מורן אלקובי, profile picture
Uploaded byמורן אלקובי
2,506 views

מצגת בלוגיקה למדעי המחשב

מצגת הקורס בלוגיקה למדעי המחשב, שנה ב'. במצגת המקורית היו הרבה סימני שאלה [?] אשר נועדו לרמוז שיש צורך בהסבר נוסף. זוהי גירסה מלאה של המצגת, כל השאלות נפתרו וכל הדפים פורמטו מחדש על ידי.

Embed presentation

Downloaded 123 times
‫משפט 1: נוסחאות ‪ A‬ו- ‪ B‬שקולות אם ורק אם ‪ AB‬היא טאוטולוגיה.‬ ‫הוכחה. נובעת מן ההגדרות:‬ ‫כיוון ראשון: (נניח ‪ AB‬היא טאוטולוגיה.)‬ ‫מהגדרת ‪ A  B‬נובע ש)‪ I(A  B‬אמת רק אם )‪ ,I(A)=I(B‬ומכך שזוהי‬ ‫טאוטולוגיה נובע שזה נכון לכל ‪ .I‬לכן, בהכרח ל‪ A‬ול‪ B‬יש את אותם המודלים.‬ ‫ולכן מהגדרת השקילות ‪.A  B‬‬ ‫כיוון שני: (נניח ‪)A  B‬‬ ‫אם ‪ A‬שקול ל‪ ,B‬אז יש ל‪ A‬ול‪ B‬את אותם המודלים. ומכאן שכל פירוש של ‪A‬‬ ‫שווה לכל פירוש של ‪ .B‬לכן, מהגדרת ‪ ‬כל פירוש ‪ I‬יהיה מודל של ‪AB‬‬ ‫ומכאן שזוהי טאוטולוגיה.‬ ‫משפט 2: (שלמות פונקציונאלית). לכל פונקצית אמת קיימת נוסחה המגדירה אותה.‬ ‫הוכחה.‬ ‫תהיה ‪ f‬פונקצית אמת ‪-n‬מקומית.‬ ‫נגדיר }‪Hf={(a1,a2,…,an){F,T}n :f(a1,…,an)=T‬‬ ‫(תמונה הפוכה של ‪ T‬ביחס ל- ‪.)f‬‬ ‫לכל )‪ x=(a1,a2,…,an‬נשייך נוסחה ‪ ř1ř2… řn = Ax‬כך ש:‬ ‫‪ ři‬הוא ‪ ri‬אם ‪ ,T=ai‬אחרת ‪ ři‬הוא ‪ .¬ri‬אז פירוש ‪ l‬מספק את ‪ Ax‬אם"ם‬ ‫))‪,x=(l(r1),...,l(rn‬‬ ‫כלומר אם"ם ‪.I(r1) = a1, I(r2) = a2, …, I)rn) = an‬‬ ‫מהגדרת הקוניונקציה פירוש ‪ I‬ייתן ‪ I(Ax(=T‬אם"ם ‪ I(řj(=T‬לכל ‪ j‬ומהדרך בה‬ ‫הגדרנו את הליטרלים, זה יתקיים אך ורק מתי ש ‪ I(rj) = aj‬לכל ‪.j‬‬ ‫נגדיר ‪ Af= Ax1Ax2 … Axk‬עבור כל ‪ xi‬מ- ‪.Hf‬‬ ‫אז, לכל פירוש ‪ l(Af)=T ,l‬אם"ם קיים ‪ x  Hf‬כך ש ))‪x=(l(r1),...,l(rn‬‬ ‫זאת היות ומהגדרת הדיסיונקציה ‪ l(Af)=T‬אם"ם קיים ‪ Axj‬שעבורו‬ ‫‪ l(Axj)=T‬והראנו שזה מתקיים אם"ם ))‪,xj=(l(r1),...,l(rn‬‬ ‫ז"א )‪.f(l(r1(,…,l)rn))=l(Af‬‬
‫משפט 3: מסקנה. }‪ {¬, }, {¬, }, {¬, ‬הן קבוצות שלמות של קשרים.‬ ‫הוכחה.‬ ‫ממשפט השלמות הפונקציונאלית נובע שהקבוצה }‪ Q={¬, , ‬היא קבוצה‬ ‫שלמה של קשרים.‬ ‫( השתמשנו אך ורק בקשרים אלו והראנו שאנו יכולים לבנות כל פונקציית אמת).‬ ‫ע"מ להראות שהקבוצות הנתונות הן קבוצות שלמות של קשרים, מספיק להראות‬ ‫שנוכל לבנות באמצעותן את הקבוצה ‪.Q‬‬ ‫}‪ - {¬, ‬נוכל להשיג קוניונקציה ע"י (‪P  Q  ¬)¬P¬Q‬‬ ‫}‪ - {¬, ‬נוכל להשיג דיסיונקציה ע"י (‪P  Q  ¬)¬P¬Q‬‬ ‫}‪ - {¬, ‬נוכל להשיג דיסיונקציה ע"י ‪ P  Q  ¬P  Q‬וע"י כך נבנה את }‪.{¬, ‬‬
‫משפט 4: למה. }¬,‪ {‬היא קבוצה לא שלמה של קשרים.‬ ‫קוניונקציה יוצרת טבלת אמת בה יש מספר אי זוגי של שורות שנותנות ‪.T‬‬ ‫נוכיח באינדוקציה על כמות הקשרים כי כל טבלת אמת עם יותר מאטום אחד‬ ‫של נוסחה הבנויה מהקשרים }¬,‪ {‬הינה בעלת כמות זוגית של שורות‬ ‫המקבלות את הערך ‪ ,T‬ולכן לא ניתן לבנות קוניוקציה באמצעות קשרים אלו.‬ ‫בסיס: (קשר יחיד) הנוסחא היא מהצורה ‪ q  p‬או ‪. ¬p‬‬ ‫במצב זה טבלאות האמת יתאימו לטענה:‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪¬p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪qp‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הנחה: נניח כי עבור נוסחאות בעלות ‪ N‬קשרים או פחות (מהקבוצה }¬,‪,){‬‬ ‫הטענה מתקיימת, כלומר, יש כמות זוגית של שורות בטבלת האמת של‬ ‫נוסחאות אלו המקבלות ‪.T‬‬ ‫צעד: תהי ‪ A‬נוסחה בעלת 1+‪ N‬קשרים מהקבוצה }¬,‪,{‬‬ ‫א. ‪ ¬B‬ב. ‪B C‬‬ ‫אז ‪ A‬היא מהצורה:‬ ‫מקרה א. מהנחת האינדוקציה, ‪( B‬בעלת ‪ N‬קשרים) היא בעלת כמות זוגית‬ ‫של שורות בטבלת האמת שלה שנותנות ‪ .T‬ולכן, מהגדרת השלילה, ‪A‬‬ ‫תהיה בעלת מס' זוגי של שורות שיתנו ‪ ,F‬והיות ובטבלת אמת מס' זוגי של‬ ‫שורות סה"כ, אז גם מס' זוגי של שורות שיתנו ‪.T‬‬ ‫מקרה ב. נסמן ב*‪ B‬את קבוצת השורות של טבלת האמת של ‪ B‬שיתנו ‪,T‬‬ ‫ו*‪ ,C‬באופן דומה. מהנחת האינדוקציה |*‪ |B‬ו- |*‪ |C‬זוגיים, כלומר ‪,|B*| =2k‬‬ ‫‪ .|C*| =2t‬בסה"כ בטבלת האמת של ‪ A‬יש מספר זוגי של שורות ‪( 2m‬מהיותה‬ ‫טבלת אמת). כמות השורות שבהן ‪ A‬אמת היא כמות השורות בהן ‪ B‬ו-‪C‬‬ ‫שקר יחד, בנוסף לכמות השורות בהן ‪ B‬ו-‪ C‬אמת יחד, כלומר‬ ‫|*‪ 2m - |B*C*| + |B*C‬שורות בהן ‪ A‬נותנת אמת.‬ ‫אך מתקיים |*‪ ,|B*C*| = |B*| + |C*| - |B*C*| = 2k + 2t - |B*C‬ולכן‬ ‫|*‪ 2 m - |B*C*| + |B*C*| = 2 m - 2k - 2t + 2 |B*  C‬זוגי.‬
‫משפט 5: למה. }‪ {, ‬היא קבוצה לא שלמה של קשרים.‬ ‫(כי אי אפשר ליצור שלילה)‬ ‫הוכחה. להבדיל מ-‪ ,¬p‬כל נוסחה הבנויה מ- }‪ {, ‬היא אמיתית כאשר כל‬ ‫הפסוקים האטומיים שלה אמיתיים. [באינדוקציה על מספר הקשרים בנוסחה – נוכיח‬ ‫שתמיד אמת (אין מצב של שלילה)].‬ ‫טענה: כל נוסחה הבנויה מ }‪ {, ‬היא אמיתית כאשר כל הפסוקים האטומיים‬ ‫שלה אמיתיים.‬ ‫הוכחה: (באינדוקציה)‬ ‫בסיס: משתמשים ב-0 קשרים, אז הנוסחה היא מהצורה ‪ P‬כאשר ‪ P‬אטום ולכן‬ ‫כאשר ‪ P‬אמיתי, הנוסחה אמיתית.‬ ‫הנחה: כאשר אנו משתמשים ב-‪ n‬קשרים או פחות, אם כל הפסוקים האטומיים‬ ‫אמיתיים, אז גם הנוסחה אמיתית.‬ ‫צעד: תהי ‪ A‬נוסחה בעלת 1+‪ n‬קשרים, אם כך, ‪ A‬היא מהצורה:‬ ‫‪(a) B  C (b) B  C‬‬ ‫ב-‪ B‬וב-‪ C‬יש אם כך פחות מ1+‪ n‬קשרים, לכן, מהנחת האינדוקציה, כאשר כל‬ ‫הפסוקים האטומיים ב‪ A‬אמיתיים, אז גם ‪ B‬ו-‪ C‬אמיתיים ומכאן שלפי הגדרת‬ ‫הקשרים }‪ ,{, ‬גם ‪ A‬אמיתית.‬
‫משפט 6: מסקנה 1. כל נוסחה שקולה לנוסחה בצורת ‪.DNF‬‬ ‫הוכחה.‬ ‫אם ‪ f‬היא פונקצית אמת המוגדרת ע"י נוסחה ‪ , B‬אז הנוסחה ‪ Af‬שבנינו‬ ‫בהוכחת משפט השלמות הפונקציונאלית שקולה ל-‪ , B‬והיא בצורת ‪.DNF‬‬ ‫משפט 7: מסקנה 2. כל נוסחה שקולה לנוסחה בצורת ‪.CNF‬‬ ‫הוכחה.‬ ‫נניח ש- ‪ f‬היא פונקצית אמת המוגדרת ע"י נוסחה ‪ ,¬B‬ו- ‪ Af‬היא הנוסחה‬ ‫המקבילה ב-‪ . DNF‬אז ‪ ¬Af‬שקולה ל-‪ ,B‬וניתן להפוך ‪ ¬Af‬לנוסחה דואלית‬ ‫בצורת ‪ CNF‬כי השלילה של נוסחה שקולה לנוסחה דואלית שבה כל משתנה‬ ‫מוחלף בשלילה שלו, כל ‪ ‬מוחלף ב ‪ ‬ולהיפך כך שעוברים מ‪ DNF‬ל‪.CNF‬‬ ‫משפט 8: אלגוריתם ‪ HORN‬מכריע בעיית ספיקות לנוסחאות הורן.‬ ‫הוכחה. אם בנוסחת הורן ‪ A‬יש ‪ n‬אטומים, האלגוריתם מסיים בלא יותר מ-)1+‪(n‬‬ ‫צעדים. נוכיח:‬ ‫כל ‪ P‬מסומן הוא אמיתי בכל מודל של ‪ A‬באינדוקציה על מספר הצעדים של‬ ‫האלגוריתם. בסיס (צעד 1): ‪ T‬אמיתי בכל מודל.‬ ‫אם בפסוקית ‪ (Q1... Qn)P‬כל ‪ Qi‬מסומן, אז גם הפסוקית וגם כל ‪( Qi‬בהנחת‬ ‫אינדוקציה) חייבים להיות אמיתיים בכל מודל של ‪ .A‬לכן גם ‪ P‬חייב להיות‬ ‫אמיתי בכל מודל של ‪ A‬וזה נובע ישירות מהגדרת האימפליקציה.‬ ‫(א) אם ‪ ‬מסומן, ‪ A‬לא ספיקה, כי ‪ ‬לא יכול להיות אמיתי.‬ ‫(ב) אם ‪ ‬לא מסומן, נגדיר פירוש ‪ l‬שבו האטומים המסומנים, ורק הם, אמיתיים.‬ ‫נניח ש-‪ l‬הוא לא מודל של ‪ .A‬אז קיימת פסוקית ‪ (Q1... Qn)P‬של ‪ A‬שהיא‬ ‫שקרית ב- ‪.l‬אבל זה אפשרי רק כאשר כל ‪ Qi‬אמיתי (מסומן) ו-‪ P‬שקרי (לא‬ ‫מסומן) – סתירה זוהי סתירה לדרך בה הגדרנו את האלגוריתם, שכן בו אם‬ ‫)‪ (Q1... Qn‬מסומנים אז נסמן גם את ‪ P‬ולכן ‪ P‬חייב להיות אמיתי במודל ‪I‬‬ ‫ומכאן הסתירה. לכן ‪ l‬הוא מודל של ‪ A‬ומכאן ‪ A‬ספיקה.‬
‫משפט 8: אלגוריתם ‪ HORN‬מכריע בעיית ספיקות לנוסחאות הורן.‬ ‫הוכחה. (גירסה 2)‬ ‫טענה: במהלך האלגוריתם אנו מסמנים פסוקים ‪ P1... Pn‬הטענה שלנו היא‬ ‫שכל פסוק שסומן אמיתי בכל מודל של ‪ – A( A‬הנוסחה שלנו).‬ ‫נוכיח זאת באינדוקציה על מס' הצעדים של האלגוריתם.‬ ‫בסיס: בצעד הראשון אנחנו מסמנים את ‪ T‬ו-‪ T‬אמיתי בכל מודל.‬ ‫הנחה: בצעד ה-‪ ,n‬הפסוקים שסימנו עד כה אמיתיים בכל מודל של ‪.A‬‬ ‫צעד: בצעד ה-1+‪ n‬נבדוק אם בפסוקית מסויימת מהצורה ‪(Q1... Qn)  P‬‬ ‫כל ‪ Qi‬מסומן.‬ ‫אם כולם מסומנים אז על מנת שהפסוקית תהיה אמת בהכרח ‪ P‬חייב‬ ‫להיות אמת. אנו נמצאים ב‪ CNF‬ולכן ע"מ ש-‪ A‬יהיה אמיתי אז כל‬ ‫הפסוקיות חיבות להיות אמיתיות (מתכונת הקוניונקציה), לכן על מנת ש‪A‬‬ ‫יהיה אמיתי, ‪ P‬חייב להיות אמיתי ולכן ‪ P‬אמיתי בכל מודל של ‪.A‬‬ ‫הוכחנו שכל פסוק שמסומן באלגוריתם אמיתי בכל מודל.‬ ‫כעת נוכיח שכאשר האלגוריתם מסתיים, התשובה שהוא נותן נכונה.‬ ‫מקרה א': ‪ ‬מסומן. אם כך, אז ‪ A‬לא ספיקה, כי ‪ ‬לא יכול להיות אמיתי, וזה‬ ‫סותר את הטענה הקודמת.‬ ‫מקרה ב': ‪ ‬לא מסומן. נגדיר פירוש ‪ l‬שבו האטומים המסומנים, ורק הם,‬ ‫אמיתיים. נניח ש-‪ l‬הוא לא מודל של ‪ .A‬אז קיימת פסוקית ...‪(Q1‬‬ ‫‪ Qn)P‬של ‪ A‬שהיא שקרית ב- ‪.l‬אבל זה אפשרי רק כאשר כל ‪ Qi‬אמיתי‬ ‫(מסומן) ו-‪ P‬שקרי (לא מסומן) – סתירה זוהי סתירה לדרך בה הגדרנו את‬ ‫האלגוריתם, שכן בו אם )‪ (Q1... Qn‬מסומנים אז נסמן גם את ‪ P‬ולכן ‪P‬‬ ‫חייב להיות אמיתי במודל ‪ I‬ומכאן הסתירה.. לכן ‪ l‬הוא מודל של ‪ A‬ומכאן‬ ‫‪ A‬ספיקה.‬
‫משפט 9: (תכונות בסיסיות של גרירה)‬ ‫הוכחה.‬ ‫אם ‪ ,A ‬אז ‪. ╞ A‬‬ ‫1.‬ ‫אם ‪ I‬מודל שמספק כל ‪ ,Ai ‬אז הוא בוודאי מספק גם את ‪ ,A‬כי ‪.A ‬‬ ‫לכן, כל מודל שמספק את ‪ ‬מספק את ‪.A‬‬ ‫אם ‪ , ╞ A‬אז ‪. ,Δ╞ A‬‬ ‫2.‬ ‫נניח בשלילה ש‪ ╞ A‬אך ‪ , ,Δ╞ A‬אז קיים פירוש ‪ I‬עבורו כל ‪,Bi ‬‬ ‫וכל ‪ Bj  Δ‬אמיתיים, ו-‪ A‬שקרי. אם כל ‪ B ‬אמיתי בפירוש ‪,I‬‬ ‫אז מכך ש‪ ╞ A‬נובע שגם ‪ A‬אמיתי בפירוש ‪ - I‬וזוהי סתירה!‬ ‫(טרנזיטיביות) אם ‪ , ╞ A‬לכל ‪ ,A Δ‬ו-‪ , Δ╞ B‬אז ‪. ╞ B‬‬ ‫3.‬ ‫נניח בשלילה שלכל ‪ Ai  Δ‬מתקיים ‪ ╞ Ai‬ו- ‪ ,Δ╞ B‬אך ‪. ╞ B‬‬ ‫אז קיים פירוש ‪ I‬עבורו כל נוסחה ב‪ ‬אמיתית, אך ‪ B‬שקרית. אך מכך שלכל‬ ‫‪ Ai  Δ‬מתקיים ‪ , ╞ Ai‬אז כל ‪ Ai‬אמיתי בפירוש ‪ ,I‬ולכן מכך ש‪Δ╞ B‬‬ ‫נובע ש‪ B‬אמיתי בפירוש ‪ – I‬סתירה.‬
‫משפט 01: למות הקשרים - הוכחות‬ ‫קוניונקציה‬ ‫•‬ ‫)‪A,B ╞ A  B (i‬‬ ‫נניח בשלילה ‪ A,B ╞ A  B‬אז קיים פירוש ‪ I‬בו ‪I(A)=T, I(B)=T, I(A  B)=F‬‬ ‫וזאת בסתירה להגדרת הקוניונקציה.‬ ‫)‪A  B ╞ A ; A  B ╞ B (ii‬‬ ‫ללא הגבלת הכלליות, נניח בשלילה ‪ A  B ╞ A‬אז קיים ‪ I‬כך ש:‬ ‫‪ I(A)=F, I(A  B)=T‬בסתירה להגדרת הקוניונקציה.‬ ‫דיסיונקציה‬ ‫•‬ ‫(‪B╞ A  B ; A╞ A  B )i‬‬ ‫ללא הגבלת הכלליות, נניח בשלילה ‪ A╞ A  B‬אז קיים ‪ I‬כך ש:‬ ‫‪ I(A)=T, I(A  B)=F‬בסתירה להגדרת הדיסיונקציה.‬ ‫(‪ )ii‬אם ‪ ,A╞ C‬ו- ‪ , ,B╞ C‬אז ‪, AB╞ C‬‬ ‫נניח בשלילה ש ‪ ,A╞ C‬ו- ‪ , ,B╞ C‬ו ‪ , AB╞ C‬אז קיים ‪ I‬כך ש:‬ ‫לכל ‪ I(x)=T ,x‬ו- ‪ ,I(AB)=T‬אך ‪.I(C)=F‬‬ ‫מהגדרת דיסיונקציה, נובע ש‪ I(A)=T‬או ‪ .I(B)=T‬ללא הגבלת הכלליות, נניח‬ ‫‪ I(A)=T‬אך מכאן, שכל הנוסחאות ב‪ ,A‬מסופקות תחת פירוש ‪ I‬ולכן מהנתון‬ ‫מתקיים ‪ – I(C)=T‬סתירה.‬ ‫אימפליקציה‬ ‫•‬ ‫)‪ (i‬אם ‪ , ,A╞ B‬אז ‪╞ A →B‬‬ ‫נניח בשלילה ‪ ,A╞ B‬ו- ‪ ╞ A →B‬לכן קיים ‪ I‬כך ש:‬ ‫לכל ‪ I(x)=T ,x‬ו- ‪ I(A→B)=F‬אז מהגדרת האימפליקציה ‪ I(A)=T‬ו-‪ ,I(B)=F‬אך‬ ‫מכאן ש ‪ I‬מספק את ‪ ,A‬ולכן מההנחה ‪ – I(B)=T‬סתירה.‬ ‫)‪A, A  B╞ B (ii‬‬ ‫נניח בשלילה ‪ A, A  B╞ B‬אז קיים ‪ I‬כך ש: ‪ I(A→B)=T ,I(A)=T‬ו- ‪ I(B)=F‬וזאת‬ ‫בסתירה להגדרת האימפליקציה.‬
‫משפט 01: למות הקשרים – הוכחות‬ ‫שלילה ושקר‬ ‫•‬ ‫)‪ (i‬אם ‪ ,,A╞ ‬אז ‪╞ ¬A‬‬ ‫נניח בשלילה ‪ ,,A╞ ‬ו- ‪ ╞ ¬A‬אז קיים ‪ I‬עבורו לכל ‪ I(x)=T , x‬ו- ‪I(¬A(=F‬‬ ‫כלומר ‪ .I(A)=T‬מכאן ש-‪ I‬מספק את ‪ ,,A‬אך מכאן שלפי הנתון מתקיים ‪I()=T‬‬ ‫וזאת בסתירה להגדרת ‪.‬‬ ‫)‪¬¬A╞ A (ii‬‬ ‫נניח בשלילה ‪ ¬¬A╞ A‬אז קיים ‪ I‬כך ש ‪ I(¬¬A(=T‬ו- ‪ I(A)=F‬אך מהגדרת שלילה‬ ‫נובע: ‪ I(¬¬A(=T  I(¬A(=F  I(A)=T‬ולכן מ‪ I(A)=T‬נובעת סתירה.‬ ‫‪╞ A‬‬ ‫)‪(iii‬‬ ‫אין פירוש ‪ I‬שמספק ‪ ‬ולכן מתקיים בצורה ריקה שכל פירוש שמספק ‪ ‬מספק גם‬ ‫כל דבר אחר.‬ ‫משפט 11: מסקנה. ‪ A╞ B‬אם"ם ‪ A →B‬היא טאוטולוגיה.‬ ‫כיוון 1: נניח בשלילה ‪ A╞ B‬אך ‪ A →B‬לא טאוטולוגיה.‬ ‫אז קיים פירוש ‪ I‬שבו ‪ I(A →B(=F‬ולכן ‪,I(B)=F, I(A)=T‬‬ ‫מהגדרת →, בסתירה ל ‪ A╞ B‬שאומר שעבור כל ‪ I‬שמקיים ‪ I(A)=T‬מתקיים גם‬ ‫‪ .I(B)=T‬לכן הכיוון הראשון מתקיים.‬ ‫כיוון 2: נניח בשלילה ‪ A╞ B‬אך ‪ A →B‬טאוטולוגיה.‬ ‫אז קיים פירוש ‪ I‬כך ש ‪ I(B)=F, I(A)=T‬ולכן מהגדרת → נובע ‪I)A →B(=F‬‬ ‫בסתירה להיותה טאוטולוגיה ולכן הכיוון השני מתקיים.‬
‫משפט 21: טענת עזר. תהי ‪ Δ‬קבוצה עקבית-סופית ויהי ‪ A‬פסוק כלשהו, אז }‪Δ{A‬‬ ‫או }‪ Δ{¬A‬היא ע"ס.‬ ‫הוכחה. נניח בשלילה שקיימת קבוצה ‪ Δ‬ע"ס ופסוק ‪ A‬כך ש }‪ Δ{A‬וגם }‪ Δ{¬A‬לא‬ ‫ע"ס. אז, ‪ Δ‬חייבת לכלול קבוצות סופיות +‪ Δ‬ו- -‪ Δ‬כך שגם }‪ Δ+{A‬וגם -‪Δ‬‬ ‫}‪ {¬A‬לא עקביות. אבל +‪ Δ-Δ‬היא קבוצה עקבית‬ ‫כי ‪ Δ-Δ+  Δ‬וסופי ו‪ Δ‬ע"ס, ולכן יש ל+‪ Δ-Δ‬מודל ‪.I‬‬ ‫עכשיו, ‪ I‬מספק או ‪ A‬או ‪ ,¬A‬לכן }‪ Δ+{A‬או }‪ Δ-{¬A‬היא עקבית – סתירה.‬ ‫משפט 31: הקומפקטיות.‬ ‫כל קבוצה לא עקבית של פסוקים מכילה תת-קבוצה סופית לא עקבית.‬ ‫הוכחה. תהי ‪ ‬קבוצה ע"ס, ונניח ש- …,‪ A1,A2,…,An‬היא מניה של כל הנוסחאות‬ ‫בשפה. נגדיר רשימה של קבוצות ‪Δ0 =‬‬ ‫}1+‪ ,Δn{An‬אם ע"ס‬ ‫}1+‪ Δn{¬An‬אחרת‬ ‫‪‬‬ ‫1+‪= Δn‬‬ ‫לפי טענת עזר, כל ‪ Δn‬היא ע"ס. נגדיר ‪ .Δ= U Δn‬אז ‪ Δ‬היא ע"ס, כי כל תת-קבוצה‬ ‫סופית שלה היא גם תת-קבוצה של ‪ Δn‬כלשהי ו‪ Δn‬ע"ס.‬ ‫כעת, נראה ש-‪ Δ‬היא עקבית:‬ ‫‪ I(p)=T‬אם"ם ‪p Δ‬‬ ‫נגדיר פרוש ‪:I‬‬ ‫אם ‪ ,A Δ‬לכל פסוק אטומי ‪ r‬ב-‪ ,A‬נגדיר ‪ ř‬כ- ‪ r‬כאשר ‪ ,r Δ‬אחרת ‪ ř‬הוא ‪.¬r‬‬ ‫אז ‪ {ř1, ř2,…, řn,A}  Δ‬היא עקבית בגלל שהיא סופית ו‪ Δ‬ע"ס,‬ ‫ולכן יש לה מודל שמתלכד עם ‪ I‬על אטומים של ‪.A‬‬ ‫מכאן, ‪ I(A)=T‬זאת היות ו‪ A‬היא פונקציה של ‪ r1,…, rn‬ולכן הערך ש-‪ I‬יתן ל‪ A‬נקבע‬ ‫חד משמעית מרגע שנקבעו ערכי האטומים והוא חייב להיות זהה לערך של המודל‬ ‫שלנו. ולכן ‪ I‬הוא מודל של ‪ .Δ‬אז ‪ ‬היא עקבית.‬ ‫משפט 41: מסקנה. ‪ ╞ A‬אם ורק אם ‪ ‬מכילה קבוצה סופית 0‪ ‬כך ש- ‪. 0╞ A‬‬ ‫הוכחה. ‪ ╞ A‬אם"ם ‪,¬A╞ ‬‬ ‫נובע מתכונות של גרירה וניתן להוכחה באופן דומה ללמות הקשרים,‬ ‫אם"ם }‪  {¬A‬מכילה תת-קבוצה סופית לא עקבית }‪0 {¬A‬‬ ‫כיוון 1: מכך ש ‪ ,¬A╞ ‬נובע }‪  {¬A‬לא עקבית ולכן ממשפט הקומפקטיות יש‬ ‫לה תת קבוצה סופית לא ספיקה 0‪ ‬ולכן גם }‪ 0 {¬A‬לא ספיקה.‬ ‫כיוון 2: מכך ש}‪ 0 {¬A‬לא ספיקה נובע שגם קבוצה שמכילה אותה לא ספיקה‬ ‫(}‪ ) {¬A‬ולכן ‪ ,,¬A╞ ‬אם"ם ‪,0 ,¬A╞ ‬‬ ‫אם"ם ‪ 0╞ A‬נובע מתכונות של גרירה.‬
‫משפט 51: אם ‪ ,├ A‬אזי ‪.╞ A‬‬ ‫דדוקציה טבעית היא מערכת נאותה (מבוססת).‬ ‫הוכחה. באינדוקציה על אורך ההוכחות.‬ ‫בסיס: 1=‪ .n‬אז ‪ ,A ‬ולכן ‪.╞ A‬‬ ‫נניח שאם ל- ‪ Δ├ B‬יש הוכחה באורך <‪ ,n‬אז ‪ .Δ╞ B‬ניקח הוכחה של ‪ A‬מ-‪‬‬ ‫באורך ‪ :n‬יש 01 מיקרים בהתאם לאיזה כלל הסק הופעל אחרון כדי לקבל ‪. A‬‬ ‫(‪ AB )i‬התקבל מ- ‪ A‬ו-‪ .B‬אז ‪ ╞ A‬ו- ‪ ╞ B‬כי הפעלנו פחות מ-‪ n‬צעדים ע"מ‬ ‫להגיע ל-‪ A‬ול-‪ B‬ולכן מהנחת האינדוקציה הם נגררים מ‪, ‬‬ ‫ולכן ‪ ╞ AB‬מלמת הקוניונקציה )‪.(i‬‬ ‫(‪ A )e‬התקבל ב-‪ e‬מ- ‪ .AB‬אז ‪ ╞ AB‬בהנחת אינדוקציה, ולכן ‪╞ A‬‬ ‫מלמת הקוניונקציה )‪ (ii‬וטרנזיטיביות של גרירה.‬ ‫(‪ C )e‬התקבל מ- ‪ AB‬ושתי תת-הוכחות. אז מהנחת אינדוקציה ‪,╞ AB‬‬ ‫‪ ,B╞ C ,,A╞ C‬ולכן ‪ , AB╞ C‬מלמת הדיסיונקציה )‪ .(ii‬מכאן נובע‬ ‫‪ ╞ C‬בטרנזיטיבטות של גרירה.‬ ‫)‪ AB (i‬התקבל ע"י ‪( A‬או ‪ )B‬שהופיע באחת השורות הקודמות, ולכן מהנחת‬ ‫האינדוקציה ‪( ╞ A‬או ‪ )╞ B‬ומכאן שלפי למת הדיסיונקציה (‪╞ A  B )i‬‬ ‫)‪ A →B (→i‬התקבל ע"י כך שניתנה בשורות הקודמות תת הוכחה, שלה נוספה‬ ‫הנחה ‪ A‬ולכן מהנחת האינדוקציה ‪ , A╞ B‬ולכן מלמת האימפליקציה (‪)i‬‬ ‫‪╞ A → B‬‬ ‫(‪ B (→e‬התקבל ע"י ‪ A‬ו- ‪ A →B‬שהופיע בשורות קודמות ולכן מהנחת‬ ‫האינדוקציה ‪ ╞ A, A →B‬ומלמת האימפליקציה (‪ A, A →B ╞ B )ii‬ולכן‬ ‫מטרנזיטיביות של גרירה ‪.╞ B‬‬ ‫(‪ ¬A )¬i‬התקבל ע"י כך שניתנה בשורות הקודמות תת הוכחה לה נוספה ההנחה ‪A‬‬ ‫וממנה הגענו ל‪ .‬מהנחת האינדוקציה: ‪ A,╞ ‬ולכן מלמת השלילה והשקר‬ ‫)‪ (i‬נובע ‪.╞ ¬A‬‬ ‫(‪  )¬e‬התקבל ע"י ‪ A‬ו ‪ ¬A‬בשורות קודמות. לכן מהנחת האינדוקציה ‪ ╞ A‬לכן‬ ‫מתכונות של גרירה נובע ‪ , ¬A╞ ‬כמו כן מהנחת האינדוקציה ‪ ╞ ¬A‬ולכן‬ ‫מטרנזיטיביות ‪.╞ ‬‬ ‫(‪ A )¬¬e‬התקבל ע"י ‪ ¬¬A‬בשורות קודמות ולכן מהנחת האינדוקציה‬ ‫ומטרנזיטיביות של גרירה ‪ ╞ ¬¬A‬ולכן מלמת השלילה והשקר (‪.╞A )ii‬‬ ‫(‪ A )e‬התקבל ע"י ‪ ‬בשורות קודמות ולכן מהנחת האינדוקציה ‪ ╞ ‬ולכן מלמת‬ ‫השלילה והשקר )‪ (iii‬ומטרנזיטיביות של גרירה ‪.╞A‬‬
‫משפט 61:‬ ‫מסקנה. תהליך הרזולוציה נאות: כל פסוקית שנגזרה מקבוצת פסוקיות ‪ ‬ע"י‬ ‫‪ ,‬אז ‪. A ├ ‬‬‫תהליך הרזולוציה, נובעת לוגית מ-‪ :‬אם )‪Res(A‬‬ ‫הוכחה: ניתן להראות (}‪ C, C1├ (C{p})U(C1{¬p‬בדדוקציה טבעית.‬ ‫נסמן: ‪C1 =B¬p ,C=Ap‬‬ ‫וכמו כן, ‪ p,¬p ├ ‬בדדוקציה טבעית ולכן כל אחד מהצעדים בתהליך הרזולוציה‬ ‫מוצדק ע"י דדוקציה טבעית, כך שאם הגענו ‪ ‬אז ‪.A ├ ‬‬ ‫ל‬ ‫‪.‬‬‫משפט 71: אם נוסחה ‪ A‬לא ספיקה, אז )‪Res(A‬‬ ‫הוכחה. אינדוקציה על מספר המשתנים ב-‪.A‬‬ ‫בסיס: (משתנה יחיד ‪ )p‬במקרה זה אך ורק נוסחה ‪ {{¬p},{p}}  A‬לא ספיקה.‬ ‫}‪{ p} {p‬‬ ‫‪ ‬מתוך שימוש בכלל הרזולוציה‬ ‫לכן )‪Res(A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ונוכיח ש-‪ A‬היא ספיקה.‬ ‫צעד: תהי ‪ A‬נוסחה בעלת ‪ n‬משתנים כך ש- )‪Res(A‬‬ ‫אם ‪ p‬הוא משתנה ב-‪ ,A‬אז )‪ {¬p}Res(A‬או )‪( {p}Res(A‬אחרת‬ ‫‪ .)‬נניח ש- )‪( {¬p}Res(A‬מקרה )‪ {p}Res(A‬הוא דומה ללא‬ ‫)‪Res(A‬‬ ‫הגבלת הכלליות, כי אם נניח )‪ {p}Res(A‬אז הטיעון ישאר זהה, רק ‪ p‬ו-‪¬p‬‬ ‫יתחלפו).‬ ‫}‪Ap={C¬p} | CA, pC‬‬ ‫נגדיר נוסחה‬ ‫‪ ‬זאת משום שאם‬ ‫‪ ,‬כי אחרת )‪ {¬p}Res(A‬או )‪Res(A‬‬ ‫אז )‪Res(Ap‬‬ ‫נבנה עץ הפרכה ל‪ Ap‬ונקבל בסופו‪ ‬אז אותו עץ ישאר זהה ב‪ A‬מלבד אולי‬ ‫תוספת של ‪ ¬p‬בקבוצות השונות, לכן באותו העץ או שישאר‪ ‬או שיוחלף ב‬ ‫‪ ‬ו- )‪. {¬p}Res(A‬‬‫}‪ ,{¬p‬אך נתון )‪Res(A‬‬ ‫‪ Ap‬בעלת 1-‪ n‬משתנים, (הורדנו את ‪ p‬מ-‪ )A‬מהנחת האינדוקציה, ‪ Ap‬ספיקה‬ ‫ולכן יש פירוש מספק ‪ I‬לכל המשתנים שלה. נרחיב ‪ I‬לפירוש של ‪ A‬ע"י קביעה‬ ‫‪ .I(p)=T‬ברור שאז ‪ I‬יהיה מודל של ‪ A‬שכן לכל ‪ CA‬או ‪ pC‬ואז ‪ C‬מסופקת‬ ‫או ‪ C{¬p} Ap‬ולכן מהגדרת ‪ I‬שוב ‪ C‬מסופקת ומכאן ש ‪ A‬ספיקה.‬
‫משפט 81: אם ‪ ,╞ A‬אזי ‪ ├ A‬בדדוקציה טבעית.‬ ‫הוכחה. אם ‪ ,╞ A‬אז ‪ ,¬A╞ ‬ולפי למת הקומפקטיות ‪ ‬מכילה קבוצה סופית‬ ‫}‪ {B1, B2,…,Bn‬כך ש ‪ ¬A .B1, B2,…,Bn,¬A╞ ‬וכל ‪ Bi‬ניתן להפוך לנוסחאות‬ ‫שקולות ’‪ A‬ו-‪ B’i‬בצורת ‪ CNF‬כך ש ’‪ ¬A├ A‬ו- ’‪ Bi├ Bi‬בדדוקציה טבעית‬ ‫המעבר ל‪ CNF‬מתבצע ב-3 שלבים אותם הוכחנו בדוגמאות קודמות:‬ ‫(1) סילוק אימפליקציה‬ ‫(2) הכנסת שלילה‬ ‫(3) פריסה‬ ‫‪‬‬‫בגלל שקבוצה }’‪ {B’1, B’2,…,B’n, A‬היא לא ספיקה, )‪Res)A’UB’1U… UB’n‬‬ ‫ממשפט הרזולוציה, ומכאן ‪ B’1, B’2,…,Bn, A’├ ‬בדדוקציה טבעית. לכן:‬ ‫‪ B1, B2,…,Bn,¬A├ ‬ואז ‪( B1,B2,…,Bn ├ A‬הכנסת ¬ וסילוק ¬¬). לכן ‪.├ A‬‬ ‫משפט 91: למה 1א אם }‪ {Γ,xA‬היא קבוצה ספיקה,‬ ‫אז }]‪ {Γ,xA,A[c/x‬היא גם ספיקה.‬ ‫הוכחה. אם ‪ M‬הוא מודל של }‪ {Γ,xA‬בהשמה ‪ ,l‬נגדיר מודל ’‪ M‬בכך שנקבע‬ ‫)‪ M’ .cM=l(x‬הוא מודל של }]‪.{Γ,xA,A[c/x‬‬ ‫הוכחה (גירסה שניה). מהנתון }‪ {Γ,xA‬ספיקה. לכן קיימים מודל ‪ M‬והשמה ‪ I‬כך‬ ‫ש ‪ ,M,I ╞ xA‬מהגדרת הספיקות נובע שקיימת השמה '‪ I‬השונה מ- ‪ I‬לכל היותר‬ ‫ב-‪ x‬כך ש ‪.M,I’ ╞ A‬‬ ‫נגדיר מודל ’‪ M‬בכך שנקבע (‪cM’=I’)x‬‬ ‫מכאן ש ’‪ M‬הוא מודל של }]‪{Γ,xA,A[c/x‬‬ ‫משפט 02: למה 1ב. אם }‪ {Γ,¬xA‬היא ספיקה,‬ ‫אז }]‪ {Γ,¬xA,¬A[c/x‬היא גם ספיקה.‬ ‫הוכחה. מהנתון }‪ {Γ, ¬xA‬ספיקה. לכן קיימים מודל ‪ M‬והשמה ‪ I‬כך‬ ‫ש ‪ ,M,I ╞ ¬xA‬מהגדרת הספיקות נובע שקיימת השמה '‪ I‬השונה מ- ‪ I‬לכל היותר‬ ‫ב-‪ x‬כך ש ‪.M,I’ ╞ ¬A‬‬ ‫נגדיר מודל ’‪ M‬בכך שנקבע (‪cM’=I’)x‬‬ ‫מכאן ש ’‪ M‬הוא מודל של }]‪{Γ, ¬xA, ¬A[c/x‬‬
‫משפט 12: הקומפקטיות.‬ ‫כל קבוצה לא ספיקה של פסוקים מכילה תת-קבוצה סופית לא ספיקה.‬ ‫הוכחה. לפי למה 1, כל ‪ Δn‬היא ע"ס. נגדיר ‪ .Δ= U Δn‬אז ‪ Δ‬היא ע"ס (למה?). נוכיח‬ ‫ש- ‪ Δ‬היא ספיקה. נגדיר מודל ארברן ‪ M‬בשפה המורחבת: עבור קבוע ‪.aM=a ,a‬‬ ‫)‪f M(t1,…,tn)= f (t1,…,tn‬‬ ‫עבור סימן פונקציה ‪ f‬ושמות עצם ‪,t1,…,tn‬‬ ‫עבור סימן היחס ‪ PM={(t1,…,tn) | P(t1,…,tn)Δ} ,P‬אז ‪ tM=t‬לכל שם עצם סגור ‪,t‬‬ ‫ולכן ‪ M‬הוא מודל של ארברן. נוכיח ש-‪ M‬הוא מודל של ‪ Δ‬באינדוקציה על מורכבות‬ ‫הפסוקים.‬ ‫בסיס. אם )‪ P(t1,…,tn‬הוא פסוק אטומי ו- ‪ ,]¬[P(t1,…,tn)Δ‬אז )‪M╞ ]¬[P(t1,…,tn‬‬ ‫מההגדרה.‬ ‫צעד אינדוקטיבי. (1) נניח ש- ‪ A Δ‬הוא פסוק מורכב מפסוקים }‪ {B1,...Bn‬בעזרת‬ ‫הקשרים. נגדיר ‪ B’i‬כ- ‪ Bi‬כאשר ‪ ,Bi Δ‬אחרת ‪ B’i‬הוא ‪ .¬Bi‬אז ‪ M╞ B’i‬בהנחת‬ ‫אינדוקציה. אבל ‪ {B’1,...B’n,A}  Δ‬ספיקה, ולכן יש לה מודל. מכאן,‬ ‫‪ B’1,...B’n╞ A‬בתחשיב הפסוקים ולכן ‪.M╞ A‬‬ ‫(2) אם ‪ ,xBΔ‬אז קיים קבוע חדש ‪ cn‬כך ש- ‪ B[cn/x]Δ‬ולכן ]‪ M╞ B[cn/x‬בהנחת‬ ‫אינדוקציה. אז ‪ M╞ xB‬בהגדרת ספיקות. אותו דבר לגבי ‪.¬xBΔ‬‬ ‫(3) אם ‪ ,xBΔ‬אז ‪ B[t/x]Δ‬לכל שם עצם סגור ‪ ,t‬כי }]‪ {xB,¬B[t/x‬היא קבוצה‬ ‫לא ספיקה. לכן ]‪ M╞ B[t/x‬בהנחת אינדוקציה ואז ‪ M╞ xB‬בהגדרת ספיקות.‬ ‫הוכחנו ש-‪ M‬הוא מודל של ‪ Δ‬ולכן ‪ ‬היא ספיקה.‬ ‫אותו דבר לגבי ‪.¬xBΔ‬‬
‫משפט 22: למה. אם ‪ As‬היא סקולמיזציה של נוסחה ‪ ,A‬אז ‪ A‬ספיקה אם ורק אם‬ ‫‪ As‬ספיקה.‬ ‫הוכחה. נניח ש- ‪ A= x1…xk-1 xkB‬ו-‬ ‫]‪.As= x1…xk-1B[f(x1,…,xk-1)/xk‬‬ ‫א) נוכיח ‪ .AS╞ A‬נניח בשלילה ש‪ AS A‬אז ל-‪ As‬יש מודל ‪ M‬שאינו מודל של ‪.A‬‬ ‫אז מצד אחד קיימת השמה 1‪ I‬כך ש: ‪ , M, I1 A = x1…xk-1 xkB‬ולכן‬ ‫קיימות השמות ‪ I2 ,…, Ik‬כשכל ‪ Ii‬שונה מ- 1-‪ Ii‬לכל היותר ב ‪ xi‬כך שייתקבל‬ ‫‪M, I2 x2…xk-1 xkB‬‬ ‫⁞⁞‬ ‫‪M, Ik xkB‬‬ ‫מצד שני ‪ M, Ik ╞ AS‬ולכן מהגדרת הספיקות ]‪.M, Ik ╞ B[f(x1,…,xk-1)/xk‬‬ ‫אז אם נגדיר ‪ I‬כהשמה הזהה ל ‪ Ik‬בכל ערך מלבד ‪ xk‬כאשר‬ ‫))1-‪ ,I(xk)= Ik(f(x1 ,…,xk‬אז נקבל ‪ – M, I ╞ B‬סתירה.‬ ‫כתוצאה, אם ‪ As‬ספיקה, אז ‪ A‬ספיקה.‬ ‫ב) נניח ש- )‪ A= x1…xk-1 xkB(x1,…,xk-1,xk‬ספיקה. אז קיים מודל ‪ M‬שבו‬ ‫לכל 1-‪ k‬אובייקטים )1-‪ (a1,…,ak‬קיים ‪ ak‬כך שמתקיים ‪.(a1,…,ak-1,ak)  BM‬‬ ‫נגדיר פרוש של ‪ f‬ב-‪ M‬כך ש )1-‪ a=fM(a1,…,ak‬רק אם )‪ .BM(a1,…,ak-1,a‬אז‬ ‫))1-‪ BM(a1,…,ak-1,f(a1,…,ak‬לכל 1-‪ ,a1,…,ak‬ולכן ‪ M‬הוא מודל של‬ ‫]‪ ,x1…xk-1B[f(x1,…,xk-1)/xk‬ז"א ‪ AS‬ספיקה.‬ ‫משפט 32: נוסחה בצורת סקולם בשפה הכוללת לפחות קבוע אחד היא‬ ‫ספיקה אם ורק אם יש לה מודל של ארברן באותה שפה.‬ ‫הוכחה. אם ‪ A‬היא נוסחה ספיקה בצורת סקולם, אז יש לה מודל של ארברן ‪M‬‬ ‫בשפה המורחבת. נבנה מודל חדש 1‪ M‬בכך שנגביל תחום של ‪ M‬לשמות‬ ‫עצם סגורים בשפה של ‪ A‬בלבד. בגלל ש-‪ A‬היא בצורת סקולם, ברור ש-‬ ‫1‪ M‬הוא גם מודל של ‪.A‬‬

More Related Content

PDF
מצגת לוגיקה מלאה חלק 3 מתוך 3
byמורן אלקובי
 
PDF
טורי חזקה
byמורן אלקובי
 
PDF
מצגת לוגיקה מלאה חלק 2 מתוך 3
byמורן אלקובי
 
PDF
מתמטיקה דיסקרטית - תורת הקבוצות - פעולות
byמורן אלקובי
 
PDF
מתמטיקה דיסקרטית - תורת הקבוצות - הגדרות
byמורן אלקובי
 
PDF
מתמטיקה דיסקרטית - קבוצות קשרים, דואליות
byמורן אלקובי
 
PDF
מצגת לוגיקה מלאה חלק 1 מתוך 3
byמורן אלקובי
 
PDF
מתמטיקה דיסקרטית - לוגיקה
byמורן אלקובי
 
מצגת לוגיקה מלאה חלק 3 מתוך 3
byמורן אלקובי
 
טורי חזקה
byמורן אלקובי
 
מצגת לוגיקה מלאה חלק 2 מתוך 3
byמורן אלקובי
 
מתמטיקה דיסקרטית - תורת הקבוצות - פעולות
byמורן אלקובי
 
מתמטיקה דיסקרטית - תורת הקבוצות - הגדרות
byמורן אלקובי
 
מתמטיקה דיסקרטית - קבוצות קשרים, דואליות
byמורן אלקובי
 
מצגת לוגיקה מלאה חלק 1 מתוך 3
byמורן אלקובי
 
מתמטיקה דיסקרטית - לוגיקה
byמורן אלקובי
 

Similar to מצגת בלוגיקה למדעי המחשב

PDF
אינדוקציה
byoritzeichner
 
PDF
סיכום בתחשיב היחסים
bycsnotes
 
PDF
כלים מתמטיים - הוכחות משפטים
byמורן אלקובי
 
PPT
236363 ra
byJ00MZ
 
PDF
2013 summer A 806 a
bybagrutonline
 
PDF
תזכורת לגבי הוכחות בשיטת האלכסון
bycsnotes
 
PDF
סיכום הקורס במבנים אלגבריים
bycsnotes
 
PDF
מבני נתונים
bycsnotes
 
PDF
806 חוורף 2012
bybagrutonline
 
PDF
נספח נוסחאות אלגברה לינארית
bycsnotes
 
PDF
Calculus1.pdf
bycsnotes
 
PDF
2011 summer A 806 q
bybagrutonline
 
PDF
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
bycsnotes
 
PDF
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
bycsnotes
 
PDF
806 קיץ ב 2011
bybagrutonline
 
PDF
סיכום קצר של דברים מתוך הקורס בתורת החישוביות
bycsnotes
 
DOC
Log08b
byVika Bakman
 
PDF
סיכום במורכבות החישובים
bycsnotes
 
PDF
806 קיץ 2012
bybagrutonline
 
PDF
806 2
bybagrutonline
 
אינדוקציה
byoritzeichner
 
סיכום בתחשיב היחסים
bycsnotes
 
כלים מתמטיים - הוכחות משפטים
byמורן אלקובי
 
236363 ra
byJ00MZ
 
2013 summer A 806 a
bybagrutonline
 
תזכורת לגבי הוכחות בשיטת האלכסון
bycsnotes
 
סיכום הקורס במבנים אלגבריים
bycsnotes
 
מבני נתונים
bycsnotes
 
806 חוורף 2012
bybagrutonline
 
נספח נוסחאות אלגברה לינארית
bycsnotes
 
Calculus1.pdf
bycsnotes
 
2011 summer A 806 q
bybagrutonline
 
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
bycsnotes
 
סיכום של הקורס אוטומטים ושפות פורמליות
bycsnotes
 
806 קיץ ב 2011
bybagrutonline
 
סיכום קצר של דברים מתוך הקורס בתורת החישוביות
bycsnotes
 
Log08b
byVika Bakman
 
סיכום במורכבות החישובים
bycsnotes
 
806 קיץ 2012
bybagrutonline
 
806 2
bybagrutonline
 

More from מורן אלקובי

PDF
Java - OOP - Exceptions Handling
byמורן אלקובי
 
PDF
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - רב צורתיות
byמורן אלקובי
 
PDF
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - מתודות - דריסה/חפיפה, העמסה ומתודות בונות
byמורן אלקובי
 
PDF
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - ממשקים
byמורן אלקובי
 
PDF
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - מחלקות פנימיות - רגילות, אנונימיות וסטטיות
byמורן אלקובי
 
PDF
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - הורשה
byמורן אלקובי
 
PDF
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - מחלקות ואובייקטים
byמורן אלקובי
 
PDF
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - משתנים מטיפוס מחלקה והמרת טיפוסים למעלה/למטה
byמורן אלקובי
 
PDF
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - מצייני גישה/רמות חשיפה
byמורן אלקובי
 
PDF
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - מתודות - שליפה והכנסה, סטטיות, סופיות ומתודות שע...
byמורן אלקובי
 
PDF
MySQL - מילון השאילתא
byמורן אלקובי
 
PDF
SQL - שפת הגדרת הנתונים
byמורן אלקובי
 
PDF
SQL - מודל הנתונים
byמורן אלקובי
 
PDF
SQL - אלגברה של יחסים
byמורן אלקובי
 
PDF
SQL - מודל ישויות קשרים
byמורן אלקובי
 
PDF
MySQL - מרכיבי השאילתא
byמורן אלקובי
 
PDF
בדרך לפולימורפיזם - Using Virtual/Pure Virtual
byמורן אלקובי
 
PDF
בדרך לפולימורפיזם - העמסת ועקיפת פונקציות
byמורן אלקובי
 
PDF
הורשה והיררכיה של מחלקות
byמורן אלקובי
 
PDF
תכנות מונחה עצמים - מחלקות
byמורן אלקובי
 
Java - OOP - Exceptions Handling
byמורן אלקובי
 
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - רב צורתיות
byמורן אלקובי
 
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - מתודות - דריסה/חפיפה, העמסה ומתודות בונות
byמורן אלקובי
 
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - ממשקים
byמורן אלקובי
 
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - מחלקות פנימיות - רגילות, אנונימיות וסטטיות
byמורן אלקובי
 
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - הורשה
byמורן אלקובי
 
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - מחלקות ואובייקטים
byמורן אלקובי
 
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - משתנים מטיפוס מחלקה והמרת טיפוסים למעלה/למטה
byמורן אלקובי
 
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - מצייני גישה/רמות חשיפה
byמורן אלקובי
 
ג'אווה - תכנות מונחה עצמים - מתודות - שליפה והכנסה, סטטיות, סופיות ומתודות שע...
byמורן אלקובי
 
MySQL - מילון השאילתא
byמורן אלקובי
 
SQL - שפת הגדרת הנתונים
byמורן אלקובי
 
SQL - מודל הנתונים
byמורן אלקובי
 
SQL - אלגברה של יחסים
byמורן אלקובי
 
SQL - מודל ישויות קשרים
byמורן אלקובי
 
MySQL - מרכיבי השאילתא
byמורן אלקובי
 
בדרך לפולימורפיזם - Using Virtual/Pure Virtual
byמורן אלקובי
 
בדרך לפולימורפיזם - העמסת ועקיפת פונקציות
byמורן אלקובי
 
הורשה והיררכיה של מחלקות
byמורן אלקובי
 
תכנות מונחה עצמים - מחלקות
byמורן אלקובי
 

מצגת בלוגיקה למדעי המחשב

  • 1.
    ‫משפט 1: נוסחאות‪ A‬ו- ‪ B‬שקולות אם ורק אם ‪ AB‬היא טאוטולוגיה.‬ ‫הוכחה. נובעת מן ההגדרות:‬ ‫כיוון ראשון: (נניח ‪ AB‬היא טאוטולוגיה.)‬ ‫מהגדרת ‪ A  B‬נובע ש)‪ I(A  B‬אמת רק אם )‪ ,I(A)=I(B‬ומכך שזוהי‬ ‫טאוטולוגיה נובע שזה נכון לכל ‪ .I‬לכן, בהכרח ל‪ A‬ול‪ B‬יש את אותם המודלים.‬ ‫ולכן מהגדרת השקילות ‪.A  B‬‬ ‫כיוון שני: (נניח ‪)A  B‬‬ ‫אם ‪ A‬שקול ל‪ ,B‬אז יש ל‪ A‬ול‪ B‬את אותם המודלים. ומכאן שכל פירוש של ‪A‬‬ ‫שווה לכל פירוש של ‪ .B‬לכן, מהגדרת ‪ ‬כל פירוש ‪ I‬יהיה מודל של ‪AB‬‬ ‫ומכאן שזוהי טאוטולוגיה.‬ ‫משפט 2: (שלמות פונקציונאלית). לכל פונקצית אמת קיימת נוסחה המגדירה אותה.‬ ‫הוכחה.‬ ‫תהיה ‪ f‬פונקצית אמת ‪-n‬מקומית.‬ ‫נגדיר }‪Hf={(a1,a2,…,an){F,T}n :f(a1,…,an)=T‬‬ ‫(תמונה הפוכה של ‪ T‬ביחס ל- ‪.)f‬‬ ‫לכל )‪ x=(a1,a2,…,an‬נשייך נוסחה ‪ ř1ř2… řn = Ax‬כך ש:‬ ‫‪ ři‬הוא ‪ ri‬אם ‪ ,T=ai‬אחרת ‪ ři‬הוא ‪ .¬ri‬אז פירוש ‪ l‬מספק את ‪ Ax‬אם"ם‬ ‫))‪,x=(l(r1),...,l(rn‬‬ ‫כלומר אם"ם ‪.I(r1) = a1, I(r2) = a2, …, I)rn) = an‬‬ ‫מהגדרת הקוניונקציה פירוש ‪ I‬ייתן ‪ I(Ax(=T‬אם"ם ‪ I(řj(=T‬לכל ‪ j‬ומהדרך בה‬ ‫הגדרנו את הליטרלים, זה יתקיים אך ורק מתי ש ‪ I(rj) = aj‬לכל ‪.j‬‬ ‫נגדיר ‪ Af= Ax1Ax2 … Axk‬עבור כל ‪ xi‬מ- ‪.Hf‬‬ ‫אז, לכל פירוש ‪ l(Af)=T ,l‬אם"ם קיים ‪ x  Hf‬כך ש ))‪x=(l(r1),...,l(rn‬‬ ‫זאת היות ומהגדרת הדיסיונקציה ‪ l(Af)=T‬אם"ם קיים ‪ Axj‬שעבורו‬ ‫‪ l(Axj)=T‬והראנו שזה מתקיים אם"ם ))‪,xj=(l(r1),...,l(rn‬‬ ‫ז"א )‪.f(l(r1(,…,l)rn))=l(Af‬‬
  • 2.
    ‫משפט 3: מסקנה.}‪ {¬, }, {¬, }, {¬, ‬הן קבוצות שלמות של קשרים.‬ ‫הוכחה.‬ ‫ממשפט השלמות הפונקציונאלית נובע שהקבוצה }‪ Q={¬, , ‬היא קבוצה‬ ‫שלמה של קשרים.‬ ‫( השתמשנו אך ורק בקשרים אלו והראנו שאנו יכולים לבנות כל פונקציית אמת).‬ ‫ע"מ להראות שהקבוצות הנתונות הן קבוצות שלמות של קשרים, מספיק להראות‬ ‫שנוכל לבנות באמצעותן את הקבוצה ‪.Q‬‬ ‫}‪ - {¬, ‬נוכל להשיג קוניונקציה ע"י (‪P  Q  ¬)¬P¬Q‬‬ ‫}‪ - {¬, ‬נוכל להשיג דיסיונקציה ע"י (‪P  Q  ¬)¬P¬Q‬‬ ‫}‪ - {¬, ‬נוכל להשיג דיסיונקציה ע"י ‪ P  Q  ¬P  Q‬וע"י כך נבנה את }‪.{¬, ‬‬
  • 3.
    ‫משפט 4: למה.}¬,‪ {‬היא קבוצה לא שלמה של קשרים.‬ ‫קוניונקציה יוצרת טבלת אמת בה יש מספר אי זוגי של שורות שנותנות ‪.T‬‬ ‫נוכיח באינדוקציה על כמות הקשרים כי כל טבלת אמת עם יותר מאטום אחד‬ ‫של נוסחה הבנויה מהקשרים }¬,‪ {‬הינה בעלת כמות זוגית של שורות‬ ‫המקבלות את הערך ‪ ,T‬ולכן לא ניתן לבנות קוניוקציה באמצעות קשרים אלו.‬ ‫בסיס: (קשר יחיד) הנוסחא היא מהצורה ‪ q  p‬או ‪. ¬p‬‬ ‫במצב זה טבלאות האמת יתאימו לטענה:‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪¬p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪qp‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫הנחה: נניח כי עבור נוסחאות בעלות ‪ N‬קשרים או פחות (מהקבוצה }¬,‪,){‬‬ ‫הטענה מתקיימת, כלומר, יש כמות זוגית של שורות בטבלת האמת של‬ ‫נוסחאות אלו המקבלות ‪.T‬‬ ‫צעד: תהי ‪ A‬נוסחה בעלת 1+‪ N‬קשרים מהקבוצה }¬,‪,{‬‬ ‫א. ‪ ¬B‬ב. ‪B C‬‬ ‫אז ‪ A‬היא מהצורה:‬ ‫מקרה א. מהנחת האינדוקציה, ‪( B‬בעלת ‪ N‬קשרים) היא בעלת כמות זוגית‬ ‫של שורות בטבלת האמת שלה שנותנות ‪ .T‬ולכן, מהגדרת השלילה, ‪A‬‬ ‫תהיה בעלת מס' זוגי של שורות שיתנו ‪ ,F‬והיות ובטבלת אמת מס' זוגי של‬ ‫שורות סה"כ, אז גם מס' זוגי של שורות שיתנו ‪.T‬‬ ‫מקרה ב. נסמן ב*‪ B‬את קבוצת השורות של טבלת האמת של ‪ B‬שיתנו ‪,T‬‬ ‫ו*‪ ,C‬באופן דומה. מהנחת האינדוקציה |*‪ |B‬ו- |*‪ |C‬זוגיים, כלומר ‪,|B*| =2k‬‬ ‫‪ .|C*| =2t‬בסה"כ בטבלת האמת של ‪ A‬יש מספר זוגי של שורות ‪( 2m‬מהיותה‬ ‫טבלת אמת). כמות השורות שבהן ‪ A‬אמת היא כמות השורות בהן ‪ B‬ו-‪C‬‬ ‫שקר יחד, בנוסף לכמות השורות בהן ‪ B‬ו-‪ C‬אמת יחד, כלומר‬ ‫|*‪ 2m - |B*C*| + |B*C‬שורות בהן ‪ A‬נותנת אמת.‬ ‫אך מתקיים |*‪ ,|B*C*| = |B*| + |C*| - |B*C*| = 2k + 2t - |B*C‬ולכן‬ ‫|*‪ 2 m - |B*C*| + |B*C*| = 2 m - 2k - 2t + 2 |B*  C‬זוגי.‬
  • 4.
    ‫משפט 5: למה.}‪ {, ‬היא קבוצה לא שלמה של קשרים.‬ ‫(כי אי אפשר ליצור שלילה)‬ ‫הוכחה. להבדיל מ-‪ ,¬p‬כל נוסחה הבנויה מ- }‪ {, ‬היא אמיתית כאשר כל‬ ‫הפסוקים האטומיים שלה אמיתיים. [באינדוקציה על מספר הקשרים בנוסחה – נוכיח‬ ‫שתמיד אמת (אין מצב של שלילה)].‬ ‫טענה: כל נוסחה הבנויה מ }‪ {, ‬היא אמיתית כאשר כל הפסוקים האטומיים‬ ‫שלה אמיתיים.‬ ‫הוכחה: (באינדוקציה)‬ ‫בסיס: משתמשים ב-0 קשרים, אז הנוסחה היא מהצורה ‪ P‬כאשר ‪ P‬אטום ולכן‬ ‫כאשר ‪ P‬אמיתי, הנוסחה אמיתית.‬ ‫הנחה: כאשר אנו משתמשים ב-‪ n‬קשרים או פחות, אם כל הפסוקים האטומיים‬ ‫אמיתיים, אז גם הנוסחה אמיתית.‬ ‫צעד: תהי ‪ A‬נוסחה בעלת 1+‪ n‬קשרים, אם כך, ‪ A‬היא מהצורה:‬ ‫‪(a) B  C (b) B  C‬‬ ‫ב-‪ B‬וב-‪ C‬יש אם כך פחות מ1+‪ n‬קשרים, לכן, מהנחת האינדוקציה, כאשר כל‬ ‫הפסוקים האטומיים ב‪ A‬אמיתיים, אז גם ‪ B‬ו-‪ C‬אמיתיים ומכאן שלפי הגדרת‬ ‫הקשרים }‪ ,{, ‬גם ‪ A‬אמיתית.‬
  • 5.
    ‫משפט 6: מסקנה1. כל נוסחה שקולה לנוסחה בצורת ‪.DNF‬‬ ‫הוכחה.‬ ‫אם ‪ f‬היא פונקצית אמת המוגדרת ע"י נוסחה ‪ , B‬אז הנוסחה ‪ Af‬שבנינו‬ ‫בהוכחת משפט השלמות הפונקציונאלית שקולה ל-‪ , B‬והיא בצורת ‪.DNF‬‬ ‫משפט 7: מסקנה 2. כל נוסחה שקולה לנוסחה בצורת ‪.CNF‬‬ ‫הוכחה.‬ ‫נניח ש- ‪ f‬היא פונקצית אמת המוגדרת ע"י נוסחה ‪ ,¬B‬ו- ‪ Af‬היא הנוסחה‬ ‫המקבילה ב-‪ . DNF‬אז ‪ ¬Af‬שקולה ל-‪ ,B‬וניתן להפוך ‪ ¬Af‬לנוסחה דואלית‬ ‫בצורת ‪ CNF‬כי השלילה של נוסחה שקולה לנוסחה דואלית שבה כל משתנה‬ ‫מוחלף בשלילה שלו, כל ‪ ‬מוחלף ב ‪ ‬ולהיפך כך שעוברים מ‪ DNF‬ל‪.CNF‬‬ ‫משפט 8: אלגוריתם ‪ HORN‬מכריע בעיית ספיקות לנוסחאות הורן.‬ ‫הוכחה. אם בנוסחת הורן ‪ A‬יש ‪ n‬אטומים, האלגוריתם מסיים בלא יותר מ-)1+‪(n‬‬ ‫צעדים. נוכיח:‬ ‫כל ‪ P‬מסומן הוא אמיתי בכל מודל של ‪ A‬באינדוקציה על מספר הצעדים של‬ ‫האלגוריתם. בסיס (צעד 1): ‪ T‬אמיתי בכל מודל.‬ ‫אם בפסוקית ‪ (Q1... Qn)P‬כל ‪ Qi‬מסומן, אז גם הפסוקית וגם כל ‪( Qi‬בהנחת‬ ‫אינדוקציה) חייבים להיות אמיתיים בכל מודל של ‪ .A‬לכן גם ‪ P‬חייב להיות‬ ‫אמיתי בכל מודל של ‪ A‬וזה נובע ישירות מהגדרת האימפליקציה.‬ ‫(א) אם ‪ ‬מסומן, ‪ A‬לא ספיקה, כי ‪ ‬לא יכול להיות אמיתי.‬ ‫(ב) אם ‪ ‬לא מסומן, נגדיר פירוש ‪ l‬שבו האטומים המסומנים, ורק הם, אמיתיים.‬ ‫נניח ש-‪ l‬הוא לא מודל של ‪ .A‬אז קיימת פסוקית ‪ (Q1... Qn)P‬של ‪ A‬שהיא‬ ‫שקרית ב- ‪.l‬אבל זה אפשרי רק כאשר כל ‪ Qi‬אמיתי (מסומן) ו-‪ P‬שקרי (לא‬ ‫מסומן) – סתירה זוהי סתירה לדרך בה הגדרנו את האלגוריתם, שכן בו אם‬ ‫)‪ (Q1... Qn‬מסומנים אז נסמן גם את ‪ P‬ולכן ‪ P‬חייב להיות אמיתי במודל ‪I‬‬ ‫ומכאן הסתירה. לכן ‪ l‬הוא מודל של ‪ A‬ומכאן ‪ A‬ספיקה.‬
  • 6.
    ‫משפט 8: אלגוריתם‪ HORN‬מכריע בעיית ספיקות לנוסחאות הורן.‬ ‫הוכחה. (גירסה 2)‬ ‫טענה: במהלך האלגוריתם אנו מסמנים פסוקים ‪ P1... Pn‬הטענה שלנו היא‬ ‫שכל פסוק שסומן אמיתי בכל מודל של ‪ – A( A‬הנוסחה שלנו).‬ ‫נוכיח זאת באינדוקציה על מס' הצעדים של האלגוריתם.‬ ‫בסיס: בצעד הראשון אנחנו מסמנים את ‪ T‬ו-‪ T‬אמיתי בכל מודל.‬ ‫הנחה: בצעד ה-‪ ,n‬הפסוקים שסימנו עד כה אמיתיים בכל מודל של ‪.A‬‬ ‫צעד: בצעד ה-1+‪ n‬נבדוק אם בפסוקית מסויימת מהצורה ‪(Q1... Qn)  P‬‬ ‫כל ‪ Qi‬מסומן.‬ ‫אם כולם מסומנים אז על מנת שהפסוקית תהיה אמת בהכרח ‪ P‬חייב‬ ‫להיות אמת. אנו נמצאים ב‪ CNF‬ולכן ע"מ ש-‪ A‬יהיה אמיתי אז כל‬ ‫הפסוקיות חיבות להיות אמיתיות (מתכונת הקוניונקציה), לכן על מנת ש‪A‬‬ ‫יהיה אמיתי, ‪ P‬חייב להיות אמיתי ולכן ‪ P‬אמיתי בכל מודל של ‪.A‬‬ ‫הוכחנו שכל פסוק שמסומן באלגוריתם אמיתי בכל מודל.‬ ‫כעת נוכיח שכאשר האלגוריתם מסתיים, התשובה שהוא נותן נכונה.‬ ‫מקרה א': ‪ ‬מסומן. אם כך, אז ‪ A‬לא ספיקה, כי ‪ ‬לא יכול להיות אמיתי, וזה‬ ‫סותר את הטענה הקודמת.‬ ‫מקרה ב': ‪ ‬לא מסומן. נגדיר פירוש ‪ l‬שבו האטומים המסומנים, ורק הם,‬ ‫אמיתיים. נניח ש-‪ l‬הוא לא מודל של ‪ .A‬אז קיימת פסוקית ...‪(Q1‬‬ ‫‪ Qn)P‬של ‪ A‬שהיא שקרית ב- ‪.l‬אבל זה אפשרי רק כאשר כל ‪ Qi‬אמיתי‬ ‫(מסומן) ו-‪ P‬שקרי (לא מסומן) – סתירה זוהי סתירה לדרך בה הגדרנו את‬ ‫האלגוריתם, שכן בו אם )‪ (Q1... Qn‬מסומנים אז נסמן גם את ‪ P‬ולכן ‪P‬‬ ‫חייב להיות אמיתי במודל ‪ I‬ומכאן הסתירה.. לכן ‪ l‬הוא מודל של ‪ A‬ומכאן‬ ‫‪ A‬ספיקה.‬
  • 7.
    ‫משפט 9: (תכונותבסיסיות של גרירה)‬ ‫הוכחה.‬ ‫אם ‪ ,A ‬אז ‪. ╞ A‬‬ ‫1.‬ ‫אם ‪ I‬מודל שמספק כל ‪ ,Ai ‬אז הוא בוודאי מספק גם את ‪ ,A‬כי ‪.A ‬‬ ‫לכן, כל מודל שמספק את ‪ ‬מספק את ‪.A‬‬ ‫אם ‪ , ╞ A‬אז ‪. ,Δ╞ A‬‬ ‫2.‬ ‫נניח בשלילה ש‪ ╞ A‬אך ‪ , ,Δ╞ A‬אז קיים פירוש ‪ I‬עבורו כל ‪,Bi ‬‬ ‫וכל ‪ Bj  Δ‬אמיתיים, ו-‪ A‬שקרי. אם כל ‪ B ‬אמיתי בפירוש ‪,I‬‬ ‫אז מכך ש‪ ╞ A‬נובע שגם ‪ A‬אמיתי בפירוש ‪ - I‬וזוהי סתירה!‬ ‫(טרנזיטיביות) אם ‪ , ╞ A‬לכל ‪ ,A Δ‬ו-‪ , Δ╞ B‬אז ‪. ╞ B‬‬ ‫3.‬ ‫נניח בשלילה שלכל ‪ Ai  Δ‬מתקיים ‪ ╞ Ai‬ו- ‪ ,Δ╞ B‬אך ‪. ╞ B‬‬ ‫אז קיים פירוש ‪ I‬עבורו כל נוסחה ב‪ ‬אמיתית, אך ‪ B‬שקרית. אך מכך שלכל‬ ‫‪ Ai  Δ‬מתקיים ‪ , ╞ Ai‬אז כל ‪ Ai‬אמיתי בפירוש ‪ ,I‬ולכן מכך ש‪Δ╞ B‬‬ ‫נובע ש‪ B‬אמיתי בפירוש ‪ – I‬סתירה.‬
  • 8.
    ‫משפט 01: למותהקשרים - הוכחות‬ ‫קוניונקציה‬ ‫•‬ ‫)‪A,B ╞ A  B (i‬‬ ‫נניח בשלילה ‪ A,B ╞ A  B‬אז קיים פירוש ‪ I‬בו ‪I(A)=T, I(B)=T, I(A  B)=F‬‬ ‫וזאת בסתירה להגדרת הקוניונקציה.‬ ‫)‪A  B ╞ A ; A  B ╞ B (ii‬‬ ‫ללא הגבלת הכלליות, נניח בשלילה ‪ A  B ╞ A‬אז קיים ‪ I‬כך ש:‬ ‫‪ I(A)=F, I(A  B)=T‬בסתירה להגדרת הקוניונקציה.‬ ‫דיסיונקציה‬ ‫•‬ ‫(‪B╞ A  B ; A╞ A  B )i‬‬ ‫ללא הגבלת הכלליות, נניח בשלילה ‪ A╞ A  B‬אז קיים ‪ I‬כך ש:‬ ‫‪ I(A)=T, I(A  B)=F‬בסתירה להגדרת הדיסיונקציה.‬ ‫(‪ )ii‬אם ‪ ,A╞ C‬ו- ‪ , ,B╞ C‬אז ‪, AB╞ C‬‬ ‫נניח בשלילה ש ‪ ,A╞ C‬ו- ‪ , ,B╞ C‬ו ‪ , AB╞ C‬אז קיים ‪ I‬כך ש:‬ ‫לכל ‪ I(x)=T ,x‬ו- ‪ ,I(AB)=T‬אך ‪.I(C)=F‬‬ ‫מהגדרת דיסיונקציה, נובע ש‪ I(A)=T‬או ‪ .I(B)=T‬ללא הגבלת הכלליות, נניח‬ ‫‪ I(A)=T‬אך מכאן, שכל הנוסחאות ב‪ ,A‬מסופקות תחת פירוש ‪ I‬ולכן מהנתון‬ ‫מתקיים ‪ – I(C)=T‬סתירה.‬ ‫אימפליקציה‬ ‫•‬ ‫)‪ (i‬אם ‪ , ,A╞ B‬אז ‪╞ A →B‬‬ ‫נניח בשלילה ‪ ,A╞ B‬ו- ‪ ╞ A →B‬לכן קיים ‪ I‬כך ש:‬ ‫לכל ‪ I(x)=T ,x‬ו- ‪ I(A→B)=F‬אז מהגדרת האימפליקציה ‪ I(A)=T‬ו-‪ ,I(B)=F‬אך‬ ‫מכאן ש ‪ I‬מספק את ‪ ,A‬ולכן מההנחה ‪ – I(B)=T‬סתירה.‬ ‫)‪A, A  B╞ B (ii‬‬ ‫נניח בשלילה ‪ A, A  B╞ B‬אז קיים ‪ I‬כך ש: ‪ I(A→B)=T ,I(A)=T‬ו- ‪ I(B)=F‬וזאת‬ ‫בסתירה להגדרת האימפליקציה.‬
  • 9.
    ‫משפט 01: למותהקשרים – הוכחות‬ ‫שלילה ושקר‬ ‫•‬ ‫)‪ (i‬אם ‪ ,,A╞ ‬אז ‪╞ ¬A‬‬ ‫נניח בשלילה ‪ ,,A╞ ‬ו- ‪ ╞ ¬A‬אז קיים ‪ I‬עבורו לכל ‪ I(x)=T , x‬ו- ‪I(¬A(=F‬‬ ‫כלומר ‪ .I(A)=T‬מכאן ש-‪ I‬מספק את ‪ ,,A‬אך מכאן שלפי הנתון מתקיים ‪I()=T‬‬ ‫וזאת בסתירה להגדרת ‪.‬‬ ‫)‪¬¬A╞ A (ii‬‬ ‫נניח בשלילה ‪ ¬¬A╞ A‬אז קיים ‪ I‬כך ש ‪ I(¬¬A(=T‬ו- ‪ I(A)=F‬אך מהגדרת שלילה‬ ‫נובע: ‪ I(¬¬A(=T  I(¬A(=F  I(A)=T‬ולכן מ‪ I(A)=T‬נובעת סתירה.‬ ‫‪╞ A‬‬ ‫)‪(iii‬‬ ‫אין פירוש ‪ I‬שמספק ‪ ‬ולכן מתקיים בצורה ריקה שכל פירוש שמספק ‪ ‬מספק גם‬ ‫כל דבר אחר.‬ ‫משפט 11: מסקנה. ‪ A╞ B‬אם"ם ‪ A →B‬היא טאוטולוגיה.‬ ‫כיוון 1: נניח בשלילה ‪ A╞ B‬אך ‪ A →B‬לא טאוטולוגיה.‬ ‫אז קיים פירוש ‪ I‬שבו ‪ I(A →B(=F‬ולכן ‪,I(B)=F, I(A)=T‬‬ ‫מהגדרת →, בסתירה ל ‪ A╞ B‬שאומר שעבור כל ‪ I‬שמקיים ‪ I(A)=T‬מתקיים גם‬ ‫‪ .I(B)=T‬לכן הכיוון הראשון מתקיים.‬ ‫כיוון 2: נניח בשלילה ‪ A╞ B‬אך ‪ A →B‬טאוטולוגיה.‬ ‫אז קיים פירוש ‪ I‬כך ש ‪ I(B)=F, I(A)=T‬ולכן מהגדרת → נובע ‪I)A →B(=F‬‬ ‫בסתירה להיותה טאוטולוגיה ולכן הכיוון השני מתקיים.‬
  • 10.
    ‫משפט 21: טענתעזר. תהי ‪ Δ‬קבוצה עקבית-סופית ויהי ‪ A‬פסוק כלשהו, אז }‪Δ{A‬‬ ‫או }‪ Δ{¬A‬היא ע"ס.‬ ‫הוכחה. נניח בשלילה שקיימת קבוצה ‪ Δ‬ע"ס ופסוק ‪ A‬כך ש }‪ Δ{A‬וגם }‪ Δ{¬A‬לא‬ ‫ע"ס. אז, ‪ Δ‬חייבת לכלול קבוצות סופיות +‪ Δ‬ו- -‪ Δ‬כך שגם }‪ Δ+{A‬וגם -‪Δ‬‬ ‫}‪ {¬A‬לא עקביות. אבל +‪ Δ-Δ‬היא קבוצה עקבית‬ ‫כי ‪ Δ-Δ+  Δ‬וסופי ו‪ Δ‬ע"ס, ולכן יש ל+‪ Δ-Δ‬מודל ‪.I‬‬ ‫עכשיו, ‪ I‬מספק או ‪ A‬או ‪ ,¬A‬לכן }‪ Δ+{A‬או }‪ Δ-{¬A‬היא עקבית – סתירה.‬ ‫משפט 31: הקומפקטיות.‬ ‫כל קבוצה לא עקבית של פסוקים מכילה תת-קבוצה סופית לא עקבית.‬ ‫הוכחה. תהי ‪ ‬קבוצה ע"ס, ונניח ש- …,‪ A1,A2,…,An‬היא מניה של כל הנוסחאות‬ ‫בשפה. נגדיר רשימה של קבוצות ‪Δ0 =‬‬ ‫}1+‪ ,Δn{An‬אם ע"ס‬ ‫}1+‪ Δn{¬An‬אחרת‬ ‫‪‬‬ ‫1+‪= Δn‬‬ ‫לפי טענת עזר, כל ‪ Δn‬היא ע"ס. נגדיר ‪ .Δ= U Δn‬אז ‪ Δ‬היא ע"ס, כי כל תת-קבוצה‬ ‫סופית שלה היא גם תת-קבוצה של ‪ Δn‬כלשהי ו‪ Δn‬ע"ס.‬ ‫כעת, נראה ש-‪ Δ‬היא עקבית:‬ ‫‪ I(p)=T‬אם"ם ‪p Δ‬‬ ‫נגדיר פרוש ‪:I‬‬ ‫אם ‪ ,A Δ‬לכל פסוק אטומי ‪ r‬ב-‪ ,A‬נגדיר ‪ ř‬כ- ‪ r‬כאשר ‪ ,r Δ‬אחרת ‪ ř‬הוא ‪.¬r‬‬ ‫אז ‪ {ř1, ř2,…, řn,A}  Δ‬היא עקבית בגלל שהיא סופית ו‪ Δ‬ע"ס,‬ ‫ולכן יש לה מודל שמתלכד עם ‪ I‬על אטומים של ‪.A‬‬ ‫מכאן, ‪ I(A)=T‬זאת היות ו‪ A‬היא פונקציה של ‪ r1,…, rn‬ולכן הערך ש-‪ I‬יתן ל‪ A‬נקבע‬ ‫חד משמעית מרגע שנקבעו ערכי האטומים והוא חייב להיות זהה לערך של המודל‬ ‫שלנו. ולכן ‪ I‬הוא מודל של ‪ .Δ‬אז ‪ ‬היא עקבית.‬ ‫משפט 41: מסקנה. ‪ ╞ A‬אם ורק אם ‪ ‬מכילה קבוצה סופית 0‪ ‬כך ש- ‪. 0╞ A‬‬ ‫הוכחה. ‪ ╞ A‬אם"ם ‪,¬A╞ ‬‬ ‫נובע מתכונות של גרירה וניתן להוכחה באופן דומה ללמות הקשרים,‬ ‫אם"ם }‪  {¬A‬מכילה תת-קבוצה סופית לא עקבית }‪0 {¬A‬‬ ‫כיוון 1: מכך ש ‪ ,¬A╞ ‬נובע }‪  {¬A‬לא עקבית ולכן ממשפט הקומפקטיות יש‬ ‫לה תת קבוצה סופית לא ספיקה 0‪ ‬ולכן גם }‪ 0 {¬A‬לא ספיקה.‬ ‫כיוון 2: מכך ש}‪ 0 {¬A‬לא ספיקה נובע שגם קבוצה שמכילה אותה לא ספיקה‬ ‫(}‪ ) {¬A‬ולכן ‪ ,,¬A╞ ‬אם"ם ‪,0 ,¬A╞ ‬‬ ‫אם"ם ‪ 0╞ A‬נובע מתכונות של גרירה.‬
  • 11.
    ‫משפט 51: אם‪ ,├ A‬אזי ‪.╞ A‬‬ ‫דדוקציה טבעית היא מערכת נאותה (מבוססת).‬ ‫הוכחה. באינדוקציה על אורך ההוכחות.‬ ‫בסיס: 1=‪ .n‬אז ‪ ,A ‬ולכן ‪.╞ A‬‬ ‫נניח שאם ל- ‪ Δ├ B‬יש הוכחה באורך <‪ ,n‬אז ‪ .Δ╞ B‬ניקח הוכחה של ‪ A‬מ-‪‬‬ ‫באורך ‪ :n‬יש 01 מיקרים בהתאם לאיזה כלל הסק הופעל אחרון כדי לקבל ‪. A‬‬ ‫(‪ AB )i‬התקבל מ- ‪ A‬ו-‪ .B‬אז ‪ ╞ A‬ו- ‪ ╞ B‬כי הפעלנו פחות מ-‪ n‬צעדים ע"מ‬ ‫להגיע ל-‪ A‬ול-‪ B‬ולכן מהנחת האינדוקציה הם נגררים מ‪, ‬‬ ‫ולכן ‪ ╞ AB‬מלמת הקוניונקציה )‪.(i‬‬ ‫(‪ A )e‬התקבל ב-‪ e‬מ- ‪ .AB‬אז ‪ ╞ AB‬בהנחת אינדוקציה, ולכן ‪╞ A‬‬ ‫מלמת הקוניונקציה )‪ (ii‬וטרנזיטיביות של גרירה.‬ ‫(‪ C )e‬התקבל מ- ‪ AB‬ושתי תת-הוכחות. אז מהנחת אינדוקציה ‪,╞ AB‬‬ ‫‪ ,B╞ C ,,A╞ C‬ולכן ‪ , AB╞ C‬מלמת הדיסיונקציה )‪ .(ii‬מכאן נובע‬ ‫‪ ╞ C‬בטרנזיטיבטות של גרירה.‬ ‫)‪ AB (i‬התקבל ע"י ‪( A‬או ‪ )B‬שהופיע באחת השורות הקודמות, ולכן מהנחת‬ ‫האינדוקציה ‪( ╞ A‬או ‪ )╞ B‬ומכאן שלפי למת הדיסיונקציה (‪╞ A  B )i‬‬ ‫)‪ A →B (→i‬התקבל ע"י כך שניתנה בשורות הקודמות תת הוכחה, שלה נוספה‬ ‫הנחה ‪ A‬ולכן מהנחת האינדוקציה ‪ , A╞ B‬ולכן מלמת האימפליקציה (‪)i‬‬ ‫‪╞ A → B‬‬ ‫(‪ B (→e‬התקבל ע"י ‪ A‬ו- ‪ A →B‬שהופיע בשורות קודמות ולכן מהנחת‬ ‫האינדוקציה ‪ ╞ A, A →B‬ומלמת האימפליקציה (‪ A, A →B ╞ B )ii‬ולכן‬ ‫מטרנזיטיביות של גרירה ‪.╞ B‬‬ ‫(‪ ¬A )¬i‬התקבל ע"י כך שניתנה בשורות הקודמות תת הוכחה לה נוספה ההנחה ‪A‬‬ ‫וממנה הגענו ל‪ .‬מהנחת האינדוקציה: ‪ A,╞ ‬ולכן מלמת השלילה והשקר‬ ‫)‪ (i‬נובע ‪.╞ ¬A‬‬ ‫(‪  )¬e‬התקבל ע"י ‪ A‬ו ‪ ¬A‬בשורות קודמות. לכן מהנחת האינדוקציה ‪ ╞ A‬לכן‬ ‫מתכונות של גרירה נובע ‪ , ¬A╞ ‬כמו כן מהנחת האינדוקציה ‪ ╞ ¬A‬ולכן‬ ‫מטרנזיטיביות ‪.╞ ‬‬ ‫(‪ A )¬¬e‬התקבל ע"י ‪ ¬¬A‬בשורות קודמות ולכן מהנחת האינדוקציה‬ ‫ומטרנזיטיביות של גרירה ‪ ╞ ¬¬A‬ולכן מלמת השלילה והשקר (‪.╞A )ii‬‬ ‫(‪ A )e‬התקבל ע"י ‪ ‬בשורות קודמות ולכן מהנחת האינדוקציה ‪ ╞ ‬ולכן מלמת‬ ‫השלילה והשקר )‪ (iii‬ומטרנזיטיביות של גרירה ‪.╞A‬‬
  • 12.
    ‫משפט 61:‬ ‫מסקנה. תהליך הרזולוציה נאות: כל פסוקית שנגזרה מקבוצת פסוקיות ‪ ‬ע"י‬ ‫‪ ,‬אז ‪. A ├ ‬‬‫תהליך הרזולוציה, נובעת לוגית מ-‪ :‬אם )‪Res(A‬‬ ‫הוכחה: ניתן להראות (}‪ C, C1├ (C{p})U(C1{¬p‬בדדוקציה טבעית.‬ ‫נסמן: ‪C1 =B¬p ,C=Ap‬‬ ‫וכמו כן, ‪ p,¬p ├ ‬בדדוקציה טבעית ולכן כל אחד מהצעדים בתהליך הרזולוציה‬ ‫מוצדק ע"י דדוקציה טבעית, כך שאם הגענו ‪ ‬אז ‪.A ├ ‬‬ ‫ל‬ ‫‪.‬‬‫משפט 71: אם נוסחה ‪ A‬לא ספיקה, אז )‪Res(A‬‬ ‫הוכחה. אינדוקציה על מספר המשתנים ב-‪.A‬‬ ‫בסיס: (משתנה יחיד ‪ )p‬במקרה זה אך ורק נוסחה ‪ {{¬p},{p}}  A‬לא ספיקה.‬ ‫}‪{ p} {p‬‬ ‫‪ ‬מתוך שימוש בכלל הרזולוציה‬ ‫לכן )‪Res(A‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ונוכיח ש-‪ A‬היא ספיקה.‬ ‫צעד: תהי ‪ A‬נוסחה בעלת ‪ n‬משתנים כך ש- )‪Res(A‬‬ ‫אם ‪ p‬הוא משתנה ב-‪ ,A‬אז )‪ {¬p}Res(A‬או )‪( {p}Res(A‬אחרת‬ ‫‪ .)‬נניח ש- )‪( {¬p}Res(A‬מקרה )‪ {p}Res(A‬הוא דומה ללא‬ ‫)‪Res(A‬‬ ‫הגבלת הכלליות, כי אם נניח )‪ {p}Res(A‬אז הטיעון ישאר זהה, רק ‪ p‬ו-‪¬p‬‬ ‫יתחלפו).‬ ‫}‪Ap={C¬p} | CA, pC‬‬ ‫נגדיר נוסחה‬ ‫‪ ‬זאת משום שאם‬ ‫‪ ,‬כי אחרת )‪ {¬p}Res(A‬או )‪Res(A‬‬ ‫אז )‪Res(Ap‬‬ ‫נבנה עץ הפרכה ל‪ Ap‬ונקבל בסופו‪ ‬אז אותו עץ ישאר זהה ב‪ A‬מלבד אולי‬ ‫תוספת של ‪ ¬p‬בקבוצות השונות, לכן באותו העץ או שישאר‪ ‬או שיוחלף ב‬ ‫‪ ‬ו- )‪. {¬p}Res(A‬‬‫}‪ ,{¬p‬אך נתון )‪Res(A‬‬ ‫‪ Ap‬בעלת 1-‪ n‬משתנים, (הורדנו את ‪ p‬מ-‪ )A‬מהנחת האינדוקציה, ‪ Ap‬ספיקה‬ ‫ולכן יש פירוש מספק ‪ I‬לכל המשתנים שלה. נרחיב ‪ I‬לפירוש של ‪ A‬ע"י קביעה‬ ‫‪ .I(p)=T‬ברור שאז ‪ I‬יהיה מודל של ‪ A‬שכן לכל ‪ CA‬או ‪ pC‬ואז ‪ C‬מסופקת‬ ‫או ‪ C{¬p} Ap‬ולכן מהגדרת ‪ I‬שוב ‪ C‬מסופקת ומכאן ש ‪ A‬ספיקה.‬
  • 13.
    ‫משפט 81: אם‪ ,╞ A‬אזי ‪ ├ A‬בדדוקציה טבעית.‬ ‫הוכחה. אם ‪ ,╞ A‬אז ‪ ,¬A╞ ‬ולפי למת הקומפקטיות ‪ ‬מכילה קבוצה סופית‬ ‫}‪ {B1, B2,…,Bn‬כך ש ‪ ¬A .B1, B2,…,Bn,¬A╞ ‬וכל ‪ Bi‬ניתן להפוך לנוסחאות‬ ‫שקולות ’‪ A‬ו-‪ B’i‬בצורת ‪ CNF‬כך ש ’‪ ¬A├ A‬ו- ’‪ Bi├ Bi‬בדדוקציה טבעית‬ ‫המעבר ל‪ CNF‬מתבצע ב-3 שלבים אותם הוכחנו בדוגמאות קודמות:‬ ‫(1) סילוק אימפליקציה‬ ‫(2) הכנסת שלילה‬ ‫(3) פריסה‬ ‫‪‬‬‫בגלל שקבוצה }’‪ {B’1, B’2,…,B’n, A‬היא לא ספיקה, )‪Res)A’UB’1U… UB’n‬‬ ‫ממשפט הרזולוציה, ומכאן ‪ B’1, B’2,…,Bn, A’├ ‬בדדוקציה טבעית. לכן:‬ ‫‪ B1, B2,…,Bn,¬A├ ‬ואז ‪( B1,B2,…,Bn ├ A‬הכנסת ¬ וסילוק ¬¬). לכן ‪.├ A‬‬ ‫משפט 91: למה 1א אם }‪ {Γ,xA‬היא קבוצה ספיקה,‬ ‫אז }]‪ {Γ,xA,A[c/x‬היא גם ספיקה.‬ ‫הוכחה. אם ‪ M‬הוא מודל של }‪ {Γ,xA‬בהשמה ‪ ,l‬נגדיר מודל ’‪ M‬בכך שנקבע‬ ‫)‪ M’ .cM=l(x‬הוא מודל של }]‪.{Γ,xA,A[c/x‬‬ ‫הוכחה (גירסה שניה). מהנתון }‪ {Γ,xA‬ספיקה. לכן קיימים מודל ‪ M‬והשמה ‪ I‬כך‬ ‫ש ‪ ,M,I ╞ xA‬מהגדרת הספיקות נובע שקיימת השמה '‪ I‬השונה מ- ‪ I‬לכל היותר‬ ‫ב-‪ x‬כך ש ‪.M,I’ ╞ A‬‬ ‫נגדיר מודל ’‪ M‬בכך שנקבע (‪cM’=I’)x‬‬ ‫מכאן ש ’‪ M‬הוא מודל של }]‪{Γ,xA,A[c/x‬‬ ‫משפט 02: למה 1ב. אם }‪ {Γ,¬xA‬היא ספיקה,‬ ‫אז }]‪ {Γ,¬xA,¬A[c/x‬היא גם ספיקה.‬ ‫הוכחה. מהנתון }‪ {Γ, ¬xA‬ספיקה. לכן קיימים מודל ‪ M‬והשמה ‪ I‬כך‬ ‫ש ‪ ,M,I ╞ ¬xA‬מהגדרת הספיקות נובע שקיימת השמה '‪ I‬השונה מ- ‪ I‬לכל היותר‬ ‫ב-‪ x‬כך ש ‪.M,I’ ╞ ¬A‬‬ ‫נגדיר מודל ’‪ M‬בכך שנקבע (‪cM’=I’)x‬‬ ‫מכאן ש ’‪ M‬הוא מודל של }]‪{Γ, ¬xA, ¬A[c/x‬‬
  • 14.
    ‫משפט 12: הקומפקטיות.‬ ‫כל קבוצה לא ספיקה של פסוקים מכילה תת-קבוצה סופית לא ספיקה.‬ ‫הוכחה. לפי למה 1, כל ‪ Δn‬היא ע"ס. נגדיר ‪ .Δ= U Δn‬אז ‪ Δ‬היא ע"ס (למה?). נוכיח‬ ‫ש- ‪ Δ‬היא ספיקה. נגדיר מודל ארברן ‪ M‬בשפה המורחבת: עבור קבוע ‪.aM=a ,a‬‬ ‫)‪f M(t1,…,tn)= f (t1,…,tn‬‬ ‫עבור סימן פונקציה ‪ f‬ושמות עצם ‪,t1,…,tn‬‬ ‫עבור סימן היחס ‪ PM={(t1,…,tn) | P(t1,…,tn)Δ} ,P‬אז ‪ tM=t‬לכל שם עצם סגור ‪,t‬‬ ‫ולכן ‪ M‬הוא מודל של ארברן. נוכיח ש-‪ M‬הוא מודל של ‪ Δ‬באינדוקציה על מורכבות‬ ‫הפסוקים.‬ ‫בסיס. אם )‪ P(t1,…,tn‬הוא פסוק אטומי ו- ‪ ,]¬[P(t1,…,tn)Δ‬אז )‪M╞ ]¬[P(t1,…,tn‬‬ ‫מההגדרה.‬ ‫צעד אינדוקטיבי. (1) נניח ש- ‪ A Δ‬הוא פסוק מורכב מפסוקים }‪ {B1,...Bn‬בעזרת‬ ‫הקשרים. נגדיר ‪ B’i‬כ- ‪ Bi‬כאשר ‪ ,Bi Δ‬אחרת ‪ B’i‬הוא ‪ .¬Bi‬אז ‪ M╞ B’i‬בהנחת‬ ‫אינדוקציה. אבל ‪ {B’1,...B’n,A}  Δ‬ספיקה, ולכן יש לה מודל. מכאן,‬ ‫‪ B’1,...B’n╞ A‬בתחשיב הפסוקים ולכן ‪.M╞ A‬‬ ‫(2) אם ‪ ,xBΔ‬אז קיים קבוע חדש ‪ cn‬כך ש- ‪ B[cn/x]Δ‬ולכן ]‪ M╞ B[cn/x‬בהנחת‬ ‫אינדוקציה. אז ‪ M╞ xB‬בהגדרת ספיקות. אותו דבר לגבי ‪.¬xBΔ‬‬ ‫(3) אם ‪ ,xBΔ‬אז ‪ B[t/x]Δ‬לכל שם עצם סגור ‪ ,t‬כי }]‪ {xB,¬B[t/x‬היא קבוצה‬ ‫לא ספיקה. לכן ]‪ M╞ B[t/x‬בהנחת אינדוקציה ואז ‪ M╞ xB‬בהגדרת ספיקות.‬ ‫הוכחנו ש-‪ M‬הוא מודל של ‪ Δ‬ולכן ‪ ‬היא ספיקה.‬ ‫אותו דבר לגבי ‪.¬xBΔ‬‬
  • 15.
    ‫משפט 22: למה.אם ‪ As‬היא סקולמיזציה של נוסחה ‪ ,A‬אז ‪ A‬ספיקה אם ורק אם‬ ‫‪ As‬ספיקה.‬ ‫הוכחה. נניח ש- ‪ A= x1…xk-1 xkB‬ו-‬ ‫]‪.As= x1…xk-1B[f(x1,…,xk-1)/xk‬‬ ‫א) נוכיח ‪ .AS╞ A‬נניח בשלילה ש‪ AS A‬אז ל-‪ As‬יש מודל ‪ M‬שאינו מודל של ‪.A‬‬ ‫אז מצד אחד קיימת השמה 1‪ I‬כך ש: ‪ , M, I1 A = x1…xk-1 xkB‬ולכן‬ ‫קיימות השמות ‪ I2 ,…, Ik‬כשכל ‪ Ii‬שונה מ- 1-‪ Ii‬לכל היותר ב ‪ xi‬כך שייתקבל‬ ‫‪M, I2 x2…xk-1 xkB‬‬ ‫⁞⁞‬ ‫‪M, Ik xkB‬‬ ‫מצד שני ‪ M, Ik ╞ AS‬ולכן מהגדרת הספיקות ]‪.M, Ik ╞ B[f(x1,…,xk-1)/xk‬‬ ‫אז אם נגדיר ‪ I‬כהשמה הזהה ל ‪ Ik‬בכל ערך מלבד ‪ xk‬כאשר‬ ‫))1-‪ ,I(xk)= Ik(f(x1 ,…,xk‬אז נקבל ‪ – M, I ╞ B‬סתירה.‬ ‫כתוצאה, אם ‪ As‬ספיקה, אז ‪ A‬ספיקה.‬ ‫ב) נניח ש- )‪ A= x1…xk-1 xkB(x1,…,xk-1,xk‬ספיקה. אז קיים מודל ‪ M‬שבו‬ ‫לכל 1-‪ k‬אובייקטים )1-‪ (a1,…,ak‬קיים ‪ ak‬כך שמתקיים ‪.(a1,…,ak-1,ak)  BM‬‬ ‫נגדיר פרוש של ‪ f‬ב-‪ M‬כך ש )1-‪ a=fM(a1,…,ak‬רק אם )‪ .BM(a1,…,ak-1,a‬אז‬ ‫))1-‪ BM(a1,…,ak-1,f(a1,…,ak‬לכל 1-‪ ,a1,…,ak‬ולכן ‪ M‬הוא מודל של‬ ‫]‪ ,x1…xk-1B[f(x1,…,xk-1)/xk‬ז"א ‪ AS‬ספיקה.‬ ‫משפט 32: נוסחה בצורת סקולם בשפה הכוללת לפחות קבוע אחד היא‬ ‫ספיקה אם ורק אם יש לה מודל של ארברן באותה שפה.‬ ‫הוכחה. אם ‪ A‬היא נוסחה ספיקה בצורת סקולם, אז יש לה מודל של ארברן ‪M‬‬ ‫בשפה המורחבת. נבנה מודל חדש 1‪ M‬בכך שנגביל תחום של ‪ M‬לשמות‬ ‫עצם סגורים בשפה של ‪ A‬בלבד. בגלל ש-‪ A‬היא בצורת סקולם, ברור ש-‬ ‫1‪ M‬הוא גם מודל של ‪.A‬‬