סיכום על בדיקת לינאריות מתוך הקורס מורכבות החישובים

1. ‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬
‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬
‫לינאריות‬ ‫ופונקציות‬ ‫בולאניות‬ ‫פונקציות‬ ‫הגדרת‬ 1
:‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬ ‫זאת‬ Hn
Hn =
{
h h : {0, 1}
n
→ {0, 1}
}
:‫למשל‬
f : {0, 1}
n
→ {0, 1}
f (⃗
x) =
n
∑
i=1
xi
‫אחרת‬ 0 ‫מחזירה‬ ‫היא‬ ‫זוגי‬ ‫הוא‬ ‫בו‬ ‫האחדות‬ ‫מספר‬ ‫ואם‬ {0, 1}-‫מ‬ ‫המורכב‬ n ‫באורך‬ ‫וקטור‬ ‫המקבלת‬ ‫פונקציה‬ ‫זוהי‬
.1
.f ∈ Hn ‫כמובן‬
‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כמות‬ 1.1
.2(2n
)
= 4n
‫היא‬ ‫הבולאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫כמות‬
:‫הסבר‬
2n
‫עבור‬ ‫לכן‬ ,‫לפלט‬ ‫אפשרויות‬ ‫שתי‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אפשרות‬ ‫ולכל‬ ‫קלט‬ ‫לוקטורי‬ ‫אפשרויות‬ 2n
‫לנו‬ ‫יש‬ n ‫באורך‬ ‫וקטור‬ ‫עבור‬
.4n
- ‫אפשריות‬ ‫תוצאות‬ 2(2n
)
‫סה"כ‬ ‫לנו‬ ‫יש‬ ‫אפשרויות‬
‫לינאריות‬ ‫פונקציות‬ 1.2
:Ln ‫של‬ ‫ההגדרה‬ .‫לינאריות‬ ‫גם‬ ‫שהם‬ ‫הבוליאניות‬ ‫הפונקציות‬ ‫קבוצת‬ ‫זוהי‬ Ln
Ln =
{
h h ∈ Hn ∧ (h (⃗
x) + h (⃗
y) = h (⃗
x + ⃗
y))
}
1

2. ‫לינאריות‬ ‫בדיקת‬
.‫כמובן‬ f (x) ∈ Ln
:⃗
x + ⃗
y ‫של‬ ‫ההגדרה‬
(⃗
x + ⃗
y) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
‫הסטטיסטי‬ ‫המרחק‬ 2
‫פונקציות‬ ‫שתי‬ ‫בין‬ ‫הסטטיסטי‬ ‫המרחק‬ 2.1
‫מגרילים‬ ‫אנחנו‬ :‫הסתברותיים‬ ‫לכלים‬ ‫עוברים‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ,Ω (2n
) :‫עצום‬ ‫הוא‬ f ∈ Hn ‫של‬ ‫הקלטים‬ ‫ומרחב‬ ‫היות‬
.‫תלוי‬ ‫ובלתי‬ ‫אחיד‬ ‫באופן‬ ‫קלטים‬
.⃗
x ∈ {0, 1}
n
:‫נגדיר‬
∆ (f, g) = Pr [f (⃗
x) ̸= g (⃗
x)]
:‫אזי‬ 2n
-‫ה‬ ‫מתוך‬ ‫קלטים‬ ‫בשני‬ ‫רק‬ ‫נבדלות‬ (‫מהן‬ ‫כרגע‬ ‫משנה‬ ‫)שלא‬ f, g ∈ Hn ‫הפונקציות‬ ‫כי‬ ‫נניח‬
∆ (f, g) = Pr [f (⃗
x) ̸= g (⃗
x)] =
2
2n
=
1
2n−1
‫לינארית‬ ‫לפונקציה‬ ‫סטטיסיטי‬ ‫מרחק‬ 2.2
.‫לינארית‬ ‫אינה‬ f ∈ Hn ‫הפונקציה‬ ‫כי‬ ‫נניח‬
:‫כעת‬
∆ (f) = min
l∈Ln
{∆ (f, l)}
f ‫בין‬ ‫הבדל‬ ‫פחות‬ ‫כמה‬ ‫שיש‬ ‫זאת‬ - "‫קרובה‬ ‫"הכי‬ ‫הלינארית‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫מחפשים‬ ‫אנחנו‬ ,‫כלומר‬
‫המרכזי‬ ‫המשפט‬ 3
:‫מתקיים‬ f ∈ Hn ‫פונקציה‬ ‫לכל‬
ε (f) ≤ 3 · ∆ (f) (1)
∆ (f) ≤ 3 · ε (f) (2)
.ε (f) < 1
6 ‫כאשר‬ ‫רק‬ ‫מתקיים‬ (2) ‫חלק‬
.‫לינארית‬ ‫לפונקציה‬ ‫סטטיסטית‬ ‫קרבה‬ ‫בין‬ ‫קשר‬ ‫לנו‬ ‫נותן‬ ‫המשפט‬
‫התפלגות‬ ‫שיש‬ ‫)בהנחה‬ ‫הקלט‬ ‫של‬ ‫דגימות‬ ‫עושים‬ ‫אנחנו‬ ‫אזי‬ ,‫לינארית‬ ‫היא‬ ‫הפונקציה‬ ‫האם‬ ‫לבדוק‬ ‫ניתן‬ ‫תמיד‬ ‫ולא‬ ‫היות‬
.(‫לקלטים‬ ‫אחידה‬
2