System

Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων 2 x 2 Ζουρνά Άννας

Γραμμική εξίσωση ,[object Object],[object Object],[object Object],α x +β y =γ x y ΄ y x ΄

Κατασκευή ευθείας 3 x- 2 y =5 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],3 x- 2 y =5 x y ΄ y x ΄ x y 1 -1 3 2

Συστήματα – Ορισμοί Ι ,[object Object],[object Object],[object Object]

Συστήματα – Ορισμοί ΙΙ ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Με τι θ’ ασχοληθούμε; ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Ποια είναι η σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο; Μπορούν να τέμνονται x y ΄ y x ΄

Ποια είναι η σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο; Μπορούν να είναι παράλληλες x y ΄ y x ΄

Ποια είναι η σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο; Μπορούν να ταυτίζονται x y ΄ y x ΄

Σε ένα σύστημα τι έχουμε; ,[object Object],[object Object],Οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Το σύστημα δεν έχει καμμία λύση Είναι αδύνατο Έχουν άπειρα κοινά σημεία Το σύστημα έχει άπειρες μονοπαραμετρικές λύσεις. Είναι αόριστο x y ΄ y x ΄ x y y x x y y x

Γραφική Επίλυση Συστήματος 2 x 2 ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],x y x ΄ y ΄

Παράδειγμα με το Excel ,[object Object],-1 = y 6 + x 7 (φ): 2 = y 5 + x 3 (ε):

Ομογενές Σύστημα ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Δεν μπορεί να είναι αδύνατο Παράδειγμα ομογενούς 2 x 2: 3x + 5y = 0 – 4 x + 2y =0

Μέθοδοι Αλγεβρικής Επίλυσης ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Εμείς θα εξετάσουμε τις τέσσερις αυτές μεθόδους

Προσωπικότητες που συνέδεσαν τα ονόματά τους με τα συστήματα και την επίλυση αυτών ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

Μέθοδος Αντικαταστάσεως ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Παράδειγμα… και σύντομα...

Μέθοδος Αντικαταστάσεως ,[object Object],[object Object],3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y  Ποιος είναι ο πιο εύχρηστος συντελεστής;  Άρα λύνουμε τη δεύτερη εξίσωση ως προς x

Μέθοδος Αντικαταστάσεως ,[object Object],[object Object],3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   Αντικαθιστούμε το x στην πρώτη εξίσωση

Μέθοδος αντικαταστάσεως ,[object Object],[object Object],3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 6 y – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 11 y = – 1 x = 7 – 2y  – 11 y = – 22 x = 7 – 2y  Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς y

Μέθοδος Αντικαταστάσεως ,[object Object],[object Object],3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 6 y – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 11 y = – 1 x = 7 – 2y  – 11 y = – 22 x = 7 – 2y  y = 2 x =  Αντικαθιστούμε την τιμή που βρίσκουμε για το y στην δεύτερη εξίσωση και υπολογίζουμε το x.

Μέθοδος Αντικαταστάσεως ,[object Object],[object Object],3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 6 y – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 11 y = – 1 x = 7 – 2y  – 11 y = – 22 x = 7 – 2y  y = 2 x = 7 – 2  2 

Μέθοδος Αντικαταστάσεως ,[object Object],[object Object],3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 6 y – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 11 y = – 1 x = 7 – 2y  – 11 y = – 22 x = 7 – 2y  y = 2 x = 7 – 2  2   y = 2 x = 3  ( x, y) = (3, 2)

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών ,[object Object],[object Object],[object Object],Παράδειγμα… και σύντομα...

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών ,[object Object],[object Object], Μήπως έχουμε κάποια απλοποίησηση; Ας διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της δεύτερης εξίσωσης με το 2 ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών ,[object Object],[object Object], ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  (-1)  3 – 24 x – 35 y = – 2 24 x – 21 y = 114 – 56 y = 112   Και τώρα ας διώξουμε τα x ΕΚΠ(24,8) = 24 

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών ,[object Object],[object Object], ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  (-1)  3 – 24 x – 35 y = – 2 24 x – 21 y = 114 – 56 y = 112   

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών ,[object Object],[object Object], ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  (-1)  3 – 24 x – 35 y = – 2 24 x – 21 y = 114 – 56 y = 112   Και τώρα σειρά έχουν τα y 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38 ΕΚΠ(7,35) = 35  

Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών ,[object Object],[object Object], ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  (-1)  3 – 24 x – 35 y = – 2 24 x – 21 y = 114 – 56 y = 112   24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  5 24 x + 35 y = 2 40 x – 35 y = 190  6 4x = 1 9 2 Άρα η λύση του συστήματος είναι ( x, y) = (3, -2)  

Συνδυασμός Μεθόδων Αντιθέτων Συντελεστών και Αντικατάστασης ,[object Object],[object Object],  (- 2 )  1 – 3 4 x – 3 8y = 4 6x + 38y = –32 – 28x = – 28  ΕΚΠ( 19 , 38 ) = 3 8 Και τώρα ας διώξουμε τα y

Συνδυασμός Μεθόδων Αντιθέτων Συντελεστών και Αντικατάστασης ,[object Object],[object Object],  (- 2 )  1 – 3 4 x – 3 8y = 4 6x + 38y = –32 – 28x = – 28  – 28x = – 28 6 x + 38 y = -32  Κρατάμε μία από τις αρχικές εξισώσεις για την αντικατάσταση

Συνδυασμός Μεθόδων Αντιθέτων Συντελεστών και Αντικατάστασης ,[object Object],[object Object],  (- 2 )  1 – 3 4 x – 3 8y = 4 6x + 38y = –32 – 28x = – 28  – 28x = – 28 6 x + 38 y = -32   x = 1 6  1 + 38 y = -32 Αντικαθιστούμε την τιμή του x στη δεύτερη εξίσωση για να υπολογίσουμε το y

Συνδυασμός Μεθόδων Αντιθέτων Συντελεστών και Αντικατάστασης ,[object Object],[object Object],  (- 2 )  1 – 3 4 x – 3 8y = 4 6x + 38y = –32 – 28x = – 28  – 28x = – 28 6 x + 38 y = -32   x = 1 6  1 + 38 y = -32  x = 1 38 y = -38  x = 1 y = -1   ( x, y) = ( 1 , -1 )

Μέθοδος Συγκρίσεως ,[object Object],[object Object], Λύνουμε και τις δύο εξισώσεις ως προς την ίδια μεταβλητή. 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y  

Μέθοδος Συγκρίσεως ,[object Object],[object Object], 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y    Τα πρώτα μέλη είναι ίσα άρα και τα δεύτερα μέλη θα έιναι ίσα

Μέθοδος Συγκρίσεως ,[object Object],[object Object], 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y        Λύνουμε ως προς y

Μέθοδος Συγκρίσεως ,[object Object],[object Object], 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y         Αντικαθιστούμε και βρίσκουμε το x

Μέθοδος Συγκρίσεως ,[object Object],[object Object], 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y           ( x, y) = (2, -1 )

Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) ,[object Object],[object Object]

Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) ,[object Object],[object Object],Και τώρα παράδειγμα…

Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) ,[object Object],[object Object],Πρώτα υπολογίζουμε την ορίζουσα των συντελεστών

Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) ,[object Object],[object Object],8  10 – 7  15 = 80 –105= ≠ 0 – 25 Αν η D ( ορίζουσα των συντελεστών ) είναι διάφορη του μηδενός τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση

Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) ,[object Object],[object Object],8  10 – 7  15 = 80 –105= ≠ 0 – 25 Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D x και D y

Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) ,[object Object],[object Object],8  10 – 7  15 = 80 –105= ≠ 0 – 25 8  1 1 – 7  9 = 8 8 – 63 = 25

Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) ,[object Object],[object Object],8  10 – 7  15 = 80 –105= ≠ 0 – 25 9  10 – 1 5  11 = 90 – 165 = - 7 5 8  1 1 – 7  9 = 8 8 – 63 = 25

Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) ,[object Object],[object Object],Το δύσκολο σε αυτήν τη μέθοδο είναι να υπολογίσετε τις ορίζουσες. Μετά τα πράγματα απλουστεύονται κατά πολύ…

Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) ,[object Object],[object Object],Άρα η λύση του συστήματος είναι ( x, y) = (- 1 , 3) – 25 ≠ 0 25 -75

Για να μας βοηθήσει το Excel… ,[object Object],-2 y = -47 D y = 3 x = 61 D x = 24 D= 17 = y 9 + x 3 8 = y 7 + x 5

System

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (15)

Similar to System

Similar to System (20)

More from A Z

More from A Z (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (9)

System