1. a‫ה‬ ‫ח‬ ‫ו‬ ‫ת‬ ‫פ‬ ‫ה‬ ‫ה‬ ‫ט‬ ‫י‬ ‫ס‬ ‫ר‬ ‫ב‬ ‫י‬ ‫נ‬ ‫ו‬ ‫א‬ ‫ה‬
‫הראבן‬ ‫איתי‬ :‫כתב‬
‫אוקטובר‬2014-‫סמסטר‬‫סתיו‬‫תש‬"‫ע‬‫ה‬
20476
‫מתמטיקה‬‫בדידה‬
‫הקורס‬ ‫חוברת‬‫סתיו‬2015‫א‬

2. ‫פנימי‬–.‫להפצה‬ ‫לא‬
‫שמורות‬ ‫הזכויות‬ ‫כל‬‫הפתוחה‬ ‫לאוניברסיטה‬.

3. ‫ם‬ ‫י‬ ‫נ‬ ‫י‬ ‫י‬ ‫נ‬ ‫ע‬ ‫ה‬ ‫ן‬ ‫כ‬ ‫ו‬ ‫ת‬
‫הסטודנט‬ ‫אל‬‫ים‬‫א‬
‫ופעילויות‬ ‫זמנים‬ ‫לוח‬‫ג‬
‫הקורס‬ ‫מטלות‬‫ה‬
‫ממ"ח‬011
‫ממ"ן‬115
"‫ממ‬‫ח‬027
‫ממ"ח‬0311
‫ממ"ן‬1215
‫ממ"ן‬1317
‫ממ"ח‬0419
‫ממ"ן‬1423
‫ממ"ן‬1525
‫ממ"ח‬0527
‫ממ"ן‬1631

5. ‫א‬
,‫הסטודנטים‬ ‫אל‬
‫"מתמטיקה‬ ‫בקורס‬ ‫הלומדים‬ ‫אל‬ ‫הצטרפותכם‬ ‫עם‬ ‫בברכה‬ ‫פניכם‬ ‫את‬ ‫מקדמים‬ ‫אנו‬‫בדידה‬."
‫אנא‬.‫בלימודיכם‬ ‫שתתחילו‬ ‫לפני‬ ‫הסעיפים‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫בעיון‬ ‫קראו‬‫לגבי‬ ‫פרטים‬‫המקובלים‬ ‫נהלים‬
‫ב‬ ‫מפורטים‬ ‫הפתוחה‬ ‫באוניברסיטה‬.‫האקדמי‬ ‫ידיעון‬‫תיאור‬‫י‬‫בקטלוג‬ ‫מופיעים‬ ‫הקורסים‬
.‫הקורסים‬
:‫הערה‬‫על‬‫מ‬ ‫חלק‬‫מופיע‬ ‫הקורס‬ ‫של‬ ‫העזר‬ ‫מחומרי‬ ‫וחלק‬ ‫הלימוד‬ ‫ספרי‬‫ים‬‫מספר‬‫קורס‬ ‫י‬20276,
20283.‫אלה‬ ‫חומרים‬‫שלנו‬ ‫לקורס‬ ‫הועברו‬.‫קודמות‬ ‫בשנים‬ ‫באו"פ‬ ‫שפעל‬ ‫מקורס‬
‫זה‬ ‫קורס‬‫מתוקשב‬.(‫מרחוק‬ ‫ללימוד‬ ‫)תקשוב‬ ‫תלם‬ ‫מחלקת‬ ‫של‬ ‫הפעילות‬ ‫במסגרת‬
.‫באינטרנט‬ ‫הקורס‬ ‫באתר‬ ‫פעילות‬ ‫גם‬ ,‫הכתובות‬ ‫הלימוד‬ ‫יחידות‬ ‫על‬ ‫נוסף‬ ,‫כולל‬ ‫מתוקשב‬ ‫קורס‬
‫ודואר‬ ‫דיון‬ ‫קבוצות‬ ‫באמצעות‬ ‫ההוראה‬ ‫לצוות‬ ‫הסטודנטים‬ ‫בין‬ ‫אינטראקציה‬ :‫כוללת‬ ‫זו‬ ‫פעילות‬
‫ולאתרים‬ ‫מידע‬ ‫למאגרי‬ ‫הפניות‬ ,‫אלקטרוני‬‫הפעילות‬ .‫והעשרה‬ ‫לימוד‬ ‫חומרי‬ ,‫האינטרנט‬ ‫ברשת‬
‫חובה‬ ‫אינה‬ ‫הקורס‬ ‫באתר‬.‫הקורס‬ ‫בלימוד‬ ‫מאוד‬ ‫לסייע‬ ‫יכול‬ ‫האתר‬ ‫אך‬
:‫הקורסים‬ ‫אתרי‬ ‫כתובת‬http://telem.openu.ac.il.
‫תמ‬ ‫לרשותכם‬ ‫מעמידה‬ ‫שהאוניברסיטה‬ ‫מידע‬ ‫ומקורות‬ ‫ספרייה‬ ‫שירותי‬ ‫על‬ ‫מידע‬‫באתר‬ ‫צאו‬
‫באינטרנט‬ ‫הספריה‬www.openu.ac.il/Library.
‫בקורס‬ ‫ההוראה‬ ‫מרכז‬‫הוא‬‫איתי‬.‫הראבן‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫אליו‬ ‫לפנות‬ ‫ניתן‬
‫בטלפון‬02-6733210‫בימי‬‫ד‬,'‫השעות‬ ‫בין‬19:00-20:00.
.‫הקורס‬ ‫אתר‬ ‫דרך‬
‫אלקטרוני‬ ‫בדואר‬itaiha@openu.ac.il
:‫פקס‬09-7780631"‫איתי‬ ‫"עבור‬ ‫לרשום‬ ,
.‫ומהנה‬ ‫פורה‬ ‫לימוד‬ ‫לכם‬ ‫מאחלים‬ ‫אנו‬
, ‫ה‬ ‫כ‬ ‫ר‬ ‫ב‬ ‫ב‬
‫הקורס‬ ‫צוות‬

6. ‫ב‬

7. ‫ג‬
‫ופעילויות‬ ‫זמנים‬ ‫לוח‬)20476/‫א‬2015(
‫אחרון‬ ‫תאריך‬‫למשלוח‬
‫שבוע‬
‫לימוד‬
‫הלימוד‬ ‫שבוע‬ ‫תאריכי‬‫הלימוד‬ ‫יחידת‬
‫המומלצת‬
‫מפגשי‬‫ההנחיה‬*‫ממ"ח‬
(‫)לאו"פ‬
‫ממ"ן‬
(‫)למנחה‬
124.10.2014-21.10.2014‫"מבוא‬ ‫החוברת‬
"‫ללוגיקה‬ ‫מהיר‬
231.10.2014-26.10.2014‫תורת‬‫הקבוצות‬
‫פרק‬1
‫ממ"ח‬01
‫יום‬‫ו‬'
31.10.2014
37.11.2014-2.11.2014‫הקבוצות‬ ‫תורת‬
‫סעיפים‬2.1-2.4
‫ממ"ן‬11
‫יום‬‫ה‬'
6.11.2014
414.11.2014-9.11.2014‫הקבוצות‬ ‫תורת‬
‫סעיפים‬2.5-3.1
‫ממ"ח‬02
‫יום‬‫ו‬'
14.11.2014
521.11.2014-16.11.2014‫הקבוצות‬ ‫תורת‬
‫סעיפים‬3.2-3.5
‫ממ"ח‬03
‫ו‬ ‫יום‬'
21.11.2014
628.11.2014-23.11.2014‫הקבוצות‬ ‫תורת‬
‫סעיף‬4.1
‫ממ"ן‬12
‫ו‬ ‫יום‬'
28.11.2014
75.12.2014-30.11.2014
‫הקבוצות‬ ‫תורת‬
‫פרק‬5
(‫נפרדת‬ ‫)חוברת‬
812.12.2014-7.12.2014‫החומר‬ ‫על‬ ‫חזרה‬
919.12.2014-14.12.2014
)‫ד‬-‫ו‬(‫חנוכה‬
‫קומבינטוריקה‬
‫סעיפים‬1.1-
2.3
‫ממ"ן‬13
‫יום‬‫ב‬'
15.12.2014
‫הקבוצתיים‬ ‫המפגשים‬ ‫של‬ ‫המדויקים‬ ‫התאריכים‬ *."‫ומנחים‬ ‫מפגשים‬ ‫ב"לוח‬ ‫מופיעים‬

8. ‫ד‬
‫ופעילויות‬ ‫זמנים‬ ‫לוח‬-‫המשך‬
‫אחרון‬ ‫תאריך‬‫למשלוח‬
‫שבוע‬
‫לימוד‬
‫הלימוד‬ ‫שבוע‬ ‫תאריכי‬‫הלימוד‬ ‫יחידת‬
‫המומלצת‬
‫מפגשי‬‫ההנחיה‬*‫ממ"ח‬
(‫)לאו"פ‬
‫ממ"ן‬
(‫)למנחה‬
1026.12.2014-21.12.2014
)‫א‬-‫ד‬(‫חנוכה‬
‫קומבינטוריקה‬
‫סעיפים‬2.4-3.2
112.1.2015-28.12.2014
‫קומבינטוריקה‬
‫פרק‬‫ים‬4-5
‫ממ"ח‬04
'‫ג‬ ‫יום‬
30.12.2014
129.1.2015-4.1.2015
‫קומבינטוריקה‬
‫פרקים‬6-7
‫ממ"ן‬14
‫יום‬‫ג‬'
6.1.2015
1316.1.2015-11.1.2015‫הגרפים‬ ‫תורת‬
‫פרקים‬1-2
‫ממ"ן‬15
'‫ה‬ ‫יום‬
16.1.2015
1423.1.2015-18.1.2015‫הגרפים‬ ‫תורת‬
‫פרקים‬3-4
152.2.2015-25.1.2015
‫ממ"ח‬05
‫יום‬‫ו‬'
2.2.2015‫ממ"ן‬16
‫יום‬‫א‬'
4.2.2015
‫בנפרד‬ ‫יפורסמו‬ ‫הגמר‬ ‫בחינות‬ ‫מועדי‬
‫הקבוצתיים‬ ‫המפגשים‬ ‫של‬ ‫המדויקים‬ ‫התאריכים‬ *."‫ומנחים‬ ‫מפגשים‬ ‫ב"לוח‬ ‫מופיעים‬

9. ‫ה‬
‫הקורס‬ ‫מטלות‬
‫קרא‬‫ו‬‫אל‬ ‫עמודים‬ ‫היטב‬‫ה‬‫שתתחיל‬ ‫לפני‬‫ו‬‫השאלות‬ ‫על‬ ‫לענות‬
‫ה‬ ‫המטלות‬ ‫פתרון‬‫הקורס‬ ‫מלימוד‬ ‫נפרד‬ ‫בלתי‬ ‫חלק‬ ‫וא‬.‫דורשת‬ ‫הלימוד‬ ‫חומר‬ ‫של‬ ‫הבנה‬‫תרגול‬.‫רב‬
‫מטלות‬(‫)ממנ"ים‬ ‫המנחה‬‫על‬ ‫יבדקו‬-‫ל‬ ‫ויוחזרו‬ ‫המנחה‬ ‫ידי‬‫כם‬‫המתייחסות‬ ‫הערות‬ ‫בצירוף‬
.‫לתשובות‬.‫נכונות‬ ‫ולא‬ ‫נכונות‬ ‫תשובות‬ ‫פירוט‬ ‫רק‬ ‫תקבלו‬ (‫)ממ"חים‬ ‫המחשב‬ ‫מטלות‬ ‫על‬
‫המטלות‬ ‫מבנה‬
‫כן‬ ‫אם‬ ‫אלא‬ ‫זהה‬ ‫השאלות‬ ‫כל‬ ‫משקל‬ .‫שאלות‬ ‫מכמה‬ ‫מורכבת‬ ‫מטלה‬ ‫כל‬‫צוין‬.‫אחרת‬
‫למ‬ ‫הפתרונות‬ ‫את‬‫מ"ן‬‫עלי‬‫כם‬‫שוליים‬ ‫להשאיר‬ ‫רצוי‬ .‫מסודרת‬ ‫ובצורה‬ ‫ברור‬ ‫יד‬ ‫בכתב‬ ‫דף‬ ‫על‬ ‫לרשום‬
‫בתנאי‬ ,‫תמלילים‬ ‫במעבד‬ ‫מודפסות‬ ‫המטלות‬ ‫את‬ ‫להגיש‬ ‫ניתן‬ ‫לחילופין‬ .‫המנחה‬ ‫להערות‬ ‫רחבים‬
.‫ביחידות‬ ‫מופיעים‬ ‫שאינם‬ ‫בסימונים‬ ‫להשתמש‬ ‫אין‬ .‫ברורים‬ ‫המתמטיים‬ ‫הסימונים‬ ‫שכל‬
‫המטלות‬ ‫ניקוד‬
‫בקורס‬6(‫)ממ"נים‬ ‫מנחה‬ ‫מטלות‬‫ו‬-5.(‫)ממ"חים‬ ‫מחשב‬ ‫מטלות‬
‫הוא‬ ‫ממ"ן‬ ‫כל‬ ‫משקל‬ :‫המטלות‬ ‫משקלי‬3‫לממ"ן‬ ‫פרט‬ ,‫נקודות‬12‫שמשקלו‬4.‫נקודות‬
‫הוא‬ ‫ממ"ח‬ ‫כל‬ ‫משקל‬2‫לממ"ח‬ ‫פרט‬ ,‫נקודות‬05‫שמשקלו‬3.‫נקודות‬
‫המטלות‬ ‫כל‬ ‫בהגשת‬‫ניתן‬‫אפוא‬‫לצבור‬30.‫נקודות‬
‫המטלות‬ ‫בהגשת‬ ‫חובה‬ ‫דרישות‬
‫של‬ ‫במשקל‬ ‫מטלות‬ ‫להגיש‬ ‫חובה‬20‫נ‬.‫לפחות‬ ‫קודות‬
(ׂ‫)ממ"נים‬ ‫מנחה‬ ‫מטלות‬ ‫ארבע‬ ‫לפחות‬ ‫להיות‬ ‫חייבות‬ ‫שתגישו‬ ‫המטלות‬ ‫בין‬
‫זכות‬ ‫נקודות‬ ‫לקבלת‬ ‫התנאים‬
‫א‬.‫מטלות‬ ‫להגיש‬‫במשקל‬‫של‬20'‫נק‬.‫לפחות‬‫מ‬ ‫כאשר‬‫תוכן‬‫ארבע‬ ‫לפחות‬
(‫)ממ"נים‬ ‫מנחה‬ ‫מטלות‬
‫ב‬.‫ציון‬ ‫הגמר‬ ‫בבחינת‬ ‫לקבל‬60.‫לפחות‬
‫ג‬.‫הסופי‬ ‫בציון‬ ‫לקבל‬60.‫לפחות‬ ‫נקודות‬

10. ‫ו‬
‫חשובות‬ ‫הערות‬!‫לבך‬ ‫לתשומת‬
‫שתשתדל‬ ‫מומלץ‬ ‫לכן‬ ,‫הלמידה‬ ‫בתהליך‬ ‫מרכזי‬ ‫מרכיב‬ ‫הוא‬ ‫המטלות‬ ‫פתרון‬‫ו‬‫רבות‬ ‫מטלות‬ ‫להגיש‬
‫את‬ ‫שעליהן‬ ‫מטלות‬ ‫כולל‬ ,‫האפשר‬ ‫ככל‬‫ם‬‫מצליח‬‫ים‬.‫חלקי‬ ‫באופן‬ ‫רק‬ ‫להשיב‬
‫לעודד‬ ‫כדי‬‫כם‬:‫כדלהלן‬ ‫הקלה‬ ‫הנהגנו‬ ‫מטלות‬ ‫של‬ ‫רב‬ ‫מספר‬ ‫לבדיקה‬ ‫להגיש‬
‫נשקלל‬ ‫הסופי‬ ‫הציון‬ ‫בחישוב‬‫ציוני‬ .‫הגמר‬ ‫בבחינת‬ ‫מהציון‬ ‫גבוהים‬ ‫שציוניהן‬ ‫המטלות‬ ‫כל‬ ‫את‬
.‫הסופי‬ ‫הציון‬ ‫לשיפור‬ ‫תורמים‬ ‫כאלה‬ ‫מטלות‬
‫להשלמת‬ ‫עד‬ ‫ביותר‬ ‫הטובות‬ ‫את‬ ‫רק‬ ‫נבחר‬ ‫מתוכן‬ .‫בלבד‬ ‫הצורך‬ ‫במידת‬ ‫נתייחס‬ ‫המטלות‬ ‫ליתר‬
.‫נתעלם‬ ‫המטלות‬ ‫משאר‬ .‫מטלות‬ ‫הגשת‬ ‫בתנאי‬ ‫לעמידה‬ ‫ההכרחי‬ ‫המינימום‬
‫זכ‬‫רו‬‫רק‬ ‫מחושב‬ ‫סופי‬ ‫ציון‬ !‫בציון‬ ‫הגמר‬ ‫בחינת‬ ‫את‬ ‫שעברו‬ ‫לסטודנטים‬60‫מטלות‬ ‫והגישו‬ ‫ומעלה‬
.‫קורס‬ ‫באותו‬ ‫כנדרש‬
‫ואפילו‬ ,‫מותר‬‫ועל‬ ‫הלימוד‬ ‫נושאי‬ ‫על‬ ‫הקורס‬ ‫של‬ ‫ההוראה‬ ‫סגל‬ ‫ועם‬ ,‫עמיתים‬ ‫עם‬ ‫לדון‬ ‫מומלץ‬
.‫עמלו‬ ‫פרי‬ ‫להיות‬ ‫אמורה‬ ‫לבדיקה‬ ‫מגיש‬ ‫שסטודנט‬ ‫מטלה‬ ,‫זאת‬ ‫עם‬ .‫במטלות‬ ‫המופיעות‬ ‫השאלות‬
‫מטלה‬ ‫הגשת‬‫על‬ ‫אישית‬ ‫נוסחה‬ ‫שלא‬ ‫או‬ ,‫עצמית‬ ‫עבודה‬ ‫אינו‬ ‫שפתרונה‬-‫עבירת‬ ‫היא‬ ‫המגיש‬ ‫ידי‬
.‫משמעת‬
‫עלי‬‫כם‬‫לעצמ‬ ‫להשאיר‬‫כם‬.‫המטלה‬ ‫של‬ ‫העתק‬
‫אחראית‬ ‫הפתוחה‬ ‫האוניברסיטה‬ ‫אין‬
‫ל‬‫מ‬.‫בדואר‬ ‫תקלות‬ ‫בשל‬ ‫שתאבד‬ ‫טלה‬

11. 1
‫מטלת‬‫מחשב‬"‫)ממ‬‫ח‬(01
:‫הקורס‬20476‫מתמטיקה‬‫בדידה‬‫למטלה‬ ‫הלימוד‬ ‫חומר‬:‫החוברת‬"‫ללוגיקה‬ ‫מהיר‬ ‫"מבוא‬
:‫השאלות‬ ‫מספר‬13:‫המטלה‬ ‫משקל‬2‫נקודות‬
:‫סמסטר‬2015‫א‬:‫להגשה‬ ‫אחרון‬ ‫מועד‬‫יום‬‫ו‬'31.10.2014
‫שאילת"א‬ ‫מערכת‬ ‫באמצעות‬ ‫לשלוח‬ ‫יש‬ ‫לממ"ח‬ ‫התשובות‬ ‫את‬
‫בכתובת‬http://www.openu.ac.il/sheilta/
.‫ממוחשבת‬ ‫בצורה‬ ‫נבדק‬ ‫הממ"ח‬"‫הממ‬ ‫פתרון‬ ‫את‬ ‫לשלוח‬ ‫אין‬‫למנחה‬ ‫ח‬!
(#) ‫בסולמית‬ ‫המסומנות‬ ‫בשאלות‬.‫טענות‬ ‫שתי‬ ‫מופיעות‬‫אלה‬ ‫בשאלות‬:‫סמנו‬
‫א‬-‫טענה‬ ‫רק‬ ‫אם‬1‫נכונה‬‫ב‬-‫טענה‬ ‫רק‬ ‫אם‬2‫נכונה‬
‫ג‬-‫נכונות‬ ‫הטענות‬ ‫שתי‬ ‫אם‬‫ד‬-‫נכונות‬ ‫אינן‬ ‫הטענות‬ ‫שתי‬ ‫אם‬
‫שאלה‬1#
1.‫האמירה‬‫המספרים‬6,7‫זוגיים‬ ‫מספרים‬ ‫הם‬.‫פסוק‬ ‫היא‬
2.‫המתמטי‬ ‫הביטוי‬1 2 3 4  .‫פסוק‬ ‫הוא‬
‫שאלה‬2#
1.‫שלילת‬‫הפסוק‬‫על‬ ‫נמצא‬ ‫הכד‬‫השולחן‬
‫הפסוק‬ ‫היא‬‫לשולחן‬ ‫מתחת‬ ‫נמצא‬ ‫הכד‬
2.‫שלילת‬‫הפסוק‬‫מהכד‬ ‫המים‬ ‫את‬ ‫שפך‬ ‫איציק‬
‫הפסוק‬ ‫היא‬‫במים‬ ‫הכד‬ ‫את‬ ‫מילא‬ ‫איציק‬
‫שאלה‬3#
1.‫הפסוק‬1 1 2 ‫וגם‬2 3 5 .‫אמת‬ ‫הוא‬
2.‫הפסוק‬1 1 2 ‫או‬3 3 2 .‫אמת‬ ‫הוא‬
‫שאלה‬4#
1.‫הפסוק‬‫אם‬2 3‫אז‬2 1 1 ‫אמת‬ ‫הוא‬.
2.‫הפסוק‬‫אם‬2 3‫אז‬2 10.‫אמת‬ ‫הוא‬

12. 2
‫שאלה‬5#
1.‫של‬ ‫האמת‬ ‫לוח‬‫הפורמלי‬ ‫הפסוק‬( ) ( )p q r q  :‫הוא‬
p q r ( ) ( )p q r q  
T T T T
T T F T
T F T F
T F F T
F T T T
F T F T
F F T T
F F F T
2.‫הפורמלי‬ ‫הפסוק‬( ) ( )p p q   .‫סתירה‬ ‫הוא‬
‫שאלה‬6#
1.‫הפורמלי‬ ‫הפסוק‬( )p q ‫הפורמלי‬ ‫לפסוק‬ ‫טאוטולוגית‬ ‫שקול‬p q .
2.‫הפורמלי‬ ‫הפסוק‬p q‫הפורמלי‬ ‫לפסוק‬ ‫טאוטולוגית‬ ‫שקול‬ ( ) ( ) ( )p q p q    .
‫שאלה‬7#
1. ( )p q r  ‫ל‬ ‫טאוטולוגית‬ ‫שקול‬- ( ) ( ) rp q    .
2.( )p p q  ‫ל‬ ‫טאוטולוגית‬ ‫שקול‬-p q .
‫שאלה‬8#
1.‫שלילת‬‫הפסוק‬‫וטעים‬ ‫חם‬ ‫היה‬ ‫האוכל‬
‫לפסוק‬ ‫שקולה‬‫טעים‬ ‫היה‬ ‫לא‬ ‫והאוכל‬ ‫חם‬ ‫היה‬ ‫לא‬ ‫האוכל‬.
2.‫שלילת‬‫הפסוק‬ַ‫ירשת‬ ‫וגם‬ ַ‫רצחת‬‫לפסוק‬ ‫שקולה‬‫לא‬ַ‫רצחת‬ַ‫ירשת‬ ‫לא‬ ‫או‬

13. 3
‫שאלה‬9#
1.‫הפסוק‬ ‫מתוך‬( ) ( )p q q r p   ‫הפסוק‬ ‫טאוטולוגית‬ ‫נובע‬r.
2.‫הפסוק‬ ‫מתוך‬r‫הפסוק‬ ‫טאוטולוגית‬ ‫נובע‬( ) ( )p q q r p   .
‫שאלה‬10#
1.‫מ‬ ‫קטן‬ ‫אינו‬ ‫לעולם‬ ‫מספר‬ ‫של‬ ‫"הריבוע‬ ‫הפסוק‬ ‫את‬-0"
:‫כך‬ ‫לרשום‬ ‫אפשר‬2
( 0)x x  .
2.‫מ‬ ‫גדול‬ ‫מספר‬ ‫"קיים‬ ‫הפסוק‬ ‫את‬-0‫הוא‬ ‫שלו‬ ‫שהריבוע‬9"
:‫כך‬ ‫לרשום‬ ‫אפשר‬   2
(x 0) ( 9)x x x    .
‫בשאלות‬11–13‫אין‬‫טענות‬ ‫של‬ ‫זוגות‬,‫את‬ ‫בחרו‬ ‫פשוט‬.‫הנכונה‬ ‫התשובה‬
‫שאלה‬11
:‫בפסוק‬ ‫נתבונן‬
‫ל‬‫מספר‬ ‫כל‬‫הגדול/שווה‬0,‫א‬ ‫נעלה‬ ‫שאם‬ ‫מספר‬ ‫קיים‬‫המקורי‬ ‫המספר‬ ‫את‬ ‫נקבל‬ ‫בריבוע‬ ‫ותו‬.
:‫כך‬ ‫זה‬ ‫פסוק‬ ‫להצרין‬ ‫ניתן‬
.‫א‬ 2
0 ( )x x y y x   .‫ב‬   2
( 0) ( )x x y y x    
.‫ג‬ 2
0 ( )x x y y x    .‫ד‬   2
( 0) ( )x x y y x    
.‫ה‬‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הקודמות‬ ‫מהתשובות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬

14. 4
‫שאלה‬12
1.‫את‬‫שלילת‬‫הפסוק‬‫לכל‬x‫קיים‬y‫של‬ ‫הריבועי‬ ‫השורש‬ ‫שהוא‬x
‫ניתן‬:‫כך‬ ‫לנסח‬
.‫א‬‫לכל‬x‫לא‬‫קיים‬y‫של‬ ‫הריבועי‬ ‫השורש‬ ‫שהוא‬x.
.‫ב‬‫קיים‬x‫שלכל‬ ‫כך‬y,y‫של‬ ‫הריבועי‬ ‫השורש‬ ‫אינו‬x.
.‫ג‬‫קיים‬x‫כך‬‫שקיים‬y‫ש‬‫של‬ ‫הריבועי‬ ‫השורש‬ ‫אינו‬x.
.‫ד‬‫לכל‬x‫קיים‬y‫של‬ ‫הריבועי‬ ‫השורש‬ ‫שאינו‬x.
.‫ה‬‫לא‬‫לכל‬y‫קיים‬x‫ש‬ ‫כך‬-y‫של‬ ‫הריבועי‬ ‫השורש‬ ‫הוא‬x.
‫שאלה‬13
‫בטענה‬ ‫נתבונן‬:
A:‫שלו‬ ‫הנעלים‬ ‫שכל‬ ,‫אדם‬ ‫קיים‬ ‫סנדלר‬ ‫לכל‬.‫הזה‬ ‫הסנדלר‬ ‫אצל‬ ‫תיקון‬ ‫עברו‬
‫השקולה‬ ‫טענה‬‫ל‬‫שלילת‬A:‫היא‬
.‫א‬.‫אדם‬ ‫אותו‬ ‫של‬ ‫נעל‬ ‫אף‬ ‫תיקן‬ ‫שלא‬ ,‫סנדלר‬ ‫קיים‬ ‫אדם‬ ‫לכל‬
.‫ב‬.‫זה‬ ‫סנדלר‬ ‫אצל‬ ‫תיקון‬ ‫עברה‬ ‫לא‬ ‫שלו‬ ‫מהנעלים‬ ‫אחת‬ ‫שאף‬ ,‫אדם‬ ‫קיים‬ ‫סנדלר‬ ‫לכל‬
.‫ג‬.‫זה‬ ‫סנדלר‬ ‫אצל‬ ‫תיקון‬ ‫עברה‬ ‫לא‬ ‫שלו‬ ‫אחת‬ ‫נעל‬ ‫שלפחות‬ ,‫אדם‬ ‫קיים‬ ‫סנדלר‬ ‫לכל‬
.‫ד‬.‫זה‬ ‫סנדלר‬ ‫אצל‬ ‫תיקון‬ ‫עברה‬ ‫שלא‬ ‫אחת‬ ‫נעל‬ ‫לפחות‬ ‫יש‬ ‫אדם‬ ‫שלכל‬ ‫כך‬ ‫סנדלר‬ ‫קיים‬
.‫ה‬.‫אדם‬ ‫אותו‬ ‫של‬ ‫נעלים‬ ‫שתי‬ ‫תיקן‬ ‫לא‬ ‫שמעולם‬ ‫סנדלר‬ ‫קיים‬

15. 5
(‫)ממ"ן‬ ‫מנחה‬ ‫מטלת‬11
:‫הקורס‬20476‫מתמטיקה‬‫בדידה‬‫למטלה‬ ‫הלימוד‬ ‫חומר‬‫פרק‬ ‫הקבוצות‬ ‫תורת‬ :1
:‫השאלות‬ ‫מספר‬4:‫המטלה‬ ‫משקל‬3‫נקודות‬
:‫סמסטר‬2015‫א‬:‫להגשה‬ ‫אחרון‬ ‫מועד‬'‫ה‬ ‫יום‬6.11.2014
‫מנחה‬ ‫מטלת‬‫הבאות‬ ‫הדרכים‬ ‫באחת‬ ‫להגיש‬ ‫ניתן‬)‫מפורט‬ ‫הסבר‬"‫מנחה‬ ‫מטלות‬ ‫הגשת‬ ‫ב"נוהל‬(:
‫ב‬‫מערכת‬‫המטלות‬‫המקוונת‬)‫סרוק‬ ‫לא‬ ,‫מוקלד‬ ‫קובץ‬‫משאילת"א‬ ‫או‬ ‫הקורס‬ ‫מאתר‬ ‫כניסה‬ ,(
‫ההנחי‬ ‫במפגש‬ ‫למנחה‬ ‫ישיר‬ ‫באופן‬ ,‫נלווה‬ ‫טופס‬ ‫עם‬ ,‫נייר‬ ‫דפי‬ ‫על‬‫ה‬
‫באמצעות‬ ,‫נלווה‬ ‫טופס‬ ‫עם‬ ,‫נייר‬ ‫דפי‬ ‫על‬‫דואר‬‫ישראל‬‫המנחה‬ ‫של‬ ‫לכתובתו‬ ,.
‫שאלה‬1)20('‫נק‬
‫זו‬ ‫שאלה‬‫בשלב‬ ‫להבינן‬ ‫שכדאי‬ ‫נקודות‬ ‫כמה‬ ‫ולחדד‬ ‫הקבוצות‬ ‫בתורת‬ ‫בסיסיים‬ ‫מושגים‬ ‫לתרגל‬ ‫נועדת‬
‫מוקדם‬:
‫בין‬ ‫ההבדל‬ *A‫לבין‬{ }A‫הוא‬ ‫שלה‬ ‫היחיד‬ ‫שהאיבר‬ ‫)קבוצה‬A.(
‫הריקה‬ ‫הקבוצה‬ ‫בין‬ ‫ההבדל‬ :‫פרטי‬ ‫מקרה‬ *‫לבין‬{ }.
" ‫בין‬ ‫ההבדל‬ *x‫של‬ ‫איבר‬y" ‫לבין‬ "x‫ל‬ ‫חלקי‬-y."
:‫תהיינה‬{1,2}X ,{ , {3}}Y X,{ }Z X.
.‫נכונה‬ ‫היא‬ ‫אם‬ ‫קבע‬ ‫הבאות‬ ‫מהטענות‬ ‫אחת‬ ‫לכל‬
.‫נכון‬ ‫לא‬ / ‫נכון‬ ‫סעיף‬ ‫בכל‬ ‫לרשום‬ ‫די‬ ,‫לנמק‬ ‫צורך‬ ‫אין‬ ‫בלבד‬ ‫זו‬ ‫בשאלה‬
.‫א‬X Y.‫ב‬Z Y.‫ג‬X Y
.‫ד‬Z Y.‫ה‬Z .‫ו‬| | 2Y 
.‫ז‬( ) ( )P X P Y.‫ח‬{ } ( )P X 
‫שאלה‬2)28('‫נק‬
‫א‬.‫הוכ‬‫י‬‫ח‬‫ו‬:‫אם‬YX ‫אז‬)()( YPXP .
‫ב‬.‫הוכ‬‫י‬‫ח‬‫ו‬:)()()( BPAPBAP .‫נמק‬‫ו‬‫היטב‬.‫בהוכחה‬ ‫שלב‬ ‫כל‬
‫לגבי‬‫איחוד‬‫מתקיי‬ ‫לא‬‫שבסעיף‬ ‫לזו‬ ‫הדומה‬ ‫כללית‬ ‫טענה‬ ‫מת‬‫ב‬‫ה‬ '‫ר‬ :'‫תרגילים‬ ‫"אוסף‬ ‫חוברת‬
'‫עמ‬ "‫פתורים‬1‫שאלה‬2.. ‫איחוד‬ ‫עבור‬ ‫כזה‬ ‫שוויון‬ ‫מתקיים‬ ‫כן‬ ‫בדיוק‬ ‫מתי‬ ‫נבדוק‬ ‫הבאים‬ ‫בסעיפים‬
‫ג‬.‫הוכ‬‫י‬‫ח‬‫ו‬‫שאם‬BA ‫או‬AB ‫אז‬)()()( BPAPBAP .
‫ד‬.‫הוכ‬‫י‬‫ח‬‫ו‬‫כלומר‬ ,'‫ב‬ ‫שבסעיף‬ ‫לטענה‬ ‫ההפוך‬ ‫הכיוון‬ ‫את‬‫הוכיחו‬
‫שאם‬)()()( BPAPBAP ‫אז‬BA ‫או‬AB .
?‫זה‬ ‫במקרה‬ ‫השלילה‬ ‫הנחת‬ ‫בדיוק‬ ‫מהי‬ .‫השלילה‬ ‫בדרך‬ ‫זה‬ ‫סעיף‬ ‫להוכיח‬ ‫נוח‬ :‫הדרכה‬

16. 6
‫שאלה‬3)24('‫נק‬
‫ת‬‫נו‬‫הוכחות‬ ‫שתי‬‫לשוויון‬'' BABA ‫"יהי‬ ‫מהצורה‬ ‫אחת‬ ‫הוכחה‬ .x‫ימ‬ ‫אגף‬ ‫של‬ ‫איבר‬,‫ין‬
‫שמאל‬ ‫אגף‬ ‫של‬ ‫איבר‬ ‫שהוא‬ ‫נראה‬…‫ולהיפך‬…‫שניה‬ ‫והוכחה‬ ,"‫קבוצות‬ ‫של‬ ‫אלגברה‬ ‫בעזרת‬‫ללא‬ ,
."‫"איבר‬ ‫במושג‬ ‫שימוש‬‫לעבור‬ ‫כדי‬ ‫הפסוקים‬ ‫בתחשיב‬ ‫שלמדנו‬ ‫בטענות‬ ‫היעזרו‬ ‫הראשונה‬ ‫בהוכחה‬
‫מביטוי‬‫מפרק‬ ‫בטענות‬ ‫היעזרו‬ ‫השניה‬ ‫בהוכחה‬ .‫שקול‬ ‫לביטוי‬1.‫הקבוצות‬ ‫בתורת‬
‫הסימן‬(‫סימטרי‬ ‫)הפרש‬‫בשאלה‬ ‫מוגדר‬1.22."‫הקבוצות‬ ‫"תורת‬ ‫בכרך‬
‫שאלה‬4)28('‫נק‬
‫של‬ ‫איחוד‬‫בהגדרה‬ ‫מתואר‬ ‫קבוצות‬ ‫של‬ ‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬1.6‫בעמוד‬12.‫בספר‬
:‫היא‬ ‫ההגדרה‬ ‫פשוטות‬ ‫במלים‬
i
i I
x A

 ‫אםם‬x‫שייך‬‫לפחות‬‫הקבוצות‬ ‫לאחת‬iA‫כאשר‬ ,i‫ב‬ ‫ערכים‬ ‫מקבל‬-I.
:‫אחרות‬ ‫במלים‬
‫של‬ ‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ ‫של‬ ‫חיתוך‬‫בעמוד‬ ‫מתואר‬ ‫קבוצות‬16.‫בספר‬:‫היא‬ ‫ההגדרה‬ ‫פשוטות‬ ‫במלים‬
i
i I
x A

 ‫אםם‬x‫שייך‬‫לכל‬‫הקבוצות‬iA,‫כאשר‬i‫ב‬ ‫ערכים‬ ‫מקבל‬-I.
:‫אחרות‬ ‫במלים‬
‫שלפני‬ ‫השאלה‬‫כם‬.‫האלה‬ ‫מושגים‬ ‫בשני‬ ‫השימוש‬ ‫את‬ ‫מתרגלת‬
N‫)כולל‬ ‫הטבעיים‬ ‫המספרים‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬0(.
‫לכל‬n  N‫תהי‬ , | 2 3 1nA x x n    N‫ותהי‬ ,1n n nB A A .
)4('‫נק‬.‫א‬‫חשב‬‫ו‬‫את‬0A,1A,2A,3A‫ואת‬0B,1B,2B.
)4.‫ב‬ ('‫נק‬‫יהי‬0n ‫הקבוצה‬ ‫אברי‬ ‫את‬ ‫במפורש‬ ‫רשמו‬ .nB‫ב‬ ‫כמובן‬ ‫תלויים‬ ‫)הם‬-n(
)10‫ג‬ ('‫נק‬.‫חשב‬‫ו‬‫את‬
1
n
n
B
 N
.‫דו‬ ‫הכלה‬ ‫בעזרת‬ ‫תשובתכם‬ ‫את‬ ‫הוכיחו‬-.‫כיוונית‬
)8‫ה‬ ‫בעזרת‬ .‫ד‬ ('‫נק‬‫כלליים‬ ‫וחיתוך‬ ‫איחוד‬ ‫של‬ ‫הגדרות‬‫בתחילת‬‫השאלה‬‫ו‬‫דה‬ ‫כללי‬ ‫בעזרת‬-‫מורגן‬
‫לכמתים‬, ,‫בלוגיקה‬ ‫למדנו‬ ‫אותם‬ ,‫נסח‬‫ו‬‫והוכיחו‬‫של‬ ‫הכללה‬‫כללי‬‫דה‬-‫מורגן‬‫לקבוצות‬‫עבור‬ ,
‫קבוצות‬ ‫של‬ ‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ ‫של‬ ‫וחיתוך‬ ‫איחוד‬,‫אוניברסלית‬ ‫לקבוצה‬ ‫חלקיות‬ ‫שכולן‬U:
( ') ?i
i I
A

,( ') ?i
i I
A

.
)6.‫ה‬ ('‫נק‬‫נסמן‬n nD B N‫את‬ ‫הקודמים‬ ‫הסעיפים‬ ‫בעזרת‬ ‫חשבו‬ .
1
n
n
D
 N
.
i
i I
x A

 ‫אםם‬ ii I x Ai   
i
i I
x A

 ‫אםם‬ ii I x Ai   

17. 7
‫מטלת‬‫מחשב‬"‫)ממ‬‫ח‬(02
:‫הקורס‬20476‫מתמטיקה‬‫בדידה‬‫למטלה‬ ‫הלימוד‬ ‫חומר‬:‫הקבוצות‬ ‫תורת‬‫פרק‬2
:‫השאלות‬ ‫מספר‬11:‫המטלה‬ ‫משקל‬2‫נקודות‬
:‫סמסטר‬2015‫א‬:‫להגשה‬ ‫אחרון‬ ‫מועד‬'‫ו‬ ‫יום‬14.11.2014
‫שאילת"א‬ ‫מערכת‬ ‫באמצעות‬ ‫לשלוח‬ ‫יש‬ ‫לממ"ח‬ ‫התשובות‬ ‫את‬
‫בכתובת‬http://www.openu.ac.il/sheilta/
.‫ממוחשבת‬ ‫בצורה‬ ‫נבדק‬ ‫הממ"ח‬"‫הממ‬ ‫פתרון‬ ‫את‬ ‫לשלוח‬ ‫אין‬‫למנחה‬ ‫ח‬!
:‫בעברית‬ "‫"רלציה‬‫יחס‬.
(#) ‫בסולמית‬ ‫המסומנות‬ ‫בשאלות‬.‫טענות‬ ‫שתי‬ ‫מופיעות‬‫אלה‬ ‫בשאלות‬:‫סמנו‬
‫א‬-‫טענה‬ ‫רק‬ ‫אם‬1‫נכונה‬‫ב‬-‫טענה‬ ‫רק‬ ‫אם‬2‫נכונה‬
‫ג‬-‫נכונות‬ ‫הטענות‬ ‫שתי‬ ‫אם‬‫ד‬-‫נכונות‬ ‫אינן‬ ‫הטענות‬ ‫שתי‬ ‫אם‬
.‫האפשרויות‬ ‫מתוך‬ ‫הנכונה‬ ‫התשובה‬ ‫את‬ ‫בחרו‬ ‫סולמית‬ ‫סימון‬ ‫ללא‬ ‫בשאלות‬
‫שאלה‬1
‫יהי‬{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),(2,2)}R .‫בשוויון‬ ‫נתבונן‬R X Y .
.‫א‬‫אם‬{1}X ,{1,2,3}Y ‫אז‬R X Y .
.‫ב‬‫אם‬{1,2}X ,{1,2,3}Y ‫אז‬R X Y .
.‫ג‬‫השוויון‬R X Y ‫עבור‬ ‫מתקיים‬X,Y.‫ב‬ ,‫א‬ ‫בתשובות‬ ‫שהוצגו‬ ‫אלה‬ ‫שאינם‬ ,‫מסוימים‬
.‫ד‬‫קבוצות‬ ‫קיימות‬ ‫לא‬X,Y‫ש‬ ‫כך‬-R X Y .
‫שאלה‬2
‫תהי‬{1,2,3,4}A ‫ויהי‬R‫מ‬ ‫הבא‬ ‫היחס‬-A‫ל‬-A:{(1,1),(1,2),(2,1),(3,4),(4,2)}R .
( ) ( )Domain R Range R‫הוא‬:
.‫א‬{1}.‫ב‬{1,2,4}.‫ג‬.‫ד‬{1,2}‫ה‬.A
‫שאלה‬3
A,R‫בשאלה‬ ‫שהוגדרו‬ ‫אלה‬ ‫הם‬2.S‫מעל‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬A‫המקיים‬SR RS‫מכאן‬ .‫נובע‬:(!)
.‫א‬S  .‫ב‬A
S I.‫ג‬S R
.‫ד‬‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הקודמות‬ ‫מהתשובות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬.

18. 8
‫שאלה‬4
R,A‫הם‬‫שהוגדרו‬ ‫אלה‬‫בשאלה‬2) ‫טענה‬ .i:(1
A
RR I
) ‫טענה‬ .ii:(1
A
R R I
.
.‫א‬) ‫טענה‬ ‫רק‬i.‫נכונה‬ (.‫ב‬) ‫טענה‬ ‫רק‬ii.‫נכונה‬ (
.‫ג‬) ‫הטענות‬ ‫שתי‬i) , (ii.‫נכונות‬ (.‫ד‬) ‫מהטענות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬i) ,(ii.‫נכונה‬ ‫אינה‬ (
‫שאלה‬5
A,R‫הם‬‫שהוגדרו‬ ‫אלה‬‫בשאלה‬2.
.‫א‬2
R R..‫ב‬2
R R‫אבל‬2 3
R R.
.‫ג‬2 3
R R‫אבל‬3 4
R R..‫ד‬.‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הקודמות‬ ‫מהתשובות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬
‫שאלה‬6
A,R‫הם‬‫שהוגדרו‬ ‫אלה‬‫בשאלה‬2.
) ‫טענה‬i:(2
R R‫רפלקסיבי‬ ‫הוא‬) ‫טענה‬ .ii:(2
R R‫סימטרי‬ ‫הוא‬.
.‫א‬‫רק‬) ‫טענה‬i.‫נכונה‬ (.‫ב‬) ‫טענה‬ ‫רק‬ii.‫נכונה‬ (
.‫ג‬) ‫הטענות‬ ‫שתי‬i) , (ii.‫נכונות‬ (.‫ד‬) ‫מהטענות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬i) ,(ii.‫נכונה‬ ‫אינה‬ (
‫שאלה‬7
A,R‫הם‬‫שהוגדרו‬ ‫אלה‬‫בשאלה‬2.
) ‫טענה‬i:(2
R R‫אנטי‬ ‫הוא‬-‫סימטרי‬) ‫טענה‬ .ii:(2
R R‫טרנזיטיבי‬ ‫הוא‬.
.‫א‬) ‫טענה‬ ‫רק‬i.‫נכונה‬ (.‫ב‬) ‫טענה‬ ‫רק‬ii.‫נכונה‬ (
.‫ג‬) ‫הטענות‬ ‫שתי‬i) , (ii.‫נכונות‬ (.‫ד‬) ‫מהטענות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬i) ,(ii.‫נכונה‬ ‫אינה‬ (
‫שאלה‬8
‫היחס‬{(1,1),(2,2)}R ‫מעל‬{1,2,3}A :‫הוא‬
.‫א‬.‫וטרנזיטיבי‬ ‫סימטרי‬ ,‫רפלקסיבי‬
.‫ב‬.‫טרנזיטיבי‬ ‫לא‬ ‫אך‬ ‫ורפלקסיבי‬ ‫סימטרי‬
.‫ג‬.‫רפלקסיבי‬ ‫לא‬ ‫אך‬ ‫וטרנזיטיבי‬ ‫סימטרי‬
.‫ד‬.‫סימטרי‬ ‫לא‬ ‫אך‬ ‫וטרנזיטיבי‬ ‫רפלקסיבי‬
.‫ה‬.‫סימטרי‬ ‫ולא‬ ‫רפלקסיבי‬ ‫לא‬ ‫אך‬ ‫טרנזיטיבי‬

19. 9
‫שאלה‬9#
R,S‫יחסים‬ ‫הם‬‫מעל‬‫קבוצה‬A‫ומתקיים‬R S.
) ‫טענה‬i:(‫אם‬S‫אז‬ ‫סימטרי‬R‫סימטרי‬.
) ‫טענה‬ii:(‫אם‬S‫אנטי‬-‫אז‬ ‫סימטרי‬R‫אנטי‬-‫סימטרי‬
‫שאלה‬10
R‫טרנזיטיבי‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬‫ריק‬ ‫ולא‬‫הטבעיים‬ ‫קבוצת‬ ‫מעל‬N.:‫להסיק‬ ‫ניתן‬ ‫מכאן‬
.‫א‬‫ב‬-R‫יש‬ ‫אבל‬ ,‫יותר‬ ‫שיש‬ ‫ייתכן‬ .‫סדורים‬ ‫זוגות‬ ‫שני‬ ‫לפחות‬ ‫יש‬R.‫זוגות‬ ‫שני‬ ‫בדיוק‬ ‫שבו‬ ‫כזה‬
‫ב‬.‫ב‬-R‫לפחות‬ ‫יש‬‫שלושה‬.‫סדורים‬ ‫זוגות‬‫יש‬ ‫אבל‬ ,‫יותר‬ ‫שיש‬ ‫ייתכן‬R‫בדיוק‬ ‫שבו‬ ‫כזה‬3.‫זוגות‬
‫ג‬.‫ב‬-R.‫סדורים‬ ‫זוגות‬ ‫אינסוף‬ ‫יש‬
‫ד‬.2
R R.
‫ה‬..‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הקודמות‬ ‫מהתשובות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬
‫שאלה‬11
R‫קבוצ‬ ‫מעל‬ ‫יחס‬ ‫הוא‬,‫כלשהי‬ ‫ה‬‫ש‬ ‫וידוע‬-R‫אינו‬.‫טרנזיטיבי‬
:‫להסיק‬ ‫ניתן‬ ‫מכאן‬
.‫א‬‫ב‬-R‫יש‬ ‫אבל‬ ,‫יותר‬ ‫שיש‬ ‫ייתכן‬ .‫סדורים‬ ‫זוגות‬ ‫שני‬ ‫לפחות‬ ‫יש‬R‫כזה‬‫שבו‬‫זוגות‬ ‫שני‬ ‫בדיוק‬.
.‫ב‬‫ב‬-R‫לפחות‬ ‫יש‬3‫יש‬ ‫אבל‬ ,‫יותר‬ ‫שיש‬ ‫ייתכן‬ .‫סדורים‬ ‫זוגות‬R‫בדיוק‬ ‫שבו‬ ‫כזה‬3.‫זוגות‬
.‫ג‬‫ב‬-R‫לפחות‬ ‫יש‬4.‫סדורים‬ ‫זוגות‬
‫ד‬.‫ש‬ ‫נובע‬ ‫מהנתון‬-A‫ו‬ ‫אינסופית‬‫ב‬-R‫יש‬.‫סדורים‬ ‫זוגות‬ ‫אינסוף‬
‫ה‬..‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הקודמות‬ ‫מהתשובות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬

20. 10

21. 11
‫מטלת‬‫מחשב‬"‫)ממ‬‫ח‬(03
:‫הקורס‬20476‫מתמטיקה‬‫בדידה‬‫למטלה‬ ‫הלימוד‬ ‫חומר‬:‫פרק‬ "‫הקבוצות‬ ‫"תורת‬‫ים‬2-3
:‫השאלות‬ ‫מספר‬12:‫המטלה‬ ‫משקל‬2‫נקודות‬
:‫סמסטר‬2015‫א‬:‫להגשה‬ ‫אחרון‬ ‫מועד‬'‫ו‬ ‫יום‬21.11.2014
‫שאילת"א‬ ‫מערכת‬ ‫באמצעות‬ ‫לשלוח‬ ‫יש‬ ‫לממ"ח‬ ‫התשובות‬ ‫את‬
‫בכתובת‬http://www.openu.ac.il/sheilta/
"‫הממ‬ ‫פתרון‬ ‫את‬ ‫לשלוח‬ ‫אין‬ .‫ממוחשבת‬ ‫בצורה‬ ‫נבדק‬ ‫הממ"ח‬‫למנחה‬ ‫ח‬!
.‫יחס‬ :‫בעברית‬ "‫"רלציה‬
‫שאלה‬1
:‫יהיו‬{1,2,3,4,5,6,7}A ,{(1,2),(1,3),(2,3),(5,6)}R ,1
A
E I R R 
  .
‫החלוקה‬‫ש‬‫השקילות‬ ‫יחס‬E‫ב‬ ‫משרה‬-A:‫היא‬
‫א‬. {1,2,3},{5,6}‫ב‬. {1,2,3},{5,6},{4},{7}
.‫ג‬ {1,2,3,5,6}.‫ד‬ {1,2,3},{5,6},{4,7}
‫ה‬. {1,2},{1,3},{2,3},{5,6}
‫ו‬.E‫מעל‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫אינו‬A‫של‬ ‫חלוקה‬ ‫משרה‬ ‫אינו‬ ‫ולכן‬A.
‫שאלה‬2
‫נגדיר‬‫יחס‬M‫מעל‬{0}N:
‫עבור‬n,m,‫חיוביים‬ ‫טבעיים‬( , )n m M‫אםם‬n m.‫זוגי‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬
‫ש‬ ‫השקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫מספר‬-M‫משרה‬‫ב‬-{0}N:‫הוא‬
.‫א‬1.‫ב‬2.‫ג‬.‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫אינסוף‬ ‫יש‬.‫ד‬4
.‫ה‬M.‫חלוקה‬ ‫משרה‬ ‫אינו‬ ‫ולכן‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫אינו‬
‫שאלה‬3
‫נגדיר‬‫יחס‬K‫מעל‬‫השלמים‬ ‫המספרים‬ ‫קבוצת‬Z:
‫עבור‬n,m,‫שלמים‬( , )n m K‫אםם‬4 4n m‫ב‬ ‫מתחלק‬-3.
‫מחלקות‬ ‫מספר‬‫ש‬ ‫השקילות‬-K‫משרה‬‫ב‬-Z:‫הוא‬
.‫א‬.‫שקילות‬ ‫מחלקות‬ ‫אינסוף‬ ‫יש‬.‫ב‬2.‫ג‬3.‫ד‬4
.‫ה‬K.‫חלוקה‬ ‫משרה‬ ‫אינו‬ ‫ולכן‬ ‫שקילות‬ ‫יחס‬ ‫אינו‬
:‫הבהרה‬‫למשל‬ ,‫שליליים‬ ‫שלמים‬ ‫עבור‬ ‫גם‬ ‫מוגדר‬ "‫"מתחלק‬ ‫המושג‬12‫ב‬ ‫מתחלק‬-3.
:‫היא‬ ‫ההגדרה‬a‫ב‬ ‫מתחלק‬-b‫שלם‬ ‫מספר‬ ‫קיים‬ ‫אם‬ ‫ורק‬ ‫אם‬k‫ש‬ ‫כך‬-a kb.

22. 12
‫שאלה‬4
‫ביחסי‬ ‫נתבונן‬‫הקבוצה‬ ‫מעל‬ ‫שקילות‬{1,2,3,4,5,6,7}‫היא‬ ‫השקילות‬ ‫ממחלקות‬ ‫אחת‬ ‫בהם‬ ,‫בדיוק‬
‫הקבוצה‬{1,2},‫המספרים‬ ‫בעוד‬3,4,5‫)לאו‬ ‫אחרת‬ ‫שקילות‬ ‫במחלקת‬ ‫יחד‬ ‫נמצאים‬.(‫לבדם‬ ‫דווקא‬
:‫הוא‬ ‫האלה‬ ‫השקילות‬ ‫יחסי‬ ‫מספר‬
.‫א‬1.‫ב‬2.‫ג‬3.‫ד‬4.‫ה‬5.‫ו‬6
‫שאלה‬5
Z‫המספרים‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬.‫השלמים‬‫פונקציה‬ ‫נגדיר‬f‫מ‬-Z‫ל‬-Z:( ) ( 1)( 2)f k k k  .
f:‫היא‬
.‫א‬‫חד‬-‫חד‬-‫ועל‬ ‫ערכית‬.‫ב‬‫חד‬-‫חד‬-‫על‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ‫ערכית‬
.‫ג‬‫לא‬ ‫אבל‬ ‫על‬‫חד‬-‫חד‬-.‫ערכית‬.‫ד‬‫חד‬ ‫לא‬-‫חד‬-.‫על‬ ‫ולא‬ ‫ערכית‬
.‫ה‬‫מ‬ ‫פונקציה‬ ‫אינה‬ ‫כלל‬ ‫זו‬-Z‫ל‬-Z.
‫שאלה‬6
‫נסמן‬{ | 0}x x
  R R.‫תהי‬
1
( )
1 5
x
g x
x



,:g  
R R.
g:‫היא‬
.‫א‬‫חד‬-‫חד‬-‫ועל‬ ‫ערכית‬.‫ב‬‫חד‬-‫חד‬-‫על‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ‫ערכית‬
.‫ג‬‫אבל‬ ‫על‬‫חד‬ ‫לא‬-‫חד‬-.‫ערכית‬.‫ד‬‫חד‬ ‫לא‬-‫חד‬-.‫על‬ ‫ולא‬ ‫ערכית‬
.‫ה‬‫מ‬ ‫פונקציה‬ ‫אינה‬ ‫כלל‬ ‫זו‬-
R‫ל‬-
R.
‫שאלה‬7
‫תהי‬( )f X X  N,: ( ) ( )f P PR R.
f:‫היא‬
.‫א‬‫חד‬-‫חד‬-‫ועל‬ ‫ערכית‬.‫ב‬‫חד‬-‫חד‬-‫לא‬ ‫אבל‬ ‫ערכית‬‫על‬
.‫ג‬‫חד‬ ‫לא‬ ‫אבל‬ ‫על‬-‫חד‬-.‫ערכית‬.‫ד‬‫חד‬ ‫לא‬-‫חד‬-.‫על‬ ‫ולא‬ ‫ערכית‬
.‫ה‬‫מ‬ ‫פונקציה‬ ‫אינה‬ ‫כלל‬ ‫זו‬-( )P R‫ל‬-( )P R.
‫שאלה‬8
'‫בעמ‬85‫מוגדרת‬ "‫הקבוצות‬ ‫"תורת‬ ‫בכרך‬A,‫הפונקציה‬‫האופיינית‬‫של‬A‫ב‬-U.
‫את‬ ‫ניקח‬N‫האוניברסלית‬ ‫הקבוצה‬ ‫להיות‬U‫ותהיינה‬ ,,A B  N.
‫בטענה‬ ‫נתבון‬ ( ) ( )A Bn n n  ‫הבאות‬ ‫מהטענות‬ ‫איזו‬ .‫שקולה‬?‫זו‬ ‫לטענה‬
.‫א‬| | | |A B
.‫ב‬‫אברי‬ ‫כל‬A‫אברי‬ ‫לכל‬ ‫שווים‬ ‫או‬ ‫קטנים‬B.
.‫ג‬A B
.‫ד‬.‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הקודמות‬ ‫מהתשובות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬

23. 13
‫שאלה‬9
‫יהיו‬,X Y  N‫ש‬ ‫נאמר‬ .-( , )X Y D‫אםם‬(‫אם‬ ‫ורק‬ ‫)אם‬X Y.‫היחס‬D:‫הוא‬
.‫א‬‫סדר‬-‫מעל‬ ‫חלקי‬( )P N‫סדר‬ ‫ואינו‬-‫מעל‬ ‫מלא‬( )P N.
.‫ב‬‫סדר‬-‫מעל‬ ‫חלקי‬( )P N‫סדר‬ ‫גם‬ ‫שהוא‬ ,-‫מעל‬ ‫מלא‬( )P N.
.‫ג‬‫סדר‬-‫מעל‬ ‫חלקי‬( )P N‫גם‬ ‫שהוא‬ ,‫יחס‬‫שקילות‬‫מעל‬( )P N.
.‫ד‬‫אינו‬‫סדר‬-‫חלקי‬‫מעל‬( )P N.
‫שאלה‬10
‫יהיו‬, {0}x y  N.‫ש‬ ‫נאמר‬-( ,y)x D‫אםם‬x‫ב‬ ‫מתחלק‬-y‫או‬y‫ב‬ ‫מתחלק‬-x.
‫היחס‬D:‫הוא‬
.‫א‬‫סדר‬‫מעל‬ ‫מלא‬{0}N.
.‫ב‬‫סדר‬ ‫יחס‬-‫מעל‬ ‫חלקי‬{0}N‫סדר‬ ‫שאינו‬ ,‫מעל‬ ‫מלא‬{0}N.
.‫ג‬‫סדר‬ ‫אינו‬-‫חלקי‬‫מעל‬{0}N‫מלא‬ ‫סדר‬ ‫אינו‬ ‫גם‬ ‫)ולכן‬‫מעל‬{0}N.(
.‫ד‬‫מעל‬ ‫יחס‬ ‫אינו‬{0}N.
‫שאלה‬11
R‫סדר‬ ‫הוא‬-‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ ‫על‬ ‫חלקי‬A.
a,b‫של‬ ‫שונים‬ ‫אברים‬ ‫שני‬ ‫הם‬A‫אברים‬ ‫ושניהם‬ ,‫מקסימליים‬‫לגבי‬R:‫נובע‬ ‫מכאן‬ .
.‫א‬| | 2A .
.‫ב‬R‫מעל‬ ‫מלא‬ ‫סדר‬ ‫הוא‬A.
‫ג‬.R‫מעל‬ ‫מלא‬ ‫סדר‬ ‫אינו‬A.
.‫ד‬A.‫אינסופית‬ ‫היא‬
‫ה‬..‫כזה‬ ‫מצב‬ ‫ייתכן‬ ‫לא‬ .‫סתירה‬
‫שאלה‬12
R‫סדר‬ ‫הוא‬-‫כלשהי‬ ‫קבוצה‬ ‫על‬ ‫חלקי‬A.
a,b‫של‬ ‫שונים‬ ‫אברים‬ ‫שני‬ ‫הם‬A‫אברים‬ ‫ושניהם‬ ,‫ביותר‬ ‫גדולים‬‫לגבי‬R:‫נובע‬ ‫מכאן‬ .
.‫א‬| | 2A .
.‫ב‬R‫מעל‬ ‫מלא‬ ‫סדר‬ ‫הוא‬A.
‫ג‬.R‫מעל‬ ‫מלא‬ ‫סדר‬ ‫אינו‬A.
.‫ד‬A.‫אינסופית‬ ‫היא‬
‫ה‬..‫כזה‬ ‫מצב‬ ‫ייתכן‬ ‫לא‬ .‫סתירה‬

24. 14

25. 15
‫מטלת‬‫מנחה‬)‫ממ‬"‫ן‬(12
:‫הקורס‬20476‫מתמטיקה‬‫בדידה‬‫למטלה‬ ‫הלימוד‬ ‫חומר‬‫הקבוצות‬ ‫תורת‬ :‫פרקים‬2-3
:‫השאלות‬ ‫מספר‬5:‫המטלה‬ ‫משקל‬4‫נקודות‬
:‫סמסטר‬2015‫א‬:‫להגשה‬ ‫אחרון‬ ‫מועד‬'‫ו‬ ‫יום‬28.11.2014
‫מנחה‬ ‫מטלת‬) ‫הבאות‬ ‫הדרכים‬ ‫באחת‬ ‫להגיש‬ ‫ניתן‬‫מפורט‬ ‫הסבר‬"‫מנחה‬ ‫מטלות‬ ‫הגשת‬ ‫ב"נוהל‬(:
) ‫המקוונת‬ ‫המטלות‬ ‫במערכת‬‫סרוק‬ ‫לא‬ ,‫מוקלד‬ ‫קובץ‬‫משאילת"א‬ ‫או‬ ‫הקורס‬ ‫מאתר‬ ‫כניסה‬ ,(
‫ההנחיה‬ ‫במפגש‬ ‫למנחה‬ ‫ישיר‬ ‫באופן‬ ,‫נלווה‬ ‫טופס‬ ‫עם‬ ,‫נייר‬ ‫דפי‬ ‫על‬
.‫המנחה‬ ‫של‬ ‫לכתובתו‬ ,‫ישראל‬ ‫דואר‬ ‫באמצעות‬ ,‫נלווה‬ ‫טופס‬ ‫עם‬ ,‫נייר‬ ‫דפי‬ ‫על‬
"‫"רלציה‬:‫בעברית‬‫יחס‬
‫שאלה‬1)6(‫נקודות‬
‫סופית‬ ‫לקבוצה‬ ‫דוגמא‬ ‫תן‬A‫וליחס‬R‫מעל‬A,‫ש‬ ‫כך‬-2
R R‫אינו‬.‫טרנזיטיבי‬
‫ל‬ ‫יש‬‫הדוגמ‬ ‫מדוע‬ ‫נמק‬‫הנדרש‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ ‫שהבאת‬ ‫א‬.
‫שאלה‬2)20(‫נקודות‬
‫תהי‬{1,2,3}A ‫ו‬‫תהי‬M‫היחסים‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬‫מעל‬A.
‫תהי‬:t M M‫לכל‬ ‫המתאימה‬ ‫הפונקציה‬R M‫ֹר‬‫ו‬‫הסג‬ ‫את‬‫הטרנזיטיבי‬.‫שלו‬
‫הפרך‬ ‫או‬ ‫הוכח‬:‫הבאות‬ ‫מהטענות‬ ‫אחת‬ ‫כל‬
.‫א‬t‫חד‬ ‫היא‬-‫חד‬-‫ערכית‬‫ב‬.t‫היא‬‫על‬M‫ג‬.‫לכל‬R M,( ( )) ( )t t R t R
‫ד‬.‫לכל‬,R S M,( ) ( ) ( )t RS t R t S(‫יחסים‬ ‫כפל‬ ‫הוא‬ ‫)הכפל‬
‫שאלה‬3)24(‫נקודות‬
‫הגדרה‬‫נקרא‬ ‫חיובי‬ ‫טבעי‬ ‫מספר‬ :‫ראשוני‬)prime‫מ‬ ‫שונה‬ ‫הוא‬ ‫אם‬ (-1‫רק‬ ‫שארית‬ ‫ללא‬ ‫ומתחלק‬ ,
‫וב‬ ‫בעצמו‬-1.‫אינסופית‬ ‫היא‬ ‫הראשוניים‬ ‫המספרים‬ ‫שקבוצת‬ ‫ידוע‬ ‫היה‬ ‫ליוונים‬ ‫כבר‬ .
‫ש‬‫ש‬ ‫לב‬ ‫ימו‬-1.‫ראשוני‬ ‫נחשב‬ ‫אינו‬:‫כך‬ "‫"מתחילה‬ ‫הראשוניים‬ ‫קבוצת‬2,3,5,7,11,13,17... ,
‫מ‬ ‫הגדול‬ ‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫שכל‬ ‫קובע‬ ‫ידוע‬ ‫משפט‬-1‫להצ‬ ‫ניתן‬‫ויש‬ ,‫ראשוניים‬ ‫מספרים‬ ‫של‬ ‫כמכפלה‬ ‫גה‬
‫מתקלקל‬ ‫היה‬ ‫)מה‬ ‫במכפלה‬ ‫הגורמים‬ ‫סדר‬ ‫החלפת‬ ‫כדי‬ ‫עד‬ ,‫כך‬ ‫אותו‬ ‫להציג‬ ‫אחת‬ ‫דרך‬ ‫רק‬‫במשפט‬
‫אילו‬ ‫זה‬1‫ראשוני‬ ‫נחשב‬ ‫היה‬.(?‫ב‬ ‫נסמן‬-K.‫הראשוניים‬ ‫המספרים‬ ‫קבוצת‬ ‫את‬
‫נסמן‬{0,1}M  N‫תהי‬ .: ( )f M P K‫הפ‬‫לכל‬ ‫המתאימה‬ ‫ונקציה‬n M‫את‬‫קבוצת‬
‫של‬ ‫הראשוניים‬ ‫הגורמים‬n)‫בהם‬ ‫הראשוניים‬ ‫המספרים‬n‫שארית‬ ‫ללא‬ ‫מתחלק‬(.
‫למשל‬(140) {2,5,7}f .(‫הבא‬ '‫בעמ‬ ‫השאלה‬ ‫)המשך‬

26. 16
0‫שאלה‬ ‫המשך‬2(
.‫א‬‫האם‬f‫חד‬ ‫היא‬-‫חד‬-?‫ערכית‬.‫ב‬‫האם‬f‫היא‬‫על‬( )P K?
,‫לאמור‬ ‫בהמשך‬‫הפונקציה‬f‫את‬ ‫מחלקת‬M:‫התנאי‬ ‫בעזרת‬ ,‫שקילות‬ ‫למחלקות‬n,m‫שייכים‬
‫אםם‬ ‫מחלקה‬ ‫לאותה‬( ) ( )f n f m'‫בעמ‬ "‫טבעי‬ ‫"העתק‬ ‫הסעיף‬ ‫ראו‬ .84‫הסבר‬ ‫וראו‬ ,‫בספר‬
‫ללמידה‬ ‫עזרים‬ ,‫המשאבים‬ ‫מאגר‬ ,‫הקורס‬ ‫באתר‬ ‫יותר‬ ‫מפורט‬-‫על‬ ‫המושרה‬ ‫שקילות‬ ‫"יחס‬-‫ידי‬
."‫פונקציה‬.‫זו‬ ‫לחלוקה‬ ‫מתייחס‬ ‫השאלה‬ ‫המשך‬
.‫ג‬‫המספר‬ ‫עם‬ ‫מחלקה‬ ‫באותה‬ ‫הנמצאים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ ‫מיהם‬125?
.‫ד‬‫המספר‬ ‫עם‬ ‫מחלקה‬ ‫באותה‬ ‫הנמצאים‬ ‫המספרים‬ ‫כל‬ ‫מיהם‬20?
‫שאלה‬4)27‫נקודות‬(
‫תהי‬{1,2,3,4}A ‫ותהי‬K‫כל‬ ‫קבוצת‬‫היחסים‬‫מעל‬A‫ש‬‫אך‬ ‫סימטריים‬ ‫הם‬‫אינם‬‫רפלקסיביים‬.
‫בכרך‬‫ב‬ "‫הקבוצות‬ ‫"תורת‬'‫עמ‬94,‫שאלה‬3.25‫א‬,‫ההכלה‬ ‫שיחס‬ ‫מוכח‬‫סדר‬ ‫הוא‬-‫כל‬ ‫מעל‬ ‫חלקי‬
.‫קבוצות‬ ‫של‬ ‫קבוצה‬‫מתקבל‬ ,(‫סדורים‬ ‫זוגות‬ ‫של‬ ‫)קבוצה‬ ‫קבוצה‬ ‫של‬ ‫מסוים‬ ‫סוג‬ ‫הוא‬ ‫שיחס‬ ‫מכיון‬
‫שיחס‬ ‫מהאמור‬‫ההכלה‬‫סדר‬ ‫הוא‬-‫מעל‬ ‫חלקי‬K‫לסדר‬ ‫מתייחסת‬ ‫השאלה‬ .-.‫זה‬ ‫חלקי‬
.‫א‬‫שיש‬ ‫הראה‬‫ב‬-K‫ביותר‬ ‫קטן‬ ‫אבר‬-.‫ביותר‬ ‫הקטן‬ ‫שהוא‬ ‫הוכח‬ ?‫מיהו‬
.‫ב‬‫ב‬ ‫מקסימלי‬ ‫אבר‬ ‫מצא‬-K.‫מקסימלי‬ ‫שהוא‬ ‫הוכח‬ .
.‫ג‬‫ב‬ ‫שאין‬ ‫הוכח‬-K‫ביותר‬ ‫גדול‬ ‫אבר‬.
‫שאלה‬5)23(‫נקודות‬
‫פונקציה‬:f N N‫מוגדרת‬:‫כך‬ ‫ברקורסיה‬
(0) 1f ,‫ולכל‬k N:( 1) ( 1) ( )f k k f k   
("‫"עצרת‬ ‫בשם‬ ‫לה‬ ‫ונקרא‬ ‫זו‬ ‫לפונקציה‬ ‫נחזור‬ ‫הקורס‬ ‫)בהמשך‬.
)5('‫נק‬‫א‬.‫חשב‬‫י‬‫את‬(6)f.
)18('‫נק‬.‫ב‬‫הוכ‬‫יחי‬:‫באינדוקציה‬1 (1) 2 (2) 3 (3) ( ) ( 1) 1f f f n f n f n          

27. 17
‫מטלת‬‫מנחה‬)‫ממ‬"‫ן‬(13
:‫הקורס‬20476‫מתמטיקה‬‫בדידה‬‫למטלה‬ ‫הלימוד‬ ‫חומר‬‫הקבוצות‬ ‫תורת‬ :‫פרקים‬4-5
:‫השאלות‬ ‫מספר‬5:‫המטלה‬ ‫משקל‬3‫נקודות‬
:‫סמסטר‬2015‫א‬:‫להגשה‬ ‫אחרון‬ ‫מועד‬'‫ב‬ ‫יום‬15.12.2014
‫מנחה‬ ‫מטלת‬) ‫הבאות‬ ‫הדרכים‬ ‫באחת‬ ‫להגיש‬ ‫ניתן‬‫מפורט‬ ‫הסבר‬"‫מנחה‬ ‫מטלות‬ ‫הגשת‬ ‫ב"נוהל‬(:
) ‫המקוונת‬ ‫המטלות‬ ‫במערכת‬‫סרוק‬ ‫לא‬ ,‫מוקלד‬ ‫קובץ‬‫משאילת"א‬ ‫או‬ ‫הקורס‬ ‫מאתר‬ ‫כניסה‬ ,(
‫ההנחיה‬ ‫במפגש‬ ‫למנחה‬ ‫ישיר‬ ‫באופן‬ ,‫נלווה‬ ‫טופס‬ ‫עם‬ ,‫נייר‬ ‫דפי‬ ‫על‬
.‫המנחה‬ ‫של‬ ‫לכתובתו‬ ,‫ישראל‬ ‫דואר‬ ‫באמצעות‬ ,‫נלווה‬ ‫טופס‬ ‫עם‬ ,‫נייר‬ ‫דפי‬ ‫על‬
‫חלק‬‫על‬ ‫מסתמך‬ ‫מהממ"ן‬‫ה‬‫חוברת‬‫"פרק‬5"‫ש‬.‫בידיכם‬ ‫נמצאת‬
‫זו‬ ‫חוברת‬‫פרק‬ ‫את‬ ‫משלימה‬4‫הקבוצות‬ ‫בתורת‬.‫ממנו‬ ‫חלק‬ ‫ומחליפה‬
‫שאלה‬1)27('‫נק‬
R‫היא‬.‫הממשיים‬ ‫המספרים‬ ‫קבוצת‬
‫מצא‬ ‫סעיף‬ ‫בכל‬‫הוכח‬ .‫בו‬ ‫הרשומה‬ ‫הקבוצה‬ ‫עוצמת‬ ‫את‬‫תשובותיך‬ ‫את‬.
)8('‫נק‬.‫א‬{ | 0.3 3 }K x x   R N
)8('‫נק‬‫ב‬.{( , ) | 5}L x y x y    R R
)9('‫נק‬‫ג‬.2 }x y  N‫וגם‬{ ( , ) | 2M x y x y    R R N
‫נסמן‬ :‫הדרכה‬2x y n ,2x y m ‫את‬ "‫ו"נפתור‬‫מערכת‬.‫המשוואות‬
‫שאלה‬2)12('‫נק‬
‫נתונות‬100‫קבוצות‬1 2 100, , ,A A A‫הממשיים‬ ‫לקבוצת‬ ‫חלקיות‬ ‫שכולן‬ ,R.
‫שלכל‬ ‫נתון‬i)1 100i ,(‫המשלים‬‫של‬iA‫ב‬-R‫בת‬ ‫קבוצה‬ ‫הוא‬-.‫מניה‬
‫נסמן‬
1 100
i
i
A A
 
 .‫ב‬ ‫נסמן‬-B‫את‬‫המשלים‬‫של‬A‫ב‬-R.
‫עוצמת‬B:‫היא‬
]1[0]2[‫שאינו‬ ‫כלשהו‬ ‫טבעי‬ ‫מספר‬0]3[0
]4[C]5[‫הקבוצות‬ ‫בבחירת‬ ‫תלויה‬ ‫התשובה‬1 2 100, , ,A A A.
‫הנכונה‬ ‫התשובה‬ ‫את‬ ‫מצאו‬‫ונמקו‬.

28. 18
‫ה‬ ‫שתי‬ ‫את‬‫הקודמות‬ ‫שאלות‬‫פרק‬ ‫בעזרת‬ ‫רק‬ ‫לפתור‬ (‫)וכדאי‬ ‫ניתן‬4'‫עמ‬ ,116–128.
‫שלוש‬‫השאלות‬‫על‬ ‫מסתמכות‬ ‫הבאות‬‫פרק‬5.
‫שאלה‬3)16('‫נק‬
‫תהיינה‬A,B,C‫קבוצות‬‫מניה‬ ‫בנות‬‫הממשיים‬ ‫לקבוצת‬ ‫החלקיות‬ ,R.
:‫נסמן‬' ' 'D A B C  ‫ל‬ ‫יחסית‬ ‫הם‬ ‫)המשלימים‬-R‫עוצמת‬ .(D:‫היא‬
]1[0]2[‫שאינו‬ ‫כלשהו‬ ‫טבעי‬ ‫מספר‬0]3[0
]4[C]5[‫הקבוצות‬ ‫בבחירת‬ ‫תלויה‬ ‫התשובה‬A,B,C.
‫הנכונה‬ ‫התשובה‬ ‫את‬ ‫מצאו‬‫ונמקו‬.
‫שאלה‬4)21('‫נק‬
)9('‫נק‬.‫א‬‫הוכיח‬‫י‬‫ש‬‫מעל‬ (‫)רלציות‬ ‫היחסים‬ ‫קבוצת‬‫הקבוצה‬N‫עוצמתה‬ ,C.
:‫הדרכה‬‫של‬ ‫בהגדרה‬ ‫להיזכר‬ ‫כדאי‬‫יחס‬.‫קבוצה‬ ‫מעל‬
)12('‫נק‬.‫ב‬‫הוכיח‬‫י‬‫ש‬‫היחסים‬ ‫קבוצת‬‫הרפלקסיביים‬‫מע‬‫ל‬N‫עוצמתה‬ ,C.
‫שאלה‬5)24('‫נק‬
N,‫הטבעיים‬ ‫המספרים‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬R.‫הממשיים‬ ‫המספרים‬ ‫קבוצת‬ ‫היא‬
.‫א‬‫תהי‬A‫של‬ ‫הפונקציות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬N‫ל‬-R‫עוצמת‬ .A:‫היא‬
]1[‫כלשהו‬ ‫סופי‬ ‫מספר‬]2[0]3[C
]4[2C
]5[.‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הקודמות‬ ‫מהתשובות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬
.‫ב‬‫תהי‬B‫של‬ ‫הפונקציות‬ ‫כל‬ ‫קבוצת‬( )P N‫ל‬-( )P R‫עוצמת‬ .B:‫היא‬
]1[(‫כאלה‬ ‫פונקציות‬ ‫)אין‬ ‫אפס‬]2[C]3[2C
]4[‫מ‬ ‫גדולה‬ ‫עוצמה‬-2C
]5[.‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הקודמות‬ ‫מהתשובות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬
.‫תשובתיכם‬ ‫את‬ ‫הוכיחו‬

29. 19
‫מטלת‬‫מחשב‬"‫)ממ‬‫ח‬(04
:‫הקורס‬20476‫מתמטיקה‬‫בדידה‬‫למטלה‬ ‫הלימוד‬ ‫חומר‬:"‫קומבינטוריקה‬‫פרק‬ "‫ים‬1-2
:‫השאלות‬ ‫מספר‬11:‫המטלה‬ ‫משקל‬2‫נקודות‬
:‫סמסטר‬2015‫א‬:‫להגשה‬ ‫אחרון‬ ‫מועד‬'‫ג‬ ‫יום‬30.12.2014
‫שאילת"א‬ ‫מערכת‬ ‫באמצעות‬ ‫לשלוח‬ ‫יש‬ ‫לממ"ח‬ ‫התשובות‬ ‫את‬
‫בכתובת‬http://www.openu.ac.il/sheilta/
.‫ממוחשבת‬ ‫בצורה‬ ‫נבדק‬ ‫הממ"ח‬"‫הממ‬ ‫פתרון‬ ‫את‬ ‫לשלוח‬ ‫אין‬‫למנחה‬ ‫ח‬!
‫בשאלות‬1–4A,B‫הן‬,‫סופיות‬ ‫קבוצות‬| | 5A ,| | 3B .
‫שאלה‬1
‫של‬ ‫הפונקציות‬ ‫מספר‬B‫ל‬-A:‫הוא‬
.‫א‬8.‫ב‬10.‫ג‬15.‫ד‬125.‫ה‬243
‫שאלה‬2
‫החד‬ ‫הפונקציות‬ ‫מספר‬-‫חד‬-‫של‬ ‫ערכיות‬B‫ל‬-A:‫הוא‬
.‫א‬3.‫ב‬8.‫ג‬60.‫ד‬120.‫ה‬240
‫שאלה‬3
‫היחסים‬ ‫מספר‬‫שהם‬‫אחת‬ ‫ובעונה‬ ‫בעת‬‫וסימטריים‬ ‫רפלקסיביים‬‫מעל‬A:‫הוא‬
.‫א‬25.‫ב‬32.‫ג‬10
2.‫ד‬15
2.‫ה‬20
2
‫שאלה‬4
‫ש‬ ‫נניח‬-{1,2,3,4,5}A .
‫מעל‬ ‫המלא‬ ‫הסדר‬ ‫יחסי‬ ‫מספר‬A‫מהם‬ ‫אחד‬ ‫שבכל‬5‫אינו‬,‫ביותר‬ ‫הגדול‬ ‫האבר‬‫הוא‬:
.‫א‬0.‫ב‬5.‫ג‬24.‫ד‬96.‫ה‬120

30. 20
‫שאלות‬5-7‫המחרוזת‬ ‫את‬ ‫לסדר‬ ‫שונות‬ ‫בדרכים‬ ‫עוסקות‬aaabccdd.("‫"המחרוזת‬ :‫)להלן‬
‫שאלה‬5
‫ניתן‬ ‫בהן‬ ‫הדרכים‬ ‫מספר‬‫המחרוזת‬ ‫את‬ ‫לסדר‬:‫הוא‬
.‫א‬8.‫ב‬11.‫ג‬1,680.‫ד‬40,309.‫ה‬40,320
‫שאלה‬6
‫ניתן‬ ‫בהן‬ ‫הדרכים‬ ‫מספר‬ ‫מהו‬‫המחרוזת‬ ‫את‬ ‫לסדר‬‫האותיות‬ ‫צמד‬ ‫כאשר‬dd‫חייב‬?‫ברצף‬ ‫להופיע‬
.‫א‬7.‫ב‬420.‫ג‬5,030.‫ד‬5,040.‫ה‬12,520
‫שאלה‬7
‫בנוסף‬‫שבשאלה‬ ‫לדרישה‬6‫גם‬ ‫נדרוש‬ ,‫ש‬‫לא‬‫הרצף‬ ‫יופיע‬aaa.
‫הסידורים‬ ‫מספר‬‫האפשריים‬‫בשאלה‬ ‫שמצאתם‬ ‫הסידורים‬ ‫ממספר‬ ‫קטן‬ ‫כעת‬6.?‫קטן‬ ‫הוא‬ ‫בכמה‬
.‫א‬5.‫ב‬60.‫ג‬120.‫ד‬410.‫ה‬5,030
‫מה‬ ‫אחת‬ ‫בכל‬‫שאלות‬8–10‫לנו‬ ‫נתונים‬10‫כדורים‬‫זהים‬,7‫קוביות‬‫זהות‬,
‫ארגזים‬ ‫וארבעה‬‫שונים‬‫הממוספרים‬1-4.
‫שאלה‬8
‫לחלק‬ ‫ניתן‬ ‫בהן‬ ‫הדרכים‬ ‫מספר‬ ‫מהו‬‫את‬‫כל‬10‫הכדורים‬‫בין‬‫הארגזים‬?
.‫א‬
13
(4,10)
3
D
 
  
 
.‫ב‬
13
(4,10)
4
D
 
  
 
.‫ג‬1,000‫ד‬.10
4.‫ה‬(10,4)D
‫שאלה‬9
‫ב‬ ‫הקודמת‬ ‫לשאלה‬ ‫התשובה‬ ‫את‬ ‫נסמן‬-x.
‫כל‬ ‫את‬ ‫לחלק‬ ‫ניתן‬ ‫דרכים‬ ‫בכמה‬?‫לארגזים‬ ‫והקוביות‬ ‫הכדורים‬
.‫א‬210x .‫ב‬120x .‫ג‬210x.‫ד‬120x 
.‫ה‬.‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הקודמות‬ ‫מהתשובות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬

31. 21
‫שאלה‬10
‫לחלק‬ ‫ניתן‬ ‫דרכים‬ ‫בכמה‬‫הכדורים‬ ‫כל‬ ‫את‬‫לארגזים‬,‫אם‬'‫מס‬ ‫בארגז‬1‫לפחות‬ ‫להיות‬ ‫חייבים‬3
?‫ריק‬ ‫להישאר‬ ‫יכול‬ ‫לא‬ ‫ארגז‬ ‫ואף‬ ,‫כדורים‬
.‫א‬12.‫ב‬15.‫ג‬120.‫ד‬150.‫ה‬180
‫שאלה‬11
‫בטבעיים‬ ‫הפתרונות‬ ‫מספר‬ ‫מהו‬‫של‬‫המשוואה‬1 2 3 4 5 67 10 13x x x x x x     ?
,‫זה‬ ‫בקורס‬ :‫תזכורת‬0.‫טבעי‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬
‫במחוברים‬ :‫הדרכה‬5 67 , 10x x.‫למקרים‬ ‫הפרדה‬ ‫ע"י‬ ‫לטפל‬ ‫אפשר‬
.‫א‬466.‫ב‬664.‫ג‬4660.‫ד‬6460.‫ה‬6640

32. 22

33. 23
(‫)ממ"ן‬ ‫מנחה‬ ‫מטלת‬14
:‫הקורס‬20476‫מתמטיקה‬‫בדידה‬‫למטלה‬ ‫הלימוד‬ ‫חומר‬:‫קומבינטוריקה‬‫פרקים‬4-3
:‫השאלות‬ ‫מספר‬4:‫המטלה‬ ‫משקל‬3‫נקודות‬
:‫סמסטר‬2015‫א‬:‫להגשה‬ ‫אחרון‬ ‫מועד‬'‫ג‬ ‫יום‬6.1.2015
‫מנחה‬ ‫מטלת‬) ‫הבאות‬ ‫הדרכים‬ ‫באחת‬ ‫להגיש‬ ‫ניתן‬‫מפורט‬ ‫הסבר‬"‫מנחה‬ ‫מטלות‬ ‫הגשת‬ ‫ב"נוהל‬(:
) ‫המקוונת‬ ‫המטלות‬ ‫במערכת‬‫סרוק‬ ‫לא‬ ,‫מוקלד‬ ‫קובץ‬‫משאילת"א‬ ‫או‬ ‫הקורס‬ ‫מאתר‬ ‫כניסה‬ ,(
‫ההנחיה‬ ‫במפגש‬ ‫למנחה‬ ‫ישיר‬ ‫באופן‬ ,‫נלווה‬ ‫טופס‬ ‫עם‬ ,‫נייר‬ ‫דפי‬ ‫על‬
.‫המנחה‬ ‫של‬ ‫לכתובתו‬ ,‫ישראל‬ ‫דואר‬ ‫באמצעות‬ ,‫נלווה‬ ‫טופס‬ ‫עם‬ ,‫נייר‬ ‫דפי‬ ‫על‬
‫שאלה‬1)27(‫נקודות‬
‫יהי‬n  3‫בזהות‬ ‫נתבונן‬ .









 1
2
))(1(
3
n
i
ini
n
:‫כך‬ ‫אותה‬ ‫להוכיח‬ ‫ניתן‬ .
‫לבחור‬ ‫האפשרויות‬ ‫מספר‬ ‫הוא‬ ‫שמאל‬ ‫אגף‬3‫מספרים‬‫שונים‬‫הקבוצה‬ ‫מתוך‬},,2,1{ nA 
‫לסדר‬ ‫חשיבות‬ ‫ללא‬:‫הללו‬ ‫האפשרויות‬ ‫את‬ ‫לספור‬ ‫מיוחדת‬ ‫קצת‬ ‫דרך‬ ‫מייצג‬ ‫ימין‬ ‫אגף‬ .
‫נב‬ ‫ראשית‬‫מספר‬ ‫חר‬i‫בתחום‬12  ni‫המספר‬ ‫יהיה‬ ‫זה‬ .‫האמצעי‬‫בגודלו‬.‫השלושה‬ ‫מבין‬
‫ב‬ ‫כלשהו‬ ‫מספר‬ ‫נבחר‬ ‫כעת‬-A‫מ‬ ‫הקטן‬-i‫יש‬ ‫)לכך‬i  1,(‫אפשרויות‬
‫ב‬ ‫כלשהו‬ ‫ומספר‬-A‫מ‬ ‫הגדול‬-i‫יש‬ ‫)לכך‬n i.(‫אפשרויות‬
‫בת‬ ‫קבוצה‬ ‫לבחירת‬ ‫האפשרויות‬ ‫מספר‬3‫הוא‬ ‫מביניהם‬ ‫בגודלו‬ ‫האמצעי‬ ‫אשר‬ ,‫איברים‬i,
‫אפוא‬ ‫הוא‬( )( )i n i 1‫ערכי‬ ‫כל‬ ‫עבור‬ ‫האפשרויות‬ ‫את‬ ‫נסכם‬ .i‫השוויון‬ ‫ומכאן‬ ,!
)6('‫נק‬.‫א‬‫בדוק‬‫עבור‬ ‫השוויון‬ ‫את‬3n ‫ועבור‬4n .
)21('‫נק‬.‫ב‬‫בחירת‬ ‫של‬ ‫למקרה‬ ,‫הנ"ל‬ ‫התהליך‬ ‫את‬ ‫נכליל‬2 1k ‫מתוך‬ ‫שונים‬ ‫מספרים‬
{1,2, , }A n ‫)כאשר‬12  kn.‫לסדר‬ ‫חשיבות‬ ‫ללא‬ ,(
‫נתחיל‬‫האמצעי‬ ‫שיהיה‬ ‫האיבר‬ ‫מבחירת‬ ‫שוב‬‫בגודלו‬‫הנבחרים‬ ‫מבין‬‫את‬ ‫השלם‬ .
‫אותה‬ ‫והוכח‬ (‫מתאימים‬ ‫בביטויים‬ ‫השאלה‬ ‫סימני‬ ‫חמשת‬ ‫את‬ ‫)החלף‬ ‫הבאה‬ ‫הזהות‬
:‫לנ"ל‬ ‫דומה‬ ‫באופן‬


























?
? ?
??
12 i kk
n
‫בדוק‬‫בעזרת‬ ‫תשובתך‬ ‫את‬3‫ורשום‬ ‫הבאים‬ ‫המקרים‬‫מקרה‬ ‫בכל‬:‫התוצאה‬ ‫את‬
)1(0k)2(1k)3(12  kn.

34. 24
‫שאלה‬2)27(‫נקודות‬
‫תהי‬{1,2,3,4,5,6}A ‫פונקציות‬ ‫כמה‬ ‫מיצאו‬ .:f A A:‫התנאי‬ ‫את‬ ‫מקיימות‬
‫המספרים‬ ‫שלושת‬1,2,3‫של‬ ‫בתמונה‬ ‫נמצאים‬f)‫כלומר‬‫מהמספרים‬ ‫אחד‬ ‫כל‬1,2,3‫על‬ ‫מתקבל‬-
‫הפעלת‬ ‫ידי‬f‫של‬ ‫כלשהו‬ ‫אבר‬ ‫על‬A.(‫ב‬ ‫נוספים‬ ‫שאברים‬ ‫בהחלט‬ ‫ייתכן‬-A.‫הם‬ ‫גם‬ ‫מתקבלים‬
:‫דוגמאות‬)i‫אברי‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫השולחת‬ ‫הפונקציה‬ (A‫ל‬-1‫אינה‬.‫התנאי‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬
)ii.‫התנאי‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬ ,‫לעצמו‬ ‫אבר‬ ‫כל‬ ‫השולחת‬ ,‫הזהות‬ ‫פונקציית‬ (
)iii‫הפונקציה‬ (f:‫כך‬ ‫המוגדרת‬(5) 2 , (6) 3f f ,(1) (2) (3) (4) 1f f f f   
.‫התנאי‬ ‫את‬ ‫מקיימת‬
.‫והפרדה‬ ‫הכלה‬ ‫בעזרת‬ ‫לפתור‬ ‫כדאי‬.‫מספרית‬ ‫לתשובה‬ ‫להגיע‬ ‫הכרח‬ ‫אין‬
‫שאלה‬3)27‫נקודות‬(
‫של‬ ‫באורך‬ ‫היא‬ ‫משתמש‬ ‫סיסמת‬ ,‫מסוימת‬ ‫מחשב‬ ‫במערכת‬‫לפחות‬3‫היותר‬ ‫ולכל‬ ‫תוים‬100‫תוים‬.
:‫המותרים‬ ‫התוים‬a-z,A-Z,0-9‫אפוא‬ ‫)יש‬26 26 10 62  .(‫מותרים‬ ‫תוים‬
‫להכיל‬ ‫חייבת‬ ‫סיסמא‬‫אחת‬ ‫ספרה‬ ‫ולפחות‬ ‫אחת‬ ‫גדולה‬ ‫אות‬ ‫לפחות‬ ,‫אחת‬ ‫קטנה‬ ‫אות‬ ‫לפחות‬.
‫למערכת‬ ‫שבכניסה‬ ‫לכך‬ ‫גרם‬ ‫הסיסמא‬ ‫בדיקת‬ ‫בתהליך‬ ‫מוזר‬ ‫באג‬ ,‫מסוים‬ ‫ביום‬‫היתה‬ ‫לא‬
‫לחזרות‬ ‫התייחסות‬ ‫היתה‬ ‫ולא‬ ‫התוים‬ ‫לסדר‬ ‫התייחסות‬‫בין‬ ‫הבחינה‬ ‫לא‬ ‫המערכת‬ ,‫למשל‬ .
‫הסיסמאות‬BA1Aa11,aAB1,1AAAABBBaa.‫תוים‬ ‫אותם‬ ‫בדיוק‬ ‫מופיעים‬ ‫בשלושתן‬ ‫כי‬ ,
‫היא‬ ‫משה‬ ‫של‬ ‫שהסיסמא‬ ‫נניח‬ :‫דוגמאות‬ ‫עוד‬abA122:‫מוזר‬ ‫יום‬ ‫באותו‬ .
‫בטעות‬ ‫הקליד‬ ‫משה‬ ‫אם‬22aAab111b‫המערכת‬ ,.‫אותו‬ ‫קיבלה‬
‫בטעות‬ ‫הקליד‬ ‫משה‬ ‫אם‬abA123‫התו‬ ‫כי‬ ,‫אותו‬ ‫קיבלה‬ ‫לא‬ ‫המערכת‬ ,3.‫שלו‬ ‫בסיסמא‬ ‫נמצא‬ ‫לא‬
‫בטעות‬ ‫הקליד‬ ‫משה‬ ‫אם‬aba122‫התו‬ ‫חסר‬ ‫כי‬ ,‫אותו‬ ‫קיבלה‬ ‫לא‬ ‫המערכת‬ ,A.‫שלו‬ ‫בסיסמא‬ ‫שנמצא‬
‫אפשריות‬ ‫היו‬ ‫שונות‬ ‫סיסמאות‬ ‫כמה‬‫בפועל‬‫משמע‬ "‫בפועל‬ ‫"אפשריות‬ ?‫יום‬ ‫באותו‬‫סיסמאות‬
‫שהמע‬‫נחשבות‬ ‫ביניהן‬ ‫מבחינה‬ ‫לא‬ ‫רכת‬‫סיסמא‬ ‫כאותה‬.
‫על‬ ‫רק‬ ‫מדובר‬‫חוקיות‬ ‫סיסמאות‬,.‫השאלה‬ ‫שבתחילת‬ ‫הדרישות‬ ‫את‬ ‫המקיימות‬
.‫והפרדה‬ ‫הכלה‬ ‫בעזרת‬ ‫לפתור‬ ‫כדאי‬‫שמכילה‬ ‫תשובה‬ ‫אבל‬ ,‫מספרית‬ ‫לתשובה‬ ‫להגיע‬ ‫הכרח‬ ‫אין‬
:‫תתקבל‬ ‫לא‬ ‫גורמים‬ ‫עשרות‬ ‫של‬ (‫סיגמא‬ ‫)או‬ ‫סכומים‬‫דרך‬ ‫למצוא‬ ‫או‬ ‫אותה‬ ‫לפשט‬ ‫יש‬‫לפתור‬ ‫אחרת‬
...‫השאלה‬ ‫את‬
‫שאלה‬4)19(‫נקודות‬
‫ואורחים‬ ‫בוגרים‬ ‫הגיעו‬ ‫האוניברסיטה‬ ‫של‬ ‫בוגרים‬ ‫לטקס‬.‫שונים‬‫מהאנשים‬ ‫חלק‬ ‫הערב‬ ‫במהלך‬
‫הללו‬.‫לזה‬ ‫זה‬ ‫ידים‬ ‫לחצו‬.‫ידים‬ ‫מספר‬ ‫אותו‬ ‫בדיוק‬ ‫שלחצו‬ ‫אנשים‬ ‫שני‬ ‫לפחות‬ ‫שיש‬ ‫הוכח‬
‫לעצמו‬ ‫יד‬ ‫לוחץ‬ ‫לא‬ ‫אדם‬ :‫הבהרות‬,.‫אחת‬ ‫מפעם‬ ‫יותר‬ ‫לזה‬ ‫זה‬ ‫יד‬ ‫לוחצים‬ ‫אינם‬ ‫אנשים‬ ‫שני‬

35. 25
(‫)ממ"ן‬ ‫מנחה‬ ‫מטלת‬15
:‫הקורס‬20476‫דיסקרטית‬ ‫מתמטיקה‬‫למטלה‬ ‫הלימוד‬ ‫חומר‬:‫קומבינטוריקה‬‫פרק‬‫ים‬6-7
:‫השאלות‬ ‫מספר‬4:‫המטלה‬ ‫משקל‬3‫נקודות‬
:‫סמסטר‬2015‫א‬:‫להגשה‬ ‫אחרון‬ ‫מועד‬‫יום‬'‫ה‬16.1.2015
‫מנחה‬ ‫מטלת‬("‫מנחה‬ ‫מטלות‬ ‫הגשת‬ ‫ב"נוהל‬ ‫מפורט‬ ‫)הסבר‬ ‫הבאות‬ ‫הדרכים‬ ‫באחת‬ ‫להגיש‬ ‫ניתן‬:
) ‫המקוונת‬ ‫המטלות‬ ‫במערכת‬‫סרוק‬ ‫לא‬ ,‫מוקלד‬ ‫קובץ‬‫משאילת"א‬ ‫או‬ ‫הקורס‬ ‫מאתר‬ ‫כניסה‬ ,(
‫ההנחיה‬ ‫במפגש‬ ‫למנחה‬ ‫ישיר‬ ‫באופן‬ ,‫נלווה‬ ‫טופס‬ ‫עם‬ ,‫נייר‬ ‫דפי‬ ‫על‬
,‫נלווה‬ ‫טופס‬ ‫עם‬ ,‫נייר‬ ‫דפי‬ ‫על‬.‫המנחה‬ ‫של‬ ‫לכתובתו‬ ,‫ישראל‬ ‫דואר‬ ‫באמצעות‬
‫שאלה‬1)25('‫נק‬
‫יהי‬an‫באורך‬ ‫הסדרות‬ ‫מספר‬n‫לקבוצה‬ ‫שייכים‬ ‫שאיבריהן‬ ,{0,1,2},
‫אשר‬‫הופע‬ ‫בהן‬ ‫אין‬‫של‬ ‫ה‬00‫של‬ ‫הופעה‬ ‫בהן‬ ‫ואין‬01‫של‬ ‫הופעה‬ ‫)מותרת‬10. (
‫דוגמא‬‫ות‬‫לסדר‬‫ות‬‫מותר‬‫ו‬‫ת‬‫באורך‬5:12211,11110.
‫דוגמא‬‫ות‬‫לסדר‬‫ות‬‫אסור‬‫ות‬‫באורך‬5:12011,11100.
)10('‫נק‬.‫א‬‫רשמי‬‫את‬ ‫ישיר‬ ‫חישוב‬ ‫בעזרת‬210 ,, aaa.‫רשמי‬‫עבור‬ ‫נסיגה‬ ‫יחס‬an.
‫בד‬‫קי‬‫עבור‬ ‫שרשמת‬ ‫שהערכים‬210 ,, aaa.‫הנסיגה‬ ‫ליחס‬ ‫מתאימים‬
)15('‫נק‬.‫ב‬‫פת‬‫רי‬‫וקבל‬ ‫הנסיגה‬ ‫יחס‬ ‫את‬‫י‬‫עבור‬ ‫מפורשת‬ ‫נוסחה‬an.
‫כגון‬ ‫ביטויים‬2 , 3 , 5.‫שהם‬ ‫כפי‬ ‫להשאיר‬ ‫יש‬
‫כגון‬ ‫ביטויים‬12‫לצורה‬ ‫להעביר‬ ‫יש‬12 4 3 2 3  .
.‫יוצרות‬ ‫בפונקציות‬ ‫עוסק‬ ‫הממ"ן‬ ‫שאר‬‫ראו‬‫הממ"ן‬ ‫בסוף‬.‫שימושיות‬ ‫נוסחאות‬ ‫של‬ ‫רשימה‬
‫שאלה‬2)23('‫נק‬
‫תהי‬f x a xi
i
i
( ) 



0
:‫נתון‬ .2,2,3,1 3210  aaaa‫אינם‬ ‫המקדמים‬ ‫שאר‬ .
‫תהי‬ .‫ידועים‬g:‫המקיימת‬ ‫פונקציה‬ 2
0011)()( xxxgxf.
‫נסמן‬



0
)(
i
i
ixbxg‫חשב‬ .‫י‬‫את‬3210 ,,, bbbb.

36. 26
‫שאלה‬3)25('‫נק‬
‫את‬ ‫מצאו‬‫המשוואה‬ ‫פתרונות‬ ‫מספר‬1 2 3 4 5 6 29x x x x x x     ,
‫כאשר‬3‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫הם‬ ‫מהמשתנים‬‫זוגיים‬,
3‫טבעיים‬ ‫מספרים‬ ‫הם‬ ‫האחרים‬ ‫המשתנים‬‫אי‬-‫זוגיים‬,
‫אחד‬ ‫ואף‬‫שווה‬ ‫אינו‬ ‫מהמשתנים‬0‫שווה‬ ‫ואינו‬1.
‫אי‬ ‫ואיזה‬ ‫זוגיים‬ ‫הם‬ ‫מהמשתנים‬ ‫איזה‬ ‫נתון‬ ‫לא‬-.‫זוגיים‬
.‫אחרת‬ ‫בדרך‬ ‫ואפשר‬ ‫יוצרת‬ ‫פונקציה‬ ‫בעזרת‬ ‫לפתור‬ ‫אפשר‬‫מספרית‬ ‫סופית‬ ‫לתשובה‬ ‫להגיע‬ ‫יש‬.
‫שאלה‬4)27('‫נק‬
‫דוגמא‬‫"מבו‬ ‫הקובץ‬ ‫בסוף‬ ‫נמצאת‬ ‫זה‬ ‫מסוג‬ ‫לתרגיל‬‫הקורס‬ ‫שבאתר‬ "‫יוצרות‬ ‫לפונקציות‬ ‫א‬.
)8('‫נק‬.‫א‬:‫הבאים‬ ‫הפיתוחים‬ ‫את‬ ‫נרשום‬
9
0
( ) (1 ) i
i
i
f x x a x


   10
0
1
( )
(1 )
i
i
i
g x b x
x


 


‫מצא‬‫ו‬‫את‬ai‫ואת‬bi,‫לכל‬i.‫טבעי‬
)16'‫נק‬(.‫ב‬‫ש‬ ‫לב‬ ‫נשים‬-
1
( ) ( )
1
f x g x
x
 

(*)
‫יהי‬k N.‫של‬ ‫המקדם‬ ‫את‬xk
‫בפונקציה‬f x g x( ) ( )‫לחשב‬ ‫אפשר‬
‫ב‬:‫דרכים‬ ‫שתי‬
-,(*) ‫של‬ ‫שמאל‬ ‫אגף‬ ‫מתוך‬‫יוצרות‬ ‫פונקציות‬ ‫כפל‬ ‫ע"י‬.
-‫בפיתוח‬ ,(*) ‫של‬ ‫ימין‬ ‫אגף‬ ‫מתוך‬‫הידוע‬‫של‬
1
1 x
.
‫וקבלו‬ ‫התוצאות‬ ‫שתי‬ ‫את‬ ‫השוו‬‫זהות‬‫מהצורה‬
0
?
?
( 1) (? , ?) ?
k
i
i
D

 
   
 
.
)3'‫נק‬(‫המקרה‬ ‫עבור‬ ‫שקיבלתם‬ ‫הזהות‬ ‫את‬ ‫בדקו‬2k .
___________________________________________________________________
:‫יוצרות‬ ‫בפונקציות‬ ‫שימושיות‬ ‫נוסחאות‬ ‫כמה‬ ‫להלן‬
)i!(:‫סופי‬ ‫הנדסי‬ ‫טור‬ ‫סכום‬x
x
x
i
i
n n


 


0
1
1
1
:‫ואינסופי‬
0
1
1
i
i
x
x





)ii!(:‫יוצרות‬ ‫פונקציות‬ ‫כפל‬
‫אם‬f x a xi
i
i
( ) 



0
,g x b xi
i
i
( ) 



0
‫ו‬ ,-f x g x c xi
i
i
( ) ( ) 



0
‫אז‬c a bk i k i
i
k
 


0
‫עמוד‬ ‫ראש‬ ‫)ראו‬122.(‫הלימוד‬ ‫בספר‬
)iii!(1
1
1 2
0
( )
( ) ( , )

    


x
x x D n k xn
n k
k
)‫של‬ ‫המקדם‬ :‫אחרות‬ ‫במלים‬xk
‫הביטוי‬ ‫בפיתוח‬1
1( ) x n
‫הוא‬D n k( , ).‫שאלה‬ ‫ראו‬7.9‫שאלה‬ ‫או‬7.10'‫בעמ‬129‫בספר‬(.

37. 27
‫מטלת‬‫מחשב‬"‫)ממ‬‫ח‬(05
:‫הקורס‬20476‫מתמטיקה‬‫בדידה‬:‫למטלה‬ ‫הלימוד‬ ‫חומר‬‫פרקים‬ "‫הגרפים‬ ‫"תורת‬1-3
:‫השאלות‬ ‫מספר‬11:‫המטלה‬ ‫משקל‬3‫נקודות‬
‫סמסטר‬:2015‫א‬:‫להגשה‬ ‫אחרון‬ ‫מועד‬'‫ו‬ ‫יום‬2.2.2015
‫את‬‫שאילת"א‬ ‫מערכת‬ ‫באמצעות‬ ‫לשלוח‬ ‫יש‬ ‫לממ"ח‬ ‫התשובות‬
‫בכתובת‬http://www.openu.ac.il/sheilta/
!‫למנחה‬ ‫הממ"ח‬ ‫פתרון‬ ‫את‬ ‫לשלוח‬ ‫אין‬ .‫ממוחשבת‬ ‫בצורה‬ ‫נבדק‬ ‫הממ"ח‬
‫שאלה‬1
‫על‬ ‫גרף‬ ‫לעצמנו‬ ‫נתאר‬7:‫שדרגותיהם‬ ,‫צמתים‬0,1,2,2,3,4,5.
.‫א‬.‫כזה‬ ‫וקשיר‬ ‫פשוט‬ ‫גרף‬ ‫יש‬
.‫ב‬‫קשיר‬ ‫גרף‬ ‫יש‬.‫פשוט‬ ‫גרף‬ ‫לא‬ ‫הוא‬ ‫אבל‬ ,‫כזה‬
.‫ג‬.‫קשיר‬ ‫לא‬ ‫הוא‬ ‫אבל‬ ,‫כזה‬ ‫פשוט‬ ‫גרף‬ ‫יש‬
.‫ד‬.‫קשיר‬ ‫ולא‬ ‫פשוט‬ ‫לא‬ ‫להיות‬ ‫חייב‬ ‫הוא‬ ‫אבל‬ ,‫כזה‬ ‫גרף‬ ‫יש‬
.‫ה‬.‫כזה‬ ‫גרף‬ ‫קיים‬ ‫לא‬
‫שאלה‬2
G‫על‬ (‫פשוט‬ ‫להיות‬ ‫חייב‬ ‫)לא‬ ‫גרף‬ ‫הוא‬55:‫מתוכם‬ ,‫צמתים‬
20‫דרגה‬ ‫בעלי‬ ‫צמתים‬1,15‫דרגה‬ ‫בעלי‬ ‫צמתים‬2,
10‫דרגה‬ ‫בעלי‬ ‫צמתים‬3,10‫דרגה‬ ‫בעלי‬ ‫צמתים‬4.
‫ב‬ ‫הקשתות‬ ‫מספר‬-G:‫הוא‬
.‫א‬54.‫ב‬60.‫ג‬120.‫ד‬240
.‫ה‬.‫הקשתות‬ ‫מספר‬ ‫את‬ ‫לקבוע‬ ‫כדי‬ ‫נתונים‬ ‫די‬ ‫אין‬
‫שאלה‬3
‫גרף‬G‫של‬ ‫הצמתים‬ :‫כך‬ ‫מוגדר‬G‫בדיוק‬ ‫בנות‬ ‫הקבוצות‬ ‫הם‬3‫מתוך‬ ‫אברים‬{1,2,3,4,5,6,7}.
‫הקבוצה‬ ‫למשל‬{1,4,7}‫של‬ ‫צומת‬ ‫היא‬G.‫של‬ ‫הצמתים‬ ‫מספר‬G‫אפוא‬ ‫הוא‬
7
3
 
 
 
.
‫שונים‬ ‫צמתים‬ ‫שני‬ ‫בין‬A,B‫אם‬ ‫ורק‬ ‫אם‬ ‫קשת‬ ‫יש‬| | 1A B .
‫בין‬ ‫קשת‬ ‫יש‬ ‫למשל‬{1,4,7}‫לבין‬{2,3,4}.
‫ב‬ ‫צומת‬ ‫כל‬ ‫דרגת‬-G:‫היא‬
.‫א‬6.‫ב‬18.‫ג‬35.‫ד‬36
.‫ה‬G‫רגולרי‬ ‫גרף‬ ‫אינו‬-.‫דרגה‬ ‫אותה‬ ‫הצמתים‬ ‫לכל‬ ‫לא‬

38. 28
‫שאלה‬4
,‫הקודמת‬ ‫מהשאלה‬ ‫לגרף‬ ‫בהתייחס‬:‫הוא‬ ‫בגרף‬ ‫הקשתות‬ ‫מספר‬
.‫א‬34.‫ב‬35.‫ג‬108.‫ד‬153.‫ה‬315
‫שאלה‬5
‫משאלה‬ ‫הגרף‬3:‫הוא‬
.‫א‬‫עץ‬ ‫שאינו‬ ‫יער‬.‫ב‬‫עץ‬.‫ג‬‫קשיר‬ ‫לא‬ ‫גרף‬‫יער‬ ‫שאינו‬
.‫ד‬‫דו‬ ‫גרף‬-‫צדדי‬.‫ה‬‫נכונה‬ ‫אינה‬ ‫הקודמות‬ ‫מהאפשרויות‬ ‫אחת‬ ‫אף‬
‫שאלה‬6
‫הגדרה‬ "‫הגרפים‬ ‫)"תורת‬ ‫מתויגים‬ ‫שאינם‬ ‫גרפים‬ ‫של‬ ‫באיזומורפיזם‬ ‫עוסקת‬ ‫השאלה‬2.7.(
‫גרף‬ ‫שלכל‬ ‫נזכור‬G‫הגדרה‬ "‫הגרפים‬ ‫)"תורת‬ ‫שלו‬ ‫המשלים‬ ,1.4‫מסומן‬ (G.
n
C‫מעגל‬ ‫שהוא‬ ‫גרף‬ ‫הוא‬‫פשוט‬‫על‬n.‫צמתים‬
.‫א‬5
C‫ל‬ ‫איזומורפי‬-5
C‫ו‬-6
C‫ל‬ ‫איזומורפי‬-6
C.
.‫ב‬5
C‫ל‬ ‫איזומורפי‬-5
C‫אבל‬6
C‫ל‬ ‫איזומורפי‬ ‫אינו‬-6
C.
.‫ג‬5
C‫ל‬ ‫איזומורפי‬ ‫אינו‬-5
C‫אבל‬6
C‫ל‬ ‫איזומורפי‬-6
C.
.‫ד‬5
C‫ל‬ ‫איזומורפי‬ ‫אינו‬-5
C‫ו‬-6
C‫ל‬ ‫איזומורפי‬ ‫אינו‬-6
C.
‫שאלה‬7
G‫של‬ ‫קבוצה‬ ‫על‬ ‫יער‬ ‫הוא‬10.‫קשירות‬ ‫רכיבי‬ ‫שני‬ ‫בדיוק‬ ‫לו‬ ‫ויש‬ ,‫צמתים‬
x,y‫קשירות‬ ‫לרכיבי‬ ‫השייכים‬ ‫צמתים‬ ‫הם‬‫שונים‬‫של‬G‫על‬ ‫חדש‬ ‫גרף‬ ‫ניצור‬ .-"‫ש"נדביק‬ ‫כך‬ ‫ידי‬
‫א‬‫ת‬x‫ל‬-y‫אחד‬ ‫כצומת‬ ‫כעת‬ ‫ייחשבו‬ ‫שניהם‬ :;‫ל‬ ‫השכנות‬ ‫הקשתות‬ ‫קבוצת‬‫איחוד‬ ‫היא‬ ‫זה‬ ‫צומת‬
‫ק‬‫ל‬ ‫שכנות‬ ‫שהיו‬ ‫הקשתות‬ ‫בוצת‬-x‫ל‬ ‫שכנות‬ ‫שהיו‬ ‫הקשתות‬ ‫קבוצת‬ ‫עם‬-y‫של‬ ‫הצמתים‬ .G‫פרט‬
‫ל‬-x,y‫של‬ ‫והקשתות‬G‫ל‬ ‫שכנות‬ ‫שאינן‬-x‫ל‬ ‫או‬-y.‫החדש‬ ‫בגרף‬ ‫שינוי‬ ‫ללא‬ ‫כולם‬ ‫נשארים‬
‫על‬ ‫חדש‬ ‫גרף‬ ‫קיבלנו‬9:‫הוא‬ ‫זה‬ ‫גרף‬ .‫צמתים‬
.‫א‬‫עץ‬ ‫שאינו‬ ‫יער‬.‫ב‬‫עץ‬.‫ג‬9K‫על‬ ‫מלא‬ ‫גרף‬ ,9‫צמתים‬
.‫ד‬‫ואינו‬ (‫עץ‬ ‫אינו‬ ‫)ובפרט‬ ‫יער‬ ‫שאינו‬ ‫גרף‬9K
.‫ה‬‫מהאפשרויות‬ ‫איזה‬ ‫לדעת‬ ‫כדי‬‫א‬-‫ד‬‫על‬ ‫מידע‬ ‫עוד‬ ‫נדרש‬ ‫מתקיימת‬G.

39. 29
‫שאלה‬8
'‫בעמ‬ "‫הגרפים‬ ‫"תורת‬ ‫בחוברת‬29‫לשאלה‬ ‫בתשובה‬ ,7.‫מתויג‬ ‫עץ‬ ‫מופיע‬ ,
‫שמספרו‬ ‫עלה‬ ‫הזה‬ ‫לעץ‬ ‫נוסיף‬9‫שמספרה‬ ‫לצומת‬ ‫אותו‬ ‫ונחבר‬1.
‫סדרת‬Prüfer:‫היא‬ ‫החדש‬ ‫העץ‬ ‫של‬
.‫א‬(4,4,3,4,4,2,1).‫ב‬(1,4,4,3,4,4,2)
.‫ג‬(4,4,4,4,3,2,1).‫ד‬(4,4,3,4,2,4,1)
.‫ה‬(4,3,4,4,2,4,1).‫ו‬(4,3,4,4,4,2,1)
‫שאלה‬9
G‫על‬ ‫קשיר‬ ‫גרף‬ ‫הוא‬8.‫צמתים‬‫דרגות‬:‫הן‬ ‫הצמתים‬2,2,3,4,4,5,6,6.
:‫נובע‬ ‫מכאן‬
.‫א‬‫יש‬‫ב‬-G.‫אוילר‬ ‫מעגל‬‫יש‬‫ב‬-G.‫מעגל‬ ‫שאינו‬ ‫אוילר‬ ‫מסלול‬ ‫גם‬
.‫ב‬‫יש‬‫ב‬-G.‫אוילר‬ ‫מעגל‬‫אין‬‫ב‬-G.‫מעגל‬ ‫שאינו‬ ‫אוילר‬ ‫מסלול‬
.‫ג‬‫אין‬‫ב‬-G.‫אוילר‬ ‫מעגל‬‫יש‬‫ב‬-G.‫מעגל‬ ‫שאינו‬ ‫אוילר‬ ‫מסלול‬
.‫ד‬‫אין‬‫ב‬-G.‫אוילר‬ ‫מעגל‬‫אין‬‫ב‬-G.‫מעגל‬ ‫שאינו‬ ‫אוילר‬ ‫מסלול‬
.‫ה‬‫מהאפשרויות‬ ‫איזה‬ ‫לדעת‬ ‫כדי‬‫א‬–‫ד‬‫על‬ ‫מידע‬ ‫עוד‬ ‫נדרש‬ ‫מתקיימת‬G.
‫שאלה‬10
G‫ב‬ ‫ויש‬ ,(‫המילטון‬ ‫מעגל‬ ‫בו‬ ‫יש‬ ‫)כלומר‬ ‫המילטוני‬ ‫גרף‬ ‫הוא‬-G.‫מעגל‬ ‫שאינו‬ ‫המילטון‬ ‫מסלול‬ ‫גם‬
.‫א‬.‫מעגל‬ ‫שאינו‬ ‫המילטון‬ ‫מסלול‬ ‫גם‬ ‫יש‬ ‫המילטוני‬ ‫גרף‬ ‫בכל‬ ,‫מעניין‬ ‫לא‬ ‫זה‬
‫ב‬.‫אבל‬ ,‫נכונה‬ ‫אינה‬ '‫א‬ ‫טענה‬‫פשוט‬ ‫גרף‬ ‫יש‬‫הללו‬ ‫הדרישות‬ ‫את‬ ‫המקיים‬.
‫ג‬.‫לא‬ ‫אבל‬ ,‫כזה‬ ‫גרף‬ ‫יש‬‫גרף‬‫פשוט‬.
‫ד‬..‫כזה‬ ‫גרף‬ ‫ייתכן‬ ‫לא‬
‫שאלה‬11
‫מפריד‬ ‫צומת‬ :‫הגדרה‬‫נמ‬ ‫שאם‬ ‫צומת‬ ‫הוא‬ ‫בגרף‬‫לו‬ ‫הסמוכות‬ ‫הקשתות‬ ‫ואת‬ ‫אותו‬ ‫מהגרף‬ ‫חק‬‫נקבל‬ ,
.‫המקורי‬ ‫הגרף‬ ‫של‬ ‫מזה‬ ‫יותר‬ ‫גדול‬ ‫קשירות‬ ‫רכיבי‬ ‫מספר‬ ‫בעל‬ ‫גרף‬
.‫א‬.‫המילטוני‬ ‫ואינו‬ ‫אוילרי‬ ‫אינו‬ ‫מפריד‬ ‫צומת‬ ‫בו‬ ‫שיש‬ ‫גרף‬
.‫ב‬.‫המילטוני‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬ ‫אבל‬ ‫אוילרי‬ ‫אינו‬ ‫מפריד‬ ‫צומת‬ ‫בו‬ ‫שיש‬ ‫גרף‬
.‫ג‬‫אבל‬ ‫המילטוני‬ ‫אינו‬ ‫מפריד‬ ‫צומת‬ ‫בו‬ ‫שיש‬ ‫גרף‬.‫אוילרי‬ ‫להיות‬ ‫יכול‬
.‫ד‬.‫מפריד‬ ‫צומת‬ ‫בו‬ ‫שיש‬ ‫המילטוני‬ ‫גרף‬ ‫ויש‬ ‫מפריד‬ ‫צומת‬ ‫בו‬ ‫שיש‬ ‫אוילרי‬ ‫גרף‬ ‫יש‬

40. 30

41. 31
(‫)ממ"ן‬ ‫מנחה‬ ‫מטלת‬16
:‫הקורס‬20476–‫בדידה‬ ‫מתמטיקה‬
‫למטלה‬ ‫הלימוד‬ ‫חומר‬:‫הגרפים‬ ‫תורת‬–‫היחידה‬ ‫כל‬
:‫השאלות‬ ‫מספר‬4:‫המטלה‬ ‫משקל‬3‫נקודות‬
:‫סמסטר‬2015‫א‬:‫להגשה‬ ‫אחרון‬ ‫מועד‬'‫א‬ ‫יום‬4.2.2015
‫מנחה‬ ‫מטלת‬("‫מנחה‬ ‫מטלות‬ ‫הגשת‬ ‫ב"נוהל‬ ‫מפורט‬ ‫)הסבר‬ ‫הבאות‬ ‫הדרכים‬ ‫באחת‬ ‫להגיש‬ ‫ניתן‬:
) ‫המקוונת‬ ‫המטלות‬ ‫במערכת‬‫סרוק‬ ‫לא‬ ,‫מוקלד‬ ‫קובץ‬‫משאילת"א‬ ‫או‬ ‫הקורס‬ ‫מאתר‬ ‫כניסה‬ ,(
‫ההנחיה‬ ‫במפגש‬ ‫למנחה‬ ‫ישיר‬ ‫באופן‬ ,‫נלווה‬ ‫טופס‬ ‫עם‬ ,‫נייר‬ ‫דפי‬ ‫על‬
‫לכתובתו‬ ,‫ישראל‬ ‫דואר‬ ‫באמצעות‬ ,‫נלווה‬ ‫טופס‬ ‫עם‬ ,‫נייר‬ ‫דפי‬ ‫על‬.‫המנחה‬ ‫של‬
‫שאלה‬1)25(‫נקודות‬
:‫בגרף‬ ‫מסלול‬ ‫לבניית‬ ‫אלגוריתם‬ ‫הנה‬ ,‫כלשהו‬ ‫גרף‬ ‫בהנתן‬
:‫פתיחה‬.‫המסלול‬ ‫מתחיל‬ ‫זה‬ ‫בצומת‬ .‫כרצוננו‬ ‫כלשהו‬ ‫צומת‬ ‫נבחר‬
:‫התקדמות‬‫רק‬ ‫נקפיד‬ ,‫כלשהי‬ ‫קשת‬ ‫לאורך‬ ‫ן‬ֵ‫כ‬‫ש‬ ‫לצומת‬ ‫נתקדם‬ ‫בו‬ ‫נמצאים‬ ‫שאנו‬ ‫מצומת‬
‫בה‬ ‫הלכנו‬ ‫שכבר‬ ‫קשת‬ ‫על‬ ‫לחזור‬ ‫לא‬.‫כרצוננו‬ ‫מהן‬ ‫אחת‬ ‫נבחר‬ ,‫אפשריות‬ ‫קשתות‬ ‫כמה‬ ‫יש‬ ‫אם‬ .
.‫בגרף‬ ‫להתקדם‬ ‫נמשיך‬ ,‫אפשרי‬ ‫זה‬ ‫עוד‬ ‫כל‬
:‫סיום‬‫ממנו‬ ‫להתקדם‬ ‫ניתן‬ ‫לא‬ ‫שכבר‬ ‫לצומת‬ ‫נגיע‬ ‫כאשר‬-.‫סיימנו‬
.‫שנוצר‬ ‫המסלול‬ (‫היא‬ ‫שלו‬ ‫התוצאה‬ ‫)כלומר‬ ‫את‬ ‫מחזיר‬ ‫האלגוריתם‬
)12('‫נק‬.‫א‬‫ש‬ ‫שבגרף‬ ‫הוכיחו‬‫זוגית‬ ‫דרגה‬ ‫בעלי‬ ‫צמתיו‬ ‫כל‬,‫מעגל‬ ‫תמיד‬ ‫מחזיר‬ ‫זה‬ ‫אלגוריתם‬
.(‫חיוני‬ ‫לא‬ ‫זה‬ ‫כי‬ ‫אם‬ ,‫פשוט‬ ‫שהגרף‬ ‫להניח‬ ‫)אפשר‬
)13('‫נק‬.‫ב‬‫שהאלגוריתם‬ ‫הראו‬ .‫אוילרי‬ ‫הוא‬ ‫זוגית‬ ‫דרגה‬ ‫בעלי‬ ‫צמתיו‬ ‫שכל‬ ‫קשיר‬ ‫גרף‬ ,‫כידוע‬
‫שהבאנו‬‫אינו‬‫מעגל‬ ‫להחזיר‬ ‫עשוי‬ ‫הוא‬ ‫כי‬ ,‫אוילר‬ ‫מעגל‬ ‫מציאת‬ ‫של‬ ‫הבעיה‬ ‫את‬ ‫פותר‬
:‫אוילר‬ ‫מעגל‬ ‫שאינו‬‫תנו‬‫דוגמא‬,‫זוגית‬ ‫דרגה‬ ‫בעלי‬ ‫צמתיו‬ ‫שכל‬ ,‫וקשיר‬ ‫פשוט‬ ‫לגרף‬
‫ומסלול‬‫שאינו‬‫היכן‬ ‫בבירור‬ ‫ציינו‬ .‫האלגוריתם‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫להתקבל‬ ‫שעשוי‬ ,‫אוילר‬ ‫מעגל‬
.‫שלכם‬ ‫המסלול‬ ‫תחילת‬
‫שאלה‬2)15(‫נקודות‬
‫שהוגדר‬ ‫לגרף‬ ‫מתייחסת‬ ‫השאלה‬‫ב‬‫ממ"ח‬05‫שאלה‬ ,3.‫הממ"ח‬ ‫פתרון‬ ‫על‬ ‫להסתמך‬ ‫אפשר‬ .
)5('‫נק‬.‫א‬‫יש‬ ‫האם‬‫הוכח‬ ?‫אוילר‬ ‫מעגל‬ ‫זה‬ ‫בגרף‬
)10('‫נק‬.‫ב‬‫הוכח‬ ?‫המילטון‬ ‫מעגל‬ ‫זה‬ ‫בגרף‬ ‫יש‬ ‫האם‬

42. ‫ת‬
G
G.
G.
‫"הקשתות‬ ‫הן‬
‫של‬ "‫יוחדות‬
‫של‬ ‫קשת‬ ‫ש‬G
‫של‬ ‫קשת‬ ‫ש‬G
‫לה‬ ‫נקרא‬ '‫ה‬ ‫יף‬
‫המי‬ ‫"קשתות‬
(.
{1,.
1 4j ‫יש‬
5 9j ‫יש‬
‫קשתות‬)‫ב‬‫סעי‬
"‫ה‬ ‫שלחמש‬ ‫ח‬
‫הקשתות‬ ‫מש‬
32
.
2,3,4,5,6,7,
1 i ‫וגם‬
5 i ‫וגם‬
‫ק‬ ‫חמש‬ ‫בדיוק‬
.‫מישורי‬ ‫ינו‬
‫נני‬ ‫בלבד‬ ‫זה‬ ‫ף‬
‫מחמ‬ ‫אחת‬ ‫כל‬
.‫הוכיחי‬
‫מושלם‬ ‫זיווג‬.
‫צמתים‬8,9}
‫המקיימים‬4
‫המקיימים‬9
‫ב‬ ‫ש‬-G‫ב‬ ‫עוד‬
‫של‬G.
.‫די‬
H.‫הוכח‬ ?
‫של‬H.
‫ש‬ ‫יחי‬-H‫א‬
,‫י‬G.‫בסעיף‬
‫של‬ ‫שכן‬ ‫שהוא‬
‫של‬ ‫יעה‬G?
(‫דות‬
‫קיים‬ ‫לא‬ ‫בא‬
(‫דות‬
‫ה‬ ‫קבוצת‬ ‫על‬
‫שונים‬ ‫ם‬i,j‫ה‬
‫שונים‬ ‫ם‬i,j‫ה‬
‫יש‬ ‫הללו‬ ‫שתות‬
‫ש‬ ‫המשלים‬ ‫רף‬
H‫דו‬ ‫הוא‬-‫צדד‬
‫של‬ ‫צביעה‬H
‫הקשתות‬ ‫פר‬
‫הוכי‬ ,‫קשיר‬
‫בגרף‬‫המקור‬
‫ותף‬‫ש‬ ‫)צומת‬
‫הצב‬ ‫מספר‬ ‫הו‬
‫ה‬3)15‫נקוד‬
‫הב‬ ‫בגרף‬ ‫כי‬ ‫חו‬
‫ה‬4)45‫נקוד‬
‫פשוט‬ ‫גרף‬ ‫וא‬
‫צמתים‬ ‫שני‬ ‫ל‬
‫צמתים‬ ‫שני‬ ‫ל‬
‫ף‬‫הקש‬ ‫כל‬ ‫על‬
.("‫חדות‬
H G‫הגר‬
‫ש‬ ‫הוכיחי‬-H
‫הצ‬ ‫מספר‬ ‫מהו‬
‫מספ‬ ‫את‬ ‫חשבי‬
‫ש‬ ‫בהנחה‬-H
‫לעסוק‬ ‫חזור‬‫ב‬
‫משו‬ ‫צומת‬ ‫ש‬
‫מה‬ ,‫זו‬ ‫בהנחה‬
‫שאלה‬
‫הוכיח‬
‫שאלה‬
G‫הו‬
‫כ‬ ‫בין‬
‫כ‬ ‫בין‬
‫בנוסף‬
‫המיוח‬
‫יהי‬
.‫א‬‫ה‬
.‫ב‬‫מ‬
‫ג‬.‫ח‬
‫ד‬.‫ב‬
.‫ה‬‫נ‬
‫י‬
‫ב‬