשמה‬ ‫הפסוקיות‬ '‫מס‬ = V al (φ, k) (φ, k) ∈ EXACT − SAT ⇒ ( ∃w1 (Val (φ, w1) ≥ k) ) ∧ ( ∀w2 (Val (φ, w2) ≤ k) ) ‫של‬ ‫השמטה‬ ‫כל‬ ‫אבל‬ ,‫ספיקה‬ ‫שאינה‬ φ ‫נוסחה‬ ‫לנו‬ ‫נתונה‬ ‫שבה‬ ‫בעיה‬ - Critic − SAT-‫ה‬ ‫בעיית‬ ‫היא‬ ‫נוספת‬ ‫דוגמה‬ .‫לספיקה‬ ‫אותה‬ ‫תהפוך‬ φ-‫מ‬ ‫שרירותית‬ ‫פסוקית‬ :x ∈ Critic − SAT ( ∀w (V (φ, w)) = Reject ‫לבדיקה‬ ‫קל‬ ‫תנאי‬ ) ∧ ( ∃w1, . . . , wm ∧ 1≤i≤m (∨ (φCi, wi) = Accept) ‫לבדיקה‬ ‫קל‬ ‫תנאי‬ ) ‫מספיק‬ ‫לא‬ ‫לכן‬ ,i ‫פסוקית‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ ‫אחד‬ ,‫הללו‬ (‫הללו‬ ‫)ההשמות‬ ‫הפתרונות‬ ‫כל‬ ‫קיימים‬ ‫שיהיו‬ ‫חייבים‬ - ∃w1 . . . , wm .‫אחרת‬ ‫התאמה‬ ‫להיות‬ ‫יכולה‬ ‫שנסיר‬ ‫פסוקית‬ ‫ולכל‬ - ‫אחד‬ ‫פתרון‬ ‫עבור‬ ‫רק‬ ‫תקף‬ ‫זה‬ ‫אז‬ ‫כי‬ - ”∃w...” :‫כמו‬ ‫משהו‬ ‫לרשום‬ .i-‫ה‬ ‫הפסוקית‬ ‫פחות‬ φ (‫)הקלט‬ ‫הפסוק‬ ‫זה‬ - φCi .φCi-‫ל‬ ‫המספקת‬ ‫ההשמה‬ ‫זאת‬ - wi .‫יותר‬ ‫גדול‬ ‫מעגל‬ ‫איזה‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫תמיד‬ ,‫כלומר‬4 22
‫הפולינומית‬ ‫ההיררכיה‬ ‫הגדרת‬ 21‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫הפולינומית‬ ‫ההיררכיה‬ ‫הגדרת‬ 21 ‫סימונים‬ 21.1 .V (x) = Accept-‫ש‬ ‫פירושו‬ V (x) .V (x) = Reject-‫ש‬ ‫פירושו‬ ¬V (x) .‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫המשתנים‬ ‫את‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ - ∃, ∀ ΠkP-‫ו‬ ΣkP 21.2 .(‫קבוע‬ ‫הוא‬ c ‫)כאשר‬ Θ (|x| c ) ≥ ‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫שרצה‬ ‫מכונה‬ ‫זאת‬ - M = V ‫ההגדרות‬ ‫בכל‬ ‫המשמעות‬ ‫המחלקה‬ x ∈ L ⇐⇒ V (x)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ P = Σ0P = Π0P x ∈ L ⇐⇒ ∃w1V (x, w1)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ NP = Σ1P x ∈ L ⇐⇒ ∀w1V (x, w1)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ coNP = Π1P x ∈ L ⇐⇒ ∃w1∀w2V (x, w1, w2)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ Σ2P x ∈ L ⇐⇒ ∀w1∃w2V (x, w1, w2)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ Π2P x ∈ L ⇐⇒ ∃w1∀w2∃w3V (x, w1, w2, w3)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ Σ3P x ∈ L ⇐⇒ ∀w1∃w2∀w3V (x, w1, w2, w3)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ Π3P x ∈ L ⇐⇒ ∃w1∀w2 · · · Qwk V (x, w1, w2, . . . , wk)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ :L ∈ ΣkP x ∈ L ⇐⇒ ∀w1∃w2 · · · Qwk V (x, w1, w2, . . . , wk)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ : L ∈ ΠkP .k ‫זוגיות‬ ‫לפי‬ ‫נקבע‬ Q ∈ {∀, ∃} ‫כאשר‬ ΣkP, ΠkP ⊆ Σk+1P, Πk+1P PH ‫הגדרת‬ 21.3 :‫הבא‬ ‫האיור‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ :‫כלומר‬ ,‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫איחוד‬ ‫זה‬ PH PH = ∪ k∈N ΣkP = ∪ k∈N ΠkP :‫לזכור‬ ‫שכדאי‬ ‫דברים‬ ‫כמה‬ ‫הנה‬ ,‫כמו-כן‬ co (ΣkP) = ΠkP co (ΠkP) = ΣkP 23
‫הפולינומית‬ ‫ההיררכיה‬ ‫הגדרת‬ 21‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ P coNP NP •••••••••••• 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Π2P Σ2P 1 1 1 1 1 1 1 1 1 w w w w w w w w w w w w w w w qqqqqqqqqqqqqqq Π3P Σ3P qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww PH QkP ‫מחלקה‬ ‫כל‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫כוללת‬ ,‫למשל‬ ,‫שמתחתיה‬ ‫מה‬ ‫מוצג‬ ‫משמאל‬ ‫באיור‬ :Σ2P ‫המחלקה‬ ‫כוללת‬ ‫האזור‬ ‫בתוך‬ ‫שיש‬ ‫)מה‬ (.‫המקווקו‬ ‫בקו‬ ‫שמסומן‬ P coNP NP qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww Π2P Σ2P wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq Π3P Σ3P qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww PH ‫פולינומית‬ ‫היררכיה‬ :4 ‫איור‬ '‫וכו‬ P ̸= NP ‫לגבי‬ ‫מרכזיות‬ ‫השערות‬ 21.4 ΠkP Σk+1P - "‫מעריכית‬ ‫כוח‬ ‫תוספת‬ ‫יש‬ ∃ ‫"לכמת‬ P ̸= NP ΣkP ∀k+1P - "‫מעריכית‬ ‫כוח‬ ‫תוספת‬ ‫יש‬ ∀ ‫"לכמת‬ P ̸= coNP ΣkP ̸= ΠkP - "(‫אחד‬ ‫לכל‬ ‫כוח‬ ‫)אותו‬ ‫שונה‬ ‫כוח‬ ‫תוספת‬ ‫יש‬ ‫שונים‬ ‫"לכמת‬ NP ̸= coNP ‫הקריסה‬ ‫משפט‬ 21.5 ‫והופכות‬ ‫קורסות‬ ‫הקומות‬ ‫כל‬ ,‫כלומר‬ .‫קורס‬ ‫שמעל‬ ‫מה‬ ‫כל‬ - ‫שמעליה‬ ‫לזאת‬ ‫שווה‬ ‫הרמות‬ ‫שאחת‬ ‫שמספיק‬ ‫אומר‬ ‫המשפט‬ :‫המשפט‬ ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬ .‫אחת‬ ‫קומה‬ ‫להיות‬ P = NP ⇒ P = PH 24
‫חישוב‬ ‫קונפיגורצית‬ 23‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ V ‫חלק‬ ‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ .‫ריצה‬ ‫זמן‬ ‫אחרי‬ ‫בחשיבותו‬ ‫השני‬ ‫המשאב‬ ‫הוא‬ ‫זיכרון‬ .S-‫ב‬ ‫אותו‬ ‫נסמן‬ :‫אזי‬ ,(‫שעון‬ ‫)פעימות‬ ‫זמן‬ - T ,‫זיכרון‬ - S S ≤ T .‫לזמן‬ ‫בניגוד‬ ‫למחזר‬ ‫ניתן‬ ‫וזיכרון‬ ‫היות‬ ,S ≪ T :‫עבורן‬ ‫בעיות‬ ‫שיש‬ ‫משערים‬ ‫וכמו-כן‬ S ≪ T ‫שבו‬ ‫למקרה‬ ‫דוגמת‬ 22 :‫משתנים‬ n-‫ו‬ ‫פסוקיות‬ m ‫עם‬ SAT ‫של‬ ‫הדוגמה‬ ‫על‬ ‫נתסכל‬ .‫השמות‬ 2n -‫ה‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫בלולאה‬ ‫סורקים‬ .”Accept” ‫ועונים‬ ‫עוצרים‬ ‫אזי‬ ‫מספקת‬ ‫היא‬ ‫ואם‬ φ-‫ב‬ ‫מציבים‬ w ‫השמה‬ ‫כל‬ .”Reject” ‫עונים‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫נמצאה‬ ‫לא‬ ‫אם‬ ,‫הסריקה‬ ‫בסוף‬ :‫סה"כ‬ S (n) = &&2n · n + Θ (log m) (‫מאוד‬ ‫קצר‬ ‫)משהו‬ ‫החישוב‬ ‫אותו‬ ‫של‬ ‫תוצאה‬ ‫רק‬ ‫שומרים‬ ‫אנחנו‬ ,‫זיכרון‬ ‫ממחזרים‬ ‫שאנחנו‬ ‫היא‬ 2n ‫את‬ ‫שביטלנו‬ ‫הסיבה‬ .‫משתמשים‬ ‫אנחנו‬ ‫שבה‬ ‫ההשמה‬ ‫של‬ ‫אינדיקציה‬ + .SAT ∈ D − SPACE (‫הקלט‬ ‫)אורך‬ .2Ω(n) ‫זמן‬ ‫דורשת‬ SAT-‫ש‬ ‫משערים‬ .NP, coNP, PH ⊆ P − SPACE ‫פולינומי‬ ‫זיכרון‬ :‫למעשה‬ :‫סביר‬ S ‫עבור‬ S ≤ T ≤ 2Θ(S) .(‫אותו‬ ‫למחזר‬ ‫היכולת‬ ‫)בגלל‬ ‫מזמן‬ ‫חזק‬ ‫יותר‬ ‫הרבה‬ ‫שזיכרון‬ ‫משערים‬ ‫חישוב‬ ‫קונפיגורצית‬ 23 .(9 ‫)חלק‬ ‫חישוב‬ ‫מכונות‬ - ‫כאן‬ ‫בהרחבה‬ ‫מ"ט‬ ‫על‬ ‫דובר‬ ‫בעיקרון‬ .‫ופלט‬ ‫עבודה‬ ,‫קלט‬ :‫במ"ט‬ ‫סרטים‬ ‫שלושה‬ ‫ישנן‬ .S (n) ‫בזיכרון‬ L ‫שפה‬ ‫את‬ ‫מכריעה‬ M ‫מכונה‬ ‫כי‬ ‫אומרים‬ .x /∈ L ⇐⇒ M (x) = Reject ,x ∈ L ⇐⇒ M (x) = Accept .c · S ≥ ‫העבודה‬ ‫בסוף‬ M ‫ניגשת‬ ‫שאליהם‬ ‫התאים‬ ‫שמספר‬ ‫כל‬ c ‫קבוע‬ ‫קיים‬ 25
‫זיכרון‬ - ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬ 24‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ S : N → N ?‫ישנן‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫כמה‬ 23.1 .‫אפשרי‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫חסם‬ ‫למצוא‬ ,‫כלומר‬ .‫האפשרי‬ ‫הקונפיגורציות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫לעמוד‬ ‫ננסה‬ .‫קונפיגורציה‬ ‫הוא‬ ‫כזה‬ ‫חישוב‬ ‫כל‬ - (9.1) ‫החישוב‬ ‫אופן‬ :‫כאן‬ ‫קונפיגורציה‬ ‫מהי‬ ‫על‬ ‫לקרוא‬ ‫ניתן‬ ‫כזכור‬ :‫חסמים‬ ‫אלו‬ ‫נחפש‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬ n · S · |Σ|S · |Q| .‫הקלט‬ ‫בסרט‬ ‫הקורא‬ ‫הראש‬ ‫מיקום‬ n .‫העבודה‬ ‫בסרט‬ ‫מיקום‬ S ,‫כלומר‬ ,Σ-‫מ‬ ‫אחת‬ ‫אות‬ ‫יש‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫שבכל‬ ‫בסרט‬ ‫תאים‬ S ‫לנו‬ ‫יש‬ .‫אפשרויות‬ |Σ| ‫יש‬ ‫תא‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ |Σ| S .‫שישנם‬ ‫המצבים‬ ‫מספר‬ Q .‫אותו‬ ‫לצמצם‬ ‫נוכל‬ ‫ולכן‬ ,S < |Σ| S :|Σ| > 2 ‫עבור‬ ,‫כעת‬ .S ≥ Ω (log n) ‫עבור‬ 5 n · 2Θ(S) = 2Θ(S) :‫כמו-כן‬ ‫נכנס‬ ‫ואז‬ - ‫אליה‬ ‫שנחזור‬ ‫קונפיגורציה‬ ‫תהיה‬ ‫בוודאי‬ ‫אז‬ ‫כי‬ ,‫הקונפיגורציות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫יעלה‬ ‫שהזמן‬ ‫ייתכן‬ ‫לא‬ ,‫כעת‬ .(‫מעגל‬ ‫ייסגר‬ ‫בהכרח‬ ‫אז‬ ‫)כי‬ ‫אינסופית‬ ‫ללולאה‬ :‫לכן‬ T ≤ 2Θ(S) ' & $ % ‫זיכרון‬ - ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬ 24 .log (n) :‫מזערי‬ "‫"סביר‬ ‫עבודה‬ ‫זיכרון‬ .poly (n) :‫מרבי‬ "‫"סביר‬ ‫עבודה‬ ‫זיכרון‬ :‫נסמן‬ P − SPACE = ∪ k∈N D − SPACE ( nk ) L = L − SPACE = D − SPACE ∈ (log n) .‫לוגריתמי‬ ‫זיכרון‬ - T ≤ 2Θ(log n) = nΘ(1) ⇐= S = Θ (log n) ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ 24.1 :‫מקום‬ ‫סיבוכיות‬ ‫לגבי‬ (12.1 ‫)משפט‬ ‫זמן‬ ‫סיבוכיות‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ ‫למשפט‬ ‫מאוד‬ ‫בדומה‬ :‫אזי‬ S1 ≪ S2 ‫אם‬ D − SPACE (S1) D − SPACE (S2) .L P − SPACE :‫ובפרט‬ .40 ‫בעמוד‬ ‫נמצאת‬ 6 ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ .n · 2Θ(S) = 2Θ(S)+log(n) = 2Θ(S) :‫כי‬5 .‫בלכסון‬ ‫שמתרכזת‬ ‫חלקית‬ ‫בהוכחה‬ ‫אלא‬ ‫מלאה‬ ‫בהוכחה‬ ‫מדובר‬ ‫לא‬6 26
‫זיכרון‬ - ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬ 24‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫המחלקות‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ 24.2 L ⊆ P ⊆ NP ⊆ P − SP ACE ‫אחד‬ ‫אף‬ ‫את‬ ‫להוכיח‬ ‫איך‬ ‫ידוע‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ , ‫בעצם‬ ‫הוא‬ ⊆-‫ה‬ ‫אחד‬ ‫שלפחות‬ ‫בוודאי‬ ‫אזי‬ L P − SPACE-‫ו‬ ‫היות‬ .... -‫מה‬ ?L ̸= NP :‫פתוחה‬ ‫בעיה‬ 24.2.1 ?‫לוגריתמי‬ ‫בזיכרון‬ ‫כריעה‬ SAT ‫האם‬ ‫היא‬ ‫הפתוחה‬ ‫והשאלה‬ 2Θ(n) ‫זמן‬ ‫דורשת‬ SAT-‫ש‬ ‫משערים‬ ?P ̸= P − SPACE ‫האם‬ ‫השאלה‬ ‫נשאלת‬ ‫גם‬ ‫וכמו-כן‬ 27
‫צרמלו‬ ‫משפט‬ 26‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ VI ‫חלק‬ ‫במשחקים‬ ‫מנצחות‬ ‫אסטרטגיות‬ ‫משחקים‬ ‫הגדרת‬ 25 .‫לסירוגין‬ ‫משחקים‬ ‫אשר‬ ‫שחקנים‬ ‫שני‬ ‫ישנם‬ ‫במשחק‬ N .|x| = n .‫פתיחה‬ ‫מצב‬ = ‫קלט‬ N .‫שחקן‬ ‫מאף‬ ‫מוסתר‬ ‫לא‬ ‫מידע‬ ‫שום‬ ,‫כלומר‬ - ‫מלא‬ ‫מידע‬ ‫קיים‬ N :(poly (n) ‫)בזמן‬ ‫ביעילות‬ ‫לפתור‬ ‫ניתן‬ N .‫נוכחי‬ ‫צעד‬ ‫בעקבות‬ ‫משחק‬ ‫מצב‬ ‫לעדכן‬ R .‫התוצאה‬ ‫מה‬ - ‫כן‬ ‫ואם‬ ‫משחק‬ ‫סיום‬ ‫מצב‬ ‫זהו‬ ‫האם‬ ‫לקבוע‬ R .poly (n) ≥ ‫במשחק‬ ‫הצעדים‬ ‫מספר‬ R . poly (n) ≥ ‫באורך‬ ‫תיאור‬ ‫צעד‬ ‫ולכל‬ ‫מצב‬ ‫לכל‬ R .‫שחור/תיקו‬ ‫לבן/ניצחון‬ ‫ניצחון‬ :‫ב‬ ‫מסתיים‬ ‫משחק‬ ‫כל‬ N ‫צרמלו‬ ‫משפט‬ 26 :‫הבאים‬ ‫משלושת‬ ‫אחד‬ ‫מתקיים‬ ‫לעיל‬ ‫שתואר‬ ‫כפי‬ ‫משחק‬ ‫לכל‬ .‫לניצחון‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ ‫ללבן‬ .‫א‬ .‫לניצחון‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ ‫לשחור‬ .‫ב‬ .‫תיקו‬ ‫שמבטיחה‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ ‫לשניהם‬ .‫ג‬ ?‫מנצחת‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ (‫)לבן‬ ‫הפותח‬ ‫שלשחקן‬ ‫רושמים‬ ‫כיצד‬ 26.1 G (· · · ) = { Accept ‫מנצח‬ ‫לבן‬ Reject ‫אחרת‬ 28
‫לא-דטרמינסטי‬ ‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ 28‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ?‫נותרו‬ ‫צעדים‬ ‫כמה‬ ‫מסמנים‬ ‫כיצד‬ 26.2 ∃w1G (x, w1) 1 ∃w1∀w2G (x, w1, w2) 2 ∃w1∀w2∃w3G (x, w1, w2, w3) 3 ... ∃w1∀w2 · · · QwmG (x, w1, w2, . . . , wm) m TQBF 27 :True Quantified Boolean Formula ‫בשיטת‬ ‫זה‬ ,‫במשחק‬ ‫מנצחת‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬ ‫להכריע‬ ‫נוספת‬ ‫דרך‬ :‫לפסוק‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫ישנה‬ ‫האם‬ ‫למצוא‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫הרעיון‬    ∃x1∀x2∃x3 · · · Qmφ (· · · ) ψ ‫אמיתי‬ ‫הפסוק‬    ‫מפצלים‬ ‫פשוט‬ ‫אזי‬ ,‫אחד‬ ‫מביט‬ ‫יותר‬ ‫מכיל‬ ‫שלמעלה‬ wi-‫ו‬ ‫במידה‬ .‫אחד‬ ‫ביט‬ ‫הוא‬ xi ‫וכל‬ ,‫כמתים‬ ‫ללא‬ φ (· · · ) ‫כאשר‬ .‫ביטים‬ ‫למספר‬ wi ‫כל‬ TQBF ‫להכרעת‬ ‫אלגוריתם‬ 27.1 .43 ‫בעמוד‬ 1 ‫אלגוריתם‬ :‫כאן‬ ‫האלגוריתם‬ ‫את‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF 27.2 :‫כלומר‬ .TQBF ∈ D − SPACE ‫וגם‬ TQBF ∈ PSPACE .‫א‬ .PSPACE-‫ב‬ ‫קשה‬ ‫הכי‬ ‫גם‬ ‫והיא‬ PSPACE ‫את‬ ‫מייצגת‬ TQBF .‫ב‬ .L ≤p T QBF :‫מתקיים‬ L ∈ PSPACE ‫לכל‬ TQBF ‫של‬ ‫הזיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ 27.3 :(‫הכמתים‬ ‫)מספר‬ m > 1 ‫עבור‬ S (m, l) = S (m − 1, l) .S (m, l) = Θ (m) + Θ (l) :‫זיכרון‬ ‫במחזור‬ ‫ונשתמש‬ 2m -‫ה‬ ‫את‬ ‫נוריד‬ ‫ולכן‬ 2m ‫הינו‬ ‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫פתרון‬ .(45 ‫)עמוד‬ 8 ‫הסבר‬ ‫לאחר‬ ‫מיד‬ ‫למצוא‬ ‫ניתן‬ ‫לכך‬ ‫ההסבר‬ ‫את‬ .Θ ( S2 ) ‫והוא‬ ‫לינארי‬ ‫הוא‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫כעת‬ ‫לא-דטרמינסטי‬ ‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ 28 .‫מעריכית‬ ‫דטרמיניסטית‬ ‫הלא‬ ‫הכוח‬ ‫תוספת‬ - P ̸= NP .‫סימטרית‬ ‫לא‬ ‫דטרמיניסטית‬ ‫הלא‬ ‫הכוח‬ ‫תוספת‬ - coNP ̸= NP :‫אזי‬ S (n) ≥ Ω (n) ‫אם‬ ."‫"סדירה‬ ‫זיכרון‬ ‫פונקציית‬ S : N → N ‫תהי‬ :28.1 ‫משפט‬ .(Savitch ‫)משפט‬ ND − SPACE (S) ⊆ D − SPACE ( S2 ) 7 44 ‫בעמוד‬ L ≤p TQBF :‫כאן‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ ‫למשפט‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ .‫המתבקשת‬ ‫המסקנה‬ ‫את‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ ‫ההוכחה‬ ‫בסוף‬7 29
‫רקע‬ 29‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .(Immerman Szelopcsenyi) coND − SPACE (S) = ND − SPACE (S) VII ‫חלק‬ (‫אוב‬ ‫)פונקציית‬ ‫האורקל‬ ‫גישת‬ (1643) ‫האורקל‬ ‫בפני‬ ‫ניצבים‬ ‫ואכילס‬ ‫תטיס‬ ‫רקע‬ 29 .‫אותה‬ ‫לפתור‬ ‫נוכל‬ ‫בעתיד‬ ‫והאם‬ ,P = NP ‫האם‬ ‫השאלה‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫מצליחים‬ ‫איננו‬ ‫מדוע‬ ‫היא‬ ‫השאלות‬ ‫אחת‬ ‫לא‬ ‫גם‬ ‫היא‬ ‫ומדוע‬ ‫נפתרה‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫היא‬ ‫מדוע‬ ‫הסבר‬ ‫שמציע‬ (BGS - Baker Gill Solovay) ‫מאמר‬ ‫פורסם‬ 1975 ‫בשנת‬ ....‫שלנו‬ ‫ההוכחות‬ ‫מערכת‬ ‫עם‬ ‫תיפתר‬ .(‫אוב‬ ‫פונקציית‬ :‫)או‬ ‫האורקל‬ ‫גישת‬ - ‫חדש‬ ‫כלי‬ ‫גויס‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ ‫אורקל‬ ‫גישת‬ 29.1 .‫מקבילים/דמיוניים‬ ‫יקומים‬ ‫על‬ ‫כרגע‬ ‫מדברים‬ ‫אנחנו‬ M :‫כלומר‬ .O-‫ל‬ ‫אורקל‬ ‫גישת‬ ‫יש‬ M ‫מכונה‬ ‫לכל‬ ‫היקום‬ ‫שבאותו‬ (‫ויחידה‬ ‫)אחת‬ O ‫שפה‬ ‫ישנה‬ ‫מקביל‬ ‫ביקום‬ ‫כי‬ ‫נניח‬ .x ∈ O ‫האם‬ - ‫מהצורה‬ ‫שאלה‬ ‫לכל‬ ‫נכונה‬ ‫תשובה‬ ‫יחיד‬ ‫חישוב‬ ‫בצעד‬ ‫מקבלת‬ ‫גם‬ ‫ומותר‬ x1, . . . , xn−1 ‫רוצים‬ ‫שאנחנו‬ ‫שאילתות‬ ‫כמה‬ ‫אורקל‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫לשאול‬ ‫מותר‬ ,‫כלומר‬ ,‫אדפטיבית‬ ‫היא‬ ‫הגישה‬ .(‫השאילתות‬ ‫בבניית‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫)המחיר‬ .‫בקודמותיה‬ ‫תלויה‬ ‫תהיה‬ xn ‫שאילתה‬ ‫שכל‬ ‫סימונים‬ 29.2 .O ‫לאורקל‬ ‫גישה‬ ‫עם‬ ‫גישה‬ ‫עם‬ x ‫קלט‬ ‫על‬ M ‫מכונה‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫את‬ MO (x)-‫ב‬ ‫מסמנים‬ .O ‫לאורקל‬ ‫גישה‬ ‫בעזרת‬ (P-‫ה‬ ‫)בגלל‬ (14) ‫ביעילות‬ ‫להכריע‬ ‫שניתן‬ ‫השפות‬ ‫על‬ ‫אוסף‬ ‫זהו‬ - PO .O ‫לאורקל‬ ‫גישה‬ ‫בעזרת‬ ‫ל"ד‬ ‫באופן‬ ‫ביעילות‬ ‫להכריע‬ ‫שניתן‬ ‫השפות‬ ‫על‬ ‫אוסף‬ ‫זהו‬ - NPO .‫לאורקל‬ ‫גישה‬ ‫באמצעות‬ ‫ביעילות‬ SAT ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫ניתן‬ ‫שבו‬ ‫יקום‬ ‫זה‬ - PSAT :‫למשל‬ .‫כמותו‬ ‫ועונה‬ ‫לאורקל‬ x ‫קלט‬ ‫מעבירה‬ M ‫מכונה‬ - SAT ∈ PSAT .‫להפך‬ ‫ועונה‬ ‫לאורקל‬ x ‫קלט‬ ‫מעבירה‬ M ‫מכונה‬ - SATC ∈ PSAT 30
‫רקע‬ 29‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :‫תזכורת‬ ‫קופסה‬ ‫מעין‬ ‫כמו‬ ,‫יחיד‬ ‫חישוב‬ ‫בצעד‬ x ∈ O ‫האם‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫מקביל‬ ‫שביקום‬ ‫שפה‬ ‫זאת‬ - O .‫שחורה‬ .‫בודקים‬ ‫אנחנו‬ ‫שאותו‬ ‫הקלט‬ ‫זה‬ - x .NP, coNP ⊆ PSAT :‫כי‬ ‫מכך‬ ‫נובע‬ :‫למשל‬ ,‫שאילתות‬ ‫שתי‬ ‫ידרשו‬ (∃ · · · ) ∧ (∀ · · · ) ‫של‬ ‫בצורה‬ ‫בהיררכיה‬ 2 ‫ברמה‬ ‫בעיות‬ :29.1 ‫דוגמא‬ .Exact − SAT = { (φ, k) Val (φ) = K } :‫אםם‬ (φ, k) ∈ E.S. [∃w1 Val (φ, w1) ≥ k] (φ, k) ∈ L ‫תשובה‬ ‫נותן‬ ‫אורקל‬ f (φ, k) ‫חיובית‬ ∧ [∀w2 Val (φ, k) ≤ k] ‫תשובה‬ ‫נותן‬ ‫אורקל‬ f (φ, k + 1) ‫שלילית‬ .‫לבדיקה‬ ‫וקל‬ ‫קצר‬ ‫עד‬ ‫יש‬ ‫כי‬ L ∈ NP - L = { (φ, k) Val (φ) ≥ k } ‫כאשר‬ .L≤p SAT :‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ ‫היא‬ f ‫כאן‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ - ‫מסורתית‬ ‫הוכחה‬ 29.3 : ‫טיעון‬ ‫אחר‬ ‫טיעון‬ ,‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫נרשום‬ ‫אזי‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫לרשום‬ ‫נרצה‬ ‫אם‬ φ1 ⊢ φ2 ⊢ · · · ⊢ φm .O ‫שרירותי‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫תיקונים‬ ‫ללא‬ ‫תקף‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ φi ⊢ φi+1 ‫מעבר‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ :‫מסורתיות‬ ‫להוכחות‬ ‫דוגמאות‬ .‫הזמן‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ .‫א‬ .‫המקום‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ .‫ב‬ .NP∃ = NPnd ‫ההגדרות‬ ‫שקילות‬ .‫ג‬ .P ⊆ NP .‫ד‬ BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ 29.4 :29.1 ‫משפט‬ .PO ̸= NPO :‫מתקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,P ̸= NP ‫לטענה‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .P ̸= NP-‫ל‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫אין‬ ‫אז‬ - PO = NPO ‫שמקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫יש‬ - BGS :29.2 ‫משפט‬ .PO = NPO :‫מתקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,P = NP ‫לטענה‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .P = NP-‫ל‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫אין‬ ‫אז‬ - PO ̸= NPO ‫שמקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫יש‬ - BGS 31
‫הוכחה‬ ‫למערכת‬ ‫הדרושים‬ ‫התנאים‬ 31‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :4 ‫הסבר‬ ‫אותה‬ ‫בדיוק‬ ‫היא‬ A ‫הוכחה‬ :‫כלומר‬ ,P ̸= NP ‫לטענה‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ (A ‫לה‬ ‫)נקרא‬ ‫הוכחה‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬ .PO ̸= NPO :‫מתקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫אורקל‬ ‫ובלי‬ ‫אורקל‬ ‫עם‬ ‫הוכחה‬ ,¬α ‫אז‬ ¬β ‫אם‬ :‫לביטוי‬ ‫שקול‬ ‫הוא‬ ‫כי‬ ‫מלוגיקה‬ ‫יודעים‬ ‫ואנחנו‬ ,β ‫אז‬ α ‫אם‬ :‫מהצורה‬ ‫ביטוי‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כעת‬ :‫שלנו‬ ‫במקרה‬ ,‫כלומר‬ .(¬α) P ̸= NP-‫ל‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫אין‬ ‫אז‬ (¬β) PO = NPO ‫שמקיים‬ ‫אורקל‬ [‫]קיים‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫זה‬ .=←↛= :‫סימנים‬ ‫להפוך‬ ‫רק‬ ‫בדיוק‬ ‫משפט‬ ‫אותו‬ ‫לכתוב‬ ‫ניתן‬ ‫כעת‬ :A, B ‫אורקלים‬ ‫שני‬ ‫יש‬ BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬ .(29.1 ‫)משפט‬ ‫המשפט‬ ‫של‬ ‫הראשון‬ ‫החלק‬ ‫וזה‬ - PA = NPA .(29.2 ‫)משפט‬ ‫המשפט‬ ‫של‬ ‫השני‬ ‫החלק‬ ‫וזה‬ - PB ̸= NPB (41 ‫)עמוד‬ BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ :‫כאן‬ ‫נמצאת‬ ,(‫חלקיו‬ ‫שני‬ ‫)על‬ ‫המשפט‬ ‫הוכחה‬ VIII ‫חלק‬ PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ .‫הראשונה‬ ‫המודפסת‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫מחזיק‬ (1395-1468) ‫גוטנברג‬ ‫יוהן‬ ?‫הוכחה‬ ‫מערכת‬ ‫מהי‬ 30 :‫דברים‬ ‫שלושה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ .‫טענה‬ - φ .‫אמיתית‬ ‫שהטענה‬ V ‫את‬ ‫לשכנע‬ ‫ניסיון‬ - ‫טיעון‬ - P .‫הטיעון‬ ‫נכונות‬ ‫את‬ ‫שבודק‬ - ‫מוודא‬ - V :‫דורשים‬ ‫שאנחנו‬ ‫תנאים‬ ‫שלושה‬ ‫ישנם‬ ‫הוכחה‬ ‫למערכת‬ ‫הדרושים‬ ‫התנאים‬ 31 ‫שלמות‬ 31.1 :‫אמיתית‬ φ 32
PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ 32‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ∃P V (φ, P) = Accept ⇐ x ∈ L .∃P Pr [V (φ, P) = Accept] = 1 ‫זה‬ ‫כי‬ ‫נראה‬ ‫ובהמשך‬ ‫נאותות‬ 31.2 :‫שקרית‬ φ ∀P V (φ, P) = Reject ⇐ x /∈ L .∀P Pr [V (φ, P) = Reject] > 1 3 ‫או‬ ∀P Pr [V (φ, P) ̸= Reject] < 1 3 ‫זה‬ ‫כי‬ ‫נראה‬ ‫ובהמשך‬ PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ 32 ‫דגימה‬ ‫שבאמצעות‬ ‫הוא‬ ‫היתרון‬ ‫אבל‬ ,‫בנפח‬ ‫וכמה‬ ‫כמה‬ ‫פי‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫מגדילים‬ ‫שאנחנו‬ ‫הוא‬ PCP-‫ה‬ ‫במשפט‬ ‫הרעיון‬ ‫בהסתברות‬ ‫או‬ ,‫נכונה‬ ‫ההוכחה‬ ‫האם‬ ‫לדעת‬ ‫נוכל‬ ‫אנחנו‬ ,(‫המקורית‬ ‫להוכחה‬ ‫ביחס‬ ‫קטן‬ ‫)שהוא‬ ‫ביטים‬ ‫של‬ ‫קבוע‬ ‫מספר‬ ‫של‬ .‫לא‬ ‫שהיא‬ (1 3 > ) ‫כלשהי‬ :‫סימון‬ L ∈ PCP (r, q) .‫שקוראים‬ ‫הביטים‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ q-‫ו‬ ,‫המטבע‬ ‫הטלות‬ ‫מספר‬ ‫זה‬ - r ‫כאשר‬ :‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫או‬ PCP (r, q) =    ‫לטענות‬ ‫עבורן‬ ,L ‫השפות‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬ ‫מטבע‬ ‫הטלות‬ Θ (r) ‫עם‬ ‫יעיל‬ V ‫יש‬ x ∈ L ‫מההוכחה‬ ‫ביטים‬ Θ (q) ‫ו‬    :‫יעילות‬ ‫נגדיר‬ ‫כעת‬ ‫יעילות‬ 32.1 .n = |x| :‫שמקיים‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ ,poly (n) ≥ ‫הוא‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫כאשר‬ ,Θ (r) ≥ ‫המטבע‬ ‫הטלות‬ ‫מספר‬ ‫וכאשר‬ .Θ (q) ≥ (‫שקוראים‬ ‫הביטים‬ ‫)מספר‬ ‫השאילתות‬ ‫ומספר‬ :‫למשל‬ NP = PCP (0, poly (n)) :‫הוא‬ ‫להוכיח‬ ‫נרצה‬ ‫שאנחנו‬ ‫המשפט‬ NP = P CP (Θ (log n) , Θ (1)) .45 ‫בעמוד‬ NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ :‫כאן‬ ‫נמצאת‬ ‫ההוכחה‬ 33
‫הבסיסי‬ ‫הרעיון‬ 33‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ IX ‫חלק‬ IP - ‫אינטראקטיביות‬ ‫הוכחה‬ ‫מערכות‬ ‫הבסיסי‬ ‫הרעיון‬ 33 .‫ודו-שיח‬ ,‫הסתברות‬ :‫דברים‬ ‫שני‬ ‫משלבת‬ ‫אשר‬ ‫מתקדמת‬ ‫הוכחות‬ ‫במערכת‬ ‫כאן‬ ‫מדובר‬ ‫בעיקרון‬ :‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ ‫הדו-שיח‬ ‫לגבי‬ ‫אבל‬ ,‫בהמשך‬ ‫נפגוש‬ ‫עוד‬ ‫אנחנו‬ ‫ההסתברות‬ ‫את‬ .‫מוכיח‬ - P-‫ו‬ ,‫מוודא‬ - V ‫ישנו‬ ...‫לשניהם‬ ‫זהה‬ x ∈ L ‫מהסוג‬ ‫טענות‬ .‫לו‬ ‫עונה‬ P-‫ו‬ P-‫ל‬ ‫שאילתה‬ ‫ושולח‬ ‫השיחה‬ ‫את‬ ‫פותח‬ V ‫הדו-שיח‬ ‫פרוטוקול‬ 33.1 :‫בניהן‬ ‫הדו-שיח‬ ‫פרוטוקול‬ ‫מתנהל‬ ‫כך‬ P V q1 qq™™™™™™™™™™™™™™™ r2 --‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘ ... qk−1 qq™™™™™™™™™™™™™™™ rk --‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘ :‫כך‬ ‫מסומן‬ ‫והוא‬ ,‫צעדים‬ k-‫ב‬ ‫פרוטוקול‬ ‫נקרא‬ ‫הזה‬ ‫הפרוטוקול‬ L ∈ IP [k] V = (x,⃗c, q1, r2, . . . , qk−1, rk) ‫כאשר‬ ‫שלמות‬ 33.2 :x ∈ L 8 ∃P Pr [ V P (x) = Accept ] = 1 .‫רעיון‬ ‫אותו‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ .V P (x) ‫רושמים‬ ‫אנחנו‬ V (x, P) ‫לרשום‬ ‫במקום‬8 34
‫גרפים‬ ‫של‬ ‫איזומורפיזם‬ - ‫דוגמה‬ 34‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫נאותות‬ 33.3 :x /∈ L ∀P Pr [ V P (x) = Reject ] ≥ 1 2 .P-‫ל‬ V ‫בין‬ ‫אינטראקציה‬ ‫שיש‬ ‫בכך‬ NP-‫מ‬ ‫שונה‬ ‫זה‬ ‫יעילות‬ 33.4 .poly (|x|) ‫בזמן‬ ‫רץ‬ V ‫גרפים‬ ‫של‬ ‫איזומורפיזם‬ - ‫דוגמה‬ 34 :‫פונקציה‬ ‫קיימת‬ ‫אם‬ G0 ∼= G1 ‫ומסומנים‬ ‫איזומורפים‬ ‫נקראים‬ G0, G1 ‫גרפים‬ ‫שני‬ π : V (G0) → V (G1) .‫ועל‬ ‫ערכית‬ ‫חד-חד‬ ‫שהיא‬ ‫להיות‬ ‫חייבים‬ ‫שלגרפים‬ ‫שמבטיח‬ ‫)מה‬ ‫ועל‬ ‫חח"ע‬ ‫שהיא‬ G1 ‫של‬ ‫לקודקודים‬ G0 ‫של‬ ‫מהקודקודים‬ ‫פונקציה‬ ‫קיימת‬ ,‫כלומר‬ :‫כלומר‬ ,"‫צלעות‬ ‫"שומרת‬ ‫גם‬ ‫שהיא‬ ,(‫קודקודים‬ ‫של‬ ‫מספר‬ ‫אותו‬ {u, v} ∈ E (G0) ⇐⇒ {π (u) , π (v)} ∈ E (G1) .G1-‫ב‬ {π (u) , π (v)} ‫צלע‬ ‫ישנה‬ ‫אזי‬ G0-‫ב‬ {u, v} ‫הצלע‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ‫איזומורפים‬ ‫לגרפים‬ ‫דוגמה‬ 34.1 G0 G1 ?>=<89:;1 bbbbbb ?>=<89:;1 FFFFFFFFFFF ?>=<89:;5        ?>=<89:;2 ∼= ?>=<89:;5 ?>=<89:;2 ?>=<89:;4 ?>=<89:;3 ?>=<89:;4 ppppppppppp ?=89:;3 xxxxxxxxxxx ‫איזומורפים‬ ‫לגרפים‬ ‫דוגמה‬ :5 ‫איור‬ GISO, GNISO ‫השפות‬ 34.2 GISO = GI = { ⟨G0, G1⟩ G0 ∼= G1 } .π ‫היא‬ ‫לכך‬ ‫לבדיקה‬ ‫וקל‬ ‫קצר‬ ‫עד‬ ‫כי‬ GI ∈ NP .GI ∈ P ‫כי‬ ‫משערים‬ GNISO = { ⟨G0, G1⟩ G0 G1 } 35
‫קבוע‬ K ‫כאשר‬ IP [K] 36‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .GNISO ∈ coNP ‫בבירור‬ .GISO /∈ NPC ‫וכי‬ GNISO /∈ NP :‫כי‬ ‫משערים‬ GNISO ∈ IP [2] ‫כי‬ ‫ההוכחה‬ 35 .G0 G1 ‫כי‬ ‫היא‬ ‫הטענה‬ :‫תזכורת‬ :‫כך‬ ‫פועל‬ P-‫ל‬ V ‫בין‬ ‫הפרוטוקול‬ P-‫ל‬ ‫ושולח‬ .π ‫אחידה‬ ‫תמורה‬ ‫ומגריל‬ (G0, G1 ‫הגרפים‬ ‫משני‬ ‫אחד‬ ‫בעצם‬ ‫)שזהו‬ b ∈ {0, 1} ‫אחד‬ ‫ביט‬ ‫מגריל‬ V .‫א‬ .π (Gb) ‫את‬ .c ‫ביט‬ ‫בחזרה‬ ‫ושולח‬ b ‫מהו‬ ‫לנחש‬ ‫מנסה‬ P .‫ב‬ V (G0, G1, b, π, c) = { Accept c = b Reject c ̸= b .‫ברורה‬ V ‫של‬ ‫היעילות‬ :‫שלמות‬ .G ∈ π (G0)∧G ∈ π (G1)-‫ש‬ ‫כך‬ G ‫גרף‬ ‫אף‬ ‫אין‬ ‫כלומר‬ , 9 ‫זרות‬ ‫ההתפלגויות‬ ‫אזי‬ ,(‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ,‫)כלומר‬ G0 G1 ‫אם‬ c = 0 ‫לענות‬ ‫ואז‬ G0-‫ב‬ ‫אליו‬ ‫שנשלח‬ ‫הגרף‬ ‫האם‬ ‫לחשב‬ ‫יכול‬ ‫האפשריות‬ ‫התמורות‬ |V |! ‫כל‬ ‫סריקת‬ ‫עי‬ ‫יכול‬ P-‫ה‬ ‫לכן‬ .c = 1-‫ב‬ ‫לענות‬ ‫ואחרת‬ .V (G0, G1, b, π, c) = Accept :‫ולכן‬ ,c = b ‫בברור‬ :‫נאותות‬ .10 π ‫בכל‬ ‫פעמים‬ ‫מספר‬ ‫אותו‬ ‫מופיע‬ ‫גרף‬ ‫כל‬ ,‫כלומר‬ ,‫זהות‬ ‫ההתפלגויות‬ ‫אזי‬ (‫שקרית‬ ‫הטענה‬ ,‫)כלומר‬ G0 ∼= G1 ‫אם‬ :‫ולכן‬ π (G1)-‫ל‬ π (G0) ‫בין‬ ‫להבין‬ ‫יכול‬ ‫לא‬ P ,‫לכן‬ Pr [c ̸= b] = 1 2 ⇓ Pr [V (G0, G1, b, π, c) = Reject] = 1 2 ‫קבוע‬ K ‫כאשר‬ IP [K] 36 .‫הצדדים‬ ‫לשני‬ ‫גלויות‬ ‫הן‬ AM-‫וב‬ ,‫סודיות‬ ‫הן‬ ‫ההטלות‬ IP-‫ב‬ ‫רק‬ IP ‫כמו‬ ‫זה‬ - AM AM = AM [2] = ∪ K IP [K] .‫קבוע‬ K ‫כאשר‬ .1 = ‫שלמות‬ ‫לייצר‬ ‫כדי‬ ‫פומביות‬ ‫הודעות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫מספיקות‬ ,‫כלומר‬ .AM ⊆ Π2P ‫כי‬ ‫ידוע‬ ‫גרף‬ ‫אף‬ ‫לנו‬ ‫יהיה‬ ‫לא‬ - ‫איזומורפים‬ ‫אינם‬ ‫הם‬ ‫אם‬ ,‫שווים‬ ‫הם‬ ‫מתי‬ ‫ונראה‬ ‫מהגרפים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫האפשרויות‬ ‫התמונות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬9 .‫גרף‬ ‫לאף‬ ‫ששווה‬ ‫אזי‬ ,(‫האפשריות‬ ‫הפרמוטציות‬ ‫כל‬ ‫)את‬ ‫האפשריים‬ ‫הגרפים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫תכיל‬ ‫עמודה‬ ‫וכל‬ ‫האפשריות‬ (‫)הגרפים‬ ‫הפרמוטציות‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫טבלה‬ ‫נעשה‬ ‫אם‬10 .‫עמודה‬ ‫בכל‬ ‫פעמים‬ ‫מספר‬ ‫אותו‬ ‫יופיע‬ ‫גרף‬ ‫אותו‬ ‫שבו‬ ‫מצב‬ ‫ייווצר‬ 36
Zero Knowledge-‫ה‬ ‫עיקרון‬ 38‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ (‫המרכזי‬ ‫)המשפט‬ IP ‫הגדרת‬ 37 IP = IP [poly (n)] = ∪ c∈N IP [K = Θ (nc )] :‫ולכן‬ IP = PSPACE .(K = 2) ‫בקבוע‬ ‫מדובר‬ (35) GNISO-‫ה‬ ‫בפרוטוקול‬ ,‫למשל‬ Zero Knowledge-‫ה‬ ‫עיקרון‬ 38 ?P-‫מ‬ V ‫מקבל‬ ‫אינפורמציה‬ ‫כמה‬ :‫היא‬ ‫כאן‬ ‫השאלה‬ .‫אחד‬ ‫ביט‬ ‫היא‬ ?”x ∈ L” ‫לשאלה‬ ‫התשובה‬ ‫כאשר‬ (NP) ‫קלאסית‬ ‫הוכחה‬ ‫מערכת‬ 38.1 .‫ביטים‬ n :SAT .‫ביטים‬ Θ (|V |) :3 − COL .x ∈ L-‫ש‬ ‫טענה‬ ‫אותה‬ ‫בהוכחת‬ P-‫ה‬ ‫את‬ ‫להחליף‬ ‫יכול‬ V -‫ה‬ :‫מסקנה‬ [IP] ‫אינטראקטיביות‬ ‫הוכחות‬ ‫מערכת‬ 38.2 :(35) GNISO ‫של‬ ‫הפרוטוקול‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ !‫דבר‬ ‫יודע‬ ‫אינו‬ V ,(‫שלמות‬ ‫שיש‬ ‫כיוון‬ ‫שראינו‬ ‫כמו‬ ‫וודאית‬ ‫)שהיא‬ G0 G1-‫ש‬ ‫לידיעה‬ ‫מעבר‬ ...Zero Knowledge ‫שנקרא‬ ‫מה‬ ‫זה‬ !‫בעצמו‬ ‫ביעילות‬ ‫האינטראקציה‬ ‫את‬ ‫לסמלץ‬ ‫יכול‬ ‫היה‬ V ‫אזי‬ G0 G1-‫ש‬ ‫כבר‬ ‫יודע‬ ‫שהיה‬ ‫נניח‬ ,‫אחרות‬ ‫במילים‬ .(P ‫את‬ ‫חייב‬ ‫הוא‬ - ‫זאת‬ ‫יודע‬ ‫לא‬ ‫שהוא‬ ‫בגלל‬ ‫)אבל‬ :5 ‫הסבר‬ ‫דרך‬ ‫שום‬ ‫לנו‬ ‫אין‬ ,‫כלומר‬ .‫הביט‬ ‫אותו‬ ‫מלבד‬ ‫אינפורמציה‬ ‫לנו‬ ‫מעביר‬ ‫לא‬ P-‫ש‬ ‫הוא‬ Zero Knowledge -‫ב‬ ‫הרעיון‬ .‫מידע‬ ‫ממנו‬ ‫מקבלים‬ ‫שאנחנו‬ ‫עד‬ ‫שקרית‬ ‫או‬ ‫נכונה‬ (x ∈ L) ‫הטענה‬ ‫האם‬ ‫לדעת‬ ‫את‬ ‫להחליף‬ ‫נוכל‬ ‫שאנחנו‬ ‫כדי‬ ‫כלומר‬ ,‫בעצמנו‬ ‫לשפוט‬ ‫נדע‬ ‫שאנחנו‬ ‫כדי‬ ‫מספיק‬ ‫לא‬ - ‫מקבלים‬ ‫שאנחנו‬ ‫המידע‬ ‫וגם‬ ‫כמות‬ ‫בגלל‬ P ‫את‬ ‫להחליף‬ ‫יכולים‬ ‫אנחנו‬ ,38.1 - (NP) ‫קלאסית‬ ‫הוכחה‬ ‫ב-מערכת‬ ‫למשל‬ ‫)כי‬ .‫הבאים‬ ‫במקרים‬ P .(‫לנו‬ ‫מספק‬ ‫שהוא‬ ‫האינפורמציה‬ ‫נאותות‬ + ‫שלמות‬ + ‫יעילות‬ :‫שמקיים‬ ‫פרוטוקול‬ ‫להמציא‬ ‫קל‬ .‫רבות‬ ‫חישוביות‬ ‫למשימות‬ ‫טוב‬ Zero Knowledge -‫ה‬ .‫הפרוטוקול‬ ‫לפי‬ ‫פועלים‬ (‫)מחשבים‬ ‫השחקנים‬ ‫שכל‬ ‫בהנחה‬ ‫לפי‬ ,‫)כלומר‬ Zero Knowledge-‫ב‬ ‫פעל‬ ‫שהוא‬ ‫האחרים‬ ‫לשחקנים‬ ‫להוכיח‬ ‫יוכל‬ ‫מהשחקנים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫לכך‬ ‫בנוסף‬ .(‫הפרוטוקול‬ ‫להתחזות‬ ‫בעתיד‬ ‫ניתן‬ ‫שיהיה‬ ‫מבלי‬ ‫השני‬ ‫מול‬ ‫אחת‬ ‫להזדהות‬ ‫למחשבים‬ ‫למשל‬ ‫מאפשרת‬ Zero Knowledge-‫ה‬ ‫תכונת‬ .(‫לכך‬ ‫מספיק‬ ‫לא‬ ‫ההזדהות‬ ‫עבור‬ ‫שנשלח‬ ‫המידע‬ ‫)כי‬ ‫מהם‬ ‫לאחד‬ 37
‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחות‬ 39‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :‫לזכור‬ ‫כדאי‬ .‫לא‬ ‫או‬ ‫אמיתית‬ ‫היא‬ ‫אם‬ (‫)מוודא‬ ‫מאמת‬ ‫הוא‬ ‫הוכחה‬ ‫בהינתן‬ ,‫כלומר‬ ,‫מאמת‬ ‫הוא‬ - V .(‫)המוכיח‬ P-‫ה‬ ‫לו‬ ‫מספק‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫עיקרון‬ ‫של‬ ‫במקרה‬ ‫למשל‬ ,(‫לא‬ ‫או‬ ‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ‫האם‬ ,‫)כלומר‬ ‫לטענה‬ ‫הוכחה‬ V -‫ל‬ ‫מספק‬ P ‫טענות‬ ‫של‬ ‫בהקשר‬ .‫לכך‬ ‫מעבר‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ,‫לא‬ ‫או‬ ‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ‫האם‬ ‫המידע‬ ‫את‬ ‫מספק‬ P - (38) Zero Knowledge-‫ה‬ .‫שלו‬ ‫ההוכחה‬ ‫דרך‬ ‫את‬ ‫מספק‬ ‫ממש‬ P-‫ה‬ ‫שמה‬ - (38.1) ‫קלאסית‬ ‫הוכחה‬ ‫במערכת‬ X ‫חלק‬ ‫הוכחות‬ .‫בקורס‬ ‫מרכזיות‬ ‫הוכחות‬ ‫יסקרו‬ ‫זה‬ ‫בחלק‬ ‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחות‬ 39 ‫הוכחה‬ ‫של‬ ‫רעיון‬ ‫היא‬ (‫קנטור‬ ‫של‬ ‫האלכסון‬ :‫)או‬ ‫באלכסון‬ ‫ההוכחה‬ ‫בשיטת‬ ‫הרעיון‬ ‫קאנטור‬ ‫ג'ורג‬ ‫מההוכחה‬ ‫במקצת‬ ‫שונה‬ ‫)שהוא‬ ‫הלכסון‬ ‫רעיון‬ ‫זה‬ - ‫הראשון‬ - ‫רעיונות‬ ‫משתי‬ ‫שמורכב‬ ‫לשחק‬ ‫שלנו‬ ‫היכולת‬ ‫זה‬ - ‫והשני‬ ,(‫אחרת‬ ‫יתואר‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫ולכן‬ |ℵ0| |ℵ|-‫ש‬ ‫המתמטית‬ ‫אנחנו‬ ‫אם‬ ,‫ומספריים‬ ‫נייר‬ ‫באבן‬ ,‫)למשל‬ ‫אותו‬ ‫לנצח‬ ‫וכך‬ ‫השני‬ ‫השחקן‬ ‫אחרי‬ ‫אחד‬ ‫מהלך‬ ‫שלנו‬ ‫במקרה‬ .(‫אותו‬ ‫לנצח‬ ‫יכולים‬ ‫תמיד‬ ‫אנחנו‬ - ‫השני‬ ‫השחקן‬ ‫אחרי‬ ‫מיד‬ ‫משחקים‬ ‫אחרי‬ ‫לא‬ ‫או‬ ‫המילה‬ ‫את‬ ‫לקבל‬ ‫האם‬ ‫מכריעים‬ ‫אנחנו‬ ‫שבהן‬ ‫טיורינג‬ ‫במכונות‬ ‫מדובר‬ .(‫בהמשך‬ ‫יורחב‬ ‫כמובן‬ ‫זה‬ ‫על‬ ‫)אבל‬ .‫רצה‬ ‫שהמכונה‬ :‫סמלים‬ ‫בשלושה‬ ‫נשתמש‬ ,‫הלכסון‬ ‫רעיון‬ ‫את‬ ‫להבין‬ ‫בשביל‬ .‫וההפך‬ -‫ל‬ -‫מ‬ ,‫כלומר‬ ,‫האחרים‬ ‫שני‬ ‫בין‬ ‫המעבר‬ ‫את‬ ‫סמל‬ ‫אשר‬ - ‫ו‬ , , :‫הבאה‬ ‫הטבלה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫קנטור‬ ‫של‬ ‫האלכסון‬ :6 ‫איור‬ x1 x2 x3 x4 · · · M1 M2 M3 M4 ... ,‫טיורינג‬ ‫מכונות‬ ‫ואינסוף‬ ‫קלטים‬ ‫אינסוף‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כאשר‬ (x) ‫מסוים‬ ‫קלט‬ ‫על‬ (M) ‫מכונה‬ ‫של‬ ‫ריצה‬ ‫מייצג‬ ‫בטבלה‬ ‫תא‬ ‫כל‬ .11 ‫בטבלה‬ ‫פעמים‬ ‫אינסוף‬ ‫מיוצגת‬ Mi ‫מכונה‬ ‫כל‬ ,‫וכמו-כן‬ . :‫מקבלים‬ x2 ‫על‬ M1 ‫את‬ ‫שמריצים‬ ,‫כלומר‬ .‫למשל‬ ⟨M1, x2⟩ = ‫כעת‬ :‫הבאה‬ ‫הפונקציה‬ ‫זאת‬ ‫שם‬ ‫שיש‬ ‫שמה‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ :‫באלכסון‬ ‫שקורה‬ ‫מה‬ ‫זה‬ ‫אותנו‬ ‫שמעניין‬ ‫מה‬ ‫אבל‬ ⟨Mi, xi⟩ = { ⟨Mi, xi⟩ = ⟨Mi, xi⟩ = .‫כפלט‬ ‫מכריזה‬ ‫מכונה‬ ‫שאותה‬ ‫ממה‬ ‫ההפך‬ ‫את‬ ‫בדיוק‬ ‫יש‬ ‫באלכסון‬ ,‫כלומר‬ .‫מההוכחות‬ ‫בחלק‬ ‫זה‬ ‫בנתון‬ ‫נשתמש‬11 38
‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחות‬ 39‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫העצירה‬ ‫בעיית‬ ‫אי-כריעות‬ ‫הוכחת‬ 39.1 HALT = { ⟨M⟩ , x x ‫קלט‬ ‫על‬ ‫עוצרת‬ M ‫מט‬ } ‫הנחות‬ 39.1.1 .‫קבועה‬ ‫טריוויאלית‬ ‫מט‬ ‫מייצגת‬ Mi ‫אזי‬ ,‫תקינה‬ ‫לא‬ Mi ‫מט‬ ‫אם‬ .‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫מייצגת‬ (xi) ‫מחרוזת‬ ‫כל‬ .‫א‬ .(‫מימוש‬ ‫ואותו‬ ‫תכנית‬ ‫)אותה‬ ‫במנייה‬ ‫פעמיים‬ ‫אינסוף‬ ‫מופיעה‬ ‫מכונה‬ ‫כל‬ .‫ב‬ ‫ההוכחה‬ 39.1.2 :i ‫הוכחה‬ HALT ‫את‬ ‫שמכריעה‬ MH ‫מכונה‬ ‫שקיימת‬ ‫בשלילה‬ ‫נניח‬ :‫כלומר‬ ,‫ההפך‬ ‫ומתנהגת‬ MH ⟨⟨Mi⟩ , xi⟩ ‫הריצה‬ ‫את‬ ‫מסמלצת‬ ‫היא‬ :xi ‫קלט‬ ‫על‬ MD ‫מלכסנת‬ ‫מכונה‬ ‫נגדיר‬ ‫של‬ ‫למצב‬ ‫נכנסת‬ MD .‫אינסופית‬ ‫ריצה‬ ,MD (xi) = ∞ ,MH ⟨⟨Mi⟩ , xi⟩ = Accept .‫מיד‬ ‫עוצרת‬ MD ,MD (xi) ̸= ∞ ,MH ⟨⟨Mi⟩ , xi⟩ = Reject . ⊙ -‫ב‬ ‫זאת‬ ‫נסמן‬ .12 xD ‫הקלט‬ ‫על‬ MD ‫את‬ ‫שנריץ‬ ‫הוא‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ ,‫כעת‬ :‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬ ‫כעת‬ MH (⟨ MD ⟩ , xD ) = Reject MH (⟨ MD ⟩ , xD ) = Accept ⇓ MH -‫ש‬ ‫ההנחה‬ ‫לפי‬ HALT ‫את‬ ‫מכריעה‬ ⇓ MD ( xD ) ̸= ∞ MD ( xD ) = ∞ MD ( xD ) = ∞ ⊙ ‫לפי‬ MD ( xD ) ̸= ∞ !‫סתירה‬ !‫סתירה‬ .MD ̸= Mi :i ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫כזאת‬ MD ‫מכונה‬ ‫קיימת‬ ‫שלא‬ ‫ומכאן‬ :6 ‫הסבר‬ :‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫בהוכחה‬ ‫הרעיון‬ ‫מכונה‬ ,‫כלומר‬ ,‫מלכנסת‬ ‫מכונה‬ ‫מגדירים‬ ‫אנחנו‬ .HALT ‫את‬ ‫שמכריעה‬ h ‫מכונה‬ ‫קיימת‬ ‫כי‬ ‫בשלילה‬ ‫מניחים‬ ‫אנחנו‬ (‫קנטור‬ ‫של‬ ‫)האלכסון‬ ‫בטבלה‬ ‫האלכסון‬ ‫על‬ ‫רק‬ ‫עובדת‬ ‫המכונה‬ - ‫אחרות‬ ‫במילים‬ .‫בלבד‬ ‫האלכסון‬ ‫על‬ ‫שמשפיעה‬ .‫הופכת‬ ‫היא‬ ‫שם‬ ‫תוצאה‬ ‫-וכל‬ ‫המכונה‬ ,‫כלומר‬ ,‫עצמה‬ ‫של‬ ‫התשובה‬ ‫את‬ ‫הופכת‬ ‫היא‬ ‫ולכן‬ .‫עצמה‬ ‫את‬ ‫למכונה‬ ‫שולחים‬ ‫שאנחנו‬ ‫מכך‬ ‫מגיעה‬ ‫הסתירה‬ .‫אותה‬ ‫שהגדרנו‬ ‫איך‬ ‫עפ‬ ‫תתן‬ ‫היא‬ ‫עצמה‬ ‫את‬ ‫לה‬ ‫שנותנים‬ ‫ברגע‬ ‫אבל‬ ,‫למשל‬ ‫לנו‬ ‫תתן‬ ‫טבעי‬ ‫באופן‬ .‫סתירה‬ ‫וזאת‬ - ‫וגם‬ ‫שגם‬ ‫היא‬ ‫והתשובה‬ ?‫תתן‬ ‫היא‬ ‫פלט‬ ‫איזה‬ - ‫השאלה‬ ‫נשאלת‬ ‫לכן‬ .‫בטבלה‬ ‫נמצאת‬ ‫לא‬ ‫היא‬ ‫כי‬ ‫מכונה‬ ‫קיימת‬ ‫שלא‬ ‫מכך‬ ‫נובע‬ ‫ולכן‬ .‫עצמה‬ ‫את‬ ‫למכונה‬ ‫נותנים‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬ .xD = xl ‫אזי‬ l ‫הוא‬ MD ‫של‬ ‫האינדקס‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬12 39
‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחות‬ 39‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ 13 ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ 39.2 xi ‫של‬ ‫המשמעות‬ ,‫למשל‬ .‫שם‬ ‫והוסברו‬ ‫כאן‬ ‫הוסברו‬ ‫שלא‬ ‫חלקים‬ ‫יש‬ ‫לכן‬ ,i ‫להוכחה‬ ‫דומים‬ ‫מאוד‬ ‫פרטים‬ ‫בהוכחה‬ ‫יש‬ .‫הדבר‬ ‫אותו‬ ‫היא‬ Mi-‫ו‬ :ii ‫הוכחה‬ .T1 = n2 , T2 = n3 ‫נגדיר‬ .‫בלבד‬ ‫צעדים‬ 14 Θ ( n2 ) ‫למשך‬Mi ‫המכונה‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫את‬ ‫מסמלצת‬ xi ‫שעל‬ M′ ‫מלכסנת‬ ‫מט‬ ‫נגדיר‬ :‫האפשרויות‬ ‫שלושת‬ ‫אלו‬ ‫צעדים‬ Θ ( n2 ) ‫לאחר‬ M′ (xi) =    Reject Mi (xi) = Accept Accept Mi (xi) = Reject Reject Mi (xi) = ‫עצרה‬ ‫טרם‬ .(‫במקום‬ Accept ‫גם‬ ‫אפשר‬ ‫השלישי‬ ‫)במקרה‬ :‫בזמן‬ ,‫כלומר‬ ,‫צעדים‬ Θ ( n2 ) ‫של‬ ‫לסימולציה‬ ‫שנדרש‬ ‫בזמן‬ ‫קלט‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫עוצרת‬ M′ Θ ( n2 ln ( n2 )) = Θ ( n2 ln (n) ) ≤ Θ ( n3 ) .AcceptReject ‫שהוא‬ ‫פלט‬ ‫מניבה‬ ‫קלט‬ ‫כל‬ ‫ועל‬ :‫נגדיר‬ L′ = { x M′ (x) = Accept } x ∈ L′ ⇐⇒ M′ (x) = Accept L′ ∈ D − Time ( n3 ) :‫ולכן‬ Θ ( n3 ) ‫בזמן‬ L′ ‫את‬ ‫מכריעה‬ M′ ‫כי‬ ‫הוכחנו‬ :‫ולכן‬ Θ ( n2 ) ‫בזמן‬ L′ ‫את‬ ‫מכריעה‬ ‫לא‬ ‫מכונה‬ ‫אף‬ ‫כי‬ ‫נוכיח‬ (12.1) ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫את‬ ‫להוכיח‬ ‫בשביל‬ .L′ /∈ D − Time ( n2 ) .‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫צעדים‬ Θ ( n2 ) ‫תוך‬ L′ ‫את‬ ‫מכריעה‬ Mi ‫עבורו‬ i ‫שיש‬ ‫בשלילה‬ ‫נניח‬ :M′ (x) ‫ההרצה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ .(‫הריצה‬ ‫את‬ ‫מסיימת‬ ‫לא‬ ‫)שהמכונה‬ ‫השלישית‬ ‫האפשרות‬ ‫מתקיימת‬ ‫לא‬ ‫צעדים‬ Θ ( n2 ) ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫רצה‬ M′ -‫ש‬ ‫מכיוון‬ :‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬ ‫לכן‬ Mi (xi) = Reject Mi (xi) = Accept M′ (xi) = Accept M′ ‫הגדרת‬ ‫לפי‬ M′ (xi) = Reject xi /∈ L′ L′ ‫הגדרת‬ ‫לפי‬ xi /∈ L′ !‫מצב‬ ‫בכל‬ xi ‫על‬ ‫טועה‬ Mi .Θ ( n2 ) -‫ב‬ L′ ‫את‬ ‫מכריעה‬ Mi ‫שעבורו‬ i ‫קיים‬ ‫שלא‬ ‫ומכאן‬ Θ-‫ב‬ ‫טיפול‬ 39.2.1 Time (Mi (x)) ≤ C · n2 :‫כלומר‬ ,C · n2 n2 ‫שבו‬ ‫מצב‬ ‫להיות‬ ‫ויכול‬ ,Θ ( n2 ) = C · n2 - (14) ‫כאן‬ ‫שהוער‬ ‫כמו‬ .‫יקרה‬ ‫לא‬ ‫שזה‬ ‫לדאוג‬ ‫וצריך‬ ‫שני‬ ‫ומתקיימים‬ l i :‫ש‬ ‫כך‬ l ‫קיים‬ Mi ‫עבור‬ ‫ולכן‬ ,‫פעמים‬ ‫אינסוף‬ ‫מופיעה‬ ‫מכונה‬ ‫כל‬ - 6 ‫באיור‬ ‫שנכתב‬ ‫כמו‬ ,‫לכן‬ :‫הבאים‬ ‫התנאים‬ .‫בלכסון‬ ‫שמתרכזת‬ ‫חלקית‬ ‫בהוכחה‬ ‫אלא‬ ‫מלאה‬ ‫בהוכחה‬ ‫מדובר‬ ‫לא‬13 C ∈ N+ ‫כאשר‬ C · n2 ‫במשך‬ ‫תרוץ‬ ‫שהיא‬ ‫היא‬ ‫כאן‬ ‫הכוונה‬14 40
BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ 40‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .Mi = Ml .‫א‬ .C · |xl| 2 ≤ |xl| 2.1 .‫ב‬ :‫ולכן‬ ‫הצליח‬ ‫הלכסון‬ ‫אזי‬ '‫ג‬ ‫במצב‬ ‫לא‬ ‫ואנחנו‬ ‫היות‬ .L′ ‫את‬ ‫מכריעה‬ ‫לא‬ Ml BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ 40 .‫חלקים‬ ‫משני‬ ‫מורכב‬ ‫שהמשפט‬ ‫מכיוון‬ ‫חלקים‬ ‫לשני‬ ‫תחולק‬ BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ .‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחה‬ ‫היא‬ (40.2 ,BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫שני‬ ‫החלק‬ ‫)הוכחת‬ ‫השנייה‬ ‫ההוכחה‬ 15 BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫הראשון‬ ‫החלק‬ ‫הוכחת‬ 40.1 .PA = NPA ‫מתקיים‬ ‫עבורו‬ A ‫אורקל‬ ‫ישנו‬ ‫כי‬ ‫להראות‬ ‫נרצה‬ .A = TQBF ‫האורקל‬ ‫באמצעות‬ ‫זאת‬ ‫נראה‬ :iii ‫הוכחה‬ .PT QBF = PSPACE = NPT QBF ‫כי‬ ‫נראה‬16 :‫תת-הוכחות‬ ‫שלוש‬ ‫באמצעות‬ ‫זאת‬ ‫נראה‬ .PSPACE ⊆ PT QBF .‫א‬ .PT QBF ⊆ NPT QBF .‫ב‬ .NPT QBF ⊆ PSPACE .‫ג‬ .‫א‬ ,‫כלומר‬ ,‫שלמה‬ PSPACE ‫היא‬ TQBF ‫כי‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬ .TQBF ∈ PSPACE ‫וכמו-כן‬ L ≤p TQBF :L ∈ PSPACE ‫לכל‬ .L ∈ P T QBF ⇐ L ∈ P SP ACE : ‫צל‬ :‫הוכחה‬ .TQBF-‫ל‬ ‫אותה‬ ‫שמעביר‬ x ‫קלט‬ ‫על‬ ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ ‫קיימת‬ ‫אזי‬ L ∈ PSPACE ‫אם‬ ,‫תשובתו‬ ‫את‬ ‫ונחזיר‬ PT QBF ‫של‬ ‫האורקל‬ ‫את‬ ‫ונשאל‬ x ‫על‬ ‫הרדוקציה‬ ‫את‬ ‫נפעיל‬ .L ∈ PT QBF -‫ש‬ ‫ומכאן‬ .‫ב‬ .L ∈ NP T QBF ⇐ L ∈ P T QBF : ‫צל‬ :‫הוכחה‬ .TQBF ‫של‬ ‫לאורקל‬ ‫פניה‬ ‫באמצעות‬ ‫השפה‬ ‫את‬ ‫ביעילות‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ L ∈ PT QBF ‫אם‬ .L ∈ NPT QBF ‫ולכן‬ ‫לא-דטרמיניסטית‬ ‫בצורה‬ ‫ביעילות‬ ‫גם‬ ‫אותה‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫שיהיה‬ ‫בוודאי‬ ‫ולכן‬ .‫ג‬ .L ∈ P SP ACE ⇐ L ∈ NP T QBF : ‫צל‬ :‫הוכחה‬ .‫ולא-דטרמיניסטית‬ ‫יעילה‬ ‫בצורה‬ TQBF ‫של‬ ‫האורקל‬ ‫באמצעות‬ L ‫את‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ L ∈ NPT QBF ‫אם‬ .‫תשובתו‬ ‫את‬ ‫ונחזיר‬ TQBF ‫של‬ ‫האורקל‬ ‫את‬ ‫ונשאל‬ ‫קלט-קלט‬ ‫שנעבור‬ ‫זה‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ ,‫לכן‬ :‫אפשרויות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנן‬ ‫השני‬ ‫החלק‬ ‫בשביל‬ ‫כאן‬ ‫זה‬ ‫אבל‬ ,‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחה‬ ‫לא‬ ‫זאת‬15 .‫נכונה‬ ‫בהכרח‬ ‫לא‬ ‫כאן‬ ‫ההוכחה‬16 41
BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ 40‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .x ∈ L-‫ש‬ ‫ומחזירים‬ ‫מסיימים‬ ‫אנחנו‬ - ‫כן‬ ‫מחזיר‬ ‫האורקל‬ .‫א‬ ‫וממשיכים‬ ‫הזיכרון‬ ‫בסרט‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫את‬ ‫מוחקים‬ ‫אנחנו‬ - ‫נגמרו‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫הקלט‬ ‫ואפשרויות‬ ‫לא‬ ‫מחזיר‬ ‫האורקל‬ .‫ב‬ .(‫זיכרון‬ ‫)מחזור‬ ‫הבא‬ ‫לקלט‬ .x /∈ L-‫ש‬ ‫ומחזירים‬ ‫מסיימים‬ ‫אנחנו‬ - ‫קלט‬ ‫אפשרויות‬ ‫יותר‬ ‫ואין‬ ‫לא‬ ‫אומר‬ ‫האורקל‬ .‫ג‬ ‫שהיא‬ ‫בשפה‬ ‫מדובר‬ ‫אזי‬ ,(‫פולינומית‬ ‫חסום‬ TQBF ‫של‬ ‫)הקלט‬ ‫פולינומית‬ ‫חוסם‬ ‫הוא‬ ‫הקלט‬ ‫ואורך‬ ‫זיכרון‬ ‫ומחזרנו‬ ‫היות‬ .PSPACE-‫ב‬ .L ∈ PSPACE ,‫כלומר‬ BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫שני‬ ‫החלק‬ ‫הוכחת‬ 40.2 :‫יתקיים‬ ‫עבורם‬ L ‫ושפה‬ O ‫אורקל‬ ‫ישנו‬ ‫כי‬ ‫להראות‬ ‫נרצה‬ ‫אנחנו‬ 29.2 ‫משפט‬ ‫את‬ ‫להוכיח‬ ‫בשביל‬ L ∈ NPO PO .L /∈ PO ,‫כלומר‬ :iv ‫הוכחה‬ :‫הבאה‬ ‫השפה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ L = LO = { 1n n ‫באורך‬ ‫מחרוזת‬ O − ‫ב‬ ‫יש‬ } :‫למשל‬ O = {01, 11, 1010, 1111, . . .} 11 , 13 , 19 /∈ L 12 , 16 , 114 ∈ L On = { x ∈ O |x| = n } .(O ‫אורקל‬ ‫)לכל‬ Lo ∈ NPO .‫כמותו‬ ‫ותענה‬ x ? ∈ O ‫האורקל‬ ‫את‬ ‫תשאל‬ x ∈ {0, 1} n ‫תנחש‬ M ‫מטלד‬ 1n ‫קלט‬ ‫בהינתן‬ .(‫)תקבל‬ MO (1n ) = Accept ‫ואז‬ ‫כן‬ ‫יענה‬ O ‫עבורו‬ x ‫ניחוש‬ ‫יש‬ 1n ∈ LO .(‫)תדחה‬ MO (1n ) = Reject ‫ואז‬ ‫לא‬ ‫יענה‬ O x ‫ניחוש‬ ‫לכל‬ 1n /∈ LO ?L /∈ P O ‫שיתקיים‬ ‫כך‬ O ‫את‬ ‫נגדיר‬ ‫איך‬ (‫הלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫נשתמש‬ ‫אנחנו‬ ‫אבל‬ ,‫הסתברותית‬ ‫שיטה‬ ‫)ישנה‬ .‫שאלות‬ 2n − 1 ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫שואלת‬ ‫היא‬ 1n ‫קלט‬ ‫על‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ,‫סבירה‬ M ‫מכונה‬ ‫נגדיר‬ .yi /∈ On ‫סופית‬ ‫נכריע‬ y1, . . . , ym ‫שאילתה‬ ‫לכל‬ :‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬ y ∈ {0, 1} n ‫עבור‬ MO (1n ) = Reject MO (1n ) = Accept .‫ריקה‬ On-‫ש‬ ‫טוענת‬ Mn ‫נגדיר‬ y /∈ {y1, . . . , ym} ‫לכל‬ .On ̸= ∅ ‫ואז‬ y ∈ On .‫ריקה‬ ‫לא‬ On-‫ש‬ ‫טוענת‬ Mn ‫נגדיר‬ y /∈ {y1, . . . , ym} ‫לכל‬ .On = ∅ ‫ואז‬ y /∈ On 1n ‫על‬ ‫טועה‬ Mn 1n ‫על‬ ‫טועה‬ Mn :‫בעיות‬ ‫בשתי‬ ‫לטפל‬ ‫לנו‬ ‫נשאר‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫להשלים‬ ‫בשביל‬ ‫כעת‬ 42
‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 41‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ Θ-‫ב‬ ‫טיפול‬ 40.2.1 .(‫בעיקרון‬ ‫בעיה‬ ‫)אותה‬ (39.2) ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫בהוכחת‬ Θ-‫ב‬ ‫טיפול‬ ‫של‬ ‫למקרה‬ ‫דומה‬ Θ-‫ב‬ ‫הטיפול‬ .C · n′k ≤ 2n′ − 1-‫ו‬ Mn = Mn′ -‫ש‬ ‫שיתקיים‬ ‫כך‬ n′ n ‫נחפש‬ ‫אנחנו‬ ‫שכאן‬ ‫רק‬ ‫טופלו‬ ‫שכבר‬ ‫בקלטים‬ ‫טיפול‬ 40.2.2 ‫תוכל‬ ‫פשוט‬ ‫היא‬ ‫ואז‬ ‫בהם‬ ‫לגעת‬ ‫שנרצה‬ ‫מסוימים‬ ‫בקלטים‬ ‫כבר‬ ‫טיפלה‬ Mn-‫ש‬ ‫להיות‬ ‫שיכול‬ ‫היא‬ ‫הגדולות‬ ‫הבעיות‬ ‫אחת‬ .2n − 1 ‫של‬ ‫המחסום‬ ‫את‬ ‫לעקוף‬ ‫וככה‬ ‫עליהם‬ ‫לדלג‬ ‫קודמות‬ ‫שמכונות‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫אבל‬ ,n ‫באורך‬ ‫שאילתות‬ ‫רק‬ ‫נשאלות‬ Mn (1n ) ‫בריצת‬ 1n ‫קלט‬ ‫שעל‬ ‫הנחנו‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬ (‫אלו‬ ‫קלטים‬ ‫על‬ ‫שאלו‬ ‫כבר‬ n-‫מ‬ ‫קטן‬ ‫שלהן‬ ‫שהאינדקס‬ ‫)כאלה‬ ‫על‬ Mn ‫את‬ ‫נריץ‬ ‫ואז‬ ,n-‫מ‬ ‫קטן‬ ‫הסידורי‬ ‫שמספרן‬ ‫המכונות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫נריץ‬ Θ-‫ב‬ ‫שטיפלנו‬ ‫שאחרי‬ ‫הוא‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ ,‫לכן‬ .‫הקודמות‬ ‫המכונות‬ ‫של‬ ‫בשאילתות‬ ‫הופיע‬ ‫שלא‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫המחרוזת‬ ‫אורך‬ = s ‫כאשר‬ 1s ‫קלט‬ .‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ On ‫את‬ ‫להכריע‬ ‫יכולה‬ ‫לא‬ ‫והיא‬ L /∈ PO ‫כי‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬ ‫אלו‬ ‫בעיות‬ ‫בשתי‬ ‫שטיפלנו‬ ‫אחרי‬ :7 ‫הסבר‬ :‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫ההוכחה‬ ‫של‬ ‫הרעיון‬ ‫שהיא‬ ‫מה‬ .‫לא‬ ‫או‬ On-‫ב‬ y ‫האם‬ ‫לנחש‬ ‫לה‬ ‫ונותנים‬ ,(‫לנו‬ ‫)מותר‬ ‫שאילתות‬ 2n − 1-‫ל‬ ‫המכונה‬ ‫את‬ ‫מגבילים‬ ‫אנחנו‬ .‫ההפך‬ ‫נענה‬ ‫תמיד‬ ‫אנחנו‬ - ‫תענה‬ ‫לא‬ ?‫איך‬ - ‫שאילתות‬ 2n − 1-‫ל‬ ‫המכונה‬ ‫את‬ ‫מגבילים‬ ‫שאנחנו‬ ‫וברגע‬ ,‫אפשרויות‬ 2n ‫ישנן‬ ‫אזי‬ {0, 1} n ‫וקטור‬ ‫על‬ ‫מדובר‬ ‫אם‬ ‫קודמות‬ ‫שמכונות‬ ‫קלטים‬ ‫יש‬ ‫אם‬ ‫)ומה‬ .‫אקספוננציאלי‬ ‫בזמן‬ ‫רק‬ ‫אלא‬ ‫כולם‬ ‫על‬ ‫לשאול‬ ‫תוכל‬ ‫לא‬ ‫שהיא‬ ‫בוודאי‬ ‫אזי‬ .40.2.2 :‫כאן‬ ‫נידון‬ ‫זה‬ ?‫צעדים‬ 2n ‫לעשות‬ ‫וכן‬ ‫הללו‬ ‫מהשאלות‬ ‫להתעלם‬ ‫תוכל‬ ‫היא‬ ‫ואז‬ ‫בעבר‬ ‫עליהם‬ ‫שאלו‬ ‫וההפך‬ ‫שלא‬ ‫נגיד‬ ‫אז‬ On-‫ב‬ ‫שהם‬ ‫תחליט‬ ‫היא‬ ‫ואם‬ - ‫אליהם‬ ‫תגיע‬ ‫לא‬ ‫שהמכונה‬ ‫קלטים‬ ‫יהיו‬ ‫תמיד‬ - ‫בקיצור‬ ‫לכן‬ . ‫לרצוננו‬ ‫בהתאם‬ ‫להחליט‬ ‫שנוכל‬ ‫אחת‬ ‫מחרוזת‬ ‫לפחות‬ ‫יש‬ ‫)תמיד‬ .‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ L ‫את‬ ‫מכריעה‬ ‫שלא‬ ‫מכונה‬ ‫ליצור‬ ‫הצלחנו‬ ‫הלכסון‬ ‫באמצעות‬ ‫וכך‬ ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 41 ‫ואת‬ ‫אלגוריתם‬ ‫באמצעות‬ ‫הראשון‬ .‫הסעיפים‬ ‫שני‬ ‫את‬ ‫נוכיח‬ ,(27.2) ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF-‫ש‬ ‫להוכיח‬ ‫בשביל‬ .‫רדוקציה‬ ‫באמצעות‬ ‫השני‬ TQBF ∈ D − SPACE ‫וגם‬ TQBF ∈ PSPACE 41.1 :v ‫הוכחה‬ TQBF ‫להכרעת‬ ‫אלגוריתם‬ 1 ‫אלגוריתם‬ :ψ = ∃x1 (· · · ) ‫מהצורה‬ ‫הקלט‬ ‫אם‬ .‫א‬ .‫התשובה‬ ‫את‬ ‫ונחזיר‬ ψx1←T ∈ TQBF ∨ ψx1←F ∈ TQBF ‫האם‬ ‫רקורסיבית‬ ‫נבדוק‬ (1) :ψ = ∀x1 (· · · ) ‫מהצורה‬ ‫הקלט‬ ‫אם‬ .‫ב‬ .‫התשובה‬ ‫את‬ ‫ונחזיר‬ ψx1←T ∈ TQBF ∧ ψx1←F ∈ TQBF ‫האם‬ ‫רקורסיבית‬ ‫נבדוק‬ (1) 43
‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 41‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .‫הכמתים‬ ‫מספר‬ - m S (m, l) = 2S (m − 1, l) 2m ‫פתרון‬ .2-‫ה‬ ‫את‬ ‫ונוריד‬ ‫זיכרון‬ ‫במחזור‬ ‫נשתמש‬ ‫לכן‬ ,2m ‫פתרון‬ ‫עם‬ ‫נסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫זוהי‬ S (m, l) = Θ (m) + O (l) .‫לינארי‬ ‫בזיכרון‬ ‫פתרון‬ ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF 41.2 ‫נצטרך‬ ‫כך‬ ‫ובשביל‬ ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ ‫נצטרך‬ ‫-שלמה‬PSPACE ‫שהיא‬ ‫כי‬ ‫להוכיח‬ ‫בשביל‬ ‫כעת‬ :‫חדש‬ ‫מושג‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫גרף‬ 41.2.1 GFED@ABCCi eeeeee GFED@ABCCI GFED@ABCCj // GFED@ABCCA ‫לדוגמה‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫גרף‬ :7 ‫איור‬ :‫וכאשר‬ ‫קודקוד‬ ‫היא‬ ‫קונפיגורציה‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ ,‫במכונה‬ ‫האפשריות‬ ‫הקונפיגורציות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מכיל‬ ‫אשר‬ G ‫גרף‬ ‫זהו‬ .‫יחידה‬ ‫התחלתית‬ ‫קונפיגורציה‬ - CI .(‫לאחת‬ ‫כולן‬ ‫את‬ ‫נרכז‬ ‫אבל‬ ,‫יותר‬ ‫שיש‬ ‫להיות‬ ‫)יכול‬ ‫יחידה‬ ‫מקבלת‬ ‫קונפיגורציה‬ - CA .‫יחיד‬ ‫בצעד‬ Cj-‫ל‬ Ci-‫מ‬ ‫לעבור‬ ‫יכול‬ ‫החישוב‬ ‫אםם‬ Ci → Cj ‫מכוונת‬ ‫צלע‬ .(‫הלד‬ ‫במובן‬ ‫או‬ ‫הדטרמיניסטי‬ ‫)במובן‬ M (x) = Accept ⇐⇒ CI CA ‫מסלול‬ G ‫בגרף‬ ‫קיים‬ :‫ישנן‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫כמה‬ n · S · |Σ| S · |Q| = n · 2Θ(S) = ⊙ 2Θ(S) . n = Ω (log n)-‫ש‬ ‫בהנחה‬ - ⊙ .(⊙-‫ש‬ ‫בטוח‬ ‫לא‬ ‫)כי‬ T := |V | = n · 2Θ(S) :‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫מסלול‬ ‫אורך‬ .1 ‫היא‬ ‫היציאה‬ ‫דרגת‬ ‫קודקוד‬ ‫לכל‬ - ‫דטרמיניסטי‬ ‫בחישוב‬ .1-‫מ‬ ‫גדולה‬ ‫יציאה‬ ‫דרגת‬ ‫עם‬ ‫קודקודים‬ ‫ייתכנו‬ - ‫לד‬ ‫בחישוב‬ L ≤p TQBF 41.2.2 (L ∈ PSPACE ‫)כאשר‬ .f (x) = ψ ∈ TQBF :‫הרדוקציה‬ ‫פלט‬ ,x ∈ L :‫הרדוקציה‬ ‫קלט‬ .|p| ≤ T ‫כאשר‬ x ∈ L ⇐⇒ ∃p CI CA ⇐⇒ ‫אמיתי‬ ‫פסוק‬ ψ .x /∈ L ⇐⇒ ‫כנל‬ ‫מסלול‬ ‫אין‬ ⇐⇒ ‫שקרי‬ ‫פסוק‬ ψ 44
NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :‫חדשה‬ ‫שפה‬ ‫נגדיר‬ PATH (Ci, Cj, t) =    ‫שיש‬ ‫שפירושו‬ ‫פסוק‬ ‫מסלול‬ ‫בגרף‬ t ≥ ‫שאורכו‬ Ci Cj    ψ = PATH (CI, CA, T) :‫ולכן‬ ,‫קונפיגורציה‬ D-‫ב‬ ‫נסמן‬ |D| = log |Q| ‫פנימי‬ ‫מצב‬ · log |S| · log (n) ‫קוראים‬ ‫ראשים‬ ·Θ (S) :(‫וישנו‬ ‫במידה‬ CI CA ‫של‬ ‫לאמצע‬ ,‫)כלומר‬ ‫לאמצע‬ ‫חיפש‬ ‫נעשה‬ PATH (Ci, Cj, t) = ∃D∀E1E2 [(E1 = Ci ∧ E2 = D) ∨ (E1 = D ∧ E2 = Cj)] −→ PATH ( E1, E2, t 2 ) :8 ‫הסבר‬ .‫ממנה‬ ‫לחצי‬ ‫נגיע‬ ‫פעם‬ ‫כל‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ CI CA ‫מסילה‬ ‫ישנה‬ ‫שאם‬ ‫הוא‬ ,PATH ‫של‬ ,‫כאן‬ ‫הרקורסיה‬ ‫של‬ ‫הרעיון‬ ‫יהיו‬ ‫לא‬ ‫שניהם‬ ‫פעם‬ ‫אף‬ ‫אבל‬ T-‫ה‬ ‫את‬ ‫שמקבל‬ ‫הוא‬ ‫אחר‬ ‫חצי‬ ‫פעם‬ ‫וכל‬ P ∨ Q → R :‫כך‬ ‫בנויה‬ ‫הנוסחה‬ ,‫כלומר‬ .T ‫ביטוי‬ ‫נקבל‬ ‫הרקורסיה‬ ‫כל‬ ‫עם‬ ‫שנסיים‬ ‫אחרי‬ ,‫שלבסוף‬ ‫עד‬ - (‫בחצי‬ ‫נתקדם‬ ‫)וגם‬ ‫בחצי‬ ‫נרד‬ ‫פעם‬ ‫כל‬ ‫אנחנו‬ ‫וככה‬ .CI CA ‫מסילה‬ ‫ויש‬ ‫במידה‬ ‫אמיתי‬ ‫שיהיה‬ TQBF ‫של‬ ‫מהצורה‬ .‫הרדוקציה‬ ‫רעיון‬ ‫זה‬ |PATH (· · · , t)| = ¡2 · PATH ( · · · , t 2 ) + 11 · |D| Θ(S) +14 = (log T) · Θ (S) = Θ ( S2 ) ,‫נוסחה‬ ‫בכל‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫הכמתים‬ ‫כל‬ ‫בגלל‬ ‫זה‬ - 14-‫ה‬ .T = 2Θ(S) -‫ו‬ :(Cook-Levin)‫קוק-לווין‬ ‫עפ‬ :(1 ‫של‬ ‫אורך‬ ‫)ויש‬ ‫לסוף‬ ‫מגיעים‬ ‫כאשר‬ PATH ( , , 1) Θ(S2) ‫ההסבר‬ ‫כולל‬ ‫נמצאת‬ ‫)והיא‬ 2m ‫הוא‬ ‫שלה‬ ‫שהפתרון‬ S (m, l) = S (m − 1, l) ‫שהיא‬ ‫המקורית‬ ‫הנוסחה‬ ‫במקום‬ ‫וזה‬ .(v ‫בהוכחה‬ ‫זמן‬ ‫ואילו‬ Θ ( S2 ) :‫הוא‬ ‫הפסוק‬ ‫אורך‬ ‫כאשר‬ TQBF ‫בצורת‬ ‫פסוק‬ ‫מקבלים‬ ‫בהתחלה‬ ‫הכמתים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מרכזים‬ ‫אם‬ .(28.1 ‫משפט‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫מוכיחה‬ ‫הזאת‬ ‫)והמסקנה‬ .Θ ( S2 ) :‫הוא‬ ‫הפסוק‬ ‫חישוב‬ NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42 .‫קוראים‬ ‫שאנחנו‬ ‫הביטים‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ q-‫ו‬ ‫המטבע‬ ‫הטלות‬ ‫מספר‬ ‫זה‬ r ‫כאשר‬ L ∈ PCP (r, q) :‫כזכור‬ 45
NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫להוכחה‬ ‫כלים‬ 42.1 .‫כלים‬ ‫מספר‬ ‫נצטרך‬ ‫המשפט‬ ‫הוכחת‬ ‫בשביל‬ ‫ווקטורים‬ ‫על‬ ‫פעולות‬ 42.1.1 :‫כלומר‬ ,Z2-‫ב‬ ‫יהיו‬ ‫בהוכחה‬ ‫כאן‬ ‫אליהם‬ ‫שנתייחס‬ ‫הווקטורים‬ ‫כל‬ .⃗x, ⃗y, ⃗u,⃗v, . . . ∈ {0, 1} n .‫א‬ .Z2-‫ב‬ ‫יהיו‬ ‫שנעשה‬ ‫הפעולות‬ ‫כל‬ .‫ב‬ ‫חיבור‬ ⃗z = ⃗x + ⃗y ⇒ ∀i (xi + yy = zi) ‫פנימית‬ ‫מכפלה‬ ⟨⃗x, ⃗y⟩ = n∑ i=1 xi · yi .(|⃗x| = |⃗y|-‫ש‬ ‫בתנאי‬ ‫כמובן‬ ‫)וזה‬ ‫מטריצות‬ ‫על‬ ‫פעולות‬ 42.1.2 :‫הבא‬ ‫באופן‬ 17 ‫מטריצה‬ ‫נגדיר‬ .j ‫בעמודה‬ i ‫בשורה‬ ‫הנמצא‬ ‫האיבר‬ ‫את‬ ‫מסמל‬ Ai,j ‫האיבר‬ ,n × n ‫מסדר‬ ‫מטרצה‬ A ‫תהא‬ A = ( A1,1 A1,2 A2,1 A2,2 ) .n × n ‫מסדר‬ ‫מטריצות‬ ‫שתי‬ A, B ‫יהיו‬ ‫מטריצות‬ ‫חיבור‬ :i, j ‫לכל‬ ‫אזי‬ Ai + Bi = Ci .(C = A + B :‫כלומר‬ ,‫החיבור‬ ‫מטריצת‬ ‫היא‬ C ‫)כאשר‬ :A, B ‫מטריצות‬ ‫בהינתן‬ ‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫פנימית‬ ‫מכפלה‬ ⟨A, B⟩ = n∑ i=1   n∑ j=1 Ai,j · Bi,j   :‫הבא‬ ‫באופן‬ A = ⃗x ⊗ ⃗y ‫מטריצה‬ ‫נגדיר‬ ,⃗x, ⃗y ‫וקטורים‬ ‫שני‬ ‫בהינתן‬ ‫טנזורית‬ ‫מכפלה‬ Ai,j = xi · yj .n ‫עד‬ 1-‫מ‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫רצים‬ (i, j) ‫והאינדקסים‬ n × n ‫מסדר‬ ‫היא‬ A ‫המטריצה‬ .‫כמובן‬ ‫בולאנית‬ ‫מטריצה‬ ‫על‬ ‫כאן‬ ‫מדובר‬17 46
NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫וולש-הדמרד‬ ‫קוד‬ 42.1.3 :‫הבא‬ ‫באופן‬ f⃗u ∈ Hn ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ⃗u ‫וקטור‬ ‫בהינתן‬ f⃗u (⃗x) = ⟨⃗u, ⃗x⟩ :‫כאשר‬ WH : {0, 1} n → {0, 1} 2n :‫פונקציה‬ ‫הינו‬ ‫וולש-הדמרד‬ ‫קוד‬ :‫למשל‬ n = 2 ‫עבור‬ WH (⃗u) = (⟨⃗u, (0, 0)⟩ , ⟨⃗u, (0, 1)⟩ , ⟨⃗u, (1, 0)⟩ , ⟨⃗u, (1, 1)⟩) :‫נקבל‬ ,⃗u = {0, 1} ‫ועבור‬ WH (⃗u) = (0, 1, 0, 1) NP ⊇ PCP (Θ (log n) , Θ (1))-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 42.2 :vi ‫הוכחה‬ .L ∈ PCP (Θ (log n) , d) ‫שעבורו‬ ‫מוודא‬ - VP CP ‫שיש‬ ‫נתון‬ .L ∈ NP ‫שעבורו‬ ‫מוודא‬ - VNP :‫צל‬ :‫כך‬ ‫פועל‬ VNP ‫המוודא‬ P ‫וטיעון‬ x ‫קלט‬ ‫על‬ ‫עם‬ VP CP ‫של‬ ‫ריצה‬ ‫יסמלץ‬ VNP ‫הטלות‬ ‫של‬ ‫תוצאה‬ ‫לכל‬ .VP CP ‫של‬ ‫מטבע‬ ‫הטלת‬ ‫של‬ ‫אפשריות‬ ‫תוצאות‬ 2r ‫סורק‬ .‫מטבע‬ ‫הטלות‬ .‫התוצאות‬ ‫רוב‬ ‫לפי‬ ‫עונה‬ VNP ‫הסריקה‬ ‫בסיום‬ :‫הריצה‬ ‫זמן‬ 2r ≤2C log n−nc · Time (VP CP (· · · )) poly(n) poly(n) ≥ VNP .(‫האפשרויות‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫עברנו‬ ‫)כי‬ 0 :‫מטבע‬ ‫הטלות‬ ?‫מההוכחה‬ ‫קראנו‬ ‫ביטים‬ ‫כמה‬ :‫הוא‬ ‫הביטים‬ ‫מספר‬ ,‫לכן‬ .‫קורא‬ VP CP -‫ש‬ ‫הביטים‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ d .|P | ≤ poly (n) ‫בהכ‬ ‫ולכן‬ ,poly (n) ≥ 2r · d :‫שלמות‬ :(31.1) ‫ב-שלמות‬ ‫שמובטח‬ P ‫לאותו‬ ‫אזי‬ x ∈ L ‫אם‬ Pr (VP CP (x, P) = Accept) ≥ 2 3 1 2 .∃P VNP (x, P) = Accept :‫כלומר‬ .Accept ‫יענה‬ VNP P ‫לאותו‬ ‫ולכן‬ :‫נאותות‬ :‫ולכן‬ Pr (· · · ) 1 3 1 2 :‫מתקיים‬ P ‫לכל‬ ‫אזי‬ x /∈ L ‫אם‬ ∀P VNP (x, P) = Reject NP ⊆ PCP (poly (n) , Θ (1))-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 42.3 .(poly ‫על‬ ‫נוכיח‬ log ‫)במקום‬ ‫המקורי‬ ‫המשפט‬ ‫של‬ ‫מוחלשת‬ ‫גרסה‬ ‫זאת‬ ‫כאן‬ ‫מוכיחים‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬ .‫-שלמה‬NP ‫שהיא‬ ‫לשפה‬ ‫ברדוקציה‬ ‫שנתחיל‬ ‫בכך‬ ‫לכך‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫נראה‬ :‫בהוכחה‬ ‫לנו‬ ‫שיעזרו‬ ‫כלים‬ ‫כמה‬ ‫נכיר‬ ‫כל‬ ‫קודם‬ 47
NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ QE ‫שנייה‬ ‫ממעלה‬ ‫משאוות‬ 42.3.1 .Z2 ‫מעל‬ ‫משתנים‬ n-‫ו‬ ‫משוואת‬ m ‫של‬ S ‫מערכת‬ ‫זוהי‬ :42.1 ‫דוגמא‬ :‫משתנים‬ 5 ‫עבור‬ ‫משוואת‬ 3 ‫של‬ ‫למערכת‬ ‫דוגמה‬ ‫הנה‬ ,‫למשל‬ x1x2 + x1x3 = 1 x2x4 + x2 1 + x3 = 0 x1 + x3 = 1 ‫כך‬ x1, . . . , x5 ‫למשתנים‬ ‫השמה‬ ‫קיימת‬ ‫האם‬ ,‫כלומר‬ ,‫ספיקה‬ (‫)שלמעלה‬ S ‫המערכת‬ ‫היא‬ ‫המעניינת‬ ‫השאלה‬ :‫למשל‬ ,‫שווים‬ ‫יהיה‬ ‫הצדדים‬ ‫שני‬ ,‫כלומר‬ ,‫תספק‬ ‫שההשמה‬ .‫א‬ x3 = x5 = 0-‫ו‬ x1 = x2 = x4 = 1 .‫מספקת‬ ‫הייתה‬ ‫עדיין‬ ‫וההשמה‬ 0 ‫ערך‬ ‫גם‬ ‫לתת‬ ‫ניתן‬ ‫היה‬ ‫אזי‬ ,‫במשוואה‬ ‫מופיע‬ ‫אינו‬ x5-‫ש‬ ‫בגלל‬‫א‬ .S ‫של‬ ‫הימני‬ ‫לצד‬ ‫השמאלי‬ ‫בצד‬ ‫בין‬ ‫שיווין‬ ‫נקבל‬ ‫אלו‬ ‫ערכים‬ ‫את‬ ‫נציב‬ ‫אם‬ :42.1 ‫משפט‬ ⃗c ∈ {0, 1} m ‫ניקח‬ ‫אם‬ ‫אזי‬ ,(‫השמה‬ ‫משתנה‬ ‫)לכל‬ n ‫בגודל‬ ⃗u ∈ {0, 1} n ‫השמות‬ ‫של‬ ‫ווקטור‬ S ‫מערכת‬ ‫לנו‬ ‫ונתונה‬ ‫נניח‬ 18 :‫אזי‬ ,S′ ⊆ S ‫תת-מערכת‬ ‫זה‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫כעת‬ .mi ‫בקואורדינטה‬ i ‫משוואה‬ ‫כל‬ ‫ונכפול‬ (m ‫בגודל‬ ⃗c ‫)וקטור‬ .S′ ‫את‬ ‫גם‬ ‫מספקת‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ S ‫את‬ ‫מספקת‬ ⃗u ‫אם‬ .‫א‬ .Pr [S′ ‫את‬ ‫מספקת‬ ⃗u] = 1 2 :‫אזי‬ S ‫את‬ ‫מספקת‬ ‫אינה‬ ⃗u ‫אם‬ .‫ב‬ 3 − SAT ≤p QE 42.3.2 :3 − SAT ≤p QE ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ ‫כעת‬ ‫נראה‬ .3 − CNF ‫בצורת‬ ‫משתנים‬ n-‫ו‬ ‫פסוקיות‬ m ‫לנו‬ ‫נותנים‬ .‫איברים‬ ‫שלושה‬ ‫עם‬ ‫למשוואה‬ ‫פסוקית‬ ‫כל‬ ‫נמיר‬ ‫השמאלי‬ ‫בצד‬ 1 ‫הערך‬ ‫את‬ ‫משווה‬ ‫בכל‬ ‫נשים‬ ‫בהמרה‬ ‫אזי‬ ‫אמת‬ ‫ערך‬ ‫בעלות‬ ‫להיות‬ ‫צריכות‬ ‫הפסוקיות‬ ‫וכל‬ ‫היות‬ ,‫כעת‬ :‫כלומר‬ ,‫דה-מורגן‬ ‫באמצעות‬ ‫הכמתים‬ ‫את‬ ‫ונמיר‬ (x1 ∨ x2 ∨ x3) ≡ ¬ (x1 ∧ x2 ∧ x3) ≡ 1 − x1 · (1 − x2) · x3 = 1 :‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫נעשה‬ ‫זאת‬ ‫לפתור‬ ‫כדי‬ ,‫אסור‬ ‫וזה‬ ‫שלישית‬ ‫ממעלה‬ ‫איבר‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ,‫כעת‬ .y2,3 = x2 · x3 ‫משוואה‬ ‫ונוסיף‬ x1 · y2,3 :‫נכתוב‬ x1 · x2 · x3 ‫במקום‬ .3 − SAT-‫ל‬ NP-‫ב‬ ‫בעיה‬ ‫כל‬ ‫להמיר‬ ‫ניתן‬ ‫כי‬ ‫יודעים‬ ‫אנו‬ ,‫זאת‬ ‫שהגדרנו‬ ‫אחרי‬ ‫כעת‬ 19 ?‫זאת‬ ‫נעשה‬ ‫כיצד‬ ‫אז‬ ,‫ביטים‬ Θ (1) ‫לדגום‬ ‫הוא‬ ‫אותנו‬ ‫שמעניין‬ ‫מה‬ ‫אבל‬ ‫נחבר‬ ‫ואז‬ ci ‫בקואורדינטה‬ i ‫משוואה‬ ‫כל‬ ‫ונכפול‬ (‫המשוואות‬ ‫מספר‬ ‫)כגודל‬ ⃗c ∈ {0, 1} m ‫וקטור‬ ‫שניקח‬ ‫הוא‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ .20 ⃗c ‫של‬ '‫בקור‬ ‫אותן‬ ‫שהכפלנו‬ ‫אחרי‬ ‫המשוואות‬ ‫כל‬ ‫את‬ .‫הוכחה‬ ‫ללא‬ ‫נשאיר‬ ‫הנל‬ ‫המשפט‬ ‫את‬18 .Θ (1) ‫לא‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ ‫המשוואות/משתנים‬ ‫במספר‬ ‫תלויים‬ ‫אנחנו‬ ‫אם‬ ‫כי‬19 ‫לנו‬ ‫בוחר‬ ⃗c - ‫אחרות‬ ‫במילים‬ .‫שהיא‬ ‫כמו‬ ‫נשארת‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ 1-‫ב‬ ‫אותה‬ ‫כפלנו‬ ‫ואם‬ ‫אותה‬ ‫השמטנו‬ ‫אזי‬ 0-‫ב‬ ‫משוואה‬ ‫כפלנו‬ ‫שאם‬ ‫לם‬ ‫לשים‬ ‫כדאי‬20 .‫לסכום‬ ‫משוואת‬ ‫אילו‬ 48
NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :42.2 ‫דוגמא‬ .⃗c = {0, 1, 1} ‫הווקטור‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ 42.1 ‫דוגמה‬ ‫עבור‬ ,‫למשל‬ :‫והשלישית‬ ‫השנייה‬ ‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫רק‬ ‫נסכום‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬ x2x4 + x2 1 + x3 = 0 x1 + x3 = 1 :‫הוא‬ ‫שנקבל‬ ‫מה‬ x2 1 + x2x4 + x1 = 1 .(‫מצטמצם‬ ‫הוא‬ ‫ולכן‬ x3 + x3 = 0 ‫)כי‬ ‫ההוכחה‬ ‫של‬ ‫המרכזי‬ ‫הרעיון‬ - (‫המאמת‬ ‫)של‬ V ‫של‬ ‫תפקידו‬ 42.3.3 ‫מהן‬ ‫אחת‬ ‫כל‬ ‫נסכום‬ ,21 ‫לא‬ ‫ואיזה‬ ‫להכניס‬ ‫משוואות‬ ‫אילו‬ ‫של‬ ‫האפשרויות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫שיכלול‬ 2m ‫באורך‬ ⃗e1 ‫וקטור‬ ‫יוצר‬ V .‫התוצאה‬ ‫את‬ ‫ונרשום‬ ‫ההשמה‬ ‫את‬ ‫נשים‬ ,(‫שמאל‬ ‫אגף‬ ‫)את‬ :42.1 ‫בדוגמה‬ ,‫למשל‬ ⃗e1 = (0, 1, . . . , 0) .1 ‫יהיה‬ ‫וערכה‬ 22 ‫הרביעית‬ ‫בקואורדינטה‬ ‫יהיה‬ 42.2 ‫בדוגמה‬ ‫שראינו‬ ‫מה‬ ‫כאשר‬ :‫במקביל‬ ⃗e1 ‫הווקטור‬ ‫בנוי‬ ‫שבה‬ ‫השיטה‬ ‫באותה‬ ‫שבנוי‬ 2m ‫באורך‬ ⃗e2 ‫וקטור‬ ‫יוצר‬ ‫הוא‬ :‫ימין‬ ‫אגפי‬ ‫את‬ ‫השיטה‬ ‫באותה‬ ‫סוכם‬ V .(‫ימין‬ ‫אגפי‬ ‫סכום‬ ‫את‬ ‫יש‬ ,‫ההשמה‬ ‫לאחר‬ ‫שמאל‬ ‫אגף‬ ‫סכום‬ ‫שבמקום‬ ‫)רק‬ :(42.1 ‫)דוגמה‬ ‫שלנו‬ ‫הדוגמה‬ ‫עפ‬ ‫למשל‬ ⃗e2 = (0, 1, 0, ..., 0) :42.2 ‫דוגמה‬ ‫ועפ‬ .⃗e2 [4] = 1 :1 ‫יהיה‬ ‫הרביעית‬ ‫בקואורדינטה‬ :V ‫של‬ ‫המרכזי‬ ‫תפקידו‬ ‫מגיע‬ ‫כעת‬ 2m -‫ל‬ 1 ‫בין‬ p ‫מספר‬ ‫מגריל‬ V .⃗e1 [p] = ⃗e2 [p] :‫האם‬ ‫ובודק‬ .‫מקבל‬ ‫הוא‬ - ‫כן‬ ‫אם‬ .‫דוחה‬ ‫הוא‬ - ‫לא‬ ‫אם‬ .(‫בינארי‬ ‫באופן‬ ‫אותו‬ ‫מציג‬ ⃗c) ‫מגריל‬ V -‫ש‬ p ‫מספר‬ ‫אותו‬ ‫זה‬ ‫בהתחלה‬ ‫עליו‬ ‫שדובר‬ ⃗c ‫הווקטור‬ ‫כאשר‬ :9 ‫הסבר‬ :‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫הכללי‬ ‫הרעיון‬ .(‫המשוואות‬ ‫)מספר‬ m ‫באורך‬ ⃗c ∈ {0, 1} m ‫וקטור‬ ‫מגריל‬ V ‫ואז‬ ,‫למעלה‬ ‫שמסובר‬ ‫כפי‬ ⃗e1,⃗e2 ‫וקטורים‬ ‫שני‬ ‫יוצר‬ P ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫נניח‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ,‫הבינארי‬ ‫המספר‬ ‫לאותו‬ ‫שתאומות‬ ‫המשוואות‬ ‫של‬ ‫שקלול‬ ‫יש‬ ⃗e ‫בווקטורי‬ i ‫מיקום‬ ‫בכל‬ ‫במקום‬ ‫נסתכל‬ ‫אזי‬ ⃗c = (0, 1, 0, 1, 1, 0) :‫לנו‬ ‫ויצא‬ ‫הגרלנו‬ ‫נניח‬ ‫ואם‬ m ‫באורך‬ ‫יהיו‬ ⃗c,⃗e1, ⃗e2 ‫אזי‬ ,‫משוואות‬ 6 ‫בקואורדינטה‬ ‫ולכן‬ 101 ‫זה‬ ‫בינארי‬ ‫בייצוג‬ 5 ,‫למשל‬ .‫לא‬ ‫ואילו‬ ‫להכניס‬ ‫משוואות‬ ‫אילו‬ ‫לנו‬ ‫שאומר‬ ‫מיקום‬ ‫בעצם‬ ‫היא‬ ‫בווקטור‬ ‫קואורדינטה‬ ‫שכל‬21 .‫והאחרונה‬ ‫הראשונה‬ ‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫רק‬ ‫נסכום‬ ‫בווקטור‬ ‫החמישית‬ .(‫בינארי‬ ‫בבסיס‬ ‫מוצג‬ 011) 0112 = 410 ‫כי‬22 49
NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .⃗e1,⃗e2 ‫הווקטורים‬ ‫בשני‬ 22-‫ה‬ .‫נדחה‬ ,‫אחרת‬ .‫נקבל‬ ‫זהה‬ ‫יהיה‬ ‫המספר‬ ‫יהיה‬ ‫אם‬ :(31.1) ‫שלמות‬ :S ‫את‬ ‫מספקת‬ ⃗u ‫ההשמה‬ ‫אם‬ 42.1 ‫משפט‬ ‫עפ‬ .Accept ‫של‬ ‫תוצאה‬ ‫לנו‬ ‫ייתן‬ ‫שנגריל‬ ⃗c ‫כל‬ .‫כנדרש‬ ∃P Pr [V (φ, P) = Accept] = 1 :‫כלומר‬ :(31.2) ‫נאותות‬ :42.1 ‫משפט‬ ‫עפ‬ ‫אזי‬ S ‫את‬ ‫מספקת‬ ‫לא‬ ⃗u ‫אם‬ .‫כנדרש‬ ∀P Pr [V (φ, P) = Reject] = 1 2 1 3 :(32.1) V ‫יעילות‬ .(⃗c ‫)הגרלת‬ ‫לא‬ ‫או‬ ‫יכנסו‬ ‫משוואות‬ ‫אילו‬ - r = m .‫בסוף‬ ‫ההשוואה‬ - q = 1 .‫כנדרש‬ .Θ (m) :V ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫מטריצות‬ ‫עבור‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצרוף‬ ‫עקרון‬ 42.3.4 :‫הבא‬ ‫בחלק‬ ‫בו‬ ‫נשתמש‬ ‫אשר‬ 23 ‫מטריצות‬ ‫עבור‬ ‫דומה‬ ‫עיקרון‬ ‫ישנו‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫לעיקרון‬ ‫בדומה‬ .(‫אפסים‬ ‫שכולה‬ ‫מטריצה‬ ,‫האפס‬ ‫)מטריצת‬ A = 0 ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫נרצה‬ A ∈ {0, 1} n×n ‫מטריצה‬ ‫בהינתן‬ :‫האם‬ ‫ונבדוק‬ ,⃗x, ⃗y ∈ {0, 1} n :‫ובת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫נגריל‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ ⃗xT A⃗y = 0 :‫שלמות‬ .⃗xT A⃗y = 0 ‫בברור‬ ‫אז‬ A = 0 ‫אם‬ :‫נאותות‬ .‫אפסים‬ ‫שורת‬ ‫אינה‬ (A ‫במטריצה‬ i ‫)שורה‬ Ai ‫שעבורו‬ (1 ≤ i ≤ n) i ‫אינדקס‬ ‫איזשהו‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ A ̸= 0 ‫אם‬ :24 ‫לווקטורים‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫עיקרון‬ ‫לפי‬ Pr [(Ai⃗y) = 1] = 1 2 :‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫עיקרון‬ ‫לפי‬ ,(Ai⃗y) = 1-‫ש‬ ‫בהינתן‬ ,‫כעת‬ Pr ( ⃗xT A⃗y = 1 A⃗y ̸= 0 ) = 1 2 :‫ולכן‬ Pr ( ⃗xT A⃗y = 1 ) = Pr ( ⃗xT A⃗y = 1 A⃗y ̸= 0 ) = 1 2 · Pr (A⃗y ̸= 0) ≥ 1 2 ≥ 1 4 ‫ההוכחה‬ ‫של‬ ‫הסינטקטי‬ ‫השלב‬ 42.3.5 ‫אם‬ ‫מה‬ ,‫השאלה‬ ‫נשאלת‬ ‫אז‬ ‫אבל‬ ,‫ההוכחה‬ ‫של‬ ‫המרכזי‬ ‫הרעיון‬ - (‫המאמת‬ ‫)של‬ V ‫של‬ ‫תפקידו‬ - ‫כאן‬ ‫היה‬ ‫ההוכחה‬ ‫לב‬ ?‫התוצאה‬ ‫את‬ ‫להתאים‬ ‫מנסה‬ ‫זדוני‬ ‫מישהו‬ .‫תקין‬ ‫אכן‬ ‫שקיבלנו‬ ‫שהקידוד‬ ‫לוודא‬ ‫נרצה‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ .‫השמה‬ ‫היא‬ ⃗u ‫כי‬ ‫נניח‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ ‫תדחה‬ V - ‫הנאותות‬ ‫ומבחינת‬ ‫הבא‬ ‫לשלב‬ ‫עוברים‬ ‫מיד‬ - ‫שלמות‬ ‫מתקיימת‬ ‫שאם‬ ‫חלקים‬ ‫משלושה‬ ‫מורכבת‬ ‫ההוכחה‬ .1 2 ≤ ‫בהסתברות‬ .‫בולאנית‬ ‫למטריצות‬ ‫רק‬ ‫נתייחס‬ ‫כאן‬23 .Pr (⟨⃗x, ⃗y⟩ = 1) = 1 2 :⃗x, ⃗y ∈ {0, 1}n ‫שעבור‬ ‫אומר‬ ‫הוא‬ ‫בעיקרון‬ ‫אך‬ ,‫כאן‬ ‫הוגדר‬ ‫או‬ ‫הוכח‬ ‫לא‬ ‫הוא‬24 50
NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .42.3.3 ‫הסמנטי‬ ‫לשלב‬ ‫עוברים‬ - ‫בהצלחה‬ ‫הללו‬ ‫השלבים‬ ‫שלושת‬ ‫את‬ ‫שסיימנו‬ ‫ברגע‬ :‫הבא‬ (P) ‫הקידוד‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ WH (⃗u) ∈{0,1}2n , WH (⃗u ⊗ ⃗u) ∈{0,1}2n×n .‫וולש-הדמרד‬ ‫קוד‬ ‫הוא‬ WH ‫כאשר‬ .‫הטענה‬ ‫את‬ ‫לאמת‬ ‫כדי‬ V -‫ה‬ ‫עובד‬ ‫ועלזה‬ ‫מכיל‬ P-‫ש‬ ‫מה‬ ‫זה‬ ,‫כלומר‬ .‫ההוכחה‬ ‫של‬ P-‫ה‬ ‫זה‬ - ‫תקין‬ ‫שזה‬ ‫בהנחה‬ :'‫א‬ ‫חלק‬ :‫תזכורת‬ ‫פונקציה‬ ‫של‬ ‫האמת‬ ‫טבלת‬ ‫היא‬ ⃗s ⇐⇒ ⃗v ∈ {0, 1} t ‫מחרוזת‬ ‫של‬ ‫וולש-הדמרד‬ ‫קוד‬ ‫היא‬ ⃗s ∈ {0, 1} 2l ‫מחרוזת‬ .f (7.1.2) ‫לינארית‬ # ! ‫לבדוק‬ ‫ונרצה‬ Sf = WH (⃗u) , Sg = WH (⃗w) :‫ש‬ ‫כך‬ ⃗u ∈ {0, 1} n , ⃗w ∈ {0, 1} n×n ‫קיימים‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫נרצה‬ .(‫לינאריות‬ ‫לבדוק‬ ‫נרצה‬ ,‫)כלומר‬ ‫לינאריות‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫אמת‬ ‫בטבלת‬ ‫מדובר‬ ‫אכן‬ ‫האם‬ ‫לאורך‬ ‫בהתאם‬ ‫הוא‬ ‫אורכם‬ ‫אשר‬ ⃗a,⃗b ‫וקטורים‬ ‫שני‬ Si ‫כל‬ ‫עבור‬ ‫מגרילים‬ ‫לינאריות‬ ‫הפונקציות‬ ‫אכן‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫בשביל‬ ,⃗u, ⃗w ‫של‬ :‫האם‬ ‫ובודקים‬ ‫ביטים‬ ‫שלושה‬ ‫מגרילים‬ ‫ובת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫ואז‬ f (⃗a) + f ( ⃗b ) = f ( ⃗a +⃗b ) :10 ‫הסבר‬ .‫מיקום‬ ‫מציינים‬ ⃗a,⃗b ‫הווקטורים‬ ,⃗c ‫בהגרלת‬ ‫כמו‬ ‫אזי‬ ⃗a,⃗b ‫וקטורים‬ ‫שני‬ ‫שהגרלנו‬ ‫אחרי‬ ‫צריך‬ ‫אזי‬ ,‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫אמת‬ ‫טבלת‬ ‫היא‬ WH (⃗u) -‫ש‬ ‫כך‬ ⃗u ∈ {0, 1} n ‫קיים‬ ‫האם‬ ‫למשל‬ ‫לבדוק‬ ‫בשביל‬ ‫כעת‬ .f (⃗a) + f ( ⃗b ) = f ( ⃗a +⃗b ) ‫מתקיים‬ ‫האם‬ ‫ולבדוק‬ ( ⃗a,⃗b ) ‫בווקטור‬ ‫מקומות‬ ‫שני‬ ‫לדגום‬ :‫שלמות‬ ‫יתקיים‬ ‫בהכרח‬ ‫אזי‬ (‫כלשהי‬ ‫לינארית‬ ‫פונקציה‬ ‫של‬ ‫אמת‬ ‫טבלת‬ ‫הוא‬ WH (⃗u)-‫ש‬ ‫כך‬ ⃗u ‫קיים‬ ,‫)כלומר‬ ‫לינארית‬ f ‫אם‬ .(42.3.3 - ‫הסמנטי‬ ‫לשלב‬ ‫ישר‬ ‫)ונעבור‬ .‫השוויון‬ :‫נאותות‬ .Θ (∆) ‫בהסתברות‬ ‫אותה‬ ‫דוחה‬ (‫)מאמת‬ V -‫ה‬ ‫אזי‬ ‫∆-רחוקה‬ ‫היא‬ f ‫אם‬ .f′ ‫לינארית‬ ‫לפונקציה‬ ‫מאוד‬ ‫קרובה‬ ‫אבל‬ ,‫לינארית‬ ‫אינה‬ f-‫ש‬ ‫במקרה‬ ‫לטפל‬ ‫הוא‬ ‫לנו‬ ‫שנותר‬ ‫מה‬ ‫כל‬ .'‫ב‬ ‫לשלב‬ ‫נעבור‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬ :‫יעילות‬ .(‫מהמקרים‬ ‫אחת‬ ‫בכל‬ ‫מקומות‬ ‫שני‬ ‫)עבור‬ r = 2 · n + 2 · n2 :‫שמוגרלים‬ ‫האקראים‬ ‫הביטים‬ ‫כמות‬ .(‫מקרה‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ 3) q = 3 + 3 = 6 :‫שקוראים‬ ‫הביטים‬ ‫כמות‬ :'‫ב‬ ‫חלק‬ .⃗w = ⃗u ⊗ ⃗u :‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫נרצה‬ ,(⃗w − ⃗u ⊗ ⃗u) = 0 ‫האם‬ ‫נבדוק‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ :(42.3.4) ‫מטריצות‬ ‫עבור‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצרוף‬ ‫עקרון‬ ‫באמצעות‬ ‫זאת‬ ‫נעשה‬ :‫האם‬ ‫ונבדוק‬ ,⃗x, ⃗y ‫וקטורים‬ ‫שני‬ ‫נגריל‬ ⃗xT A⃗y = 0 ⃗xT (⃗w − ⃗u ⊗ ⃗u) ⃗y = 0 ⃗xT ⃗w⃗y = ⃗xT (⃗u ⊗ ⃗u) ⃗y :‫האם‬ ‫הוא‬ ‫לבדוק‬ ‫שצריך‬ ‫מה‬ ,‫ולכן‬ 51
NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ WH (⃗w)⃗x⊗⃗y = WH (⃗u)⃗x · WH (⃗u)⃗y .(‫המיקום‬ ‫את‬ ‫מציין‬ ⃗x-‫ה‬ WH (⃗u)⃗x-‫ב‬ ,‫)כלומר‬ ‫מיקום‬ ‫הוא‬ ‫אלה‬ ‫משלושת‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ :‫שלמות‬ .‫הסמנטי‬ ‫לשלב‬ ‫ונעבור‬ ‫תמיד‬ ‫יתקיים‬ ‫השוויון‬ ‫אזי‬ ⃗w = ⃗u ⊗ ⃗u ‫אכן‬ ‫אם‬ :‫נאותות‬ .1 4 -‫מ‬ ‫קטן‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫שנטעה‬ ‫הסיכוי‬ - ‫מטריצות‬ ‫עבור‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצרוף‬ ‫עקרון‬ ‫עפ‬ :‫יעילות‬ .(‫ווקטור‬ ‫כל‬ ‫)עבור‬ r = n + n = 2 · n :‫המוגרלים‬ ‫הביטים‬ ‫כמות‬ .(‫המרכזית‬ ‫המשוואה‬ ‫)בדיקת‬ q = 1 + 1 + 1 = 3 :‫שנקראים‬ ‫הביטים‬ ‫כמות‬ ‫סיכום‬ 42.4 .‫ביטים‬ Θ (1) ‫רק‬ ‫לקרוא‬ ‫שצריך‬ ‫וזה‬ ‫והנאותות‬ ‫השלמות‬ ‫בגלל‬ ‫תאורטית‬ ‫מבחינה‬ ‫מדהים‬ ‫הוא‬PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ .‫-שלמות‬NP ‫לבעיות‬ ‫קירוב‬ ‫קושי‬ ‫עם‬ ‫לנו‬ ‫עזור‬ ‫הוא‬ ‫מעשית‬ ‫מבחינה‬ :(‫סמנטי‬ ‫שלב‬ ‫ואחרים‬ ‫סינטקטיים‬ ‫)שניים‬ ‫האימות‬ ‫של‬ ‫השלבים‬ ‫שלושת‬ ‫אחרי‬ ,‫סהכ‬ r = m + 2n2 + 4n q = 10 52
‫העניינים‬ ‫תוכן‬‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫העניינים‬ ‫תוכן‬ 1 ‫חזרה‬ I 1 ‫הסתברות‬ 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מדגם‬ ‫מרחב‬ 1.1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מאורע‬ 1.2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A ‫מאורע‬ ‫פירוק‬ 1.3 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Union Bound ‫האיחוד‬ ‫חסם‬ 1.3.1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫והדחה‬ ‫הכלה‬ 1.3.2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מותנית‬ ‫הסתברות‬ 1.4 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫מאורעות‬ 1.4.1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫איחוד‬ ‫לגבי‬ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ 1.5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫תוחלת‬ 1.6 3 ‫טיילור‬ ‫קירוב‬ 2 3 ‫קירוב‬ ‫אלגוריתמי‬ 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (G ‫גרף‬ ‫)של‬ ‫הקשירות‬ ‫בעיית‬ :‫דוגמה‬ 3.1 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ערך‬ ‫פונקציית‬ 3.2 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (‫קבוע‬ ‫)=יחס‬ ‫קירוב‬ ‫פקטור‬ 3.3 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מדויקות‬ ‫הגדרות‬ 3.3.1 4 (k-wise independece) ‫משתנים‬ ‫של‬ ‫אי-תלות‬ 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הכללות‬ 4.1 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫עיקרון‬ 4.2 5 ‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬ ‫פולינומים‬ 5 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XOR ‫שער‬ - ‫בולאני‬ ‫למעגל‬ ‫דוגמה‬ 5.1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫המעגל‬ ‫חיזוק‬ 5.2 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫פולינומים‬ 5.3 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (‫יחיד‬ ‫)משתנה‬ ‫הגדרה‬ 5.3.1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫רב-משתנים‬ ‫לפולינום‬ ‫דוגמה‬ 5.3.2 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫נמוכה‬ ‫מדרגה‬ ‫פולינומים‬ ‫עי‬ ‫מעגלים‬ ‫קרוב‬ 5.4 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ 5.4.1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ 5.4.2 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫לפולינומים‬ (‫)מעגלים‬ ‫שערים‬ ‫המרת‬ 5.5 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫פרמה‬ ‫משפט‬ 5.5.1 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOT ‫שער‬ 5.5.2 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MOD ‫שער‬ 5.5.3 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AND ‫שער‬ 5.5.4 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OR ‫שער‬ 5.5.5 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מסכמת‬ ‫טבלה‬ 5.6 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הקירוב‬ ‫משפט‬ 5.7 8 (‫קירוב‬ ‫)יחס‬ ‫פקטור‬ 6 53
‫העניינים‬ ‫תוכן‬‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ 8 ‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬ 7 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫לינאריות‬ ‫ופונקציות‬ ‫בולאניות‬ ‫פונקציות‬ ‫הגדרת‬ 7.1 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כמות‬ 7.1.1 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫לינאריות‬ ‫פונקציות‬ 7.1.2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הסטטיסטי‬ ‫המרחק‬ 7.2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫פונקציות‬ ‫שתי‬ ‫בין‬ ‫הסטטיסטי‬ ‫המרחק‬ 7.2.1 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫לינארית‬ ‫לפונקציה‬ ‫סטטיסטי‬ ‫מרחק‬ 7.2.2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫המרכזי‬ ‫המשפט‬ 7.3 9 ‫טיורינג‬ ‫מכונות‬ II 10 ‫חישובים‬ ‫מורכבות‬ 8 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫אלגוריתם‬ ‫מאפיין‬ ‫מה‬ 8.1 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫נתונים‬ 8.1.1 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫חוקים‬ 8.1.2 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫היסודית‬ ‫השאלה‬ 8.2 11 ‫חישוב‬ ‫מכונות‬ 9 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫החישוב‬ ‫אופן‬ 9.1 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫חישוב‬ ‫מתבצע‬ ‫כיצד‬ 9.1.1 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫החישוב‬ ‫פלט‬ ‫סימון‬ 9.1.2 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫של‬ ‫וריאנטים‬ 9.2 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫המרכזי‬ ‫המשפט‬ 9.2.1 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫יעילה‬ ‫סימולציה‬ 9.2.2 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫סימולציה‬ ‫זמן‬ 9.2.3 12 ‫אוניברסליות‬ 10 13 ‫אלגוריתם‬ ‫של‬ ‫יעילות‬ 11 13 (‫)חזרה‬ ‫חישוביות‬ III 13 ‫חישובית‬ ‫מורכבות‬ 12 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ 12.1 14 ‫טבעית‬ ‫בעיות‬ 13 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?‫טבעית‬ ‫בעיה‬ ‫נגדיר‬ ‫כיצד‬ 13.1 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?‫טבעית‬ ‫לא‬ ‫חיפוש‬ ‫בעיית‬ ‫נגדיר‬ ‫איך‬ 13.2 15 NP ‫המחלקה‬ 14 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫שלמות‬ 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫נאותות‬ 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫יעילות‬ 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫המחשב‬ ‫במדעי‬ ‫המרכזית‬ ‫הבעיה‬ 14.1 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מייצגת‬ ‫בעיה‬ 14.2 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?‫קשה‬ ‫הכי‬ ‫נגדיר‬ ‫איך‬ 14.2.1 16 ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ - (Karp) ‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ 15 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫-שלמה‬C ‫שפה‬ 15.1 54
‫העניינים‬ ‫תוכן‬‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ 18 ‫ואופטימיזציה‬ ‫חיפוש‬ ,‫הכרעה‬ ‫של‬ ‫גרסאות‬ ‫בין‬ ‫שקילות‬ 16 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 − SAT ‫דוגמת‬ 16.1 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫שקילות‬ ‫דוגמת‬ 16.1.1 19 DSR ‫שיטת‬ 17 19 (‫-דטרמיניסטי‬ ‫לא‬ ‫חישוב‬ NP ‫)הגדרת‬ ‫מטלד‬ 18 19 coNP ‫המחלקה‬ 19 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . coC ‫המחלקה‬ 19.1 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . coP = P 19.2 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫כמתים‬ ‫באמצעות‬ coNP ‫הגדרת‬ 19.3 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NP ̸= coNP-‫ש‬ ‫ההשערה‬ 19.4 21 PH - ‫פולינומית‬ ‫היררכיה‬ IV 22 coNP-‫ו‬ NP-‫ל‬ ‫שמעבר‬ ‫מה‬ 20 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (‫כמתים‬ ‫שני‬ ‫עם‬ ‫לבעיה‬ ‫)דוגמה‬ ‫המזערי‬ ‫המעגל‬ ‫בעיית‬ 20.1 23 ‫הפולינומית‬ ‫ההיררכיה‬ ‫הגדרת‬ 21 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫סימונים‬ 21.1 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ΠkP-‫ו‬ ΣkP 21.2 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PH ‫הגדרת‬ 21.3 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '‫וכו‬ P ̸= NP ‫לגבי‬ ‫מרכזיות‬ ‫השערות‬ 21.4 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הקריסה‬ ‫משפט‬ 21.5 24 ‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ V 25 S ≪ T ‫שבו‬ ‫למקרה‬ ‫דוגמת‬ 22 25 ‫חישוב‬ ‫קונפיגורצית‬ 23 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?‫ישנן‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫כמה‬ 23.1 26 ‫זיכרון‬ - ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬ 24 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ 24.1 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫המחלקות‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ 24.2 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?L ̸= NP :‫פתוחה‬ ‫בעיה‬ 24.2.1 27 ‫במשחקים‬ ‫מנצחות‬ ‫אסטרטגיות‬ VI 28 ‫משחקים‬ ‫הגדרת‬ 25 28 ‫צרמלו‬ ‫משפט‬ 26 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?‫מנצחת‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ (‫)לבן‬ ‫הפותח‬ ‫שלשחקן‬ ‫רושמים‬ ‫כיצד‬ 26.1 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?‫נותרו‬ ‫צעדים‬ ‫כמה‬ ‫מסמנים‬ ‫כיצד‬ 26.2 29 TQBF 27 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TQBF ‫להכרעת‬ ‫אלגוריתם‬ 27.1 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF 27.2 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TQBF ‫של‬ ‫הזיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ 27.3 55
‫העניינים‬ ‫תוכן‬‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ 29 ‫לא-דטרמינסטי‬ ‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ 28 30 (‫אוב‬ ‫)פונקציית‬ ‫האורקל‬ ‫גישת‬ VII 30 ‫רקע‬ 29 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫אורקל‬ ‫גישת‬ 29.1 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫סימונים‬ 29.2 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ - ‫מסורתית‬ ‫הוכחה‬ 29.3 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ 29.4 32 PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ VIII 32 ?‫הוכחה‬ ‫מערכת‬ ‫מהי‬ 30 32 ‫הוכחה‬ ‫למערכת‬ ‫הדרושים‬ ‫התנאים‬ 31 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫שלמות‬ 31.1 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫נאותות‬ 31.2 33 PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ 32 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫יעילות‬ 32.1 34 IP - ‫אינטראקטיביות‬ ‫הוכחה‬ ‫מערכות‬ IX 34 ‫הבסיסי‬ ‫הרעיון‬ 33 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הדו-שיח‬ ‫פרוטוקול‬ 33.1 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫שלמות‬ 33.2 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫נאותות‬ 33.3 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫יעילות‬ 33.4 35 ‫גרפים‬ ‫של‬ ‫איזומורפיזם‬ - ‫דוגמה‬ 34 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫איזומורפים‬ ‫לגרפים‬ ‫דוגמה‬ 34.1 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GISO, GNISO ‫השפות‬ 34.2 36 GNISO ∈ IP [2] ‫כי‬ ‫ההוכחה‬ 35 36 ‫קבוע‬ K ‫כאשר‬ IP [K] 36 37 (‫המרכזי‬ ‫)המשפט‬ IP ‫הגדרת‬ 37 37 Zero Knowledge-‫ה‬ ‫עיקרון‬ 38 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (NP) ‫קלאסית‬ ‫הוכחה‬ ‫מערכת‬ 38.1 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [IP] ‫אינטראקטיביות‬ ‫הוכחות‬ ‫מערכת‬ 38.2 38 ‫הוכחות‬ X 38 ‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחות‬ 39 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫העצירה‬ ‫בעיית‬ ‫אי-כריעות‬ ‫הוכחת‬ 39.1 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הנחות‬ 39.1.1 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ההוכחה‬ 39.1.2 56
‫האיורים‬ ‫רשימת‬‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ 39.2 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Θ-‫ב‬ ‫טיפול‬ 39.2.1 41 BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ 40 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫הראשון‬ ‫החלק‬ ‫הוכחת‬ 40.1 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫שני‬ ‫החלק‬ ‫הוכחת‬ 40.2 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Θ-‫ב‬ ‫טיפול‬ 40.2.1 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫טופלו‬ ‫שכבר‬ ‫בקלטים‬ ‫טיפול‬ 40.2.2 43 ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 41 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TQBF ∈ D − SPACE ‫וגם‬ TQBF ∈ PSPACE 41.1 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF 41.2 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫קונפיגורציות‬ ‫גרף‬ 41.2.1 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L ≤p TQBF 41.2.2 45 NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫להוכחה‬ ‫כלים‬ 42.1 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ווקטורים‬ ‫על‬ ‫פעולות‬ 42.1.1 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫חיבור‬ 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫פנימית‬ ‫מכפלה‬ 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מטריצות‬ ‫על‬ ‫פעולות‬ 42.1.2 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מטריצות‬ ‫חיבור‬ 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫פנימית‬ ‫מכפלה‬ 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫טנזורית‬ ‫מכפלה‬ 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫וולש-הדמרד‬ ‫קוד‬ 42.1.3 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NP ⊇ PCP (Θ (log n) , Θ (1))-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 42.2 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NP ⊆ PCP (poly (n) , Θ (1))-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 42.3 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . QE ‫שנייה‬ ‫ממעלה‬ ‫משאוות‬ 42.3.1 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 − SAT ≤p QE 42.3.2 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ההוכחה‬ ‫של‬ ‫המרכזי‬ ‫הרעיון‬ - (‫המאמת‬ ‫)של‬ V ‫של‬ ‫תפקידו‬ 42.3.3 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מטריצות‬ ‫עבור‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצרוף‬ ‫עקרון‬ 42.3.4 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ההוכחה‬ ‫של‬ ‫הסינטקטי‬ ‫השלב‬ 42.3.5 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫סיכום‬ 42.4 ‫האיורים‬ ‫רשימת‬ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XOR ‫בולאני‬ ‫למעגל‬ ‫דוגמה‬ 1 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫טיורינג‬ ‫למכונת‬ ‫דוגמה‬ 2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הפולינומית‬ ‫הרדוקציה‬ ‫פעולת‬ 3 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫פולינומית‬ ‫היררכיה‬ 4 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫איזומורפים‬ ‫לגרפים‬ ‫דוגמה‬ 5 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫קנטור‬ ‫של‬ ‫האלכסון‬ 6 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫לדוגמה‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫גרף‬ 7 .‫בלכסון‬ ‫שמתרכזת‬ ‫חלקית‬ ‫בהוכחה‬ ‫אלא‬ ‫מלאה‬ ‫בהוכחה‬ ‫מדובר‬ ‫לא‬25 ‫השני‬ ‫החלק‬ ‫בשביל‬ ‫כאן‬ ‫זה‬ ‫אבל‬ ,‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחה‬ ‫לא‬ ‫זאת‬26 57
‫מפתח‬ 1 ,‫הסתברות‬ 1 ,‫האיחוד‬ ‫חסם‬ 1 ,‫מאורע‬ 2 ,‫בלתי-תלויים‬ ‫מאורעות‬ 4 ,‫בעיית‬ ,‫מינימיזציה‬ 4 ,‫בעיית‬ ,‫מקסימיזציה‬ 24 ,‫הקריסה‬ ‫משפט‬ 2 ,‫מקרי‬ ‫משתנה‬ 1 ,‫מדגם‬ ‫מרחב‬ 8 ,‫בולאניות‬ ‫פונקציות‬ 4 ,‫קירוב‬ ‫פקטור‬ 11 ,‫מצבים‬ ‫קבוצת‬ 26 ,‫קונפיגורציה‬ 4 ,‫קירוב‬ 3 ,‫טיילור‬ ‫קירוב‬ 6 ,MOD ‫שער‬ 17 ,‫-קשה‬C ‫שפה‬ 16 ,‫-קשה‬NP ‫שפה‬ 2 ,‫תוחלת‬ 3 ,‫התוחלת‬ ‫לינאריות‬ D 19 ,DSR 58

More Related Content

PDF
סיכום הקורס בחישוביות
bycsnotes
 
PDF
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
bycsnotes
 
DOCX
Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.docx
byDV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149
 
PDF
Algèbre linéaire cours et exercices corrigés djeddi kamel mostafa
byKamel Djeddi
 
PDF
Anàlisi 1
byjosepmarialluch
 
PDF
S3 algebre i (polycopie du cours)
byMed Bijou
 
PDF
Luận văn: Bài toán Neumann đối với hàm điều hòa, HAY, 9đ
byDịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
DOC
Bài tập tích phân- nguyên hàm
bydiemthic3
 
סיכום הקורס בחישוביות
bycsnotes
 
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
bycsnotes
 
Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.docx
byDV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149
 
Algèbre linéaire cours et exercices corrigés djeddi kamel mostafa
byKamel Djeddi
 
Anàlisi 1
byjosepmarialluch
 
S3 algebre i (polycopie du cours)
byMed Bijou
 
Luận văn: Bài toán Neumann đối với hàm điều hòa, HAY, 9đ
byDịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Bài tập tích phân- nguyên hàm
bydiemthic3
 

What's hot

PPS
23 integrais triplas
byflanucos1968
 
DOC
Limites, derivadas e suas aplicações
byAfonso Celso Siqueira Silva
 
DOC
Dãy số vmo2009
byThế Giới Tinh Hoa
 
PDF
Material sobre a Derivada
byEinstein Rafael
 
PDF
Trig substitution
bydynx24
 
PPTX
Jacobi iterative method
byLuckshay Batra
 
PPTX
5 volumes and solids of revolution i x
bymath266
 
PPTX
8 arc length and area of surfaces x
bymath266
 
PDF
Luận văn: Lớp bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất, HOT
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
PDF
Scp mod p
byĐình Huy
 
PPTX
The mobius function and the mobius inversion formula
byBenjJamiesonDuag
 
PDF
Chap nombres complexes
byKarim Amane
 
PDF
Exercice sur logarithme népérien propose par le prof
byAHMED ENNAJI
 
PDF
04 cours matrices_suites
byFouzia Bch Fouzia Net
 
PDF
סיכום הקורס במבוא להצפנה
bycsnotes
 
PDF
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
byChien Dang
 
PDF
Limite de função de duas variáveis
byRodrigo Thiago Passos Silva
 
PDF
Luận văn: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng, HAY
byDịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
PDF
Bdt thuần nhất
byThế Giới Tinh Hoa
 
PPT
17 tangent planes and total differentials
bymath267
 
23 integrais triplas
byflanucos1968
 
Limites, derivadas e suas aplicações
byAfonso Celso Siqueira Silva
 
Dãy số vmo2009
byThế Giới Tinh Hoa
 
Material sobre a Derivada
byEinstein Rafael
 
Trig substitution
bydynx24
 
Jacobi iterative method
byLuckshay Batra
 
5 volumes and solids of revolution i x
bymath266
 
8 arc length and area of surfaces x
bymath266
 
Luận văn: Lớp bài toán tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất, HOT
byDịch vụ viết bài trọn gói ZALO: 0909232620
 
Scp mod p
byĐình Huy
 
The mobius function and the mobius inversion formula
byBenjJamiesonDuag
 
Chap nombres complexes
byKarim Amane
 
Exercice sur logarithme népérien propose par le prof
byAHMED ENNAJI
 
04 cours matrices_suites
byFouzia Bch Fouzia Net
 
סיכום הקורס במבוא להצפנה
bycsnotes
 
Tính toán khoa học - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân
byChien Dang
 
Limite de função de duas variáveis
byRodrigo Thiago Passos Silva
 
Luận văn: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng, HAY
byDịch Vụ Viết Bài Trọn Gói ZALO 0917193864
 
Bdt thuần nhất
byThế Giới Tinh Hoa
 
17 tangent planes and total differentials
bymath267
 

Similar to סיכום במורכבות החישובים

PDF
סיכום הקורס במורכבות החישובים
bycsnotes
 
PDF
נספח נוסחאות אלגברה לינארית
bycsnotes
 
PDF
Calculus1.pdf
bycsnotes
 
PDF
קיצון - שיעור.pdf
byOmerLevi7
 
PDF
סיכום של הקרוס למידה עמוקה
bycsnotes
 
DOC
שיטות הסתברותיות תרגול מס' 5
byIgor Kleiner
 
PDF
גרפים מקריים רגולריים
byDalya Gartzman
 
PDF
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
bycsnotes
 
PDF
2011 summer A 806 q
bybagrutonline
 
PDF
2013 summer A 806 a
bybagrutonline
 
PDF
מבני נתונים
bycsnotes
 
PDF
סיכום על מטרואידים וזרימות בגרפים
bycsnotes
 
PDF
2014 winter 802 q
bybagrutonline
 
PDF
סיכום הקורס במבנים אלגבריים
bycsnotes
 
DOC
שיטות הסתברותיות - תרגול 10
byIgor Kleiner
 
DOC
שיטות הסתברותיות תרגול מס' 4
byIgor Kleiner
 
PDF
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשב
bycsnotes
 
PDF
General
byShiri Yadin
 
PDF
סיכום של הקורס אלגוריתמים
bycsnotes
 
PDF
שיטות הסתברותיות אונוברסיטת חיפה - תרגול
byIgor Kleiner
 
סיכום הקורס במורכבות החישובים
bycsnotes
 
נספח נוסחאות אלגברה לינארית
bycsnotes
 
Calculus1.pdf
bycsnotes
 
קיצון - שיעור.pdf
byOmerLevi7
 
סיכום של הקרוס למידה עמוקה
bycsnotes
 
שיטות הסתברותיות תרגול מס' 5
byIgor Kleiner
 
גרפים מקריים רגולריים
byDalya Gartzman
 
סיכום הקורס בחישוביות ומורכבות החישובים
bycsnotes
 
2011 summer A 806 q
bybagrutonline
 
2013 summer A 806 a
bybagrutonline
 
מבני נתונים
bycsnotes
 
סיכום על מטרואידים וזרימות בגרפים
bycsnotes
 
2014 winter 802 q
bybagrutonline
 
סיכום הקורס במבנים אלגבריים
bycsnotes
 
שיטות הסתברותיות - תרגול 10
byIgor Kleiner
 
שיטות הסתברותיות תרגול מס' 4
byIgor Kleiner
 
סיכום קצר בקורס "מבוא לתאוריה של מדעי המחשב
bycsnotes
 
General
byShiri Yadin
 
סיכום של הקורס אלגוריתמים
bycsnotes
 
שיטות הסתברותיות אונוברסיטת חיפה - תרגול
byIgor Kleiner
 

More from csnotes

PDF
סיכום של הקורס מבוא להצפנה
bycsnotes
 
PDF
סיכום על בדיקת לינאריות
bycsnotes
 
PDF
סיכום הקורס באבטחת מידע
bycsnotes
 
PDF
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
bycsnotes
 
PDF
תזכורת לגבי הוכחות בשיטת האלכסון
bycsnotes
 
PDF
נספח תזכורות מלוגיקה בולאנית
bycsnotes
 
PDF
סיכום קצר של דברים מתוך הקורס בתורת החישוביות
bycsnotes
 
PDF
סיכום בתחשיב היחסים
bycsnotes
 
PDF
סיכום בלוגיקה
bycsnotes
 
PDF
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
bycsnotes
 
PDF
ModProg.pdf
bycsnotes
 
PDF
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
bycsnotes
 
PDF
סיכום קצר של הקורס במבני נתונים
bycsnotes
 
PDF
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן)
bycsnotes
 
PDF
סיכום קצר על טורי טיילור
bycsnotes
 
PDF
נספחון קצר בתורת הקבוצות
bycsnotes
 
PDF
סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב
bycsnotes
 
PDF
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'
bycsnotes
 
סיכום של הקורס מבוא להצפנה
bycsnotes
 
סיכום על בדיקת לינאריות
bycsnotes
 
סיכום הקורס באבטחת מידע
bycsnotes
 
סיכום הקורס בבינה מלאכותית
bycsnotes
 
תזכורת לגבי הוכחות בשיטת האלכסון
bycsnotes
 
נספח תזכורות מלוגיקה בולאנית
bycsnotes
 
סיכום קצר של דברים מתוך הקורס בתורת החישוביות
bycsnotes
 
סיכום בתחשיב היחסים
bycsnotes
 
סיכום בלוגיקה
bycsnotes
 
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
bycsnotes
 
ModProg.pdf
bycsnotes
 
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
bycsnotes
 
סיכום קצר של הקורס במבני נתונים
bycsnotes
 
סיכום קצר בקורס חדו"א 2 (נספח נוסחאות למבחן)
bycsnotes
 
סיכום קצר על טורי טיילור
bycsnotes
 
נספחון קצר בתורת הקבוצות
bycsnotes
 
סיכום של הקורס כלים מתמטיים למדעי המחשב
bycsnotes
 
סיכום קצר של אלגברה לינארית ב'
bycsnotes
 

סיכום במורכבות החישובים

  • 1.
    ‫הסתברות‬ 1‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫החישובים‬‫מורכבות‬ !‫בסוף‬ ‫עניינים‬ ‫תוכן‬ I ‫חלק‬ ‫חזרה‬ ‫הסתברות‬ 1 ‫מדגם‬ ‫מרחב‬ 1.1 :‫וקביה‬ ‫הטלת‬ ‫עבור‬ ,‫למשל‬ .‫מסוים‬ ‫מאורע‬ ‫עבור‬ ‫שיש‬ ‫האפשרויות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ,‫כלומר‬ .‫המדגם‬ ‫מרחב‬ ‫את‬ Ω-‫ב‬ ‫נסמן‬ .Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∀x ∈ Ω : 0 ≤ Pr (x) ≤ 1 ‫מאורע‬ 1.2 .A ⊆ Ω ,Ω ‫של‬ ‫תת-קבוצה‬ ‫היא‬ ‫מאורע‬ Pr (A) = ∑ x∈A Pr (x) .(‫לתת-בעיות‬ ‫הבעיה‬ ‫את‬ ‫)לחלק‬ ‫פשוטים‬ ‫יותר‬ ‫מאורעות‬ ‫של‬ ‫בצורה‬ ‫אותו‬ ‫ולהציג‬ ‫אותו‬ ‫לפשט‬ ‫נעדיף‬ A ‫מאורע‬ ‫כשיש‬ A ‫מאורע‬ ‫פירוק‬ 1.3 .‫לתתי-מאורעות‬ ‫אחד‬ ‫מאורע‬ ‫שמפרקים‬ ‫או‬ ,‫מאורעות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫כאשר‬ Union Bound ‫האיחוד‬ ‫חסם‬ 1.3.1 Pr (A ∪ B) ≤ Pr (A) + Pr (B) 1
  • 2.
    ‫הסתברות‬ 1‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫והדחה‬‫הכלה‬ 1.3.2 Pr (A ∪ B) = Pr (A) + Pr (B) − Pr (A ∩ B) ‫לפעמים‬ ‫קשה‬ ‫יותר‬ ‫גם‬ ‫ולכן‬ ‫יותר‬ ‫עדין‬ ‫כלי‬ ‫זהו‬ ‫והדחה‬ ‫הכלה‬ .‫והדחה‬ ‫הכלה‬ ‫מאשר‬ ‫יותר‬ ‫גס‬ ‫כלי‬ ‫הוא‬ ‫האיחוד‬ ‫חסם‬ .‫בעיות‬ ‫איתו‬ ‫לפתור‬ ‫מותנית‬ ‫הסתברות‬ 1.4 A ‫מאורע‬ ‫שקרה‬ ‫בהינתן‬ ,‫כלומר‬ ,P (B|A) :‫היא‬ B-‫ב‬ A ‫של‬ ‫המותנית‬ ‫ההסתברות‬ .A, B :‫מאורעות‬ ‫שני‬ ‫לנו‬ ‫נתונים‬ ...‫יקרה‬ B-‫ש‬ ‫ההסתברות‬ ‫מה‬ :‫שיקרו‬ ‫המאורעות‬ ‫שני‬ ‫על‬ ‫מדובר‬ ‫כאשר‬ Pr (A ∩ B) = Pr (A) ‫קודם‬ · Pr (B|A) ‫אח"כ‬ ‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫מאורעות‬ 1.4.1 B-‫ש‬ ‫ההסתברות‬ ‫על‬ ‫ישפיע‬ ‫לא‬ ‫התרחש‬ ‫לא‬ ‫או‬ ‫התרחש‬ A-‫ש‬ ‫שזה‬ ‫אומר‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ ,(‫)ב"ת‬ ‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫המאורעות‬ ‫כאשר‬ .‫יתרחש‬ :‫כזה‬ ‫במקרה‬ Pr (A|B) = Pr (A) , Pr (B|A) = Pr (B) :‫אפשרויות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנן‬ Pr (A|B) > Pr (A) , Pr (B|A) > Pr (B) :‫חיובית‬ ‫תלות‬ Pr (A|B) < Pr (A) , Pr (B|A) < Pr (B) :‫שלילית‬ ‫תלות‬ Pr (A ∩ B) = Pr (A) · Pr (B) :‫אי-תלות‬ :‫אי-תלות‬ ‫ישנה‬ ‫כאשר‬ ,‫כללי‬ ‫ובאופן‬ Pr (A1 ∩ · · · ∩ An) = ∏ 1≤i≤n Pr (Ai) ,∀i : Pr (Ai) = p :‫כלומר‬ ,‫הסתברות‬ ‫אותה‬ ‫את‬ ‫יש‬ ‫המאורעות‬ ‫לכל‬ ‫ואם‬ .Pr (A1 ∩ · · · ∩ An) = pn :‫אזי‬ :‫מאורע‬ ‫לכל‬ ‫קבועה‬ ‫ההסתברות‬ ‫כאשר‬ ‫רעיון‬ ‫אותו‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ ‫איחוד‬ ‫לגבי‬ Pr (A1 ∪ · · · ∪ An) ≤ ∑ 1≤i≤n Pr (Ai) = n · Pr (Ai) .(‫חזק‬ ‫כלי‬ ‫זה‬ ‫)ולכן‬ .‫בלתי-תלויים‬ ‫למאורעות‬ ‫וגם‬ ‫תלויים‬ ‫למאורעות‬ ‫גם‬ ‫נכון‬ ‫וזה‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ 1.5 .f : Ω → R :R-‫ל‬ Ω-‫מ‬ ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ .X, Y, Z, ...-‫ב‬ ‫אותה‬ ‫נסמן‬ ‫אנחנו‬ ‫תוחלת‬ 1.6 .E (f) = µ (f) :‫מסמנים‬ f ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ ‫עבור‬ ‫אשר‬ ,‫משוקלל‬ ‫ממוצע‬ ‫היא‬ ‫תוחלת‬ :‫נשתמש‬ ‫לא‬ ‫שבהן‬ ‫לתוחלת‬ ‫הגדרות‬ ‫שתי‬ 2
  • 3.
    ‫קירוב‬ ‫אלגוריתמי‬ 3‫החישובים‬‫מורכבות‬ $$$$$$$$∑ x∈Ω Pr (x) · f (x) $$$$$$$$$$$∑ V ∈Im(f) Pr (x = V ) · V z .‫התוחלת‬ ‫לינאריות‬ ‫הוא‬ ‫בו‬ ‫שנשתמש‬ ‫הכלי‬ ‫זאת‬ ‫לעומת‬ .(‫לחסם‬ ‫)בדומה‬ ‫עובדת‬ ‫תמיד‬ ‫התוחלת‬ ‫לינאריות‬ E (f + g) = E (f) + E (g) E   ∑ 1≤i≤n fi   = ∑ 1≤i≤n E (fi) ∑ x Pr (x) (f (x) + g (x)) = ∑ x Pr (x) f (x) + ∑ x Pr (x) g (x) :‫יותר‬ ‫קצר‬ ‫בניסוח‬ ‫או‬ E (∑ fi ) = ∑ E (fi) ‫טיילור‬ ‫קירוב‬ 2 :x < 1 2 ‫עבור‬ e x 2 ≤ 1 + x ≤ ex ≤ 1 + 2x :ln ‫נעשה‬ ‫וכעת‬ x 2 ≤ ln (1 + x) ≤ x ≤ ln (1 + 2x) ‫קירוב‬ ‫אלגוריתמי‬ 3 :‫קירוב‬ ‫לאלגוריתמי‬ ‫גרסאות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנן‬ .‫הכרעה‬ .‫חיפוש‬ .‫אופטימיזציה‬ (G ‫גרף‬ ‫)של‬ ‫הקשירות‬ ‫בעיית‬ :‫דוגמה‬ 3.1 (‫קשיר‬ ‫הוא‬ ‫הגרף‬ ‫)האם‬ .G ‫הגרף‬ :‫קלט‬ ?‫קשיר‬ G ‫הגרף‬ ‫האם‬ ‫הכרעה‬ ‫בעיית‬ (?‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫ישנו‬ ‫)האם‬ .‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫מצא‬ ‫חיפוש‬ ‫בעיית‬ (?‫מינימלי‬ ‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫ישנו‬ ‫)האם‬ .‫מינימלי‬ ‫פורש‬ ‫עץ‬ ‫מצא‬ ‫אופטימיזציה‬ ‫בעיית‬ 3
  • 4.
    (k-wise independece) ‫משתנים‬‫של‬ ‫אי-תלות‬ 4‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫ערך‬ ‫פונקציית‬ 3.2 .‫מסוים‬ ‫ערך‬ ‫לנו‬ ‫מחזירה‬ ‫והיא‬ ‫לבעיה‬ ‫מבעיה‬ ‫שמשתנה‬ ‫פונקציה‬ ‫היא‬ ‫ערך‬ ‫פונקציית‬ :‫הקשירות‬ ‫בעיית‬ ‫בדוגמת‬ ,‫למשל‬ ‫קשירות‬ (G, w, T) = {∑ e∈T w (e) T − ‫פורש‬ ‫עץ‬ w (G) + 1 ‫אחרת‬ (‫קבוע‬ ‫)=יחס‬ ‫קירוב‬ ‫פקטור‬ 3.3 .‫קירוב‬ ‫מצאנו‬ ‫אבל‬ ‫האופטימלי‬ ‫הפתרון‬ ‫את‬ ‫לה‬ ‫מצאנו‬ ‫שלא‬ ‫בעיה‬ ‫ישנה‬ .‫באחוזים‬ ‫אותה‬ ‫נמדוד‬ ,‫כלומר‬ - ‫כפלית‬ ‫שגיאה‬ ‫נמדוד‬ .α = 1.1 :‫הקירוב‬ ‫פקטור‬ .(‫)למשל‬ 10% ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫נשלם‬ - ‫מינימיזציה‬ ‫בעיית‬ .‫מקורב‬ ‫מחיר‬ ≤ 1.1· ‫מזערי‬ ‫מחיר‬ :‫כלומר‬ .α = 0.8 ‫הקירוב‬ ‫פקטור‬ .‫מהמקסימום‬ ‫פחות‬ 20% ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫נרוויח‬ - ‫מקסימיזציה‬ ‫בעיית‬ .‫מקורב‬ ‫≥רווח‬ 0.8· ‫מרבי‬ ‫רווח‬ :‫כלומר‬ ‫מדויקות‬ ‫הגדרות‬ 3.3.1 ?α (‫תחרותיות‬ ‫)יחס‬ ‫פקטור‬ ‫מבטיח‬ A ‫אלגוריתם‬ ‫מתי‬ ‫מקסימיזציה‬ (x, A (x)) ≥ ≤1 α. max w sols (x, w) .‫משתפר‬ ‫הקירוב‬ ‫כך‬ α → 1-‫ש‬ ‫ככל‬ .‫אופטימלי‬ ‫למעשה‬ ‫המקורב‬ ‫הפתרון‬ α = 1 ‫כאשר‬ ‫מינימיזציה‬ (x, A (x)) ≤ ≥1 α. min w sols (x, w) .‫רע‬ ‫נהיה‬ ‫הקירוב‬ α → 0 ‫כש‬ .‫משתפר‬ ‫הקירוב‬ ‫כך‬ α → 1-‫ש‬ ‫ככל‬ .‫אופטימלי‬ ‫פתרון‬ ‫למעשה‬ ‫הוא‬ ‫המקורב‬ ‫הפתרון‬ - α = 1 ‫כאשר‬ .‫רע‬ ‫נהיה‬ ‫הקירוב‬ α → ∞-‫כש‬ (k-wise independece) ‫משתנים‬ ‫של‬ ‫אי-תלות‬ 4 .‫ב"ת‬ ‫אחידים‬ ‫מקריים‬ ‫משתנים‬ X, Y ∈ {0, 1} .Z2-‫ב‬ ‫שאיבריו‬ ‫בשדה‬ ‫חיבור‬ - Z = X ⊕ Y ‫שלישי‬ ‫משתנה‬ ‫נגדיר‬ ‫ההסתברות‬ X Y Z 1 4 0 0 0 1 4 0 1 1 1 4 1 0 1 1 4 1 1 0 ‫)אם‬ ‫חזקה‬ ‫מאוד‬ ‫תלות‬ ‫יש‬ ‫בשלשות‬ .‫השלישי‬ ‫את‬ ‫יודעים‬ ‫תמיד‬ - ‫שניים‬ ‫יודעים‬ ‫אם‬ - Y, Z ‫ועל‬ X, Z ‫על‬ ‫להסתכל‬ ‫ניתן‬ .(‫השלישי‬ ‫את‬ ‫יודעים‬ - ‫שניים‬ ‫יודעים‬ .(‫אחידה‬ ‫בהתפלגות‬ ‫הן‬ ‫האפשרויות‬ ‫כל‬ ,‫)כלומר‬ ‫האחר‬ ‫מה‬ ‫יודעים‬ ‫לא‬ ⇐ ‫אחד‬ ‫יודעים‬ ‫אם‬ :‫אי-תלות‬ ‫יש‬ ‫בזוגות‬ 4
  • 5.
    ‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬‫פולינומים‬ 5‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫הכללות‬ 4.1 :‫על‬ ‫נדבר‬ Z2-‫ב‬ ‫שלוש‬ ‫מול‬ ‫משתנים‬ ‫שני‬ ‫במקום‬ .(Zp = {0, 1, ..., p − 1} :‫)תזכורת‬ .‫ראשוני‬ ‫הוא‬ p ‫כאשר‬ Zp-‫ב‬ k + 1 ‫מול‬ ‫משתנים‬ k :‫וב"ת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫מגרילים‬ x1, . . . , xk ∈ Zp :‫עבור‬ ‫אזי‬ xk+1 = (x1 + · · · + xk) mod p .‫(-יות‬k + 1)-‫ב‬ ‫מלאה‬ ‫תלות‬ ‫יש‬ .‫א‬ .‫בשדה‬ ‫אחיד‬ xk+1 .‫ב‬ .‫-יות‬k-‫ב‬ ‫ב"ת‬ ‫הם‬ x1, . . . , xk+1 :‫המקריים‬ ‫המשתנים‬ ‫כל‬ .‫ג‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫עיקרון‬ 4.2 :‫אם‬ .(0 ‫כולם‬ ‫)שלא‬ ‫קבועים‬ a1, . . . , ak ∈ Zp .‫וב"ת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫מוגרלים‬ x1, . . . , xk ∈ Zp :‫אזי‬ .Zp ‫מעל‬ ‫אחיד‬ ‫מתפלג‬ - xk+1 = a1x1 + · · · + akxk .Pr (xk+1 = v) = 1 p :v ∈ Zp ‫לכל‬ ,‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬ ‫פולינומים‬ 5 XOR ‫שער‬ - ‫בולאני‬ ‫למעגל‬ ‫דוגמה‬ 5.1 1 = T, 0 = F :‫תזכורת‬ ‫פלט‬ ?>=<89:;∨ OO1 1 1 ?>=<89:;∧ 66llllllllll ?>=<89:;∧ hh‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚ ?>=<89:;¬ 33ggggggggggggggggg ?>=<89:;¬ kk‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡‡ x1 OO =={{{{ x2 aagggg OO XOR ‫בולאני‬ ‫למעגל‬ ‫דוגמה‬ :1 ‫איור‬ .‫מעגלים‬ ‫ללא‬ ‫מכוון‬ ‫גרף‬ :‫בולאני‬ ‫מעגל‬ .0 ‫כניסה‬ ‫דרגת‬ ‫קלטים‬ .0 ‫יציאה‬ ‫דרגת‬ ‫פלטים‬ 5
  • 6.
    ‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬‫פולינומים‬ 5‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫המעגל‬ ‫חיזוק‬ 5.2 .‫וקטן‬ ‫קבוע‬ ,‫ראשוני‬ ‫הוא‬ q ‫כאשר‬ Zq ‫משדה‬ ‫יהיו‬ (0/1)Z2-‫ב‬ ‫להיות‬ ‫במקום‬ ,‫הביניים‬ ‫תוצאות‬ :MOD ‫שער‬ - ‫נוסף‬ ‫מסוג‬ ‫שער‬ ‫ונוסיף‬ MODq (y1, . . . , ym) = { 0 ∑m i=1 yi = 0 1 ∑m i=1 yi ̸= 0 ‫פולינומים‬ 5.3 (‫יחיד‬ ‫)משתנה‬ ‫הגדרה‬ 5.3.1 P (y) = ∑ 1≤i≤d aiyi .d = deg (P (y))-‫ו‬ ad ̸= 0 ‫כאשר‬ ,‫בשדה‬ ‫קבועים‬ ‫הם‬ ‫-ים‬a-‫ה‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ ‫רב-משתנים‬ ‫לפולינום‬ ‫דוגמה‬ 5.3.2 :5.1 ‫דוגמא‬ 2 · y1 deg=1 +3 · (y2) 4 deg=4 +1 · (y1) 3 · (y2) 2 deg=3+2=5 deg = max {1, 4, 5} = 5 :‫היא‬ ‫הפולינום‬ ‫דרגת‬ ‫ולכן‬ ‫נמוכה‬ ‫מדרגה‬ ‫פולינומים‬ ‫ע"י‬ ‫מעגלים‬ ‫קרוב‬ 5.4 ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ 5.4.1 ‫הגדרה‬ ‫הפלט‬ ‫את‬ ‫מניב‬ Cn (x1, . . . , xn) :‫מתקיים‬ x1, . . . , xn ‫קלט‬ ‫לכל‬ ‫אם‬ ‫חישובית‬ ‫בעיה‬ ‫פותרת‬ {Cn} ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ .‫הנכון‬ ‫יעילות‬ .Cn ‫במעגל‬ ‫הצלעות‬ ‫מספר‬ ‫ע"פ‬ {Cn} ‫של‬ ‫היעילות‬ ‫את‬ ‫למדוד‬ ‫מקובל‬ ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ 5.4.2 ‫הגדרה‬ .‫הנכון‬ ‫הפלט‬ ‫את‬ ‫מניב‬ Pn (x1, . . . , xn) x1, . . . , xn ‫קלט‬ ‫לכל‬ ‫אם‬ ‫חישובית‬ ‫בעיה‬ ‫פותרת‬ {Pn} ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ ‫יעילות‬ .deg (Pn) ‫הפולינום‬ ‫כדרגת‬ {Pn} ‫של‬ ‫היעילות‬ ‫את‬ ‫למדוד‬ ‫מקובל‬ ‫משפט‬ ‫השדה‬ ‫)מעל‬ ‫יחסית‬ ‫קטנה‬ ‫מדרגה‬ ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ ‫ע"י‬ ‫לקרב‬ ‫ניתן‬ ‫יחסית‬ ‫קטן‬ s ‫שערים‬ ‫מספר‬ ‫עם‬ cn ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ ‫כל‬ .(‫ראשוני‬ q ‫כאשר‬ ,Zq .Prx1,...,xn [Pn (x1, . . . , xn) ̸= Cn (x1, . . . , xn)] = o (1) ,‫כלומר‬ .‫לאפס‬ ‫שואף‬ ⇐ o (1) :‫למעלה‬ ‫שלנו‬ ‫ובמקרה‬ , f(n) g(n) −−−−→ n→∞ 0 ‫אם‬ f (n) = o (g (n)) :‫תזכורת‬ 6
  • 7.
    ‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬‫פולינומים‬ 5‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫לפולינומים‬ (‫)מעגלים‬ ‫שערים‬ ‫המרת‬ 5.5 ‫פרמה‬ ‫משפט‬ 5.5.1 :(a p) p-‫ל‬ ‫שזר‬ a ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫ראשוני‬ p ‫אם‬ ap−1 ≡ 1 (mod p) NOT ‫שער‬ 5.5.2 PNOT (y) = 1 − y MOD ‫שער‬ 5.5.3 PMOD (y1, . . . , yn) = ( n∑ i=1 yi )q−1 = { 0 ∑ yi = 0 1 ∑ yi ̸= 0 AND ‫שער‬ 5.5.4 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ PAND (y1, . . . , ym) = m∏ i=1 yi = { 1 ∏ yi = 1 0 ∃i (yi) = 0 :‫זאת‬ ‫ובמקום‬ ‫זאת‬ ‫נפסול‬ ‫לכן‬ - (m) ‫עצומה‬ ‫דרגה‬ ‫בעל‬ ‫אבל‬ ‫מדויק‬ PAND (y1, . . . , ym) = 1 − (POR (1 − y1, . . . , 1 − ym)) OR ‫שער‬ 5.5.5 .‫לשגיאה‬ ‫קטן‬ ‫סיכוי‬ ‫כבר‬ ‫יש‬ ‫ולכן‬ ‫הסתברות‬ ‫מכניסים‬ ‫כבר‬ ‫אנחנו‬ OR-‫ה‬ ‫בשער‬ .(‫מדויק‬ ‫)ולא‬ ‫מקורב‬ ‫פתרון‬ ‫פירושו‬ - P :‫נסמן‬ :(5.5.1) ‫פרמה‬ ‫ובמשפט‬ (4.2) ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫בעיקרון‬ ‫נשתמש‬ POR (y1, . . . , ym) = ( m∑ i=1 aiyi )q−1 .‫וב"ת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫מוגרלים‬ a1, . . . , am ∈ Zq ‫כאשר‬ :‫יהיה‬ ‫הסופי‬ ‫השער‬ ,‫לבסוף‬ POR (y1, . . . , ym) = POR ( P (1) OR (y1, . . . , ym) , . . . , P (r) OR (y1, . . . , ym) ) 7
  • 8.
    ‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬ 7‫החישובים‬‫מורכבות‬ ‫מסכמת‬ ‫טבלה‬ 5.6 Pr (‫)שגיאה‬ deg NOT 0 1 MOD 0 q − 1 OR 1 q q − 1 ‫הגברה‬ ‫לפני‬ 1 qr r (q − 1) ‫הגברה‬ ‫אחרי‬ AND 1 qr r (q − 1) ‫הקירוב‬ ‫משפט‬ 5.7 ‫משפט‬ ‫השדה‬ ‫)מעל‬ {Pn} ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ ‫ע"י‬ ‫לקרב‬ ‫ניתן‬ ,d ‫קבוע‬ ‫בעומק‬ s = 2 O ( n 1 2d ) ‫מגודל‬ {Cn} ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ ‫כל‬ .O ( √ n) - ‫יחסית‬ ‫קטנה‬ ‫מדרגה‬ (‫וקבוע‬ ‫ראשוני‬ q ‫כאשר‬ Zq (‫קירוב‬ ‫)יחס‬ ‫פקטור‬ 6 :‫כרצוננו‬ ‫טוב‬ ‫קירוב‬ ‫לקבל‬ ‫היא‬ ‫מטרה‬ A ‫אלגוריתם‬ ( x ‫קלט‬ , ε ‫דיוק‬ ‫דרישת‬ ) .1 − ε :‫קירוב‬ ‫פקטור‬ - ‫מקסימיזציה‬ ‫בעיית‬ .1 + ε :‫קירוב‬ ‫פקטור‬ - ‫מינימיזציה‬ ‫בעיית‬ Poly ( n, 1 ε ) :‫הריצה‬ ‫זמן‬ .n3 · 2(1 ε ) :‫פולינומי‬ ‫לא‬ ‫ריצה‬ ‫לזמן‬ ‫דוגמה‬ ,n3 · (1 ε )2 :‫פולינומי‬ ‫ריצה‬ ‫לזמן‬ ‫דוגמה‬ ‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬ 7 ‫לינאריות‬ ‫ופונקציות‬ ‫בולאניות‬ ‫פונקציות‬ ‫הגדרת‬ 7.1 :‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫זאת‬ Hn Hn = { h h : {0, 1} n → {0, 1} } :‫למשל‬ f : {0, 1} n → {0, 1} f (⃗x) = n∑ i=1 xi .1 ‫אחרת‬ 0 ‫מחזירה‬ ‫היא‬ ‫זוגי‬ ‫הוא‬ ‫בו‬ ‫האחדות‬ ‫מספר‬ ‫ואם‬ {0, 1}-‫מ‬ ‫המורכב‬ n ‫באורך‬ ‫וקטור‬ ‫המקבלת‬ ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬ .f ∈ Hn ‫כמובן‬ ‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כמות‬ 7.1.1 .2(2n ) = 4n ‫היא‬ ‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כמות‬ :‫הסבר‬ 2n ‫עבור‬ ‫לכן‬ ,‫לפלט‬ ‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אפשרות‬ ‫ולכל‬ ‫קלט‬ ‫לווקטורי‬ ‫אפשרויות‬ 2n ‫לנו‬ ‫יש‬ n ‫באורך‬ ‫וקטור‬ ‫עבור‬ .4n - ‫אפשריות‬ ‫תוצאות‬ 2(2n ) ‫סה"כ‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אפשרויות‬ 8
  • 9.
    ‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬ 7‫החישובים‬‫מורכבות‬ ‫לינאריות‬ ‫פונקציות‬ 7.1.2 :Ln ‫של‬ ‫ההגדרה‬ .‫לינאריות‬ ‫גם‬ ‫שהם‬ ‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫קבוצת‬ ‫זוהי‬ Ln Ln = { h h ∈ Hn ∧ (h (⃗x) + h (⃗y) = h (⃗x + ⃗y)) } .‫כמובן‬ f (x) ∈ Ln :⃗x + ⃗y ‫של‬ ‫ההגדרה‬ (⃗x + ⃗y) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn) ‫הסטטיסטי‬ ‫המרחק‬ 7.2 ‫פונקציות‬ ‫שתי‬ ‫בין‬ ‫הסטטיסטי‬ ‫המרחק‬ 7.2.1 ‫קלטים‬ ‫מגרילים‬ ‫אנחנו‬ :‫הסתברותיים‬ ‫לכלים‬ ‫עוברים‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ,Ω (2n ) :‫עצום‬ ‫הוא‬ f ∈ Hn ‫של‬ ‫הקלטים‬ ‫ומרחב‬ ‫היות‬ .‫תלוי‬ ‫ובלתי‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ .⃗x ∈ {0, 1} n :‫נגדיר‬ ∆ (f, g) = Pr [f (⃗x) ̸= g (⃗x)] :‫אזי‬ 2n -‫ה‬ ‫מתוך‬ ‫קלטים‬ ‫בשני‬ ‫רק‬ ‫נבדלות‬ (‫מהן‬ ‫כרגע‬ ‫משנה‬ ‫)שלא‬ f, g ∈ Hn ‫הפונקציות‬ ‫כי‬ ‫נניח‬ ∆ (f, g) = Pr [f (⃗x) ̸= g (⃗x)] = 2 2n = 1 2n−1 ‫לינארית‬ ‫לפונקציה‬ ‫סטטיסטי‬ ‫מרחק‬ 7.2.2 .‫לינארית‬ ‫אינה‬ f ∈ Hn ‫הפונקציה‬ ‫כי‬ ‫נניח‬ :‫כעת‬ ∆ (f) = min l∈Ln {∆ (f, l)} ‫לינארית‬ ‫פונקציה‬ ‫לבין‬ f ‫בין‬ ‫הבדל‬ ‫פחות‬ ‫כמה‬ ‫שיש‬ ‫זאת‬ - "‫קרובה‬ ‫"הכי‬ ‫הלינארית‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬ .‫כלשהי‬ ‫המרכזי‬ ‫המשפט‬ 7.3 :‫מתקיים‬ f ∈ Hn ‫פונקציה‬ ‫לכל‬ ε (f) ≤ 3 · ∆ (f) (1) ∆ (f) ≤ 3 · ε (f) (2) .ε (f) < 1 6 ‫כאשר‬ ‫רק‬ ‫מתקיים‬ (2) ‫חלק‬ .‫לינארית‬ ‫לפונקציה‬ ‫סטטיסטית‬ ‫קרבה‬ ‫בין‬ ‫קשר‬ ‫לנו‬ ‫נותן‬ ‫המשפט‬ ‫התפלגות‬ ‫שיש‬ ‫)בהנחה‬ ‫הקלט‬ ‫של‬ ‫דגימות‬ ‫עושים‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ,‫לינארית‬ ‫היא‬ ‫הפונקציה‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ‫תמיד‬ ‫ולא‬ ‫היות‬ .(‫לקלטים‬ ‫אחידה‬ 9
  • 10.
    ‫חישובים‬ ‫מורכבות‬ 8‫החישובים‬‫מורכבות‬ II ‫חלק‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונות‬ ‫חישובים‬ ‫מורכבות‬ 8 .‫קוגניטיבית‬ ‫מורכבות‬ ‫על‬ ‫ולא‬ (‫המחשב‬ ‫של‬ ‫)משאבים‬ ‫אלגוריתמית‬ ‫מורכבות‬ ‫על‬ ‫כאן‬ ‫על‬ ‫ידובר‬ ‫אלגוריתם‬ ‫מאפיין‬ ‫מה‬ 8.1 ‫נתונים‬ 8.1.1 (‫)בהתחלה‬ ‫קלט‬ .‫ביניים‬ ‫תוצאת‬ .(‫)בסוף‬ ‫פלט‬ :‫עיקריות‬ ‫תכונות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנן‬ ‫כאשר‬ .‫מוסכם‬ ‫קידוד‬ ‫לכולם‬ ‫יש‬ .1 .(‫סופי‬ ‫הוא‬ ‫גם‬ ‫)הקידוד‬ ‫סופי‬ ‫גודל‬ ‫בעל‬ ‫כולם‬ .2 .(‫גודל‬ ‫בכל‬ ‫להיות‬ ‫יכולים‬ ‫אבל‬ ,‫סופי‬ ‫בגודל‬ ‫הם‬ ,‫)כלומר‬ ‫חסום‬ ‫אינו‬ ‫הנתונים‬ ‫גודל‬ .3 ‫חוקים‬ 8.1.2 :‫תכונות‬ ‫כמה‬ ‫גם‬ ‫ישנן‬ (8.1.1 ‫הנתונים‬ ‫עם‬ ‫לעבוד‬ ‫איך‬ ‫)של‬ ‫החוקים‬ ‫מבחינת‬ .(‫דרכים‬ ‫בכמה‬ ‫חוק‬ ‫חוק‬ ‫לפרש‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬ ,‫)כלומר‬ .‫חד-משמעיים‬ ‫הם‬ ‫החוקים‬ .‫מופעל‬ ‫חוק‬ ‫איזה‬ ‫ידוע‬ (‫צעד‬ ‫)בכל‬ ‫רגע‬ ‫בכל‬ .‫סופי‬ ‫הוא‬ ‫החוקים‬ ‫מספר‬ .‫החישוב‬ ‫מקומיות‬ :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫עובד‬ ‫חוק‬ ‫כל‬ .‫נתונים‬ Θ (1) ‫קרא‬ .1 .‫עליהם‬ ‫מקומית‬ ‫פעולה‬ ‫עשה‬ .2 .‫אחרים‬ ‫נתונים‬ Θ (1) ‫כתוב‬ .3 10
  • 11.
    ‫חישוב‬ ‫מכונות‬ 9‫החישובים‬‫מורכבות‬ ‫היסודית‬ ‫השאלה‬ 8.2 .‫אותה‬ ‫לפתור‬ ‫שיכול‬ ‫אלגוריתם‬ ‫יש‬ (‫חישובית‬ ‫)בעיה‬ ‫בעיה‬ ‫לכל‬ ‫האם‬ ‫בחישוביות‬ ‫היסודית‬ ‫השאלה‬ .‫נכון‬ ‫פלט‬ ‫סופי‬ ‫בזמן‬ ‫מפיקה‬ ‫קלט‬ ‫שעל‬ (‫חישוב‬ ‫)שיטת‬ ‫אלגוריתם‬ ‫ישנו‬ ,‫כלומר‬ (39 ‫בעמוד‬ i ‫בהוכחה‬ ‫העצירה‬ ‫בעיית‬ ‫את‬ ‫לראות‬ ‫)ניתן‬ !‫לא‬ - (1936) ‫טיורינג‬ ‫ע"פ‬ ‫חישוב‬ ‫מכונות‬ 9 :‫החישוב‬ ‫במכונת‬ ‫נתונים‬ ‫של‬ ‫מקומות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנם‬ .‫קלט‬ .1 .‫ביניים‬ ‫תוצאת‬ .2 .‫פלט‬ .3 .‫חסום‬ ‫ולא‬ ‫סופי‬ ‫הוא‬ ‫מאלה‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫הקידוד‬ ‫כאשר‬ ‫קלט‬ ‫סרט‬ △ a b ↑ ‫עבודה‬ ‫סרט‬ △ d c e ↑ ‫פלט‬ ‫סרט‬ △ f g ↑ Σ - ‫וסופי‬ ‫מוסכם‬ ‫מאלף-בית‬ ‫אות‬ ‫תא‬ ‫בכל‬ 9 8 6 7 ‫טיורינג‬ ‫למכונת‬ ‫דוגמה‬ :2 ‫איור‬ ‫החישוב‬ ‫אופן‬ 9.1 .‫סופית‬ Q ‫מצבים‬ ‫קבוצת‬ ‫ישנה‬ :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫מתבצע‬ ‫חישוב‬ ‫מעברים‬ ‫פונקציית‬f (q, σI, σW , σO) = (q′ , σI, dI, σ′ W , dW , σW , dO) .(‫בהתאמה‬ .‫פלט‬ ,‫עבודה‬ ,‫)קלט‬ Input, Work, Output :‫המכונה‬ ‫סרטי‬ ‫שלושת‬ ‫את‬ ‫מסמלים‬ - I, W, O ‫כאשר‬ .σ ∈ Σ, d ∈ {L, S, R} = {Left, Stay, Right} .‫הבא‬ ‫המצב‬ = q′ .(↑-‫ב‬ ‫מסומן‬ ‫זה‬ ‫)אצלנו‬ ‫קורא‬ ‫ראש‬ ‫סרט‬ ‫לכל‬ ‫חישוב‬ ‫מתבצע‬ ‫כיצד‬ 9.1.1 ‫אתחול‬ . ‫ואחריו‬ ‫קלט‬ ‫רשום‬ - ‫קלט‬ ‫סרט‬ . - ‫ריקים‬ - ‫עבודה/פלט‬ ‫סרט‬ .(‫)בהתחלה‬ ‫בקצה‬ ‫הסרטים‬ ‫בכל‬ ‫קורא‬ ‫ראש‬ .‫באתחול‬ ‫המכונה‬ ‫נמצאת‬ ‫ובו‬ qstart ∈ Q ‫מצב‬ ‫יש‬ ‫החישוב‬ ‫עצירת‬ .‫החישוב‬ ‫לעצירה‬ ‫גורמת‬ ‫אליהם‬ ‫שהגעה‬ Q′ ⊆ Q ‫מצבים‬ ‫של‬ ‫תת-קבוצה‬ ‫יש‬ .‫כפלט‬ ‫שנחשב‬ ‫מה‬ ‫זה‬ - ‫העצירה‬ ‫ברגע‬ ‫הפלט‬ ‫בסרט‬ ‫שרשום‬ ‫מה‬ 11
  • 12.
    ‫אוניברסליות‬ 10‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫החישוב‬‫פלט‬ ‫סימון‬ 9.1.2 :‫מסומן‬ ‫החישוב‬ ‫פלט‬ M (x) [x ‫קלט‬ ‫עם‬ M ‫]מכונה‬ .M (x) = ∞ :‫מסמנים‬ ‫צעדים‬ ‫אינסוף‬ ‫מבצע‬ ‫חישוב‬ ‫אם‬ .‫בלבד‬ ‫לקריאה‬ - ‫הקלט‬ ‫סרט‬ .‫בלבד‬ ‫לכתיבה‬ - ‫הפלט‬ ‫סרט‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫של‬ ‫וריאנטים‬ 9.2 ‫מכילה‬ ‫היא‬ ‫מה‬ ‫המכונה‬ ‫וריאנט‬ ‫סופי‬ Σ ,‫פלט‬ ‫סרט‬ ,‫עבודה‬ ‫סרט‬ ,‫קלט‬ ‫סרט‬ ‫סטנדרטית‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫עבודה‬ ‫-סרטי‬k ‫שיש‬ ‫רק‬ ‫סטנדרטית‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫כמו‬ ‫דבר‬ ‫אותו‬ ‫מחוזקת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫סופי‬ Σ ,‫יחיד‬ ‫סרט‬ ‫מוחלשת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫בינארי‬ Σ ,‫יחיד‬ ‫סרט‬ ‫מאוד‬ ‫מוחלשת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ..‫כך‬ ‫נקרא‬ RAM ‫עם‬ ‫למ"ט‬ ‫לכן‬ ‫במ"ט‬ ‫שאין‬ ‫מה‬ ‫אקראית‬ ‫גישה‬ ‫יש‬ ‫מודרני‬ ‫למחשב‬ RAM ‫מחוזקת‬ ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫המרכזי‬ ‫המשפט‬ 9.2.1 :9.1 ‫משפט‬ .‫שקולים‬ ‫המודלים‬ ‫כל‬ .M′ (x) = M (x) :x ‫קלט‬ ‫שלכל‬ ‫כך‬ ‫בינארי‬ Σ ‫יחיד‬ ‫סרט‬ ‫עם‬ ‫מוחלשת‬ M′ ‫מ"ט‬ ‫יש‬ M ‫מודרני‬ ‫מחשב‬ ‫לכל‬ ‫יעילה‬ ‫סימולציה‬ 9.2.2 :‫קבוע‬ c ‫כאשר‬ Time (M′ (x)) ≤ (Time (M (x))) c ‫סימולציה‬ ‫זמן‬ 9.2.3 :‫למכונה‬ ‫ממכונה‬ ‫מעבר‬ ‫בין‬ ‫יש‬ ‫האטה‬ ‫זמן‬ ‫כמה‬ ‫מ"ט‬ ‫מוחלשת‬ ‫מאוד‬ ‫מ"ט‬ ‫מוחלשת‬ O(1) kk ‫מ"ט‬ ‫מחוזקת‬ O(n2 ) kk ‫מ"ט‬ ‫מחוזקת‬ RAM O(n2 ) kk ‫מחשב‬ ‫מודרני‬ O(1) kk ‫אוניברסליות‬ 10 .‫נפרדת‬ ‫מכונה‬ ‫היה‬ ‫אלגוריתם‬ ‫כל‬ ‫טיורינג‬ ‫עד‬ .‫אוניברסלית‬ ‫מכונה‬ ‫היא‬ ‫טיורנג‬ ‫מכונת‬ 12
  • 13.
    ‫חישובית‬ ‫מורכבות‬ 12‫החישובים‬‫מורכבות‬ :10.1 ‫משפט‬ :‫מקיים‬ M ‫מ"ט‬ ‫של‬ ‫קידוד‬ M ‫כאשר‬ - ⟨M⟩ , x - ‫קלט‬ ‫שכל‬ MU ‫אוניברסלית‬ ‫מכונה‬ ‫יש‬ .MU (⟨M⟩ , x) = M (x) :x ‫קלט‬ ‫לכל‬ :‫נכונות‬ .T = Time (M (x)) ‫כאשר‬ Time (MU (⟨M⟩ , x)) ≤ Θ (T · ln T) :‫יעילות‬ ‫אלגוריתם‬ ‫של‬ ‫יעילות‬ 11 :‫אם‬ ‫יעיל‬ ‫יקרא‬ M ‫אלגוריתם‬ max |x|=n (Time (M (x))) = Θ (nc ) .‫קבוע‬ c ‫כאשר‬ .‫הקלט‬ ‫באורך‬ ‫כתלות‬ ‫בזמן‬ ‫יעילות‬ ‫מודדים‬ ‫שאנחנו‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ .‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫רץ‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ ,‫יעיל‬ ‫הוא‬ ‫אלגוריתם‬ ,‫כלומר‬ .‫סביר‬ ‫בזמן‬ ‫מודרני‬ ‫מחשב‬ ‫על‬ ‫רץ‬ - n · log n, n2 , n3 - ‫יעיל‬ .‫יעיל‬ ‫לא‬ ‫בזמן‬ ‫מודרני‬ ‫מחשב‬ ‫על‬ ‫רץ‬ - 2n , n! - ‫יעיל‬ ‫לא‬ III ‫חלק‬ (‫)חזרה‬ ‫חישוביות‬ :‫הבסיסית‬ ‫מהשאלה‬ ‫נתחיל‬ ?‫כריעות‬ ‫לא‬ ‫בעיות‬ ‫יש‬ ‫האם‬ .HALT -‫העצירה‬ ‫בעיית‬ ‫את‬ ‫יש‬ - ‫שכן‬ ‫היא‬ ‫התשובה‬ ‫כריעות‬ ‫לא‬ •HALT ‫כריעות‬ ‫חישובית‬ ‫מורכבות‬ 12 ?(‫קלות‬ ‫שכולן‬ ‫)או‬ ‫קשות‬ ‫כריעות‬ ‫בעיות‬ ‫ישנן‬ ‫האם‬ "‫הבאה‬ ‫השאלה‬ ‫נשאלת‬ ‫כעת‬ ,‫כלומר‬ ‫כריע‬ ‫לא‬ ‫כריע‬ ‫לא‬ :‫או‬ ‫קשה‬ ‫כריע‬ ‫קל‬ ‫כריע‬ ‫קל‬ ‫כריע‬ .‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫פתיר‬ ‫קל‬ .‫פולינומי‬ ‫סופר‬ ‫בזמן‬ ‫אלגוריתם‬ ‫כל‬ ‫קשה‬ ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ 12.1 :‫הגדרה‬ :‫הבאה‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ,T : N → N :‫בהינתן‬ DTIME (T) = Time (T) = { L Θ (T (n)) ‫בזמן‬ L ‫את‬ ‫שמכריעה‬ M ‫מ"ט‬ ‫יש‬ } .(n ‫)או‬ .‫הקלט‬ ‫אורך‬ ‫הוא‬ L ‫כאשר‬ :‫למשל‬ L = { G ‫קשיר‬ ‫גרף‬ G } ∈ Time (n) :Time ‫של‬ ‫מחלקות‬ ‫כמה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫כעת‬ 13
  • 14.
    ‫טבעית‬ ‫בעיות‬ 13‫החישובים‬‫מורכבות‬ Time (2n ) P Time ( n3 ) Time ( n2 ) Time (n) § ¦ ¤ ¥ # " ! 5 4 2 3 ' & $ % 9 8 6 7 :‫היא‬ ‫שלה‬ ‫וההגדרה‬ ‫הפולינומית‬ ‫המחלקה‬ ‫היא‬ P P = ∪ k∈N DTIME ( nk ) (.‫הריצה‬ ‫כדי‬ ‫תוך‬ ‫שקורה‬ ‫מה‬ ‫אלא‬ ‫הפלט/קלט‬ ‫לא‬ ‫היא‬ ‫הבעיה‬ ‫לכן‬ .‫ביט‬ ‫בד"כ‬ ‫הוא‬ ‫הפלט‬ ,‫הכרעה‬ ‫בבעיית‬ ‫ומדובר‬ ‫)היות‬ :12.1 ‫משפט‬ .(‫)סבירות‬ T1, T2 : N → N ‫לכל‬ :T1 ‫בזמן‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ T2 ‫בזמן‬ ‫להכריע‬ ‫שניתן‬ ‫בעיות‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ T1 ln T1 ≪ T2 ‫אם‬ ∃L ∈ DTIME (T2) DTIME (T1) .40 ‫בעמוד‬ ‫נמצאת‬ 1 ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ ‫כריעות‬ ‫אינן‬ ‫)ובפרט‬ Θ (2n )-‫ב‬ ‫כריעות‬ ‫אינן‬ ‫אבל‬ Θ (3n ) :‫בזמן‬ ‫שכריעות‬ ‫בעיות‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ :T1 = 2n , T2 = 3n :‫למשל‬ .(‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫טבעית‬ ‫בעיות‬ 13 ?‫קשות‬ (‫)מעניינות‬ ‫טבעיות‬ ‫בעיות‬ ‫ישנן‬ ‫אם‬ ‫השאלה‬ ?‫טבעית‬ ‫בעיה‬ ‫נגדיר‬ ‫כיצד‬ 13.1 .S (‫השאלה‬ ‫על‬ ‫ְעונה‬) ‫חוקי‬ ‫פתרון‬ ‫למצוא‬ ‫צריך‬ ,‫קלט‬ ‫בהינתן‬ ,‫כלומר‬ ,‫חיפוש‬ ‫בבעיות‬ ‫נתמקד‬ ‫טבעית‬ ‫בעיה‬ ‫להגדיר‬ ‫כדי‬ ?‫טבעית‬ ‫לא‬ ‫חיפוש‬ ‫בעיית‬ ‫נגדיר‬ ‫איך‬ 13.2 .x ‫לקלט‬ ‫ביחס‬ ‫חוקי‬ ‫פתרון‬ S ‫האם‬ ,‫ביעילות‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬ ,S ‫פתרון‬ ‫הצעת‬ ‫בהינתן‬ ‫אפילו‬ :‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫מתקיים‬ ‫אם‬ ‫טבעית‬ ‫נקראת‬ ‫חיפוש‬ ‫בעיית‬ ,‫אחרות‬ ‫במילים‬ .x ‫לקלט‬ ‫ביחס‬ ‫חוקי‬ ‫פתרון‬ S ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ,(‫פתרון‬ ‫)הצעת‬ S ‫בהינתן‬ :13.1 ‫דוגמא‬ ‫כלשהו‬ ‫מספר‬ - n ,‫מספרים‬ ‫של‬ A ‫קבוצה‬ ‫לנו‬ ‫נתונה‬ ‫שבה‬ (SUBSET-SUM) ‫הסכום‬ ‫בעיית‬ ‫את‬ ‫למשל‬ ‫ניקח‬ .‫בלכסון‬ ‫שמתרכזת‬ ‫חלקית‬ ‫בהוכחה‬ ‫אלא‬ ‫מלאה‬ ‫בהוכחה‬ ‫מדובר‬ ‫לא‬1 14
  • 15.
    NP ‫המחלקה‬ 14‫החישובים‬‫מורכבות‬ :‫שיתקיים‬ ‫כך‬ S ⊆ A ‫תת-קבוצה‬ ‫קיימת‬ ‫האם‬ :‫היא‬ ‫והשאלה‬ |S| ∑ i=0 Si = n ?n ‫הוא‬ ‫אבריה‬ ‫שסכום‬ (S) A ‫של‬ ‫תת-קבוצה‬ ‫קיימת‬ ‫האם‬ - ‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫או‬ .A ‫של‬ ‫תת-קבוצה‬ ‫זוהי‬ S-‫ו‬ ,n ‫והחסם‬ (A) ‫הקבוצה‬ ‫זאת‬ x ‫כאן‬ ‫כלומר‬ :13.2 ‫דוגמא‬ ‫ליטרלים‬ k ‫יש‬ ‫שלו‬ ‫פסוקית‬ ‫שבכל‬ CNF ‫פסוק‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫שבה‬ ‫בעיה‬ .k − SAT-‫ה‬ ‫בעיית‬ ‫היא‬ ‫נוספת‬ ‫דוגמה‬ :‫למשל‬ .(‫שלילתם‬ ‫או‬ ‫)משתנים‬ C = ∧  α1 ∨ · · · ∨ αk ‫ליטרלים‬ k   .αi ∈ {x1, . . . xn, x1, . . . , xn} :‫מתקיים‬ 1 ≤ i ≤ k ‫לכל‬ ‫כאשר‬ .‫אמת‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫תתן‬ C ‫)כלומר‬ C = T-‫ש‬ ‫כך‬ - xi ∈ {T, F} :i ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫השמה‬ ‫ישנה‬ ‫האם‬ ‫היא‬ ‫השאלה‬ .(C ‫את‬ ‫תספק‬ ‫ההשמה‬ .‫השמה‬ ‫תהיה‬ S-‫ו‬ ,(φ ‫הפסוקית‬ ‫של‬ ‫קידוד‬ ‫שזה‬ ‫בגלל‬ ‫זה‬ ⟨⟩-‫)ה‬ ⟨φ⟩-‫ב‬ ‫שנסמנה‬ ‫הפסוקית‬ ‫תהיה‬ x ‫כאן‬ ‫אזי‬ .‫טבעית‬ ‫שלה‬ ‫החיפוש‬ ‫גרסת‬ ‫אם‬ ‫טבעית‬ ‫נקראת‬ ‫הכרעה‬ ‫בעיית‬ :‫ביעילות‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ :(‫פתרון‬ - S ,‫קלט‬ - x) ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫יש‬ M (x, S) = { Accept x − ‫ל‬ ‫ביחס‬ ‫חוקי‬ S Reject ‫אחרת‬ NP ‫המחלקה‬ 14 :‫דברים‬ ‫שלושה‬ ‫לקיים‬ ‫צריכה‬ ‫היא‬ ,L ∈ NP ‫כלומר‬ ,NP ‫למחלקה‬ ‫שייכת‬ ‫תהיה‬ L ‫ששפה‬ ‫בשביל‬ ‫תקבל‬ ‫היא‬ ‫אם‬ ‫אמת‬ ‫תחזיר‬ ,‫השפה‬ ‫את‬ ‫שמכריעה‬ M ‫)המכונה‬ L ‫בשפה‬ ‫נמצא‬ x ‫הקלט‬ ,‫כלומר‬ ,x ∈ L ‫אם‬ ‫שלמות‬ :(‫כקלט‬ x ‫את‬ ∃S ⇒ M (x, S) = Accept :‫אזי‬ ,x /∈ L ‫אם‬ ‫נאותות‬ ∀S ⇒ M (x, S) = Reject :‫קבוע‬ c, d, f < 0 ‫עבור‬ ‫יעילות‬ Time (M (x, S)) ≤ Θ (|x| c ) :‫נדרוש‬ ,‫הרבה‬ ‫מאיתנו‬ ‫יידרש‬ ‫לא‬ ‫הפתרון‬ ‫שגם‬ ‫כדי‬ ‫אבל‬ Time (M (x, S)) ≤ Θ ( (|x| + |S|) d ) .|S| ≤ Θ ( |x| f ) :‫הוא‬ ‫שלהן‬ ‫שהאורך‬ ‫פתרונות‬ ‫על‬ ‫רק‬ (‫כימות‬ ‫נעשה‬ ‫)או‬ ‫נדרוש‬ ‫לכן‬ 15
  • 16.
    ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ -(Karp) ‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ 15‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :1 ‫הסבר‬ ‫קיים‬ x ∈ L ‫אם‬ ‫אזי‬ ,S ‫פתרון‬ ‫והצעת‬ x ‫קלט‬ ‫מקבלת‬ ‫והיא‬ L ‫השפה‬ ‫את‬ ‫שמכריעה‬ M ‫מכונה‬ ‫לנו‬ ‫ונתונה‬ ‫נניח‬ .‫אמת‬ ‫תחזיר‬ ‫המכונה‬ x ‫את‬ ‫נכניס‬ ‫אם‬ ‫שבו‬ (‫לפחות‬ ‫)אחד‬ ‫חוקי‬ ‫פתרון‬ .‫מהשפה‬ ‫חלק‬ ‫לא‬ ‫הוא‬ x ‫כי‬ ‫אותו‬ ‫תדחה‬ ‫תמיד‬ ‫המכונה‬ - ‫נקבל‬ S ‫פתרון‬ ‫איזה‬ ‫משנה‬ ‫לא‬ ‫אזי‬ x /∈ L ‫אם‬ ,‫שני‬ ‫מצד‬ ,(‫מהשפה‬ ‫חלק‬ ‫הוא‬ ‫)כי‬ ‫אמת‬ ‫עבורו‬ ‫שיחזיר‬ ‫פתרון‬ ‫לקבל‬ ‫לדעת‬ ‫צריכה‬ ‫המכונה‬ - x ∈ L ‫אם‬ ,‫אחד‬ ‫מצד‬ ,‫כלומר‬ .(....‫אותה‬ "‫"לרמות‬ ‫ניתן‬ ‫יהיה‬ ‫)שלא‬ x /∈ L- ‫במידה‬ ‫פתרון‬ ‫כל‬ ‫לדחות‬ ‫לדעת‬ ‫צריכה‬ ‫גם‬ ‫היא‬ ‫שני‬ ‫מצד‬ .‫הכרחיות‬ ‫אלו‬ ‫תכונות‬ ‫שתי‬ ‫לכן‬ ‫המחשב‬ ‫במדעי‬ ‫המרכזית‬ ‫הבעיה‬ 14.1 ?‫קלה‬ ‫היא‬ ‫טבעית‬ ‫בעיה‬ ‫שכל‬ ‫או‬ ?‫קשות‬ ‫טבעית‬ ‫בעיות‬ ‫ישנן‬ ‫האם‬ ‫היא‬ ‫השאלה‬ ‫טבעיות‬ NP ‫קשות‬ ‫טבעיות‬ P ‫קלות‬ :‫או‬ P = NP ‫קלות‬ P NP P = NP ‫מייצגת‬ ‫בעיה‬ 14.2 .‫מייצגת‬ ‫בעיה‬ ,‫כלומר‬ ,‫נציג‬ (P, NP, ...) ‫מחלקה‬ ‫לכל‬ ‫למצוא‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫הניסיון‬ :‫מייצגת‬ ‫תהיה‬ ‫שהיא‬ ‫כדי‬ ‫הדרישות‬ ‫אלו‬ C ‫מהמחלקה‬ L ‫שפה‬ ‫עבור‬ .L ∈ C .1 .C-‫ב‬ 2 ‫קשה‬ ‫הכי‬ L .2 :‫לזכור‬ ‫כדאי‬ .‫קשה‬ C ⇐ ‫קשות‬ ‫בעיות‬ C-‫ב‬ ‫⇐יש‬ ‫קשה‬ L ‫אם‬ .‫קלה‬ C ⇐ ‫קלות‬ C-‫ב‬ ‫הבעיות‬ ‫כל‬ ⇐ ‫קלה‬ L ‫אם‬ ?"‫קשה‬ ‫"הכי‬ ‫נגדיר‬ ‫איך‬ 14.2.1 .L′ ‫כמו‬ ‫לפחות‬ ‫קשה‬ L ‫יתקיים‬ L′ ∈ C ‫לכל‬ :14.1 ‫הגדרה‬ .L′ ‫להכרעת‬ ‫יעיל‬ ‫לאלגוריתם‬ ‫להסב‬ ‫ניתן‬ L ‫להכרעת‬ ‫יעיל‬ A ‫אלגוריתם‬ ‫כל‬ ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ - (Karp) ‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ 15 .‫בתשובה‬ ‫לגעת‬ ‫בלי‬ L-‫ל‬ L′ ‫של‬ ‫מקלט‬ ‫אחת‬ ‫שאילתה‬ ‫לבצע‬ ‫אפשרות‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫שבה‬ L-‫ל‬ L′ -‫מ‬ ‫רדוקציה‬ ‫זוהי‬ L-‫ל‬ ‫כקלט‬ ‫שולחים‬ ‫שאותה‬ f (x) ‫ופונקציה‬ L′ -‫ל‬ ‫כקלט‬ ‫אותו‬ ‫ששולחים‬ x ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כלומר‬ :‫מתקיימים‬ ‫הבאים‬ ‫התנאים‬ ‫שני‬ ‫כאשר‬ .x ∈ L′ ⇐⇒ f (x) ∈ L .‫א‬ .‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫חשיבה‬ ‫הפונקציה‬ ‫כלומר‬ .(‫קבוע‬ c ‫)כאשר‬ Time (f (x)) = Θ (|x| c ) .‫ב‬ .L′ ≤p L :‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫הרדוקציה‬ ‫את‬ ‫מסמנים‬ .‫יותר‬ ‫גדול‬ ‫ריצה‬ ‫זמן‬ = ‫קושי‬ ‫יותר‬ ,‫כלומר‬ ,‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫מבחינת‬ ‫לקושי‬ ‫הכוונה‬2 16
  • 17.
    ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ -(Karp) ‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ 15‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :15.1 ‫דוגמא‬ :‫הבאות‬ ‫השפות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ .A2 = { x x 2 ∈ N } ,A1 = { x ‫ראשוני‬ x, x ≥ 3 } .‫הזוגיים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ = A2-‫ו‬ ,3-‫מ‬ ‫הגדולים‬ ‫הראשוניים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ = A1 :‫הבאה‬ ‫הרדוקציה‬ ‫להיות‬ ‫יכולה‬ A1 ≤p A2 ,‫אזי‬ .x ∈ N :‫קלט‬ .f (x) ∈ N :‫פלט‬ .x ‫את‬ ‫קרא‬ .‫א‬ .3-‫מ‬ ‫וגדול‬ ‫ראשוני‬ x ‫האם‬ ‫בדוק‬ .‫ב‬ .x + 1 ‫את‬ ‫החזר‬ :‫כן‬ ‫אם‬ 1. .x ‫את‬ ‫החזר‬ :‫אחרת‬ 2. :‫הבאה‬ ‫הפונקציה‬ ‫זאת‬ ‫כאן‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ f (x) = { x + 1 ‫ראשוני‬ x ≥ 3 x ‫אחרת‬ .f (x) = 18 ∈ A2-‫ו‬ x = 17 ∈ A1 :‫ואכן‬ f (x) = 18 ‫אזי‬ x = 17 ‫למשל‬ ‫ניקח‬ ‫ואם‬ .f (x) = 27 /∈ A2-‫ו‬ x = 27 /∈ A1 ‫אזי‬ x = 27 ‫ניקח‬ ‫אם‬ :‫זאת‬ ‫ולעומת‬ .(‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫חשיבה‬ f-‫ש‬ ‫)וכמובן‬ ‫בדוגמה‬ ‫שיש‬ ‫)מה‬ ‫אחרת‬ ‫לשפה‬ ‫אותה‬ ‫לנו‬ ‫מתרגמת‬ ‫רק‬ ‫אלא‬ ‫בעיה‬ ‫לנו‬ ‫פותרת‬ ‫אינה‬ ‫שהיא‬ - ‫הרדוקציה‬ ‫לגבי‬ ‫לזכור‬ ‫כדאי‬ ‫ברדוקציות‬ ,‫הבעיות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫שניתן‬ ‫כמובן‬ ,‫הרעיון‬ ‫את‬ ‫להמחיש‬ ‫יותר‬ ‫שבאה‬ ‫פשוטה‬ ‫מאוד‬ ‫דוגמה‬ ‫זאת‬ 15.1 ‫הפלט‬ ‫על‬ ‫תעבוד‬ ‫והפונקציה‬ ‫לפתרון‬ ‫כבדיקה‬ "‫ב"עד‬ ‫נשתמש‬ ‫ולכן‬ ,‫הבעיה‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫איך‬ ‫נדע‬ ‫תמיד‬ ‫לא‬ ‫יותר‬ ‫מתקדמות‬ .(13.2-‫ב‬ ‫שהוסבר‬ ‫כפי‬ ,‫למאמת‬ ‫העד‬ ‫מהכנסת‬ ‫שיוחזר‬ :‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫בעצם‬ ‫זה‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ,‫לכן‬ L′ x• (L′ )C x• Lf(x) LCf(x) %% 99 ‫הפולינומית‬ ‫הרדוקציה‬ ‫פעולת‬ :3 ‫איור‬ ‫מעבירה‬ ‫רק‬ ‫הרדוקציה‬ .‫בשפה‬ ‫אינו‬ ‫שהוא‬ ‫או‬ ‫בשפה‬ ‫שהוא‬ ‫או‬ (x) ‫קלט‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ ,‫שיש‬ ‫הקלטים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מסמל‬ ‫עיגול‬ ‫כל‬ .‫אותה‬ ‫פותרת‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ‫לשנייה‬ ‫אחת‬ ‫מבעיה‬ ‫אותנו‬ .f (x) /∈ L2 ‫בהכרח‬ ‫אזי‬ x /∈ L1 ‫אם‬ ‫אזי‬ ,L1 ≤p L2 ‫רדוקציה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .‫ועל‬ ‫חח"ע‬ ‫בהכרח‬ ‫אינן‬ ‫אך‬ ‫ההפרדה‬ ‫על‬ ‫שומרות‬ (‫)הרדוקציות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כי‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬ ‫-שלמה‬C ‫שפה‬ 15.1 :15.1 ‫הגדרה‬ :‫מתקיים‬ L ∈ C ‫לכל‬ ‫אם‬ ,(C ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקת‬ ‫עבור‬ ‫)קשה‬ ‫-קשה‬C ‫הינה‬ L L ≤p L 17
  • 18.
    ‫ואופטימיזציה‬ ‫חיפוש‬ ,‫הכרעה‬‫של‬ ‫גרסאות‬ ‫בין‬ ‫שקילות‬ 16‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .‫-שלמה‬C ‫נקראת‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ L ∈ C ‫אם‬ :‫אזי‬ ,(‫-שלמה‬NP ‫הינה‬ L ,‫)כלומר‬ L ∈ NPC ‫תהי‬ .NP P ‫קשה‬ ‫מחלקה‬ NP ‫אז‬ L /∈ P ,‫כלומר‬ ,"‫"קשה‬ L ‫אם‬ .‫א‬ .NP ⊆ P ‫קלה‬ ‫מחלקה‬ NP ‫אז‬ ,L ∈ P ,‫כלומר‬ ,"‫"קלה‬ L ‫אם‬ .‫ב‬ ‫ואופטימיזציה‬ ‫חיפוש‬ ,‫הכרעה‬ ‫של‬ ‫גרסאות‬ ‫בין‬ ‫שקילות‬ 16 .‫האופטימיזציה‬ ‫גרסת‬ ‫את‬ ‫שמגדירה‬ ‫קלה‬ ‫ערך‬ ‫פונקציית‬ ‫יש‬ Karp ‫של‬ ‫הבעיות‬ 22 ‫ובפרט‬ ‫שלמות‬ NP-‫ה‬ ‫הבעיות‬ ‫למרבית‬ :‫הגדרה‬ ‫מעצם‬ ‫הכרעה‬ ‫גרסת‬ ≤ ‫חיפוש‬ ‫גרסת‬ ≤ ‫אופטימיזציה‬ ‫גרסת‬ .‫יעיל‬ ‫חישוב‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ‫שקולות‬ ‫כולם‬ ‫למעשה‬ 3 − SAT ‫דוגמת‬ 16.1 :‫מצבים‬ ‫שני‬ ‫רק‬ ‫ישנם‬ 3 − SAT ‫עבור‬ .‫קשות‬ ‫שהן‬ ‫או‬ ‫קלות‬ ‫הגרסאות‬ ‫ששלושת‬ ‫או‬ ‫שקילות‬ ‫דוגמת‬ 16.1.1 .‫החיפוש‬ ‫לגרסת‬ ‫יעיל‬ ‫אלגוריתם‬ ‫יש‬ NP-‫ב‬ ‫בעיה‬ ‫לכל‬ ‫אזי‬ P = NP ‫אם‬ :‫האלגוריתם‬ .‫החיפוש‬ ‫להכרעת‬ B ‫יעיל‬ ‫אלגוריתם‬ ‫נראה‬ 3 SAT ‫להכרעת‬ ‫יעיל‬ A ‫אלגוריתם‬ ‫בהינתן‬ φ (x1, . . . , xn) :‫קלט‬ ."‫ספיקה‬ ‫לא‬ φ"‫ש‬ ‫ומכריז‬ ‫עוצר‬ ‫החיפוש‬ ‫אלגוריתם‬ ‫אזי‬ ‫ספיקה‬ ‫לא‬ φ-‫ש‬ ‫קובע‬ A ‫אם‬ .‫א‬ :‫אחרת‬ .‫ב‬ :n ‫עד‬ 1-‫מ‬ ‫החל‬ i ‫משתנה‬ ‫לכל‬ (1) -‫ש‬ ‫סופית‬ ‫נקבע‬ ‫אזי‬ ‫ספיקה‬ ‫נוסחה‬ φ (x1 ← v1, . . . , xi ← T, . . . xn ← vn) :‫כי‬ ‫קובע‬ A ‫אם‬ .i .‫הבא‬ ‫למשתנה‬ ‫ונמשיך‬ xi = T .xi = F-‫ש‬ ‫סופית‬ ‫נקבע‬ :‫אחרת‬ .ii :‫האלגוריתם‬ ‫ריצת‬ ‫זמן‬ Θ (n · Time (A)) .P-‫ב‬ ‫הנ"ל‬ ‫האלגוריתם‬ ‫גם‬ ‫אזי‬ A ∈ P-‫ש‬ ‫ובכלל‬ :2 ‫הסבר‬ ‫השמה‬ ‫ישנה‬ ‫כי‬ ‫שקבע‬ A ‫אלגוריתם‬ ‫באותו‬ ‫השתמשנו‬ ,‫כלומר‬ ,‫ספיקה‬ ‫היא‬ φ ‫כי‬ ‫לנו‬ ‫נאמר‬ ‫באלגוריתם‬ ‫השני‬ ‫בשלב‬ ‫עוברים‬ ‫אנחנו‬ ‫ולכן‬ .‫אותה‬ ‫תספק‬ φ-‫ל‬ ‫שההשמה‬ ‫כך‬ T/F ‫בולאנית‬ ‫השמה‬ ‫קיימת‬ xi ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,φ-‫ל‬ ‫מספקת‬ ‫ערך‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫נציב‬ ‫)כאשר‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫תתן‬ F-‫ש‬ ‫בוודאי‬ ‫אז‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫תתן‬ ‫לא‬ T ‫ואם‬ ‫משתנה‬ ‫משתנה‬ .φ-‫ל‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫אין‬ ‫כי‬ ‫מגלים‬ ‫היינו‬ ‫הראשון‬ ‫בשלב‬ ‫כבר‬ ‫אחרת‬ .(‫במשתנה‬ ."‫שחורה‬ ‫"קופסה‬ ‫בתור‬ ‫בו‬ ‫משתמשים‬ ‫ואנחנו‬ ‫קיים‬ ‫שהוא‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אבל‬ ,A ‫אלגוריתם‬ ‫אותו‬ ‫מהו‬ ‫יודעים‬ ‫לא‬ ‫שאנחנו‬ ‫לזכור‬ ‫חשוב‬3 18
  • 19.
    coNP ‫המחלקה‬ 19‫החישובים‬‫מורכבות‬ DSR ‫שיטת‬ 17 ‫הקלט‬ ‫כמות‬ ‫את‬ ‫במעט‬ ‫הורדנו‬ ‫פעם‬ ‫כל‬ ‫אנחנו‬ (3−SAT ‫בעיית‬ ‫עבור‬ ‫השקילות‬ ‫)דוגמת‬ 16.1.1-‫ב‬ ‫באלגוריתם‬ ‫שראינו‬ ‫כמו‬ .‫הנתון‬ ....‫בודקים‬ ‫ואז‬ ‫הקלט‬ ‫את‬ ‫מפחיתים‬ ‫אנחנו‬ ‫פעם‬ ‫שכל‬ ‫הרעיון‬ - Downward Self Reducibility - DSR :‫נקרא‬ ‫זה‬ ‫דבר‬ (‫-דטרמיניסטי‬ ‫לא‬ ‫חישוב‬ NP ‫)הגדרת‬ ‫מטל"ד‬ 18 ‫עוברים‬ - ‫לאחרת‬ ‫אחת‬ ‫קונפיגורציה‬ ‫מכל‬ ‫שעוברים‬ ‫במקום‬ ‫שבה‬ ‫מכונה‬ ‫היא‬ (‫דטרמיניסטית‬ ‫לא‬ ‫טיורינג‬ ‫)מכונת‬ ‫מטל"ד‬ .‫אחת‬ ‫מקונפיגורציה‬ ‫ליותר‬ δ (q, σ1, . . . , σk) δ (q, σ1, . . . , σk) 55kkkkkkkkkkk ))‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚ ... δ ( q, σ (l) 1 , . . . , σ (l) k ) .‫שונות‬ ‫תוצאות‬ x ‫אותו‬ ‫על‬ M ‫של‬ ‫שונות‬ ‫בהרצות‬ ‫יתכנו‬ ‫לכן‬ .T (n) ≤ Θ (|x| c ) :‫אפשרית‬ ‫ריצה‬ ‫ולכל‬ x ‫שלכל‬ ‫כך‬ C ‫קבוע‬ ‫ישנו‬ ‫אם‬ ‫יעילה‬ ‫היא‬ ‫כי‬ M ‫כל‬ ‫נאמר‬ :(‫הרצות‬ ‫כמה‬ ‫בפועל‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫)אשר‬ x ‫על‬ M ‫של‬ ‫אפשרית‬ ‫הרצה‬ ‫בכל‬ ‫כל‬ ,‫זאת‬ ‫לעומת‬ ‫אם‬ .M (x) = Accept ‫כי‬ ‫נאמר‬ ‫אזי‬ ,Accept-‫ב‬ ‫שמסיימת‬ ‫מסוים‬ ‫קלט‬ ‫על‬ ,‫אחת‬ ‫הרצה‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬ M (x) = ‫כי‬ ‫נאמר‬ ‫אזי‬ ,Accept-‫ב‬ ‫שמסתיימת‬ ‫אחת‬ ‫הרצה‬ ‫אפילו‬ ‫אין‬ ,‫קרי‬ ,Reject-‫ב‬ ‫מסתימות‬ ‫האפשריות‬ ‫ההרצות‬ .Reject .NPnd-‫ב‬ ‫הזה‬ ‫מהסוג‬ ‫המכונות‬ ‫של‬ ‫המחלקה‬ ‫את‬ ‫נסמן‬ :18.1 ‫משפט‬ NPnd = NP∃ .(14) NP ‫המחלקה‬ ‫של‬ ‫הרגילה‬ ‫ההגדרה‬ ‫זאת‬ NP∃ ‫כאשר‬ coNP ‫המחלקה‬ 19 coC ‫המחלקה‬ 19.1 :‫הבא‬ ‫באופן‬ coC ‫את‬ ‫להגדיר‬ ‫תמיד‬ ‫ניתן‬ C ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקת‬ ‫בהינתן‬ coC = { L LC ∈ C } = { LC L ∈ C } .(‫החישוביות‬ ‫בתורת‬ ‫שנהוג‬ ‫)כמו‬ ‫שפה‬ ‫על‬ ‫ולא‬ x ‫קלט‬ ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫שאנחנו‬ ‫לציין‬ ‫חשוב‬ .x /∈ L ⇐⇒ x ∈ LC :‫וההפך‬ x ∈ L ⇐⇒ x /∈ LC :‫כלומר‬ L LC •x •y .x /∈ LC , y /∈ L :‫ולכן‬ ,x ∈ L, y ∈ LC :‫למשל‬ ‫שלמעלה‬ ‫באיור‬ 19
  • 20.
    coNP ‫המחלקה‬ 19‫החישובים‬‫מורכבות‬ coP = P 19.2 .(‫)ביעילות‬ ‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫השפות‬ ‫שתי‬ ‫ואת‬ ‫היות‬ coP = P ‫כי‬ ‫לומר‬ ‫ניתן‬ P ‫המחלקה‬ ‫של‬ ‫במקרה‬ .‫ל"ד‬ ‫נתונים‬ ‫ובלי‬ ‫כמתים‬ ‫בלי‬ ‫מוגבלים‬ ‫במשאבים‬ ‫חישוב‬ ‫ע"י‬ ‫שמוגדרת‬ ‫מחלקה‬ ‫היא‬ P .‫וההפך‬ ‫מקבלים‬ ‫ללא‬ ‫המקבלים‬ ‫המצבים‬ ‫את‬ ‫להפוך‬ ‫הוא‬ P ‫של‬ ‫במקרה‬ ‫לעשות‬ ‫שצריך‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫לפתור‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ (‫)עד‬ ‫נכון‬ ‫הוא‬ ‫פתרון‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ NP-‫שב‬ ‫מכיוון‬ ‫יותר‬ ‫מורכב‬ ‫כבר‬ ‫המצב‬ coNP-‫ב‬ .‫העדים‬ ‫מבחינת‬ ‫הפוך‬ coNP ‫את‬ ‫להגדיר‬ ‫הוא‬ ‫שנצטרך‬ ‫מה‬ ‫לכן‬ ,‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫הבעיה‬ ‫את‬ ‫מצב‬ ← M-‫ב‬ ‫מקבל‬ ‫שמצב‬ ‫לכך‬ ‫פרט‬ M ‫למכונה‬ ‫שזהה‬ MC ‫במכונה‬ ‫נביט‬ T (n) ‫בזמן‬ L ‫את‬ ‫מכריעה‬ M ‫אם‬ .MC -‫ב‬ ‫מקבל‬ ‫מצב‬ ← M-‫ב‬ ‫דוחה‬ ‫ומצב‬MC -‫ב‬ ‫דוחה‬ Time (M (x)) = Time ( MC (x) ) .Θ-‫ב‬ ‫צורך‬ ‫אין‬ ‫שאפילו‬ ‫כך‬ ‫לחלוטין‬ ‫זהה‬ ‫וזה‬ coNP = { L LC ∈ NP } = { LC L ∈ NP } :coNP-‫ב‬ ‫נמצאות‬ ‫אשר‬ ‫שפות‬ ‫שתי‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ :19.1 ‫דוגמא‬ :φ ‫נוסחה‬ ‫של‬ ‫הספיקות‬ ‫לבעיית‬ ‫באשר‬ (SAT) C = SATC = { ⟨φ⟩ ‫ספיקה‬ ‫לא‬ φ } .SATC -‫ב‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ ‫ספיקה‬ ‫אינה‬ ‫היא‬ ‫ואם‬ SAT-‫ב‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ ‫ספיקה‬ ‫נוסחה‬ ‫היא‬ φ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ :19.2 ‫דוגמא‬ :‫בגרפים‬ ‫צביעה‬ ‫בעיית‬ .‫3-צביע‬ ‫הוא‬ G ‫גרף‬ ‫האם‬ (3 − COL) C = { ⟨G⟩ ‫3-צביע‬ ‫אינו‬ G } .‫המשלימה‬ ‫השפה‬ ‫את‬ ‫חיפשנו‬ ‫שלמעלה‬ ‫הדוגמאות‬ ‫בשתי‬ .‫3-צביע‬ ‫אינו‬ ‫שהוא‬ ‫גרף‬ ‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬ (3 − COL) C -‫ב‬ ‫אזי‬ ,‫3-צביע‬ ‫שהוא‬ ‫גרף‬ ‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬ 3−COL-‫ב‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ‫כמתים‬ ‫באמצעות‬ coNP ‫הגדרת‬ 19.3 :‫נחליף‬ ‫שפשוט‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ ,∀, ∃ ‫כמתים‬ ‫עם‬ (14) NP ‫את‬ ‫הגדרנו‬ :L ∈ coNP ‫אם‬ x ∈ L ⇐⇒ ∀ ˜w ⇒ V (x, w) = Accept x /∈ L ⇐⇒ ∃ ˜w ⇒ V (x, w) = Reject :‫)תזכורת‬ ‫תתקבל‬ ‫לגרף‬ ‫שניתן‬ ‫צביעה‬ ‫כל‬ :‫אזי‬ ‫צביע‬ ‫שאינו‬ G ‫גרף‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ ,(‫בגרפים‬ ‫צביעה‬ ‫)בעיית‬ 19.2 ‫לדוגמה‬ ‫בהמשך‬ .‫דחייה‬ ‫נקבל‬ - (w) ‫שלו‬ ‫לצביעה‬ ‫העד‬ ‫את‬ ‫שנתן‬ ‫ברגע‬ ‫אזי‬ ,‫צביע‬ G ‫ואם‬ (....3 − COLC ‫על‬ ‫מדברים‬ ‫אנחנו‬ 20
  • 21.
    ‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :3 ‫הסבר‬ ‫אזי‬(‫צביע‬ ‫שאינו‬ ‫גרף‬ ,‫)למשל‬ ‫בשפה‬ ‫קלט‬ ‫לנו‬ ‫נתון‬ ‫אם‬ :‫הפוך‬ ‫בדיוק‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ ‫כאן‬ - 1 ‫בהסבר‬ ‫שמתואר‬ ‫כפי‬ ‫אזי‬ ,‫3-צביע‬ ‫הגרף‬ ‫אם‬ ,‫זאת‬ ‫לעומת‬ .‫צבעים‬ ‫בשלושה‬ ‫הגרף‬ ‫את‬ ‫לצבוע‬ ‫ניתן‬ ‫ולא‬ ‫היות‬ ‫לבדיקה‬ ‫עד‬ ‫כל‬ ‫תקבל‬ ‫המכונה‬ 3 − COL-‫ב‬ ‫נהיה‬ ‫ואנחנו‬ ‫היות‬ - Reject ‫תחזיר‬ ‫המכונה‬ ‫אזי‬ - ‫אותה‬ ‫נקבל‬ ‫ואם‬ ,‫הגרף‬ ‫של‬ ‫חוקית‬ ‫צביע‬ ‫קיימת‬ .3 − COLC -‫ב‬ ‫ולא‬ G ∈ 3 − COLC ⇐⇒ ‫3-צביע‬ ‫אינו‬ G ⇐⇒ ∀ ˜w V (G, w) = Accept G /∈ 3 − COLC ⇐⇒ ‫3-צביע‬ G ⇐⇒ ∃ ˜w V (G, w) = Reject :19.1 ‫משפט‬ .LC ‫השפה‬ ‫הגדרת‬ ‫ובאמצעות‬ ‫הכמתים‬ ‫באמצעות‬ ‫ההגדרה‬ :‫שקולות‬ coNP ‫של‬ ‫ההגדרות‬ ‫שתי‬ NP ̸= coNP-‫ש‬ ‫ההשערה‬ 19.4 :‫שלמטה‬ ‫באיור‬ ‫שמתואר‬ ‫כפי‬ .NP ̸= coNP :‫היא‬ ‫המרכזית‬ ‫ההשערה‬ ‫אבל‬ ,P ⊆ coNP-‫ו‬ P ⊆ NP :‫בבירור‬ P coNPNP rrrrrrrrrrrrrrrrr vvvvvvvvvvvvvvvvv :‫למשל‬ ‫אבל‬ ,‫ספיקה‬ φ-‫ש‬ ‫לבדיקה‬ ‫וקל‬ ‫קצר‬ ‫עד‬ ‫מהווה‬ w ‫יחידה‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ φ ‫פסוקית‬ ‫עבור‬ ‫כי‬ SATC /∈ NP ‫כי‬ ‫משוער‬ ?‫ספיקה‬ ‫אינה‬ φ ‫כי‬ ‫יעיד‬ ‫לבדיקה‬ ‫וקל‬ ‫קצר‬ ‫עד‬ ‫איזה‬ ...3 − COLC ‫לגבי‬ ‫כנ"ל‬ co (NPC) = (coNP) C IV ‫חלק‬ PH - ‫פולינומית‬ ‫היררכיה‬ 21
  • 22.
    coNP-‫ו‬ NP-‫ל‬ ‫שמעבר‬‫מה‬ 20‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ coNP-‫ו‬ NP-‫ל‬ ‫שמעבר‬ ‫מה‬ 20 ‫משתי‬ ‫אחת‬ ‫באף‬ ‫נמצאות‬ ‫שלא‬ ‫בעיות‬ ‫גם‬ ‫ישנן‬ ‫אבל‬ ,coNP-‫ב‬ ‫או‬ NP-‫ב‬ ‫שהן‬ (‫)שפות‬ ‫בעיות‬ ‫עם‬ ‫התעסקנו‬ ‫עכשיו‬ ‫עד‬ ...‫הללו‬ ‫המחלקות‬ ‫לפתרון‬ ,‫אחד‬ ‫כמת‬ ‫רק‬ ‫היה‬ coNP-‫וב‬ NP-‫ב‬ .‫בבעיה‬ ‫שיש‬ ‫הכמתים‬ ‫לכמות‬ ‫להתייחס‬ ‫צריך‬ ‫הרעיון‬ ‫את‬ ‫להבין‬ ‫בשביל‬ .‫כמתים‬ ‫שני‬ ‫שמצריכה‬ ‫לבעיה‬ ‫דוגמה‬ ‫נראה‬ ‫עכשיו‬ ‫אבל‬ (‫כמתים‬ ‫שני‬ ‫עם‬ ‫לבעיה‬ ‫)דוגמה‬ ‫המזערי‬ ‫המעגל‬ ‫בעיית‬ 20.1 :‫הבאה‬ ‫השפה‬ ‫על‬ ‫נתסכל‬ MinCircut = { ⟨C⟩ ‫הוא‬ C ‫הבולאני‬ ‫המעגל‬ fC ‫לחישוב‬ ‫מזערי‬ ‫בגודל‬ ‫מעגל‬ } C ‫על‬ ” < ” ‫יחס‬ .C ‫של‬ ‫בגרף‬ ‫הצלעות‬ ‫כמספר‬ ‫מוגדר‬ ‫גודל‬ ‫כאשר‬ ,C2-‫מ‬ ‫קטן‬ C1 ‫המעגל‬ ‫כאשר‬ - C1 < C2 :‫סימון‬ 4 ‫מלא‬ ‫סדר‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬ ∀C′ ( (C′ < C) → ∃y (C′ (y) ̸= C (y)) ) .‫למעגלים‬ ‫קלט‬ ‫הוא‬ y ‫כאשר‬ .‫שגוי‬ ‫מעגל‬ C′ ‫אז‬ C-‫מ‬ ‫יותר‬ ‫קטן‬ C′ ‫אם‬ ,C′ ‫אחר‬ ‫מעגל‬ ‫לכל‬ :‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫היא‬ ‫אומרת‬ ‫שלמעלה‬ ‫שהנוסחה‬ ‫מה‬ :‫הבאים‬ ‫התנאים‬ ‫התקיימו‬ ‫כאן‬ ‫בבעיה‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ .∀, ∃ :‫כימותים‬ ‫שני‬ ‫היו‬ .‫א‬ .|C′ | , |y| = poly (n) ‫מחרוזת‬ ‫על‬ ‫היה‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ .‫ב‬ .‫לבדיקה‬ ‫קל‬ ‫היה‬ ‫התנאי‬ .‫ג‬ :‫מתקיימים‬ ‫התנאים‬ ‫שלושת‬ ‫בה‬ ‫שגם‬ ‫דוגמה‬ ‫עוד‬ ‫על‬ ‫נתסכל‬ :φ-‫ב‬ ‫לספק‬ ‫מצליחה‬ w ‫שההשמה‬ ‫הפסוקיות‬ '‫מס‬ = V al (φ, k) (φ, k) ∈ EXACT − SAT ⇒ ( ∃w1 (Val (φ, w1) ≥ k) ) ∧ ( ∀w2 (Val (φ, w2) ≤ k) ) ‫של‬ ‫השמטה‬ ‫כל‬ ‫אבל‬ ,‫ספיקה‬ ‫שאינה‬ φ ‫נוסחה‬ ‫לנו‬ ‫נתונה‬ ‫שבה‬ ‫בעיה‬ - Critic − SAT-‫ה‬ ‫בעיית‬ ‫היא‬ ‫נוספת‬ ‫דוגמה‬ .‫לספיקה‬ ‫אותה‬ ‫תהפוך‬ φ-‫מ‬ ‫שרירותית‬ ‫פסוקית‬ :x ∈ Critic − SAT ( ∀w (V (φ, w)) = Reject ‫לבדיקה‬ ‫קל‬ ‫תנאי‬ ) ∧ ( ∃w1, . . . , wm ∧ 1≤i≤m (∨ (φCi, wi) = Accept) ‫לבדיקה‬ ‫קל‬ ‫תנאי‬ ) ‫מספיק‬ ‫לא‬ ‫לכן‬ ,i ‫פסוקית‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ ‫אחד‬ ,‫הללו‬ (‫הללו‬ ‫)ההשמות‬ ‫הפתרונות‬ ‫כל‬ ‫קיימים‬ ‫שיהיו‬ ‫חייבים‬ - ∃w1 . . . , wm .‫אחרת‬ ‫התאמה‬ ‫להיות‬ ‫יכולה‬ ‫שנסיר‬ ‫פסוקית‬ ‫ולכל‬ - ‫אחד‬ ‫פתרון‬ ‫עבור‬ ‫רק‬ ‫תקף‬ ‫זה‬ ‫אז‬ ‫כי‬ - ”∃w...” :‫כמו‬ ‫משהו‬ ‫לרשום‬ .i-‫ה‬ ‫הפסוקית‬ ‫פחות‬ φ (‫)הקלט‬ ‫הפסוק‬ ‫זה‬ - φCi .φCi-‫ל‬ ‫המספקת‬ ‫ההשמה‬ ‫זאת‬ - wi .‫יותר‬ ‫גדול‬ ‫מעגל‬ ‫איזה‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫תמיד‬ ,‫כלומר‬4 22
  • 23.
    ‫הפולינומית‬ ‫ההיררכיה‬ ‫הגדרת‬21‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫הפולינומית‬ ‫ההיררכיה‬ ‫הגדרת‬ 21 ‫סימונים‬ 21.1 .V (x) = Accept-‫ש‬ ‫פירושו‬ V (x) .V (x) = Reject-‫ש‬ ‫פירושו‬ ¬V (x) .‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫המשתנים‬ ‫את‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ - ∃, ∀ ΠkP-‫ו‬ ΣkP 21.2 .(‫קבוע‬ ‫הוא‬ c ‫)כאשר‬ Θ (|x| c ) ≥ ‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ ‫שרצה‬ ‫מכונה‬ ‫זאת‬ - M = V ‫ההגדרות‬ ‫בכל‬ ‫המשמעות‬ ‫המחלקה‬ x ∈ L ⇐⇒ V (x)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ P = Σ0P = Π0P x ∈ L ⇐⇒ ∃w1V (x, w1)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ NP = Σ1P x ∈ L ⇐⇒ ∀w1V (x, w1)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ coNP = Π1P x ∈ L ⇐⇒ ∃w1∀w2V (x, w1, w2)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ Σ2P x ∈ L ⇐⇒ ∀w1∃w2V (x, w1, w2)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ Π2P x ∈ L ⇐⇒ ∃w1∀w2∃w3V (x, w1, w2, w3)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ Σ3P x ∈ L ⇐⇒ ∀w1∃w2∀w3V (x, w1, w2, w3)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ L ∈ Π3P x ∈ L ⇐⇒ ∃w1∀w2 · · · Qwk V (x, w1, w2, . . . , wk)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ :L ∈ ΣkP x ∈ L ⇐⇒ ∀w1∃w2 · · · Qwk V (x, w1, w2, . . . , wk)-‫ש‬ ‫כך‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ : L ∈ ΠkP .k ‫זוגיות‬ ‫לפי‬ ‫נקבע‬ Q ∈ {∀, ∃} ‫כאשר‬ ΣkP, ΠkP ⊆ Σk+1P, Πk+1P PH ‫הגדרת‬ 21.3 :‫הבא‬ ‫האיור‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ :‫כלומר‬ ,‫המחלקות‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫איחוד‬ ‫זה‬ PH PH = ∪ k∈N ΣkP = ∪ k∈N ΠkP :‫לזכור‬ ‫שכדאי‬ ‫דברים‬ ‫כמה‬ ‫הנה‬ ,‫כמו-כן‬ co (ΣkP) = ΠkP co (ΠkP) = ΣkP 23
  • 24.
    ‫הפולינומית‬ ‫ההיררכיה‬ ‫הגדרת‬21‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ P coNP NP •••••••••••• 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Π2P Σ2P 1 1 1 1 1 1 1 1 1 w w w w w w w w w w w w w w w qqqqqqqqqqqqqqq Π3P Σ3P qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww PH QkP ‫מחלקה‬ ‫כל‬ ‫מה‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫כוללת‬ ,‫למשל‬ ,‫שמתחתיה‬ ‫מה‬ ‫מוצג‬ ‫משמאל‬ ‫באיור‬ :Σ2P ‫המחלקה‬ ‫כוללת‬ ‫האזור‬ ‫בתוך‬ ‫שיש‬ ‫)מה‬ (.‫המקווקו‬ ‫בקו‬ ‫שמסומן‬ P coNP NP qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww Π2P Σ2P wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq Π3P Σ3P qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww PH ‫פולינומית‬ ‫היררכיה‬ :4 ‫איור‬ '‫וכו‬ P ̸= NP ‫לגבי‬ ‫מרכזיות‬ ‫השערות‬ 21.4 ΠkP Σk+1P - "‫מעריכית‬ ‫כוח‬ ‫תוספת‬ ‫יש‬ ∃ ‫"לכמת‬ P ̸= NP ΣkP ∀k+1P - "‫מעריכית‬ ‫כוח‬ ‫תוספת‬ ‫יש‬ ∀ ‫"לכמת‬ P ̸= coNP ΣkP ̸= ΠkP - "(‫אחד‬ ‫לכל‬ ‫כוח‬ ‫)אותו‬ ‫שונה‬ ‫כוח‬ ‫תוספת‬ ‫יש‬ ‫שונים‬ ‫"לכמת‬ NP ̸= coNP ‫הקריסה‬ ‫משפט‬ 21.5 ‫והופכות‬ ‫קורסות‬ ‫הקומות‬ ‫כל‬ ,‫כלומר‬ .‫קורס‬ ‫שמעל‬ ‫מה‬ ‫כל‬ - ‫שמעליה‬ ‫לזאת‬ ‫שווה‬ ‫הרמות‬ ‫שאחת‬ ‫שמספיק‬ ‫אומר‬ ‫המשפט‬ :‫המשפט‬ ‫של‬ ‫פרטי‬ ‫מקרה‬ .‫אחת‬ ‫קומה‬ ‫להיות‬ P = NP ⇒ P = PH 24
  • 25.
    ‫חישוב‬ ‫קונפיגורצית‬ 23‫החישובים‬‫מורכבות‬ V ‫חלק‬ ‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ .‫ריצה‬ ‫זמן‬ ‫אחרי‬ ‫בחשיבותו‬ ‫השני‬ ‫המשאב‬ ‫הוא‬ ‫זיכרון‬ .S-‫ב‬ ‫אותו‬ ‫נסמן‬ :‫אזי‬ ,(‫שעון‬ ‫)פעימות‬ ‫זמן‬ - T ,‫זיכרון‬ - S S ≤ T .‫לזמן‬ ‫בניגוד‬ ‫למחזר‬ ‫ניתן‬ ‫וזיכרון‬ ‫היות‬ ,S ≪ T :‫עבורן‬ ‫בעיות‬ ‫שיש‬ ‫משערים‬ ‫וכמו-כן‬ S ≪ T ‫שבו‬ ‫למקרה‬ ‫דוגמת‬ 22 :‫משתנים‬ n-‫ו‬ ‫פסוקיות‬ m ‫עם‬ SAT ‫של‬ ‫הדוגמה‬ ‫על‬ ‫נתסכל‬ .‫השמות‬ 2n -‫ה‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫בלולאה‬ ‫סורקים‬ .”Accept” ‫ועונים‬ ‫עוצרים‬ ‫אזי‬ ‫מספקת‬ ‫היא‬ ‫ואם‬ φ-‫ב‬ ‫מציבים‬ w ‫השמה‬ ‫כל‬ .”Reject” ‫עונים‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫נמצאה‬ ‫לא‬ ‫אם‬ ,‫הסריקה‬ ‫בסוף‬ :‫סה"כ‬ S (n) = &&2n · n + Θ (log m) (‫מאוד‬ ‫קצר‬ ‫)משהו‬ ‫החישוב‬ ‫אותו‬ ‫של‬ ‫תוצאה‬ ‫רק‬ ‫שומרים‬ ‫אנחנו‬ ,‫זיכרון‬ ‫ממחזרים‬ ‫שאנחנו‬ ‫היא‬ 2n ‫את‬ ‫שביטלנו‬ ‫הסיבה‬ .‫משתמשים‬ ‫אנחנו‬ ‫שבה‬ ‫ההשמה‬ ‫של‬ ‫אינדיקציה‬ + .SAT ∈ D − SPACE (‫הקלט‬ ‫)אורך‬ .2Ω(n) ‫זמן‬ ‫דורשת‬ SAT-‫ש‬ ‫משערים‬ .NP, coNP, PH ⊆ P − SPACE ‫פולינומי‬ ‫זיכרון‬ :‫למעשה‬ :‫סביר‬ S ‫עבור‬ S ≤ T ≤ 2Θ(S) .(‫אותו‬ ‫למחזר‬ ‫היכולת‬ ‫)בגלל‬ ‫מזמן‬ ‫חזק‬ ‫יותר‬ ‫הרבה‬ ‫שזיכרון‬ ‫משערים‬ ‫חישוב‬ ‫קונפיגורצית‬ 23 .(9 ‫)חלק‬ ‫חישוב‬ ‫מכונות‬ - ‫כאן‬ ‫בהרחבה‬ ‫מ"ט‬ ‫על‬ ‫דובר‬ ‫בעיקרון‬ .‫ופלט‬ ‫עבודה‬ ,‫קלט‬ :‫במ"ט‬ ‫סרטים‬ ‫שלושה‬ ‫ישנן‬ .S (n) ‫בזיכרון‬ L ‫שפה‬ ‫את‬ ‫מכריעה‬ M ‫מכונה‬ ‫כי‬ ‫אומרים‬ .x /∈ L ⇐⇒ M (x) = Reject ,x ∈ L ⇐⇒ M (x) = Accept .c · S ≥ ‫העבודה‬ ‫בסוף‬ M ‫ניגשת‬ ‫שאליהם‬ ‫התאים‬ ‫שמספר‬ ‫כל‬ c ‫קבוע‬ ‫קיים‬ 25
  • 26.
    ‫זיכרון‬ - ‫סיבוכיות‬‫מחלקות‬ 24‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ S : N → N ?‫ישנן‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫כמה‬ 23.1 .‫אפשרי‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫חסם‬ ‫למצוא‬ ,‫כלומר‬ .‫האפשרי‬ ‫הקונפיגורציות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫לעמוד‬ ‫ננסה‬ .‫קונפיגורציה‬ ‫הוא‬ ‫כזה‬ ‫חישוב‬ ‫כל‬ - (9.1) ‫החישוב‬ ‫אופן‬ :‫כאן‬ ‫קונפיגורציה‬ ‫מהי‬ ‫על‬ ‫לקרוא‬ ‫ניתן‬ ‫כזכור‬ :‫חסמים‬ ‫אלו‬ ‫נחפש‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬ n · S · |Σ|S · |Q| .‫הקלט‬ ‫בסרט‬ ‫הקורא‬ ‫הראש‬ ‫מיקום‬ n .‫העבודה‬ ‫בסרט‬ ‫מיקום‬ S ,‫כלומר‬ ,Σ-‫מ‬ ‫אחת‬ ‫אות‬ ‫יש‬ ‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫שבכל‬ ‫בסרט‬ ‫תאים‬ S ‫לנו‬ ‫יש‬ .‫אפשרויות‬ |Σ| ‫יש‬ ‫תא‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ |Σ| S .‫שישנם‬ ‫המצבים‬ ‫מספר‬ Q .‫אותו‬ ‫לצמצם‬ ‫נוכל‬ ‫ולכן‬ ,S < |Σ| S :|Σ| > 2 ‫עבור‬ ,‫כעת‬ .S ≥ Ω (log n) ‫עבור‬ 5 n · 2Θ(S) = 2Θ(S) :‫כמו-כן‬ ‫נכנס‬ ‫ואז‬ - ‫אליה‬ ‫שנחזור‬ ‫קונפיגורציה‬ ‫תהיה‬ ‫בוודאי‬ ‫אז‬ ‫כי‬ ,‫הקונפיגורציות‬ ‫מספר‬ ‫על‬ ‫יעלה‬ ‫שהזמן‬ ‫ייתכן‬ ‫לא‬ ,‫כעת‬ .(‫מעגל‬ ‫ייסגר‬ ‫בהכרח‬ ‫אז‬ ‫)כי‬ ‫אינסופית‬ ‫ללולאה‬ :‫לכן‬ T ≤ 2Θ(S) ' & $ % ‫זיכרון‬ - ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬ 24 .log (n) :‫מזערי‬ "‫"סביר‬ ‫עבודה‬ ‫זיכרון‬ .poly (n) :‫מרבי‬ "‫"סביר‬ ‫עבודה‬ ‫זיכרון‬ :‫נסמן‬ P − SPACE = ∪ k∈N D − SPACE ( nk ) L = L − SPACE = D − SPACE ∈ (log n) .‫לוגריתמי‬ ‫זיכרון‬ - T ≤ 2Θ(log n) = nΘ(1) ⇐= S = Θ (log n) ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ 24.1 :‫מקום‬ ‫סיבוכיות‬ ‫לגבי‬ (12.1 ‫)משפט‬ ‫זמן‬ ‫סיבוכיות‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ ‫למשפט‬ ‫מאוד‬ ‫בדומה‬ :‫אזי‬ S1 ≪ S2 ‫אם‬ D − SPACE (S1) D − SPACE (S2) .L P − SPACE :‫ובפרט‬ .40 ‫בעמוד‬ ‫נמצאת‬ 6 ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ .n · 2Θ(S) = 2Θ(S)+log(n) = 2Θ(S) :‫כי‬5 .‫בלכסון‬ ‫שמתרכזת‬ ‫חלקית‬ ‫בהוכחה‬ ‫אלא‬ ‫מלאה‬ ‫בהוכחה‬ ‫מדובר‬ ‫לא‬6 26
  • 27.
    ‫זיכרון‬ - ‫סיבוכיות‬‫מחלקות‬ 24‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫המחלקות‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ 24.2 L ⊆ P ⊆ NP ⊆ P − SP ACE ‫אחד‬ ‫אף‬ ‫את‬ ‫להוכיח‬ ‫איך‬ ‫ידוע‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ , ‫בעצם‬ ‫הוא‬ ⊆-‫ה‬ ‫אחד‬ ‫שלפחות‬ ‫בוודאי‬ ‫אזי‬ L P − SPACE-‫ו‬ ‫היות‬ .... -‫מה‬ ?L ̸= NP :‫פתוחה‬ ‫בעיה‬ 24.2.1 ?‫לוגריתמי‬ ‫בזיכרון‬ ‫כריעה‬ SAT ‫האם‬ ‫היא‬ ‫הפתוחה‬ ‫והשאלה‬ 2Θ(n) ‫זמן‬ ‫דורשת‬ SAT-‫ש‬ ‫משערים‬ ?P ̸= P − SPACE ‫האם‬ ‫השאלה‬ ‫נשאלת‬ ‫גם‬ ‫וכמו-כן‬ 27
  • 28.
    ‫צרמלו‬ ‫משפט‬ 26‫החישובים‬‫מורכבות‬ VI ‫חלק‬ ‫במשחקים‬ ‫מנצחות‬ ‫אסטרטגיות‬ ‫משחקים‬ ‫הגדרת‬ 25 .‫לסירוגין‬ ‫משחקים‬ ‫אשר‬ ‫שחקנים‬ ‫שני‬ ‫ישנם‬ ‫במשחק‬ N .|x| = n .‫פתיחה‬ ‫מצב‬ = ‫קלט‬ N .‫שחקן‬ ‫מאף‬ ‫מוסתר‬ ‫לא‬ ‫מידע‬ ‫שום‬ ,‫כלומר‬ - ‫מלא‬ ‫מידע‬ ‫קיים‬ N :(poly (n) ‫)בזמן‬ ‫ביעילות‬ ‫לפתור‬ ‫ניתן‬ N .‫נוכחי‬ ‫צעד‬ ‫בעקבות‬ ‫משחק‬ ‫מצב‬ ‫לעדכן‬ R .‫התוצאה‬ ‫מה‬ - ‫כן‬ ‫ואם‬ ‫משחק‬ ‫סיום‬ ‫מצב‬ ‫זהו‬ ‫האם‬ ‫לקבוע‬ R .poly (n) ≥ ‫במשחק‬ ‫הצעדים‬ ‫מספר‬ R . poly (n) ≥ ‫באורך‬ ‫תיאור‬ ‫צעד‬ ‫ולכל‬ ‫מצב‬ ‫לכל‬ R .‫שחור/תיקו‬ ‫לבן/ניצחון‬ ‫ניצחון‬ :‫ב‬ ‫מסתיים‬ ‫משחק‬ ‫כל‬ N ‫צרמלו‬ ‫משפט‬ 26 :‫הבאים‬ ‫משלושת‬ ‫אחד‬ ‫מתקיים‬ ‫לעיל‬ ‫שתואר‬ ‫כפי‬ ‫משחק‬ ‫לכל‬ .‫לניצחון‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ ‫ללבן‬ .‫א‬ .‫לניצחון‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ ‫לשחור‬ .‫ב‬ .‫תיקו‬ ‫שמבטיחה‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ ‫לשניהם‬ .‫ג‬ ?‫מנצחת‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ (‫)לבן‬ ‫הפותח‬ ‫שלשחקן‬ ‫רושמים‬ ‫כיצד‬ 26.1 G (· · · ) = { Accept ‫מנצח‬ ‫לבן‬ Reject ‫אחרת‬ 28
  • 29.
    ‫לא-דטרמינסטי‬ ‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬28‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ?‫נותרו‬ ‫צעדים‬ ‫כמה‬ ‫מסמנים‬ ‫כיצד‬ 26.2 ∃w1G (x, w1) 1 ∃w1∀w2G (x, w1, w2) 2 ∃w1∀w2∃w3G (x, w1, w2, w3) 3 ... ∃w1∀w2 · · · QwmG (x, w1, w2, . . . , wm) m TQBF 27 :True Quantified Boolean Formula ‫בשיטת‬ ‫זה‬ ,‫במשחק‬ ‫מנצחת‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬ ‫להכריע‬ ‫נוספת‬ ‫דרך‬ :‫לפסוק‬ ‫מספקת‬ ‫השמה‬ ‫ישנה‬ ‫האם‬ ‫למצוא‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫הרעיון‬    ∃x1∀x2∃x3 · · · Qmφ (· · · ) ψ ‫אמיתי‬ ‫הפסוק‬    ‫מפצלים‬ ‫פשוט‬ ‫אזי‬ ,‫אחד‬ ‫מביט‬ ‫יותר‬ ‫מכיל‬ ‫שלמעלה‬ wi-‫ו‬ ‫במידה‬ .‫אחד‬ ‫ביט‬ ‫הוא‬ xi ‫וכל‬ ,‫כמתים‬ ‫ללא‬ φ (· · · ) ‫כאשר‬ .‫ביטים‬ ‫למספר‬ wi ‫כל‬ TQBF ‫להכרעת‬ ‫אלגוריתם‬ 27.1 .43 ‫בעמוד‬ 1 ‫אלגוריתם‬ :‫כאן‬ ‫האלגוריתם‬ ‫את‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF 27.2 :‫כלומר‬ .TQBF ∈ D − SPACE ‫וגם‬ TQBF ∈ PSPACE .‫א‬ .PSPACE-‫ב‬ ‫קשה‬ ‫הכי‬ ‫גם‬ ‫והיא‬ PSPACE ‫את‬ ‫מייצגת‬ TQBF .‫ב‬ .L ≤p T QBF :‫מתקיים‬ L ∈ PSPACE ‫לכל‬ TQBF ‫של‬ ‫הזיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ 27.3 :(‫הכמתים‬ ‫)מספר‬ m > 1 ‫עבור‬ S (m, l) = S (m − 1, l) .S (m, l) = Θ (m) + Θ (l) :‫זיכרון‬ ‫במחזור‬ ‫ונשתמש‬ 2m -‫ה‬ ‫את‬ ‫נוריד‬ ‫ולכן‬ 2m ‫הינו‬ ‫הנסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫פתרון‬ .(45 ‫)עמוד‬ 8 ‫הסבר‬ ‫לאחר‬ ‫מיד‬ ‫למצוא‬ ‫ניתן‬ ‫לכך‬ ‫ההסבר‬ ‫את‬ .Θ ( S2 ) ‫והוא‬ ‫לינארי‬ ‫הוא‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫כעת‬ ‫לא-דטרמינסטי‬ ‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ 28 .‫מעריכית‬ ‫דטרמיניסטית‬ ‫הלא‬ ‫הכוח‬ ‫תוספת‬ - P ̸= NP .‫סימטרית‬ ‫לא‬ ‫דטרמיניסטית‬ ‫הלא‬ ‫הכוח‬ ‫תוספת‬ - coNP ̸= NP :‫אזי‬ S (n) ≥ Ω (n) ‫אם‬ ."‫"סדירה‬ ‫זיכרון‬ ‫פונקציית‬ S : N → N ‫תהי‬ :28.1 ‫משפט‬ .(Savitch ‫)משפט‬ ND − SPACE (S) ⊆ D − SPACE ( S2 ) 7 44 ‫בעמוד‬ L ≤p TQBF :‫כאן‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ ‫למשפט‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ .‫המתבקשת‬ ‫המסקנה‬ ‫את‬ ‫לראות‬ ‫ניתן‬ ‫ההוכחה‬ ‫בסוף‬7 29
  • 30.
    ‫רקע‬ 29‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .(ImmermanSzelopcsenyi) coND − SPACE (S) = ND − SPACE (S) VII ‫חלק‬ (‫אוב‬ ‫)פונקציית‬ ‫האורקל‬ ‫גישת‬ (1643) ‫האורקל‬ ‫בפני‬ ‫ניצבים‬ ‫ואכילס‬ ‫תטיס‬ ‫רקע‬ 29 .‫אותה‬ ‫לפתור‬ ‫נוכל‬ ‫בעתיד‬ ‫והאם‬ ,P = NP ‫האם‬ ‫השאלה‬ ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫מצליחים‬ ‫איננו‬ ‫מדוע‬ ‫היא‬ ‫השאלות‬ ‫אחת‬ ‫לא‬ ‫גם‬ ‫היא‬ ‫ומדוע‬ ‫נפתרה‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫היא‬ ‫מדוע‬ ‫הסבר‬ ‫שמציע‬ (BGS - Baker Gill Solovay) ‫מאמר‬ ‫פורסם‬ 1975 ‫בשנת‬ ....‫שלנו‬ ‫ההוכחות‬ ‫מערכת‬ ‫עם‬ ‫תיפתר‬ .(‫אוב‬ ‫פונקציית‬ :‫)או‬ ‫האורקל‬ ‫גישת‬ - ‫חדש‬ ‫כלי‬ ‫גויס‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ ‫אורקל‬ ‫גישת‬ 29.1 .‫מקבילים/דמיוניים‬ ‫יקומים‬ ‫על‬ ‫כרגע‬ ‫מדברים‬ ‫אנחנו‬ M :‫כלומר‬ .O-‫ל‬ ‫אורקל‬ ‫גישת‬ ‫יש‬ M ‫מכונה‬ ‫לכל‬ ‫היקום‬ ‫שבאותו‬ (‫ויחידה‬ ‫)אחת‬ O ‫שפה‬ ‫ישנה‬ ‫מקביל‬ ‫ביקום‬ ‫כי‬ ‫נניח‬ .x ∈ O ‫האם‬ - ‫מהצורה‬ ‫שאלה‬ ‫לכל‬ ‫נכונה‬ ‫תשובה‬ ‫יחיד‬ ‫חישוב‬ ‫בצעד‬ ‫מקבלת‬ ‫גם‬ ‫ומותר‬ x1, . . . , xn−1 ‫רוצים‬ ‫שאנחנו‬ ‫שאילתות‬ ‫כמה‬ ‫אורקל‬ ‫אותו‬ ‫את‬ ‫לשאול‬ ‫מותר‬ ,‫כלומר‬ ,‫אדפטיבית‬ ‫היא‬ ‫הגישה‬ .(‫השאילתות‬ ‫בבניית‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫)המחיר‬ .‫בקודמותיה‬ ‫תלויה‬ ‫תהיה‬ xn ‫שאילתה‬ ‫שכל‬ ‫סימונים‬ 29.2 .O ‫לאורקל‬ ‫גישה‬ ‫עם‬ ‫גישה‬ ‫עם‬ x ‫קלט‬ ‫על‬ M ‫מכונה‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫את‬ MO (x)-‫ב‬ ‫מסמנים‬ .O ‫לאורקל‬ ‫גישה‬ ‫בעזרת‬ (P-‫ה‬ ‫)בגלל‬ (14) ‫ביעילות‬ ‫להכריע‬ ‫שניתן‬ ‫השפות‬ ‫על‬ ‫אוסף‬ ‫זהו‬ - PO .O ‫לאורקל‬ ‫גישה‬ ‫בעזרת‬ ‫ל"ד‬ ‫באופן‬ ‫ביעילות‬ ‫להכריע‬ ‫שניתן‬ ‫השפות‬ ‫על‬ ‫אוסף‬ ‫זהו‬ - NPO .‫לאורקל‬ ‫גישה‬ ‫באמצעות‬ ‫ביעילות‬ SAT ‫את‬ ‫לפתור‬ ‫ניתן‬ ‫שבו‬ ‫יקום‬ ‫זה‬ - PSAT :‫למשל‬ .‫כמותו‬ ‫ועונה‬ ‫לאורקל‬ x ‫קלט‬ ‫מעבירה‬ M ‫מכונה‬ - SAT ∈ PSAT .‫להפך‬ ‫ועונה‬ ‫לאורקל‬ x ‫קלט‬ ‫מעבירה‬ M ‫מכונה‬ - SATC ∈ PSAT 30
  • 31.
    ‫רקע‬ 29‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :‫תזכורת‬ ‫קופסה‬‫מעין‬ ‫כמו‬ ,‫יחיד‬ ‫חישוב‬ ‫בצעד‬ x ∈ O ‫האם‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫מקביל‬ ‫שביקום‬ ‫שפה‬ ‫זאת‬ - O .‫שחורה‬ .‫בודקים‬ ‫אנחנו‬ ‫שאותו‬ ‫הקלט‬ ‫זה‬ - x .NP, coNP ⊆ PSAT :‫כי‬ ‫מכך‬ ‫נובע‬ :‫למשל‬ ,‫שאילתות‬ ‫שתי‬ ‫ידרשו‬ (∃ · · · ) ∧ (∀ · · · ) ‫של‬ ‫בצורה‬ ‫בהיררכיה‬ 2 ‫ברמה‬ ‫בעיות‬ :29.1 ‫דוגמא‬ .Exact − SAT = { (φ, k) Val (φ) = K } :‫אםם‬ (φ, k) ∈ E.S. [∃w1 Val (φ, w1) ≥ k] (φ, k) ∈ L ‫תשובה‬ ‫נותן‬ ‫אורקל‬ f (φ, k) ‫חיובית‬ ∧ [∀w2 Val (φ, k) ≤ k] ‫תשובה‬ ‫נותן‬ ‫אורקל‬ f (φ, k + 1) ‫שלילית‬ .‫לבדיקה‬ ‫וקל‬ ‫קצר‬ ‫עד‬ ‫יש‬ ‫כי‬ L ∈ NP - L = { (φ, k) Val (φ) ≥ k } ‫כאשר‬ .L≤p SAT :‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ ‫היא‬ f ‫כאן‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ - ‫מסורתית‬ ‫הוכחה‬ 29.3 : ‫טיעון‬ ‫אחר‬ ‫טיעון‬ ,‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫נרשום‬ ‫אזי‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫לרשום‬ ‫נרצה‬ ‫אם‬ φ1 ⊢ φ2 ⊢ · · · ⊢ φm .O ‫שרירותי‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫תיקונים‬ ‫ללא‬ ‫תקף‬ ‫להיות‬ ‫צריך‬ φi ⊢ φi+1 ‫מעבר‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ :‫מסורתיות‬ ‫להוכחות‬ ‫דוגמאות‬ .‫הזמן‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ .‫א‬ .‫המקום‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ .‫ב‬ .NP∃ = NPnd ‫ההגדרות‬ ‫שקילות‬ .‫ג‬ .P ⊆ NP .‫ד‬ BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ 29.4 :29.1 ‫משפט‬ .PO ̸= NPO :‫מתקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,P ̸= NP ‫לטענה‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .P ̸= NP-‫ל‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫אין‬ ‫אז‬ - PO = NPO ‫שמקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫יש‬ - BGS :29.2 ‫משפט‬ .PO = NPO :‫מתקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,P = NP ‫לטענה‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .P = NP-‫ל‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫אין‬ ‫אז‬ - PO ̸= NPO ‫שמקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫יש‬ - BGS 31
  • 32.
    ‫הוכחה‬ ‫למערכת‬ ‫הדרושים‬‫התנאים‬ 31‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :4 ‫הסבר‬ ‫אותה‬ ‫בדיוק‬ ‫היא‬ A ‫הוכחה‬ :‫כלומר‬ ,P ̸= NP ‫לטענה‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ (A ‫לה‬ ‫)נקרא‬ ‫הוכחה‬ ‫ישנה‬ ‫אם‬ .PO ̸= NPO :‫מתקיים‬ O ‫אורקל‬ ‫לכל‬ ‫אזי‬ ,‫אורקל‬ ‫ובלי‬ ‫אורקל‬ ‫עם‬ ‫הוכחה‬ ,¬α ‫אז‬ ¬β ‫אם‬ :‫לביטוי‬ ‫שקול‬ ‫הוא‬ ‫כי‬ ‫מלוגיקה‬ ‫יודעים‬ ‫ואנחנו‬ ,β ‫אז‬ α ‫אם‬ :‫מהצורה‬ ‫ביטוי‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כעת‬ :‫שלנו‬ ‫במקרה‬ ,‫כלומר‬ .(¬α) P ̸= NP-‫ל‬ ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ ‫אין‬ ‫אז‬ (¬β) PO = NPO ‫שמקיים‬ ‫אורקל‬ [‫]קיים‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫זה‬ .=←↛= :‫סימנים‬ ‫להפוך‬ ‫רק‬ ‫בדיוק‬ ‫משפט‬ ‫אותו‬ ‫לכתוב‬ ‫ניתן‬ ‫כעת‬ :A, B ‫אורקלים‬ ‫שני‬ ‫יש‬ BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬ .(29.1 ‫)משפט‬ ‫המשפט‬ ‫של‬ ‫הראשון‬ ‫החלק‬ ‫וזה‬ - PA = NPA .(29.2 ‫)משפט‬ ‫המשפט‬ ‫של‬ ‫השני‬ ‫החלק‬ ‫וזה‬ - PB ̸= NPB (41 ‫)עמוד‬ BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ :‫כאן‬ ‫נמצאת‬ ,(‫חלקיו‬ ‫שני‬ ‫)על‬ ‫המשפט‬ ‫הוכחה‬ VIII ‫חלק‬ PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ .‫הראשונה‬ ‫המודפסת‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫מחזיק‬ (1395-1468) ‫גוטנברג‬ ‫יוהן‬ ?‫הוכחה‬ ‫מערכת‬ ‫מהי‬ 30 :‫דברים‬ ‫שלושה‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ .‫טענה‬ - φ .‫אמיתית‬ ‫שהטענה‬ V ‫את‬ ‫לשכנע‬ ‫ניסיון‬ - ‫טיעון‬ - P .‫הטיעון‬ ‫נכונות‬ ‫את‬ ‫שבודק‬ - ‫מוודא‬ - V :‫דורשים‬ ‫שאנחנו‬ ‫תנאים‬ ‫שלושה‬ ‫ישנם‬ ‫הוכחה‬ ‫למערכת‬ ‫הדרושים‬ ‫התנאים‬ 31 ‫שלמות‬ 31.1 :‫אמיתית‬ φ 32
  • 33.
    PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ 32‫החישובים‬‫מורכבות‬ ∃P V (φ, P) = Accept ⇐ x ∈ L .∃P Pr [V (φ, P) = Accept] = 1 ‫זה‬ ‫כי‬ ‫נראה‬ ‫ובהמשך‬ ‫נאותות‬ 31.2 :‫שקרית‬ φ ∀P V (φ, P) = Reject ⇐ x /∈ L .∀P Pr [V (φ, P) = Reject] > 1 3 ‫או‬ ∀P Pr [V (φ, P) ̸= Reject] < 1 3 ‫זה‬ ‫כי‬ ‫נראה‬ ‫ובהמשך‬ PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ 32 ‫דגימה‬ ‫שבאמצעות‬ ‫הוא‬ ‫היתרון‬ ‫אבל‬ ,‫בנפח‬ ‫וכמה‬ ‫כמה‬ ‫פי‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫מגדילים‬ ‫שאנחנו‬ ‫הוא‬ PCP-‫ה‬ ‫במשפט‬ ‫הרעיון‬ ‫בהסתברות‬ ‫או‬ ,‫נכונה‬ ‫ההוכחה‬ ‫האם‬ ‫לדעת‬ ‫נוכל‬ ‫אנחנו‬ ,(‫המקורית‬ ‫להוכחה‬ ‫ביחס‬ ‫קטן‬ ‫)שהוא‬ ‫ביטים‬ ‫של‬ ‫קבוע‬ ‫מספר‬ ‫של‬ .‫לא‬ ‫שהיא‬ (1 3 > ) ‫כלשהי‬ :‫סימון‬ L ∈ PCP (r, q) .‫שקוראים‬ ‫הביטים‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ q-‫ו‬ ,‫המטבע‬ ‫הטלות‬ ‫מספר‬ ‫זה‬ - r ‫כאשר‬ :‫אחרות‬ ‫במילים‬ ‫או‬ PCP (r, q) =    ‫לטענות‬ ‫עבורן‬ ,L ‫השפות‬ ‫כל‬ ‫אוסף‬ ‫מטבע‬ ‫הטלות‬ Θ (r) ‫עם‬ ‫יעיל‬ V ‫יש‬ x ∈ L ‫מההוכחה‬ ‫ביטים‬ Θ (q) ‫ו‬    :‫יעילות‬ ‫נגדיר‬ ‫כעת‬ ‫יעילות‬ 32.1 .n = |x| :‫שמקיים‬ V ‫יש‬ ‫אם‬ ,poly (n) ≥ ‫הוא‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫כאשר‬ ,Θ (r) ≥ ‫המטבע‬ ‫הטלות‬ ‫מספר‬ ‫וכאשר‬ .Θ (q) ≥ (‫שקוראים‬ ‫הביטים‬ ‫)מספר‬ ‫השאילתות‬ ‫ומספר‬ :‫למשל‬ NP = PCP (0, poly (n)) :‫הוא‬ ‫להוכיח‬ ‫נרצה‬ ‫שאנחנו‬ ‫המשפט‬ NP = P CP (Θ (log n) , Θ (1)) .45 ‫בעמוד‬ NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ :‫כאן‬ ‫נמצאת‬ ‫ההוכחה‬ 33
  • 34.
    ‫הבסיסי‬ ‫הרעיון‬ 33‫החישובים‬‫מורכבות‬ IX ‫חלק‬ IP - ‫אינטראקטיביות‬ ‫הוכחה‬ ‫מערכות‬ ‫הבסיסי‬ ‫הרעיון‬ 33 .‫ודו-שיח‬ ,‫הסתברות‬ :‫דברים‬ ‫שני‬ ‫משלבת‬ ‫אשר‬ ‫מתקדמת‬ ‫הוכחות‬ ‫במערכת‬ ‫כאן‬ ‫מדובר‬ ‫בעיקרון‬ :‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ ‫הדו-שיח‬ ‫לגבי‬ ‫אבל‬ ,‫בהמשך‬ ‫נפגוש‬ ‫עוד‬ ‫אנחנו‬ ‫ההסתברות‬ ‫את‬ .‫מוכיח‬ - P-‫ו‬ ,‫מוודא‬ - V ‫ישנו‬ ...‫לשניהם‬ ‫זהה‬ x ∈ L ‫מהסוג‬ ‫טענות‬ .‫לו‬ ‫עונה‬ P-‫ו‬ P-‫ל‬ ‫שאילתה‬ ‫ושולח‬ ‫השיחה‬ ‫את‬ ‫פותח‬ V ‫הדו-שיח‬ ‫פרוטוקול‬ 33.1 :‫בניהן‬ ‫הדו-שיח‬ ‫פרוטוקול‬ ‫מתנהל‬ ‫כך‬ P V q1 qq™™™™™™™™™™™™™™™ r2 --‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘ ... qk−1 qq™™™™™™™™™™™™™™™ rk --‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘ :‫כך‬ ‫מסומן‬ ‫והוא‬ ,‫צעדים‬ k-‫ב‬ ‫פרוטוקול‬ ‫נקרא‬ ‫הזה‬ ‫הפרוטוקול‬ L ∈ IP [k] V = (x,⃗c, q1, r2, . . . , qk−1, rk) ‫כאשר‬ ‫שלמות‬ 33.2 :x ∈ L 8 ∃P Pr [ V P (x) = Accept ] = 1 .‫רעיון‬ ‫אותו‬ ‫הוא‬ ‫הרעיון‬ .V P (x) ‫רושמים‬ ‫אנחנו‬ V (x, P) ‫לרשום‬ ‫במקום‬8 34
  • 35.
    ‫גרפים‬ ‫של‬ ‫איזומורפיזם‬- ‫דוגמה‬ 34‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫נאותות‬ 33.3 :x /∈ L ∀P Pr [ V P (x) = Reject ] ≥ 1 2 .P-‫ל‬ V ‫בין‬ ‫אינטראקציה‬ ‫שיש‬ ‫בכך‬ NP-‫מ‬ ‫שונה‬ ‫זה‬ ‫יעילות‬ 33.4 .poly (|x|) ‫בזמן‬ ‫רץ‬ V ‫גרפים‬ ‫של‬ ‫איזומורפיזם‬ - ‫דוגמה‬ 34 :‫פונקציה‬ ‫קיימת‬ ‫אם‬ G0 ∼= G1 ‫ומסומנים‬ ‫איזומורפים‬ ‫נקראים‬ G0, G1 ‫גרפים‬ ‫שני‬ π : V (G0) → V (G1) .‫ועל‬ ‫ערכית‬ ‫חד-חד‬ ‫שהיא‬ ‫להיות‬ ‫חייבים‬ ‫שלגרפים‬ ‫שמבטיח‬ ‫)מה‬ ‫ועל‬ ‫חח"ע‬ ‫שהיא‬ G1 ‫של‬ ‫לקודקודים‬ G0 ‫של‬ ‫מהקודקודים‬ ‫פונקציה‬ ‫קיימת‬ ,‫כלומר‬ :‫כלומר‬ ,"‫צלעות‬ ‫"שומרת‬ ‫גם‬ ‫שהיא‬ ,(‫קודקודים‬ ‫של‬ ‫מספר‬ ‫אותו‬ {u, v} ∈ E (G0) ⇐⇒ {π (u) , π (v)} ∈ E (G1) .G1-‫ב‬ {π (u) , π (v)} ‫צלע‬ ‫ישנה‬ ‫אזי‬ G0-‫ב‬ {u, v} ‫הצלע‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ‫איזומורפים‬ ‫לגרפים‬ ‫דוגמה‬ 34.1 G0 G1 ?>=<89:;1 bbbbbb ?>=<89:;1 FFFFFFFFFFF ?>=<89:;5        ?>=<89:;2 ∼= ?>=<89:;5 ?>=<89:;2 ?>=<89:;4 ?>=<89:;3 ?>=<89:;4 ppppppppppp ?=89:;3 xxxxxxxxxxx ‫איזומורפים‬ ‫לגרפים‬ ‫דוגמה‬ :5 ‫איור‬ GISO, GNISO ‫השפות‬ 34.2 GISO = GI = { ⟨G0, G1⟩ G0 ∼= G1 } .π ‫היא‬ ‫לכך‬ ‫לבדיקה‬ ‫וקל‬ ‫קצר‬ ‫עד‬ ‫כי‬ GI ∈ NP .GI ∈ P ‫כי‬ ‫משערים‬ GNISO = { ⟨G0, G1⟩ G0 G1 } 35
  • 36.
    ‫קבוע‬ K ‫כאשר‬IP [K] 36‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .GNISO ∈ coNP ‫בבירור‬ .GISO /∈ NPC ‫וכי‬ GNISO /∈ NP :‫כי‬ ‫משערים‬ GNISO ∈ IP [2] ‫כי‬ ‫ההוכחה‬ 35 .G0 G1 ‫כי‬ ‫היא‬ ‫הטענה‬ :‫תזכורת‬ :‫כך‬ ‫פועל‬ P-‫ל‬ V ‫בין‬ ‫הפרוטוקול‬ P-‫ל‬ ‫ושולח‬ .π ‫אחידה‬ ‫תמורה‬ ‫ומגריל‬ (G0, G1 ‫הגרפים‬ ‫משני‬ ‫אחד‬ ‫בעצם‬ ‫)שזהו‬ b ∈ {0, 1} ‫אחד‬ ‫ביט‬ ‫מגריל‬ V .‫א‬ .π (Gb) ‫את‬ .c ‫ביט‬ ‫בחזרה‬ ‫ושולח‬ b ‫מהו‬ ‫לנחש‬ ‫מנסה‬ P .‫ב‬ V (G0, G1, b, π, c) = { Accept c = b Reject c ̸= b .‫ברורה‬ V ‫של‬ ‫היעילות‬ :‫שלמות‬ .G ∈ π (G0)∧G ∈ π (G1)-‫ש‬ ‫כך‬ G ‫גרף‬ ‫אף‬ ‫אין‬ ‫כלומר‬ , 9 ‫זרות‬ ‫ההתפלגויות‬ ‫אזי‬ ,(‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ,‫)כלומר‬ G0 G1 ‫אם‬ c = 0 ‫לענות‬ ‫ואז‬ G0-‫ב‬ ‫אליו‬ ‫שנשלח‬ ‫הגרף‬ ‫האם‬ ‫לחשב‬ ‫יכול‬ ‫האפשריות‬ ‫התמורות‬ |V |! ‫כל‬ ‫סריקת‬ ‫עי‬ ‫יכול‬ P-‫ה‬ ‫לכן‬ .c = 1-‫ב‬ ‫לענות‬ ‫ואחרת‬ .V (G0, G1, b, π, c) = Accept :‫ולכן‬ ,c = b ‫בברור‬ :‫נאותות‬ .10 π ‫בכל‬ ‫פעמים‬ ‫מספר‬ ‫אותו‬ ‫מופיע‬ ‫גרף‬ ‫כל‬ ,‫כלומר‬ ,‫זהות‬ ‫ההתפלגויות‬ ‫אזי‬ (‫שקרית‬ ‫הטענה‬ ,‫)כלומר‬ G0 ∼= G1 ‫אם‬ :‫ולכן‬ π (G1)-‫ל‬ π (G0) ‫בין‬ ‫להבין‬ ‫יכול‬ ‫לא‬ P ,‫לכן‬ Pr [c ̸= b] = 1 2 ⇓ Pr [V (G0, G1, b, π, c) = Reject] = 1 2 ‫קבוע‬ K ‫כאשר‬ IP [K] 36 .‫הצדדים‬ ‫לשני‬ ‫גלויות‬ ‫הן‬ AM-‫וב‬ ,‫סודיות‬ ‫הן‬ ‫ההטלות‬ IP-‫ב‬ ‫רק‬ IP ‫כמו‬ ‫זה‬ - AM AM = AM [2] = ∪ K IP [K] .‫קבוע‬ K ‫כאשר‬ .1 = ‫שלמות‬ ‫לייצר‬ ‫כדי‬ ‫פומביות‬ ‫הודעות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫מספיקות‬ ,‫כלומר‬ .AM ⊆ Π2P ‫כי‬ ‫ידוע‬ ‫גרף‬ ‫אף‬ ‫לנו‬ ‫יהיה‬ ‫לא‬ - ‫איזומורפים‬ ‫אינם‬ ‫הם‬ ‫אם‬ ,‫שווים‬ ‫הם‬ ‫מתי‬ ‫ונראה‬ ‫מהגרפים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫האפשרויות‬ ‫התמונות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬9 .‫גרף‬ ‫לאף‬ ‫ששווה‬ ‫אזי‬ ,(‫האפשריות‬ ‫הפרמוטציות‬ ‫כל‬ ‫)את‬ ‫האפשריים‬ ‫הגרפים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫תכיל‬ ‫עמודה‬ ‫וכל‬ ‫האפשריות‬ (‫)הגרפים‬ ‫הפרמוטציות‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫טבלה‬ ‫נעשה‬ ‫אם‬10 .‫עמודה‬ ‫בכל‬ ‫פעמים‬ ‫מספר‬ ‫אותו‬ ‫יופיע‬ ‫גרף‬ ‫אותו‬ ‫שבו‬ ‫מצב‬ ‫ייווצר‬ 36
  • 37.
    Zero Knowledge-‫ה‬ ‫עיקרון‬38‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ (‫המרכזי‬ ‫)המשפט‬ IP ‫הגדרת‬ 37 IP = IP [poly (n)] = ∪ c∈N IP [K = Θ (nc )] :‫ולכן‬ IP = PSPACE .(K = 2) ‫בקבוע‬ ‫מדובר‬ (35) GNISO-‫ה‬ ‫בפרוטוקול‬ ,‫למשל‬ Zero Knowledge-‫ה‬ ‫עיקרון‬ 38 ?P-‫מ‬ V ‫מקבל‬ ‫אינפורמציה‬ ‫כמה‬ :‫היא‬ ‫כאן‬ ‫השאלה‬ .‫אחד‬ ‫ביט‬ ‫היא‬ ?”x ∈ L” ‫לשאלה‬ ‫התשובה‬ ‫כאשר‬ (NP) ‫קלאסית‬ ‫הוכחה‬ ‫מערכת‬ 38.1 .‫ביטים‬ n :SAT .‫ביטים‬ Θ (|V |) :3 − COL .x ∈ L-‫ש‬ ‫טענה‬ ‫אותה‬ ‫בהוכחת‬ P-‫ה‬ ‫את‬ ‫להחליף‬ ‫יכול‬ V -‫ה‬ :‫מסקנה‬ [IP] ‫אינטראקטיביות‬ ‫הוכחות‬ ‫מערכת‬ 38.2 :(35) GNISO ‫של‬ ‫הפרוטוקול‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ !‫דבר‬ ‫יודע‬ ‫אינו‬ V ,(‫שלמות‬ ‫שיש‬ ‫כיוון‬ ‫שראינו‬ ‫כמו‬ ‫וודאית‬ ‫)שהיא‬ G0 G1-‫ש‬ ‫לידיעה‬ ‫מעבר‬ ...Zero Knowledge ‫שנקרא‬ ‫מה‬ ‫זה‬ !‫בעצמו‬ ‫ביעילות‬ ‫האינטראקציה‬ ‫את‬ ‫לסמלץ‬ ‫יכול‬ ‫היה‬ V ‫אזי‬ G0 G1-‫ש‬ ‫כבר‬ ‫יודע‬ ‫שהיה‬ ‫נניח‬ ,‫אחרות‬ ‫במילים‬ .(P ‫את‬ ‫חייב‬ ‫הוא‬ - ‫זאת‬ ‫יודע‬ ‫לא‬ ‫שהוא‬ ‫בגלל‬ ‫)אבל‬ :5 ‫הסבר‬ ‫דרך‬ ‫שום‬ ‫לנו‬ ‫אין‬ ,‫כלומר‬ .‫הביט‬ ‫אותו‬ ‫מלבד‬ ‫אינפורמציה‬ ‫לנו‬ ‫מעביר‬ ‫לא‬ P-‫ש‬ ‫הוא‬ Zero Knowledge -‫ב‬ ‫הרעיון‬ .‫מידע‬ ‫ממנו‬ ‫מקבלים‬ ‫שאנחנו‬ ‫עד‬ ‫שקרית‬ ‫או‬ ‫נכונה‬ (x ∈ L) ‫הטענה‬ ‫האם‬ ‫לדעת‬ ‫את‬ ‫להחליף‬ ‫נוכל‬ ‫שאנחנו‬ ‫כדי‬ ‫כלומר‬ ,‫בעצמנו‬ ‫לשפוט‬ ‫נדע‬ ‫שאנחנו‬ ‫כדי‬ ‫מספיק‬ ‫לא‬ - ‫מקבלים‬ ‫שאנחנו‬ ‫המידע‬ ‫וגם‬ ‫כמות‬ ‫בגלל‬ P ‫את‬ ‫להחליף‬ ‫יכולים‬ ‫אנחנו‬ ,38.1 - (NP) ‫קלאסית‬ ‫הוכחה‬ ‫ב-מערכת‬ ‫למשל‬ ‫)כי‬ .‫הבאים‬ ‫במקרים‬ P .(‫לנו‬ ‫מספק‬ ‫שהוא‬ ‫האינפורמציה‬ ‫נאותות‬ + ‫שלמות‬ + ‫יעילות‬ :‫שמקיים‬ ‫פרוטוקול‬ ‫להמציא‬ ‫קל‬ .‫רבות‬ ‫חישוביות‬ ‫למשימות‬ ‫טוב‬ Zero Knowledge -‫ה‬ .‫הפרוטוקול‬ ‫לפי‬ ‫פועלים‬ (‫)מחשבים‬ ‫השחקנים‬ ‫שכל‬ ‫בהנחה‬ ‫לפי‬ ,‫)כלומר‬ Zero Knowledge-‫ב‬ ‫פעל‬ ‫שהוא‬ ‫האחרים‬ ‫לשחקנים‬ ‫להוכיח‬ ‫יוכל‬ ‫מהשחקנים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫לכך‬ ‫בנוסף‬ .(‫הפרוטוקול‬ ‫להתחזות‬ ‫בעתיד‬ ‫ניתן‬ ‫שיהיה‬ ‫מבלי‬ ‫השני‬ ‫מול‬ ‫אחת‬ ‫להזדהות‬ ‫למחשבים‬ ‫למשל‬ ‫מאפשרת‬ Zero Knowledge-‫ה‬ ‫תכונת‬ .(‫לכך‬ ‫מספיק‬ ‫לא‬ ‫ההזדהות‬ ‫עבור‬ ‫שנשלח‬ ‫המידע‬ ‫)כי‬ ‫מהם‬ ‫לאחד‬ 37
  • 38.
    ‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחות‬39‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :‫לזכור‬ ‫כדאי‬ .‫לא‬ ‫או‬ ‫אמיתית‬ ‫היא‬ ‫אם‬ (‫)מוודא‬ ‫מאמת‬ ‫הוא‬ ‫הוכחה‬ ‫בהינתן‬ ,‫כלומר‬ ,‫מאמת‬ ‫הוא‬ - V .(‫)המוכיח‬ P-‫ה‬ ‫לו‬ ‫מספק‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫עיקרון‬ ‫של‬ ‫במקרה‬ ‫למשל‬ ,(‫לא‬ ‫או‬ ‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ‫האם‬ ,‫)כלומר‬ ‫לטענה‬ ‫הוכחה‬ V -‫ל‬ ‫מספק‬ P ‫טענות‬ ‫של‬ ‫בהקשר‬ .‫לכך‬ ‫מעבר‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ,‫לא‬ ‫או‬ ‫נכונה‬ ‫הטענה‬ ‫האם‬ ‫המידע‬ ‫את‬ ‫מספק‬ P - (38) Zero Knowledge-‫ה‬ .‫שלו‬ ‫ההוכחה‬ ‫דרך‬ ‫את‬ ‫מספק‬ ‫ממש‬ P-‫ה‬ ‫שמה‬ - (38.1) ‫קלאסית‬ ‫הוכחה‬ ‫במערכת‬ X ‫חלק‬ ‫הוכחות‬ .‫בקורס‬ ‫מרכזיות‬ ‫הוכחות‬ ‫יסקרו‬ ‫זה‬ ‫בחלק‬ ‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחות‬ 39 ‫הוכחה‬ ‫של‬ ‫רעיון‬ ‫היא‬ (‫קנטור‬ ‫של‬ ‫האלכסון‬ :‫)או‬ ‫באלכסון‬ ‫ההוכחה‬ ‫בשיטת‬ ‫הרעיון‬ ‫קאנטור‬ ‫ג'ורג‬ ‫מההוכחה‬ ‫במקצת‬ ‫שונה‬ ‫)שהוא‬ ‫הלכסון‬ ‫רעיון‬ ‫זה‬ - ‫הראשון‬ - ‫רעיונות‬ ‫משתי‬ ‫שמורכב‬ ‫לשחק‬ ‫שלנו‬ ‫היכולת‬ ‫זה‬ - ‫והשני‬ ,(‫אחרת‬ ‫יתואר‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫ולכן‬ |ℵ0| |ℵ|-‫ש‬ ‫המתמטית‬ ‫אנחנו‬ ‫אם‬ ,‫ומספריים‬ ‫נייר‬ ‫באבן‬ ,‫)למשל‬ ‫אותו‬ ‫לנצח‬ ‫וכך‬ ‫השני‬ ‫השחקן‬ ‫אחרי‬ ‫אחד‬ ‫מהלך‬ ‫שלנו‬ ‫במקרה‬ .(‫אותו‬ ‫לנצח‬ ‫יכולים‬ ‫תמיד‬ ‫אנחנו‬ - ‫השני‬ ‫השחקן‬ ‫אחרי‬ ‫מיד‬ ‫משחקים‬ ‫אחרי‬ ‫לא‬ ‫או‬ ‫המילה‬ ‫את‬ ‫לקבל‬ ‫האם‬ ‫מכריעים‬ ‫אנחנו‬ ‫שבהן‬ ‫טיורינג‬ ‫במכונות‬ ‫מדובר‬ .(‫בהמשך‬ ‫יורחב‬ ‫כמובן‬ ‫זה‬ ‫על‬ ‫)אבל‬ .‫רצה‬ ‫שהמכונה‬ :‫סמלים‬ ‫בשלושה‬ ‫נשתמש‬ ,‫הלכסון‬ ‫רעיון‬ ‫את‬ ‫להבין‬ ‫בשביל‬ .‫וההפך‬ -‫ל‬ -‫מ‬ ,‫כלומר‬ ,‫האחרים‬ ‫שני‬ ‫בין‬ ‫המעבר‬ ‫את‬ ‫סמל‬ ‫אשר‬ - ‫ו‬ , , :‫הבאה‬ ‫הטבלה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ ‫קנטור‬ ‫של‬ ‫האלכסון‬ :6 ‫איור‬ x1 x2 x3 x4 · · · M1 M2 M3 M4 ... ,‫טיורינג‬ ‫מכונות‬ ‫ואינסוף‬ ‫קלטים‬ ‫אינסוף‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כאשר‬ (x) ‫מסוים‬ ‫קלט‬ ‫על‬ (M) ‫מכונה‬ ‫של‬ ‫ריצה‬ ‫מייצג‬ ‫בטבלה‬ ‫תא‬ ‫כל‬ .11 ‫בטבלה‬ ‫פעמים‬ ‫אינסוף‬ ‫מיוצגת‬ Mi ‫מכונה‬ ‫כל‬ ,‫וכמו-כן‬ . :‫מקבלים‬ x2 ‫על‬ M1 ‫את‬ ‫שמריצים‬ ,‫כלומר‬ .‫למשל‬ ⟨M1, x2⟩ = ‫כעת‬ :‫הבאה‬ ‫הפונקציה‬ ‫זאת‬ ‫שם‬ ‫שיש‬ ‫שמה‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ :‫באלכסון‬ ‫שקורה‬ ‫מה‬ ‫זה‬ ‫אותנו‬ ‫שמעניין‬ ‫מה‬ ‫אבל‬ ⟨Mi, xi⟩ = { ⟨Mi, xi⟩ = ⟨Mi, xi⟩ = .‫כפלט‬ ‫מכריזה‬ ‫מכונה‬ ‫שאותה‬ ‫ממה‬ ‫ההפך‬ ‫את‬ ‫בדיוק‬ ‫יש‬ ‫באלכסון‬ ,‫כלומר‬ .‫מההוכחות‬ ‫בחלק‬ ‫זה‬ ‫בנתון‬ ‫נשתמש‬11 38
  • 39.
    ‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחות‬39‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫העצירה‬ ‫בעיית‬ ‫אי-כריעות‬ ‫הוכחת‬ 39.1 HALT = { ⟨M⟩ , x x ‫קלט‬ ‫על‬ ‫עוצרת‬ M ‫מט‬ } ‫הנחות‬ 39.1.1 .‫קבועה‬ ‫טריוויאלית‬ ‫מט‬ ‫מייצגת‬ Mi ‫אזי‬ ,‫תקינה‬ ‫לא‬ Mi ‫מט‬ ‫אם‬ .‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫מייצגת‬ (xi) ‫מחרוזת‬ ‫כל‬ .‫א‬ .(‫מימוש‬ ‫ואותו‬ ‫תכנית‬ ‫)אותה‬ ‫במנייה‬ ‫פעמיים‬ ‫אינסוף‬ ‫מופיעה‬ ‫מכונה‬ ‫כל‬ .‫ב‬ ‫ההוכחה‬ 39.1.2 :i ‫הוכחה‬ HALT ‫את‬ ‫שמכריעה‬ MH ‫מכונה‬ ‫שקיימת‬ ‫בשלילה‬ ‫נניח‬ :‫כלומר‬ ,‫ההפך‬ ‫ומתנהגת‬ MH ⟨⟨Mi⟩ , xi⟩ ‫הריצה‬ ‫את‬ ‫מסמלצת‬ ‫היא‬ :xi ‫קלט‬ ‫על‬ MD ‫מלכסנת‬ ‫מכונה‬ ‫נגדיר‬ ‫של‬ ‫למצב‬ ‫נכנסת‬ MD .‫אינסופית‬ ‫ריצה‬ ,MD (xi) = ∞ ,MH ⟨⟨Mi⟩ , xi⟩ = Accept .‫מיד‬ ‫עוצרת‬ MD ,MD (xi) ̸= ∞ ,MH ⟨⟨Mi⟩ , xi⟩ = Reject . ⊙ -‫ב‬ ‫זאת‬ ‫נסמן‬ .12 xD ‫הקלט‬ ‫על‬ MD ‫את‬ ‫שנריץ‬ ‫הוא‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ ,‫כעת‬ :‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬ ‫כעת‬ MH (⟨ MD ⟩ , xD ) = Reject MH (⟨ MD ⟩ , xD ) = Accept ⇓ MH -‫ש‬ ‫ההנחה‬ ‫לפי‬ HALT ‫את‬ ‫מכריעה‬ ⇓ MD ( xD ) ̸= ∞ MD ( xD ) = ∞ MD ( xD ) = ∞ ⊙ ‫לפי‬ MD ( xD ) ̸= ∞ !‫סתירה‬ !‫סתירה‬ .MD ̸= Mi :i ‫לכל‬ ,‫כלומר‬ ,‫כזאת‬ MD ‫מכונה‬ ‫קיימת‬ ‫שלא‬ ‫ומכאן‬ :6 ‫הסבר‬ :‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫בהוכחה‬ ‫הרעיון‬ ‫מכונה‬ ,‫כלומר‬ ,‫מלכנסת‬ ‫מכונה‬ ‫מגדירים‬ ‫אנחנו‬ .HALT ‫את‬ ‫שמכריעה‬ h ‫מכונה‬ ‫קיימת‬ ‫כי‬ ‫בשלילה‬ ‫מניחים‬ ‫אנחנו‬ (‫קנטור‬ ‫של‬ ‫)האלכסון‬ ‫בטבלה‬ ‫האלכסון‬ ‫על‬ ‫רק‬ ‫עובדת‬ ‫המכונה‬ - ‫אחרות‬ ‫במילים‬ .‫בלבד‬ ‫האלכסון‬ ‫על‬ ‫שמשפיעה‬ .‫הופכת‬ ‫היא‬ ‫שם‬ ‫תוצאה‬ ‫-וכל‬ ‫המכונה‬ ,‫כלומר‬ ,‫עצמה‬ ‫של‬ ‫התשובה‬ ‫את‬ ‫הופכת‬ ‫היא‬ ‫ולכן‬ .‫עצמה‬ ‫את‬ ‫למכונה‬ ‫שולחים‬ ‫שאנחנו‬ ‫מכך‬ ‫מגיעה‬ ‫הסתירה‬ .‫אותה‬ ‫שהגדרנו‬ ‫איך‬ ‫עפ‬ ‫תתן‬ ‫היא‬ ‫עצמה‬ ‫את‬ ‫לה‬ ‫שנותנים‬ ‫ברגע‬ ‫אבל‬ ,‫למשל‬ ‫לנו‬ ‫תתן‬ ‫טבעי‬ ‫באופן‬ .‫סתירה‬ ‫וזאת‬ - ‫וגם‬ ‫שגם‬ ‫היא‬ ‫והתשובה‬ ?‫תתן‬ ‫היא‬ ‫פלט‬ ‫איזה‬ - ‫השאלה‬ ‫נשאלת‬ ‫לכן‬ .‫בטבלה‬ ‫נמצאת‬ ‫לא‬ ‫היא‬ ‫כי‬ ‫מכונה‬ ‫קיימת‬ ‫שלא‬ ‫מכך‬ ‫נובע‬ ‫ולכן‬ .‫עצמה‬ ‫את‬ ‫למכונה‬ ‫נותנים‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬ .xD = xl ‫אזי‬ l ‫הוא‬ MD ‫של‬ ‫האינדקס‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬12 39
  • 40.
    ‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחות‬39‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ 13 ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ 39.2 xi ‫של‬ ‫המשמעות‬ ,‫למשל‬ .‫שם‬ ‫והוסברו‬ ‫כאן‬ ‫הוסברו‬ ‫שלא‬ ‫חלקים‬ ‫יש‬ ‫לכן‬ ,i ‫להוכחה‬ ‫דומים‬ ‫מאוד‬ ‫פרטים‬ ‫בהוכחה‬ ‫יש‬ .‫הדבר‬ ‫אותו‬ ‫היא‬ Mi-‫ו‬ :ii ‫הוכחה‬ .T1 = n2 , T2 = n3 ‫נגדיר‬ .‫בלבד‬ ‫צעדים‬ 14 Θ ( n2 ) ‫למשך‬Mi ‫המכונה‬ ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫את‬ ‫מסמלצת‬ xi ‫שעל‬ M′ ‫מלכסנת‬ ‫מט‬ ‫נגדיר‬ :‫האפשרויות‬ ‫שלושת‬ ‫אלו‬ ‫צעדים‬ Θ ( n2 ) ‫לאחר‬ M′ (xi) =    Reject Mi (xi) = Accept Accept Mi (xi) = Reject Reject Mi (xi) = ‫עצרה‬ ‫טרם‬ .(‫במקום‬ Accept ‫גם‬ ‫אפשר‬ ‫השלישי‬ ‫)במקרה‬ :‫בזמן‬ ,‫כלומר‬ ,‫צעדים‬ Θ ( n2 ) ‫של‬ ‫לסימולציה‬ ‫שנדרש‬ ‫בזמן‬ ‫קלט‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫עוצרת‬ M′ Θ ( n2 ln ( n2 )) = Θ ( n2 ln (n) ) ≤ Θ ( n3 ) .AcceptReject ‫שהוא‬ ‫פלט‬ ‫מניבה‬ ‫קלט‬ ‫כל‬ ‫ועל‬ :‫נגדיר‬ L′ = { x M′ (x) = Accept } x ∈ L′ ⇐⇒ M′ (x) = Accept L′ ∈ D − Time ( n3 ) :‫ולכן‬ Θ ( n3 ) ‫בזמן‬ L′ ‫את‬ ‫מכריעה‬ M′ ‫כי‬ ‫הוכחנו‬ :‫ולכן‬ Θ ( n2 ) ‫בזמן‬ L′ ‫את‬ ‫מכריעה‬ ‫לא‬ ‫מכונה‬ ‫אף‬ ‫כי‬ ‫נוכיח‬ (12.1) ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫את‬ ‫להוכיח‬ ‫בשביל‬ .L′ /∈ D − Time ( n2 ) .‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫צעדים‬ Θ ( n2 ) ‫תוך‬ L′ ‫את‬ ‫מכריעה‬ Mi ‫עבורו‬ i ‫שיש‬ ‫בשלילה‬ ‫נניח‬ :M′ (x) ‫ההרצה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ .(‫הריצה‬ ‫את‬ ‫מסיימת‬ ‫לא‬ ‫)שהמכונה‬ ‫השלישית‬ ‫האפשרות‬ ‫מתקיימת‬ ‫לא‬ ‫צעדים‬ Θ ( n2 ) ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫רצה‬ M′ -‫ש‬ ‫מכיוון‬ :‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬ ‫לכן‬ Mi (xi) = Reject Mi (xi) = Accept M′ (xi) = Accept M′ ‫הגדרת‬ ‫לפי‬ M′ (xi) = Reject xi /∈ L′ L′ ‫הגדרת‬ ‫לפי‬ xi /∈ L′ !‫מצב‬ ‫בכל‬ xi ‫על‬ ‫טועה‬ Mi .Θ ( n2 ) -‫ב‬ L′ ‫את‬ ‫מכריעה‬ Mi ‫שעבורו‬ i ‫קיים‬ ‫שלא‬ ‫ומכאן‬ Θ-‫ב‬ ‫טיפול‬ 39.2.1 Time (Mi (x)) ≤ C · n2 :‫כלומר‬ ,C · n2 n2 ‫שבו‬ ‫מצב‬ ‫להיות‬ ‫ויכול‬ ,Θ ( n2 ) = C · n2 - (14) ‫כאן‬ ‫שהוער‬ ‫כמו‬ .‫יקרה‬ ‫לא‬ ‫שזה‬ ‫לדאוג‬ ‫וצריך‬ ‫שני‬ ‫ומתקיימים‬ l i :‫ש‬ ‫כך‬ l ‫קיים‬ Mi ‫עבור‬ ‫ולכן‬ ,‫פעמים‬ ‫אינסוף‬ ‫מופיעה‬ ‫מכונה‬ ‫כל‬ - 6 ‫באיור‬ ‫שנכתב‬ ‫כמו‬ ,‫לכן‬ :‫הבאים‬ ‫התנאים‬ .‫בלכסון‬ ‫שמתרכזת‬ ‫חלקית‬ ‫בהוכחה‬ ‫אלא‬ ‫מלאה‬ ‫בהוכחה‬ ‫מדובר‬ ‫לא‬13 C ∈ N+ ‫כאשר‬ C · n2 ‫במשך‬ ‫תרוץ‬ ‫שהיא‬ ‫היא‬ ‫כאן‬ ‫הכוונה‬14 40
  • 41.
    BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬40‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .Mi = Ml .‫א‬ .C · |xl| 2 ≤ |xl| 2.1 .‫ב‬ :‫ולכן‬ ‫הצליח‬ ‫הלכסון‬ ‫אזי‬ '‫ג‬ ‫במצב‬ ‫לא‬ ‫ואנחנו‬ ‫היות‬ .L′ ‫את‬ ‫מכריעה‬ ‫לא‬ Ml BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ 40 .‫חלקים‬ ‫משני‬ ‫מורכב‬ ‫שהמשפט‬ ‫מכיוון‬ ‫חלקים‬ ‫לשני‬ ‫תחולק‬ BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ .‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחה‬ ‫היא‬ (40.2 ,BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫שני‬ ‫החלק‬ ‫)הוכחת‬ ‫השנייה‬ ‫ההוכחה‬ 15 BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫הראשון‬ ‫החלק‬ ‫הוכחת‬ 40.1 .PA = NPA ‫מתקיים‬ ‫עבורו‬ A ‫אורקל‬ ‫ישנו‬ ‫כי‬ ‫להראות‬ ‫נרצה‬ .A = TQBF ‫האורקל‬ ‫באמצעות‬ ‫זאת‬ ‫נראה‬ :iii ‫הוכחה‬ .PT QBF = PSPACE = NPT QBF ‫כי‬ ‫נראה‬16 :‫תת-הוכחות‬ ‫שלוש‬ ‫באמצעות‬ ‫זאת‬ ‫נראה‬ .PSPACE ⊆ PT QBF .‫א‬ .PT QBF ⊆ NPT QBF .‫ב‬ .NPT QBF ⊆ PSPACE .‫ג‬ .‫א‬ ,‫כלומר‬ ,‫שלמה‬ PSPACE ‫היא‬ TQBF ‫כי‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬ .TQBF ∈ PSPACE ‫וכמו-כן‬ L ≤p TQBF :L ∈ PSPACE ‫לכל‬ .L ∈ P T QBF ⇐ L ∈ P SP ACE : ‫צל‬ :‫הוכחה‬ .TQBF-‫ל‬ ‫אותה‬ ‫שמעביר‬ x ‫קלט‬ ‫על‬ ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ ‫קיימת‬ ‫אזי‬ L ∈ PSPACE ‫אם‬ ,‫תשובתו‬ ‫את‬ ‫ונחזיר‬ PT QBF ‫של‬ ‫האורקל‬ ‫את‬ ‫ונשאל‬ x ‫על‬ ‫הרדוקציה‬ ‫את‬ ‫נפעיל‬ .L ∈ PT QBF -‫ש‬ ‫ומכאן‬ .‫ב‬ .L ∈ NP T QBF ⇐ L ∈ P T QBF : ‫צל‬ :‫הוכחה‬ .TQBF ‫של‬ ‫לאורקל‬ ‫פניה‬ ‫באמצעות‬ ‫השפה‬ ‫את‬ ‫ביעילות‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ L ∈ PT QBF ‫אם‬ .L ∈ NPT QBF ‫ולכן‬ ‫לא-דטרמיניסטית‬ ‫בצורה‬ ‫ביעילות‬ ‫גם‬ ‫אותה‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫שיהיה‬ ‫בוודאי‬ ‫ולכן‬ .‫ג‬ .L ∈ P SP ACE ⇐ L ∈ NP T QBF : ‫צל‬ :‫הוכחה‬ .‫ולא-דטרמיניסטית‬ ‫יעילה‬ ‫בצורה‬ TQBF ‫של‬ ‫האורקל‬ ‫באמצעות‬ L ‫את‬ ‫להכריע‬ ‫ניתן‬ ‫אזי‬ L ∈ NPT QBF ‫אם‬ .‫תשובתו‬ ‫את‬ ‫ונחזיר‬ TQBF ‫של‬ ‫האורקל‬ ‫את‬ ‫ונשאל‬ ‫קלט-קלט‬ ‫שנעבור‬ ‫זה‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ ,‫לכן‬ :‫אפשרויות‬ ‫שלוש‬ ‫ישנן‬ ‫השני‬ ‫החלק‬ ‫בשביל‬ ‫כאן‬ ‫זה‬ ‫אבל‬ ,‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחה‬ ‫לא‬ ‫זאת‬15 .‫נכונה‬ ‫בהכרח‬ ‫לא‬ ‫כאן‬ ‫ההוכחה‬16 41
  • 42.
    BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬40‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .x ∈ L-‫ש‬ ‫ומחזירים‬ ‫מסיימים‬ ‫אנחנו‬ - ‫כן‬ ‫מחזיר‬ ‫האורקל‬ .‫א‬ ‫וממשיכים‬ ‫הזיכרון‬ ‫בסרט‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫את‬ ‫מוחקים‬ ‫אנחנו‬ - ‫נגמרו‬ ‫לא‬ ‫עוד‬ ‫הקלט‬ ‫ואפשרויות‬ ‫לא‬ ‫מחזיר‬ ‫האורקל‬ .‫ב‬ .(‫זיכרון‬ ‫)מחזור‬ ‫הבא‬ ‫לקלט‬ .x /∈ L-‫ש‬ ‫ומחזירים‬ ‫מסיימים‬ ‫אנחנו‬ - ‫קלט‬ ‫אפשרויות‬ ‫יותר‬ ‫ואין‬ ‫לא‬ ‫אומר‬ ‫האורקל‬ .‫ג‬ ‫שהיא‬ ‫בשפה‬ ‫מדובר‬ ‫אזי‬ ,(‫פולינומית‬ ‫חסום‬ TQBF ‫של‬ ‫)הקלט‬ ‫פולינומית‬ ‫חוסם‬ ‫הוא‬ ‫הקלט‬ ‫ואורך‬ ‫זיכרון‬ ‫ומחזרנו‬ ‫היות‬ .PSPACE-‫ב‬ .L ∈ PSPACE ,‫כלומר‬ BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫שני‬ ‫החלק‬ ‫הוכחת‬ 40.2 :‫יתקיים‬ ‫עבורם‬ L ‫ושפה‬ O ‫אורקל‬ ‫ישנו‬ ‫כי‬ ‫להראות‬ ‫נרצה‬ ‫אנחנו‬ 29.2 ‫משפט‬ ‫את‬ ‫להוכיח‬ ‫בשביל‬ L ∈ NPO PO .L /∈ PO ,‫כלומר‬ :iv ‫הוכחה‬ :‫הבאה‬ ‫השפה‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ L = LO = { 1n n ‫באורך‬ ‫מחרוזת‬ O − ‫ב‬ ‫יש‬ } :‫למשל‬ O = {01, 11, 1010, 1111, . . .} 11 , 13 , 19 /∈ L 12 , 16 , 114 ∈ L On = { x ∈ O |x| = n } .(O ‫אורקל‬ ‫)לכל‬ Lo ∈ NPO .‫כמותו‬ ‫ותענה‬ x ? ∈ O ‫האורקל‬ ‫את‬ ‫תשאל‬ x ∈ {0, 1} n ‫תנחש‬ M ‫מטלד‬ 1n ‫קלט‬ ‫בהינתן‬ .(‫)תקבל‬ MO (1n ) = Accept ‫ואז‬ ‫כן‬ ‫יענה‬ O ‫עבורו‬ x ‫ניחוש‬ ‫יש‬ 1n ∈ LO .(‫)תדחה‬ MO (1n ) = Reject ‫ואז‬ ‫לא‬ ‫יענה‬ O x ‫ניחוש‬ ‫לכל‬ 1n /∈ LO ?L /∈ P O ‫שיתקיים‬ ‫כך‬ O ‫את‬ ‫נגדיר‬ ‫איך‬ (‫הלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫נשתמש‬ ‫אנחנו‬ ‫אבל‬ ,‫הסתברותית‬ ‫שיטה‬ ‫)ישנה‬ .‫שאלות‬ 2n − 1 ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫שואלת‬ ‫היא‬ 1n ‫קלט‬ ‫על‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ,‫סבירה‬ M ‫מכונה‬ ‫נגדיר‬ .yi /∈ On ‫סופית‬ ‫נכריע‬ y1, . . . , ym ‫שאילתה‬ ‫לכל‬ :‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫ישנן‬ y ∈ {0, 1} n ‫עבור‬ MO (1n ) = Reject MO (1n ) = Accept .‫ריקה‬ On-‫ש‬ ‫טוענת‬ Mn ‫נגדיר‬ y /∈ {y1, . . . , ym} ‫לכל‬ .On ̸= ∅ ‫ואז‬ y ∈ On .‫ריקה‬ ‫לא‬ On-‫ש‬ ‫טוענת‬ Mn ‫נגדיר‬ y /∈ {y1, . . . , ym} ‫לכל‬ .On = ∅ ‫ואז‬ y /∈ On 1n ‫על‬ ‫טועה‬ Mn 1n ‫על‬ ‫טועה‬ Mn :‫בעיות‬ ‫בשתי‬ ‫לטפל‬ ‫לנו‬ ‫נשאר‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫להשלים‬ ‫בשביל‬ ‫כעת‬ 42
  • 43.
    ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF-‫ש‬‫ההוכחה‬ 41‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ Θ-‫ב‬ ‫טיפול‬ 40.2.1 .(‫בעיקרון‬ ‫בעיה‬ ‫)אותה‬ (39.2) ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫בהוכחת‬ Θ-‫ב‬ ‫טיפול‬ ‫של‬ ‫למקרה‬ ‫דומה‬ Θ-‫ב‬ ‫הטיפול‬ .C · n′k ≤ 2n′ − 1-‫ו‬ Mn = Mn′ -‫ש‬ ‫שיתקיים‬ ‫כך‬ n′ n ‫נחפש‬ ‫אנחנו‬ ‫שכאן‬ ‫רק‬ ‫טופלו‬ ‫שכבר‬ ‫בקלטים‬ ‫טיפול‬ 40.2.2 ‫תוכל‬ ‫פשוט‬ ‫היא‬ ‫ואז‬ ‫בהם‬ ‫לגעת‬ ‫שנרצה‬ ‫מסוימים‬ ‫בקלטים‬ ‫כבר‬ ‫טיפלה‬ Mn-‫ש‬ ‫להיות‬ ‫שיכול‬ ‫היא‬ ‫הגדולות‬ ‫הבעיות‬ ‫אחת‬ .2n − 1 ‫של‬ ‫המחסום‬ ‫את‬ ‫לעקוף‬ ‫וככה‬ ‫עליהם‬ ‫לדלג‬ ‫קודמות‬ ‫שמכונות‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫אבל‬ ,n ‫באורך‬ ‫שאילתות‬ ‫רק‬ ‫נשאלות‬ Mn (1n ) ‫בריצת‬ 1n ‫קלט‬ ‫שעל‬ ‫הנחנו‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬ (‫אלו‬ ‫קלטים‬ ‫על‬ ‫שאלו‬ ‫כבר‬ n-‫מ‬ ‫קטן‬ ‫שלהן‬ ‫שהאינדקס‬ ‫)כאלה‬ ‫על‬ Mn ‫את‬ ‫נריץ‬ ‫ואז‬ ,n-‫מ‬ ‫קטן‬ ‫הסידורי‬ ‫שמספרן‬ ‫המכונות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫נריץ‬ Θ-‫ב‬ ‫שטיפלנו‬ ‫שאחרי‬ ‫הוא‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ ,‫לכן‬ .‫הקודמות‬ ‫המכונות‬ ‫של‬ ‫בשאילתות‬ ‫הופיע‬ ‫שלא‬ ‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫המחרוזת‬ ‫אורך‬ = s ‫כאשר‬ 1s ‫קלט‬ .‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ On ‫את‬ ‫להכריע‬ ‫יכולה‬ ‫לא‬ ‫והיא‬ L /∈ PO ‫כי‬ ‫יודעים‬ ‫אנחנו‬ ‫אלו‬ ‫בעיות‬ ‫בשתי‬ ‫שטיפלנו‬ ‫אחרי‬ :7 ‫הסבר‬ :‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫ההוכחה‬ ‫של‬ ‫הרעיון‬ ‫שהיא‬ ‫מה‬ .‫לא‬ ‫או‬ On-‫ב‬ y ‫האם‬ ‫לנחש‬ ‫לה‬ ‫ונותנים‬ ,(‫לנו‬ ‫)מותר‬ ‫שאילתות‬ 2n − 1-‫ל‬ ‫המכונה‬ ‫את‬ ‫מגבילים‬ ‫אנחנו‬ .‫ההפך‬ ‫נענה‬ ‫תמיד‬ ‫אנחנו‬ - ‫תענה‬ ‫לא‬ ?‫איך‬ - ‫שאילתות‬ 2n − 1-‫ל‬ ‫המכונה‬ ‫את‬ ‫מגבילים‬ ‫שאנחנו‬ ‫וברגע‬ ,‫אפשרויות‬ 2n ‫ישנן‬ ‫אזי‬ {0, 1} n ‫וקטור‬ ‫על‬ ‫מדובר‬ ‫אם‬ ‫קודמות‬ ‫שמכונות‬ ‫קלטים‬ ‫יש‬ ‫אם‬ ‫)ומה‬ .‫אקספוננציאלי‬ ‫בזמן‬ ‫רק‬ ‫אלא‬ ‫כולם‬ ‫על‬ ‫לשאול‬ ‫תוכל‬ ‫לא‬ ‫שהיא‬ ‫בוודאי‬ ‫אזי‬ .40.2.2 :‫כאן‬ ‫נידון‬ ‫זה‬ ?‫צעדים‬ 2n ‫לעשות‬ ‫וכן‬ ‫הללו‬ ‫מהשאלות‬ ‫להתעלם‬ ‫תוכל‬ ‫היא‬ ‫ואז‬ ‫בעבר‬ ‫עליהם‬ ‫שאלו‬ ‫וההפך‬ ‫שלא‬ ‫נגיד‬ ‫אז‬ On-‫ב‬ ‫שהם‬ ‫תחליט‬ ‫היא‬ ‫ואם‬ - ‫אליהם‬ ‫תגיע‬ ‫לא‬ ‫שהמכונה‬ ‫קלטים‬ ‫יהיו‬ ‫תמיד‬ - ‫בקיצור‬ ‫לכן‬ . ‫לרצוננו‬ ‫בהתאם‬ ‫להחליט‬ ‫שנוכל‬ ‫אחת‬ ‫מחרוזת‬ ‫לפחות‬ ‫יש‬ ‫)תמיד‬ .‫פולינומי‬ ‫בזמן‬ L ‫את‬ ‫מכריעה‬ ‫שלא‬ ‫מכונה‬ ‫ליצור‬ ‫הצלחנו‬ ‫הלכסון‬ ‫באמצעות‬ ‫וכך‬ ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 41 ‫ואת‬ ‫אלגוריתם‬ ‫באמצעות‬ ‫הראשון‬ .‫הסעיפים‬ ‫שני‬ ‫את‬ ‫נוכיח‬ ,(27.2) ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF-‫ש‬ ‫להוכיח‬ ‫בשביל‬ .‫רדוקציה‬ ‫באמצעות‬ ‫השני‬ TQBF ∈ D − SPACE ‫וגם‬ TQBF ∈ PSPACE 41.1 :v ‫הוכחה‬ TQBF ‫להכרעת‬ ‫אלגוריתם‬ 1 ‫אלגוריתם‬ :ψ = ∃x1 (· · · ) ‫מהצורה‬ ‫הקלט‬ ‫אם‬ .‫א‬ .‫התשובה‬ ‫את‬ ‫ונחזיר‬ ψx1←T ∈ TQBF ∨ ψx1←F ∈ TQBF ‫האם‬ ‫רקורסיבית‬ ‫נבדוק‬ (1) :ψ = ∀x1 (· · · ) ‫מהצורה‬ ‫הקלט‬ ‫אם‬ .‫ב‬ .‫התשובה‬ ‫את‬ ‫ונחזיר‬ ψx1←T ∈ TQBF ∧ ψx1←F ∈ TQBF ‫האם‬ ‫רקורסיבית‬ ‫נבדוק‬ (1) 43
  • 44.
    ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF-‫ש‬‫ההוכחה‬ 41‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .‫הכמתים‬ ‫מספר‬ - m S (m, l) = 2S (m − 1, l) 2m ‫פתרון‬ .2-‫ה‬ ‫את‬ ‫ונוריד‬ ‫זיכרון‬ ‫במחזור‬ ‫נשתמש‬ ‫לכן‬ ,2m ‫פתרון‬ ‫עם‬ ‫נסיגה‬ ‫נוסחת‬ ‫זוהי‬ S (m, l) = Θ (m) + O (l) .‫לינארי‬ ‫בזיכרון‬ ‫פתרון‬ ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF 41.2 ‫נצטרך‬ ‫כך‬ ‫ובשביל‬ ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ ‫נצטרך‬ ‫-שלמה‬PSPACE ‫שהיא‬ ‫כי‬ ‫להוכיח‬ ‫בשביל‬ ‫כעת‬ :‫חדש‬ ‫מושג‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫גרף‬ 41.2.1 GFED@ABCCi eeeeee GFED@ABCCI GFED@ABCCj // GFED@ABCCA ‫לדוגמה‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫גרף‬ :7 ‫איור‬ :‫וכאשר‬ ‫קודקוד‬ ‫היא‬ ‫קונפיגורציה‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ ,‫במכונה‬ ‫האפשריות‬ ‫הקונפיגורציות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מכיל‬ ‫אשר‬ G ‫גרף‬ ‫זהו‬ .‫יחידה‬ ‫התחלתית‬ ‫קונפיגורציה‬ - CI .(‫לאחת‬ ‫כולן‬ ‫את‬ ‫נרכז‬ ‫אבל‬ ,‫יותר‬ ‫שיש‬ ‫להיות‬ ‫)יכול‬ ‫יחידה‬ ‫מקבלת‬ ‫קונפיגורציה‬ - CA .‫יחיד‬ ‫בצעד‬ Cj-‫ל‬ Ci-‫מ‬ ‫לעבור‬ ‫יכול‬ ‫החישוב‬ ‫אםם‬ Ci → Cj ‫מכוונת‬ ‫צלע‬ .(‫הלד‬ ‫במובן‬ ‫או‬ ‫הדטרמיניסטי‬ ‫)במובן‬ M (x) = Accept ⇐⇒ CI CA ‫מסלול‬ G ‫בגרף‬ ‫קיים‬ :‫ישנן‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫כמה‬ n · S · |Σ| S · |Q| = n · 2Θ(S) = ⊙ 2Θ(S) . n = Ω (log n)-‫ש‬ ‫בהנחה‬ - ⊙ .(⊙-‫ש‬ ‫בטוח‬ ‫לא‬ ‫)כי‬ T := |V | = n · 2Θ(S) :‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫מסלול‬ ‫אורך‬ .1 ‫היא‬ ‫היציאה‬ ‫דרגת‬ ‫קודקוד‬ ‫לכל‬ - ‫דטרמיניסטי‬ ‫בחישוב‬ .1-‫מ‬ ‫גדולה‬ ‫יציאה‬ ‫דרגת‬ ‫עם‬ ‫קודקודים‬ ‫ייתכנו‬ - ‫לד‬ ‫בחישוב‬ L ≤p TQBF 41.2.2 (L ∈ PSPACE ‫)כאשר‬ .f (x) = ψ ∈ TQBF :‫הרדוקציה‬ ‫פלט‬ ,x ∈ L :‫הרדוקציה‬ ‫קלט‬ .|p| ≤ T ‫כאשר‬ x ∈ L ⇐⇒ ∃p CI CA ⇐⇒ ‫אמיתי‬ ‫פסוק‬ ψ .x /∈ L ⇐⇒ ‫כנל‬ ‫מסלול‬ ‫אין‬ ⇐⇒ ‫שקרי‬ ‫פסוק‬ ψ 44
  • 45.
    NP = PCP(Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :‫חדשה‬ ‫שפה‬ ‫נגדיר‬ PATH (Ci, Cj, t) =    ‫שיש‬ ‫שפירושו‬ ‫פסוק‬ ‫מסלול‬ ‫בגרף‬ t ≥ ‫שאורכו‬ Ci Cj    ψ = PATH (CI, CA, T) :‫ולכן‬ ,‫קונפיגורציה‬ D-‫ב‬ ‫נסמן‬ |D| = log |Q| ‫פנימי‬ ‫מצב‬ · log |S| · log (n) ‫קוראים‬ ‫ראשים‬ ·Θ (S) :(‫וישנו‬ ‫במידה‬ CI CA ‫של‬ ‫לאמצע‬ ,‫)כלומר‬ ‫לאמצע‬ ‫חיפש‬ ‫נעשה‬ PATH (Ci, Cj, t) = ∃D∀E1E2 [(E1 = Ci ∧ E2 = D) ∨ (E1 = D ∧ E2 = Cj)] −→ PATH ( E1, E2, t 2 ) :8 ‫הסבר‬ .‫ממנה‬ ‫לחצי‬ ‫נגיע‬ ‫פעם‬ ‫כל‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ CI CA ‫מסילה‬ ‫ישנה‬ ‫שאם‬ ‫הוא‬ ,PATH ‫של‬ ,‫כאן‬ ‫הרקורסיה‬ ‫של‬ ‫הרעיון‬ ‫יהיו‬ ‫לא‬ ‫שניהם‬ ‫פעם‬ ‫אף‬ ‫אבל‬ T-‫ה‬ ‫את‬ ‫שמקבל‬ ‫הוא‬ ‫אחר‬ ‫חצי‬ ‫פעם‬ ‫וכל‬ P ∨ Q → R :‫כך‬ ‫בנויה‬ ‫הנוסחה‬ ,‫כלומר‬ .T ‫ביטוי‬ ‫נקבל‬ ‫הרקורסיה‬ ‫כל‬ ‫עם‬ ‫שנסיים‬ ‫אחרי‬ ,‫שלבסוף‬ ‫עד‬ - (‫בחצי‬ ‫נתקדם‬ ‫)וגם‬ ‫בחצי‬ ‫נרד‬ ‫פעם‬ ‫כל‬ ‫אנחנו‬ ‫וככה‬ .CI CA ‫מסילה‬ ‫ויש‬ ‫במידה‬ ‫אמיתי‬ ‫שיהיה‬ TQBF ‫של‬ ‫מהצורה‬ .‫הרדוקציה‬ ‫רעיון‬ ‫זה‬ |PATH (· · · , t)| = ¡2 · PATH ( · · · , t 2 ) + 11 · |D| Θ(S) +14 = (log T) · Θ (S) = Θ ( S2 ) ,‫נוסחה‬ ‫בכל‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫הכמתים‬ ‫כל‬ ‫בגלל‬ ‫זה‬ - 14-‫ה‬ .T = 2Θ(S) -‫ו‬ :(Cook-Levin)‫קוק-לווין‬ ‫עפ‬ :(1 ‫של‬ ‫אורך‬ ‫)ויש‬ ‫לסוף‬ ‫מגיעים‬ ‫כאשר‬ PATH ( , , 1) Θ(S2) ‫ההסבר‬ ‫כולל‬ ‫נמצאת‬ ‫)והיא‬ 2m ‫הוא‬ ‫שלה‬ ‫שהפתרון‬ S (m, l) = S (m − 1, l) ‫שהיא‬ ‫המקורית‬ ‫הנוסחה‬ ‫במקום‬ ‫וזה‬ .(v ‫בהוכחה‬ ‫זמן‬ ‫ואילו‬ Θ ( S2 ) :‫הוא‬ ‫הפסוק‬ ‫אורך‬ ‫כאשר‬ TQBF ‫בצורת‬ ‫פסוק‬ ‫מקבלים‬ ‫בהתחלה‬ ‫הכמתים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫מרכזים‬ ‫אם‬ .(28.1 ‫משפט‬ ‫את‬ ‫לנו‬ ‫מוכיחה‬ ‫הזאת‬ ‫)והמסקנה‬ .Θ ( S2 ) :‫הוא‬ ‫הפסוק‬ ‫חישוב‬ NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42 .‫קוראים‬ ‫שאנחנו‬ ‫הביטים‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ q-‫ו‬ ‫המטבע‬ ‫הטלות‬ ‫מספר‬ ‫זה‬ r ‫כאשר‬ L ∈ PCP (r, q) :‫כזכור‬ 45
  • 46.
    NP = PCP(Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫להוכחה‬ ‫כלים‬ 42.1 .‫כלים‬ ‫מספר‬ ‫נצטרך‬ ‫המשפט‬ ‫הוכחת‬ ‫בשביל‬ ‫ווקטורים‬ ‫על‬ ‫פעולות‬ 42.1.1 :‫כלומר‬ ,Z2-‫ב‬ ‫יהיו‬ ‫בהוכחה‬ ‫כאן‬ ‫אליהם‬ ‫שנתייחס‬ ‫הווקטורים‬ ‫כל‬ .⃗x, ⃗y, ⃗u,⃗v, . . . ∈ {0, 1} n .‫א‬ .Z2-‫ב‬ ‫יהיו‬ ‫שנעשה‬ ‫הפעולות‬ ‫כל‬ .‫ב‬ ‫חיבור‬ ⃗z = ⃗x + ⃗y ⇒ ∀i (xi + yy = zi) ‫פנימית‬ ‫מכפלה‬ ⟨⃗x, ⃗y⟩ = n∑ i=1 xi · yi .(|⃗x| = |⃗y|-‫ש‬ ‫בתנאי‬ ‫כמובן‬ ‫)וזה‬ ‫מטריצות‬ ‫על‬ ‫פעולות‬ 42.1.2 :‫הבא‬ ‫באופן‬ 17 ‫מטריצה‬ ‫נגדיר‬ .j ‫בעמודה‬ i ‫בשורה‬ ‫הנמצא‬ ‫האיבר‬ ‫את‬ ‫מסמל‬ Ai,j ‫האיבר‬ ,n × n ‫מסדר‬ ‫מטרצה‬ A ‫תהא‬ A = ( A1,1 A1,2 A2,1 A2,2 ) .n × n ‫מסדר‬ ‫מטריצות‬ ‫שתי‬ A, B ‫יהיו‬ ‫מטריצות‬ ‫חיבור‬ :i, j ‫לכל‬ ‫אזי‬ Ai + Bi = Ci .(C = A + B :‫כלומר‬ ,‫החיבור‬ ‫מטריצת‬ ‫היא‬ C ‫)כאשר‬ :A, B ‫מטריצות‬ ‫בהינתן‬ ‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫פנימית‬ ‫מכפלה‬ ⟨A, B⟩ = n∑ i=1   n∑ j=1 Ai,j · Bi,j   :‫הבא‬ ‫באופן‬ A = ⃗x ⊗ ⃗y ‫מטריצה‬ ‫נגדיר‬ ,⃗x, ⃗y ‫וקטורים‬ ‫שני‬ ‫בהינתן‬ ‫טנזורית‬ ‫מכפלה‬ Ai,j = xi · yj .n ‫עד‬ 1-‫מ‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫רצים‬ (i, j) ‫והאינדקסים‬ n × n ‫מסדר‬ ‫היא‬ A ‫המטריצה‬ .‫כמובן‬ ‫בולאנית‬ ‫מטריצה‬ ‫על‬ ‫כאן‬ ‫מדובר‬17 46
  • 47.
    NP = PCP(Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫וולש-הדמרד‬ ‫קוד‬ 42.1.3 :‫הבא‬ ‫באופן‬ f⃗u ∈ Hn ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נגדיר‬ ⃗u ‫וקטור‬ ‫בהינתן‬ f⃗u (⃗x) = ⟨⃗u, ⃗x⟩ :‫כאשר‬ WH : {0, 1} n → {0, 1} 2n :‫פונקציה‬ ‫הינו‬ ‫וולש-הדמרד‬ ‫קוד‬ :‫למשל‬ n = 2 ‫עבור‬ WH (⃗u) = (⟨⃗u, (0, 0)⟩ , ⟨⃗u, (0, 1)⟩ , ⟨⃗u, (1, 0)⟩ , ⟨⃗u, (1, 1)⟩) :‫נקבל‬ ,⃗u = {0, 1} ‫ועבור‬ WH (⃗u) = (0, 1, 0, 1) NP ⊇ PCP (Θ (log n) , Θ (1))-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 42.2 :vi ‫הוכחה‬ .L ∈ PCP (Θ (log n) , d) ‫שעבורו‬ ‫מוודא‬ - VP CP ‫שיש‬ ‫נתון‬ .L ∈ NP ‫שעבורו‬ ‫מוודא‬ - VNP :‫צל‬ :‫כך‬ ‫פועל‬ VNP ‫המוודא‬ P ‫וטיעון‬ x ‫קלט‬ ‫על‬ ‫עם‬ VP CP ‫של‬ ‫ריצה‬ ‫יסמלץ‬ VNP ‫הטלות‬ ‫של‬ ‫תוצאה‬ ‫לכל‬ .VP CP ‫של‬ ‫מטבע‬ ‫הטלת‬ ‫של‬ ‫אפשריות‬ ‫תוצאות‬ 2r ‫סורק‬ .‫מטבע‬ ‫הטלות‬ .‫התוצאות‬ ‫רוב‬ ‫לפי‬ ‫עונה‬ VNP ‫הסריקה‬ ‫בסיום‬ :‫הריצה‬ ‫זמן‬ 2r ≤2C log n−nc · Time (VP CP (· · · )) poly(n) poly(n) ≥ VNP .(‫האפשרויות‬ ‫כל‬ ‫על‬ ‫עברנו‬ ‫)כי‬ 0 :‫מטבע‬ ‫הטלות‬ ?‫מההוכחה‬ ‫קראנו‬ ‫ביטים‬ ‫כמה‬ :‫הוא‬ ‫הביטים‬ ‫מספר‬ ,‫לכן‬ .‫קורא‬ VP CP -‫ש‬ ‫הביטים‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ d .|P | ≤ poly (n) ‫בהכ‬ ‫ולכן‬ ,poly (n) ≥ 2r · d :‫שלמות‬ :(31.1) ‫ב-שלמות‬ ‫שמובטח‬ P ‫לאותו‬ ‫אזי‬ x ∈ L ‫אם‬ Pr (VP CP (x, P) = Accept) ≥ 2 3 1 2 .∃P VNP (x, P) = Accept :‫כלומר‬ .Accept ‫יענה‬ VNP P ‫לאותו‬ ‫ולכן‬ :‫נאותות‬ :‫ולכן‬ Pr (· · · ) 1 3 1 2 :‫מתקיים‬ P ‫לכל‬ ‫אזי‬ x /∈ L ‫אם‬ ∀P VNP (x, P) = Reject NP ⊆ PCP (poly (n) , Θ (1))-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 42.3 .(poly ‫על‬ ‫נוכיח‬ log ‫)במקום‬ ‫המקורי‬ ‫המשפט‬ ‫של‬ ‫מוחלשת‬ ‫גרסה‬ ‫זאת‬ ‫כאן‬ ‫מוכיחים‬ ‫שאנחנו‬ ‫מה‬ .‫-שלמה‬NP ‫שהיא‬ ‫לשפה‬ ‫ברדוקציה‬ ‫שנתחיל‬ ‫בכך‬ ‫לכך‬ ‫ההוכחה‬ ‫את‬ ‫נראה‬ :‫בהוכחה‬ ‫לנו‬ ‫שיעזרו‬ ‫כלים‬ ‫כמה‬ ‫נכיר‬ ‫כל‬ ‫קודם‬ 47
  • 48.
    NP = PCP(Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ QE ‫שנייה‬ ‫ממעלה‬ ‫משאוות‬ 42.3.1 .Z2 ‫מעל‬ ‫משתנים‬ n-‫ו‬ ‫משוואת‬ m ‫של‬ S ‫מערכת‬ ‫זוהי‬ :42.1 ‫דוגמא‬ :‫משתנים‬ 5 ‫עבור‬ ‫משוואת‬ 3 ‫של‬ ‫למערכת‬ ‫דוגמה‬ ‫הנה‬ ,‫למשל‬ x1x2 + x1x3 = 1 x2x4 + x2 1 + x3 = 0 x1 + x3 = 1 ‫כך‬ x1, . . . , x5 ‫למשתנים‬ ‫השמה‬ ‫קיימת‬ ‫האם‬ ,‫כלומר‬ ,‫ספיקה‬ (‫)שלמעלה‬ S ‫המערכת‬ ‫היא‬ ‫המעניינת‬ ‫השאלה‬ :‫למשל‬ ,‫שווים‬ ‫יהיה‬ ‫הצדדים‬ ‫שני‬ ,‫כלומר‬ ,‫תספק‬ ‫שההשמה‬ .‫א‬ x3 = x5 = 0-‫ו‬ x1 = x2 = x4 = 1 .‫מספקת‬ ‫הייתה‬ ‫עדיין‬ ‫וההשמה‬ 0 ‫ערך‬ ‫גם‬ ‫לתת‬ ‫ניתן‬ ‫היה‬ ‫אזי‬ ,‫במשוואה‬ ‫מופיע‬ ‫אינו‬ x5-‫ש‬ ‫בגלל‬‫א‬ .S ‫של‬ ‫הימני‬ ‫לצד‬ ‫השמאלי‬ ‫בצד‬ ‫בין‬ ‫שיווין‬ ‫נקבל‬ ‫אלו‬ ‫ערכים‬ ‫את‬ ‫נציב‬ ‫אם‬ :42.1 ‫משפט‬ ⃗c ∈ {0, 1} m ‫ניקח‬ ‫אם‬ ‫אזי‬ ,(‫השמה‬ ‫משתנה‬ ‫)לכל‬ n ‫בגודל‬ ⃗u ∈ {0, 1} n ‫השמות‬ ‫של‬ ‫ווקטור‬ S ‫מערכת‬ ‫לנו‬ ‫ונתונה‬ ‫נניח‬ 18 :‫אזי‬ ,S′ ⊆ S ‫תת-מערכת‬ ‫זה‬ ‫לנו‬ ‫שיש‬ ‫מה‬ ‫כעת‬ .mi ‫בקואורדינטה‬ i ‫משוואה‬ ‫כל‬ ‫ונכפול‬ (m ‫בגודל‬ ⃗c ‫)וקטור‬ .S′ ‫את‬ ‫גם‬ ‫מספקת‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ S ‫את‬ ‫מספקת‬ ⃗u ‫אם‬ .‫א‬ .Pr [S′ ‫את‬ ‫מספקת‬ ⃗u] = 1 2 :‫אזי‬ S ‫את‬ ‫מספקת‬ ‫אינה‬ ⃗u ‫אם‬ .‫ב‬ 3 − SAT ≤p QE 42.3.2 :3 − SAT ≤p QE ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ ‫כעת‬ ‫נראה‬ .3 − CNF ‫בצורת‬ ‫משתנים‬ n-‫ו‬ ‫פסוקיות‬ m ‫לנו‬ ‫נותנים‬ .‫איברים‬ ‫שלושה‬ ‫עם‬ ‫למשוואה‬ ‫פסוקית‬ ‫כל‬ ‫נמיר‬ ‫השמאלי‬ ‫בצד‬ 1 ‫הערך‬ ‫את‬ ‫משווה‬ ‫בכל‬ ‫נשים‬ ‫בהמרה‬ ‫אזי‬ ‫אמת‬ ‫ערך‬ ‫בעלות‬ ‫להיות‬ ‫צריכות‬ ‫הפסוקיות‬ ‫וכל‬ ‫היות‬ ,‫כעת‬ :‫כלומר‬ ,‫דה-מורגן‬ ‫באמצעות‬ ‫הכמתים‬ ‫את‬ ‫ונמיר‬ (x1 ∨ x2 ∨ x3) ≡ ¬ (x1 ∧ x2 ∧ x3) ≡ 1 − x1 · (1 − x2) · x3 = 1 :‫הבא‬ ‫הדבר‬ ‫את‬ ‫נעשה‬ ‫זאת‬ ‫לפתור‬ ‫כדי‬ ,‫אסור‬ ‫וזה‬ ‫שלישית‬ ‫ממעלה‬ ‫איבר‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫כי‬ ‫לב‬ ‫נשים‬ ,‫כעת‬ .y2,3 = x2 · x3 ‫משוואה‬ ‫ונוסיף‬ x1 · y2,3 :‫נכתוב‬ x1 · x2 · x3 ‫במקום‬ .3 − SAT-‫ל‬ NP-‫ב‬ ‫בעיה‬ ‫כל‬ ‫להמיר‬ ‫ניתן‬ ‫כי‬ ‫יודעים‬ ‫אנו‬ ,‫זאת‬ ‫שהגדרנו‬ ‫אחרי‬ ‫כעת‬ 19 ?‫זאת‬ ‫נעשה‬ ‫כיצד‬ ‫אז‬ ,‫ביטים‬ Θ (1) ‫לדגום‬ ‫הוא‬ ‫אותנו‬ ‫שמעניין‬ ‫מה‬ ‫אבל‬ ‫נחבר‬ ‫ואז‬ ci ‫בקואורדינטה‬ i ‫משוואה‬ ‫כל‬ ‫ונכפול‬ (‫המשוואות‬ ‫מספר‬ ‫)כגודל‬ ⃗c ∈ {0, 1} m ‫וקטור‬ ‫שניקח‬ ‫הוא‬ ‫שנעשה‬ ‫מה‬ .20 ⃗c ‫של‬ '‫בקור‬ ‫אותן‬ ‫שהכפלנו‬ ‫אחרי‬ ‫המשוואות‬ ‫כל‬ ‫את‬ .‫הוכחה‬ ‫ללא‬ ‫נשאיר‬ ‫הנל‬ ‫המשפט‬ ‫את‬18 .Θ (1) ‫לא‬ ‫זה‬ ‫אזי‬ ‫המשוואות/משתנים‬ ‫במספר‬ ‫תלויים‬ ‫אנחנו‬ ‫אם‬ ‫כי‬19 ‫לנו‬ ‫בוחר‬ ⃗c - ‫אחרות‬ ‫במילים‬ .‫שהיא‬ ‫כמו‬ ‫נשארת‬ ‫היא‬ ‫אזי‬ 1-‫ב‬ ‫אותה‬ ‫כפלנו‬ ‫ואם‬ ‫אותה‬ ‫השמטנו‬ ‫אזי‬ 0-‫ב‬ ‫משוואה‬ ‫כפלנו‬ ‫שאם‬ ‫לם‬ ‫לשים‬ ‫כדאי‬20 .‫לסכום‬ ‫משוואת‬ ‫אילו‬ 48
  • 49.
    NP = PCP(Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ :42.2 ‫דוגמא‬ .⃗c = {0, 1, 1} ‫הווקטור‬ ‫את‬ ‫ניקח‬ 42.1 ‫דוגמה‬ ‫עבור‬ ,‫למשל‬ :‫והשלישית‬ ‫השנייה‬ ‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫רק‬ ‫נסכום‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬ x2x4 + x2 1 + x3 = 0 x1 + x3 = 1 :‫הוא‬ ‫שנקבל‬ ‫מה‬ x2 1 + x2x4 + x1 = 1 .(‫מצטמצם‬ ‫הוא‬ ‫ולכן‬ x3 + x3 = 0 ‫)כי‬ ‫ההוכחה‬ ‫של‬ ‫המרכזי‬ ‫הרעיון‬ - (‫המאמת‬ ‫)של‬ V ‫של‬ ‫תפקידו‬ 42.3.3 ‫מהן‬ ‫אחת‬ ‫כל‬ ‫נסכום‬ ,21 ‫לא‬ ‫ואיזה‬ ‫להכניס‬ ‫משוואות‬ ‫אילו‬ ‫של‬ ‫האפשרויות‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫שיכלול‬ 2m ‫באורך‬ ⃗e1 ‫וקטור‬ ‫יוצר‬ V .‫התוצאה‬ ‫את‬ ‫ונרשום‬ ‫ההשמה‬ ‫את‬ ‫נשים‬ ,(‫שמאל‬ ‫אגף‬ ‫)את‬ :42.1 ‫בדוגמה‬ ,‫למשל‬ ⃗e1 = (0, 1, . . . , 0) .1 ‫יהיה‬ ‫וערכה‬ 22 ‫הרביעית‬ ‫בקואורדינטה‬ ‫יהיה‬ 42.2 ‫בדוגמה‬ ‫שראינו‬ ‫מה‬ ‫כאשר‬ :‫במקביל‬ ⃗e1 ‫הווקטור‬ ‫בנוי‬ ‫שבה‬ ‫השיטה‬ ‫באותה‬ ‫שבנוי‬ 2m ‫באורך‬ ⃗e2 ‫וקטור‬ ‫יוצר‬ ‫הוא‬ :‫ימין‬ ‫אגפי‬ ‫את‬ ‫השיטה‬ ‫באותה‬ ‫סוכם‬ V .(‫ימין‬ ‫אגפי‬ ‫סכום‬ ‫את‬ ‫יש‬ ,‫ההשמה‬ ‫לאחר‬ ‫שמאל‬ ‫אגף‬ ‫סכום‬ ‫שבמקום‬ ‫)רק‬ :(42.1 ‫)דוגמה‬ ‫שלנו‬ ‫הדוגמה‬ ‫עפ‬ ‫למשל‬ ⃗e2 = (0, 1, 0, ..., 0) :42.2 ‫דוגמה‬ ‫ועפ‬ .⃗e2 [4] = 1 :1 ‫יהיה‬ ‫הרביעית‬ ‫בקואורדינטה‬ :V ‫של‬ ‫המרכזי‬ ‫תפקידו‬ ‫מגיע‬ ‫כעת‬ 2m -‫ל‬ 1 ‫בין‬ p ‫מספר‬ ‫מגריל‬ V .⃗e1 [p] = ⃗e2 [p] :‫האם‬ ‫ובודק‬ .‫מקבל‬ ‫הוא‬ - ‫כן‬ ‫אם‬ .‫דוחה‬ ‫הוא‬ - ‫לא‬ ‫אם‬ .(‫בינארי‬ ‫באופן‬ ‫אותו‬ ‫מציג‬ ⃗c) ‫מגריל‬ V -‫ש‬ p ‫מספר‬ ‫אותו‬ ‫זה‬ ‫בהתחלה‬ ‫עליו‬ ‫שדובר‬ ⃗c ‫הווקטור‬ ‫כאשר‬ :9 ‫הסבר‬ :‫כזה‬ ‫הוא‬ ‫הכללי‬ ‫הרעיון‬ .(‫המשוואות‬ ‫)מספר‬ m ‫באורך‬ ⃗c ∈ {0, 1} m ‫וקטור‬ ‫מגריל‬ V ‫ואז‬ ,‫למעלה‬ ‫שמסובר‬ ‫כפי‬ ⃗e1,⃗e2 ‫וקטורים‬ ‫שני‬ ‫יוצר‬ P ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫נניח‬ ‫אם‬ ,‫כלומר‬ ,‫הבינארי‬ ‫המספר‬ ‫לאותו‬ ‫שתאומות‬ ‫המשוואות‬ ‫של‬ ‫שקלול‬ ‫יש‬ ⃗e ‫בווקטורי‬ i ‫מיקום‬ ‫בכל‬ ‫במקום‬ ‫נסתכל‬ ‫אזי‬ ⃗c = (0, 1, 0, 1, 1, 0) :‫לנו‬ ‫ויצא‬ ‫הגרלנו‬ ‫נניח‬ ‫ואם‬ m ‫באורך‬ ‫יהיו‬ ⃗c,⃗e1, ⃗e2 ‫אזי‬ ,‫משוואות‬ 6 ‫בקואורדינטה‬ ‫ולכן‬ 101 ‫זה‬ ‫בינארי‬ ‫בייצוג‬ 5 ,‫למשל‬ .‫לא‬ ‫ואילו‬ ‫להכניס‬ ‫משוואות‬ ‫אילו‬ ‫לנו‬ ‫שאומר‬ ‫מיקום‬ ‫בעצם‬ ‫היא‬ ‫בווקטור‬ ‫קואורדינטה‬ ‫שכל‬21 .‫והאחרונה‬ ‫הראשונה‬ ‫המשוואה‬ ‫את‬ ‫רק‬ ‫נסכום‬ ‫בווקטור‬ ‫החמישית‬ .(‫בינארי‬ ‫בבסיס‬ ‫מוצג‬ 011) 0112 = 410 ‫כי‬22 49
  • 50.
    NP = PCP(Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .⃗e1,⃗e2 ‫הווקטורים‬ ‫בשני‬ 22-‫ה‬ .‫נדחה‬ ,‫אחרת‬ .‫נקבל‬ ‫זהה‬ ‫יהיה‬ ‫המספר‬ ‫יהיה‬ ‫אם‬ :(31.1) ‫שלמות‬ :S ‫את‬ ‫מספקת‬ ⃗u ‫ההשמה‬ ‫אם‬ 42.1 ‫משפט‬ ‫עפ‬ .Accept ‫של‬ ‫תוצאה‬ ‫לנו‬ ‫ייתן‬ ‫שנגריל‬ ⃗c ‫כל‬ .‫כנדרש‬ ∃P Pr [V (φ, P) = Accept] = 1 :‫כלומר‬ :(31.2) ‫נאותות‬ :42.1 ‫משפט‬ ‫עפ‬ ‫אזי‬ S ‫את‬ ‫מספקת‬ ‫לא‬ ⃗u ‫אם‬ .‫כנדרש‬ ∀P Pr [V (φ, P) = Reject] = 1 2 1 3 :(32.1) V ‫יעילות‬ .(⃗c ‫)הגרלת‬ ‫לא‬ ‫או‬ ‫יכנסו‬ ‫משוואות‬ ‫אילו‬ - r = m .‫בסוף‬ ‫ההשוואה‬ - q = 1 .‫כנדרש‬ .Θ (m) :V ‫של‬ ‫הריצה‬ ‫זמן‬ ‫מטריצות‬ ‫עבור‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצרוף‬ ‫עקרון‬ 42.3.4 :‫הבא‬ ‫בחלק‬ ‫בו‬ ‫נשתמש‬ ‫אשר‬ 23 ‫מטריצות‬ ‫עבור‬ ‫דומה‬ ‫עיקרון‬ ‫ישנו‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫לעיקרון‬ ‫בדומה‬ .(‫אפסים‬ ‫שכולה‬ ‫מטריצה‬ ,‫האפס‬ ‫)מטריצת‬ A = 0 ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫נרצה‬ A ∈ {0, 1} n×n ‫מטריצה‬ ‫בהינתן‬ :‫האם‬ ‫ונבדוק‬ ,⃗x, ⃗y ∈ {0, 1} n :‫ובת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫נגריל‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ ⃗xT A⃗y = 0 :‫שלמות‬ .⃗xT A⃗y = 0 ‫בברור‬ ‫אז‬ A = 0 ‫אם‬ :‫נאותות‬ .‫אפסים‬ ‫שורת‬ ‫אינה‬ (A ‫במטריצה‬ i ‫)שורה‬ Ai ‫שעבורו‬ (1 ≤ i ≤ n) i ‫אינדקס‬ ‫איזשהו‬ ‫יש‬ ‫אזי‬ A ̸= 0 ‫אם‬ :24 ‫לווקטורים‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫עיקרון‬ ‫לפי‬ Pr [(Ai⃗y) = 1] = 1 2 :‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫עיקרון‬ ‫לפי‬ ,(Ai⃗y) = 1-‫ש‬ ‫בהינתן‬ ,‫כעת‬ Pr ( ⃗xT A⃗y = 1 A⃗y ̸= 0 ) = 1 2 :‫ולכן‬ Pr ( ⃗xT A⃗y = 1 ) = Pr ( ⃗xT A⃗y = 1 A⃗y ̸= 0 ) = 1 2 · Pr (A⃗y ̸= 0) ≥ 1 2 ≥ 1 4 ‫ההוכחה‬ ‫של‬ ‫הסינטקטי‬ ‫השלב‬ 42.3.5 ‫אם‬ ‫מה‬ ,‫השאלה‬ ‫נשאלת‬ ‫אז‬ ‫אבל‬ ,‫ההוכחה‬ ‫של‬ ‫המרכזי‬ ‫הרעיון‬ - (‫המאמת‬ ‫)של‬ V ‫של‬ ‫תפקידו‬ - ‫כאן‬ ‫היה‬ ‫ההוכחה‬ ‫לב‬ ?‫התוצאה‬ ‫את‬ ‫להתאים‬ ‫מנסה‬ ‫זדוני‬ ‫מישהו‬ .‫תקין‬ ‫אכן‬ ‫שקיבלנו‬ ‫שהקידוד‬ ‫לוודא‬ ‫נרצה‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ .‫השמה‬ ‫היא‬ ⃗u ‫כי‬ ‫נניח‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ ‫תדחה‬ V - ‫הנאותות‬ ‫ומבחינת‬ ‫הבא‬ ‫לשלב‬ ‫עוברים‬ ‫מיד‬ - ‫שלמות‬ ‫מתקיימת‬ ‫שאם‬ ‫חלקים‬ ‫משלושה‬ ‫מורכבת‬ ‫ההוכחה‬ .1 2 ≤ ‫בהסתברות‬ .‫בולאנית‬ ‫למטריצות‬ ‫רק‬ ‫נתייחס‬ ‫כאן‬23 .Pr (⟨⃗x, ⃗y⟩ = 1) = 1 2 :⃗x, ⃗y ∈ {0, 1}n ‫שעבור‬ ‫אומר‬ ‫הוא‬ ‫בעיקרון‬ ‫אך‬ ,‫כאן‬ ‫הוגדר‬ ‫או‬ ‫הוכח‬ ‫לא‬ ‫הוא‬24 50
  • 51.
    NP = PCP(Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ .42.3.3 ‫הסמנטי‬ ‫לשלב‬ ‫עוברים‬ - ‫בהצלחה‬ ‫הללו‬ ‫השלבים‬ ‫שלושת‬ ‫את‬ ‫שסיימנו‬ ‫ברגע‬ :‫הבא‬ (P) ‫הקידוד‬ ‫על‬ ‫נסתכל‬ WH (⃗u) ∈{0,1}2n , WH (⃗u ⊗ ⃗u) ∈{0,1}2n×n .‫וולש-הדמרד‬ ‫קוד‬ ‫הוא‬ WH ‫כאשר‬ .‫הטענה‬ ‫את‬ ‫לאמת‬ ‫כדי‬ V -‫ה‬ ‫עובד‬ ‫ועלזה‬ ‫מכיל‬ P-‫ש‬ ‫מה‬ ‫זה‬ ,‫כלומר‬ .‫ההוכחה‬ ‫של‬ P-‫ה‬ ‫זה‬ - ‫תקין‬ ‫שזה‬ ‫בהנחה‬ :'‫א‬ ‫חלק‬ :‫תזכורת‬ ‫פונקציה‬ ‫של‬ ‫האמת‬ ‫טבלת‬ ‫היא‬ ⃗s ⇐⇒ ⃗v ∈ {0, 1} t ‫מחרוזת‬ ‫של‬ ‫וולש-הדמרד‬ ‫קוד‬ ‫היא‬ ⃗s ∈ {0, 1} 2l ‫מחרוזת‬ .f (7.1.2) ‫לינארית‬ # ! ‫לבדוק‬ ‫ונרצה‬ Sf = WH (⃗u) , Sg = WH (⃗w) :‫ש‬ ‫כך‬ ⃗u ∈ {0, 1} n , ⃗w ∈ {0, 1} n×n ‫קיימים‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫נרצה‬ .(‫לינאריות‬ ‫לבדוק‬ ‫נרצה‬ ,‫)כלומר‬ ‫לינאריות‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ‫אמת‬ ‫בטבלת‬ ‫מדובר‬ ‫אכן‬ ‫האם‬ ‫לאורך‬ ‫בהתאם‬ ‫הוא‬ ‫אורכם‬ ‫אשר‬ ⃗a,⃗b ‫וקטורים‬ ‫שני‬ Si ‫כל‬ ‫עבור‬ ‫מגרילים‬ ‫לינאריות‬ ‫הפונקציות‬ ‫אכן‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫בשביל‬ ,⃗u, ⃗w ‫של‬ :‫האם‬ ‫ובודקים‬ ‫ביטים‬ ‫שלושה‬ ‫מגרילים‬ ‫ובת‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫ואז‬ f (⃗a) + f ( ⃗b ) = f ( ⃗a +⃗b ) :10 ‫הסבר‬ .‫מיקום‬ ‫מציינים‬ ⃗a,⃗b ‫הווקטורים‬ ,⃗c ‫בהגרלת‬ ‫כמו‬ ‫אזי‬ ⃗a,⃗b ‫וקטורים‬ ‫שני‬ ‫שהגרלנו‬ ‫אחרי‬ ‫צריך‬ ‫אזי‬ ,‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫אמת‬ ‫טבלת‬ ‫היא‬ WH (⃗u) -‫ש‬ ‫כך‬ ⃗u ∈ {0, 1} n ‫קיים‬ ‫האם‬ ‫למשל‬ ‫לבדוק‬ ‫בשביל‬ ‫כעת‬ .f (⃗a) + f ( ⃗b ) = f ( ⃗a +⃗b ) ‫מתקיים‬ ‫האם‬ ‫ולבדוק‬ ( ⃗a,⃗b ) ‫בווקטור‬ ‫מקומות‬ ‫שני‬ ‫לדגום‬ :‫שלמות‬ ‫יתקיים‬ ‫בהכרח‬ ‫אזי‬ (‫כלשהי‬ ‫לינארית‬ ‫פונקציה‬ ‫של‬ ‫אמת‬ ‫טבלת‬ ‫הוא‬ WH (⃗u)-‫ש‬ ‫כך‬ ⃗u ‫קיים‬ ,‫)כלומר‬ ‫לינארית‬ f ‫אם‬ .(42.3.3 - ‫הסמנטי‬ ‫לשלב‬ ‫ישר‬ ‫)ונעבור‬ .‫השוויון‬ :‫נאותות‬ .Θ (∆) ‫בהסתברות‬ ‫אותה‬ ‫דוחה‬ (‫)מאמת‬ V -‫ה‬ ‫אזי‬ ‫∆-רחוקה‬ ‫היא‬ f ‫אם‬ .f′ ‫לינארית‬ ‫לפונקציה‬ ‫מאוד‬ ‫קרובה‬ ‫אבל‬ ,‫לינארית‬ ‫אינה‬ f-‫ש‬ ‫במקרה‬ ‫לטפל‬ ‫הוא‬ ‫לנו‬ ‫שנותר‬ ‫מה‬ ‫כל‬ .'‫ב‬ ‫לשלב‬ ‫נעבור‬ ‫זה‬ ‫במקרה‬ :‫יעילות‬ .(‫מהמקרים‬ ‫אחת‬ ‫בכל‬ ‫מקומות‬ ‫שני‬ ‫)עבור‬ r = 2 · n + 2 · n2 :‫שמוגרלים‬ ‫האקראים‬ ‫הביטים‬ ‫כמות‬ .(‫מקרה‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ 3) q = 3 + 3 = 6 :‫שקוראים‬ ‫הביטים‬ ‫כמות‬ :'‫ב‬ ‫חלק‬ .⃗w = ⃗u ⊗ ⃗u :‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫נרצה‬ ,(⃗w − ⃗u ⊗ ⃗u) = 0 ‫האם‬ ‫נבדוק‬ ‫כך‬ ‫לשם‬ :(42.3.4) ‫מטריצות‬ ‫עבור‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצרוף‬ ‫עקרון‬ ‫באמצעות‬ ‫זאת‬ ‫נעשה‬ :‫האם‬ ‫ונבדוק‬ ,⃗x, ⃗y ‫וקטורים‬ ‫שני‬ ‫נגריל‬ ⃗xT A⃗y = 0 ⃗xT (⃗w − ⃗u ⊗ ⃗u) ⃗y = 0 ⃗xT ⃗w⃗y = ⃗xT (⃗u ⊗ ⃗u) ⃗y :‫האם‬ ‫הוא‬ ‫לבדוק‬ ‫שצריך‬ ‫מה‬ ,‫ולכן‬ 51
  • 52.
    NP = PCP(Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ WH (⃗w)⃗x⊗⃗y = WH (⃗u)⃗x · WH (⃗u)⃗y .(‫המיקום‬ ‫את‬ ‫מציין‬ ⃗x-‫ה‬ WH (⃗u)⃗x-‫ב‬ ,‫)כלומר‬ ‫מיקום‬ ‫הוא‬ ‫אלה‬ ‫משלושת‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫כאשר‬ :‫שלמות‬ .‫הסמנטי‬ ‫לשלב‬ ‫ונעבור‬ ‫תמיד‬ ‫יתקיים‬ ‫השוויון‬ ‫אזי‬ ⃗w = ⃗u ⊗ ⃗u ‫אכן‬ ‫אם‬ :‫נאותות‬ .1 4 -‫מ‬ ‫קטן‬ ‫הוא‬ ‫כאן‬ ‫שנטעה‬ ‫הסיכוי‬ - ‫מטריצות‬ ‫עבור‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצרוף‬ ‫עקרון‬ ‫עפ‬ :‫יעילות‬ .(‫ווקטור‬ ‫כל‬ ‫)עבור‬ r = n + n = 2 · n :‫המוגרלים‬ ‫הביטים‬ ‫כמות‬ .(‫המרכזית‬ ‫המשוואה‬ ‫)בדיקת‬ q = 1 + 1 + 1 = 3 :‫שנקראים‬ ‫הביטים‬ ‫כמות‬ ‫סיכום‬ 42.4 .‫ביטים‬ Θ (1) ‫רק‬ ‫לקרוא‬ ‫שצריך‬ ‫וזה‬ ‫והנאותות‬ ‫השלמות‬ ‫בגלל‬ ‫תאורטית‬ ‫מבחינה‬ ‫מדהים‬ ‫הוא‬PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ .‫-שלמות‬NP ‫לבעיות‬ ‫קירוב‬ ‫קושי‬ ‫עם‬ ‫לנו‬ ‫עזור‬ ‫הוא‬ ‫מעשית‬ ‫מבחינה‬ :(‫סמנטי‬ ‫שלב‬ ‫ואחרים‬ ‫סינטקטיים‬ ‫)שניים‬ ‫האימות‬ ‫של‬ ‫השלבים‬ ‫שלושת‬ ‫אחרי‬ ,‫סהכ‬ r = m + 2n2 + 4n q = 10 52
  • 53.
    ‫העניינים‬ ‫תוכן‬‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ ‫העניינים‬‫תוכן‬ 1 ‫חזרה‬ I 1 ‫הסתברות‬ 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מדגם‬ ‫מרחב‬ 1.1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מאורע‬ 1.2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A ‫מאורע‬ ‫פירוק‬ 1.3 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Union Bound ‫האיחוד‬ ‫חסם‬ 1.3.1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫והדחה‬ ‫הכלה‬ 1.3.2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מותנית‬ ‫הסתברות‬ 1.4 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫מאורעות‬ 1.4.1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫איחוד‬ ‫לגבי‬ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מקרי‬ ‫משתנה‬ 1.5 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫תוחלת‬ 1.6 3 ‫טיילור‬ ‫קירוב‬ 2 3 ‫קירוב‬ ‫אלגוריתמי‬ 3 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (G ‫גרף‬ ‫)של‬ ‫הקשירות‬ ‫בעיית‬ :‫דוגמה‬ 3.1 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ערך‬ ‫פונקציית‬ 3.2 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (‫קבוע‬ ‫)=יחס‬ ‫קירוב‬ ‫פקטור‬ 3.3 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מדויקות‬ ‫הגדרות‬ 3.3.1 4 (k-wise independece) ‫משתנים‬ ‫של‬ ‫אי-תלות‬ 4 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הכללות‬ 4.1 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצירוף‬ ‫עיקרון‬ 4.2 5 ‫בולאניים‬ ‫מעגלים‬ ‫מול‬ ‫פולינומים‬ 5 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XOR ‫שער‬ - ‫בולאני‬ ‫למעגל‬ ‫דוגמה‬ 5.1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫המעגל‬ ‫חיזוק‬ 5.2 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫פולינומים‬ 5.3 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (‫יחיד‬ ‫)משתנה‬ ‫הגדרה‬ 5.3.1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫רב-משתנים‬ ‫לפולינום‬ ‫דוגמה‬ 5.3.2 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫נמוכה‬ ‫מדרגה‬ ‫פולינומים‬ ‫עי‬ ‫מעגלים‬ ‫קרוב‬ 5.4 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מעגלים‬ ‫סדרת‬ 5.4.1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫פולינומים‬ ‫סדרת‬ 5.4.2 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫לפולינומים‬ (‫)מעגלים‬ ‫שערים‬ ‫המרת‬ 5.5 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫פרמה‬ ‫משפט‬ 5.5.1 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOT ‫שער‬ 5.5.2 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . MOD ‫שער‬ 5.5.3 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AND ‫שער‬ 5.5.4 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OR ‫שער‬ 5.5.5 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מסכמת‬ ‫טבלה‬ 5.6 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הקירוב‬ ‫משפט‬ 5.7 8 (‫קירוב‬ ‫)יחס‬ ‫פקטור‬ 6 53
  • 54.
    ‫העניינים‬ ‫תוכן‬‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ 8‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬ 7 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫לינאריות‬ ‫ופונקציות‬ ‫בולאניות‬ ‫פונקציות‬ ‫הגדרת‬ 7.1 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כמות‬ 7.1.1 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫לינאריות‬ ‫פונקציות‬ 7.1.2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הסטטיסטי‬ ‫המרחק‬ 7.2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫פונקציות‬ ‫שתי‬ ‫בין‬ ‫הסטטיסטי‬ ‫המרחק‬ 7.2.1 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫לינארית‬ ‫לפונקציה‬ ‫סטטיסטי‬ ‫מרחק‬ 7.2.2 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫המרכזי‬ ‫המשפט‬ 7.3 9 ‫טיורינג‬ ‫מכונות‬ II 10 ‫חישובים‬ ‫מורכבות‬ 8 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫אלגוריתם‬ ‫מאפיין‬ ‫מה‬ 8.1 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫נתונים‬ 8.1.1 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫חוקים‬ 8.1.2 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫היסודית‬ ‫השאלה‬ 8.2 11 ‫חישוב‬ ‫מכונות‬ 9 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫החישוב‬ ‫אופן‬ 9.1 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫חישוב‬ ‫מתבצע‬ ‫כיצד‬ 9.1.1 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫החישוב‬ ‫פלט‬ ‫סימון‬ 9.1.2 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫טיורינג‬ ‫מכונת‬ ‫של‬ ‫וריאנטים‬ 9.2 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫המרכזי‬ ‫המשפט‬ 9.2.1 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫יעילה‬ ‫סימולציה‬ 9.2.2 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫סימולציה‬ ‫זמן‬ 9.2.3 12 ‫אוניברסליות‬ 10 13 ‫אלגוריתם‬ ‫של‬ ‫יעילות‬ 11 13 (‫)חזרה‬ ‫חישוביות‬ III 13 ‫חישובית‬ ‫מורכבות‬ 12 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ 12.1 14 ‫טבעית‬ ‫בעיות‬ 13 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?‫טבעית‬ ‫בעיה‬ ‫נגדיר‬ ‫כיצד‬ 13.1 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?‫טבעית‬ ‫לא‬ ‫חיפוש‬ ‫בעיית‬ ‫נגדיר‬ ‫איך‬ 13.2 15 NP ‫המחלקה‬ 14 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫שלמות‬ 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫נאותות‬ 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫יעילות‬ 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫המחשב‬ ‫במדעי‬ ‫המרכזית‬ ‫הבעיה‬ 14.1 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מייצגת‬ ‫בעיה‬ 14.2 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?‫קשה‬ ‫הכי‬ ‫נגדיר‬ ‫איך‬ 14.2.1 16 ‫פולינומית‬ ‫רדוקציה‬ - (Karp) ‫קארפ‬ ‫רדוקציית‬ 15 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫-שלמה‬C ‫שפה‬ 15.1 54
  • 55.
    ‫העניינים‬ ‫תוכן‬‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ 18‫ואופטימיזציה‬ ‫חיפוש‬ ,‫הכרעה‬ ‫של‬ ‫גרסאות‬ ‫בין‬ ‫שקילות‬ 16 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 − SAT ‫דוגמת‬ 16.1 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫שקילות‬ ‫דוגמת‬ 16.1.1 19 DSR ‫שיטת‬ 17 19 (‫-דטרמיניסטי‬ ‫לא‬ ‫חישוב‬ NP ‫)הגדרת‬ ‫מטלד‬ 18 19 coNP ‫המחלקה‬ 19 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . coC ‫המחלקה‬ 19.1 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . coP = P 19.2 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫כמתים‬ ‫באמצעות‬ coNP ‫הגדרת‬ 19.3 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NP ̸= coNP-‫ש‬ ‫ההשערה‬ 19.4 21 PH - ‫פולינומית‬ ‫היררכיה‬ IV 22 coNP-‫ו‬ NP-‫ל‬ ‫שמעבר‬ ‫מה‬ 20 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (‫כמתים‬ ‫שני‬ ‫עם‬ ‫לבעיה‬ ‫)דוגמה‬ ‫המזערי‬ ‫המעגל‬ ‫בעיית‬ 20.1 23 ‫הפולינומית‬ ‫ההיררכיה‬ ‫הגדרת‬ 21 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫סימונים‬ 21.1 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ΠkP-‫ו‬ ΣkP 21.2 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PH ‫הגדרת‬ 21.3 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '‫וכו‬ P ̸= NP ‫לגבי‬ ‫מרכזיות‬ ‫השערות‬ 21.4 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הקריסה‬ ‫משפט‬ 21.5 24 ‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ V 25 S ≪ T ‫שבו‬ ‫למקרה‬ ‫דוגמת‬ 22 25 ‫חישוב‬ ‫קונפיגורצית‬ 23 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?‫ישנן‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫כמה‬ 23.1 26 ‫זיכרון‬ - ‫סיבוכיות‬ ‫מחלקות‬ 24 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ 24.1 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫המחלקות‬ ‫של‬ ‫ההיררכיה‬ 24.2 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?L ̸= NP :‫פתוחה‬ ‫בעיה‬ 24.2.1 27 ‫במשחקים‬ ‫מנצחות‬ ‫אסטרטגיות‬ VI 28 ‫משחקים‬ ‫הגדרת‬ 25 28 ‫צרמלו‬ ‫משפט‬ 26 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?‫מנצחת‬ ‫אסטרטגיה‬ ‫יש‬ (‫)לבן‬ ‫הפותח‬ ‫שלשחקן‬ ‫רושמים‬ ‫כיצד‬ 26.1 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ?‫נותרו‬ ‫צעדים‬ ‫כמה‬ ‫מסמנים‬ ‫כיצד‬ 26.2 29 TQBF 27 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TQBF ‫להכרעת‬ ‫אלגוריתם‬ 27.1 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF 27.2 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TQBF ‫של‬ ‫הזיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ 27.3 55
  • 56.
    ‫העניינים‬ ‫תוכן‬‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ 29‫לא-דטרמינסטי‬ ‫זיכרון‬ ‫סיבוכיות‬ 28 30 (‫אוב‬ ‫)פונקציית‬ ‫האורקל‬ ‫גישת‬ VII 30 ‫רקע‬ 29 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫אורקל‬ ‫גישת‬ 29.1 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫סימונים‬ 29.2 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫לאורקל‬ ‫בגישה‬ ‫שנשמרת‬ ‫הוכחה‬ - ‫מסורתית‬ ‫הוכחה‬ 29.3 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ 29.4 32 PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ VIII 32 ?‫הוכחה‬ ‫מערכת‬ ‫מהי‬ 30 32 ‫הוכחה‬ ‫למערכת‬ ‫הדרושים‬ ‫התנאים‬ 31 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫שלמות‬ 31.1 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫נאותות‬ 31.2 33 PCP-‫ה‬ ‫משפט‬ 32 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫יעילות‬ 32.1 34 IP - ‫אינטראקטיביות‬ ‫הוכחה‬ ‫מערכות‬ IX 34 ‫הבסיסי‬ ‫הרעיון‬ 33 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הדו-שיח‬ ‫פרוטוקול‬ 33.1 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫שלמות‬ 33.2 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫נאותות‬ 33.3 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫יעילות‬ 33.4 35 ‫גרפים‬ ‫של‬ ‫איזומורפיזם‬ - ‫דוגמה‬ 34 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫איזומורפים‬ ‫לגרפים‬ ‫דוגמה‬ 34.1 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GISO, GNISO ‫השפות‬ 34.2 36 GNISO ∈ IP [2] ‫כי‬ ‫ההוכחה‬ 35 36 ‫קבוע‬ K ‫כאשר‬ IP [K] 36 37 (‫המרכזי‬ ‫)המשפט‬ IP ‫הגדרת‬ 37 37 Zero Knowledge-‫ה‬ ‫עיקרון‬ 38 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (NP) ‫קלאסית‬ ‫הוכחה‬ ‫מערכת‬ 38.1 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [IP] ‫אינטראקטיביות‬ ‫הוכחות‬ ‫מערכת‬ 38.2 38 ‫הוכחות‬ X 38 ‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחות‬ 39 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫העצירה‬ ‫בעיית‬ ‫אי-כריעות‬ ‫הוכחת‬ 39.1 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הנחות‬ 39.1.1 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ההוכחה‬ 39.1.2 56
  • 57.
    ‫האיורים‬ ‫רשימת‬‫החישובים‬ ‫מורכבות‬ 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ‫ההיררכיה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ 39.2 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Θ-‫ב‬ ‫טיפול‬ 39.2.1 41 BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫הוכחת‬ 40 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫הראשון‬ ‫החלק‬ ‫הוכחת‬ 40.1 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BGS-‫ה‬ ‫משפט‬ ‫של‬ ‫שני‬ ‫החלק‬ ‫הוכחת‬ 40.2 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Θ-‫ב‬ ‫טיפול‬ 40.2.1 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫טופלו‬ ‫שכבר‬ ‫בקלטים‬ ‫טיפול‬ 40.2.2 43 ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 41 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TQBF ∈ D − SPACE ‫וגם‬ TQBF ∈ PSPACE 41.1 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫-שלמה‬PSPACE ‫היא‬ TQBF 41.2 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫קונפיגורציות‬ ‫גרף‬ 41.2.1 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L ≤p TQBF 41.2.2 45 NP = PCP (Θ (log n) , Θ (1)) ‫הוכחת‬ 42 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫להוכחה‬ ‫כלים‬ 42.1 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ווקטורים‬ ‫על‬ ‫פעולות‬ 42.1.1 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫חיבור‬ 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫פנימית‬ ‫מכפלה‬ 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מטריצות‬ ‫על‬ ‫פעולות‬ 42.1.2 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מטריצות‬ ‫חיבור‬ 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מטריצות‬ ‫של‬ ‫פנימית‬ ‫מכפלה‬ 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫טנזורית‬ ‫מכפלה‬ 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫וולש-הדמרד‬ ‫קוד‬ 42.1.3 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NP ⊇ PCP (Θ (log n) , Θ (1))-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 42.2 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NP ⊆ PCP (poly (n) , Θ (1))-‫ש‬ ‫ההוכחה‬ 42.3 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . QE ‫שנייה‬ ‫ממעלה‬ ‫משאוות‬ 42.3.1 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 − SAT ≤p QE 42.3.2 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ההוכחה‬ ‫של‬ ‫המרכזי‬ ‫הרעיון‬ - (‫המאמת‬ ‫)של‬ V ‫של‬ ‫תפקידו‬ 42.3.3 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫מטריצות‬ ‫עבור‬ ‫המקרי‬ ‫הלינארי‬ ‫הצרוף‬ ‫עקרון‬ 42.3.4 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫ההוכחה‬ ‫של‬ ‫הסינטקטי‬ ‫השלב‬ 42.3.5 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫סיכום‬ 42.4 ‫האיורים‬ ‫רשימת‬ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XOR ‫בולאני‬ ‫למעגל‬ ‫דוגמה‬ 1 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫טיורינג‬ ‫למכונת‬ ‫דוגמה‬ 2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫הפולינומית‬ ‫הרדוקציה‬ ‫פעולת‬ 3 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫פולינומית‬ ‫היררכיה‬ 4 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫איזומורפים‬ ‫לגרפים‬ ‫דוגמה‬ 5 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫קנטור‬ ‫של‬ ‫האלכסון‬ 6 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ‫לדוגמה‬ ‫קונפיגורציות‬ ‫גרף‬ 7 .‫בלכסון‬ ‫שמתרכזת‬ ‫חלקית‬ ‫בהוכחה‬ ‫אלא‬ ‫מלאה‬ ‫בהוכחה‬ ‫מדובר‬ ‫לא‬25 ‫השני‬ ‫החלק‬ ‫בשביל‬ ‫כאן‬ ‫זה‬ ‫אבל‬ ,‫האלכסון‬ ‫בשיטת‬ ‫הוכחה‬ ‫לא‬ ‫זאת‬26 57
  • 58.
    ‫מפתח‬ 1 ,‫הסתברות‬ 1 ,‫האיחוד‬‫חסם‬ 1 ,‫מאורע‬ 2 ,‫בלתי-תלויים‬ ‫מאורעות‬ 4 ,‫בעיית‬ ,‫מינימיזציה‬ 4 ,‫בעיית‬ ,‫מקסימיזציה‬ 24 ,‫הקריסה‬ ‫משפט‬ 2 ,‫מקרי‬ ‫משתנה‬ 1 ,‫מדגם‬ ‫מרחב‬ 8 ,‫בולאניות‬ ‫פונקציות‬ 4 ,‫קירוב‬ ‫פקטור‬ 11 ,‫מצבים‬ ‫קבוצת‬ 26 ,‫קונפיגורציה‬ 4 ,‫קירוב‬ 3 ,‫טיילור‬ ‫קירוב‬ 6 ,MOD ‫שער‬ 17 ,‫-קשה‬C ‫שפה‬ 16 ,‫-קשה‬NP ‫שפה‬ 2 ,‫תוחלת‬ 3 ,‫התוחלת‬ ‫לינאריות‬ D 19 ,DSR 58