三角関数（人間科学のための基礎数学）

人間科学のための基礎数学（5）
三角関数
作者： @masa_hiroo_kano （twitter ID）

前回のポイント
• 角度
– 角の広がり、方向、位相を表す量として用いられる
– 度数法(°)または弧度法(rad)で表される 180° = π rad
• 三角比
– 直角三角形の辺の比で定義（鋭角にしか定義できなくて不便）
→ 円の中心角と座標で定義し直し、鈍角にも拡張
– 正弦定理・余弦定理で測量がさらに便利に
– 動作解析で座標データから関節角度を求めるときにも余弦定理が活躍

今回の主役は…
• 位相を表す量としての角度
– 位相…周期的な運動の中での「今何時」
– 周期的な運動…いわゆる「ゆらぎ」「振動」「波」
3

身近な波（振動）と言えば：音
• 音＝空気圧の振動
– 空気のゆらぎが鼓膜をゆらし、それを音として知覚している
– ゆれの幅が音量、振動数が高さとして知覚される
• 歌声や楽音から楽譜を自動作成する人工知能
– 的な研究をしてる人もいる
– 三角関数はそんな研究の
重要な基礎
（指数・対数の回のスライド）
音声信号の波形
（かえるのうたの出だし by 筆者）

スポ科で波といえば：筋電計
• 筋肉の収縮度合いを計測する装置
– 筋収縮の際のイオンの出入りで生じる電気を拾うセンサー
↑ 筋収縮レベルに応じてLEDのゲージが上がる簡易筋電計動画：https://twitter.com/masa_hiroo_kano/status/1436241425755086850
• 左の波形から筋肉の状態に関する情報を
もっと引き出せないか？
• 三角関数を使えば引き出せます！！！
← しばらく力んでもらったときの収縮度のゆらぎ
筋電位(mV)
(
収縮の強さと比例)
━ 筋電位
━ 収縮の強さ

• 位相角は0°～360°だけでは不十分
– 周期的な「動き」にはどんなことがあるか考えると…
つまり、位相角には
• 「何周目」の情報が必要
• 進んでいく向きの情報も必要
6
その前に…位相角ならではの事情
トップに見えるが、
実は周回遅れかもしれない
逆向きに進む場合もありうる

一般角
• 次のようにして角度に「何周目」と「向き」を導入
– 原点を中心とする円Oの周上を動く点Pと、
線分OP（動径）とx軸がなす角θ について：
• 回転のスタート地点（θ = 0°）は円周とx軸の正の部分の交点とする
• 反時計回りを正の向き、時計回りを負の向きとする
• 𝜃 は任意の実数値を取ってよいこととする：
𝜃 = 𝛼 + 360° × 𝑛（0° ≦ 𝛼 < 360°, 𝑛は整数）*で「何周目」か判断
* −180° < 𝛼 ≦ 180°の方が便利なときはこっちを使うことも
𝑦
𝑥
O
P
𝜃
正の向き・正の角度
𝑦
𝑥
O
P
𝜃
負の向き・負の角度
𝑦
𝑥
O
P
𝜃 = 𝛼 + 360° × 𝑛
何回転かしての角度
𝛼
7

練習問題
• 次の動径OPの位置に対応する角度𝜃を、
一般角 𝜃 = 𝛼 + 360° × 𝑛 （𝑛は整数）で表してみよう
• 750°、ー480°は右下図の時計で言うと何時の位置か考えてみよう
𝑦
𝑥
O
P
50°

練習問題
• 次の動径OPの位置に対応する角度𝜃を、
一般角 𝜃 = 𝛼 + 360° × 𝑛 （𝑛は整数）で表してみよう
• 750°、ー480°は右下図の時計で言うと何時の位置か考えてみよう
𝑦
𝑥
O
P
50°
0° ≦ 𝛼 < 360°で考えるなら
𝜃 = 310° + 360° × 𝑛
−180° < 𝛼 ≦ 180°で考えるなら
𝜃 = −50° + 360° × 𝑛
750° = 30° + 360° × 2 → 2時の位置
−480° = −120° + 360° × (−1) → 7時の位置

三角関数*
• 三角比の定義域を一般角に拡張
– 単位円の動径と、その先端の円周上の点Pの座標で定義
*もはや三角形より円が主体なので「円関数」と呼ばれることもある
– 定義はどちらで考えてもいいが、②がおすすめ
（グラフなど考えるとき便利なので）
10
𝑥
O
P 𝑥, 𝑦
𝜃
𝑟
𝑟
𝑦
−𝑟
−𝑟
定義のしかた①（半径rの円を利用）
sin𝜃 =
𝑦
𝑟
cos𝜃 =
𝑥
𝑟
tan𝜃 =
𝑦
𝑥
𝑥
O
P′
𝜃
1
1
𝑦
−1
−1
定義のしかた②（単位円を利用）
P
P cos 𝜃 , sin𝜃
P′
1, tan 𝜃

三角関数の符号と定義域・値域
• 辺の長さではなく点P(と点P’)の座標で定義なのに注意
– 定義域：sin 𝜃, cos 𝜃 は実数全体
tan 𝜃 は 𝜃 = 90° + 180° × 𝑛 (𝑛 は整数) を除くすべての実数
– 値域：−1 ≦ sin 𝜃 ≦ 1, −1 ≦ cos 𝜃 ≦ 1, tan 𝜃は実数全体
11
点Pがある象限と sin𝜃 , cos 𝜃 , tan𝜃 の符号
𝑦
𝑥
O
+
−
𝑦
𝑥
O
𝑦
𝑥
O
sin 𝜃の符号 cos 𝜃の符号 tan 𝜃の符号
+ +
+
+
+
−
−
−
−
−
第1象限
第2象限
第3象限第4象限

練習問題
• 次の三角関数の値を求めてみよう
• 三角関数が次の値の組となる角度θ を求めてみよう
12
sin 210° , cos 210° , tan 210° sin(−60°) , cos(−60°) , tan(−60°)
sin 𝜃 = −
1
2
cos 𝜃 = −
1
2
tan 𝜃 = 1
sin 𝜃 = −
1
2
cos 𝜃 =
3
2
tan 𝜃 = −
1
3

練習問題の答え
• 次の三角関数の値を求めてみよう
13
sin 210° , cos 210° , tan 210° sin(−60°) , cos(−60°) , tan(−60°)
𝑥
O
210°
1
1 𝑦
−1
−1
P cos 210° , sin 210°
P′
1, tan 210°
𝑥
O 60° 1
1 𝑦
−1
−1
P cos(−60°) , sin(−60°)
P′ 1, tan(−60°)
それぞれ
−
1
2
, −
3
2
,
1
3
それぞれ
−
3
2
,
1
2
, − 3

練習問題の答え
• 三角関数が次の値の組となる角度θ を求めてみよう
14
sin 𝜃 = −
1
2
cos 𝜃 = −
1
2
tan 𝜃 = 1
sin 𝜃 = −
1
2
cos 𝜃 =
3
2
tan 𝜃 = −
1
3
𝑥
O
𝜃
1
1 𝑦
−1
−1
P −
1
2
, −
1
2
= cos 𝜃 , sin 𝜃
P′
1, 1
= 1, tan 𝜃
→ 下
→ 左
→ 下
→ 右
𝜃 = 225° + 360° × 𝑛 𝑛は整数 𝜃 = 330° + 360° × 𝑛 𝑛は整数
𝜃 = −30° + 360° × 𝑛 𝑛は整数
𝑥
O
𝜃
1
1 𝑦
−1
−1
P −
1
2
,
3
2
= cos 𝜃 , sin 𝜃
P′
1, −
1
3
= 1, tan 𝜃

押さえておきたい三角関数の値
15
𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 tan 𝜃
−30°
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
−1/2 3/2 −1/ 3
0 1 0
1/2 3/2 1/ 3
1/ 2 1/ 2 1
3/2 1/2 3
1 0 ※
3/2 −1/2 − 3
1/ 2 −1/ 2 −1
1/2 − 3/2 −1/ 3
0 −1 0
𝜃 sin 𝜃 cos 𝜃 tan 𝜃
150°
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
390°
1/2 − 3/2 −1/ 3
0 −1 0
−1/2 − 3/2 1/ 3
−1/ 2 −1/ 2 1
− 3/2 −1/2 3
−1 0 ※
− 3/2 1/2 − 3
−1/ 2 1/ 2 −1
−1/2 3/2 −1/ 3
0 1 0
1/2 3/2 1/ 3
同じような値が、点Pの場所に応じて
符号違いで繰り返されるだけ！
※ tan𝜃 は 𝜃 = 90° + 180° × 𝑛 （𝑛は整数）に対しては定義できない

補足：逆三角関数
• 三角関数の逆関数を逆三角関数という
– 右の単位円で
arcsin 𝑦 = 𝜃
arccos 𝑥 = 𝜃
arctan
𝑦
𝑥
= 𝜃
– 三角関数＝動径の角度 𝜃 から点Pの𝑥, 𝑦,
𝑦
𝑥
を求める関数
– 逆三角関数＝点Pの𝑥, 𝑦,
𝑦
𝑥
（つまり sin, cos, tanの値）から
動径の角度𝜃を求める関数
– arcsin 𝑦 , arccos 𝑥 , arctan
𝑦
𝑥
は、それぞれ
sin−1 𝑦 , cos−1 𝑥 , tan−1 𝑦
𝑥
と表されることもある
（要は arcsin sin 𝜃 = 𝜃なので、 sin−1 sin 𝜃 = 𝜃と書けるのがうれしい）
16
𝑥
O
P 𝑥, 𝑦
𝜃
1
1
𝑦
−1
−1
sin𝜃 = 𝑦
cos𝜃 = 𝑥
tan𝜃 =
𝑦
𝑥

要するに
• こういうこと
17
𝑥
O
P 𝑥, 𝑦
𝜃
𝑟
𝑟
𝑦
−𝑟
−𝑟
三角関数：角度 → 座標・比
sin𝜃 =
𝑦
𝑟
cos𝜃 =
𝑥
𝑟
tan𝜃 =
𝑦
𝑥
𝑥
O
P 𝑥, 𝑦
𝜃
𝑟
𝑟
𝑦
−𝑟
−𝑟
逆三角関数：座標・比 → 角度
arcsin
𝑦
𝑟
= 𝜃
arccos
𝑥
𝑟
= 𝜃
arctan
𝑦
𝑥
= 𝜃

難しすぎるんですけど💢
• とよく言われますが、皆さんすでに前回使ってます
18
ここの「三角比の値から角度を求める」に対応するのが逆三角関数
表の該当部で言うと arcsin 0.6018 = 37°, arccos0.8090 = 36° などということ

三角関数のグラフ（sin）
𝜃 ° 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
sin 𝜽
𝑥
𝑦
1
1
−1
−1
0
1
2
1
2
3
2
1
3
2
1
2
1
2
0
−1
2
−1
2
− 3
2
−1
− 3
2
−1
2
−1
2
0
O
𝑦
𝜃
𝑦 = sin𝜃
O
1
−1
19
−180°
360°
540°
720°
900°
1080°
180°
②
③ ④
①

1170°
270°
450°
630°
810°
990°
90°
−90°
三角関数のグラフ（cos）
𝜃 ° 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
cos 𝜃
𝑥
𝑦
1
1
−1
−1
1
3
2
1
2
1
2
0
−1
2
−1
2
− 3
2
−1 − 3
2
−1
2
−1
2
0
1
2
1
2
3
2
1
O
cos 0° = 1から始まるので、
単位円を+90°回転させるとイメージしやすい（後述の sin 𝜃 + 90° = cos 𝜃 の公式も参考に）
𝑦
𝜃
𝑦 = cos 𝜃
O
1
−1
20
①
②
③
④

三角関数のグラフ（tan）
𝑥
𝑦
1
1
−1
−1
𝜃 ° 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
tan 𝜃 0
1
3
1 3 × − 3 −1
−1
3
0
1
3
1 3 × − 3 −1
−1
3
0
𝑦
𝜃
𝑦 = tan𝜃
1
−1
21
②
③ ④
①
360° 540° 720°
180°
90° 270° 450° 630°
※ 直線 𝜃 = 90° + 180° × 𝑛（𝑛は整数）は漸近線

(参考) 三角関数のグラフに関する用語
22
𝑦 = 3 sin 2𝑥 − 60° + 1
(= 3 sin 2 𝑥 − 30° + 1)
振幅波の振れ幅。上の式の「𝑎」
角速度、
振動数・周波数
単位時間あたりにどれだけ角度が進むか（角速度）
または何往復するか（振動数、周波数）
上の式の「𝑏」と関係
周期、波長
山と山、谷と谷の間隔（波の繰り返しの間隔）
横軸が時間なら周期、長さなら波長。上の式の「𝑏」と関係
𝑦 = sin𝜃 , 𝑦 = cos𝜃の周期は360°、𝑦 = tan𝜃の周期は180°
初期位相
横軸がゼロのところでどれだけ進んだ状態か
上の式の「𝑏𝑝」（𝑏 𝜃 − 𝑝 に𝜃 = 0を代入）
基線ゆらぎの中心のライン。上の式の「𝑞」
𝑦 = 𝑎 sin 𝑏 𝜃 − 𝑝 + 𝑞 という波の…
波の振れ幅。上の式の「𝑎」
単位時間あたりにどれだけ位相角が進むか（角速度）
または何往復するか（振動数、周波数）
上の式の「𝑏」に比例
山と山、谷と谷の間隔（波の繰り返しの間隔）
横軸が時間なら周期、長さなら波長。上の式の「𝑏」に反比例
𝑦 = sin𝜃 , 𝑦 = cos𝜃の周期は360°、𝑦 = tan𝜃の周期は180°
横軸がゼロのところですでにどれだけ進んだ状態か
上の式の「𝑏𝑝」（𝑏 𝜃 − 𝑝 に𝜃 = 0を代入）
ゆらぎの中心のライン。上の式の「𝑞」

三角関数のいろいろな公式
• 以下の公式は単位円やグラフを見れば一目瞭然
– 前回も述べたとおり、三角関数の公式は「覚えない」のがコツ
x軸対称
sin(−𝜃) = − sin 𝜃
cos(−𝜃) = cos 𝜃
tan(−𝜃) = − tan 𝜃
90°から折り返す
sin 90° − 𝜃 = cos 𝜃
cos 90° − 𝜃 = sin 𝜃
tan 90° − 𝜃 =
1
tan 𝜃
y軸対称
sin(180° − 𝜃) = sin 𝜃
cos(180° − 𝜃) = − cos 𝜃
tan(180° − 𝜃) = − tan 𝜃
90°進む
sin 𝜃 + 90° = cos 𝜃
cos 𝜃 + 90° = −sin 𝜃
tan 𝜃 + 90° = −
1
tan 𝜃
180°進む/原点対称
sin(𝜃 + 180°) = −sin 𝜃
cos(𝜃 + 180°) = − cos 𝜃
tan(𝜃 + 180°) = tan 𝜃
一周して元の位置
sin(𝜃 + 360°) = sin 𝜃
cos(𝜃 + 360°) = cos 𝜃
tan(𝜃 + 360°) = tan 𝜃
23

x軸対称
sin(−𝜃) = − sin 𝜃
cos(−𝜃) = cos 𝜃
tan(−𝜃) = − tan 𝜃
90°から折り返す
sin 90° − 𝜃 = cos 𝜃
cos 90° − 𝜃 = sin 𝜃
tan 90° − 𝜃 =
1
tan 𝜃
y軸対称
sin(180° − 𝜃) = sin 𝜃
cos(180° − 𝜃) = − cos 𝜃
tan(180° − 𝜃) = − tan 𝜃
𝑥
O
P′
𝜃
1
1
𝑦
−1
−1
P
𝑥
O
P′
𝜃
1
1
𝑦
−1
−1
P
𝜃
𝜃
𝑥
O
P′
𝜃
1
1
𝑦
−1
−1
P
𝜃
24

90°進む
sin 𝜃 + 90° = cos 𝜃
cos 𝜃 + 90° = −sin 𝜃
tan 𝜃 + 90° = −
1
tan 𝜃
180°進む/原点対称
sin(𝜃 + 180°) = −sin 𝜃
cos(𝜃 + 180°) = − cos 𝜃
tan(𝜃 + 180°) = tan 𝜃
一周して元の位置
sin(𝜃 + 360°) = sin 𝜃
cos(𝜃 + 360°) = cos 𝜃
tan(𝜃 + 360°) = tan 𝜃
𝑥
O
P′
𝜃
1
1
𝑦
−1
−1
P
𝜃
𝑥
O
P′
𝜃
1
1
𝑦
−1
−1
P
𝜃 𝑥
O
P′
𝜃
1
1
𝑦
−1
−1
P
25

加法定理シリーズ
• sin 𝛼 ± 𝛽 = sin 𝛼 cos 𝛽 ± cos 𝛼 sin 𝛽
• cos 𝛼 ± 𝛽 = cos 𝛼 cos 𝛽 ∓ sin 𝛼 sin 𝛽
• tan 𝛼 ± 𝛽 =
tan 𝛼±tan 𝛽
1∓tan 𝛼 tan 𝛽
（いずれも複号同順）
– 導出も難しくはないが､上記3つだけは覚えてた方がはかどる印象
半角の公式
sin2 𝜃
2
=
1−cos 𝜃
2
cos2 𝜃
2
=
1+cos 𝜃
2
さらにtan 𝜃 =
sin 𝜃
cos 𝜃
を利用↓
tan2 𝜃
2
=
1−cos 𝜃
1+cos 𝜃
𝜃を𝜃/2に
半角の公式
2倍角の公式
sin 2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃
cos 2𝜃 = cos2 𝜃 − sin2 𝜃
= 1 − 2 sin2 𝜃
= 2 cos2 𝜃 − 1
tan 2𝜃 =
2 tan 𝜃
1+tan2 𝜃
↓ 2θ= (θ+θ)として計算↓
2倍角の公式
3θ=2θ+θ で3倍角の公式

sin 𝛼 cos 𝛽 =
sin 𝛼+𝛽 + sin 𝛼−𝛽
2
cos 𝛼 sin 𝛽 =
sin 𝛼+𝛽 −sin 𝛼−𝛽
2
cos 𝛼 cos 𝛽 =
cos 𝛼+𝛽 +cos 𝛼−𝛽
2
sin 𝛼 sin 𝛽 = −
cos 𝛼+𝛽 −cos 𝛼−𝛽
2
sin 𝐴 + sin 𝐵 = 2 sin
𝐴+𝐵
2
cos
𝐴−𝐵
2
sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos
𝐴+𝐵
2
sin
𝐴−𝐵
2
cos 𝐴 + cos 𝐵 = 2 cos
𝐴+𝐵
2
cos
𝐴−𝐵
2
cos 𝐴 − cos 𝐵 = −2 sin
𝐴+𝐵
2
sin
𝐴−𝐵
2
積と和・差の相互変換
参考：加法定理（の利用で導出できる）（のでその下の難しい公式は覚える必要なし）
sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽 = sin 𝛼 + 𝛽 …①
sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 = sin 𝛼 − 𝛽 …②
cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽 = cos 𝛼 + 𝛽 …③
cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 = cos 𝛼 − 𝛽 …④
積 → 和･差の公式和･差 → 積の公式
(①±②)、(③±④)を
計算してみると…
𝐴 = 𝛼 + 𝛽
𝐵 = 𝛼 − 𝛽
と置いて
⇔
左辺と
右辺を
逆転
27

三角関数の合成
𝑎 sin 𝜃 + 𝑏 cos 𝜃 = 𝑎2 + 𝑏2 sin 𝜃 + 𝛼
ただし𝛼は cos 𝛼 =
𝑎
𝑎2+𝑏2
, sin 𝛼 =
𝑏
𝑎2+𝑏2
となる角
– 周波数が同じサイン波とコサイン波は、合体して
1つの大きな波になるという話（加法定理で確認できる）
28
例 →
sin 𝜃 + 3 cos 𝜃
= 2 sin 𝜃 + 60°

加法定理と物体の投げ上げ
• 斜め45度に投げると遠くに飛ぶと言われる理由
– 初速𝑣0 , 角度 𝜃 , 重力加速度 𝑔 として、
1. 投げてから頂点に達するまでの時間 t （秒）を求めよ
2. 上って降りてきて元の高さに戻ってくるまでの時間を求めよ
3. その間に水平方向に進む距離を求めよ
29
𝜃
加法定理シリーズの公式で
数学的に説明できます！！！！
𝑣0
𝑔
↓↓↓

簡単な（？）説明
• 斜め45度に投げると遠くに飛ぶと言われる理由
– 初速𝑣0 , 角度 𝜃 , 重力加速度 𝑔 として、
1. 投げてから頂点に達するまでの時間 t （秒）を求めよ
2. 上って降りてきて元の高さに戻ってくるまでの時間を求めよ
3. その間に水平方向に進む距離を求めよ
𝜃
𝑣0
𝑔
↓↓↓
1. 速度の鉛直成分がt秒後にゼロになるということで
𝑣0 sin 𝜃 − 𝑔𝑡 = 0 から 𝑡 =
𝑣0
𝑔
sin 𝜃
2. 投げ上げた物体は放物線の軌道を描くので、
放物線の対称性から元の高さに戻るまでの時間は
2𝑡 つまり
2𝑣0
𝑔
sin 𝜃
3. 水平成分の速度で2. の時間移動した距離に等しいので
𝑣0 cos𝜃 ×
2𝑣0
𝑔
sin𝜃 =
2𝑣0
2
𝑔
sin𝜃 cos𝜃
4. で、3.の式の2 sin𝜃 cos 𝜃は = sin2𝜃 と変形できるので、
2𝜃 = 90° つまり 𝜃 = 45° のときに3.の距離が最大になる

(再) 身近な波（振動）と言えば: 音
• 音＝空気圧の振動
– 空気のゆらぎが鼓膜をゆらし、それを音として知覚している
– ゆれの幅が音量、振動数が高さとして知覚される
• 歌声や楽音から楽譜を自動作成する人工知能
– 的な研究をしてる人もいる
– 三角関数はそんな研究の
重要な基礎
（指数・対数の回のスライド）
音声信号の波形
（かえるのうたの出だし by 筆者）

• フーリエ変換
– 与えられた波形を三角関数の和（積分）で表現
＝どんな周波数のサイン波の成分が、どんな
割合で含まれるかを調べることができる
• 結果の「何Hzがどれだけ含まれてました」の
グラフを「スペクトル」という
周波数解析
どんな関数も
三角関数の和で表せる
J.B.JosephFourier (1768-1830)
（肖像画はwikipediaから）
複雑な形をした謎の波
左の波のスペクトル：
1, 2, 3, … 6 Hzの波が 3Hzだけ
振幅２倍で合成されてたものとわかる

音声の周波数解析
• 「かえるのうたがきこえてくるよ」
– と歌ってみた音声信号を周波数解析してみた結果↓
（スペクトログラム：この時間帯の音にはこんな周波数成分が含まれてます、という図）
– 声（音）の高さは一番下の黄色帯（基音）の周波数にもとづいて
知覚される（黄に近い色ほど成分の振幅が大きいことを表す）
• 声質（音色）はそれ以外の黄色帯（倍音）の含まれ方に反映される
• 下図は声の個性の可視化とも言えるので、「声紋」と呼ばれることもある
34
著者（男声）の声紋 VOICEROID+東北きりたんEX（女声）の声紋

• 筋電図
– 筋活動にともなって発生する微弱な筋電位の変化を検出して、
縦軸に電位、横軸に時間をとり描いたもの（努力度強いほど振幅大）
– 例えば筋肉が疲れてくると、筋電信号全体の振幅が大きくなる。
中でも低い周波数成分の振幅が大きくなる（右下図：10Hz付近に注目）
• 同じ力を出すのにより多くの努力が必要に＆「振戦」の成分などが乗ってくる
筋電図の周波数解析
35
10kgのダンベルを左のような姿勢で持って
静止する筆者の上腕二頭筋の筋電図
左の筋電図のスペクトログラム
ちょっと
だらけた限界への挑戦
最初の頑張り
ちょっと
だらけた限界への挑戦
最初の頑張り

まとめ
• いろいろな角度
– 図形の広がり具合
– 方向（方位角）
– 時間・位置（位相角）
– 角度の表し方2種類：度数法＆弧度法（ラジアン）
• 三角比と三角関数
– 三角関数の公式は大量にあるが、元々の定義と加法定理さえ
使いこなせていれば芋づる式に導出できる
– 動作や生体信号の解析で大活躍するのでぜひ理解してほしい
36
0°～ 360°で十分
一般角が欲しくなる

役立ちそうな文献などの紹介
• 大雑把なイメージをつかみたい人へ
– 佐藤敏明「史上最強図解これならわかる！三角関数」ナツメ社
– Newton別冊「三角関数」株式会社ニュートンプレス
• 基本的な知識・考え方を学びたい人へ
– 高校・高専の教科書・参考書（数学II）
– 原岡喜重 (2005) 「なるほど高校数学三角関数の物語」
講談社ブルーバックス
• 周波数解析をもっと知りたい人へ
– 渋谷・晴瀬・トレンドプロ (2006) 「マンガでわかるフーリエ解析」オーム社
– 竹内淳 (2009)「高校数学でわかるフーリエ変換」講談社ブルーバックス
– 木塚ら(2006) 「表面筋電図」東京電機大学出版会
37

三角関数（人間科学のための基礎数学）

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