Successfully reported this slideshow.
Your SlideShare is downloading. ×

System

More Related Content

Slideshows for you

Related Books

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

Related Audiobooks

Free with a 30 day trial from Scribd

See all

System

  1. 1. Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων 2 x 2 Ζουρνά Άννας
  2. 2. Γραμμική εξίσωση <ul><li>Γραμμική ονομάζεται μία εξίσωση αν είναι της μορφής α x +β y =γ. </li></ul><ul><li>Πρέπει οι μεταβλητές x και y να υψώνονται εις την πρώτη. </li></ul><ul><li>Η γραφική παράσταση της είναι μία ευθεία γραμμή. </li></ul>α x +β y =γ x y ΄ y x ΄
  3. 3. Κατασκευή ευθείας 3 x- 2 y =5 <ul><li>Κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών. </li></ul><ul><li>Η εξίσωση είναι γραμμική, άρα αρκούν δύο σημεία. </li></ul><ul><li>Τοποθετούμε τα σημεία στο καρτεσιανό επίπεδο. </li></ul><ul><li>Ενώνουμε και </li></ul><ul><li>Προεκτείνουμε. </li></ul>3 x- 2 y =5 x y ΄ y x ΄ x y 1 -1 3 2
  4. 4. Συστήματα – Ορισμοί Ι <ul><li>Σύστημα μ εξισώσεων με ν αγνώστους ονομάζεται κάθε πρόταση της μορφής: </li></ul><ul><li>«Υπάρχει τουλάχιστον μία κοινή λύση των εξισώσεων φ i (x 1 ,x 2 , …, x ν )= σ i (x 1 ,x 2 , …, x ν )» </li></ul><ul><li>Όπου φ i και σ i συναρτήσεις των ν μεταβλητών x 1 ,x 2 , …, x ν και i = 1(1) μ. </li></ul>
  5. 5. Συστήματα – Ορισμοί ΙΙ <ul><li>Αν οι φ i και σ i συναρτήσεις είναι πρωτοβάθμια πολυώνυμα τότε το σύστημα ονομάζεται πρωτοβάθμιο σύστημα μ x ν . </li></ul><ul><li>Κάθε διατεταγμένη νι-άδα που επαληθεύει τις εξισώσεις ονομάζεται λύση του συστήματος . </li></ul><ul><li>Η διαδικασία για την εύρεση των λύσεων ονομάζεται επίλυση του συστήματος . </li></ul><ul><li>Δύο συστήματα μ x ν ονομάζονται ισοδύναμα όταν έχουν τις ίδιες λύσεις. </li></ul>
  6. 6. Με τι θ’ ασχοληθούμε; <ul><li>Θα ασχοληθούμε μόνο με συστήματα 2 x2. </li></ul><ul><li>Δηλαδή συστήματα με δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους. </li></ul><ul><li>Οι εξισώσεις θα είναι γραμμικές. </li></ul><ul><li>Ακόμη τέλος, θα μελετήσουμε και το σύνολο λύσεων σε συστήματα ανισώσεων. </li></ul>
  7. 7. Ποια είναι η σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο; Μπορούν να τέμνονται x y ΄ y x ΄
  8. 8. Ποια είναι η σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο; Μπορούν να είναι παράλληλες x y ΄ y x ΄
  9. 9. Ποια είναι η σχετική θέση δύο ευθειών στο επίπεδο; Μπορούν να ταυτίζονται x y ΄ y x ΄
  10. 10. Σε ένα σύστημα τι έχουμε; <ul><li>Οι ευθείες έχουν ένα κοινό σημείο. </li></ul><ul><li>Μοναδική λύση του συστήματος το σημείο τομής των ευθειών </li></ul>Οι ευθείες δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Το σύστημα δεν έχει καμμία λύση Είναι αδύνατο Έχουν άπειρα κοινά σημεία Το σύστημα έχει άπειρες μονοπαραμετρικές λύσεις. Είναι αόριστο x y ΄ y x ΄ x y y x x y y x
  11. 11. Γραφική Επίλυση Συστήματος 2 x 2 <ul><li>Κατασκευάζουμε τους πίνακες τιμών. </li></ul><ul><li>Τοποθετούμε τα σημεία στο καρτεσιανό επίπεδο </li></ul><ul><li>Βρίσκουμε τις ευθείες και </li></ul><ul><li>Υπολογίζουμε το σημείο τομής. </li></ul>x y x ΄ y ΄
  12. 12. Παράδειγμα με το Excel <ul><li>Θέλω να δοκιμάσω και εγώ  </li></ul>-1 = y 6 + x 7 (φ): 2 = y 5 + x 3 (ε):
  13. 13. Ομογενές Σύστημα <ul><li>Ομογενές λέγεται το σύστημα όταν οι σταθεροί όροι είναι ίσοι με το 0. </li></ul><ul><li>Τότε το σύστημα έχει: </li></ul><ul><li>Μοναδική λύση το Ο(0,0) ή </li></ul><ul><li>Άπειρες λύσεις </li></ul>Δεν μπορεί να είναι αδύνατο Παράδειγμα ομογενούς 2 x 2: 3x + 5y = 0 – 4 x + 2y =0
  14. 14. Μέθοδοι Αλγεβρικής Επίλυσης <ul><li>Μέθοδος Αντικαταστάσεως </li></ul><ul><li>Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών </li></ul><ul><li>Μέθοδος Συγκρίσεως </li></ul><ul><li>Με τον κανόνα Cramer </li></ul><ul><li>Μέθοδος ευθείας αντιστροφής </li></ul><ul><li>Μέθοδος απαλοιφής Gauss </li></ul><ul><li>Μέθοδος Gauss – Jordan </li></ul><ul><li>Τριγωνική παραγοντοποίηση (LU) </li></ul>Εμείς θα εξετάσουμε τις τέσσερις αυτές μεθόδους
  15. 15. Προσωπικότητες που συνέδεσαν τα ονόματά τους με τα συστήματα και την επίλυση αυτών <ul><li>Johann C arl Friedrich Gauss </li></ul><ul><li>(30 Απριλίου 1777 – 23 Φεβρουαρίου 1855) Γεννήθηκε </li></ul><ul><li>στο Brunswick, (Γερμανία) Το 1 799 διατύπωσε το </li></ul><ul><li>Θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας. </li></ul><ul><li>Wilhelm Jordan </li></ul><ul><li>(1 Μαρτίου 1842 – 17 Απριλίου 1899) Γεννήθηκε στη Ellwangen σπούδασε στη Stuttgart. Ήταν καθηγητής γεωδεσίας στο πανεπιστήμιο της Karlsruhe. </li></ul><ul><li>Étienne Bézout </li></ul><ul><li>( 3 1 Μαρτίου 1 730 – 2 7 Απριλίου 1 783 ) </li></ul><ul><li>Γεννήθηκε στη Nemours (Γαλλία) </li></ul><ul><li>Gabriel Cramer (1704-1752) </li></ul><ul><li>Ελβετός μαθηματικός που έδωσε το όνομά του </li></ul><ul><li>στον κανόνα του Cramer, στην επίλυση συστημάτων. </li></ul>
  16. 16. Μέθοδος Αντικαταστάσεως <ul><li>Ίσως η πιο εύκολη από όλες τις μεθόδους </li></ul><ul><li>Επιλέγουμε τη μεταβλητή που έχει τον πιο απλό συντελεστή (1 ή -1). </li></ul><ul><li>Λύνουμε ως προς τη μεταβλητή αυτή, την μία εξίσωση. </li></ul><ul><li>Αντικαθιστούμε στην άλλη εξίσωση, που γίνεται εξίσωση ως προς έναν άγνωστο. </li></ul><ul><li>Και από εδώ και πέρα τα πράγματα απλουστεύονται κατά πολύ… </li></ul>Παράδειγμα… και σύντομα...
  17. 17. Μέθοδος Αντικαταστάσεως <ul><li>3x – 5y = – 1 </li></ul><ul><li>x + 2y = 7 </li></ul>3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y  Ποιος είναι ο πιο εύχρηστος συντελεστής;  Άρα λύνουμε τη δεύτερη εξίσωση ως προς x
  18. 18. Μέθοδος Αντικαταστάσεως <ul><li>3x – 5y = – 1 </li></ul><ul><li>x + 2y = 7 </li></ul>3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   Αντικαθιστούμε το x στην πρώτη εξίσωση
  19. 19. Μέθοδος αντικαταστάσεως <ul><li>3x – 5y = – 1 </li></ul><ul><li>x + 2y = 7 </li></ul>3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 6 y – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 11 y = – 1 x = 7 – 2y  – 11 y = – 22 x = 7 – 2y  Λύνουμε την πρώτη εξίσωση ως προς y
  20. 20. Μέθοδος Αντικαταστάσεως <ul><li>3x – 5y = – 1 </li></ul><ul><li>x + 2y = 7 </li></ul>3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 6 y – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 11 y = – 1 x = 7 – 2y  – 11 y = – 22 x = 7 – 2y  y = 2 x =  Αντικαθιστούμε την τιμή που βρίσκουμε για το y στην δεύτερη εξίσωση και υπολογίζουμε το x.
  21. 21. Μέθοδος Αντικαταστάσεως <ul><li>3x – 5y = – 1 </li></ul><ul><li>x + 2y = 7 </li></ul>3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 6 y – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 11 y = – 1 x = 7 – 2y  – 11 y = – 22 x = 7 – 2y  y = 2 x = 7 – 2  2 
  22. 22. Μέθοδος Αντικαταστάσεως <ul><li>3x – 5y = – 1 </li></ul><ul><li>x + 2y = 7 </li></ul>3x – 5y = – 1 x = 7 – 2y   3 (7 – 2y ) – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 6 y – 5y = – 1 x = 7 – 2y   21 – 11 y = – 1 x = 7 – 2y  – 11 y = – 22 x = 7 – 2y  y = 2 x = 7 – 2  2   y = 2 x = 3  ( x, y) = (3, 2)
  23. 23. Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών <ul><li>Χρησιμοποιώντας ιδιότητες ισοτήτων, πολλαπλασιάζουμε τις δύο εξισώσεις με τέτοιους συντελεστές ώστε προσθέτοντας τις εξισώσεις κατά μέλη να απαλείφεται ο ένας άγνωστος. </li></ul><ul><li>Προσοχή στα μεγάλα νούμερα. </li></ul><ul><li>Να υπολογίζετε το ΕΚΠ των συντελεστών της υπό απαλοιφή μεταβλητής και όχι το γινόμενό τους. </li></ul>Παράδειγμα… και σύντομα...
  24. 24. Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών <ul><li>24 x +35 y = 2 </li></ul><ul><li>16 x – 14 y = 76 </li></ul> Μήπως έχουμε κάποια απλοποίησηση; Ας διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της δεύτερης εξίσωσης με το 2 ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38
  25. 25. Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών <ul><li>24 x +35 y = 2 </li></ul><ul><li>16 x – 14 y = 76 </li></ul> ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  (-1)  3 – 24 x – 35 y = – 2 24 x – 21 y = 114 – 56 y = 112   Και τώρα ας διώξουμε τα x ΕΚΠ(24,8) = 24 
  26. 26. Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών <ul><li>24 x +35 y = 2 </li></ul><ul><li>16 x – 14 y = 76 </li></ul> ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  (-1)  3 – 24 x – 35 y = – 2 24 x – 21 y = 114 – 56 y = 112   
  27. 27. Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών <ul><li>24 x +35 y = 2 </li></ul><ul><li>16 x – 14 y = 76 </li></ul> ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  (-1)  3 – 24 x – 35 y = – 2 24 x – 21 y = 114 – 56 y = 112   Και τώρα σειρά έχουν τα y 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38 ΕΚΠ(7,35) = 35  
  28. 28. Μέθοδος Αντιθέτων Συντελεστών <ul><li>24 x +35 y = 2 </li></ul><ul><li>16 x – 14 y = 76 </li></ul> ÷ 2 24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  (-1)  3 – 24 x – 35 y = – 2 24 x – 21 y = 114 – 56 y = 112   24 x +35 y = 2 8 x – 7 y = 38  5 24 x + 35 y = 2 40 x – 35 y = 190  6 4x = 1 9 2 Άρα η λύση του συστήματος είναι ( x, y) = (3, -2)  
  29. 29. Συνδυασμός Μεθόδων Αντιθέτων Συντελεστών και Αντικατάστασης <ul><li>17 x + 19 y = -2 </li></ul><ul><li>6 x + 38 y = -32 </li></ul>  (- 2 )  1 – 3 4 x – 3 8y = 4 6x + 38y = –32 – 28x = – 28  ΕΚΠ( 19 , 38 ) = 3 8 Και τώρα ας διώξουμε τα y
  30. 30. Συνδυασμός Μεθόδων Αντιθέτων Συντελεστών και Αντικατάστασης <ul><li>17 x + 19 y = -2 </li></ul><ul><li>6 x + 38 y = -32 </li></ul>  (- 2 )  1 – 3 4 x – 3 8y = 4 6x + 38y = –32 – 28x = – 28  – 28x = – 28 6 x + 38 y = -32  Κρατάμε μία από τις αρχικές εξισώσεις για την αντικατάσταση
  31. 31. Συνδυασμός Μεθόδων Αντιθέτων Συντελεστών και Αντικατάστασης <ul><li>17 x + 19 y = -2 </li></ul><ul><li>6 x + 38 y = -32 </li></ul>  (- 2 )  1 – 3 4 x – 3 8y = 4 6x + 38y = –32 – 28x = – 28  – 28x = – 28 6 x + 38 y = -32   x = 1 6  1 + 38 y = -32 Αντικαθιστούμε την τιμή του x στη δεύτερη εξίσωση για να υπολογίσουμε το y
  32. 32. Συνδυασμός Μεθόδων Αντιθέτων Συντελεστών και Αντικατάστασης <ul><li>17 x + 19 y = -2 </li></ul><ul><li>6 x + 38 y = -32 </li></ul>  (- 2 )  1 – 3 4 x – 3 8y = 4 6x + 38y = –32 – 28x = – 28  – 28x = – 28 6 x + 38 y = -32   x = 1 6  1 + 38 y = -32  x = 1 38 y = -38  x = 1 y = -1   ( x, y) = ( 1 , -1 )
  33. 33. Μέθοδος Συγκρίσεως <ul><li>7 x + 12 y = 2 </li></ul><ul><li>5 x – 14 y = 24 </li></ul> Λύνουμε και τις δύο εξισώσεις ως προς την ίδια μεταβλητή. 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y  
  34. 34. Μέθοδος Συγκρίσεως <ul><li>7 x + 12 y = 2 </li></ul><ul><li>5 x – 14 y = 24 </li></ul> 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y    Τα πρώτα μέλη είναι ίσα άρα και τα δεύτερα μέλη θα έιναι ίσα
  35. 35. Μέθοδος Συγκρίσεως <ul><li>7 x + 12 y = 2 </li></ul><ul><li>5 x – 14 y = 24 </li></ul> 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y        Λύνουμε ως προς y
  36. 36. Μέθοδος Συγκρίσεως <ul><li>7 x + 12 y = 2 </li></ul><ul><li>5 x – 14 y = 24 </li></ul> 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y         Αντικαθιστούμε και βρίσκουμε το x
  37. 37. Μέθοδος Συγκρίσεως <ul><li>7 x + 12 y = 2 </li></ul><ul><li>5 x – 14 y = 24 </li></ul> 7 x = 2 – 12 y 5 x = 24 +14 y           ( x, y) = (2, -1 )
  38. 38. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>Όπως η διερεύνηση του είδους των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης ανάγεται στον υπολογισμό της Διακρίνουσας , και μετά με τους τύπους μπορούμε να υπολογίσουμε τις ρίζες του τριωνύμου , έτσι </li></ul><ul><li>στα συστήματα μπορούμε να υπολογίσουμε κάποιες ποσότητες με τις οποίες εξετάζουμε αν το σύστημα έχει μοναδική λύση , αν είναι αδύνατο ή αν είναι αόριστο . </li></ul>
  39. 39. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>Με τη βοήθεια αυτών των ποσοτήτων που ονομάζονται ορίζουσες, μπορούμε να υπολογίσουμε και τη μοναδική λύση του συστήματος όταν αυτή υπάρχει. </li></ul><ul><li>Όταν το σύστημα είναι παραμετρικό (κάποιοι από τους συντελεστές ή τους σταθερούς όρους να είναι μεταβλητές) τότε με τις ορίζουσες μπορούμε να διερευνήσουμε για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων όλες τις πιθανές εκδοχές της επίλυσης του συστήματος. </li></ul>Και τώρα παράδειγμα…
  40. 40. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>Πρώτα υπολογίζουμε την ορίζουσα των συντελεστών
  41. 41. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>8  10 – 7  15 = 80 –105= ≠ 0 – 25 Αν η D ( ορίζουσα των συντελεστών ) είναι διάφορη του μηδενός τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση
  42. 42. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>8  10 – 7  15 = 80 –105= ≠ 0 – 25 Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D x και D y
  43. 43. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>8  10 – 7  15 = 80 –105= ≠ 0 – 25 8  1 1 – 7  9 = 8 8 – 63 = 25
  44. 44. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>8  10 – 7  15 = 80 –105= ≠ 0 – 25 9  10 – 1 5  11 = 90 – 165 = - 7 5 8  1 1 – 7  9 = 8 8 – 63 = 25
  45. 45. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>Το δύσκολο σε αυτήν τη μέθοδο είναι να υπολογίσετε τις ορίζουσες. Μετά τα πράγματα απλουστεύονται κατά πολύ…
  46. 46. Κανόνας του Cramer (ή μέθοδος των οριζουσών) <ul><li>8 x + 15 y = 9 </li></ul><ul><li>7 x + 10 y = 11 </li></ul>Άρα η λύση του συστήματος είναι ( x, y) = (- 1 , 3) – 25 ≠ 0 25 -75
  47. 47. Για να μας βοηθήσει το Excel… <ul><li>Θέλω να δοκιμάσω και εγώ  </li></ul>-2 y = -47 D y = 3 x = 61 D x = 24 D= 17 = y 9 + x 3 8 = y 7 + x 5

×