- The document discusses optical motion capture, which uses cameras to capture markers placed on joints to analyze motion by reconstructing a skeletal model and estimating joint angles and forces over time. - It questions how the 2D camera images are reconstructed into 3D space, how actual lengths are determined when cameras only see sensor lengths, and how joint torques and muscles forces are estimated using only cameras and force plates. - Matrices play a large role in the calculations needed to address these questions in optical motion capture.

1. 人間科学のための基礎数学（7）
行列
作者： @masa_hiroo_kano （twitter ID）

2. （再）光学式モーションキャプチャー
• 光学式モーションキャプチャーによる動作解析
– カメラで関節などの位置を示すマーカーを撮影
– そこから棒人間を作成して関節角度などの時系列変化を捉える
– 場合によっては床反力計も使って関節トルクや発揮筋力も推定
– （ゲームや映像作品のCGキャラの動きの収録などにも使われる）
2
↓ 具体例の動画（nac社webサイト）
https://www.nacinc.jp/analysis/
theme/lifescience_01/

3. ところで…
• カメラの映像は2次元
– どうやって3次元空間を再構成してる？
• カメラ自身は実際の長さを知りようがない
– センサー上の長さと実際の長さをどう対応させてる？
• センサーはカメラと床反力計だけ
– どうやって関節トルクや筋力を推定している？
行列の計算が
大活躍しています
縁の下の力持ち

4. お品書き
• 基礎・基本的な話題
– 行列とは
– 行列の相等
– 行列の和・差・実数倍
– 行列の積
– 逆行列
– 連立一次方程式
• 実用/応用/発展的な話題
– 図形の回転移動と拡大・縮小（一次変換）
– 座標変換
– Direct Linear Transformation（DLT）法
– 逆動力学解析
4
計算規則の話
使い道の話

5. ポイント
• 計算の規則をしっかり押さえましょう
– 基本的に行列の用語や計算のルールの紹介だけです
– 足し算、引き算、実数倍は単純なので一瞬で終わらせます
– 掛け算はちょっと面食らうかも。でもがんばりましょう。
マスターすれば学べる領域が圧倒的に広がります
– とはいえ時間かけても仕方ないので､ 全体的にサラッと行きます
• 身体で覚えるのが先。頭は後。でよい
– しょせん計算のルールなので
– ルールを身体に染みつかせるにはプレイするのが一番
（てかプレイせずに理解するの無理では？）
– 練習問題を解いて慣れない限り、一生わかりません！
（本当は解いてから授業を受けるのがいいんですが…）
– 自分で問題を作りまくって自分で解きまくりましょう！
（友達と出し合うのもよいでしょう）
5

6. 行列（英：matrix）
• いくつかの数を長方形状に並べてカッコで囲んだものを
行列という
– 並べられた数字を「成分」または「要素」という
– 横の並びを「行 (row)」、縦の並びを「列 (column)」という
– m個の行とn個の列からなる行列を
「m行n列の行列」「m×n行列」「(m, n)行列」などという
– 特に行と列の個数が等しい行列を 正方行列 という
– さらに特に、n×nの正方行列を n次正方行列 という
1 6 2
4 5 3
↑ 2 x 3 行列
7 6
0 3
7 2
↑ 3 x 2 行列
5 2 7
3 1 6
8 4 9
↑ 3 次正方行列
第 1 行
第 2 行
第 3 行
第 第 第
1 2 3
列 列 列
https://lambdalisue.hatenablog.com/entry/2013/07/18/134507

7. 行列の相等
• 行列A, B が同じ型で、かつ対応する要素が全て等しい
とき、「行列AとB は等しい」といい、A = B と書く
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
=
𝑝 𝑞
𝑟 𝑠
⇔ 𝑎 = 𝑝, 𝑏 = 𝑞, 𝑐 = 𝑟, 𝑑 = 𝑠 が全て成立
↑ 行または列が1つだけの場合、ベクトルの相等と同じ
• m×1 行列を m次の列ベクトル
• 1×m 行列を m次の行ベクトル という
7

8. 行列の和と差、実数倍
• 行列A, B が同じ型で、その対応する要素の和(差)を
成分とする行列を、A とB の和(差)といい、A ±B と書く
和 A + B
差 A - B
• 行列と実数 k との積は、次のように定める
𝑘
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
=
𝑘𝑎 𝑘𝑏
𝑘𝑐 𝑘𝑑
(すべての要素に k がかかる)
– 特に任意の行列 A に対し、 −1 𝐴 = −𝐴
8
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
+
𝑝 𝑞
𝑟 𝑠
=
𝑎 + 𝑝 𝑏 + 𝑞
𝑐 + 𝑟 𝑑 + 𝑠
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
−
𝑝 𝑞
𝑟 𝑠
=
𝑎 − 𝑝 𝑏 − 𝑞
𝑐 − 𝑟 𝑑 − 𝑠

9. 練習問題
• 次の計算をせよ
1.
0 1
2 3
+
1 2
3 4
2.
1 1
2
−1
3
2
+
0 −1
3
2
2
−1
3.
2 −1
1 2
ー3
1 4
2 3
9

10. 練習問題
• 次の計算をせよ
1.
0 1
2 3
+
1 2
3 4
2.
1 1
2
−1
3
2
+
0 −1
3
2
2
−1
3.
2 −1
1 2
ー3
1 4
2 3
10
=
0 + 1 1 + 2
2 + 3 3 + 4
=
1 3
5 7
=
1 + 0 1 − 1
2 + 3
−1 + 2
3 + 2
2 − 1
=
1 0
5
1
5
1
=
2 −1
1 2
−
3 12
6 9
=
−1 −13
−5 −7

11. 行列の和、差、実数倍の計算法則
• 実数の計算同様の法則が成り立つ：
1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 （加法の交換法則）
2. 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 （加法の結合法則）
3. 𝑘 𝑙𝐴 = 𝑘𝑙 𝐴 （乗法の結合法則）
4. 𝑘 + 𝑙 𝐴 = 𝑘𝐴 + 𝑙𝐴 （分配法則）
5. 𝑘 𝐴 + 𝐵 = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵 （分配法則）
つまり和、差、実数倍に関しては
普通の数と同じノリで計算してよい
11

12. 補足：零行列
• 成分がすべて 0 である行列を零行列といい、O で表す
– 普通の数における 0 のようなもの
– 次の行列はすべて零行列で、どんな型でもO で表す：
※ 零行列の型は前後の文脈で判断する
任意の行列A について 0𝐴 = 𝑂
任意の実数k について 𝑘𝑂 = 𝑂
O とA が同じ型の時、次が成り立つ：
𝐴 + 𝑂 = 𝐴, 𝑂 + 𝐴 = 𝐴, 𝐴 − 𝐴 = 𝑂
12
0 0
0 0
0 0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
0 0

13. 行列の積
• 行列の積：左側行列は行ごとに、右側行列は列ごとに、
成分を対応順にかけ、総和を取る
例：
𝑎11 𝑎12
𝑏11
𝑏21
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑏11
𝑏21
𝑎11 𝑎12
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
※ 行列𝐴, 𝐵の 𝑖 行 𝑗 列の要素をそれぞれ𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖𝑗と書いている
※ 行列A, Bの積ABは、Aの列数とBの行数が等しいときに限り定義される
= 𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21
=
𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21
𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21
= 𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22
=
𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22
𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22
13

14. 行列の積
• 行列の積：左側行列は行ごとに、右側行列は列ごとに、
成分を対応順にかけ、総和を取る
例：
𝑎11 𝑎12
𝑏11
𝑏21
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑏11
𝑏21
𝑎11 𝑎12
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
※ 行列𝐴, 𝐵の 𝑖 行 𝑗 列の要素をそれぞれ𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖𝑗と書いている
※ 行列A, Bの積ABは、Aの列数とBの行数が等しいときに限り定義される
= 𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21
=
𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21
𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21
= 𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22
=
𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22
𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22
14

15. 行列の積
• 行列の積：左側行列は行ごとに、右側行列は列ごとに、
成分を対応順にかけ、総和を取る
例：
𝑎11 𝑎12
𝑏11
𝑏21
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑏11
𝑏21
𝑎11 𝑎12
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
※ 行列𝐴, 𝐵の 𝑖 行 𝑗 列の要素をそれぞれ𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖𝑗と書いている
※ 行列A, Bの積ABは、Aの列数とBの行数が等しいときに限り定義される
= 𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21
=
𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21
𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21
= 𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22
=
𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22
𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22
15

16. 行列の積
• 行列の積：左側行列は行ごとに、右側行列は列ごとに、
成分を対応順にかけ、総和を取る
例：
𝑎11 𝑎12
𝑏11
𝑏21
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑏11
𝑏21
𝑎11 𝑎12
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
※ 行列𝐴, 𝐵の 𝑖 行 𝑗 列の要素をそれぞれ𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖𝑗と書いている
※ 行列A, Bの積ABは、Aの列数とBの行数が等しいときに限り定義される
= 𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21
=
𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21
𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21
= 𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22
=
𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22
𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22
16

17. 行列の積
• 行列の積：左側行列は行ごとに、右側行列は列ごとに、
成分を対応順にかけ、総和を取る
例：
𝑎11 𝑎12
𝑏11
𝑏21
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑏11
𝑏21
𝑎11 𝑎12
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝑏11 𝑏12
𝑏21 𝑏22
※ 行列𝐴, 𝐵の 𝑖 行 𝑗 列の要素をそれぞれ𝑎𝑖𝑗, 𝑏𝑖𝑗と書いている
※ 行列A, Bの積ABは、Aの列数とBの行数が等しいときに限り定義される
= 𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21
=
𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21
𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21
= 𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22
=
𝑎11𝑏11 + 𝑎12𝑏21 𝑎11𝑏12 + 𝑎12𝑏22
𝑎21𝑏11 + 𝑎22𝑏21 𝑎21𝑏12 + 𝑎22𝑏22
17

18. 行列の積：例の例
• 行列の積：左側行列は行ごとに、右側行列は列ごとに、
成分を対応順にかけ、総和を取る
例：
1 2
3
4
1 2
3 4
5
6
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
7 8
18

19. 行列の積：例の例
• 行列の積：左側行列は行ごとに、右側行列は列ごとに、
成分を対応順にかけ、総和を取る
例：
1 2
3
4
1 2
3 4
5
6
1 2
3 4
5 6
1 2
3 4
5 6
7 8
= 1 ∙ 3 + 2 ∙ 4 = 11
=
1 ∙ 5 + 2 ∙ 6
3 ∙ 5 + 4 ∙ 6
=
17
39
= 1 ∙ 3 + 2 ∙ 5 1 ∙ 4 + 2 ∙ 6 = 13 16
=
1 ∙ 5 + 2 ∙ 7 1 ∙ 6 + 2 ∙ 8
3 ∙ 5 + 4 ∙ 7 3 ∙ 6 + 4 ∙ 8
=
19 22
43 50
19

20. 練習問題
1. 2 5
1
3
2. 5 −2
7 4
3
1
3. 8 1
−2 9
7 3
4.
4 7
9 2
−8 5
3 −6
20

21. 練習問題
1. 2 5
1
3
2. 5 −2
7 4
3
1
3. 8 1
−2 9
7 3
4.
4 7
9 2
−8 5
3 −6
21
= 2 ∙ 1 + 5 ∙ 3 = 17
=
5 ∙ 3 + (−2) ∙ 1
7 ∙ 3 + 4 ∙ 1
=
13
25
= 8 ∙ −2 + 1 ∙ 7 8 ∙ 9 + 1 ∙ 3 = −9 75
=
4 ∙ −8 + 7 ∙ 3 4 ∙ 5 + 7 ∙ −6
9 ∙ −8 + 2 ∙ 3 9 ∙ 5 + 2 ∙ −6
=
−11 −22
−66 33

22. 行列の積（もう少し一般的に）
• 𝐴を 𝑚 行 𝑘 列、𝐵を 𝑘 行 𝑛 列の行列とする
– 積 𝐴𝐵 は 𝑚 行 𝑛 列 の行列になる
– Aの列数とBの行数が同じ場合だけ積 𝐴𝐵 を定義する
– 積𝐴𝐵の 𝑖 行 𝑗 列の要素は、行列𝐴の 𝑖 行と行列𝐵の 𝑗 列を取り出し、
対応する要素ごとにかけて合計したもの
（ 𝑖 行の横ベクトルと 𝑗 列の縦ベクトルの内積と考えるとよい）
∙ ∙ ∙
第 𝑖 行
∙
∙
∙
∙
∙
∙
∙ 第 ∙ ∙
∙ 𝑗 ∙ ∙
∙ 列 ∙ ∙
=
∙ ∙ ∙ ∙
∙ 𝑖𝑗成分 ∙ ∙
∙
∙
∙
∙
∙ ∙
∙ ∙
ただし𝐴𝐵の 𝑖𝑗 成分は 𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 ⋯ 𝑎𝑖𝑘
𝑏1𝑗
𝑏2𝑗
⋮
𝑏𝑛𝑗
= 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + ⋯ 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑛𝑗
𝐴 𝐵 𝐴𝐵
たとえば
1
3
2 5 という計算は考えない（Aが1列、Bが2行 不一致）
22

23. 行列の積は交換できる？
𝐴 =
3 2
1 −1
, 𝐵 =
1 2
1 −3
, 𝐶 =
1 0
−2 1
のとき、
次の行列の積を計算してみましょう
23
(1) 𝐴𝐵 (2) 𝐵𝐴 (3) 𝐴𝐶 (4) 𝐶𝐴

24. 行列の積は交換できる？
𝐴 =
3 2
1 −1
, 𝐵 =
1 2
1 −3
, 𝐶 =
1 0
−2 1
のとき、
次の行列の積を計算してみましょう
24
(1) 𝐴𝐵 (2) 𝐵𝐴 (3) 𝐴𝐶 (4) 𝐶𝐴
3 2
1 −1
1 0
−2 1
=
3 − 4 0 + 2
1 + 2 0 − 1
=
−1 2
3 −1
1 0
−2 1
3 2
1 −1
=
3 + 0 2 − 0
−6 + 1 −4 − 1
=
3 2
−5 −5
3 2
1 −1
1 2
1 −3
=
3 + 2 6 − 6
1 − 1 2 + 3
=
5 0
0 5
1 2
1 −3
3 2
1 −1
=
3 + 2 2 − 2
3 − 3 2 + 3
=
5 0
0 5
行列の積は AB = BA とならないことがある
（なるほうが珍しいぐらい）

25. 行列の乗法に関する計算法則
1. 結合法則
𝑘𝐴 𝐵 = 𝐴 𝑘𝐵 = 𝑘 𝐴𝐵 (𝑘は実数)
𝐴𝐵 𝐶 = 𝐴(𝐵𝐶) (𝐴, 𝐵, 𝐶は積が計算できる行列)
2. 分配法則
𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
𝐴𝑂 = 𝑂, 𝑂𝐴 = 𝑂
※交換法則は一般には成り立たない
（𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 は成り立つ場合と成り立たない場合がある）
（交換できるのは特別な場合。基本成り立たない）
25

26. 補足：零因子（ゼロいんし）
• 数では 𝑎𝑏 = 0 ⇒ 𝑎 = 0 または 𝑏 = 0 が成り立つが、
行列の世界ではこれも一般には成り立たない
– 例：𝐴 =
2 1
4 2
, 𝐵 =
1 −2
−2 4
のとき、𝐴𝐵を計算せよ
…このように、零行列でない行列同士の積が零行列になることがある
Bを「Aの右零因子」、Aを「Bの左零因子」という
26
2 1
4 2
1 −2
−2 4
=
0 0
0 0
=
2 − 2 −4 + 4
4 − 4 −8 + 8

27. 単位行列
• 行列の左上から右下への対角線上の要素が全て 1 である
正方行列を 単位行列 といい、 𝐸 で表す
（英語で Elementary matrix の頭文字）
– 例：2次、3次、4次正方行列の単位行列はそれぞれ
1 0
0 1
,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
– 単位行列は普通の数の世界での 1 のようなもの
– 行列 A と単位行列 E が同じ型であるとき、
𝐴𝐸 = 𝐸𝐴 = 𝐴
が成り立つ（交換可能な特殊例の1つ）
27

28. 逆行列
• 正方行列 𝐴 について、 𝐴𝑋 = 𝑋𝐴 = 𝐸 を満たす
正方行列𝑋 が存在するとき、 𝑋 を𝐴 の 逆行列 といい、
𝐴−1 と書く（ “𝐴インバース”と読む）
– 例：𝐴 =
1 −3
−2 7
, 𝑋 =
7 3
2 1
において𝐴𝑋, 𝑋𝐴 を計算してみよう
28

29. 逆行列
• 正方行列 𝐴 について、 𝐴𝑋 = 𝑋𝐴 = 𝐸 を満たす
正方行列𝑋 が存在するとき、 𝑋 を𝐴 の 逆行列 といい、
𝐴−1 と書く（ “𝐴インバース”と読む）
– 例：𝐴 =
1 −3
−2 7
, 𝑋 =
7 3
2 1
において𝐴𝑋, 𝑋𝐴 を計算してみよう
29
1 −3
−2 7
7 3
2 1
7 3
2 1
1 −3
−2 7
=
7 − 6 3 − 3
14 − 14 −6 + 7
=
1 0
0 1
= 𝐸
=
7 − 6 −21 + 21
2 − 2 −6 + 7
=
1 0
0 1
= 𝐸

30. 逆行列
• 正方行列 𝐴 について、 𝐴𝑋 = 𝑋𝐴 = 𝐸 を満たす
正方行列𝑋 が存在するとき、 𝑋 を𝐴 の 逆行列 といい、
𝐴−1 と書く（ “𝐴インバース”と読む）
– 例：𝐴 =
1 −3
−2 7
, 𝑋 =
7 3
2 1
において𝐴𝑋, 𝑋𝐴 を計算してみよう
• 一般に、𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
の逆行列 𝐴−1 は
𝐴−1
=
1
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
で表される*
*ただし…（次のスライドで解説）
– 証明：𝐴−1
=
𝑝 𝑞
𝑟 𝑠
とおいて
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑝 𝑞
𝑟 𝑠
=
1 0
0 1
となるような
𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠を𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑で表してみよう（連立方程式をがんばって解く）
30

31. 行列式
• 𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
の逆行列 𝐴−1 =
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
について…
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0 のとき 特に問題は無い
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0 のとき 分母に出来ない ⇒ 逆行列は存在しない
– このように 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 という式は重要な意味を持つので、
行列式 という名前がついており、
𝐴 ,
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
, det 𝐴 といった記号で表す
• 以上を踏まえると … 一般に、𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
の逆行列 𝐴−1 は、
𝐴 ≠ 0 のとき、存在し、𝐴−1
=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
𝐴 = 0のとき、存在しない
31

32. 行列と連立一次方程式
例：ቊ
3𝑥 + 2𝑦 = 4
7𝑥 + 6𝑦 = 2
行列を知っていればこんな解き方ができる：
3 2
7 6
の逆行列は
1
3 ∙ 6 − 2 ∙ 7
6 −2
−7 3
=
1
4
6 −2
−7 3
これを両辺に左からかけて
※ この程度だとかえって面倒だが、
科学計算では未知数が数百個とかの
連立一次方程式を解くことがよくあり、
そのときに利用される
1
4
6 −2
−7 3
3 2
7 6
𝑥
𝑦 =
1
4
6 −2
−7 3
4
2
1 0
0 1
𝑥
𝑦 =
1
4
6 ∙ 4 − 2 ∙ 2
−7 ∙ 4 + 3 ∙ 2
𝑥
𝑦
=
1
4
20
22
=
5
11
2
は
3 2
7 6
𝑥
𝑦 =
4
2
と書ける
32

33. 言い換えると
• 「逆行列を左からかける」という連立方程式の解の公式
を考えることができるようになった
– これで何元の連立方程式も怖くない（行列式などいくつかの制約はあるが）
– 「逆行列を求める公式」的なのは難しいので割愛
（興味のある人・腕に覚えのある人は「線形代数」へ学びを進めましょう）
• 実際の計算はたいていコンピュータで行うのでご安心を
• たとえばExcelではMINVERSE関数で逆行列を求めることができる
33
連立方程式 𝐴𝑋 = 𝑌 の解 𝑋 は
𝑋 = 𝐴−1𝑌

34. 練習問題
34
連立方程式 ቊ
𝑥 + 2𝑦 = 5
3𝑥 − 𝑦 = 8
を行列を使って解け

35. 練習問題
35
連立方程式 ቊ
𝑥 + 2𝑦 = 5
3𝑥 − 𝑦 = 8
を行列を使って解け
1 2
3 −1
の逆行列は
1
1 ∙ (−1) − 2 ∙ 3
−1 −2
−3 1
= −
1
7
−1 −2
−3 1
これを両辺に左からかけて
−
1
7
−1 −2
−3 1
1 2
3 −1
𝑥
𝑦 = −
1
7
−1 −2
−3 1
5
8
1 0
0 1
𝑥
𝑦 = −
1
7
−5 − 16
−15 + 8
𝑥
𝑦 = −
1
7
−21
−7
=
3
1
この連立方程式を行列で表すと
1 2
3 −1
𝑥
𝑦 =
5
8

36. 補足：Excelで解いてみる
36
① 係数などを入力＆MINVERSE関数へ入力
② MMULT関数へ逆行列と右辺を入力
③ 解けた

37. 実用・応用・発展編

38. 行列の積と図形の回転
• 3点の位置ベクトルを次で表す：A 1, 5 , B 4, 1 , C 4, 5
– これらを
𝑥
𝑦 の形で書き、
−1 0
0 −1
,
0 −1
1 0
,
−
1
2
3
2
−
3
2
−
1
2
など
いろんな行列を左からかけ、結果の点を座標平面にとってみよう
A
B
C

39. 行列の積と図形の回転
• 3点の位置ベクトルを次で表す：A 1, 5 , B 4, 1 , C 4, 5
– これらを
𝑥
𝑦 の形で書き、
−1 0
0 −1
,
0 −1
1 0
,
−
1
2
3
2
−
3
2
−
1
2
など
いろんな行列を左からかけ、結果の点を座標平面にとってみよう
A
B
C
−
1
2
3
2
−
3
2
−
1
2
をかけてみると… →
回転した図形が得られる！
実は…
−
1
2
3
2
−
3
2
−
1
2
=
cos −120° − sin −120°
sin −120° cos −120°
回転した角度と行列の値の関係にも注目：

40. 行列の積と図形の回転
• 位置ベクトル
𝑥
𝑦 に
回転行列𝑅 𝜃 =
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
を左から掛けると、
𝑥
𝑦 を原点まわりに 𝜃 だけ回転させた位置のベクトルが得られる
右図で
𝑥
𝑦 =
𝑟 cos 𝛼
𝑟 sin 𝛼
とおける（極形式という）
この形で𝑅 𝜃 を左からかけると…
𝑟
𝛼
P 𝑥, 𝑦
𝑥
𝑦
O
（説明）
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
𝑟 cos 𝛼
𝑟 sin 𝛼
= 𝑟
cos 𝜃 cos 𝛼 − sin 𝜃 sin 𝛼
sin 𝜃 cos 𝛼 + cos 𝜃 sin 𝛼
= 𝑟
cos(𝜃 + 𝛼)
sin(𝜃 + 𝛼)
→ 長さ𝑟, 角度(𝜃 + 𝛼)のベクトルができる（それを点の回転移動と見なしている）
P′ 𝑟 cos(𝜃 + 𝛼) , 𝑟 sin 𝜃 + 𝛼
𝑟
+𝜃
= 𝑟 cos 𝛼 , 𝑟 sin 𝛼
=
𝑟 cos(𝜃 + 𝛼)
𝑟 sin(𝜃 + 𝛼)

41. 拡大・縮小も加えられる
• 3点の位置ベクトルを次で表す：A 1, 5 , B 4, 1 , C 4, 5
– これらを
𝑥
𝑦 の形で書き、
0 −2
2 0
,
−
1
2
0
0 −
1
2
,
−1 − 3
3 −1
など
いろんな行列を左からかけ、結果の点を座標平面にとってみよう

42. 拡大・縮小も加えられる
• 3点の位置ベクトルを次で表す：A 1, 5 , B 4, 1 , C 4, 5
– これらを
𝑥
𝑦 の形で書き、
0 −2
2 0
,
−
1
2
0
0 −
1
2
,
−1 − 3
3 −1
など
いろんな行列を左からかけ、結果の点を座標平面にとってみよう
位置ベクトル
𝑥
𝑦 に回転行列の実数倍
𝑘𝑅 𝜃 = 𝑘
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
(𝑘は実数)
の形の行列を左から掛けると、
原点まわりに
𝑥
𝑦 を𝜃 だけ回転させ、
さらに 𝑘 倍に拡大・縮小した位置の
ベクトルが得られる（一次変換）。
−1 − 3
3 −1
= 2
cos120° −sin120°
sin120° cos120°
をかけた

43. 裏技(というほどでもないが)
• 位置ベクトルを並べて行列化すれば
拡大・縮小・回転の計算を一気に行うことができる
↓3点A 1, 1 , B 4, 1 , C 4, 5 に左から −1 − 3
3 −1
を一気にかける方法
−1 − 3
3 −1
1 4 4
1 1 5 ↓ この程度のアニメなら簡単に作れる
= −1 − 3 −4 − 3 −4 − 5 3
3 − 1 4 3 − 1 4 3 − 5
=
−2.73 −5.73 −12.66
0.73 5.93 1.93
（1つ前のスライドの図と見比べてみよう）
https://twitter.com/masa_hiroo_kano
/status/1440193977467109377

44. 座標変換
44
• 前のスライドでは「図形が動いた（変形した）」と捉えたが…
– 「動いた（変形した）のは座標の方だ」と考えることもできる
（天動説か地動説か 的な）
– このようなとらえ方を座標変換という

45. モーションキャプチャーの謎
45

46. Direct Linear Transformation (DLT)法
• カメラ画素上の座標を実空間の座標に変換する計算法
– カメラ映像を用いた3次元動作解析の基本原理でもある
カメラ1の映像での座標
① (443, 95), ② (412, 70), ...
カメラ2の映像での座標
① (501, 82), ② (302, 48), ...
実空間での各点の座標を
① (0, 0, 100), ② (0, 0, 0), …などとする
カメラ座標から実空間上の座標をDLT法で計算
実空間上の点P(X, Y, Z)は
次の方程式を解くことで求められる：
𝑢𝑎
− 𝐿4
𝑎
𝑣𝑎
− 𝐿8
𝑎
𝑢𝑏
− 𝐿4
𝑏
𝑣𝑏
− 𝐿8
𝑏
=
𝐿1
𝑎
− 𝐿9
𝑎
𝑢𝑎
𝐿2
𝑎
− 𝐿10
𝑎
𝑢𝑎
𝐿3
𝑎
− 𝐿11
𝑎
𝑢𝑎
𝐿5
𝑎
− 𝐿9
𝑎
𝑣𝑎
𝐿6
𝑎
− 𝐿10
𝑎
𝑣𝑎
𝐿7
𝑎
− 𝐿11
𝑎
𝑣𝑎
𝐿1
𝑏
− 𝐿9
𝑏
𝑢𝑏
𝐿2
𝑏
− 𝐿10
𝑏
𝑢𝑏
𝐿3
𝑏
− 𝐿11
𝑏
𝑢𝑏
𝐿5
𝑏
− 𝐿9
𝑏
𝑣𝑏
𝐿6
𝑏
− 𝐿10
𝑏
𝑣𝑏
𝐿7
𝑏
− 𝐿11
𝑏
𝑣𝑏
𝑋
𝑌
𝑍
ただし𝑢𝑖
,𝑣𝑖
はカメラ 𝑖 上での点Pの 𝑥,𝑦 座標、
𝐿𝑗
𝑖
はカメラ 𝑖 の𝑗 番目のカメラパラメータを表す
（左図の立方体の座標情報から算出される）
また、𝑢,𝑣,𝐿 の関係は次式で表される：
𝑢 =
𝐿1𝑋 + 𝐿2𝑌 + 𝐿3𝑍 + 𝐿4
𝐿9𝑋 + 𝐿10𝑌 + 𝐿11𝑍 + 1
𝑣 =
𝐿5𝑋 + 𝐿6𝑌 + 𝐿7𝑍 + 𝐿8
𝐿9𝑋 + 𝐿10𝑌 + 𝐿11𝑍 + 1
1
2
3
4
5
6
7
8
← 参照用フレーム
1
2
3
4
5
6
7
8
4
3
2
1
5
6
7
8
（計算はPCソフトなどがやってくれるのでご安心を）
（でも理解したら計算プログラムを自作できるなど、とても熱い）
カメラ1
カメラ2

47. 逆動力学解析（Inverse Dynamics）
• モーションキャプチャーなどで取得した動きの情報から、働いている力を
シミュレーションする方法 （これもPCソフトでできるが、理解すればカスタマイズもできて熱い）
– 床反力計の力データと組み合わせ、遠位から近位へ向かって
連鎖的に力・トルクを計算していく
– 座標系をグローバル (G) → セグメント (S) → 解剖学的 (A) と
変換しながら計算する必要があり、その過程が行列の計算で表される
マーカー位置 (G)
マーカー位置 (S)
マーカー位置 (A)
重心位置・関節角度
力・トルク
G → S 行列
S → A 行列
運動方程式
G：実空間の座標系
S : セグメント重心が原点の座標系
𝑥𝐺 𝑦𝐺
𝑧𝐺
𝑥𝑆
𝑦𝑆
𝑧𝑆
● 重心
●
関節中心
● 作用点
関節運動
関節トルク
重力
地面（床反力計）
A:関節中心が原点の
座標系
𝑥𝐴
𝑦𝐴
𝑧𝐴

48. まとめ
• 基礎・基本的な話題
– 行列＝数を長方形に並べたもの
– 行列が等しい＝全ての成分が等しい
– 行列の和・差・実数倍は成分ごとに足す・引く・かけるだけ
– 行列の積は要素ごとでない ＆ 順序が交換不可なので注意
– 行列の割り算はない：代わりに逆行列をかける
– 逆行列を使えば連立一次方程式が一瞬で解ける
• 実用/応用/発展的な話題
– 図形の拡大・縮小や移動は一次変換（行列の積）で表せる
– 一次変換は三次元動作解析の必需品
48

49. 役立ちそうな文献の紹介
• 大雑把なイメージをつかみたい人へ
– 佐藤敏明「図解雑学 行列・ベクトル」ナツメ社
– 高橋信 他「マンガでわかる線形代数」オーム社
• 基本的な知識・考え方を学びたい人へ
– 高専・大学の教科書・参考書（線形代数）
– 小島寛之「ゼロから学ぶ線形代数」 講談社
– 竹内淳「高校数学でわかる線形代数」 講談社ブルーバックス
• 物理や統計・人工知能での応用をもっと知りたい人へ
– 阿江通良, 藤井範久(2002) 「スポーツバイオメカニクス20講」
朝倉書店
– 堀裕亮 (2017)「ゼロからはじめる統計モデリング」第3章～
ナカニシヤ出版
– 谷口忠大 (2014)「イラストで学ぶ人工知能概論」第10章 講談社
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50. 役立ちそうな文献の紹介2
• 動作解析をもっとしっかり学びたい人へ
– 石田ら(2002) 「身体運動のバイオメカニクス」 コロナ社
– Robertsonら (著) 阿江ら(訳) (2008)
「身体運動のバイオメカニクス研究法」 大修館書店
– Winter (著) 長野・吉岡 (訳) (2011)
「バイオメカニクス 人体運動の力学と制御 [原著第4版] 」
ラウンドフラット
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