ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 2

ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ
Κεφάλαιο 2ο
Αριθμητικά Συστήματα Και Κώδικες

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
o 2.1 Αρχές ανάπτυξης αριθμητικών συστημάτων.
o 2.2 Δεκαδικό σύστημα.
o 2.3 Δυαδικό σύστημα.
n 2.3.1 Ορισμοί.
n 2.3.2 Αρίθμηση στο δυαδικό σύστημα.
n 2.3.3 Μετατροπή δυαδικού στο δεκαδικό.
n 2.3.4 Μετατροπή δεκαδικού στο δυαδικό.
o 2.4 Οκταδικό σύστημα.
n 2.4.2 Αρίθμηση στο οκταδικό σύστημα.
n 2.4.3 Μετατροπή οκταδικού σε δεκαδικό.
n 2.4.4 Μετατροπή δεκαδικού σε οκταδικό.
n 2.4.5 Μετατροπή οκταδικού σε δυαδικό.
n 2.4.6 Μετατροπή δυαδικού σε οκταδικό.
o 2.5 Δεκαεξαδικό σύστημα.
n 2.5.2 Αρίθμηση στο δεκαεξαδικό σύστημα.
n 2.5.3 Μετατροπή δεκαεξαδικού σε δεκαδικό.
n 2.5.4 Μετατροπή δεκαδικού σε δεκαεξαδικό.
n 2.5.5 Μετατροπή δεκαεξαδικού σε δυαδικό.
n 2.5.6 Μετατροπή δυαδικού σε δεκαεξαδικό.
n 2.5.7 Μετατροπή δεκαεξαδικού σε οκταδικό.
n 2.5.8 Μετατροπή οκταδικού σε δεκαεξαδικό.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
o 2.6 Αριθμητικές πράξεις.
n 2.6.1 Αριθμητικές πράξεις στο δυαδικό σύστημα.
o 2.6.1.1 Πρόσθεση δυαδικών αριθμών.
o 2.6.1.2 Αφαίρεση δυαδικών αριθμών.
n 2.6.2 Αριθμητικές πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.
o 2.6.2.1 Πρόσθεση δεκαεξαδικών αριθμών.
o 2.6.2.2 Αφαίρεση δεκαεξαδικών αριθμών.
o 2.7 Κώδικες.
n 2.7.1 Δυαδικοί κώδικες.
n 2.7.2 Δυαδικοί κώδικές με βάρη.
o 2.7.2.1 Ο κώδικας BCD.
o 2.7.2.2 Μετατροπή από BCD σε δεκαδικό.
o 2.7.2.3 Μετατροπή από δεκαδικό σε BCD.
o 2.7.2.4 Αριθμοί του κώδικα BCD και δυαδικοί αριθμοί.
n 2.7.3 Δυαδικοί κώδικες χωρίς βάρη.
o 2.7.3.1 Ορισμοί.
o 2.7.3.2 Ο κώδικας GRAY.
n 2.7.4 Αλφαριθμητικοί κώδικες.
o 2.7.4.1 Ορισμοί.
o 2.7.4.2 Ο κώδικας ASCII.

5/29/2013 ΛΕΥΘΕΡΟΥΔΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΠΕ
1708
4
2.1 Αρχές ανάπτυξης αριθμητικών
συστημάτων
o Ένα αριθμητικό σύστημα είναι ένα σύνολο από ψηφία
(αριθμοί και χαρακτήρες) που χρησιμοποιούνται για
αρίθμηση και υπολογισμούς (πρόσθεση, αφαίρεση,
πολλαπλασιασμό, διαίρεση).
o Η ανάπτυξη των αριθμητικών συστημάτων βασίζεται
σε δύο αρχές :
1. Την ύπαρξη βάσης (base, radix) του συστήματος.
2. Την ύπαρξη αξίας – βάρους (weight) των θέσεων των
συμβόλων.
o Το περισσότερο χρησιμοποιούμενο αριθμητικό
σύστημα είναι το δεκαδικό. Αλλά συστήματα με τα
οποία θα ασχοληθούμε είναι το δυαδικό, το οκταδικό
και το δεκαεξαδικό.

1708
5
2.2 Δεκαδικό σύστημα
o Το δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιεί δέκα ψηφία (τους
αριθμούς 0-9).
o Έχει βάση το 10.
o Η αξία των ψηφίων εξαρτάται από τις θέσεις τους (το
βάρος των θέσεων υπολογίζεται από την αντίστοιχη
δύναμη του 10).
o ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : ο αριθμός 5832 παριστάνει μία
ποσότητα που είναι ίση με :
o 5 χιλιάδες + 8 εκατοντάδες + 3 δεκάδες +2 μονάδες.
0123
10 10*210*310*810*5)5832( +++=

1708
6
o Το πρώτο ψηφίο του αριθμού είναι το
περισσότερο σημαντικό ψηφίο (Most
Significant Digit – MSD), γιατί έχει την
μεγαλύτερη αξία.
o Ενώ το τελευταίο ψηφίο είναι το λιγότερο
σημαντικό ψηφίο (Least Significant Digit –
LSD) γιατί έχει την μικρότερη αξία.
0123
10 10*210*310*810*5)5832( +++=

1708
7
2*100=23*101=308*102=8005*103=5000Αξία
100101102103Βάρος
0123Θέση
2385Ψηφία
LSDMSD

1708
8
o ΑΡΑ κάθε αριθμός εκφρασμένος σε αριθμητικό
σύστημα με βάση (radix) το r παριστάνεται με
μία σειρά από ψηφία οι τιμές των οποίων
κυμαίνονται από 0 έως r-1 δηλαδή :
o Ο αντίστοιχος δεκαδικός αριθμός (με βάση το
10) είναι :
0121...)( aaaaaA nnr -=
0
0
1
1
2
2
1
110 10*10*10*...10*10*)( aaaaaA n
n
n
n +++++= -
-

1708
9
0
0
1
1
2
2
1
110 10*10*10*...10*10*)( aaaaaA n
n
n
n +++++= -
-
0123
10 10*210*310*810*5)5832( +++=

1708
10
2.3 Δυαδικό σύστημα
2.3.1 Ορισμοί
o Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιεί 2 ψηφία, τα
ψηφία «0» και «1».
o Δηλαδή έχει βάση τον αριθμό 2.
o Κάθε δυαδικός αριθμός παριστάνεται από μια σειρά
από τέτοια ψηφία που ονομάζονται δυαδικά ψηφία
(bits).
o Από τις θέσεις των ψηφίων προκύπτουν τα βάρη τους
(οι αντίστοιχες δυνάμεις του 2).
o ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : έχουμε τον αριθμό (1011)2
0123
2 2*12*12*02*1)1011( +++=

1708
11
περισσότερο σημαντικό δυαδικό ψηφίο
(Most Significant Bit – MSB), γιατί έχει την
σημαντικό δυαδικό ψηφίο (Least Significant
Bit – LSB) γιατί έχει την μικρότερη αξία.
10
0123
2 )11(2*12*12*02*1)1011( =+++=

1708
12
1*20=11*21=20*22=01*23=8Αξία
20212223Βάρος
0123Θέση
1101Ψηφία
LSBMSB

1708
13
2.3.2 Αρίθμηση στο δυαδικό
σύστημα
o Στο δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιώντας n ψηφία μπορούμε να
μετρήσουμε 10n αριθμούς (από το 0 μέχρι και το 10n-1).
n Για παράδειγμα με 1 ψηφίο μπορούμε να μετρήσουμε τους
αριθμούς 0-9.
n Με δύο ψηφία τους αριθμούς 0-99.
n Με τρία ψηφία τους αριθμούς 0-999.
o Αντίστοιχα στο δυαδικό σύστημα χρησιμοποιώντας n ψηφία (bits)
μπορούμε να μετρήσουμε 2n αριθμούς (από το 0 μέχρι και το 2n-1).
n Με 1 ψηφίο μπορούμε να μετρήσουμε τους αριθμούς 0-1.
n Με τέσσερα ψηφία τους αριθμούς 0-15.

011141
111151
101131
001121
110111
010101
100190
000180
111070
011060
101050
001040
110030
010020
100010
000000
LSBMSBLSDMSD
Δυαδικό βάση 2Δεκαδικός βάση 10

1708
15
2.3.3 Μετατροπή δυαδικού σε
δεκαδικό
o Για την μετατροπή του δυαδικού αριθμού σε
δεκαδικό χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος :
o Για παράδειγμα, ο δυαδικός αριθμός (1110)2
αντιστοιχεί στον δεκαδικό αριθμό (14)10
10
0123
2 )14(2*02*12*12*1)1110( =+++=
0
0
1
1
2
2
1
110 2*2*2*...2*2*)( aaaaaA n
n
n
n +++++= -
-

1708
16
δεκαδικό
o Ένας άλλος πρόχειρος τρόπος για να μετατρέψουμε
έναν δυαδικό αριθμό σε δεκαδικό είναι να γράψουμε
πάνω από τους άσσους (τα bit του δυαδικού που είναι
«1») την αξία σε δεκαδικό και να προσθέσουμε τις
τιμές αυτές.
0
1
=1424+8+σύνολο
111Ψηφία
248Αξία

1708
17
δεκαδικό
256
28
σύνολο
ψηφία
Αξία
1
20
2
21
4
22
8
23
16
24
32
25
64
26
128
27

1708
18
2.3.4 Μετατροπή δεκαδικού σε
δυαδικό
o Για την μετατροπή δεκαδικού αριθμού σε δυαδικό αριθμό
χρησιμοποιείται η ακόλουθη διαδικασία :
o Ο δεκαδικός αριθμός διαιρείται δια του 2, όποτε προκύπτει
ακέραιο πηλίκο και υπόλοιπο (που είναι 0 ή 1).
o Το πηλίκο της προηγούμενης διαίρεσης διαιρείται εκ νέου δια του
2, οπότε προκύπτει νέο ακέραιο πηλίκο και νέο υπόλοιπο.
o Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να προκύψει πηλίκο ίσο με 0.
o Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων αποτελούν τα ψηφία του
ακέραιου μέρους του δυαδικού αριθμού με LSB, το υπόλοιπο
της πρώτης διαίρεσης και MSB το υπόλοιπο της τελευταίας
διαίρεσης.

1708
19
δυαδικό
MSB
LSB

1708
20
δυαδικό
σύνολο
ψηφία
Αξία
18+32+
100101
1248163264128

1708
21
2.4 Οκταδικό σύστημα
o Το οκταδικό σύστημα χρησιμοποιεί οκτώ
ψηφία (τους αριθμούς 0-7).
o Η αξία των ψηφίων εξαρτάται από τις θέσεις
τους (το βάρος των θέσεων υπολογίζεται από
την αντίστοιχη δύναμη του 8).
o ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : ο αριθμός 452 παριστάνει μία
10
012
8 )298(8*28*58*4)452( =++=

1708
22
10
012
8 )298(8*28*58*4)452( =++=

1708
23
2*80=2*1=25*81=5*8=404*82=4*64=256Αξία
808182Βάρος
012Θέση
254Ψηφία
LSDMSD

1708
24
2.4.2 Αρίθμηση στο οκταδικό
σύστημα
o Στο οκταδικό σύστημα χρησιμοποιώντας n
ψηφία ) μπορούμε να μετρήσουμε 8n
αριθμούς (από το 0 μέχρι και το 8n-1).
n Με 1 ψηφίο μπορούμε να μετρήσουμε
τους αριθμούς 0-7.
n Με τέσσερα ψηφία τους αριθμούς 0-4095.

6141
7151
5131
4121
3111
2101
1190
0180
7070
6060
5050
4040
3030
2020
1010
0000
LSDMSDLSDMSD
Οκταδικό βάση 8Δεκαδικός βάση 10

1708
26
2.4.3 Μετατροπή οκταδικού σε
δεκαδικό
o Για την μετατροπή ενός οκταδικού αριθμού σε
δεκαδικό χρησιμοποιείται ο ακόλουθος τύπος :
o Για παράδειγμα, ο οκταδικός αριθμός 372 :
0
0
1
1
2
2
1
110 8*8*8*...8*8*)( aaaaaA n
n
n
n +++++= -
-
10
012
8 )250(1*28*764*38*28*78*3)372( =++=++=

1708
27
δεκαδικό
4096
84
32768
85
2621445126481
8683828180
83=8*8*8=512 8
8Χ
64
8Χ
2
3
4*8=32 γράφουμε 2 και
κρατάμε 3.
8*6=48+3 τα
κρατούμενα = 51
51

1708
28
οκταδικό
o Για την μετατροπή δεκαδικού αριθμού σε οκταδικό αριθμό
ακέραιο πηλίκο και υπόλοιπο.
o Το πηλίκο της προηγούμενης διαίρεσης διαιρείται εκ νέου δια του
8, οπότε προκύπτει νέο ακέραιο πηλίκο και νέο υπόλοιπο.
o Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων αποτελούν τα ψηφία του
ακέραιου μέρους του οκταδικού αριθμού με LSD, το υπόλοιπο
της πρώτης διαίρεσης και MSD το υπόλοιπο της τελευταίας
διαίρεσης.

1708
29
οκταδικό
MSD
LSD

1708
30
δυαδικό
δυαδικό αριθμό μετατρέπεται κάθε ψηφίο του
οκταδικού αριθμού σε μία ομάδα τριών (3)
δυαδικών ψηφίων.
o Επειδή με τρία δυαδικά ψηφία μπορούν να
αναπαρασταθούν όλα τα ψηφία του οκταδικού
συστήματος.
000001010011100101110111Δυαδικό
01234567Οκταδικό

1708
31
δυαδικό
o Για παράδειγμα, ο οκταδικός αριθμός :
28 )000111111101()3764( =
100110111011Δυαδικό
4673Οκταδικό

1708
32
οκταδικό
o Για τη μετατροπή ενός δυαδικού αριθμού σε οκταδικό
αριθμό, χωρίζεται ο δυαδικός αριθμός σε ομάδες
τριών (3) bits και κάθε ομάδα μετατρέπεται στο
ισοδύναμο οκταδικό ψηφίο.
o Αν ο δυαδικός αριθμός δεν χωρίζεται ακριβώς σε
τριάδες bits, τότε προστίθενται όσα «0» απαιτούνται
στα αριστερά του MSB του δυαδικού αριθμού γιατί
αυτό δεν επηρεάζει τον αριθμό, ώστε να δημιουργηθεί
η τελευταία τριάδα bits.

1708
33
οκταδικό
82 )251()10101001( =
152
001101010

1708
34
2.5 Δεκαεξαδικό σύστημα
o Το δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιεί 16 ψηφία (τους
αριθμούς 0-9 και τα γράμματα A,B,C,D,E,F).
o Η αξία των ψηφίων εξαρτάται από τις θέσεις τους (το
βάρος των θέσεων υπολογίζεται από την αντίστοιχη
δύναμη του 16).
o ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ : ο αριθμός 8F9 παριστάνει μία
10
012
16 )2297(16*916*1516*8)98( =++=F

1708
35
10
012
16 )2297(16*916*1516*8)98( =++=F

1708
36
9*160=9*1=915*161=15*16=2408*162=8*256=2048Αξία
160161162Βάρος
012Θέση
9F=158Ψηφία
LSDMSD

1708
37
2.5.2 Αρίθμηση στο δεκαεξαδικό
σύστημα
o Στο δεκαεξαδικό σύστημα χρησιμοποιώντας
n ψηφία ) μπορούμε να μετρήσουμε 16n
αριθμούς (από το 0 μέχρι και το 16n-1).
n Με 1 ψηφίο μπορούμε να μετρήσουμε
τους αριθμούς 0-15.
n Με τέσσερα ψηφία τους αριθμούς 0-
65535.

E41
F51
D31
C21
B11
A01
990
880
770
660
550
440
330
220
110
000
LSDMSD
Δεκαεξαδικό βάση 16
Δεκαδικός βάση 10

1708
39
2.5.3 Μετατροπή δεκαεξαδικού σε
δεκαδικό
o Για την μετατροπή ενός δεκαεξαδικού αριθμού
σε δεκαδικό χρησιμοποιείται ο ακόλουθος
τύπος :
o Για παράδειγμα, ο δεκαεξαδικός αριθμός B5D :
0
0
1
1
2
2
1
110 16*16*16*...16*16*)( aaaaaA n
n
n
n +++++= -
-
10
012
16
)2909(1*1316*5256*11
16*1316*516*11)5(
=++=
=++=DB

1708
40
δεκαδικό
65536
164
4096256161
163162161160
163=16*16*16=4096 16
16Χ
6
16Χ
6
3
6*6=36 γράφουμε 6
και κρατάμε 3.
1*6=6+3 τα
κρατούμενα=9
1*16=16+9=25
6*6=36 γράφουμε τα
6 και κρατάμε τα 3
6*25=150+3=153
1*256=256+153=409
409
3
25

1708
41
δεκαεξαδικό
o Για την μετατροπή δεκαδικού αριθμού σε δεκαεξαδικό αριθμό
ακέραιο πηλίκο και υπόλοιπο.
o Το πηλίκο της προηγούμενης διαίρεσης διαιρείται εκ νέου δια του 16,
οπότε προκύπτει νέο ακέραιο πηλίκο και νέο υπόλοιπο.
o Τα υπόλοιπα των διαιρέσεων αποτελούν τα ψηφία του ακέραιου
μέρους του δεκαεξαδικού αριθμού με LSD, το υπόλοιπο της
πρώτης διαίρεσης και MSD το υπόλοιπο της τελευταίας
διαίρεσης.
o ΠΡΟΣΟΧΗ ! Θα πρέπει στο τέλος να μετατρέπουμε τους
αριθμούς των υπολοίπων σε γράμματα σύμφωνα με τον πίνακα
αρίθμησης.

1708
42
MSD
LSD

1708
43
δυαδικό
o Για την μετατροπή ενός δεκαεξαδικού αριθμού σε
δυαδικό αριθμό μετατρέπεται κάθε ψηφίο του
δεκαεξαδικού αριθμού σε μία ομάδα τεσσάρων (4)
δυαδικών ψηφίων.
o Επειδή με τέσσερα δυαδικά ψηφία μπορούν να
αναπαρασταθούν όλα τα ψηφία του δεκαεξαδικού
συστήματος.
FEDCBA98Δεκαεξαδικό
01110110010101000011001000010000Δυαδικό
11111110110111001011101010011000Δυαδικό
76543210Δεκαεξαδικό

1708
44
δυαδικό
o Για παράδειγμα, ο δεκαεξαδικός αριθμός :
216 )1001001001111001()649( =E
0100011011101001Δυαδικό
46E9Δεκαεξαδικό

1708
45
o Για τη μετατροπή ενός δυαδικού αριθμού σε
δεκαεξαδικό αριθμό, χωρίζεται ο δυαδικός αριθμός σε
ομάδες τεσσάρων (4) bits και κάθε ομάδα
μετατρέπεται στο ισοδύναμο δεκαεξαδικό ψηφίο.
o Αν ο δυαδικός αριθμός δεν χωρίζεται ακριβώς σε
τετράδες bits, τότε προστίθενται όσα «0» απαιτούνται
στα αριστερά του MSB του δυαδικού αριθμού γιατί
αυτό δεν επηρεάζει τον αριθμό, ώστε να δημιουργηθεί
η τελευταία τετράδα bits.

1708
46
162 )512()0100010010111101( F=
5
0101
1F2
000111110010

1708
47
οκταδικό
o Για την μετατροπή ενός δεκαεξαδικού αριθμού
σε οκταδικό, μετατρέπεται ο δεκαεξαδικός
αριθμός σε δυαδικό αριθμό που με την σειρά του
μετατρέπεται σε οκταδικό αριθμό.
216 )011010001101()35( =A
5605
82 )5065()011010001101( =

1708
48
2.5.8 Μετατροπή οκταδικό σε
δεκαεξαδικού
δεκαεξαδικό, μετατρέπεται ο οκταδικός αριθμός
σε δυαδικό αριθμό που με την σειρά του
μετατρέπεται σε δεκαεξαδικό αριθμό.
28 )011111010000()7501( =
14F
162 )41()011111010000( F=

1708
49
2.6 Αριθμητικές πράξεις
2.6.1 Στο δυαδικό
2.6.1.1 Πρόσθεση
o Το άθροισμα δύο δυαδικών αριθμών υπολογίζεται με
ανάλογη διαδικασία όπως το άθροισμα δύο δεκαδικών
αριθμών :
o Η πρόσθεση ξεκινάει από τα LSB προς τα MSB των
προσθετέων, κάθε bit του αθροίσματος είναι «0» ή «1»
και το κρατούμενο κάθε θέσης προστίθεται στα bits των
προσθετέων της επόμενης θέσης.
o Οι μνημονικοί κανόνες της δυαδικής πρόσθεσης είναι :
n 0+0=0
n 0+1=1
n 1+0=1
n 1+1=0 και κρατούμενο 1
o Το σύμβολο + ΔΕΝ αντιστοιχεί στην πράξη OR.

1708
50
2.6 Αριθμητικές πράξεις
2.6.1 Στο δυαδικό
2.6.1.1 Πρόσθεση
222 )10101()1100()1001( =+
1 0 0 1
1 1 0 0+
1
10101
101010 )21()12()9( =+
Αριθμητικές
πράξεις στο
δυαδικό
σύστημα.

1708
51
2.6.1.2 Αφαίρεση δυαδικών
αριθμών
o Η διαφορά δύο δυαδικών αριθμών υπολογίζεται με
ανάλογη διαδικασία όπως η διαφορά δύο δεκαδικών
αριθμών :
o Η αφαίρεση ξεκινάει από τα LSB προς τα MSB του
μειωτέου και του αφαιρετέου
o Οι μνημονικοί κανόνες της δυαδικής αφαίρεσης είναι :
n 0-0=0
n 0-1=1 και δανεικό 1
n 1-0=1
n 1-1=0

1708
52
2.6.1.2 Αφαίρεση δυαδικών
αριθμών
222 )0101()0100()1001( =-
101010 )5()4()9( =-
1 0 0 1
0 1 0 0-
1
1010
0
-
Αφαιρετέος
Μειωτέος
Αριθμητικές
πράξεις στο
δυαδικό
σύστημα.

1708
53
2.6.2 Αριθμητικές πράξεις στο
δεκαεξαδικό σύστημα
o Οι δεκαεξαδικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται
ευρύτατα στους Η/Υ, όπως για παράδειγμα στην
αρίθμηση των διευθύνσεων μνήμης ή στον
προγραμματισμό μικροϋπολογιστών σε γλώσσα
μηχανής.
o Επομένως, είναι χρήσιμη η γνώση εκτέλεσης των
πράξεων της πρόσθεσης και της αφαίρεσης
δεκαεξαδικών αριθμών.

1708
54
2.6.2.1 Πρόσθεση δεκαεξαδικών
αριθμών
o Η πρόσθεση ξεκινάει από τα LSD προς τα MSD των
προσθετέων. Τα ψηφία των δεκαεξαδικών αριθμών
προστίθενται σε κάθε θέση, όπως προστίθενται οι
δεκαδικοί αριθμοί.
o Αν το αποτέλεσμα είναι μικρότερο από 15 ή ίσο με 15,
τότε το άθροισμα είναι το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο.
o Αν το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο από 15, τότε το
άθροισμα είναι το δεκαεξαδικό ψηφίο που αντιστοιχεί
στην διαφορά του αποτελέσματος μείον 16 και
μεταφέρεται κρατούμενο 1 στην επόμενη θέση.

1708
55
2.6.2.1 Πρόσθεση δεκαεξαδικών
αριθμών
161616 )913()314()98( ACFEB =+
101010 )80585()20273()60312( =+
Ε Β 9 8
4 F 3 1+
9
12
C
F=15 , B=11
15+11=26-16=10
E=14
14+4+1=19-16=310
A
1
31

1708
56
2.6.2.2 Αφαίρεση δεκαεξαδικών
αριθμών
o Η αφαίρεση ξεκινάει από τα LSD προς τα MSD του μειωτέου και του
αφαιρετέου.
o Αν σε κάθε θέση το ψηφίο του μειωτέου είναι μεγαλύτερο από ή
ίσο με το ψηφίο του αφαιρετέου, τότε τα ψηφία αφαιρούνται όπως
αφαιρούνται οι δεκαδικοί. Η διαφορά είναι το αντίστοιχο δεκαεξαδικό
ψηφίο.
o Αν σε κάθε θέση το ψηφίο του μειωτέου είναι μικρότερο από το
ψηφίο του αφαιρετέου, τότε μεταφέρεται δανεικό 1 από την επόμενη
θέση (το δεκαεξαδικό ψηφίο της επόμενης θέσης μειώνεται κατά 1).
o Στο ψηφίο του μειωτέου προστίθεται το 16 και από αυτό το άθροισμα
αφαιρείται το ψηφίο του αφαιρετέου.
o Η διαφορά είναι το αντίστοιχο δεκαεξαδικό ψηφίο του αποτελέσματος
αυτής της αφαίρεσης.

1708
57
2.6.2.2 Αφαίρεση δεκαεξαδικών
αριθμών
161616 )534()132()862( BEC =-
101010 )13493()11795()25288( =-
6 2 C 8
2 E 1 3-
5
18
11
B
Αφαιρετέος
Μειωτέος
C=12 12-1=11
E=14
2+16=18
4
5
3

1708
58
2.7 Κώδικες 2.7.1 Δυαδικοί κώδικες
o Ο άνθρωπος χρησιμοποιεί την δεκαδική λογική, ο Η/Υ
χρησιμοποιεί την δυαδική λογική, άρα είναι προφανές ότι
υπάρχει πρόβλημα επικοινωνίας του χρήστη με τον Η/Υ.
o Επομένως, απαιτείται η κατάλληλη μετατροπή των
πληροφοριών που ονομάζεται κωδικοποίηση.
o Κώδικας είναι ένας συστηματικός τρόπος παράστασης
πληροφοριών.
o Τα ηλεκτρονικά ψηφιακά συστήματα χρησιμοποιούν
σήματα που έχουν δύο διακριτές τιμές.
o Όμως, τα ψηφιακά συστήματα αναπαριστούν και
χειρίζονται πολλά διακριτά στοιχεία πληροφορίας και όχι
μόνο δυαδικές πληροφορίες.

1708
59
o Κάθε διακριτό στοιχείο πληροφορίας μπορεί να
παρασταθεί με έναν δυαδικό κώδικα.
o Δυαδικός κώδικας είναι ένας συστηματικός τρόπος
παράστασης πληροφοριών σε δυαδική μορφή.
o Οι δυαδικοί κώδικες χρησιμοποιούν το δυαδικό ψηφίο
(binary digit – bit) με δύο πιθανές τιμές «0» και «1».
o Με έναν δυαδικό κώδικα που χρησιμοποιεί n bits
μπορούν να παρασταθούν το πολύ 2n διακεκριμένα
στοιχεία πληροφορίας, αφού τα n bits μπορούν να
τοποθετηθούν στη σειρά με 2n διαφορετικούς τρόπους
(συνδυασμοί).

1708
60
o Π.Χ. τέσσερα στοιχεία μπορούν να παρασταθούν με
έναν δυαδικό κώδικα των 2 bits.
o Κάθε στοιχείο παριστάνεται με έναν από τους τέσσερις
τρόπους που μπορούν να τοποθετηθούν στη σειρά αυτά
τα δύο bits : 00, 01, 10, 11.
o Για παράδειγμα, οι τέσσερις εποχές του χρόνου θα
μπορούσαν να παρασταθούν ως εξής:
n Άνοιξη <> 00
n Καλοκαίρι <> 01
n Φθινόπωρο <> 10
n Χειμώνας <> 11
o Η παραπάνω αντιστοιχία των εποχών με δυαδικούς
αριθμούς είναι ένας δυαδικός κώδικας.

1708
61
o Αν το πλήθος των στοιχείων που πρόκειται να
κωδικοποιηθούν δεν είναι δύναμη του 2, τότε μερικοί
από τους συνδυασμούς των bits δε χρησιμοποιούνται.
o Για παράδειγμα, τα 10 ψηφία του δεκαδικού συστήματος
μπορούν να παρασταθούν με έναν δυαδικό κώδικα των
4 bits.
o Με 4 bits, όμως, μπορούν να αναπτυχθούν 16
συνδυασμοί. Επομένως, δε χρησιμοποιούνται 6
συνδυασμοί.
o Οι δυαδικοί κώδικες ανήκουν σε δύο κατηγορίες
ανάλογα με τον τρόπο κατασκευής τους :
n Δυαδικοί κώδικες με βάρη.
n Δυαδικοί κώδικες χωρίς βάρη.

1708
62
2.7.2 Δυαδικοί κώδικες με βάρη
o Οι δυαδικοί κώδικες με βάρη κατασκευάζονται με τέτοιον
τρόπο ώστε στη θέση κάθε bit του κώδικα να αντιστοιχεί
ένα βάρος (κάθε θέση έχει μία αξία).
o Οι ακόλουθοι δυαδικοί κώδικες με βάρη στα bits
ανάλογα με τη θέση τους, χρησιμοποιούνται για την
κωδικοποίηση των 10 ψηφίων του δεκαδικού
συστήματος :
n Ο BCD κώδικας που χρησιμοποιεί 4 bits με βάρη 8 4 2 1.
n Ο κώδικας με βάρη 7421 που χρησιμοποιεί 4 bits με βάρη 7 4
2 1.
n Ο Biquinary κώδικας που χρησιμοποιεί 7 Bits με βάρη 5 0 4 3
2 1 0.

1708
63
2.7.2.1 Ο κώδικας BCD
o Ο κώδικας BCD (Binary Coded Decimal –
δυαδικά κωδικοποιημένο δεκαδικό), είναι ένας
δυαδικός κώδικας με βάρη, που χρησιμοποιείται
για την κωδικοποίηση των 10 ψηφίων του
δεκαδικού συστήματος, το καθένα από τα οποία
αντιστοιχεί σε μία τετράδα bits.
o Ο κώδικας χρησιμοποιεί 4 bits με βάρη 8 4 2 1.
o Που χρησιμοποιείται ;

2.7.2.1 Ο κώδικας BCD
o Για παράδειγμα, ο δεκαδικός
αριθμός 5 αντιστοιχεί στην
τετράδα 0 1 0 1.
o (0*8+1*4+0*2+1*1=5).
o Ο κώδικας BCD χρησιμοποιεί
τους 10 από τους 16
δυνατούς συνδυασμούς των
5 Bits.
o Οι 6 συνδυασμοί 1010, 1011,
1100, 1101, 1110, 1111 δε
χρησιμοποιούνται.
1 0 0 19
1 0 0 08
0 1 1 17
0 1 1 06
0 1 0 15
0 1 0 04
0 0 1 13
0 0 1 02
0 0 0 11
0 0 0 00
BCD
8 4 2 1
Δεκαδικό
ψηφίο

1708
65
2.7.2.2 Μετατροπή από BCD σε
δεκαδικό
o Για τη μετατροπή ενός BCD αριθμού σε δεκαδικό
αριθμό χωρίζεται ο BCD αριθμός σε ομάδες
τεσσάρων (4) bits και κάθε ομάδα μετατρέπεται
στο ισοδύναμο δεκαδικό ψηφίο.
o Π.Χ (1000011000101001)=8629
9268
1001001001101000

1708
66
2.7.2.3 Μετατροπή από δεκαδικό σε
BCD
o Για την μετατροπή ενός δεκαδικού αριθμού σε BCD
αριθμό, μετατρέπεται κάθε ψηφίο του δεκαδικού σε
μία ομάδα τεσσάρων (4) bits που αποτελούν τον
ισοδύναμο BCD αριθμό του κάθε δεκαδικού ψηφίου.
1000001101100100
8364
210 )1110000100011000()4638( =

1708
67
2.7.2.4 Αριθμοί του κώδικα BCD και
δυαδικοί αριθμοί
o Ο κώδικας BCD δεν είναι ένα άλλο αριθμητικό
σύστημα (όπως το δεκαδικό, το δυαδικό, το
οκταδικό, το δεκαεξαδικό), αλλά ένας τρόπος
παράστασης των 10 ψηφίων του δεκαδικού
συστήματος, το κάθε ένα από τα οποία
αντιστοιχεί σε μία τετράδα bits.
o Επομένως, είναι σημαντική η διαφορά ανάμεσα
στη δυαδική κωδικοποίηση ενός δεκαδικού
αριθμού και στη μετατροπή ενός δεκαδικού
αριθμού στο δυαδικό σύστημα.

1708
68
2.7.2.4 Αριθμοί του κώδικα BCD και
δυαδικοί αριθμοί
o Ο κώδικας BCD είναι ένας άμεσος δυαδικός
μετατροπέας μόνο για τους αριθμούς 0-9.
o Για παράδειγμα ο δεκαδικός αριθμός 253
αντιστοιχεί :
n Στον BCD αριθμό 001001010011
n Και στον δυαδικό αριθμό 11111101

1708
69
2.7.3 Δυαδικοί κώδικες χωρίς βάρη
2.7.3.1 Ορισμοί
o Στους δυαδικούς κώδικες χωρίς βάρη η θέση
κάθε bit του κώδικα δεν αντιστοιχεί κάποιο
βάρος.
o Αυτοί οι κώδικες προκύπτουν από κάποιον
κανόνα.
o Τέτοιοι είναι οι ακόλουθοι :
n Ο κώδικας Gray.
n Ο κώδικας υπερβολής κατά 3 (excess-3).

1708
70
2.7.3.2 Ο κώδικας GRAY
o Ο κώδικας Gray είναι δυαδικός κώδικας χωρίς
βάρη που χρησιμοποιείται για την κωδικοποίηση
των δεκαδικών αριθμών (ΌΧΙ μόνο των 10
ψηφίων του δεκαδικού συστήματος, όπως γίνεται
στον κώδικα BCD).
o Ο κώδικας Gray χρησιμοποιεί 4 bits
(κωδικοποίηση των 16 πρώτων δεκαδικών
αριθμών 0-15).
o Ο κώδικας Gray ονομάζεται κατοπτρικός
κώδικας.

o Η πρώτη στήλη από δεξιά
(LSB) ξεκινάει πρώτα με
ένα «0» και μετά με ένα
«1».
o Αυτά είναι τα δύο
κατακόρυφα bits είναι
κατοπτρικά των 2
επόμενων κατακόρυφων
bits (υπάρχει συμμετρία
ως προς τη μέση τους).
o Έτσι, δημιουργούνται 4
bits.
1 0 0 015
1 0 0 114
1 0 1 113
1 0 1 012
1 1 1 011
1 1 1 110
1 1 0 19
1 1 0 08
0 1 0 07
0 1 0 16
0 1 1 15
0 1 1 04
0 0 1 03
0 0 1 12
0 0 0 11
0 0 0 00
GrayΔεκαδικός Αριθμός

o Τα επόμενα 4
κατακόρυφα bits είναι
κατοπτρικά των 4
προηγουμένων bits.
o Έτσι, δημιουργούνται
8 bits.
o Τα επόμενα 8 bits
είναι κατοπτρικά των
8 προηγουμένων.
1 0 0 015
1 0 0 114
1 0 1 113
1 0 1 012
1 1 1 011
1 1 1 110
1 1 0 19
1 1 0 08
0 1 0 07
0 1 0 16
0 1 1 15
0 1 1 04
0 0 1 03
0 0 1 12
0 0 0 11
0 0 0 00

o Η δεύτερη στήλη από
δεξιά ξεκινάει πρώτα
με δύο «0» και μετά
με δύο «1».
4 προηγουμένων.
o Έτσι, δημιουργούνται
8 bits.
8 προηγουμένων.1 0 0 015
1 0 0 114
1 0 1 113
1 0 1 012
1 1 1 011
1 1 1 110
1 1 0 19
1 1 0 08
0 1 0 07
0 1 0 16
0 1 1 15
0 1 1 04
0 0 1 03
0 0 1 12
0 0 0 11
0 0 0 00

o Η διαδικασία
επαναλαμβάνεται και
στις επόμενες στήλες.
o Η Τρίτη στήλη από
δεξιά ξεκινάει πρώτα
με τέσσερα «0» και
μετά τέσσερα «1».
o Και είναι κατοπτρική
ως προς το μέσον της
1 0 0 015
1 0 0 114
1 0 1 113
1 0 1 012
1 1 1 011
1 1 1 110
1 1 0 19
1 1 0 08
0 1 0 07
0 1 0 16
0 1 1 15
0 1 1 04
0 0 1 03
0 0 1 12
0 0 0 11
0 0 0 00

o Και τέλος η τέταρτη
στήλη από δεξιά
ξεκινάει πρώτα με
οκτώ «0» και μετά με
οκτώ «1».
1 0 0 015
1 0 0 114
1 0 1 113
1 0 1 012
1 1 1 011
1 1 1 110
1 1 0 19
1 1 0 08
0 1 0 07
0 1 0 16
0 1 1 15
0 1 1 04
0 0 1 03
0 0 1 12
0 0 0 11
0 0 0 00

1708
76
o Ο κώδικας Gray έχει το εξής σημαντικό
χαρακτηριστικό :
o Στον κώδικα Gray αλλάζει ένα μόνο bit μεταξύ
δύο διαδοχικών αριθμών.
o Αυτό δεν συμβαίνει στο δυαδικό σύστημα.
0 1 1 00 1 0 1Δυαδικό
0 1 0 10 1 1 1Gray
65

1708
77
o Αν χρησιμοποιούνται δυαδικοί αριθμοί για την μετάβαση
από έναν αριθμό στον επόμενο, τότε υπάρχει η
πιθανότητα σφάλματος.
o Η μετάβαση από το (7) (0111) στο (8) (1000) μπορεί να
οδηγήσει (για μικρό χρονικό διάστημα) στο (4) (0110) αν
το LSB αλλάζει γρηγορότερα από τα άλλα bits, με
αποτέλεσμα να γίνει λάθος στην μετατροπή.
o Αν χρησιμοποιείται ο κώδικας Gray για την μετάβαση
από έναν αριθμό στον επόμενο, τότε η πιθανότητα
σφάλματος εξαλείφεται :
o Η μετάβαση από το (7) (0100) στο (8) (1100)
επιτυγχάνεται με την αλλαγή ενός μόνο bit.

1708
78
2.7.4 Αλφαριθμητικοί κώδικες
o Πολλές εφαρμογές των Η/Υ απαιτούν τη χρήση
δεδομένων που αποτελούνται από αριθμούς αλλά και
από γράμματα και από ειδικούς χαρακτήρες.
o Για να παρασταθούν και τα γράμματα και τα ειδικά
σύμβολα πρέπει να υπάρχει ένας δυαδικός κώδικας.
o Οι αλφαριθμητικοί χαρακτήρες περιλαμβάνουν :
Ø Τα 26 κεφαλαία γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου Α-Ζ.
Ø Τα 26 μικρά γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου a-z.
Ø Τα 10 δεκαδικά ψηφία 0-9.
Ø Του ειδικούς χαρακτήρες (!@#$%^&*><?/»΄¨][).

1708
79
2.7.4 Αλφαριθμητικοί κώδικες
o Ένας αλφαριθμητικός κώδικας είναι ένας
συστηματικός τρόπος παράστασης των
αλφαριθμητικών χαρακτήρων σε δυαδική μορφή.
o Κάθε αλφαριθμητικός χαρακτήρας παριστάνεται με μία
ομάδα bits, το μέγεθος της οποίας εξαρτάται από το
πλήθος των αλφαριθμητικών χαρακτήρων που
παριστάνει ο κώδικας.
o Τέτοιοι δυαδικοί αλφαριθμητικοί κώδικες είναι οι :
n Ο κώδικας ASCII που χρησιμοποιεί 7 bits.
n Ο κώδικας Baudot που χρησιμοποιεί 5 bits.

1708
80
2.7.4.2 Ο κώδικας ASCII
o Ο πλέον συχνά χρησιμοποιούμενος δυαδικός
αλφαριθμητικός κώδικας είναι ο κώδικας ASCII
(American Standard Code for Information
Interchange) ο οποίος χρησιμοποιεί 7 bits για την
κωδικοποίηση 128 χαρακτήρων.
o Ο κώδικας ASCII περιλαμβάνει 94 εκτυπώσιμους
γραφικούς χαρακτήρες και 34 μη εκτυπώσιμους
χαρακτήρες ελέγχου (control characters), δηλαδή
συνολικά 128 χαρακτήρες.

DELo-O?/USSI1111
~n^N>.RSSO1110
}m]M=-GSCR1101
|lL<'FSFF1100
{k[K;+ESCVT1011
zjZJ:*SUBLF1010
yiYI9)EMHT1001
xhXH8(CANBS1000
wgWG7'ETBBEL0111
vfVF6&SYNACK0110
ueUE5%NAKENQ0101
tdTD4$DC4EOT0100
scSC3#DC3ETX0011
rbRB2"DC2STX0010
qaQA1!DC1SOH0001
p`P@0SPDLENUL0000
111110101100011010001000b7b6b5
b4b3b2b1

1708
82
o Οι εκτυπώσιμοι χαρακτήρες είναι :
n Τα 26 κεφαλαία γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου A-Z.
n Τα 26 μικρά γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου a-z.
n Οι 10 αριθμοί 0-9.
n Οι 32 ειδικοί χαρακτήρες.
o Οι χαρακτήρες ελέγχου χωρίζονται σε :
n Διαμορφωτές μορφής.
n Διαχωριστές πληροφορίας.
n Χαρακτήρες ελέγχου – επικοινωνίας.

1708
83
o Οι Η/Υ συνήθως χρησιμοποιούν δυαδικές λέξεις
των 8 bits (1 byte), ενώ ο κώδικας ASCII
χρησιμοποιεί 7 bits.
o Έτσι, κάθε χαρακτήρας του κώδικα συνήθως
αναπαρίσταται με 1byte, οπότε μπορεί να γίνει
κωδικοποίηση 256 χαρακτήρων.
o Για την κωδικοποίηση των 128 χαρακτήρων του
κώδικα ASCII χρησιμοποιείται το MSB με τιμή
«0» (και τα υπόλοιπα 7 bits είναι του κώδικα
ASCII)

1708
84
o Για την κωδικοποίηση άλλων χαρακτήρων (για
παράδειγμα τα γράμματα του ελληνικού
αλφαβήτου) χρησιμοποιείται το MSB με τιμή «1».
o Με τον τρόπο αυτόν έχει προκύψει το πρότυπο
ΕΛΟΤ-928 του Ελληνικού Οργανισμού
Τυποποίησης που είναι εγκεκριμένο από την
ISO.

ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 2

More Related Content

What's hot

Similar to ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 2

More from High School

Recently uploaded

ψηφιακά ηλεκτρονικά κεφ 2