Successfully reported this slideshow.
Your SlideShare is downloading. ×

System

Ad

Συστήματα   Γραμμικών Εξισώσεων 2 x 2 Ζουρνά Άννας

Ad

Γραμμική εξίσωση  <ul><li>Γραμμική ονομάζεται μία εξίσωση αν είναι της μορφής α x +β y =γ. </li></ul><ul><li>Πρέπει οι μετ...

Ad

Κατασκευή ευθείας   3 x- 2 y =5   <ul><li>Κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών. </li></ul><ul><li>Η εξίσωση είναι γραμμική, άρα...

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Ad

Loading in …3
×

Check these out next

1 of 47 Ad
1 of 47 Ad
Advertisement

More Related Content

Slideshows for you

Advertisement
Advertisement

System

  1. 1. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων 2 x 2 Ζουρνά Άννας
  2. 2. Γραμμική εξίσωση <ul><li>Γραμμική ονομάζεται μία εξίσωση αν είναι της μορφής α x +β y =γ. </li></ul><ul><li>Πρέπει οι μεταβλητές x και y να υψώνονται εις την πρώτη. </li></ul><ul><li>Η γραφική παράσταση της είναι μία ευθεία γραμμή. </li></ul>α x +β y =γ x y ΄ y x ΄
  3. 3. Κατασκευή ευθείας 3 x- 2 y =5 <ul><li>Κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών. </li></ul><ul><li>Η εξίσωση είναι γραμμική, άρα αρκούν δύο σημεία. </li></ul><ul><li>Τοποθετούμε τα σημεία στο καρτεσιανό επίπεδο. </li></ul><ul><li>Ενώνουμε και </li></ul><ul><li>Προεκτείνουμε. </li></ul>3 x- 2 y =5 x y ΄ y x ΄ x y 1 -1 3 2
  4. 4. Συστήματα – Ορισμοί Ι <ul><li>Σύστημα μ εξισώσεων με ν αγνώστους ονομάζεται κάθε πρόταση της μορφής: </li></ul><ul><li>«Υπάρχει τουλάχιστον μία κοινή λύση των εξισώσεων φ i (x 1 ,x 2 , …, x ν )= σ i (x 1 ,x 2 , …, x ν )» </li></ul><ul><li>Όπου φ i και σ i συναρτήσεις των ν μεταβλητών x 1 ,x 2 , …, x ν και i = 1(1) μ. </li></ul>
  5. 5. Συστήματα – Ορισμοί ΙΙ <ul><li>Αν οι φ i και σ i συναρτήσεις είναι πρωτοβάθμια πολυώνυμα τότε το σύστημα ονομάζεται πρωτοβάθμιο σύστημα μ x ν . </li></ul><ul><li>Κάθε διατεταγμένη νι-άδα που επαληθεύει τις εξισώσεις ονομάζεται λύση του συστήματος . </li></ul><ul><li>Η διαδικασία για την εύρεση των λύσεων ονομάζεται επίλυση του συστήματος . </li></ul><ul><li>Δύο συστήματα μ x ν ονομάζονται ισοδύναμα όταν έχουν τις ίδιες λύσεις. </li></ul>
  6. 6. Με τι θ’ ασχοληθούμε; <ul><li>Θα ασχοληθούμε μόνο με συστήματα 2 x2. </li></ul><ul><li>Δηλαδή συστήματα με δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους. </li></ul><ul><li>Οι εξισώσεις θα είναι γραμμικές. </li></ul><ul><li>Ακόμη τέλος, θα μελετήσουμε και το σύνολο λύσεων σε συστήματα ανισώσεων. </li></ul>
  7. 7. Ποια είναι η σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο; Μπορούν να τέμνονται x y ΄ y x ΄
  8. 8. Ποια είναι η σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο; Μπορούν να είναι παράλληλες x y ΄ y x ΄
  9. 9. Ποια είναι η σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο; Μπορούν να ταυτίζονται x y ΄ y x ΄
  10. 10. Σε ένα σύστημα τι έχουμε; <ul><li>Οι ευθείες έχουν ένα κοινό σημείο. </li></ul><ul><li>Μοναδική λύση του συστήματος το σημείο τομής των ευθειών </li></ul>Οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Το σύστημα δεν έχει καμμία λύση Είναι αδύνατο Έχουν άπειρα κοινά σημεία Το σύστημα έχει άπειρες μονοπαραμετρικές λύσεις. Είναι αόριστο x y ΄ y x ΄ x y y x x y y x
  11. 11. Γραφική Επίλυση Συστήματος 2 x 2 <ul><li>Κατασκευάζουμε τους πίνακες τιμών. </li></ul><ul><li>Τοποθετούμε τα σημεία στο καρτεσιανό επίπεδο </li></ul><ul><li>Βρίσκουμε τις ευθείες και </li></ul><ul><li>Υπολογίζουμε το σημείο τομής. </li></ul>x y x ΄ y ΄
  12. 12. Παράδειγμα με το Excel <ul><li>Θέλω να δοκιμάσω και εγώ  </li></ul>-1 = y 6 + x 7 (φ): 2 = y 5 + x 3 (ε):
  13. 13. Ομογενές Σύστημα <ul><li>Ομογενές λέγεται το σύστημα όταν οι σταθεροί όροι είναι ίσοι με το 0. </li></ul><ul><li>Τότε το σύστημα έχει: </li></ul><ul><li>Μοναδική λύση το Ο(0,0) ή </li></ul><ul><li>Άπειρες λύσεις </li></ul>Δεν μπορεί να είναι αδύνατο Παράδειγμα ομογενούς 2 x 2: 3x + 5y = 0 – 4 x + 2y =0
  14. 14. Μέθοδοι Αλγεβρικής Επίλυσης <ul><li>Μέθοδος Αντικαταστάσεως </li></ul><ul><li>Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών </li></ul><ul><li>Μέθοδος Συγκρίσεως </li></ul><ul><li>Με τον κανόνα Cramer </li></ul><ul><li>Μέθοδος ευθείας αντιστροφής </li></ul><ul><li>Μέθοδος απαλοιφής Gauss </li></ul><ul><li>Μέθοδος Gauss – Jordan </li></ul><ul><li>Τριγωνική παραγοντοποίηση (LU) </li></ul>Εμείς θα εξετάσουμε τις τέσσερις αυτές μεθόδους
  15. 15. Προσωπικότητες που συνέδεσαν τα ονόματά τους με τα συστήματα και την επίλυση αυτών <ul><li>Johann C arl Friedrich Gauss </li></ul><ul><li>(30 Απριλίου 1777 – 23 Φεβρουαρίου 1855) Γεννήθηκε </li></ul><ul><li>στο Brunswick, (Γερμανία) Το 1 799 διατύπωσε το </li></ul><ul><li>Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας. </li></ul><ul><li>Wilhelm Jordan </li></ul><ul><li>(1 Μαρτίου 1842 – 17 Απριλίου 1899) Γεννήθηκε στη Ellwangen σπούδασε στη Stuttgart. Ήταν καθηγητής γεωδεσίας στο πανεπιστήμιο της Karlsruhe. </li></ul><ul><li>Étienne Bézout </li></ul><ul><li>( 3 1 Μαρτίου 1 730 – 2 7 Απριλίου 1 783 ) </li></ul><ul><li>Γεννήθηκε στη Nemours (Γαλλία) </li></ul><ul><li>Gabriel Cramer (1704-1752) </li></ul><ul><li>Ελβετός μαθηματικός που έδωσε το όνομά του </li></ul><ul><li>στον κανόνα του Cramer, στην επίλυση συστημάτων. </li></ul>
  16. 16. Μέθοδος Αντικαταστάσεως <ul><li>Ίσως η πιο εύκολη από όλες τις μεθόδους </li></ul><ul><li>Επιλέγουμε τη μεταβλητή που έχει τον πιο απλό συντελεστή (1 ή -1). </li></ul><ul><li>Λύνουμε ως προς τη μεταβλητή αυτή, την μία εξίσωση. </li></ul><ul><li>Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση, που γίνεται εξίσωση ως προς έναν άγνωστο. </li></ul><ul><li>Και από εδώ και πέρα τα πράγματα απλουστεύονται κατά πολύ… </li></ul>Παράδειγμα… και σύντομα...
  17. 17. Μέθοδος Αντικαταστάσεως <ul><li>3x – 5y = – 1 </li></ul><ul><li>x + 2y = 7 </li></ul>3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y  Ποιος είναι ο πιο εύχρηστος συντελεστής;  Άρα λύνουμε τη δεύτερη εξίσωση ως προς x
  18. 18. Μέθοδος Αντικαταστάσεως <ul><li>3x – 5y = – 1 </li></ul><ul><li>x + 2y = 7 </li></ul>3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   Αντικαθιστούμε το x στην πρώτη εξίσωση
  19. 19. Μέθοδος αντικαταστάσεως <ul><li>3x – 5y = – 1 </li></ul><ul><li>x + 2y = 7 </li></ul>3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 6 y – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 11 y = – 1 x = 7 – 2y  – 11 y = – 22 x = 7 – 2y  Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς y
  20. 20. Μέθοδος Αντικαταστάσεως <ul><li>3x – 5y = – 1 </li></ul><ul><li>x + 2y = 7 </li></ul>3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 6 y – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 11 y = – 1 x = 7 – 2y  – 11 y = – 22 x = 7 – 2y  y = 2 x =  Αντικαθιστούμε την τιμή που βρίσκουμε για το y στην δεύτερη εξίσωση και υπολογίζουμε το x.
  21. 21. Μέθοδος Αντικαταστάσεως <ul><li>3x – 5y = – 1 </li></ul><ul><li>x + 2y = 7 </li></ul>3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 6 y – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 11 y = – 1 x = 7 – 2y  – 11 y = – 22 x = 7 – 2y  y = 2 x = 7 – 2  2 
  22. 22. Μέθοδος Αντικαταστάσεως <ul><li>3x – 5y = – 1 </li></ul><ul><li>x + 2y = 7 </li></ul>3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 6 y – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 11 y = – 1 x = 7 – 2y  – 11 y = – 22 x = 7 – 2y  y = 2 x = 7 – 2  2   y = 2 x = 3  ( x, y) = (3, 2)
  23. 23. Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών <ul><li>Χρησιμοποιώντας ιδιότητες ισοτήτων, πολλαπλασιάζουμε τις δύο εξισώσεις με τέτοιους συντελεστές ώστε προσθέτοντας τις εξισώσεις κατά μέλη να απαλείφεται ο ένας άγνωστος. </li></ul><ul><li>Προσοχή στα μεγάλα νούμερα. </li></ul><ul><li>Να υπολογίζετε το ΕΚΠ των συντελεστών της υπό απαλοιφή μεταβλητής και όχι το γινόμενό τους. </li></ul>Παράδειγμα… και σύντομα...
  24. 24. Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών <ul><li>24 x +35 y = 2 </li></ul><ul><li>16 x – 14 y = 76 </li></ul> Μήπως έχουμε κάποια απλοποίησηση; Ας διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της δεύτερης εξίσωσης με το 2 ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38
  25. 25. Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών <ul><li>24 x +35 y = 2 </li></ul><ul><li>16 x – 14 y = 76 </li></ul> ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  (-1)  3 – 24 x – 35 y = – 2 24 x – 21 y = 114 – 56 y = 112   Και τώρα ας διώξουμε τα x ΕΚΠ(24,8) = 24 
  26. 26. Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών <ul><li>24 x +35 y = 2 </li></ul><ul><li>16 x – 14 y = 76 </li></ul> ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  (-1)  3 – 24 x – 35 y = – 2 24 x – 21 y = 114 – 56 y = 112   
  27. 27. Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών <ul><li>24 x +35 y = 2 </li></ul><ul><li>16 x – 14 y = 76 </li></ul> ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  (-1)  3 – 24 x – 35 y = – 2 24 x – 21 y = 114 – 56 y = 112   Και τώρα σειρά έχουν τα y 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38 ΕΚΠ(7,35) = 35  
  28. 28. Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών <ul><li>24 x +35 y = 2 </li></ul><ul><li>16 x – 14 y = 76 </li></ul> ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  (-1)  3 – 24 x – 35 y = – 2 24 x – 21 y = 114 – 56 y = 112   24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  5 24 x + 35 y = 2 40 x – 35 y = 190  6 4x = 1 9 2 Άρα η λύση του συστήματος είναι ( x, y) = (3, -2)  
  29. 29. Συνδυασμός Μεθόδων Αντιθέτων Συντελεστών και Αντικατάστασης <ul><li>17 x + 19 y = -2 </li></ul><ul><li>6 x + 38 y = -32 </li></ul>  (- 2 )  1 – 3 4 x – 3 8y = 4 6x + 38y = –32 – 28x = – 28  ΕΚΠ( 19 , 38 ) = 3 8 Και τώρα ας διώξουμε τα y
  30. 30. Συνδυασμός Μεθόδων Αντιθέτων Συντελεστών και Αντικατάστασης <ul><li>17 x + 19 y = -2 </li></ul><ul><li>6 x + 38 y = -32 </li></ul>  (- 2 )  1 – 3 4 x – 3 8y = 4 6x + 38y = –32 – 28x = – 28  – 28x = – 28 6 x + 38 y = -32  Κρατάμε μία από τις αρχικές εξισώσεις για την αντικατάσταση
  31. 31. Συνδυασμός Μεθόδων Αντιθέτων Συντελεστών και Αντικατάστασης <ul><li>17 x + 19 y = -2 </li></ul><ul><li>6 x + 38 y = -32 </li></ul>  (- 2 )  1 – 3 4 x – 3 8y = 4 6x + 38y = –32 – 28x = – 28  – 28x = – 28 6 x + 38 y = -32   x = 1 6  1 + 38 y = -32 Αντικαθιστούμε την τιμή του x στη δεύτερη εξίσωση για να υπολογίσουμε το y
  32. 32. Συνδυασμός Μεθόδων Αντιθέτων Συντελεστών και Αντικατάστασης <ul><li>17 x + 19 y = -2 </li></ul><ul><li>6 x + 38 y = -32 </li></ul>  (- 2 )  1 – 3 4 x – 3 8y = 4 6x + 38y = –32 – 28x = – 28  – 28x = – 28 6 x + 38 y = -32   x = 1 6  1 + 38 y = -32  x = 1 38 y = -38  x = 1 y = -1   ( x, y) = ( 1 , -1 )
  33. 33. Μέθοδος Συγκρίσεως <ul><li>7 x + 12 y = 2 </li></ul><ul><li>5 x – 14 y = 24 </li></ul> Λύνουμε και τις δύο εξισώσεις ως προς την ίδια μεταβλητή. 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y  
  34. 34. Μέθοδος Συγκρίσεως <ul><li>7 x + 12 y = 2 </li></ul><ul><li>5 x – 14 y = 24 </li></ul> 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y    Τα πρώτα μέλη είναι ίσα άρα και τα δεύτερα μέλη θα έιναι ίσα
  35. 35. Μέθοδος Συγκρίσεως <ul><li>7 x + 12 y = 2 </li></ul><ul><li>5 x – 14 y = 24 </li></ul> 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y        Λύνουμε ως προς y
  36. 36. Μέθοδος Συγκρίσεως <ul><li>7 x + 12 y = 2 </li></ul><ul><li>5 x – 14 y = 24 </li></ul> 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y         Αντικαθιστούμε και βρίσκουμε το x
  37. 37. Μέθοδος Συγκρίσεως <ul><li>7 x + 12 y = 2 </li></ul><ul><li>5 x – 14 y = 24 </li></ul> 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y           ( x, y) = (2, -1 )
  38. 38. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>Όπως η διερεύνηση του είδους των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης ανάγεται στον υπολογισμό της Διακρίνουσας , και μετά με τους τύπους μπορούμε να υπολογίσουμε τις ρίζες του τριωνύμου , έτσι </li></ul><ul><li>στα συστήματα μπορούμε να υπολογίσουμε κάποιες ποσότητες με τις οποίες εξετάζουμε αν το σύστημα έχει μοναδική λύση , αν είναι αδύνατο ή αν είναι αόριστο . </li></ul>
  39. 39. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>Με τη βοήθεια αυτών των ποσοτήτων που ονομάζονται ορίζουσες, μπορούμε να υπολογίσουμε και τη μοναδική λύση του συστήματος όταν αυτή υπάρχει. </li></ul><ul><li>Όταν το σύστημα είναι παραμετρικό (κάποιοι από τους συντελεστές ή τους σταθερούς όρους να είναι μεταβλητές) τότε με τις ορίζουσες μπορούμε να διερευνήσουμε για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων όλες τις πιθανές εκδοχές της επίλυσης του συστήματος. </li></ul>Και τώρα παράδειγμα…
  40. 40. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>Πρώτα υπολογίζουμε την ορίζουσα των συντελεστών
  41. 41. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>8  10 – 7  15 = 80 –105= ≠ 0 – 25 Αν η D ( ορίζουσα των συντελεστών ) είναι διάφορη του μηδενός τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση
  42. 42. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>8  10 – 7  15 = 80 –105= ≠ 0 – 25 Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D x και D y
  43. 43. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>8  10 – 7  15 = 80 –105= ≠ 0 – 25 8  1 1 – 7  9 = 8 8 – 63 = 25
  44. 44. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>8  10 – 7  15 = 80 –105= ≠ 0 – 25 9  10 – 1 5  11 = 90 – 165 = - 7 5 8  1 1 – 7  9 = 8 8 – 63 = 25
  45. 45. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>Το δύσκολο σε αυτήν τη μέθοδο είναι να υπολογίσετε τις ορίζουσες. Μετά τα πράγματα απλουστεύονται κατά πολύ…
  46. 46. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>Άρα η λύση του συστήματος είναι ( x, y) = (- 1 , 3) – 25 ≠ 0 25 -75
  47. 47. Για να μας βοηθήσει το Excel… <ul><li>Θέλω να δοκιμάσω και εγώ  </li></ul>-2 y = -47 D y = 3 x = 61 D x = 24 D= 17 = y 9 + x 3 8 = y 7 + x 5

×