विचलनशीलता मान - विस्तार (Range), चतुर्थांश विचलन (Quartile Deviation), मध्यमान विचलन (Mean Deviation), मानक विचलन (Standard Deviation) की गणना विधि प्रस्तुत है |

1. विचलनशीलता के मान
(Measures of Variability)
प्रो. अवमता पाण्डेय भारद्वाज
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2. • ककसी प्रदत्त के विचलनशीलता से तात्पयय है उस
आँकडे के फै लाि से।
या
• प्रदत्तों के प्राप्ाांक अपने मध्यमान के ऊपर-नीचे
ककतना विचवलत है।
• अतः, िे सभी माप जो प्राप्ाांकों के फै लाि अथिा
िैवभन्यता को बताते है, विचलनशीलता के मान
कहलाते है।
• समूह की सजातीयता या विजातीयता के पररसूचक
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2

3. गैरेट
विचलनशीलता का तात्पयय प्राप्ाांकों के
वितरण या फै लाि से है जोकक प्राप्ाांकों के
प्रिृवत्त के चारों ओर होता है।
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3

4. विचलन मान क
े प्रकार
(i) विस्तार (Range)
(ii) चतुर्ाांश विचलन
(Quartile Deviation)
(iii) मध्यमान विचलन
(Mean Deviation)
(iv) मानक विचलन
(Standard Deviation)
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5. • विचलनशीलता का सबसे सरल माप।
• शीघ्रता से ज्ञात करने िाला विचलन मान।
• इससे समूह के अन्तगयत विद्यमान वभन्नता
का विस्तार क्षेत्र ज्ञात होता है।
• विस्तार का तात्त्पयय – प्रदत्तों में प्राप्ाांकों
का फै लाि।
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6. • उदाहरणः
A- 4, 4, 4, 4, 4 (सजातीय)
B- 2, 4, 6, 3, 5
C- 0, 2, 3, 0, 14 (विजातीय)
विस्तार (A) = 4 – 4 = 0
विस्तार (B) = 6 – 2 = 2
विस्तार (C) = 14 – 0 = 14
A- 2, 3, 5, 9, 11, 20
B- 2, 3, 3, 3, 3, 20
विस्तार (A) = 20 –2 = 18
विस्तार (B) = 20 – 2 = 18
B = सजातीय A = विजातीय
पररणाम = एक समान
अतः दोषपूणय
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7. • विस्तार की सहायता से प्रदत्तों के
सजातीय एिां विजातीय प्रकृवत का पता
चलता है।
• अविश्वसनीय तथा दोषपूणय विचलन मान
क्योंकक इसकी गणना में अांक का
अनुप्रयोग ककया जाता है।
• सूत्रः
विस्तार = उच्चतम प्राप्ाांक - वनम्नतम प्राप्ाांक
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8. विस्तार का प्रयोग कब?
• जब शीघ्रता में किसी समूह िी भिन्नता िा
अनुमान लगाना हो।
• जब किसी समूह में सबसे अधिि तथा िम
प्रापताांिों िी जानिारी आवश्यि प्रतीत हो।
• जब समूह छोटा हो।
• जब समूह ि
े प्रापताांिों िा ववतरण इस प्रिार
िा हो कि अन्य-ववचलन मानों िा प्रयोग
सम्िव न हो।

9. • ऐसा माप जो प्रदत्तों के मध्य के 50 प्रवतशत
प्राप्ाांकों का ही प्रवतवनवित्ि करता है।
• ककसी प्रदत्त को क्रमानुसार व्यिवस्थत कर
उसे चार बराबर भागों में विभक्त करना
(Q) चतुथाांश कहलाता है।
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10. • ककसी प्रदत्त के प्रथम चतुथाांश (Q1) तथा
तृतीय चतुथाांश (Q3) के मध्य अन्तर का आिा
चतुथाांश विचलन कहलाता है।
• इसे अर्द्ायन्तर चतुथाांश प्रसार (Semi-Inter
Quartile Range) भी कहते है।
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11. 06-08-2021
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अव्यिस्स्र्त प्रदत्त से चतुर्ाांश विचलन
ज्ञात करना (Ungrouped Data)
1. प्राप्ताकों को आरोही क्रम में व्यिस्स्र्त करना |
2. सूत्र द्िारा तृतीय चतुर्ाांश (Q3) ज्ञात करना|
3. सूत्र द्िारा प्रर्म चतुर्ाांश (Q1) ज्ञात करना|
4. सूत्र द्िारा चतुर्ाांश विचलन (Q) ज्ञात करना|
सोपान

12. अव्यिवस्थत प्रदत्त सूत्रः
Q3=
𝟑𝑵
𝟒
+. 𝟓 िाँ प्राप्ाांक
Q1=
𝑵
𝟒
+. 𝟓 िाँ प्राप्ाांक
𝑸 =
𝑸𝟑 − 𝑸𝟏
𝟐
Q = चतुथाांश विचलन
Q1 = प्रथम चतुथाांश Q3 = तृतीय चतुथाांश
जब प्राप्ाांकों को
आरोही क्रम में
व्यिवस्थत ककया
हो।
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12

13. उदाहरणः 9, 14, 27, 35, 3, 13, 25, 7, 12, 19, 24, 10, 15, 18, 29 |इन 15 छात्रों
के प्राप्ाांको का चतुथाांश विचलन ज्ञात करे|
1. प्राप्ाांकों को आरोही क्रम में व्यिवस्थत करना -
2.Q3=
𝟑𝑵
𝟒
+. 𝟓 िाँ प्राप्ाांक =3x15/4+.5 =45/4+.5 =11.25+.5=11.75
Q3=11.75 िाँ प्राप्ाांक= 11िाँ प्राप्ाांक+.75( 12िाँ प्राप्ाांक-11िाँ प्राप्ाांक)
Q3 =24+.75(25-24)= 24+.75x1=24+.75= 24.75
3. Q1=
𝑵
𝟒
+. 𝟓 िाँ प्राप्ाांक =15/4+.5 =3.75+.5 =4.25 िाँ प्राप्ाांक
Q1=4.25िाँ प्राप्ाांक=4िाँ प्राप्ाांक+.25(5िाँ प्राप्ाांक-4िाँ प्राप्ाांक)
Q1=10+.25(12-10) =10+.25 (2) =10+.50 =10.50
4. 𝑸 =
𝑸𝟑
−𝑸𝟏
𝟐
= 24.75-10.50/2= 14.25/2=7.125 Ans.
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अव्यिवस्थत प्रदत्त से चतुथाांश विचलन ज्ञात करना
S.No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
आरोही क्रम 3 7 9 10 12 13 14 15 18 19 24 25 27 29 35

14. 06-08-2021
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14
व्यिस्स्र्त प्रदत्त से चतुर्ाांश विचलन
ज्ञात करना (Grouped Data)
1. िर्ाांतर का आकार ज्ञात करना (i) |
2. क
ु ल संख्या ज्ञात करना (N=∑f)|
3. प्रत्येक िर्ाान्तर की संचयी आिृस्त्त ज्ञात करना (Cf=उस िर्ाान्तर की
आिृस्त्त + उसक
े नीचे िाले सभी िर्ाांतरों की आिृस्त्तयााँ या उसक
े नीचे िाले की
िर्ाांतर की संचयी आिृस्त्त)
4. प्रर्म चतुर्ाांश (Q1) तर्ा तृतीय चतुर्ाांश (Q3)िाले िर्ाांतर ज्ञात
िरना Q1=N/4 ; Q3=3N/4|
5. सूत्र द्िारा प्रर्म चतुर्ाांश (Q1) तर्ा तृतीय चतुर्ाांश (Q3) ज्ञात
करना |
6. सूत्र द्िारा चतुर्ाांश विचलन ज्ञात करना (Q)।
सोपान

15. व्यिवस्थत प्रदत्तः
प्रथम चतुथाांश (Q1)
तृतीय चतुथाांश(Q3)
चतुथाांश विचलन (Q)
सूत्र
𝑸𝟏 = 𝑳 +
ൗ
𝑵
𝟒−𝑪𝒇𝒃
𝒇
𝑿 𝒊 (i)
𝑸𝟑 = 𝑳 +
𝟑 ൗ
𝑵
𝟒−𝑪𝒇𝒃
𝒇
𝑿 𝒊 (ii)
𝑸 =
𝑸𝟑
−𝑸𝟏
𝟐
(iii)
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15
Q1 = प्रथम चतुथाांश
L = Q1 िाले िगायन्तर की वनम्न सीमा
N = सम्पूणय सांख्या
f = Q1 िाले िगायन्तर की आिृवत्त
Cfb = Q1 िाले िगायन्तर के नीचे
िाले िगायन्तर की सांचयी आिृवत्त
i = िगायन्तर का आका
Q3 = तृतीय चतुथाांश
L = Q3 िाले िगायन्तर की वनम्न सीमा
N = सम्पूणय सांख्या
f = Q3 िाले िगायन्तर की आिृवत्त
Cfb = Q3 िाले िगायन्तर के नीचे
िाले िगायन्तर की सांचयी आिृवत्त
i = िगायन्तर का आका

16. िर्ाांतर
(i)
आिृतत
(f)
संचयी आिृतत
(Cf)
Q1, Q2, Q की र्णना
30-32 5 50 𝐐𝟏 = 𝐋 +
ൗ
𝑵
𝟒−𝑪𝒇𝒃
𝒇
𝐗 𝐢
= 17.5 +
12.5 − 11
7
X 3
𝐐𝟏 = 𝟏𝟖. 𝟏𝟒
𝐐𝟑 = 𝐋 +
𝟑 ൗ
𝑵
𝟒 − 𝑪𝒇𝒃
𝒇
𝐗 𝐢
= 26.5 +
37.5 − 37
8
X 3
𝐐𝟑 = 𝟐𝟔. 𝟔𝟗
𝐐 =
𝐐𝟑
−𝐐𝟏
𝟐
=
26.69−18.14
2
Q = 4.28
27-29 8 (f) 45 Q3
24-26
21-23
9
10
37 (Cfb)
28
18-20 7 (f) 18 Q1
15-17
12-14
9-11
5
4
2
11 (Cfb)
6
2
N=∑f=50
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16

17. चतुथाांश-विचलन का प्रयोग
कब?
• जब प्राप्तांकों क
े क
े न्रिती मान की सूचना मध्यांक
मान द्िारा दी र्ई हो।
• जब प्राप्तांकों का वितरण सामान्य हो।
• जब प्राप्तांकों क
े मध्यिती 50% छात्रों क
े प्राप्तांकों
की सीमाएाँ ज्ञात करनी हों।
• जब प्राप्तांकों क
े वितरण में अधिक व्यििान हो
अर्ाात् प्राप्तांकों का वितरण क्रम-पूणा न हो।

18. जब प्राप्ाांकों का विचलन मध्यमान से वनकाल कर
उनके विचलनों के औसत िन(+) तथा ऋण (-)
वचह्नों को ध्यान कदये वबना वनकाला जाता है तो
उसे मध्यमान विचलन /औसत विचलन कहा
जाता है।
विचलन (d) = समूह के सभी प्राप्ाांकों का मध्यमान से
अन्तर (X-M)
अव्यिवस्थत प्रदत्तः
सूत्र 𝐴. 𝐷. =
σ 𝑑
𝑁
A.D.=औसत विचलन
σ = योग
𝑑 =X-M विचलन
N = सम्पूणय सांख्या
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18

19. प्राप्तांक
X
विचलन
d= (X-M)
dपूणण पप
पूणण |पूणण
d 𝑑
औसत विचलन
A.D
12
3
5
8
7
12-7=+5
3-7=-4
5-7=-2
8-7=+1
7-7=0
5
4
2
1
0
𝐀. 𝐃. =
σ 𝒅
𝑵
=
𝟏𝟐
𝟓
= 𝟐. 𝟒
A.D. = 2.4 उत्तर
𝑀 =
σ 𝑿
𝑵
=
𝟑𝟓
𝟓
= 7 σ 𝒅 = 12
अव्यिवस्थत प्रदत्त --उदाहरण औसत विचलन
5 छात्रों के प्राप्ाांक 12, 3, 5, 8, 7 | औसत विचलन ज्ञात करें|
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19
क
ु ल विचलन
|d|

20. 06-08-2021
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20
व्यिस्स्र्त प्रदत्त से मध्यमान/औसत विचलन
ज्ञात करना (Grouped Data)
1. िर्ाांतर का आकार ज्ञात करना (i) |
2. क
ु ल संख्या ज्ञात करना (N=∑f)|
3. िर्ाांतर का मध्य बबंदु ज्ञात करना (x )|
4. आिृतत एिं मध्य बबन्दुओं का र्ुणनफल ज्ञात करना (f.x)
5.मध्यमान ज्ञात करना (M= Σfx/N)|
6.आिृतत एिं विचलन का र्ुणनफल ज्ञात करना (f.d )|
7. आिृतत एिं विचलन क
े र्ुणनफल का योर् ज्ञात करना (∑f x d )
8. सूत्र द्िारा मध्यमान विचलन ज्ञात करना A.D=
σ 𝐟𝒅
𝑵
सोपान

21. िर्ाांतर
(i)
आिृतत
(f )
मध्य
बबंदु
(x)
आिृतत मध्य
बबंदु र्ुणनफल
(f x )
विचलन
(d=X-M)
आिृतत विचलन
र्ुणनफल
(f.d)
19-21
16-18
13-15
10-12
7-9
4-6
2
3
4
3
2
1
20
17
14
11
8
5
20x2=40
17x3=51
14x4=56
11x3=33
8x2=16
5x1=5
20 -13.4 =6.6
17 -13.4 =3.6
14 -13.4 =0.6
11 -13.4 =-2.4
8 -13.4 =-5.4
5 -13.4 =-8.4
2 x 6.6 = 13.2
3 x 3.6 = 10.8
4 x 0.6 = 2.4
3 x -2.4 = -7.2
2 x -5.4 = -10.8
1 x -8.4 = -8.4
N=15 Σfx=201; M=Σfx/N=201/15
M=13.4
Σ‫ا‬fd‫=ا‬52.8
मध्यमान विचलन=
σ 𝐟𝒅
𝑵
=
𝟓𝟐.𝟖
𝟏𝟓
= 3.52 उत्तर
व्यिवस्थत प्रदत्त (Grouped Data) –उदाहरण औसत विचलन
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21

22. मध्यमान विचलन का
प्रयोग कब ?
• जब प्राप्तांकों का वितरण लर्भर् सामान्य हो।
• जब सािारण विश्िसनीयता की आिश्यकता हो।
• जब प्राप्तांकों से मध्यमान क
े विचलनों को आकार
क
े अनुसार व्यिस्स्र्त करने की आिश्यकता हो।
• जब प्राप्तांक अत्यंत फ
ै ले हों और स्जसक
े कारण
प्रामाणणक विचलन क
े दूवित होने की सम्भािना
विद्यमान हो।

23. • सभी प्राप्ाांकों के उनके मध्यमान से वलये गये
विचलनों के िगों के औसत के िगयमूल को
प्रामावणक या मानक विचलन कहते है।
• सदैि िनात्मक होता है।
• Symbol = S.D. or σ (वसग्मा)
अव्यिवस्थत प्रदत्तः
सूत्र 𝑆. 𝐷. 𝑜𝑟 σ =
σ 𝑑2
𝑁
IV प्रामावणक/मानक विचलन (Standard Deviation)
S.D. 𝑜𝑟 σ =मानक विचलन
σ 𝑑2 = प्राप्ाांकों का
मध्यमान से अन्तर के िगों
का योग
N = सम्पूणय सांख्या
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23

24. 06-08-2021
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24
अव्यिस्स्र्त प्रदत्त से प्रामाणणक/मानक
विचलन ज्ञात करना (Ungrouped Data)
1. प्राप्ताकों का योर् ज्ञात करना (∑X)|
2. छात्रों की क
ु ल संख्या ज्ञात करना (N)|
3. मध्यमान ज्ञात करना M=∑X/N
4. विचलन ज्ञात करना (d)
5. विचलन का िर्ा ज्ञात करना (d)2
6. विचलनों क
े िर्ो का योर् ज्ञात करना (Σd2)
7. सूत्र द्िारा प्रामाणणक/मानक विचलन ज्ञात करना |
सोपान

25. प्राप्तांक
(X)
विचलन
d = (X-M)
विचलन
िा वगण 𝒅𝟐
मानक विचलन S.D.
2
8
7
3
4
6
2 - 5= -3
8 - 5= +3
7 - 5= +2
3 - 5= -2
4 - 5= -1
6 - 5= +1
-3 x -3= 9
+3 x +3= 9
+2 x +2= 4
-2 x -2= 4
-1 x -1= 1
+1 x +1= 1
𝐒. 𝐃. 𝐨𝐫 σ =
σ 𝐝𝟐
𝐍
=
𝟐𝟖
𝟔
= 𝟒. 𝟔𝟔
S.D.=2.1 उत्तर
Σx=30 𝐌 =
σ 𝐗
𝐍
=
𝟑𝟎
𝟔
M= 5
Σd2=28
अव्यिवस्थत प्रदत्त से प्रामावणक विचलन
उदाहरण
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25

26. 06-08-2021
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26
व्यिस्स्र्त प्रदत्त से प्रामाणणक/मानक विचलन ज्ञात
करना (Grouped Data)
1. िर्ाांतर का आकार ज्ञात करना (i) |
2. क
ु ल संख्या ज्ञात करना (N=∑f)|
3. प्रत्येक िर्ाांतर का (मध्यमान की विशेिता अनुसार) विचलन ललखना (d)|
4. आिृतत एिं विचलनों का र्ुणनफल ज्ञात करना (f.d )
5. आिृतत एिं विचलनों क
े र्ुणनफल का योर् ज्ञात करना (∑ f.d )
6. प्रत्येक िर्ाांतर क
े विचलन का िर्ा ज्ञात करना (d2)|
7.आिृतत एिं विचलनों क
े िर्ा का र्ुणनफल ज्ञात करना (f.d2)
8. आिृततयों एिं विचलन क
े िर्ों क
े र्ुणनफल का योर् ज्ञात करना (∑f.d2 )
9. सूत्र द्िारा प्रामाणणक/मानक विचलन ज्ञात करना|
सोपान

27. 𝑺. 𝑫. 𝒐𝒓 σ = 𝒊
σ 𝒇𝒅𝟐
𝑵
−
σ 𝒇𝒅
𝑵
𝟐
σ =प्रामावणक विचलन
i = िगायन्तर आकार N = सम्पूणय सांख्या
f = विवभन्न िगों की आिृवत्त d = विचलन
d2 = विचलनों का िगय Σ = योग
मानक विचलन -व्यिवस्थत प्रदत्त सूत्र
(Grouped Data)
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27

28. िर्ाान्तर
(i)
आिृ
स्त्त
(f)
विचलन
(d)
आिृस्त्त x
विचलन
(fd)
विचलन का
िर्ा
d2
आिृस्त्त x विचलनों
का िर्ा
fd2
30-32
27-29
24-26
21-23
18-20
15-17
12-14
9-11
5
8
9
10
7
5
4
2
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
5 x 3=15
8 x 2=16
9 x 1=9
10 x 0=0
7 x -1=-7
5 x -2=-10
4 x -3=-12
2 x -4= -8
3 x 3 =9
2 x 2 =4
1 x 1 = 1
0 x 0 = 0
-1x-1=1
-2 x -2=4
-3 x -3=9
-4x -4=16
5 x 9 = 45
8 x 4 = 32
9 x 1 = 9
10 x 0 = 0
7 x 1 = 7
5 x 4 = 20
4 x 9= 36
2 x16= 32
i=3 N=Σf=50 Σfd=3 Σfd2=181
मानक विचलन -व्यिवस्थत प्रदत्त
उदाहरण
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29. 𝑺. 𝑫. = 𝒊
σ 𝒇𝒅𝟐
𝑵
−
σ 𝒇𝒅
𝑵
𝟐
= 𝟑
𝟏𝟖𝟏
𝟓𝟎
−
𝟑
𝟓𝟎
𝟐
= 𝟑𝒙 𝟑. 𝟔𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟔 𝟐
= 𝟑𝒙 𝟑. 𝟔𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟔
= 𝟑𝒙 𝟑. 𝟔𝟏𝟔𝟒 = 3x1.90
S.D. = 5.70 उत्तर
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30. प्रामावणक-विचलन का
प्रयोग कब?
• जब प्राप्तांकों का वितरण लर्भर् सामान्य हो।
• जब अधिक-से-अधिक विश्िसनीयता अपेक्षित हो।
• जब प्राप्तांकों क
े क
े न्रिती मान की सूचना
मध्यमान द्िारा दी जा रही हो।
• जब सांस्ख्यकी क
े अन्तर्ात अन्य विधियों जैसे
सह-सम्बन्ि, प्रामाणणक-त्रुटि आटद का प्रयोर् करना
हो।

31. • जब दो या दो से अविक आिृवत्त वितरणों के
मध्यमान (M), मानक विचलन (σ), उनके
प्राप्ाांकों की सांख्या (N) तथा मापन की
इकाईयाँ अलग-अलग हो, तब इन आिृवत्त
वितरणों के तुलनात्मक अध्ययन के वलये
विचलन गुणाांक की गणना की जाती है।
• सूत्र 𝑪. 𝑽. =
𝝈
𝑴
𝒙𝟏𝟎𝟎
विचलन गुणाांक/विचलनशीलता गुणाांक (C. V.)
C.V. = विचलन गुणाांक
σ = प्रामावणक मानक
विचलन
M = मध्यमान
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32. प्रर्म समूह द्वितीय समूह
σ1=4.68
M1=45
σ=3.25
M=48
𝐂. 𝐕. =
𝛔
𝐌
𝐱𝟏𝟎𝟎
𝐂. 𝐕. =
𝟒. 𝟔𝟖
𝟒𝟓
𝐱𝟏𝟎𝟎
𝐂. 𝐕. = 𝟏𝟎. 𝟒
𝐂. 𝐕. =
𝛔
𝐌
𝐱𝟏𝟎𝟎
𝐂. 𝐕. =
𝟑. 𝟐𝟓
𝟒𝟖
𝐱𝟏𝟎𝟎
𝐂. 𝐕. = 𝟔. 𝟕𝟕
ஃ प्रथम समूह में ववचलनशीलता द्ववतीय समूह से
अधिि है।
उदाहरण
06-08-2021
Prof Amita Pandey Bhardwaj, Deptt. of
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33. सारांश
• समूहों िी पारस्पररि भिन्नता िा अनुमान साांख्ययिी में चार तरह
ि
े मापों द्वारा लगाया जाता है। इन चारों मापों िो ववचलन-मान
ि
े नाम से पुिारा जाता है। ये माप हैं- ववस्तार, चतुथाांश ववचलन
मध्यमान-ववचलन तथा प्रामाणणि-ववचलन।
• ववचलन-मानों िा प्रयोग सिी पररख्स्थततयों में समान रूप में नहीां हो
सिता ।
• जब प्रापताांिों िा ववतरण सामान्य नहीां होता तो चतुथाांश-ववचलन
तथा ववस्तार िा प्रयोग किया जाता है।
• जब समूह में असामान्य प्रापताांिों िी अधििता हो तो मध्यमान-
ववचलन तथा प्रामाणणि ववचलन िा प्रयोग िदावप नहीां िरना चाहहए
• सामान्य पररख्स्थततयों ि
े भलए प्रामाणणि-ववचलन तथा चरता िा
प्रयोग उधचत भसद्ध होता है ।

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Prof Amita Pandey Bhardwaj, Deptt. of
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