Downloaded 154 times
![เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 10
Onet 2549
1. ถ้า A B {2,4,6} , B A {0,1, 3} และ A B {0,1,2, 3, 4,5,6, 7, 8}
แล้ว A B เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี
1. {0,1, 4, 5, 6, 7} 2. {1,2, 4,5,6, 8} 3. {0,1, 3, 5, 7, 8} 4. {0,2, 4, 5,6, 8}
2. ในการสอบถามพ่อบ้านจํานวน 300 คน พบว่า มีคนทีไม่ดืมทังชาและกาแฟ 100 คน
มีคนทีดืมชา 100 คน และมีคนทีดืมกาแฟ 150 คน พ่อบ้านทีดืมทังชาและกาแฟมีจํานวนเท่าใด
Onet 2550
3. กําหนดให้ A และ B เป็นเซต ซึง n(A B) = 88 และ n[(A – B) (B – A)] = 76
ถ้า n(A) = 45 แล้ว n(B) เท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 45 2. 48 3. 53 4. 55](https://image.slidesharecdn.com/onetedition22559-170729024031/85/O-NET-Edition-2-12-320.jpg)
![เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 41
4. ช่วงและการไม่เท่ากัน
ช่วง หมายถึง สับเซตของจํานวนจริง
กําหนดให้ a, b และ a < b เขียนช่วงเซตของจํานวนดังนี
[a, b] = {x | a x b} (a, b) = {x | a < x < b}
[a, b) = {x | a x < b} (a, b] = {x | a < x b}
(a, ) = {x | x > a} [a, ) = {x | x a}
(–, a) = {x | x < a} (–, a] = {x | x a}
สมบัติของการไม่เท่ากัน
ให้ a, b และ c เป็นจํานวนจริง
1. a b หมายถึง a < b หรือ a = b
2. a < x < b หมายถึง a < x และ x < b
3. ถ้า a < b และ b < c แล้ว a < c
4. ถ้า a < b และ c < d แล้ว a + c < b + d
5. ถ้า 0 < a < b และ 0< c < d แล้ว ac < bd
6. ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c
7. ถ้า a < b และ c > 0 แล้ว ac < bc
ถ้า a < b และ c < 0 แล้ว ac > bc
8. ถ้า 0 < a < b แล้ว
1 1
a b
ถ้า a < b < 0 แล้ว
1 1
a b
Note ................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
a b a b
a b a b
a a
a a](https://image.slidesharecdn.com/onetedition22559-170729024031/85/O-NET-Edition-2-43-320.jpg)
![เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 53
7. กําหนดให้ a และ x เป็นจํานวนจริงใดๆ ข้อใดต่อไปนีถูก
1. ถ้า a < 0 แล้ว x
a 0 2. ถ้า a < 0 แล้ว x
a a
3. ถ้า a > 0 แล้ว x
a 0
4. ถ้า a > 0 แล้ว x
a a
Onet 2551
8. เซตคําตอบของอสมการ x1 2 1
1 2
คือเซตในข้อใดต่อไปนี
1. [ 2 1, 1] 2. [ 2 1, 2] 3. [3 2 2, 1] 4. [3 2 2, 2]
9. สมการในข้อใดต่อไปนี มีคําตอบทีเป็นจํานวนจริงมากกว่า 2 คําตอบ
1. 2
(x 1) 1 0 2. 2 2
(x 2)(x 1) 0
3. 2 2
(x 1) (x 2) 0 4. 2 2
(x 1)(x 2) 0 ](https://image.slidesharecdn.com/onetedition22559-170729024031/85/O-NET-Edition-2-55-320.jpg)
![เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 63
36. ผลบวกของรากทังหมดของสมการ x 1
x 1
x 2
เท่ากับข้อใด
1. –4 2. –3 3. –2 4. 1 5. 2
37. ถ้า A { x | x 1 1 2 } แล้ว ช่วงในข้อใดเป็นสับเซตของ A
1. (–4, –2] 2. (–3, –1) 3. [–1, 0) 4. [0, 2) 5. [2, 3)
38. กําหนดให้ A {x x 2 3} และ 2
B {x x 3x 4 0 }
สมาชิกของ A – B ทีเป็นจํานวนเต็มมีกีตัว
1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 5. 7](https://image.slidesharecdn.com/onetedition22559-170729024031/85/O-NET-Edition-2-65-320.jpg)
![เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 86
10. ข้อใดต่อไปนี ผิด
1. 0.9 10 0.9 10 2. 4
( 0.9)( 0.9) 0.9
3. 3 3
( 0.9)( 1.1) ( 1.1)( 0.9) 4. 300 200
125 100
11. เซตคําตอบของอสมการ
2
(2x 4x 5) 1
4
32
คือเซตในข้อใดต่อไปนี
1.
5 5
[ , ]
2 2
2.
5
[ , 1]
2
3.
1
[ , 1]
2
4.
1 5
[ , ]
2 2
Onet 2551
12.
2
5 2
6 15
มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1. 3
10
2. 7
10
3. 5 2 4. 6 2](https://image.slidesharecdn.com/onetedition22559-170729024031/85/O-NET-Edition-2-88-320.jpg)
![เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 124
25. ความสัมพันธ์ในข้อใดเป็นฟังก์ชัน
1. {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4)} 2. {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)}
3. {(1, 3), (1, 2), (1, 2), (1, 4)} 4. {(1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1)}
26. ถ้า f(x) = 3 x และ g(x) = 2 + |x 4| แล้ว f gD R คือข้อใด
1. ( , 3] 2. [2, ) 3. [-2, 3] 4. ( , )
27.
กําหนดให้กราฟของฟังก์ชัน f เป็นดังนี
ค่าของ 11f(11) 3f(3)f(3) คือข้อใด
1. 57
2. 68
3. 75
4. 86
0
5
5
510
X
Y](https://image.slidesharecdn.com/onetedition22559-170729024031/85/O-NET-Edition-2-126-320.jpg)
![เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 126
31. ข้อใดต่อไปนีเป็นความสัมพันธ์ทีมีกราฟเป็นบริเวณทีแรเงา
1. {(x, y) | | y | x}
2. {(x, y) | | y | x}
3. {(x, y) | y | x |}
4. {(x, y) | y | x |}
32. ถ้า f(x) = 2
3 4 x แล้ว ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. fD [ 2,2] และ fR [0, 3] 2. fD [ 2,2] และ fR [1,3]
3. fD [0,2] และ fR [0, 3] 4. fD [0,2] และ fR [1,3]
33. ถ้า f(x 2) = 2x 1 แล้ว 2
f(x ) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี
1.
2
2x 1 2. 2
2x 1 3. 2
2x 3 4. 2
2x 9
x
y
0 1
y x
y x ](https://image.slidesharecdn.com/onetedition22559-170729024031/85/O-NET-Edition-2-128-320.jpg)
![เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 130
41. กราฟในข้อใดต่อไปนี แสดงว่า y เป็นฟังก์ชันของ x
1. 2. 3.
4. 5.
42. กําหนดให้ 2
f(x) (x 3) 4 พิจารณาข้อความต่อไปนี
ก. กราฟของ f เป็นพาราโบลาหงาย
ข. ถ้า x (1, 4] แล้ว f(x) < 0
ค. ถ้ากราฟของ f ตัดแกน y ทีจุด (0, a) และค่าตําสุดของ f คือ b แล้ว a + b = 1
ข้อใดต่อไปนีถูก
1. ก., ข. และ ค. ถูกทังสามข้อ 2. ก. และ ข. ถูก แต่ ค. ผิด
3. ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผิด 4. ก. ถูก แต่ ข. และ ค. ผิด
5. ข. ถูก แต่ ก. และ ค. ผิด
x
0
x
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
yy](https://image.slidesharecdn.com/onetedition22559-170729024031/85/O-NET-Edition-2-132-320.jpg)
![เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 238
ลักษณะของเส้นโค้งทีเกียวข้องกับการกระจาย
จากรูป ข้อมูลทีมีการกระจายมากไปหาน้อยทีสุดคือ ข้อมูล C ข้อมูล B และ ข้อมูล A ตามลําดับ
[กระจายมากจะแบนราบ แต่กระจายน้อยจะโด่งขึน]
การใช้แผนภาพกล่อง (box - plot) แสดงการกระจายของข้อมูล
การวัดการกระจายของข้อมูลโดยใช่ส่วนเบียงเบนควอไทล์อาศัยค่าของ 1Q และ 3Q เพือนํามาหาระยะห่าง
แล้วนําค่าครึงหนึงของระยะห่างดังกล่าวมาเป็นตัววัดการกระจายของข้อมูล สามารถเขียนเป็นแผนภาพทีเรียกว่า
แผนภาพกล่อง ได้ ดังนี
คําอธิบายจากแผนภาพกล่อง
(1) ความยาวของส่วนของเส้นตรงในแต่ละช่วงแทนการกระจายว่ามากหรือน้อย ช่วงยาวแทนกระจายมาก
ช่วงสันแทนกระจายน้อย
(2) ข้อมูลในแต่ละช่วง 4 ช่วง มีจํานวนข้อมูลอยู่ 25%
(3) สามารถบอกลักษณะของการแจกแจงความถีได้ ดังนี
ถ้า 2
Q อยู่กึงกลางระหว่าง
1
Q และ 3
Q จะทําให้ข้อมูลมีการแจกแจงปกติ
ถ้า 2
Q อยู่ใกล้ 3
Q จะทําให้ข้อมูลมีการแจกแจงเบ้ซ้าย เพราะ 2
x Me(Q )
ถ้า 2
Q อยู่ใกล้ 1
Q จะทําให้ข้อมูลมีการแจกแจงเบ้ขวา เพราะ 2
x Me(Q )
Q1
Q3
minx
maxxQ2
x ของ A , B ,
เส้นโค้งความถีของข้อมูล A
เส้นโค้งความถีของข้อมูล B
เส้นโค้งความถีของข้อมูล C](https://image.slidesharecdn.com/onetedition22559-170729024031/85/O-NET-Edition-2-240-320.jpg)
Uploaded byครู กรุณา
เอกสารทบทวนความรู้พื้นฐานเตรียมสอบ ม.ปลาย O-NET Edition 2
เอกสารทบทวนคณิตศาสตร์พื้นฐาน O-NET (ม.ปลาย) และข้อสอบ O-NET แยกเรื่อง ปี 2549-2559
More Related Content
Similar to เอกสารทบทวนความรู้พื้นฐานเตรียมสอบ ม.ปลาย O-NET Edition 2
เอกสารทบทวนความรู้พื้นฐานเตรียมสอบ ม.ปลาย O-NET Edition 2
- 1.
- 2. สารบัญ ขอสอบ O-NET เรื่องเซต 1 ขอสอบ O-NET เรื่อง การใหเหตุผล 19 ขอสอบ O-NET เรื่อง จํานวนจริง 34 ขอสอบ O-NET เรื่อง เลขยกกําลัง 71 ขอสอบ O-NET เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน 97 ขอสอบ O-NET เรื่อง อัตราสวนตรีโกณมิติ 136 ขอสอบ O-NET เรื่อง ลําดับและอนุกรมจํากัด 160 ขอสอบ O-NET เรื่อง ความนาจะเปน 196 ขอสอบ O-NET เรื่อง สถิติเบื้องตน 226 อาจารย์รังสรรค์ ทองสุกนอก สงวนสิทธิ เชิงพาณิชย์ทุกกรณี
- 3. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 1 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแต่ละปีจะมีประมาณ 2 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทีเคยออกข้อสอบได้แก่ การตีความเซตจากแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ การแก้โจทย์ปัญหาจํานวนสมาชิกเซตจํากัด 1. เซต เซต เป็นคําอนิยาม ในวิชาคณิตศาสตร์ใช้คําว่า “เซต” เมือกล่าวถึงกลุ่มของสิงต่าง ๆ และต้องสามารถทราบได้ แน่นอนว่าสิงใดอยู่ในกลุ่มและสิงใดไม่อยู่ในกลุ่ม เรียกสิงทีอยู่ในเซตว่า สมาชิก (element) ใช้สัญลักษณ์ แทน “เป็นสมาชิกของ” และ แทน “ไม่เป็นสมาชิกของ” จํานวนสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ n(A) การเขียนเซต สามารถเขียนเซตได้ 2 แบบ คือ 1. แบบแจกแจงสมาชิก เช่น เซตของจํานวนเต็มตังแต่1 ถึง 5 เขียนแทนด้วย { 1, 2, 3, 4, 5} 2. แบบบอกเงือนไข เช่น เซตของจํานวนเต็มตังแต่1 ถึง 5 เขียนแทนด้วย {x | 1 ≤ x ≤ 5 } เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตทีกําหนดขอบเขตของสิงทีเราต้องการศึกษา แทนด้วย U หมายเหตุ ในการกล่าวถึงเซตทีเป็นจํานวน มีข้อตกลงว่า ถ้าไม่กําหนดเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตของจํานวนจริง และ ข้อตกลง เราจะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี แทนเซตต่าง ๆ แทน เซตของจํานวนจริง แทน เซตของจํานวนอตรรกยะ แทน เซตของจํานวนเต็ม แทน เซตของจํานวนตรรกยะ แทน เซตของจํานวนนับ แทน เซตของจํานวนเฉพาะ ตัวอย่าง 1 จงเขียนเซตในแต่ละข้อต่อไปนีให้อยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก 1. x 1 x 10 = ............................................ 2. x 5 x 5 = ............................................ 3. 2 x x 4 = ............................................ 4. 2 x x 20 = ............................................ 5. x x หาร 12 ลงตัว = ............................................ 6. 3 x x 8 = ............................................ 7. x x เป็นตัวประกอบของ 10 = ............................................ 8. 2 x x 0 = ............................................
- 4. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 2 2. เซตจํากัดและเซตอนันต์(Finite & Infinite Set) 2.1 เซตจํากัด (Finite Set) หมายถึง เซตซึงมีสมาชิกเป็นจํานวนเต็มบวกหรือศูนย์ 2.2 เซตอนันต์ (Infinite Set) หมายถึง เซตซึงไม่ใช่เซตจํากัด 2.3 เซตว่าง (Empty Set) หมายถึง เซตทีมีจํานวนสมาชิกเท่ากับศูนย์ แทนเซตว่างด้วย (phi) หรือ { } หมายเหตุ เนืองจากเซตว่างมีจํานวนสมาชิกเท่ากับศูนย์ จะได้ว่าเซตว่างเป็นเซตจํากัด ตัวอย่าง 2 จงระบุจํานวนสมาชิกของเซตในแต่ละข้อต่อไปนี 1. a, b,1, 3 ............................................ 2. 1,1,1,2,2 ............................................ 3. 2,4,6,8,... ............................................ 4. x 1 x 3 ............................................ 5. x 10 x 1 ............................................ 6. 2 x x 1 ............................................ 7. 2 x x 5 ............................................ 8. x x > 0 ............................................ 3. ความสัมพันธ์ระหว่างเซต 3.1 เซต A และเซต B เท่ากัน ก็ต่อเมือเซตทังสองมีจํานวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกทุกตัวเหมือนกัน สัญลักษณ์ ถ้าเซต A เท่ากับเซต B จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A = B ถ้าเซต A ไม่เท่ากับเซต B จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A B 3.2 เซต A จะเป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมือ สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B สัญลักษณ์ ถ้าเซต A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B ถ้าเซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B สมบัติของสับเซต กําหนดให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ 1. A U , A A , A 2. จํานวนสับเซตทังหมดของ A จะเท่ากับ n(A) 2 เซต 4. เพาเวอร์เซต ของเซต A คือ เซตซึงมีสับเซตเป็นสมาชิกทุกๆ สับเซตของ A สัญลักษณ์ ใช้ P(A) แทน เพาเวอร์เซตของ A ดังนัน จากบทนิยามของเพาเวอร์เซต นันคือ P(A) = { X | X A}
- 5. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 3 ตัวอย่าง 3จงเขียนสับเซตทังหมดเซตในแต่ละข้อต่อไปนี 1. A = {a, b} ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 2. B = {1, 2, 3} ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 3. C = {1, {1, 2}} ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ตัวอย่าง 4 กําหนดให้ A = {1, 2, 3} , B = {0, 1, 2, 3} , C = {0, 1, 2} , D = {1, 2, 3, 4, 5} จงพิจารณาเติมเครืองหมาย หรือ เพือทําให้แต่ละข้อถูกต้อง (1) A ……. B (2) C …….. B (3) D …….. B (4) A …….. C (5) C …….. A (6) A …….. D (7) C …….. D (8) D …….. A (9) D …….. C ตัวอย่าง 5 กําหนดให้ A = {a, b, {c}, {a, b}} จงพิจารณาข้อความต่อไปนีถูกหรือผิด 1. a A ................... 2. {c} A ................... 3. {a} A ................... 4. {a, b} A ................... 5. {{a, b}} A ................... 6. {a, b} A ................... 7. {a, {c}} A ................... 8. {{c}} A ................... ตัวอย่าง 6 จงเขียนหาเพาเวอร์เซต ของเซตในแต่ละข้อต่อไปนี 1. A = {1, 2} ........................................................................................................................................ 2. B = {a, b, c} ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ 3. C = {, 0} ........................................................................................................................................
- 6. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 4 5. แผนภาพของเวนน์– ออยเลอร์ (Venn – Euler Diagram) 6. การดําเนินการทางเซต (Operation of Sets) มี 4 ชนิด คือ 6.1 ยูเนียนของเซต A และ B คือ เซตทีประกอบด้วยสมาชิกของ A หรือ B หรือของทังสองเซต แทนด้วยสัญลักษณ์ A B = {x | x A หรือ x B} .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... 6.2 อินเตอร์เซกชันของเซต Aและ B คือ เซตทีประกอบด้วยสมาชิกทีเป็นสมาชิกของ Aและ B ทังสองเซต แทนด้วยสัญลักษณ์ A B = {x | x A และ x B} .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... 6.3 คอมพลีเมนต์ของเซต A คือเซตทีประกอบด้วยสมาชิกซึงเป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A แทนด้วยสัญลักษณ์ A = {x U | x A} .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... 6.4 ผลต่างของเซต A และ B คือ เซตทีประกอบด้วยสมาชิกของ A ซึงไม่เป็นสมาชิกของ B แทนด้วยสัญลักษณ์ A – B = {x U | x A และ x B} .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... U A B U A B U A B เซต A และ B มีสมาชิกร่วมกัน U A B A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน U A B แผนภาพแสดงเซต B A U A B U A B
- 7. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 5 สมบัติบางประการเกียวกับการดําเนินการทางเซต 1. A B = B A A B = B A 2. (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) 3. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 4. (A B) = A B (A B) = A B 5. A = 6. A – B = A B 7. (A) = A ตัวอย่าง 7 ให้ U = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} A = {–3, –2, –1, 0}, B = {0, 1, 2, 3} และ C = {–2, –1, 0, 1, 2} จงหาคําตอบของข้อต่อไปนี 1 A B = .......................................................................................................................... 2. B C = .......................................................................................................................... 3. A C = .......................................................................................................................... 4. B C = .......................................................................................................................... 5. C = .......................................................................................................................... 6. A – B = .......................................................................................................................... 7. B – C = .......................................................................................................................... 8. A (C – B) = ................................................................................................................. = ................................................................................................................. 9. (A B) C = ................................................................................................................. = ................................................................................................................. 10. (A – B) C = ................................................................................................................. = ................................................................................................................. Note .............................................................. .............................................................. .............................................................. .............................................................. .............................................................. .............................................................. .............................................................. .............................................................. .............................................................. .............................................................. ..............................................................
- 8. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 6 ตัวอย่าง 8 กําหนดให้A, B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U จงพิสูจน์ว่า ข้อความต่อไปนีเป็นจริง (1) A B A B .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. (2) (A B) C A (B C) .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. (3) A (B C) A (B C) .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. (4) A (B – C) = (A B) – (C – A) .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. (5) A – (A B) = A – B .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. .............................................................................................................................................. ..............................................................................................................................................
- 9. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 7 การอ่านแผนภาพเวนน์ –ออยเลอร์ ตัวอย่าง 9 กําหนด A, B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U จงเขียนเซตแทนส่วนทีแรเงาในแต่ละข้อต่อไปนี (1) .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... (2) .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... (3) .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... (4) .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... (5) .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... (6) .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... (7) .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... A B C A B C A B C A B C A B C A B C B A C
- 10. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 8 7. จํานวนสมาชิกของเซตจํากัด(The Cardinality of Finite Set) การหาจํานวนสมาชิกทําได้ 2 วิธี คือ 1. ใช้แผนภาพของเวนน์–ออยเลอร์ 2. ใช้สูตดังต่อไปนี กําหนดให้ A, B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U โดยที A, B และ C เป็นเซตจํากัด 1. n(A – B) = n(A) – n (AB) = n(AB) – n(B) 2. n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) 3. n(ABC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC) 4. n(A) = n(U ) – n(A) ตัวอย่าง 10 กําหนดให้ A และ B เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์U โดยที n(A) = 8, n(B) = 5 และ n(A B) = 2 จงหา 1. n(A – B) 2. n(B – A) 3. n(A B) ตัวอย่าง 11 กําหนดให้ A , B และ C เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์U โดยที n(A) = 33, n(B) = 35, n(C) = 43, n(A B) = 8, n(A C) = 13, n(B C) = 11 และ n(A B C) = 100 จงหา 1. n(A B C) 2. n((A B) C) 3. n((B C) A)
- 11. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 9 ตัวอย่าง 12 กําหนดให้A , B และ C เป็นสับเซตของ U โดยที n(A) = 25, n(B) = 14, n(C) = 18, n(A B) = 6, n(A C) = 8, n(B C) = 10, n(A B C) = 2 จงหา n((A B) – C) ตัวอย่าง 13 จากการสัมภาษณ์นักเรียนชันมัธยมศึกษาปีที 6 จํานวน 110 คน ของโรงเรียนแห่งหนึงเกียวกับ กีฬาทีนักเรียนชอบ ปรากฏผลดังนี ชอบฟุตบอล 25 คน ชอบฟุตบอลและบาสเกตบอล 6 คน ชอบบาสเกตบอล 45 คน ชอบฟุตบอลและวอลเลย์บอล 10 คน ชอบวอลเลย์บอล 48 คน ชอบบาสเกตบอลและวอลเลย์บอล 8 คน ไม่ชอบกีฬาประเภทใดเลยในสามประเภทนี 11 คน จงหาจํานวนนักเรียนทีชอบกีฬาทังสามประเภท
- 12. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 10 Onet 2549 1.ถ้า A B {2,4,6} , B A {0,1, 3} และ A B {0,1,2, 3, 4,5,6, 7, 8} แล้ว A B เป็นสับเซตของเซตในข้อใดต่อไปนี 1. {0,1, 4, 5, 6, 7} 2. {1,2, 4,5,6, 8} 3. {0,1, 3, 5, 7, 8} 4. {0,2, 4, 5,6, 8} 2. ในการสอบถามพ่อบ้านจํานวน 300 คน พบว่า มีคนทีไม่ดืมทังชาและกาแฟ 100 คน มีคนทีดืมชา 100 คน และมีคนทีดืมกาแฟ 150 คน พ่อบ้านทีดืมทังชาและกาแฟมีจํานวนเท่าใด Onet 2550 3. กําหนดให้ A และ B เป็นเซต ซึง n(A B) = 88 และ n[(A – B) (B – A)] = 76 ถ้า n(A) = 45 แล้ว n(B) เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 45 2. 48 3. 53 4. 55
- 13. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 11 4. นักเรียนกลุ่มหนึงจํานวน46 คน แต่ละคนมีเสือสีเหลืองหรือเสือสีฟ้ าอย่างน้อยสีละหนึงตัว ถ้านักเรียน 39 คนมีเสือสีเหลือง และ 19 คนมีเสือสีฟ้ า แล้วนักเรียนกลุ่มนีทีมีทังเสือสีเหลืองและเสือสีฟ้ า มีจํานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 Onet 2551 5. นักเรียนกลุ่มหนึงจํานวน 50 คน มี 32 คนไม่ชอบเล่นกีฬาและไม่ชอบฟังเพลง ถ้ามี 6คนชอบฟังเพลงแต่ ไม่ชอบเล่นกีฬา และมี 1 คนชอบเล่นกีฬาแต่ไม่ชอบฟังเพลง นักเรียนในกลุ่มนีทีชอบเล่นกีฬาและชอบฟัง เพลงมีจํานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 11 คน 2. 12 คน 3. 17 คน 4. 18 คน 6. ถ้ากําหนดจํานวนสมาชิกของเซตต่างๆ ตามตารางต่อไปนี เซต A B A C B C A B C A B C จํานวนสมาชิก 25 27 26 30 7 แล้วจํานวนสมาชิกของ (A B) C เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 23 2. 24 3. 25 4. 26
- 14. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 12 Onet 2552 7. ให้ A เป็นเซตจํากัด และ B เป็นเซตอนันต์ ข้อความใดต่อไปนีเป็นเท็จ 1. มีเซตจํากัดทีเป็นสับเซตของ A 2. มีเซตจํากัดทีเป็นสับเซตของ B 3. มีเซตอนันต์ทีเป็นสับเซตของ A 4. มีเซตอนันต์ทีเป็นสับเซตของ B 8. ในการสํารวจความชอบในการดืมชาเขียวและกาแฟของกลุ่มตัวอย่าง 32 คน พบว่า ผู้ชอบดืมชาเขียวมี 18 คน ผู้ชอบดืมกาแฟมี 16 คน ผู้ไม่ชอบดืมชาเขียวและไม่ชอบดืมกาแฟมี 8 คน จํานวนคนทีชอบดืมชาเขียวอย่างเดียวเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 6 คน 2. 8 คน 3. 10 คน 4. 12 คน Onet 2553 9. ให้ A = {1, 2, 3, ... } และ B = { {1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ... } ข้อใดต่อไปนีเป็นเท็จ 1. A B มีสมาชิก 5 ตัว 2. จํานวนสมาชิกของเพาเวอร์เซตของ B A เท่ากับ 4 3. จํานวนสมาชิกของ (A B) (B A) เป็นจํานวนคู่ 4. A B คือเซตของจํานวนนับทีมีค่ามากกว่า 5
- 15. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 13 10. ในการสอบของนักเรียนชันประถมศึกษากลุ่มหนึงพบว่ามีผู้สอบผ่านวิชาต่างๆ ดังนี คณิตศาสตร์ 36 คน สังคมศึกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน คณิตศาสตร์และสังคมศึกษา 15 คน ภาษาไทยและสังคมศึกษา 12 คน คณิตศาสตร์และภาษาไทย 7 คน ทังสามวิชา 5 คน จํานวนผู้สอบผ่านอย่างน้อยหนึงวิชามีกีคน Onet 2554 11. แผนภาพแรเงาในข้อใดแทนเซต ((A B) (A C)) ((B C) (A B C)) 1. 2. 3. 4. A B C B A C A B C A B C
- 16. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 14 12. กําหนดให้A, B และ C เป็นเซตใดๆ ซึง A B พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. (C A) (C B) ข. c c A C A B ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 13. ให้ A และ B เป็นเซตซึง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n(A B ) = 2 ถ้า C (A B) (B A) แล้ว n(P(C)) เท่ากับเท่าใด 14. ในการสํารวจงานอดิเรกของนักเรียน 200 คน ปรากฏว่า 120 คน ชอบอ่านหนังสือ 110 คน ชอบดูภาพยนต์ 130 คน ชอบเล่นกีฬา 60 คน ชอบอ่านหนังสือและดูภาพยนต์ 70 คน ชอบอ่านหนังสือและเล่นกีฬา 50 คน ชอบดูภาพยนต์และเล่นกีฬา นักเรียนทีชอบเล่นกีฬาเพียงอย่างเดียวมีกีคน
- 17. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 15 Onet 2555(ยังไม่มีข้อสอบเผยแพร่) Onet2556 15. เซต (B A) C คือบริเวณทีแรเงาในข้อใดต่อไปนี 1. 2. 3. 4. 5. 16. ในการสํารวจความชอบรับประทานก๋วยเตียว ข้าวมันไก่ และข้าวหมูแดง ของนักเรียนชันมัธยมศึกษาปีที 6 จํานวน 100 คนของโรงเรียนแห่งหนึง พบว่ามีนักเรียน ชอบก๋วยเตียว 49 คน ชอบก๋วยเตียวและข้าวมันไก่ 22 คน ชอบข้าวมันไก่ 48 คน ชอบก๋วยเตียวและข้าวหมูแดง 32 คน ชอบข้าวหมูแดง 59 คน ชอบข้าวมันไก่และข้าวหมูแดง 27 คน และชอบทังสามอย่าง 15 คน จํานวนนักเรียนทีไม่ชอบอาหารทังสามชนิดนีเท่ากับกีคน A B C A B C A B C A B C B C A
- 18. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 16 Onet 2557 17. ส่วนทีแรเงาของแผนภาพในข้อใดหมายถึง A – (B – C) 1. 2. 3. 4. 5. 18. จากการสอบถามความชอบรับประทานไอศกรีมของนักเรียนจํานวน 180 คน พบว่า มี 86 คน ชอบรสช็อกโกแลต มี 31 คน ชอบรสช็อกโกแลตและวานิลลา มี 87 คน ชอบรสวานิลลา มี 27 คน ชอบรสวานิลลาและสตรอเบอรี มี 70 คน ชอบรสสตรอเบอรี มี 22 คน ชอบรสช็อกโกแลตและสตรอเบอรี และ มี 5 คน ไม่ชอบทังสามรส ดังนันมีนีกเรียนทีชอบทังสามรสกีคน A B C A B C A B C A B C BA C
- 19. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 17 Onet 2558 19. ส่วนทีแรเงาของแผนภาพต่อไปนี ไม่ใช่เซตในข้อใดต่อไปนี 1. (A B) C 2. A (B C) 3. A (B C) C 4. (A B) (B C) 5. B (A C) (A B C) 20. จากการสอบถามนักเรียนชัน ม.6 ทีเรียนสายวิทยาศาสตร์จํานวน 180 คน พบว่า มี 83 คน ชอบเคมี มี 68 คน ชอบฟิสิกส์ มี 84 คน ชอบชีววิทยา มี 23 คน ชอบทังเคมีและฟิสิกส์ มี 22 คน ชอบทังฟิสิกส์และชีววิทยา มี 25 คน ชอบทังเคมีและชีววิทยา และ มี 3 คน ไม่ชอบวิชาใดเลยในสามวิชานี ดังนันมีนักเรียนกีคนทีชอบเคมีแต่ไม่ชอบฟิสิกส์และชีววิทยา A B C
- 20. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 18 Onet 2559 21. กําหนดให้ A, B และ C เป็นเซต ทีมีความสัมพันธ์กันดังแผนภาพ ข้อใดต่อไปนีถูก 1. A C B 2. (A B) C 3. A B B C 4. A B C 5. B C A 22. นักเรียนห้องหนึงมี 50 คน ถ้าในจํานวนนีมีคนเล่นกีตาร์ 25 คน เล่นเปียโน 14 คน ไม่เล่นกีตาร์และไม่เล่น เปียโน 15 คน แล้วจํานวนนักเรียนทีเล่นกีตาร์อย่างเดียวมีกีคน A B C U
- 21. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 19 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแต่ละปีจะมีประมาณ 1 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทีเคยออกข้อสอบ ได้แก่ การให้เหตุผลนิรนัย โดยอาศัยแผนภาพ(1 ข้อทุกปี) สําหรับการให้เหตุผลแบบอุปนัยอาจจะนําไปเป็นวิธีเพือการหาคําตอบในเรืองลําดับอนุกรมจํากัด การให้เหตุผล การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ มีวิธีทีสําคัญอยู่2 วิธี คือ การให้เหตุผลแบบอุปนัย และการให้เหตุผลแบบนิรนัย 1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย การให้เหตุผลแบบอุปนัยเป็นการให้เหตุผล โดยยึดความจริงจากส่วนย่อยทีพบเห็นไปสู่ความจริงทีเป็นส่วนรวม เป็นวิธีการสรุปผลจากการสังเกต การทดลอง หรือค้นคว้าหลายๆ ครัง จากกรณีย่อย ๆ แล้วนํามาสรุปผลทัวไป ตัวอย่างเช่น ชาวสวนมะม่วงสังเกตมาหลายปีพบว่า ถ้าปีใดมีหมอกมาก ปีนันจะได้ผลผลิตน้อย เขาจึงสรุปว่าหมอกเป็นสาเหตุทีทําให้ผลผลิตน้อย จากผลการทดลอง 10 ครัง ของนักวิทยาศาสตร์คนหนึง พบว่า ถ้าใช้สาร A ไปผสมกับสาร B ในอัตรา 1 : 2 จะได้สาร C จึงสรุปว่า การนําสาร A ไปผสมกับสาร B ในอัตราส่วน 1 : 2 จะทําให้เกิดสาร C ตัวอย่าง 1 ให้สังเกตจํานวน ในรูปที 1, 2, 3 และ 5 ต่อไปนี จงใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย หาจํานวน ในรูปที 10 และรูปที n รูปที จํานวน ข้อสังเกต 1 2 3 4 5 ดังนัน รูปที 10 มีจํานวน เท่ากับ ……….………………………………………………………................... และ รูปที n มีจํานวน เท่ากับ ………………………………………………………………................... รูปที 1 รูปที 2 รูปที 3 รูปที 4 รูปที 5
- 22. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 20 ตัวอย่าง 2ให้สังเกตแบบรูปของผลลัพธ์จากการยกกําลังสองต่อไปนี แล้วใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย เติมคําตอบสุดท้ายลงในช่องว่าง (1) 12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 = 123454321 1111112 = (2) 62 = 36 662 = 4356 6662 = 443556 66662 = 44435556 666662 = (3) 342 = 16 342 = 1156 3342 = 111556 33342 = 11115556 333342 = ตัวอย่าง 3 จงหาตัวเลขในหลักหน่วยของ 2558 4 ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................
- 23. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 21 2 การให้เหตุผลแบบนิรนัย การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุผล โดยเริมจากเหตุ หรือ สมมติฐาน แล้วอาศัยความจริงทียอมรับแล้วที เรียกว่า สัจพจน์ อาศัยทฤษฎีบททีทราบมาก่อนแล้ว อาศัยข้อตกลง กฎต่าง ๆ หรือบทนิยาม นําสิงเหล่านีมายืนยัน จนกระทังได้ผล หรือ ข้อสรุป ทีต้องการ การให้เหตุผลแบบนิรนัย จะต้องยอมรับก่อนว่าเหตุทีกําหนดให้ทุกอย่างเป็นจริง แล้วนําเหตุทังหมดมาวิเคราะห์ ว่า จะได้ผลทีกําหนดให้เป็นจริงหรือไม่ ถ้าได้ผลเป็นจริง จะเรียกการให้เหตุผลนีว่า เป็นการให้เหตุผลที สมเหตุสมผล (valid) ถ้าผลทีกําหนดให้ ไม่จําเป็นต้องเกิดขึนตามนัน จะกล่าวว่าผลเป็นเท็จ ในกรณีนีจะเรียกการให้เหตุผลนีว่า เป็นการให้เหตุผลที ไม่สมเหตุสมผล (invalid) การตรวจสอบการให้เหตุผลแบบนิรนัยโดยใช้แผนภาพของเวนน์–ออยเลอร์ การตรวจสอบว่าข้อสรุปโดยการวาดแผนภาพตามสมมติฐานทีเป็นไปได้ แล้วจึงพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละ กรณีแสดงผลสรุปตามทีสรุปไว้หรือไม่ ถ้าแผนภาพทีวาดกรณีทีเป็นไปได้ทุกกรณีแสดงผลตามทีกําหนด จึงกล่าวได้ว่าการสรุปผลสมเหตุสมผล ถ้ามีแผนภาพทีไม่แสดงผลตามทีสรุปไว้ การสรุปนันไม่สมเหตุสมผล ข้อความทีใช้ในการอ้างเหตุผลทีใช้กันมีอยู่ 4 แบบ ข้อความ แผนภาพ 1. สมาชิกของ A ทุกตัวเป็นสมาชิกของ B 2. ไม่มีสมาชิกของ A ตัวใด เป็นสมาชิกของ B 3. สมาชิกบางตัวของ A เป็นสมาชิกของ B หรือ 4. สมาชิกของ A บางตัว ไม่เป็นสมาชิกของ B หรือ 5. x เป็นสมาชิกของ A 6. x ไม่เป็นสมาชิกของ A A B B A A A x x A B A B A B B A
- 24. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 22 ตัวอย่าง 4จงวาดแผนภาพทุกกรณีแทนข้อความทีกําหนดให้ต่อไปนี (1) นักกีฬาทุกคนมีสุขภาพดี (2) คนทีมีสุขภาพดีบางคนมีบุคลิกภาพดี (3) นักกีฬาบางคนไม่เป็นคนทีมีบุคลิกภาพดี (4) ไม่มีคนขยันทํางานคนใดทีจะตกงาน (5) นาย ก เป็นคนขยัน (6) นาย ก ไม่เป็นคนขยัน
- 25. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 23 ตัวอย่าง 5ในแต่ละข้อต่อไปนี จงวาดแผนภาพทุกกรณีแทนข้อความทุกข้อความทีกําหนดให้ 1. 1) นกทุกตัวบินได้ 2) ค้างคาวเป็นนก 2. 1) ครูทุกคนเป็นใจดี 2) ไม่มีคนใจดีคนใดทีเป็นคนไร้เหตุผล 3. 1) คนอ้วนทุกคนเป็นคนทีสุขภาพไม่ดี 2) มีคนสุขภาพไม่ดีบางคนเป็นยากจน 4. 1) อัญมณีทุกชนิดมีราคาแพง 2) พลอยทุกชนิดถือว่าเป็นอัญมณี 3) ทับทิมเป็นพลอยชนิดหนึง
- 26. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 24 ตัวอย่าง 6ในแต่ละข้อต่อไปนี จงตรวจสอบความสมเหตุสมผล 1 เหตุ 1) จํานวนคู่เป็นจํานวนเต็ม 2) 25 เป็นจํานวนเต็ม ผล 25 เป็นจํานวนคู่ 2 เหตุ 1) สิงมีชีวิตทุกชนิดต้องการอาหาร 2) มนุษย์ทุกคนเป็นสิงมีชีวิต 3) สมชายเป็นมนุษย์คนหนึง ผล สมชายต้องการอาหาร 3. เหตุ 1) เรือทุกลําลอยนําได้ 2) ถังนําพลาสติกทุกใบลอยนําได้ ผล ถังนําพลาสติกเป็นเรือ
- 27. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 25 4. เหตุ1) นักฟุตบอลทุกคนเป็นคนทีมีสุขภาพดี 2) นาย ก เป็นคนทีมีสุขภาพดี ผล นาย ก เป็นนักฟุตบอล 5. เหตุ 1) นักเรียนทีเรียนเป้ าหมายในชีวิตทุกคนเป็นนักเรียนทีขยัน 2) นักเรียนทีขยันทุกคนจะประสบความสําเร็จในชีวิต 3) ไม่มีนักเรียนทีเกเรคนไหนทีจะประสบความสําเร็จในชีวิต 4) นายไจแอนท์เป็นนักเรียนเกเร ผล นายไจแอท์ไม่มีเป้ าหมายในชีวิต 6 เหตุ 1) ถ้าฝนตกหนักแล้วนําจะท่วม 2) ถ้านําท่วมแล้ว การจราจรจะติดหนัก 3) วันนีการจราจรคล่องตัวไม่ติดหนัก ผล วันนีนําไม่ท่วม
- 28. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 26 Onet 2549 1.เหตุ 1. ไม่มีคนขยันคนใดเป็นคนตกงาน 2. มีคนตกงานทีเป็นคนใช้เงินเก่ง 3. คนขยันทีไม่เป็นคนใช้เงินเก่ง ผล ในข้อใดต่อไปนีเป็นการสรุป ผลจาก เหตุ ข้างต้นทีเป็นไปอย่างสมเหตุสมผล 1. มีคนขยันทีเป็นคนใช้เงินเก่ง 2. มีคนใช้เงินเก่งทีเป็นคนตกงาน 3. มีคนใช้เงินเก่งทีเป็นคนขยัน 4. มีคนตกงานทีเป็นคนขยัน Onet 2550 2. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี (1) นักกีฬาทุกคนมีสุขภาพดี (2) คนทีมีสุขภาพดีบางคนเป็นคนดี (3) ภราดรเป็นนักกีฬา และเป็นคนดี แผนภาพในข้อใดต่อไปนี มีความเป็นไปได้ทีจะสอดคล้องกับข้อความทังสามข้อข้างต้น เมือจุดแทนภราดร 1. 2. 3. 4.
- 29. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 27 Onet 2551 3. จากรูปแบบต่อไปนี โดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย 2a b + c มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 11 2. 22 3. 33 4. 44 4. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี 1. คนตีกอล์ฟเก่งทุกคนเป็นคนสายตาดี 2. คนทีตีกอล์ฟได้ไกลกว่า 300 หลา บางคนเป็นคนสายตาดี 3. ธงชัยตีกอล์ฟเก่งแต่ไม่ดีไม่ไกลกว่า 300 หลา แผนภาพในข้อใดต่อไปนี มีความเป็นไปได้ทีจะสอดคล้องกับข้อความทังสามข้างต้นเมือจุดแทนธงชัย 1. 2. 3. 4. 7 1 2 4 14 2 4 8 21 3 6 12 77 a b c
- 30. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 28 Onet 2552 5. พิจารณาผลต่างระหว่างพจน์ของลําดับ 2, 5, 10, 17, 26, ... โดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย พจน์ที 10 ของลําดับคือข้อใดต่อไปนี 1. 145 2. 121 3. 101 4. 84 6. กําหนดเหตุให้ดังนี เหตุ (ก) ทุกจังหวัดทีอยู่ไกลจากกรุงเทพมหานครเป็นจังหวัดทีมีอากาศดี (ข) เชียงใหม่เป็นจังหวัดทีมีอากาศไม่ดี ข้อสรุปในข้อใดต่อไปนีสมเหตุสมผล 1. เชียงใหม่เป็นจังหวัดทีอยู่ไม่ไกลจากกรุงเทพมหานคร 2. นราธิวาสเป็นจังหวัดทีอยู่ไม่ไกลจากกรุงเทพมหานคร 3. เชียงใหม่เป็นจังหวัดทีอยู่ไกลจากกรุงเทพมหานคร 4. นราธิวาสเป็นจังหวัดทีอยู่ไกลจากกรุงเทพมหานคร
- 31. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 29 Onet 2553 7. พิจารณาการให้เหตุผลต่อไปนี เหตุ 1) A 2) เห็ดเป็นพืชมีดอก ผล เห็ดเป็นพืชชันสูง ข้อสรุปข้างต้นแสมเหตุสมผล ถ้า A แทนข้อคความใด 1. พืชชันสูงทุกชนิดมีดอก 2. พืนชันสูงบางชนิดมีดอก 3. พืชมีดออกทุกชนิดเป็นพืชชันสูง 4. พืชมีดอกบางชนิดเป็นพืชชันสูง Onet 2554 8. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี ก. เหตุ 1. ถ้าฝนไม่ตก แล้ว เดชาไปโรงเรียน 2. ฝนตก ผล เดชาไม่ไปโรงเรียน ข. เหตุ 1. รัตนาขยันเรียน หรือ รัตนาสอบชิงทุนรัฐบาลได้ 2. รัตนาไม่ขยันเรียน ผล รัตนาสอบชิงทุนรัฐบาลได้ ข้อความใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ก. สมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 2. ก. สมเหตุสมผล และ ข. ไม่สมเหตุสมผล 3. ก. ไม่สมเหตุสมผล และ ข. สมเหตุสมผล 4. ก. ไม่สมเหตุสมผล และ ข. ไม่สมเหตุสมผล
- 32. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 30 Onet 2555(ยังไม่มีข้อสอบเผยแพร่) Onet2556 9. จงพิจารณาผลสรุปต่อไปนี (ก) เหตุ 1) ทุกคนทีอ่านหนังสือก่อนสอบจะสอบได้ 2) สมชายสอบได้ ผล สมชายอ่านหนังสือก่อนสอบ (ข) เหตุ 1) ทุกครังทีฝนตกจะมีฟ้ าแลบ 2) วันนีไม่มีฟ้ าแลบ ผล วันนีมีฝนไม่ตก (ค) เหตุ 1) แมวบางตัวไม่ชอบกินปลา 2) เหมียวเป็นแมวของฉัน ผล เหมียวไม่ชอบกินปลา ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. (ก), (ข) และ (ค) สมเหตุสมผล 2. (ก) และ (ข) สมเหตุสมผล แต่ (ค) ไม่สมเหตุสมผล 3. (ข) และ (ค) สมเหตุสมผล แต่ (ก) ไม่สมเหตุสมผล 4. (ข) สมเหตุสมผล แต่ (ก) และ (ค) ไม่สมเหตุสมผล 5. (ก), (ข) และ (ค) ไม่สมเหตุสมผล
- 33. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 31 Onet 2557 10. จงพิจารณาผลสรุปต่อไปนี ก. เหตุ 1) ทุกครังทีฝนตก การจราจรจะติดขัด 2) วันนีการจราจรติดขัด ผล วันนีฝนตก ข. เหตุ 1) ดําไม่ชอบกินผัก 2) ทุกคนทีชอบกินผักมีสายตาดี ผล ดําสายตาไม่ดี ค. เหตุ 1) ผู้ทีประหยัดจะไม่ยากจน 2) นายมีเป็นคนยากจน ผล นายมีเป็นคนไม่ประหยัด ข้อใดต่อไปนีถูก 1. ก. , ข. และ ค. สมเหตุสมผล 2. ก. และ ข. สมเหตุสมผล แต่ ค. ไม่สมเหตุสมผล 3. ข. และ ค. สมเหตุสมผล แต่ ก. ไม่สมเหตุสมผล 4. ค. สมเหตุสมผล แต่ ก. และ ข. ไม่สมเหตุสมผล 5. ก. , ข. และ ค. ไม่สมเหตุสมผล
- 34. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 32 Onet 2558 11. จงพิจารณาเหตุต่อไปนี 1) ทุกคนทีชอบกินผลไม้จะชอบกินผัก 2) ทุกคนทีชอบรสหวานจะชอบกินผลไม้ 3) ขาวไม่ชอบกินผัก 4) ดําชอบกินผลไม้ ผลสรุปในข้อใดต่อไปนีทําให้การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล 1. ขาวไม่ชอบรสหวาน 2. ขาวชอบกินผลไม้ 3. ดําชอบรสหวาน 4. ดําไม่ชอบรสหวาน 5. ดําไม่ชอบกินผัก 12. พิจารณาลําดับของรูปสีเหลียมจุตรัสทีมีด้านยาวด้านละ 1 หน่วยต่อไปนี รูปที 1 รูปที 2 รูปที 3 รูปที 4 พืนทีของบริเวณแรเงาในรูปที 10 มีค่าเท่ากับกีตารางหน่วย 1. 1 100 2. 1 256 3. 1 512 4. 1 1000 5. 1 1024
- 35. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 33 Onet 2559 13. กําหนด “เหตุ” เป็นดังนี 1) คนทีออกกําลังกายสมําเสมอทุกคน จะมีสุขภาพดี 2) คนทีกินอาหารหวานจัดทุกคน จะมีสุขภาพไม่ดี 3) มานะมีสุขภาพดี แต่สมศรีมีสุขภาพไม่ดี ข้อใดต่อไปนีเป็น “ผล” ทีทําให้ผลสรุปสมเหตุสมผล 1. มานะไม่กินอาหารหวานจัด 2. มานะออกกําลังกายสมําเสมอ 3. สมศรีกินอาหารหวานจัด 4. สมศรีไม่กินอาหารหวานจัด 5. สมศรีออกกําลังกายสมําเสมอ 14. กําหนดให้ รูปที 1 รูปที 2 รูปที 3 รูปที 4 แล้วในรูปที 10 มีจํานวนจุดกีจุด 1. 55 2. 60 3. 66 4. 78 5. 88
- 36. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 34 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแต่ละปีจะมีประมาณ 7 - 8 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทีเคยออกข้อสอบที ได้แก่ การระบุว่าจํานวนใดเป็นจํานวนเต็ม จํานวนนับ จํานวนตรรกยะ หรืออตรรกยะ การตรวจสอบสมบัติเกียวกับระบบจํานวนจริง การเท่ากัน และการไม่เท่ากันของจํานวนจริง ว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ (ออกทุกปีจาก 3 ปีล่าสุด) การหาจํานวนทีติดค่าสัมบูรณ์ในอยู่ในรูปอย่างง่าย การแก้อสมการพหุนาม(ดีกรีสอง) และเศษส่วนพหุนาม สมการ และอสมการค่าสัมบูรณ์ (บางปีต้องเข้าใจการแยกกรณ๊ของค่าสัมบูรณ์) โจทย์ปัญหาสมการกําลังสอง โจทย์ปัญหาระบบสมการ โจทย์ปัญหาอสมการ(ออกทุกปีจาก 3 ปีล่าสุด) 1. เซตของจํานวนต่างๆ 1. เซตของจํานวนนับ ได้แก่ ...................................................................................................... 2. เซตของจํานวนเต็มลบ ได้แก่ .................................................................................................. 3. เซตของจํานวนเต็ม ได้แก่ ..................................................................................................... 4. เซตของจํานวนตรรกยะ เป็นเซตของจํานวนทีมีสมาชิกในรูปเศษส่วน โดยทีเศษเป็นจํานวนเต็ม และส่วนเป็นจํานวนเต็มทีไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่าง ได้แก่ .................................................................... .......................................................................................................................................... 5. เซตของจํานวนอตรรกยะ เซตของจํานวนจริงทีไม่เป็นจํานวนตรรกยะ ตัวอย่าง ได้แก่ ........................................................................................................................ ............................................................................................................................................ 6. เซตของจํานวนจริง ได้แก่ เซตทีเกิดจากการยูเนียนกันของเซตจํานวนตรรกยะ กับเซตของจํานวนอตรรกยะ ข้อทีควรสนใจ จํานวนในรูปทศนิยมซํา เป็นจํานวนตรรกยะ เช่น 8 0.8888... 0.8 9 1.66666... = 7 16 1.7 1 9 9 58 0.585858... 0.58 99 35 3 32 0.3555... 0.35 90 90
- 37. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 35 แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ของเซตจํานวนต่างๆ 2. ระบบจํานวนจริง ระบบจํานวนซึงประกอบด้วยเซตของจํานวนจริงและการดําเนินการซึงประกอบไปด้วยการบวกและการคูณมี สมบัติดังนี ให้ a, b และ c เป็นจํานวนจริง สมบัติ การบวก การคูณ ปิด a + b ab การสลับที a + b = b + a ab = ba การเปลียนกลุ่ม (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) การมีเอกลักษณ์ มี 0 เป็นเอกลักษณ์ โดยที a + 0 = 0 + a = a มี 1 เป็นเอกลักษณ์ โดยที 1 a = a 1 = a การมีอินเวอร์ส อินเวอร์สของจํานวนจริง a คือ –a โดยที a + (–a) = 0 อินเวอร์สของจํานวนจริง a 0 คือ 1 a โดยที a 1 a = 1 a a = 1 การแจกแจง a (b + c) = ab + ac ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................... จํานวนจริง จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ จํานวนเต็ม จํานวนเศษส่วน จํานวนเต็มลบ ศุนย์ จํานวนเต็มบวก ,
- 38. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 36 ตัวอย่าง 1 พิจารณาข้อความต่อไปนีเป็นจริง หรือ เท็จ 1. ถ้า a และ b เป็นจํานวนเต็มใดๆ และ b 0 แล้ว a b เป็นจํานวนเต็ม ......................................................................................................................................... 2. ถ้า a และ b เป็นจํานวนนับใดๆ แล้ว a – b เป็นจํานวนนับ ......................................................................................................................................... 3. ถ้า a และ b เป็นจํานวนเต็มลบใดๆ แล้ว a b เป็นจํานวนเต็มลบ ......................................................................................................................................... 4. ถ้า a และ b เป็นจํานวนเต็มใดๆ แล้ว b a เป็นจํานวนเต็ม ......................................................................................................................................... 5. ถ้า a และ b เป็นจํานวนตรรกยะใดๆทีแตกต่างกัน แล้ว a + b เป็นจํานวนตรรกยะ ......................................................................................................................................... 6. ถ้า a และ b เป็นจํานวนอตรรกยะใดๆทีแตกต่างกัน แล้ว a + b เป็นจํานวนอตรรกยะ ......................................................................................................................................... 7. ถ้า a และ b เป็นจํานวนอตรรกยะใดๆทีแตกต่างกัน แล้ว ab เป็นจํานวนอตรรกยะ ......................................................................................................................................... 8. ถ้า a และ b เป็นจํานวนอตรรกยะใดๆทีแตกต่างกัน แล้ว a b เป็นจํานวนอตรรกยะ ......................................................................................................................................... 9. มี a และ b ทีเป็นจํานวนอตรรกยะทีแตกต่างกัน ทีทําให้ ab เป็นจํานวนตรรกยะ ......................................................................................................................................... 10. มี a และ b เป็นจํานวนอตรรกยะทีแตกต่างกัน ทีทําให้ a – b เป็นจํานวนตรรกยะ ......................................................................................................................................... 11. มี a และ b ทีเป็นจํานวนอตรรกยะทีแตกต่าง ทีทําให้ a + b เป็นจํานวนตรรกยะ ......................................................................................................................................... 12. มี a และ b เป็นจํานวนตรรกยะ ทีทําให้ b a เป็นจํานวนอตรรกยะ ......................................................................................................................................... 13. มีจํานวนเต็มทีน้อยทีสุดทีมากกว่า 0 ......................................................................................................................................... 14. มีจํานวนตรรกยะทีน้อยทีสุดทีมากกว่า 0 .........................................................................................................................................
- 39. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 37 15. มีจํานวนตรรกยะทีมากทีสุดทีน้อยกว่า0 ......................................................................................................................................... 16. เซตของจํานวนเต็มลบสมบัติปิดสําหรับการบวก ......................................................................................................................................... 17. เซตของจํานวนเต็มบวกมีสมบัติปิดสําหรับการลบ ......................................................................................................................................... 18. เซตของจํานวนเต็มลบมีเอกลักษณ์สําหรับการคูณ ......................................................................................................................................... 19. เซตของจํานวนอตรรกยะมีเอกลักษณ์สําหรับการบวก ......................................................................................................................................... 20. เซตของจํานวนเต็มมีสมบัติการมีอินเวอร์สสําหรับการคูณ ......................................................................................................................................... 3. สมการพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว สมการพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือสมการสมการตัวแปรเดียว ทีมีรูปทัวไปคือ 2 ax bx c 0 เมือ a, b และ c เป็นค่าคงตัว และ a 0 การหาคําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว วิธีที 1 ใช้การแยกตัวประกอบพหุนาม แล้วใช้สมบัติของจํานวนจริง สําหรับ a, b เป็นจํานวนจริง ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0 วิธีที 2 ใช้สูตร 2 b b 4ac x 2a ถ้า b2 – 4ac = 0 แล้ว คําตอบของสมการจะมีเพียงค่าเดียว คือ b 2a ถ้า b2 – 4ac > 0 แล้ว คําตอบของสมการจะมีสองค่า คือ 2 b b 4ac 2a ถ้า b2 – 4ac < 0 แล้ว ไม่มีจํานวนจริงทีเป็นคําตอบของสมการ คําตอบของสมการกําลังสองตัวแปรเดียว ผลบวกของคําตอบของสมการดีกรีสอง = b a ผลคูณของคําตอบบองสมการดีกรีสอง = c a
- 40. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 38 ความรู้พืนฐานสําหรับการแก้สมการดีกรีสองตัวแปรเดียว สูตรการแยกตัวประกอบของพหุนาม เมือ Aและ B เป็นพหุนาม 1. กําลังสองสมบูรณ์ A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 (หน้า)2 + 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 (หน้า)2 – 2(หน้า)(หลัง) + (หลัง)2 = (หน้า – หลัง)2 2. ผลต่างกําลังสอง A2 – B2 = (A + B)(A – B) (หน้า)2 – (หลัง)2 = (หน้า + หลัง)(หน้า – หลัง) ตัวอย่าง 2 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี 1. 2 x – 7x + 12 = …………………………………………………… 2. 2 x + x – 20 = …………………………………………………… 3. 2 x – 49 = …………………………………………………… 4. 2 x + 11x + 18 = …………………………………………………… 6. 2 x + 4x + 4 = …………………………………………………… 7. 2 x – 5x + 6 = …………………………………………………… 8. 2 x – 7x +10 = …………………………………………………… 9. 2 x – x – 12 = …………………………………………………… 10. 2 4x 7x 2 = …………………………………………………… 11. 2 3x – 5x + 2 = …………………………………………………… 12. 2 6x x 1 = …………………………………………………… ตัวอย่าง 3 จงหาเซตคําตอบของสมการพหุนามต่อไปนี (1) 2 x 6x 8 0 (2) 2 4x 5x - 6 0 ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ...............................................................
- 41. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 39 (3) 2 3x – 5x 2 0 (4) 2 3 x – 3 2 x = 2x ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... (5) 2 x 3x 1 = 0 (6) 2 2x 4x 1 0 ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ตัวอย่าง 4 จงแสดงวิธีทําเพือหาคําตอบต่อไปนี (1) ถ้า 2 4x – 36x + c = 0 แล้ว จงหาค่า c ทีทําให้สมการนีมี x = 1 2 เป็นคําตอบของสมการ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (2) ถ้าสมการ 2 x ax b 0 มี x = 2 และ x = –3 เป็นคําตอบของสมการ จงหาค่าของ a + b ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................
- 42. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 40 (3) ถ้า 2 ax – 8x + 15 = 0 โดยมี x = 3 เป็นคําตอบหนึงของสมการ จงหาอีกคําตอบหนึงของสมการ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ตัวอย่าง 5 จงแสดงวิธีทําเพือหาคําตอบต่อไปนี (1) จงหาค่า k ทีน้อยทีสุด ทีทําให้สมการ 2 x – 2x 5 k มีคําตอบเป็นจํานวนจริง ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (2) จงหาเซตของจํานวนจริง m ซึงทําให้สมการ 2 x mx 4 0 มีรากเป็นจํานวนจริง ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (3) จงหาค่า m จากสมการ 2 4x – mx 9 0 ซึงทําให้สมการมีคําตอบเพียงคําตอบเดียว ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................
- 43. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 41 4. ช่วงและการไม่เท่ากัน ช่วงหมายถึง สับเซตของจํานวนจริง กําหนดให้ a, b และ a < b เขียนช่วงเซตของจํานวนดังนี [a, b] = {x | a x b} (a, b) = {x | a < x < b} [a, b) = {x | a x < b} (a, b] = {x | a < x b} (a, ) = {x | x > a} [a, ) = {x | x a} (–, a) = {x | x < a} (–, a] = {x | x a} สมบัติของการไม่เท่ากัน ให้ a, b และ c เป็นจํานวนจริง 1. a b หมายถึง a < b หรือ a = b 2. a < x < b หมายถึง a < x และ x < b 3. ถ้า a < b และ b < c แล้ว a < c 4. ถ้า a < b และ c < d แล้ว a + c < b + d 5. ถ้า 0 < a < b และ 0< c < d แล้ว ac < bd 6. ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c 7. ถ้า a < b และ c > 0 แล้ว ac < bc ถ้า a < b และ c < 0 แล้ว ac > bc 8. ถ้า 0 < a < b แล้ว 1 1 a b ถ้า a < b < 0 แล้ว 1 1 a b Note ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ a b a b a b a b a a a a
- 44. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 42 ตัวอย่าง 6 จงพิจาณาว่าข้อใดต่อไปนีเป็นจริงหรือเป็นเท็จ (1) ถ้า a > 0 แล้ว 2 a a ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (2) ถ้า a < b แล้ว 2 2 a b ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (3) ถ้า a < b และ a ≠ 0 และ b ≠ 0 แล้ว 1 1 a b ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (4) ถ้า a < b แล้ว 2 a ab ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (5) ถ้า a < b และ c < d แล้ว ac < bd ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (6) ถ้า a < b < c แล้ว ab bc ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (7) ถ้า 2 2 a b แล้ว a ≥ b ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (8) ถ้า a < b < c < 0 แล้ว ac bc ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (9) ถ้า ab < cd แล้ว a < c และ b < d ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ (10) ถ้า ac < bc และ c > 0 แล้ว 2 2 a b ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................
- 45. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 43 5. การแก้อสมการ ตัวอย่าง7 จงหาเซตคําตอบของอสมการต่อไปนี (1) 2x – 3 ≤ 7 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (2) 2x + 5 > 3x +1 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (3) 2 x 2x 8 0 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (4) 2 x 3x 4 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (5) (2x 1)(x 1) 5 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
- 46. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 44 (6) 3 2 x2 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (7) 2 1 0 x 2 x ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (8) 3 2 0 x 2 x 1 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (9) 1 2 0 x 3 x 2 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
- 47. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 45 6. ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนจริง บทนิยามให้ a เป็นจํานวนจริงๆ ค่าสัมบูรณ์ของ a จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ |a| นิยามดังนี a ; a 0 | a | a ; a 0 เช่น |–5| = –(–5) , |2.5| = 2.5 , | 0 | = 0 สมบัติของค่าสัมบูรณ์ของจํานวนจริงบางประการ กําหนดให้ x, y เป็นจํานวนจริงใดๆ 1. |xy| = |x||y| 2. x x y y โดยที | y | 0 3. 2 2 2 | x | |x | x 4. |x| = |y| ก็ต่อเมือ x = y หรือ x = –y 5. |x| = 2 x 6. |x| = a จะได้ว่า x = a 7. |x| < a หมายถึง –a < x < a 8. |x| > a หมายถึง –a > x หรือ x > a |x| a หมายถึง –a x a |x| a หมายถึง –a x หรือ x a ตัวอย่าง 8 กําหนดให้ a และ b เป็นจํานวนจริง จงพิจาณาว่าข้อใดต่อไปนีเป็นจริงหรือเป็นเท็จ (1) ถ้า | a | | b | แล้ว จะได้ a b ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (2) ถ้า a b แล้ว a + b < 0 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (3) ถ้า a และ b เป็นจํานวนจริงซึง |a| ≥ |b| แล้ว 3 3 a b ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (4) ถ้า a และ b เป็นจํานวนจริงใด ๆ แล้ว |a + b| = |a| + |b| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (5) ถ้า a และ b เป็นจํานวนจริงใด ๆ แล้ว |a – b| ≥ |a| – |b| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (6) กําหนดให้ a, b และ c เป็นจํานวนจริงซึง 3 | a | b c 0 แล้ว abc > 0 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
- 48. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 46 ตัวอย่าง 9จงหาผลลัพท์ในแต่ละข้อต่อไปนี (1) | 5 3 | + 5 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (2) |2 – 2 | + | 2 1 | ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (3) | 8 5 | + |3 2 | ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (4) | 8 2 | | 3 2 | | 1 2 | ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (12) |1 – 2 | + | 2 3 | + | 3 – 1| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (5) 1 1 1 2 2 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
- 49. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 47 ตัวอย่าง 10จงหาเซตคําตอบของสมการต่อไปนี (1) | 2 x 25 | = 0 (2) |8 – 5x| = 2 ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... (3) |2x – 5| = 4 (4) | 2 x x 16 | = 4 ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... ............................................................. ............................................................... (5) |x + 3| = 2x – 5 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (6) 3x – 1 = |2 – x| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (7) |x – 5| = |2x + 4| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
- 50. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 48 (8) |2x + 3| = |x – 7| ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (9) | x 1| | 5 x | 5 เมือ x < 1 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (10) | x 3 | | 2 x | 5 เมือ x > 2 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ตัวอย่าง 11 จงหาเซตคําตอบของอสมการต่อไปนี (1) | 2x 1 | 3 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
- 51. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 49 (2) | 3x 5 | 10 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (3) | x 2 | 1 2 | x 2 | ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (4) | x 1| | 5 x | 5 เมือ x < 1 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (5) | x 3 | | 2 x | 7 เมือ x > 2 ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
- 52. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 50 7. โจทย์ปัญหาสมการและอสมการ ตัวอย่าง12 (1) ซือผ้ามาจํานวนหนึงเป็นเงิน 120 บาท ถ้าผ้าราคาลดลงเมตรละ 1 บาท จะซือผ้าได้เพิมอีก 6 เมตร จงหาว่าซือผ้ามาทังหมดกีเมตร และราคาเมตรละเท่าไร ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (2) ครูคิดจะซือลูกบอลให้ห้องพละ เมือคํานวณเงินแล้วพบว่า ถ้าซือฟุตบอล 8 ลูกบาสเกตบอล 5 ลูก เป็นเงิน 2,955 บาท ถ้าซือฟุตบอล 5 ลูก บาสเกตบอล 8 ลูก เป็นเงิน 2,817 บาท แล้วฟุตบอลและบาสเกตบอลมีราคาแตกต่างกันเท่าใด ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ (3) พ่อค้ามีจํานวนเสือและกางเกงรวมกันมากกว่า 12 ตัว แต่ไม่ถึง 20 ตัว ราคาเสือและกางเกงรวมกัน เป็น 3,800 บาท ถ้าเสือราคาตัวละ 190 บาท ส่วนกางเกงราคาตัวละ 380 บาทจะซือเสือน้อยทีสุดได้กีตัว ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................
- 53. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 51 Onet 2549 1. กําหนดให้ I เป็นเซตของจํานวนเต็ม และ | x 1 | 1 2 A x I | x 1 | 3 จํานวนสมาชิกของเซต A เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 2. กําหนดให้ a, b เป็นจํานวนจริงใด ๆ ข้อใดต่อไปนีถูก 1. ถ้า a < b แล้ว จะได้ 2 2 a b 2. ถ้า a b 0 แล้ว จะได้ 2 ab a 3. ถ้า | a | | b | แล้ว จะได้ a b 4. ถ้า 2 2 a b แล้ว จะได้ a b Onet 2550 3. 1 1 2 2 2 2 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 3 2 2 2 2. 2 3 2 2 3. 5 3 2 2 2 4. 3 2 5 2 2
- 54. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 52 4. ถ้าx ≤ 5 แล้ว ข้อใดต่อไปนีถูก 1. 2 x 25 2. | x | ≤ 5 3. x| x | ≤ 25 4. (x – | x |) 2 ≤ 25 5. ถ้า x = 1 2 เป็นรากของสมการ 2 ax 3x 1 0 แล้วรากอีกรากหนึงของสมการนีมีค่าเท่ากับ ข้อใดต่อไปนี 1. –5 2. 1 5 3. 1 5 4. 5 6. เซตของจํานวนจริง m ซึงทําให้สมการ 2 x mx 4 0 มีรากเป็นจํานวนจริงเป็นสับเซตของเซตใดต่อไปนี 1. (–5, 5) 2. (–, –4) [3, ) 3. (–, 0) [5, ) 4. (–, –3) [4, )
- 55. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 53 7. กําหนดให้a และ x เป็นจํานวนจริงใดๆ ข้อใดต่อไปนีถูก 1. ถ้า a < 0 แล้ว x a 0 2. ถ้า a < 0 แล้ว x a a 3. ถ้า a > 0 แล้ว x a 0 4. ถ้า a > 0 แล้ว x a a Onet 2551 8. เซตคําตอบของอสมการ x1 2 1 1 2 คือเซตในข้อใดต่อไปนี 1. [ 2 1, 1] 2. [ 2 1, 2] 3. [3 2 2, 1] 4. [3 2 2, 2] 9. สมการในข้อใดต่อไปนี มีคําตอบทีเป็นจํานวนจริงมากกว่า 2 คําตอบ 1. 2 (x 1) 1 0 2. 2 2 (x 2)(x 1) 0 3. 2 2 (x 1) (x 2) 0 4. 2 2 (x 1)(x 2) 0
- 56. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 54 10. จํานวนสมาชิกของเซต 221 1{x | x (a ) (| a | ) | a | a เมือ a เป็นจํานวนจริงซึงไม่เท่ากับ 0 } เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 2. 2 3. 3 4. มากกว่าหรือเท่ากับ 4 11. ผลบวกของคําตอบทุกคําตอบของสมการ 3 x 2x | x | เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 0 2. 3 3. 3 1 4. 3 1 Onet 2552 12. พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. มีจํานวนตรรกยะทีน้อยทีสุดทีมากกว่า 0 ข. มีจํานวนอตรรกยะทีน้อยทีสุดทีมากกว่า 0 ข้อสรุปใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก 2. ข้อ ก. ถูก แต่ ข้อ ข. ผิด 3. ข้อ ก. ผิด แต่ ข้อ ข. ถูก 4. ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผิด
- 57. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 55 13. พิจารณาข้อความต่อไปนี ก.สมบัติการมีอินเวอร์สการบวกของจํานวนจริงกล่าวว่า สําหรับจํานวนจริง a จะมีจํานวนจริง b ที b +a = 0 = a + b ข. สมบัติการมีอินเวอร์สการคูณของจํานวนจริงกล่าวว่า สําหรับจํานวนจริง a จะมีจํานวนจริง b ที ba = 1 = ab ข้อสรุปใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก 2. ข้อ ก. ถูก แต่ ข้อ ข. ผิด 3. ข้อ ก. ผิด แต่ ข้อ ข. ถูก 4. ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผิด 14. ให้ a และ b เป็นจํานวนตรรกยะทีแตกต่างกัน ให้ c และ d เป็นจํานวนอตรรกยะทีแตกต่างกัน พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. a b เป็นจํานวนตรรกยะ ข. c d เป็นจํานวนอตรรกยะ ข้อสรุปใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก 2. ข้อ ก. ถูก แต่ ข้อ ข. ผิด 3. ข้อ ก. ผิด แต่ ข้อ ข. ถูก 4. ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผิด 15. พิจารณาสมการ | x 7 | 6 ข้อสรุปใดต่อไปนีเป็นเท็จ 1. คําตอบหนึงของสมการมีค่าระหว่าง 10 และ 15 2. ผลบวกของคําตอบทังหมดของสมการมีค่าเท่ากับ 14 3. สมการนีมีคําตอบมากกว่า 2 คําตอบ 4. ในบรรดาคําตอบทังหมดของสมการ คําตอบทีมีค่าน้อยทีสุดมีค่าน้อยกว่า 3
- 58. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 56 Onet 2553 16. พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. จํานวนทีเป็นทศนิยมไม่รู้จบบางจํานวนเป็นจํานวนอตรรกยะ ข. จํานวนทีเป็นทศนิยมไม่รู้จบบางจํานวนเป็นจํานวนตรรกยะ ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อ ก. ถูก และข้อ ข. ถูก 2. ข้อ ก. เท่านัน 3. ข้อ ข. เท่านัน 4. ข้อ ก. และข้อ ข. ผิด 17. กําหนดให้ s, t, u และ v เป็นจํานวนจริง ซึง s < t และ u < v พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. s u < t v ข. s v < t u ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อ ก. ถูก และข้อ ข. ถูก 2. ข้อ ก. เท่านัน 3. ข้อ ข. เท่านัน 4. ข้อ ก. และข้อ ข. ผิด 18. ผลเฉลยของสมการ 2|5 x| = 1 อยู่ในช่วงใด 1. (10, 5) 2. (6, 4) 3. (4, 5) 4. (3, 6)
- 59. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 57 19. ถ้า3 4 เป็นผลเฉลยหนึงของสมการ 2 4x bx 6 0 เมือ b เป็นจํานวนจริง แล้วอีกผลเฉลยหนึงของสมการนีมีค่าตรงกับข้อใด 1. 2 2. 1 2 3. 1 2 4. 2 Onet 2554 20. พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. ถ้า a และ b เป็นจํานวนจริงซึง |a| < |b| แล้ว 3 3 a b ข. ถ้า a, b และ c เป็นจํานวนจริงซึง ac = bc แล้ว a = b ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 21. กําหนดให้ a, b และ c เป็นจํานวนจริงซึง 3 | a | b c 0 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี ก. ac > 0 ข. bc > 0 ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด
- 60. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 58 22. ถ้าสมการ2 2 (x 1)(2x 6x c) 0 มีรากทีเป็นจํานวนจริงเพียง 1 ราก ค่าของ c จะอยู่ในช่วงใดต่อไปนี 1. (0, 3) 2. (3, 6) 3. (6, 9) 4. (9, 12) 23. ถ้า a, b, c และ d เป็นจํานวนจริงซึง 2 3 (x 1) (ax b) cx dx 4 ทุกจํานวนจริง x แล้ว a + b + c + d เท่ากับเท่าใด 24. ถ้า 2 (p 2) 25 และ 2 (q 1) 81 แล้ว ค่ามากทีสุดทีเป็นไปได้ของ p 2q เท่ากับเท่าใด
- 61. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 59 25. ถ้าช่วงเปิด(a, b) เป็นเซตคําตอบของอสมการ | x 1 | | 6 3x | 17 และ x > 2 แล้ว a + b เท่ากับเท่าใด Onet 2555(ยังไม่มีข้อสอบเผยแพร่) Onet 2556 26. ให้ a, b และ c เป็นจํานวนจริงใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี (ก) ถ้า ab = ac แล้วจะได้ว่า b = c (ข) ถ้า a < b แล้วจะได้ว่า 2 2 a b (ค) ถ้า a < b และ b < c แล้วจะได้ว่า ab < bc ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. (ก), (ข) และ (ค) ถูก 2. (ก) ถูก แต่ (ข) และ (ค) ผิด 3. (ก) และ (ค) แต่ (ข) ผิด 4. (ข) ถูก แต่ (ก) และ (ค) ผิด 5. (ก), (ข) และ (ค) ผิด 27. ข้อใดต่อไปนีมีจํานวนตรรกยะอยู่เพียงสองจํานวน 1. 22 4 , , 1.010010001 7 2. 23 2 , 8 , 3. 1 , 16 , 0.101001000100001... 4. 39 , 1.11111... , 8 11 5. 3 0.8 , 8 2 , 3
- 62. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 60 28. ให้A 2 1.4 , B 3.1 และ 5 C 1.63 3 ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. A < B < C 2. C < A < B 3. B < A < C 4. C < B < A 5. A < C < B 29. ให้ A {x |(2x 1)(4 3x) 0} ข้อใดต่อไปนีเป็นเซตย่อยของ A 1. (–1.2, –0.2) 2. (–0.9, 0.3) 3. (–0.6, 1.2) 4. (0.4, 1.5) 5. (0.3, 1.3) 30. ถ้ารูปสีเหลียมผืนผ้ามีด้านยาว ยาวกว่าด้านกว้างอยู่ 3 ฟุต และเส้นทแยงมุมยาวกว่าด้านกว้างอยู่7 ฟุต แล้ว เส้นรอบรูปของสีเหลียมนียาวกีฟุต 1. 11 4 14 2. 11 8 21 3. 22 4 14 4. 22 4 21 5. 22 8 14
- 63. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 61 31. จํานวนเต็มทีสอดคล้องกับอสมการ|x – 3| ≤ 4 มีกีจํานวน 32. โรงพิมพ์แห่งหนึงคิดค่าจ้างในการพิมพ์แผ่นพับแยกเป็น 2 ส่วนคือ ส่วนทีหนึงเป็นค่าเรียงพิมพ์ ซึงไม่ขึนกับ จํานวนแผ่นพับทีพิมพ์ กับส่วนทีสองเป็นค่าพิมพ์ ซึงขึนอยู่กับจํานวนแผ่นพับทีพิมพ์ โดยโรงพิมพ์เสนอราคาดังนี ถ้าสังพิมพ์ 100 ใบ จะคิดค่าจ้างรวมทังหมดเป็นเงิน 800 บาท และ ถ้าสังพิมพ์ 200 ใบ จะคิดค่าจ้างรวมทังหมดเป็นเงิน 1,100 บาท โรงพิมพ์คิดค่าเรียงพิมพ์กีบาท 33. พีมีเงินมากกว่าน้อง 120 บาท ถ้าทังสองคนมีเงินรวมกันไม่เกิน 1,240 บาท แล้วพีมีเงินมากทีสุดกีบาท
- 64. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 62 Onet 2557 34. ให้ a, b และ c เป็นจํานวนจริงใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. ถ้า ab = ac แล้วจะได้ว่า b = c ข. ถ้า a|bc| < 0 และ b < 0 แล้ว |ab|c < 0 ค. ถ้า a > 0 และ b > 0 แล้ว a + b ≥ 2ab ข้อใดต่อไปนีถูก 1. ก. และ ข. ถูก แต่ ค. ผิด 2. ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ข. และ ค. ถูก แต่ ก. ผิด 4. ข. ถูก แต่ ก. และ ค. ผิด 5. ค. ถูก แต่ ก. และ ข. ผิด 35. ให้ a 18 12 และ b 75 50 พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. a และ b เป็นจํานวนอตรรกยะ ข. 3a < 2b ค. a + b < 2 ข้อใดต่อไปนีถูก 1. ก. และ ข. ถูก แต่ ค. ผิด 2. ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ข. และ ค. ถูก แต่ ก. ผิด 4. ข. ถูก แต่ ก. และ ค. ผิด 5. ค. ถูก แต่ ก. และ ข. ผิด
- 65. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 63 36. ผลบวกของรากทังหมดของสมการx 1 x 1 x 2 เท่ากับข้อใด 1. –4 2. –3 3. –2 4. 1 5. 2 37. ถ้า A { x | x 1 1 2 } แล้ว ช่วงในข้อใดเป็นสับเซตของ A 1. (–4, –2] 2. (–3, –1) 3. [–1, 0) 4. [0, 2) 5. [2, 3) 38. กําหนดให้ A {x x 2 3} และ 2 B {x x 3x 4 0 } สมาชิกของ A – B ทีเป็นจํานวนเต็มมีกีตัว 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 5. 7
- 66. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 64 39. แม่ค้าขายก๋วยเตียวชามละ25 บาท โดยมีค่าเช่าร้านวันละ 120 บาท และต้นทุนค่าใช้จ่ายค่าวัตถุดิบเป็นชามละ 18 บาท ถ้าต้องการให้ได้กําไรไม่ตํากว่าวันละ 500 บาท เขาต้องขายให้ได้อย่างน้อยวันละกีชาม 40. ห้องประชุมแห่งหนึงจัดทีนังเป็นแถวโดยนําโต๊ะมาเรียงต่อกันเป็นแถว แถวละ 5 ตัว หลังจากจัดแล้วได้ทีนัง ทังหมด 60 ทีนัง ถ้าจํานวนแถวน้อยกว่าจํานวนทีนังในแต่ละแถวอยู่4 ห้องประชุมนีมีโต๊ะทังหมดกีตัว Onet 2558 41. ข้อใดต่อไปนีมีทังจํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะ 1. 1 7.222... , 3 , 7 2. 3 11 , 8 , 2.555 3. 1 , , 9 1 2 4. 3 , 6.060060006... , 1000 5 5. 2 2 0.414 , , 4.718
- 67. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 65 42. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี ก.ถ้า a, b และ c เป็นจํานวนจริงใดๆ และ a < b < c แล้ว ab < bc ข. ถ้า a และ b เป็นจํานวนอตรรกยะ และ a b แล้ว a b เป็นจํานวนอตรรกยะ ค. ถ้า a และ b เป็นจํานวนจริงใดๆ แล้ว a b a b ข้อใดต่อไปนีถูก 1. ก. และ ข. ถูก แต่ ค. ผิด 2. ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ข. และ ค. ถูก แต่ ก. ผิด 4. ข. ถูก แต่ ก. และ ค. ผิด 5. ค. ถูก แต่ ก. และ ข. ผิด 43. กําหนดให้ 2 A x 3x 5x 12 0 และ 1 2 B x 0 x 1 x A – B มีสมาชิกทีเป็นจํานวนเต็มทังหมดกีตัว 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 5. 4
- 68. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 66 44. ให้ แทนเซตของจํานวนเต็ม ถ้า A x x และ x 2 7 และ B x x และ x 1 2 แล้วข้อใดต่อไปนีถูก 1. A B มีสมาชิก12 ตัว 2. สมาชิกของ A B ทีเป็นจํานวนคู่และเป็นบวกมี 3 ตัว 3. สมาชิกของ A B ทีเป็นจํานวนเฉพาะทีมีค่ามากทีสุดคือ 5 4. สมาชิกของ A B ทีมีค่าน้อยทีสุดคือ –4 5. ผลบวกของสมาชิกทุกตัวของ A B มีค่าเท่ากับ 35 45. กล่องรูปสีเหลียมมุมฉากไม่มีฝาปิดใบหนึงมีความจุ126 ลูกบาศก์ฟุต ถ้าเส้นรอบฐานของกล่องยาว 20 ฟุต และกล่องสูง 6 ฟุต แล้วพืนทีผิวของกล่องเท่ากับกีตารางฟุต 1. 120 2. 141 3. 146 4. 154 5. 162 46. บริษัทเทียวทัวไทย จํากัด ต้องการจัดนําเทียวสําหรับกลุ่มนักท่องเทียวไม่เกิน 40 คน โดยมีค่าเช่ารถ 10,000 บาท และค่าใช่จ่ายอืนๆ 250 บาทต่อคน ถ้าบริษัทคิดค่าบริการคนละ 600 บาท แล้วจะต้องมีนักท่องเทียวอย่าง น้อยทีสุดกีคน บริษัทจึงจะมีกําไรไม่น้อยกว่า 2,000 บาท 1. 34 2. 35 3. 36 4. 37 5. 38
- 69. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 67 47. ร้านค้าแห่งหนึงสังซือสินค้าA และ B จากผู้ผลิต โดยสังซือ 2 ครังดังนี A(ชิน) B(ชิน) รวมเป็นเงิน(บาท) ครังที 1 3 4 320 ครังที 2 2 3 230 ถ้าครังต่อไปสังซือสินค้า A และ B อย่างละ 1 ชิน จะต้องจ่ายเงินกีบาท Onet 2559 48. กําหนดให้ a, b, c และ d เป็นจํานวนจริงใดๆ ข้อใดต่อไปนีเป็นจริง 1. ถ้า a < b แล้ว 1 1 a b 2. ถ้า a < b แล้ว 2 2 a b 3. ถ้า a < b และ c < d แล้ว ac < bd 4. 2 (a b) a b 5. a b a b
- 70. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 68 49. กําหนดให้A {x x 1 1} 2 B {x x x 0 } ข้อใดต่อไปนีถูก 1. A B {0} 2. A B B 3. B A 4. A B A 5. A B (1, ) 50. ถ้า x 1 3 และ x มีค่าอยู่ระหว่าง –5 กับ 1 แล้ว x|x| มีค่าเท่ากับเท่าใด 1. –16 2. –4 3. 4 4. 8 5. 16
- 71. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 69 51. นําฝนปลูกไม้ดอก2 ชนิด ภายในทีดินรูปสามเหลียมABC ดังรูป โดยปลูกกุหลาบในบริเวณภายในรูปสามเหลียม ABD และปลูกทานตะวันในบริเวณรูปสามเหลียม BCD ถ้า ด้าน AB และ BC ยาว 12 เมตร และ 10 เมตร ตามลําดับ แล้วพืนทีทีปลูกทานตะวันเท่ากับกีตารางเมตร 1. 6 3 2. 16 3. 10 3 4. 21 5. 24 52. พรเทพขับรถออกจากเมือง A เมือเวลา 13:00 น. ด้วยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชัวโมง หลังจากนัน 30 นาที สุธีขับรถออกจากเมือง A โดยมีจุดเริมต้นและใช้เส้นทางเดียวกับพรเทพ ด้วยอัตราเร็ว 55 กิโลเมตรต่อชัวโมง สุธีจะขับรถไปทันพรเทพเมือเวลาใด 1. 14:10 น. 2. 14:50 น. 3. 15:15 น. 4. 15:20 น. 5. 15:30 น. C B o 30 D A
- 72. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 70 53. อาหารเม็ดสําหรับเลียงแมวของบริษัทA และ B มีส่วนผสมของโปรตีนและคาร์โบไฮเดรตต่อ 1 ถุง เป็นดังตาราง สุดาซืออาหารเม็ดจากบริษัท A จํานวน x ถุง และบริษัท B จํานวน y ถุง มาผสมกันเพือให้ อาหารมีโปรตีนไม่น้อยกว่า 340 กรัม และมีคาร์โบไฮเดรตไม่น้อยกว่า 420 กรัม แล้วข้อใดต่อไปนีถูก 1. x + 2y 30 และ x + 3y 20 2. x + 2y 34 และ x + 3y 28 3. 2x + y 34 และ x + 3y 28 4. 2x + y 30 และ 3x + y 20 5. x + 2y 34 และ x + 3y 26 54. ถ้า a และ b เป็นความยาวของด้านของรูปสีเหลียมจัตุรัสทีมีพืนที 9 ตารางหน่วย และ 12 ตารางหน่วย ตามลําดับ แล้วเซต {a , b , ab , a + b , a – b , 2 2 a b } ,จํานวนตรรกยะกีตัว จํานวน(กรัม) A B โปรตีน 10 20 คาร์โบไฮเดรต 15 45
- 73. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 71 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแต่ละปีจะมีประมาณ 4 - 5 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทีเคยออกข้อสอบได้แก่ การเปรียบเทียบ(เรียงลําดับ)จํานวนในรูปเลขยกกําลัง การประมาณค่าจํานวนในรูปกรณฑ์ทีสอง การหาค่า(จัดรูป)จํานวนในรูปกรณฑ์ทีสองให้อยู่ในรูปอย่างง่าย การแก้สมการเลขยกกําลัง 1. ทบทวนความรู้เรืองเลขยกกําลัง สมบัติของเลขยกกําลังทีมีเลขชีกําลังเป็นจํานวนตรรกยะ ถ้า a และ b เป็นจํานวนจริงใด ๆ m, n เป็นจํานวนตรรกยะ จะได้ว่า (1) m n m n a a a .................................................................................. (2) m m n n a a ; a 0 a .................................................................................. (3) m n mn (a ) a .................................................................................. (4) n n n a b (ab) .................................................................................. (5) nn n a a bb เมือ b 0 .................................................................................. (6) n n 1 a a .................................................................................. (7) 0 a 1 เมือ a 0 .................................................................................. (8) สําหรับ 0 < a < 1 ถ้า m n จะได้ว่า m n a a สําหรับ a > 1 ถ้า m n จะได้ว่า m n a a Note ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
- 74. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 72 2. รากทีn ของจํานวนจริง นิยามให้ n เป็นจํานวนเต็มบวกทีมากกว่า 1 จะเรียก x ว่าเป็นรากที n ของจํานวนจริง a ก็ต่อเมือ n x a หมายเหตุ 1. ใช้สัญลักษณ์ n a แทน ค่าหลักของรากที n ของ a นันคือ n n a a 2. a แทนค่าหลักของรากที 2 ของ a 3. ถ้า a = 0 n a 0 ถ้า a > 0 n a 0 ถ้า a < 0 และ n เป็นจํานวนคี n a 0 ถ้า a < 0 และ n เป็นจํานวนคู่ n a ไม่เป็นจํานวนจริง สมบัติของรากที n ให้ n เป็นจํานวนเต็มบวกทีมากกว่า 1 โดย a, b เป็นจํานวนจริงทีหารากที n ได้ 1. n n a a เมือ a ≥ 0 2. n n a a เมือ n เป็นจํานวนคี และ a < 0 3. n n a a เมือ n เป็นจํานวนคู่ และ a < 0 4. n n n ab a b 5. n n n a a b b เมือ b 0 หมายเหตุ 1. ถ้า n a หาค่าได้ เราอาจจะเขียน n a ในรูป 1 na นันคือ n 1n n na a a แสดงว่า 1 na เป็นค่าหลักรากที n ของ a 2. ให้ m n เป็นเศษส่วนอย่างตําจะได้ m 1 nm mn na (a ) ( a ) m 1 nm mn na (a ) a 3. a b 2 ab a b a b 2 ab a b ,a b
- 75. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 73 ตัวอย่าง 1แต่ละข้อต่อไปนี จงทําให้อยู่ในรูปอย่างง่าย เมือ a,b, x,y,z {0} , n (1) 3 4 2 2 2 (2) 4 2 3 2 12 6 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (3) 5 3 7 2 9 x y z x z y (4) 3 4 2 3 0 2 3 4(2a b ) (4a ) (4ab ) .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (5) n 2 n 1 n 3 3 3 (6) n 1 n n 1 2 2 2 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (7) n 3 2 n n 1 n 1 2 6 15 5 (8) n 2 n 1 n 7 35 7 7 11 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (9) 4 x x (10) 5 3 a a .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ......................................................................
- 76. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 74 ตัวอย่าง 2จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี (1) 2 1 1 2 3 4 3 1 5 2 (2) 3 2 5 3 3 32 4 27 (4) .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (3) 12 23 4 (12)27 6 324 (4) 2 2 3 12 6 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (5) 1/2 2 27 2 3( 7) 243 (6) 2 ( 32 18 8 2) .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ......................................................................
- 77. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 75 (7) 2 ( 32 18 8 2) (8) 2 3 4 12 2 216 2 9 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (9) 7 48 12 (10) 5 24 4 12 .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (11) 2 | 2 3 3 2 | | 5 2 2 | | 5 2 3 | ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (12) 2 3 1 2 2 1 1 2 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
- 78. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 76 ตัวอย่าง 3จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี (1) ถ้า 2 1 a 2 1 และ 1 2 b 1 2 แล้ว 2 2 a 2ab b เท่ากับเท่าใด ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (2) ถ้า 3 2 a 3 2 แล้ว 1 a 9 a มีค่าเท่ากับข้อใด ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (3) ถ้า 3 1 x 3 1 แล้ว 2 2 1 3 x x มีค่าเท่ากับเท่าใด ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
- 79. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 77 ตัวอย่าง 4จงหาประมาณค่าจํานวนในแต่ละข้อต่อไปนี เป็นทศนิยม2 ตําแหน่ง (1) 2 ( 2 1) ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (2) 2 1 (1 3) ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (3) 2 3 2 1 2 1 2 3 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (4) 1 1 1 1 ... 2 1 3 2 4 3 100 99 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
- 80. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 78 ตัวอย่าง 5จงตรวจสอบจํานวนในแต่ละข้อต่อไปนีทีมีค่ามากกทีสุด (1) 0.4 3 , 0.4 3 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (2) 3 ( 0.2)( 0.2) , 0.2 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (3) 3 3 ( 0.5)( 1.5) , ( 1.5)( 0.5) ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (4) 300 200 64 , 36 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (5) 30 40 30 (24) , 2 3 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (6) 20 40 40 (36) , 3 2 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
- 81. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 79 ตัวอย่าง 6จงเรียงลําดับจํานวนในแต่ละข้อต่อไปนีจากน้อยไปมาก (1) 500 2 , 400 3 , 200 6 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (2) 600 3 , 500 4 , 300 10 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (3) 5 2 1 6 3 22 , 3 , 4 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (4) 3 6 8 , 11 500 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
- 82. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 80 3. การแก้สมการทีอยู่ในรูปกรณฑ์ ในการแก้สมการทีมีเครืองหมายกรณฑ์ จะอาศัยการยกกําลังให้รากหมดไป แล้วดําเนินการแก้สมการหา โดยคําตอบทีได้จากกรณฑ์อันดับคู่จะต้องนําไปตรวจคําตอบเสมอ ส่วนกรณฑ์อันดับคีไม่จําเป็นต้องตรวจคําตอบ ตัวอย่าง 7 จงหาเซตคําตอบสมการต่อไปนี (1) x 1 2 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (2) 3 2 x 1 2 0 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (3) x 7 x 5 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
- 83. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 81 4. สมการเลขยกกําลัง หลักการแก้สมการเกียวกับเลขยกกําลัง ถ้า x y a a แล้ว x = y เมือ a 0 หรือ a 1 ถ้า x x a b และ x 0 แล้ว a = b ตัวอย่าง 8 จงหาเซตคําตอบสมการต่อไปนี (1) 2 (2x)(x ) 2 93 3 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (2) 2 x x 2 12 1 2 1 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (3) x 1 x x 1 2 2 2 40 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
- 84. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 82 (4) 14 x127 81 64 256 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... (5) 3x 1 27 3 9 ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ตัวอย่าง 9 ถ้า x เป็นจํานวนจริงทีทําให้ x 27 64 แล้ว x x 1 3 2 3 มีค่าเท่าใด ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ............................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................
- 85. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 83 Onet 2549 1. 2 ( 2 8 18 32) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 60 2. 60 2 3. 100 2 4. 200 2. 3 2 5 6 3 32 2 27 (64) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 13 24 2. 5 6 3. 2 3 4. 19 24 3. ค่าของ x ทีสอดคล้องกับสมการ 2 (4x)(x ) 4 22 4 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
- 86. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 84 4. อสมการในข้อใดต่อไปนีเป็นจริง 1. 1000 2 < 600 3 < 300 10 2. 600 3 < 1000 2 < 300 10 3. 600 3 < 300 10 < 1000 2 4. 300 10 < 1000 2 < 600 3 5. ถ้า a 4 2 และ b 1 16 4 แล้ว a + b มีค่าเท่ากับเท่าใด Onet 2550 6. 12 23 4 (18)8 6144 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 2 3 2. 3 2 3. 2 4. 3
- 87. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 85 7. 2 23 3 (1 2) (2 8) (1 2) (2 8) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. –32 2. –24 3. –32 – 16 2 4. –24 – 16 2 8. ถ้า 3x 3 163 8 81 แล้ว x มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 4 9 2. 2 9 3. 1 9 4. 1 9 9. ถ้า x (x 1) (x 2) 8 8 8 228 แล้ว x มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 3 2. 2 3 3. 4 3 4. 5 3
- 88. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 86 10. ข้อใดต่อไปนีผิด 1. 0.9 10 0.9 10 2. 4 ( 0.9)( 0.9) 0.9 3. 3 3 ( 0.9)( 1.1) ( 1.1)( 0.9) 4. 300 200 125 100 11. เซตคําตอบของอสมการ 2 (2x 4x 5) 1 4 32 คือเซตในข้อใดต่อไปนี 1. 5 5 [ , ] 2 2 2. 5 [ , 1] 2 3. 1 [ , 1] 2 4. 1 5 [ , ] 2 2 Onet 2551 12. 2 5 2 6 15 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 3 10 2. 7 10 3. 5 2 4. 6 2
- 89. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 87 13. ถ้า 14 x816 125 625 แล้ว x มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 3 4 2. 2 3 3. 3 2 4. 4 3 14. 3 3 4 18 2 125 3 4 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1000 2. 1000 3. 2 5 5 2 4. 5 2 2 5 15. ข้อใดต่อไปนีผิด 1. 30 20 30 40 (24) 2 3 4 2. 30 30 20 40 (24) 2 3 4 3. 20 40 30 30 2 3 4 (24) 4. 30 40 20 30 2 3 4 (24)
- 90. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 88 Onet 2552 16. ค่าของ 1/2 2 8 2 2( 2) 32 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 2. 1 3. 3 4. 5 17. กําหนดให้ค่าประมาณทีถูกต้องถึงทศนิยมตําแหน่งที 3 ของ 3 และ 5 คือ 1.732 และ 2.236 ตามลําดับ พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. 2.235 1.731 5 3 2.237 1.733 ข. 2.235 1.731 5 3 2.237 1.733 ข้อสรุปใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก 2. ข้อ ก. ถูก แต่ ข้อ ข. ผิด 3. ข้อ ก. ผิด แต่ ข้อ ข. ถูก 4. ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผิด Onet 2553 18. ข้อใดมีค่าต่างจากข้ออืน 1. 0 ( 1) 2. 0.2 ( 1) 3. 0.4 ( 1) 4. 0.8 ( 1)
- 91. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 89 19. 2 (|4 3 5 2 | | 3 5 5 2 | | 4 3 3 5 |) เท่ากับข้อใด 1. 0 2. 180 3. 192 4. 200 20. กําหนดให้ a เป็นจํานวนจริงบวก และ n เป็นจํานวนคู่บวก พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. n n a | a | ข. n n a | a | ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อ ก. ถูก และข้อ ข. ถูก 2. ข้อ ก. เท่านัน 3. ข้อ ข. เท่านัน 4. ข้อ ก. และข้อ ข. ผิด 21. รุปสีเหลียมผืนผ้าสองรูป มีขนาดเท่ากัน โดยมีเส้นทแยงมุมยาวเป็นสองเท่าของด้านกว้าง ถ้านํารูป สีเหลียมผืนผ้าทังสองมาวางต่อกันดังรูป จุด A และจุด B อยู่ห่างกันเป็นระยะกีเท่าของด้านกว้าง 1. 1.5 2. 3 3. 2 4. 2 2 A B C
- 92. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 90 Onet 2554 22. ค่าของ 2 ( 3 1) เป็นจริงตามข้อใดต่อไปนี 1. เป็นจํานวนอตรรกยะทีน้อยกว่า 1.8 2. เป็นจํานวนอตรรกยะทีมากกว่า 1.8 3. เป็นจํานวนตรรกยะทีน้อยกว่า 1.8 4. เป็นจํานวนตรรกยะทีมากกว่า 1.8 23. ถ้า 2 3 x 2 3 และ 2 3 y 2 3 แล้ว 2 2 x 4xy y เท่ากับเท่าใด 24. ถ้า 14 x8 16 27 81 และ y = 3x แล้ว y เท่ากับเท่าใด
- 93. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 91 Onet 2555(ยังไม่มีข้อสอบเผยแพร่) Onet2556 25. ค่าของ 2 1 (1 3) อยู่ในช่วงใดต่อไปนี 1. [1.5, 1.6) 2. [1.6, 1.7) 3. [1.7, 1.8) 4. [1.8, 1.9) 5. [1.9, 2.0) 26. 3 2 2 2 2 1 2 3 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 2 2. 1 2 3. 2 4. 2 5. 1 2 27. ถ้า x 1 2 2 8 แล้ว x มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 5 2 2. 3 2 3. 1 2 4. 1 2 5. 3 2
- 94. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 92 28. ถ้ารูปสีเหลียมผืนผ้ามีด้านยาวยาวกว่าด้านกว้างอยู่ 3 ฟุต และเส้นทแยงมุมยาวกว่าด้านกว้างอยู่7 ฟุต แล้ว เส้นรอบรูปของสีเหลียมนียาวกีฟุต 1. 11 4 14 2. 11 8 21 3. 22 4 14 4. 22 4 21 5. 22 8 14 Onet 2557 29. ให้ 5 1 6 2A 2 , B 3 และ 1 3C 5 ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. A < B < C 2. B < A < C 3. B < C < A 4. C < A < B 5. C < B < A 30. ให้ a 18 12 และ b 75 50 พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. a และ b เป็นจํานวนอตรรกยะ ข. 3a < 2b ค. a + b < 2 ข้อใดต่อไปนีถูก 1. ก. และ ข. ถูก แต่ ค. ผิด 2. ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ข. และ ค. ถูก แต่ ก. ผิด 4. ค. ถูก แต่ ก. และ ข. ผิด 5. ก. ถูก แต่ ข. และ ค. ผิด
- 95. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 93 31. ถ้า5 2 a 5 2 แล้ว 1 a 2 a มีค่าเท่ากับข้อใด 1. 3 2. 4 3. 9 4 5 4. 3 2 5. 4 5 32. ถ้า 2 3x x A {x 9 (1 8) } แล้วผลบวกของสมาชิกทุกตัวใน A มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 2 2. 0 3. 1 2 4. 1 5. 3 2 33. ถ้า k 64 16 แล้ว k k 8 8 มีค่าเท่ากับข้อใด 1. 0 2. 5 4 3. 5 2 4. 17 4 5. 65 4
- 96. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 94 Onet 2558 34. ถ้า a เป็นจํานวนจริงบวก แล้ว 3 3 a a เท่ากับเท่าใด 1. 1 9a 2. 2 9a 3. 4 9a 4. 5 9a 5. 7 9a 35. ให้ 3 2 2 3A 2 , B 3 และ 1 6216 ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. A < B < C 2. A < C < B 3. B < A < C 4. B < C < A 4. C < B < A 36. ค่าของ 5 24 18 12 อยู่ในช่วงใด 1. (2.2, 2.3) 2. (2.3, 2.4) 3. (2.4, 2.5) 4. (2.5, 2.6) 5. (2.6, 2.7)
- 97. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 95 37. ถ้า3 2 a 3 2 แล้ว 2 2 1 a a มีค่าเท่ากับเท่าใด 1. 10 2. 20 6 3. 40 6 4. 49 5. 98 38. ถ้า x และ y เป็นจํานวนจริงซึง 2 x 2 16 และ –3 ≤ y ≤ x แล้วค่ามากทีสุดทีเป็นไปได้ของ xy เท่ากับเท่าใด Onet 2559 39. 3. จํานวนจริง 84 18 3 มีค่าเท่าใด 1. 4 3 3 2. 5 2 2 3. 6 2 3 4. 9 3 5. 10 3
- 98. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 96 40. ถ้าa 5 และ b = 8 แล้ว 6 62 4 a b a b มีค่าเท่าใด 1. 10 2. –10 3. 20 4. –15 5. –40 41. ถ้า x = 1 3 แล้ว 1 1 2 2x 3x x เท่ากับเท่าใด 1. 1 3 2. 1 2(1 3) 3. 1 2(1 3) 4. 1 (1 3) 5. 3 2(1 3) 42. ถ้า x เป็นจํานวนจริงบวกทีสอดคล้องกับสมการ 4 x 2x 1 2x (16) (4 ) 2 แล้ว x มีค่าเท่ากับเท่าใด
- 99. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 97 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแต่ละปีจะมีประมาณ 4 - 5 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทีเคยออกข้อสอบได้แก่ การแจกแจงสมาชิกของความสัมพันธ์ทีกําหนด กราฟของความสัมพันธ์ ให้รระบุความสัมพันธ์ทีมีกราฟทีเป็นบริเวณแรเงาตามทีกําหนดให้ การระบุความสัมพันธ์ใดเป็นหรือไม่เป็นฟังก์ชัน การหาโดเมน เรนจ์ของความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน การหาค่าฟังก์ชัน บอกลักษณะกราฟของฟังก์ชัน จุดตัดแกน x จุดตัดแกน y (ส่วนใหญ่เป็นกราฟค่าสัมบูรณ์) อธิบายฟังก์ชันกําลังสอง เกียวกับกราฟพาราโบลา ค่าสูงสุด ค่าตําสุด โจทย์ปัญหาฟังก์ชันกําลังสองเกียวกับการหาค่าน้อยสุด หรือการหาค่ามากสุด 1. ผลคูณคาทีเซียน ให้ A และ B เป็นเซต โดยใช้สัญลักษณ์ A B แทนผลคูณคาร์ทีเซียน นันคือ A B = {(x, y) | x A และ y B} และ n(AB)= n(A)n(B) ตัวอย่าง 1 กําหนดให้ A = {1, 2, 3} , B = {1, 3} จงหา (1) A B = ................................................................................................................... (2) B A = ................................................................................................................... (3) B B = ................................................................................................................... (4) A A = ................................................................................................................... ................................................................................................................... ตัวอย่าง 2 กําหนดให้ A และ B เป็นเซตจํากัดซึง n(AB) = 24 , n(A) = 4 และ n(A B) 7 แล้ว n(A B) เท่ากับเทาใด
- 100. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 98 2. ความสัมพันธ์ ให้ A และ B เป็นเซต r เป็นความสัมพันธ์ จากA ไป B ก็ต่อเมือ r A B โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ โดเมนของความสัมพันธ์ r (Dr) คือ เซตของพิกัดแรกของคู่อันดับใน r เรนจ์ของความสัมพันธ์ r (Rr) คือ เซตของพิกัดหลังของคู่อันดับใน r นันคือ Dr = {x | (x, y) r} และ Rr = {y | (x, y) r} ตัวอย่าง 3 กําหนดให้ A = {1, 2, 3} , B = {1, 3} จงหาสมาชิกในความสัมพันธ์ พร้อมทังหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r ในแต่ละข้อต่อไปนี (1) r {(a, b) A B a 1 b} (2) r {(a, b) A B a b 1} (3) r {(x, y) B A x หาร y ลงตัว}
- 101. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 99 ตัวอย่าง 4 กําหนดให้A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {1, 2, 3, ..., 10} r = {(a, b) AB | a b a } จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r 3. กราฟของความสัมพันธ์ กราฟของความสัมพันธ์ r ใดๆ มีอยู่ 3 ลักษณะ คือ (1) กราฟจุด (2) กราฟเส้นตรงหรือเส้นโค้งต่างๆ (3) กราฟพืนทีบางส่วนขอระนาบ r = {(x, y) | y = x2 } r = {(x, y) | y = x2 } r = {(x, y) | y x2 } กราฟของความสัมพันธ์ทีควรรู้ (1) y x (2) 2 y x (3) x y (4) 2 x y (5) y x (6) 2 y x (7) x y (8) 2 x y (9) y k (10) x k หมายเหตุ ถ้าในความสัมพันธ์มีเงือนไขเป็น > , < , ในบางกรณีเส้นจะเขียนแทนด้วยเส้นปะ x y x y x y y x y x k k y x y x y x y x y x y x y x y x
- 102. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 100 ตัวอย่าง 5 จงวาดกราฟของความสัมพันธ์ทีกําหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี (1) {(x, y) | 2 x 1 y } (2) {(x, y) y x 2} (3) {(x, y) y 2 x} (4) 2 {(x, y) x (y 1) } (5) {(x, y) | 2 y x } (6) {(x, y) y x 1} (7) 2 {(x, y) x y และ y 0 } (8) {(x, y) y x 1 และ x 0 }
- 103. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 101 x y 0 2 (0,4) 2 y 2x 2 3 ตัวอย่าง 6 จากราฟของความสัมพันธ์ทีกําหนดให้ จงระบุสมาชิกของความสัมพันธ์มาอย่างน้อย 4 สมาชิก (1) (2) .......................................................... ............................................................. .......................................................... ............................................................. .......................................................... ............................................................. (3) (4) .......................................................... ............................................................. .......................................................... ............................................................. .......................................................... ............................................................. ตัวอย่าง 7 ถ้า 1r = {(x, y) | |y| x} และ 2r = {(x, y) | |x| y} แล้วส่วนทีแรเงาของกราฟในข้อใดต่อไปนี แทน 1r 2r 1. 2. 3. 4. y x 1 1 1 1 2 22 2 3 3 3 3 0 y x 1 1 1 1 4 2 2 2 3 2 x y 0 2 y x 2 y x 2 y 3 y 3 1 X Y Y X Y X X Y
- 104. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 102 0 y x 1 y x 1 1 1 x y 1 ตัวอย่าง 8 ในแต่ละข้อต่อไปนี กราฟของความสัมพันธ์ทีกําหนดให้ เป็นกราฟของความสัมพันธ์ 1 2 3r , r ,r หรือ 4r (1) 1r (x,y) y x 1 และ y x 2r (x,y) y x 1 และ y x 3r (x,y) y x 1 และ y x 4r (x,y) y x 1 และ y x (2) 1r (x,y) 2 y x และ y 4 2r (x,y) 2 y x และ y 40 3r (x,y) 2 y x และ y 4 4r (x,y) 2 y x และ 0 y 4 (3) 1r (x,y) 2 y x และ y 1 2r (x,y) 2 x y และ y 1 3r (x,y) 2 y x และ y 1 4r (x,y) 2 x y และ y 1 (4) 1r (x,y) x y 1 , y x และ yx 0 2r (x,y) x y 1 , y x และ yx 0 3r (x,y) x y 1 , y x และ yx 0 4r (x,y) x y 1 , y x และ yx 0 y x y x y x 1 x y 0 y 4 2 y x x y 0 1 2 y x
- 105. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 103 4. ฟังก์ชัน ฟังก์ชันคือ ความสัมพันธ์ทีสมาชิกในโดเมนแต่ละตัวจะจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์เพียง 1 ตัวเท่านัน นันคือ ความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชันก็ต่อเมือทุก (x1, y1) f และ (x2, y2) f แล้ว y1 = y2 และจะเขียนแทน (x, y) f ด้วย y f(x) 4.1 การตรวจสอบการ เป็น–ไม่เป็น ฟังก์ชัน วิธีที 1 จากสมาชิกในเซตของความสัมพันธ์สมาชิกแบบแจกแจง ถ้าทุกคู่อันดับมีตัวหน้าต่างกันทังหมด จะเป็นฟังก์ชัน ถ้ามีบางคู่อันดับสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันจะไม่เป็นฟังก์ชัน วิธีที 2 จากกราฟของความสัมพันธ์ ให้ลากเส้นตรงตังฉากกับแกน x ถ้าทุกๆเส้นตัดกราฟจุดเดียวเสมอ จะเป็นฟังก์ชัน ถ้ามีบางเส้นตัดมากกว่า 1 จุด จะไม่เป็นฟังก์ชัน วิธีที 3 จากเซตทีมีเงือนไข ถ้าแทน x ด้วยสมาชิกในโดเมน แก้สมการหาค่า y ถ้าได้ค่าเดียวเสมอ จะเป็นฟังก์ชัน ถ้ามี x ทีแทนค่าแล้วแก้สมการหาค่า y ได้มากกว่า 1 ค่าไม่เป็นฟังก์ชัน ข้อสังเกต ถ้าในเงือนไข y มีเลขยกกําลังเป็นคู่ หรือ y ถูกใส่ค่าสัมบูรณ์ หรือในเงือนไขไม่มี y จะไม่เป็นฟังก์ชัน ตัวอย่าง 9 กําหนดความสัมพันธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี จงตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่ (1) r (1, 3),(3,1),(2, 2),(3,5),(4, 2) (2) r (1,2),(2,1),(4, 2),(5, 2),( 2, 2) (3) (x,y) A Ar 2y 3x 6 เมือ A = {1, 2, 3, 4, 5}
- 106. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 104 (4) 2 (x,y)r y x 1 0 (5) (x,y)r x y 4 (6) (x,y)r y x 1 (7) (x,y)r x x y 0 (8) (9) (10) (11) (12) (13) x y 0 x y 0 x y 0 y x 0 y x 0 y x 0
- 107. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 105 4.2 การหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน กําหนดให้f เป็นฟังก์ชัน และ (x, y) f โดเมนของ f แทนด้วย Df = {x | (x, y) f } เรนจ์ของ f แทนด้วย Rf = {y | (x, y) f } การหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน 1. การหาโดเมนและเรนจ์จากเงือนไข ขันที 1 จัดรูปดังนี หาโดเมน ให้จัด y ในเทอม x (แต่หาเรนจ์ ให้จัด x ในเทอม y) ขันที 2 สร้างเงือนไข หาโดเมนเรนจ์ (หรือเรนจ์) โดยอาศัยความรู้ในระบบจํานวนจริงเช่น หาค่าได้เมือ 0 (ตัวส่วน ≠ 0 ) หาค่าได้เมือ 0 (ใน ต้อง ≥ 0 ) แสดงว่า 0 แสดงว่า 0 และ 0 2. การหาโดเมนและเรนจ์จากการวาดกราฟ ตัวอย่าง 10 จงหาโดเมนและเรนจน์ของฟังก์ชันในแต่ละข้อต่อไปนี (1) f (x, y) xy y 3x 2 (2) f (x, y) y x 2
- 108. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 106 (3) f(x) 3 x 1 (วาดกราฟ) (4) 2 g(x) | x | 1 (5) 2 f(x) 1 1 x
- 109. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 107 4.3 การหาค่าของฟังก์ชัน ตัวอย่าง 11 จงหาคําตอบในแต่ละข้อต่อไปนี (1) f = {(1, 3), (2, 2), (3, -5), (4, -3), (5, 2)} แล้ว f(2) + f(3) มีค่าเท่าใด (2) กําหนดกราฟของฟังก์ชัน f เป็นดังรูป ค่าของ 2f(7) + 3f(2)f(4) เท่ากับ (3) 2 f(x) x 6x 9 จงหาค่าของ f( 2) f(3) (4) 2 f(x) x 2x 1 จงหาค่าของ f(1 x) f(1 x) (5) 2 f(x) x 5 เมือ x 1 จงหาค่าของ f( x) f( x 1) 0 5 5 510 X Y y f(x)
- 110. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 108 ตัวอย่าง 12 จงหาคําตอบในแต่ละข้อต่อไปนี (1) f(3x 1) 6x 7 จงหาค่าของ f(x) และ 2 f(x ) f(4) (2) 2x 1 f( ) x x 5 2 จงหา f(x) และ f(1 x)f(0) ตัวอย่าง 13 กําหนดให้ f และ g เป็นฟังก์ชัน โดยที 1 f x 2 3 = x – 2 และ 2 g(x) x 2 จงหาผลบวกของค่า x ทีทําให้ f(x) g(x)
- 111. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 109 5. ชนิดของฟังก์ชัน (1)ฟังก์ชันคงตัว (Constant Functions) ฟังก์ชันคงตัว คือ ฟังก์ชันทีอยู่ในรูป f(x) = c เมือ c เป็นจํานวนจริง กราฟของฟังก์ชันชนิดนีเป็นเส้นตรงขนานแกน x เช่น f(x) = 5 (2) ฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear Functions) ฟังก์ชันเชิงเส้น คือ ฟังก์ชันทีอยู่ในรูป f(x) = ax + b เมือ a, b เป็นจํานวนจริง กราฟของฟังก์ชันชนิดนีเป็นเส้นตรงไม่ขนานกับแกน y เช่น f(x) = 2x + 6 จุดตัดแกน x (ให้ y เป็น 0 แล้วแก้สมการหา x) คือ..................... จุดตัดแกน y (ให้ x เป็น 0 แล้วแก้สมการหา y) คือ ..................... (3) ฟังก์ชันกําลังสอง (Quadratic Functions) ฟังก์ชันกําลังสอง คือฟังก์ชันทีอยู่ในรูป 2 f(x) ax bx c เมือ a 0 และ a, b, c เป็น จํานวนจริงกราฟของฟังก์ชันกําลังสองคือเส้นโค้งทีอยู่ในรูปพาราโบลา และจะมีลักษณะหงายขึนหรือควําลง นันขึนอยู่ กับค่า a ถ้า a < 0 ควํา (มีค่าสูงสุด) ถ้า a > 0 หงาย (มีค่าตําสุด) จุดวกกลับ(จุดยอด) แกนสมมาตร คือ b x 2a ค่าสูงสุด = 2 4ac b 4a ค่าตําสุด = 2 4ac b 4a y x 0 y x 0 2 b 4 a c b ( , ) 2 a 4 a y x 0 y x 0
- 112. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 110 เช่น 2 f(x)4x 4x 8 จุดยอด(จุดวกกลับ) คือ .............................. แกนสมมาตรคือ .............................. ค่าตําสุดเท่ากับ .............................. จุดตัดแกน x คือ ........................... จุดตัดแกน y คือ ............................ (4) ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value Functions) ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ คือฟังก์ชันทีอยู่ในรูป y x a b เมือ a , b เช่น f(x) x 2 1 จุดตัดแกน x คือ ....................... จุดตัดแกน y คือ ........................ โดเมนของฟังก์ชันคือ .................................. โดเมนของฟังก์ชันคือ .................................... ค่าน้อยสุดของฟังก์ชัน เท่ากับ ......................... y x 0 y x 0
- 113. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 111 (5)ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล คือฟังก์ชันทีอยู่ในรูป y = x a เมือ a > 0 และ a 1 เมือ 0 < a < 1 เมือ a > 1 ลักษณะกราฟของฟังก์ชันคือ ลักษณะกราฟของฟังก์ชันคือ ........................................................... .................................................................... ........................................................... .................................................................... (6) ฟังก์ชันขันบันได (Step Functions) ฟังก์ชันขันบันได คือ ฟังก์ชันทีมีค่าคงตัวเป็นช่วงๆ ลักษณะกราฟจะเหมือนกับขันบันได เช่น 1 , 0 x 2 f(x) 2 ,2 x 4 3 , 4 x 6 y x 0 y x 0 (0,1) y x 0 (0,1)
- 114. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 112 ตัวอย่าง 14 จงวาดกราฟของฟังก์ชันในแต่ละข้อต่อไปนีและตอบถามทีกําหนด (1) f(x) 2 3x จุดตัดแกน x คือ ...................... จุดตัดแกน y คือ ..................... (2) g(x) 2x 5 จุดตัดแกน x คือ ...................... จุดตัดแกน y คือ ..................... ตัวอย่าง 15 ถ้า A เป็นบริเวณทีปิดล้อมด้วยเส้นตรง 3x 2y = 5 เส้นตรง x + 4y = 4 และแกน x แล้วพืนทีของ A เท่ากับกีตารางหน่วย y x 0 y x 0
- 115. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 113 ตัวอย่าง 16 จงวาดกราฟของฟังก์ชันในแต่ละข้อต่อไปนีและตอบถามทีกําหนด (1) f(x) x 1 2 จุดตัดแกน x คือ ...................... จุดตัดแกน y คือ ..................... แกนสมมาตร คือ ..................... ค่าตําสุดคือ ........................... (2) g(x) 1 x 1 จุดตัดแกน x คือ ...................... จุดตัดแกน y คือ ..................... แกนสมมาตร คือ ..................... ค่าสูงสุดคือ ........................... ตัวอย่าง 17 ถ้า A {(x, y) x 1 y และ y 4 แล้วพืนทีของบริเวณ A เท่ากับกีตารางหน่วย y x 0 y x 0
- 116. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 114 ตัวอย่าง 18 จงวาดกราฟของฟังก์ชันในแต่ละข้อต่อไปนีและตอบถามทีกําหนด (1) f(x) = 2 x 2x 3 จุดยอด(จุดวกกลับ) คือ .............................. แกนสมมาตรคือ .............................. ค่าตําสุดเท่ากับ .............................. จุดตัดแกน x คือ ........................... จุดตัดแกน y คือ ............................ โดเมนของฟังก์ชัน คือ ....................... เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ ......................... (2) f(x) = 2 8 2x x จุดยอด(จุดวกกลับ) คือ .............................. แกนสมมาตรคือ .............................. ค่าสูงสุดเท่ากับ .............................. จุดตัดแกน x คือ ........................... จุดตัดแกน y คือ ............................ โดเมนของฟังก์ชัน คือ ....................... เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ ......................... ตัวอย่าง 19 ถ้ากราฟของ y = 2 15 2x x ตัดแกน X ทีจุด A, B และมี C เป็นจุดวกกลับ แล้วรูปสามเหลียม ABC มีพืนทีเท่ากับเท่าใด y x 0 y x 0
- 117. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 115 6. โจทย์ปัญหาฟังก์ชันกําลังสอง ตัวอย่าง20 โรงงานผลิตเสือสําเร็จรูปโรงงานหนึง ผลิตเสือเพือจําหน่ายในราคาตัวละ 150 บาท สมมติว่าในวันหนึงๆ โรงงานผลิตเสือได้ x ตัว และส่งจําหน่ายได้หมดในต่ละวัน ถ้าต้นทุนการผลิตเสือเหล่านีต่อวันเป็น 2 x 6x 2000 บาท จงหาว่าจะได้กําไรสูงสุดเมือผลิตกีตัว และกําไรสูงสุดเท่าใด ตัวอย่าง 21 พ่อค้าขายข้าวสาร ขายถุงละ 80 บาท ใน 1 เดือนจะขายได้ 1,000 ถัง แต่ ถ้าเข้าลดราคาขายถุงละ 1 บาท เข้าจะขายข้าวสารได้เพิมขึน 50 ถัง ถ้าเข้าลดราคาขายถุงละ 2 บาท เข้าจะขายข้าวสารได้เพิมขึน 100 ถัง ถ้าเข้าลดราคาขายถุงละ 3 บาท เข้าจะขายข้าวสารได้เพิมขึน 150 ถัง เช่นนีเรือยไป ดังนันเข้าจะต้องขายเป็นราคาถังละกีบาท จึงจะได้กําไรมากทีสุด
- 118. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 116 Onet 2549 1. กําหนดให้ A = {a, b, c} และ B = {0, 1} ฟังก์ชันในข้อใดต่อไปนี เป็นฟังก์ชันจาก B ไป A 1. {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} 2. {(0, b), (1, a), (1, c)} 3. {(b, 1), (c, 0)} 4. {(0, c), (1, b)} 2. กําหนดให้ 2 f(x) x 4x 10 ข้อความในข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. f มีค่าตําสุดเท่ากับ 6 2. f ไม่มีค่าสูงสุด 3. f มีค่าสูงสุดเท่ากับ 6 4. 9f 6 2 3. ถ้า P เป็นจุดวกกลับของพาราโบลา 2 y x 12x 38 และ O เป็นจุดกําเนิด แล้วระยะทางระหว่างจุด P และจุด O เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 10 หน่วย 2. 2 10 หน่วย 3. 13 หน่วย 4. 2 13 หน่วย
- 119. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 117 4. ฟังก์ชันy = f(x) ในข้อใดมีกราฟดังรูปต่อไปนี 1. f(x) = 1 |x| 2. f(x) = 1 + |x| 3. f(x) = |1 x| 4. f(x) = |1 + x| 5. ถ้า f = {(1, 0), (2, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 2)} แล้ว f(2) + f(3) มีค่าเท่าใด 6. กําหนดให้ n(A) แทนจํานวนสมาชิกของเซต A ถ้า 1r ( 1, 2), (0, 1), (1,2), (2, 3), (3,4) และ 2r (x, y) y 1 x แล้ว 1 2n(r r ) เท่ากับเท่าใด x y 0 1 1 (0,1) y f(x)
- 120. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 118 Onet 2550 7. ถ้า A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m,n) A×A | m ≤ n} แล้วจํานวนสมาชิกในความสัมพันธ์ r เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 8 2. 10 3. 12 4. 16 8. พาราโบลารูปหนึงมีเส้นสมมาตรขนานกับแกน Y และมีจุดสูงสุดอยู่ทีจุด (a, b) ถ้าพาราโบลารูปนีตัดแกน X ทีจุด (–1, 0) และ (5, 0) แล้ว a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 9. กําหนดให้ r = {(a, b) | a A, b B และ b หารด้วย a ลงตัว} ถ้า A = {2, 3, 5} แล้วความสัมพันธ์ r จะเป็นความสัมพันธ์ เมือ B เท่ากับเซตในข้อใดต่อไปนี 1. {3, 4, 10} 2. {2, 3, 15} 3. {0, 3, 10} 4. {4, 5, 9}
- 121. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 119 10. กราฟของฟังก์ชันในข้อใดต่อไปนีตัดแกน X มากว่า 1 จุด 1. y = 1 + 2 x 2. y = |x| – 2 3. y = |x – 1| 4. y = x 1 2 11. ถ้ากราฟของ y = 2 x – 2x – 8 ตัดแกน X ทีจุด A, B และมี C เป็นจุดวกกลับ แล้วรูปสามเหลียม ABC มีพืนทีเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 21 ตารางหน่วย 2. 24 ตารางหน่วย 3. 27 ตารางหน่วย 4. 30 ตารางหน่วย Onet 2551 12. กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 3, ..., 11, 12} S = {(a, b) AB | b = 2a + a 2 } จํานวนสมาชิกของ S เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4
- 122. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 120 13. ทุกx ในช่วงใดต่อไปนีทีกราฟของสมการ 2 y 4x 5x 6 อยู่เหนือแกน X 1. 2 1( , ) 3 3 2. 5 3( , ) 2 2 3. 1 6( , ) 4 7 4. 1 3( , ) 2 2 14. กําหนดให้ a และ b เป็นจํานวนจริงบวก ถ้ากราฟของฟังก์ชัน x 1y 1 a และ x 2y 1 b มีลักษณะดังแสดงในภาพต่อไปนี แล้ว ข้อใดต่อไปนีเป็นจริง 1. 1 < a < b 2. a < 1 < b 3. b < 1 < a 4. b < a < 1 15. ถ้าเส้นตรง x = 3 เป็นเส้นสมมาตรของกราฟของฟังก์ชัน 2 2 f(x) x (k 5)x (k 10) เมือ k เป็นจํานวนจริง แล้ว f มีค่าสูงสุดเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 4 2. 0 3. 6 4. 14 Y X 2 0 1 x 2y 1 b x 1y 1 a
- 123. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 121 16. กําหนดให้2 f(x) x 2x 15 ข้อใดต่อไปนีผิด 1. f(x) 17 ทุกจํานวนจริง x 2. f( 3 2 3) 0 3. f(1 + 3 5 ) = f(1 3 5 ) 4. f( 1 3 5) f( 1 3 5) Onet 2552 17. กําหนดให้ A = {1, 2} และ B = {a, b} คู่อันดับในข้อใดต่อไปนีเป็นสมาชิกของผลคูณคาร์ทีเชียน AB 1. (2, b) 2. (b, a) 3. (a, 1) 4. (1, 2) 18. ให้ A = {1, 99} ความสัมพันธ์ใน A ในข้อใดไม่เป็นฟังก์ชัน 1. เท่ากับ 2. ไม่เท่ากับ 3. หารลงตัว 4. หารไม่ลงตัว
- 124. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 122 19. จากความสัมพันธ์r ทีแสดงด้วยกราฟดังรูป ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. r เป็นฟังก์ชันเพราะ (1, 1), (2, 2) และ (3, 3) อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน 2. r เป็นฟังก์ชันเพราะมีจํานวนจุดเป็นจํานวนจํากัด 3. r ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะมีจุด (3, 3) และ (3, 1) อยู่บนกราฟ 4. r ไม่เป็นฟังก์ชันเพราะมีจุด (1, 1) และ (1, 1) อยู่บนกราฟ 20. จํานวนในข้อใดต่อไปนีเป็นสมาชิกของโดเมนของฟังก์ชัน 2 2 x 2x 1y x 3x 2 x 1 1. 2 2. 1 3. 0 4. 1 21. ค่าของ a ทีทําให้กราฟของฟังก์ชัน x y a(2 ) ผ่านจุด (3, 16) คือข้อใดต่อไปนี 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 y x 1 1 1 1 2 22 2 3 3 3 3 0
- 125. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 123 22. ต้องการล้อมรัวรอบทีดินรูปสีเหลียมผืนผ้าซึงมีพืนที65 ตารางวา โดยด้านยาวของทีดินยาวกว่าสองเท่าของ ด้านกว้างอยู่3 วา จะต้องใช้รัวทีมีความยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 30 วา 2. 36 วา 3. 42 วา 4. 48 วา 23. เมือเขียนกราฟของ 2 y ax bx c โดยที a 0 เพือหาคําตอบของสมการ 2 ax bx c 0 กราฟในข้อใดต่อไปนีแสดงว่าสมการไม่มีคําตอบทีเป็นจํานวนจริง 1. 2. 3. 4. Onet 2553 24. ถ้า f(x) = 2 x x 2 แล้วข้อสรุปใดถูกต้อง 1. f(x) 0 เมือ 1 x 2 2. จุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชัน f อยู่ในจตุภาคทีสอง 3. ฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดเท่ากับ 2 4. ฟังก์ชัน f มีค่าตําสุดเท่ากับ 2 y x 5 5 5 05 y x 5 5 5 05 y x 5 5 5 0 5 y x 5 5 5 05
- 126. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 124 25. ความสัมพันธ์ในข้อใดเป็นฟังก์ชัน 1. {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4)} 2. {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)} 3. {(1, 3), (1, 2), (1, 2), (1, 4)} 4. {(1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1)} 26. ถ้า f(x) = 3 x และ g(x) = 2 + |x 4| แล้ว f gD R คือข้อใด 1. ( , 3] 2. [2, ) 3. [-2, 3] 4. ( , ) 27. กําหนดให้กราฟของฟังก์ชัน f เป็นดังนี ค่าของ 11f(11) 3f(3)f(3) คือข้อใด 1. 57 2. 68 3. 75 4. 86 0 5 5 510 X Y
- 127. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 125 28. รูปสามเหลียมมุมฉากรูปหนึงมีพืนที 600 ตารางเซนติเมตร ถ้าด้านประกอบมุมฉากด้านหนึงยาวเป็น 75% ของด้านประกอบมุมฉากอีกด้านหนึงแล้ว เส้นรอบรูปสามเหลียมมุมฉากนี ยาวกีเซนติเมตร 1. 120 2. 40 3. 60 2 4. 20 2 29. ขบวนพาเหรดรูปสีเหลียมผืนผ้าขบวนหนึงประกอบด้วยผู้เดินเป็นแถว แถวละเท่าๆกัน(มากกว่า 1 แถว และ แต่ละแถวมากกว่า 1 คน) โดยมีเฉพาะผู้อยู่ริมด้านนอกทังสีด้านของขบวนเท่าๆกันทีสามชุดสีแดงซึงมีทังหมด 50 คน ถ้า x คือจํานวนแถวของขบวนพาเหรด และ N คือจํานวนคนทีอยู่ในขบวนพาเหรด แล้วข้อใดถูกต้อง 1. 2 31x x N 2. 2 29x x N 3. 2 27x x N 4. 2 25x x N Onet 2554 30. ความสัมพันธ์ในข้อใดต่อไปนีเป็นฟังก์ชัน 1. {(0,1),(0,2),(2,1),(1, 3)} 2. {(0,2),(1,1),(2,2),(3, 0)} 3. {(1,1),(2,0),(2, 3),(3,1)} 4. {(1,2),(0,3),(1,3),(2, 3)}
- 128. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 126 31. ข้อใดต่อไปนีเป็นความสัมพันธ์ทีมีกราฟเป็นบริเวณทีแรเงา 1. {(x, y) | | y | x} 2. {(x, y) | | y | x} 3. {(x, y) | y | x |} 4. {(x, y) | y | x |} 32. ถ้า f(x) = 2 3 4 x แล้ว ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. fD [ 2,2] และ fR [0, 3] 2. fD [ 2,2] และ fR [1,3] 3. fD [0,2] และ fR [0, 3] 4. fD [0,2] และ fR [1,3] 33. ถ้า f(x 2) = 2x 1 แล้ว 2 f(x ) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 2 2x 1 2. 2 2x 1 3. 2 2x 3 4. 2 2x 9 x y 0 1 y x y x
- 129. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 127 34. พาราโบลารูปหนึงเป็นกราฟของฟังก์ชันf(x) = 2 2x 4x 6 พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. พาราโบลารูปนีมีแกนสมมาตรคือเส้นตรง x = 1 ข. พาราโบลารูปนีมีจุดวกกลับอยู่ในจตุภาคทีสี ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด Onet 2555(ยังไม่มีข้อสอบเผยแพร่) Onet 2556 35. กัลยามีธุรกิจให้เช่าหนังสือ เธอพบว่าถ้าคิดค่าเช่าหนังสือเล่มละ 10 บาท จะมีหนังสือถูกเช่าไป 100 เล่มต่อวัน แต่ถ้าเพิมค่าเช่าเป็น 11 บาท จํานวนหนังสือทีถูกเช่าไปจะเป็น 98 เล่มต่อวัน และถ้าเพิมค่าเช่าเป็น 12 บาท จํานวนหนังสือทีถูกเช่าไปจะเป็น 96 เล่มต่อวัน กล่าวคือทีจํานวนหนังสือถูกเช่าต่อวันจะลดลง 2 เล่มทุกๆ 1 บาทของค่าเช่าทีเพิมขึน ถ้า x คือจํานวนเงินส่วนทีเพิมขึนของค่าเช่าต่อเล่ม และ y คือรายได้จากค่าเช่า หนังสือต่อวัน(หน่วย: บาท) แล้วข้อใดต่อไปนีคือสมการแสดงรายได้ต่อวันจากธุรกิจนีของกัลยา 1. 2 y 1000 80x 2x 2. 2 y 1000 80x 2x 3. 2 y 1000 80x x 4. 2 y 500 40x x 5. 2 y 500 40x x
- 130. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 128 36. แผนภาพของความสัมพันธ์ในข้อใดต่อไปนีเป็นฟังก์ชันทีมี{1, 2, 3, 4, 5} เป็นโดเมน และ {1, 2, 3, 4} เป็นเรนจ์ 1. 2. 3. 4. 5. 37. บริเวณแรเงาในข้อใดต่อไปนีเป็นกราฟของความสัมพันธ์ {(x, y) | 2 x y , 0 y 1} 1. 2. 3. 4. 5. 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 x y 0 1 x y 0 1 x y 0 1 x y 0 1 x y 0 1
- 131. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 129 38. ถ้า1 f(x) | x | 1 แล้วเรนจ์ของ f คือเซตในข้อใดต่อไปนี 1. {y | –1 < y ≤ 0 } 2. {y | –1 ≤ y < 0 } 3. {y | y < –1 หรือ y > 0 } 4. {y | y < –1 หรือ y ≥ 0 } 5. {y | y ≤ –1 หรือ y > 0 } 39. ถ้า 2 y x 1 แล้ว 2 xy มีค่าน้อยทีสุดเท่ากับข้อใด 1. 1 2 2. 1 4 3. 1 8 4. 1 4 5. 1 2 Onet 2557 40. บริเวณทีแรเงาเป็นกราฟของสัมพันธ์ในข้อใด 1. {(x, y) | 2 x y 0 และ y ≤ 1 } 2. {(x, y) | 2 x y 0 และ y ≥ 1 } 3. {(x, y) | 2 x y 0 และ y < 1 } 4. {(x, y) | 2 x y 0 และ y > 1 } 5. {(x, y) | 2 x y 0 และ y ≤ 1 } x y 0 y 1 2 y x
- 132. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 130 41. กราฟในข้อใดต่อไปนีแสดงว่า y เป็นฟังก์ชันของ x 1. 2. 3. 4. 5. 42. กําหนดให้ 2 f(x) (x 3) 4 พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. กราฟของ f เป็นพาราโบลาหงาย ข. ถ้า x (1, 4] แล้ว f(x) < 0 ค. ถ้ากราฟของ f ตัดแกน y ทีจุด (0, a) และค่าตําสุดของ f คือ b แล้ว a + b = 1 ข้อใดต่อไปนีถูก 1. ก., ข. และ ค. ถูกทังสามข้อ 2. ก. และ ข. ถูก แต่ ค. ผิด 3. ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผิด 4. ก. ถูก แต่ ข. และ ค. ผิด 5. ข. ถูก แต่ ก. และ ค. ผิด x 0 x 0 x y 0 x y 0 x y 0 yy
- 133. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 131 43. กําหนดให้A = {1, 2, 3} และ B = {2, 3, 5} ถ้า r {(a, b) A B a b 1} แล้ว r มีจํานวนสมาชิกกีตัว 44. ถ้า A {(x, y) x 1 y และ y 2 } แล้วพืนทีของบริเวณ A เท่ากับกีตารางหน่วย
- 134. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 132 Onet 2558 45. ถ้าความสัมพันธ์ 1r (x, y) x y 3 0 และความสัมพันธ์ 2r (x, y) x y 0 แล้วกราฟของความสัมพันธ์ 1 2r r คือข้อใด 1. 2. 3. 4. 5. 46. กําหนดให้ 2 f(x) x 4x 5 ข้อใดต่อไปนีผิด 1. กราฟของ f เป็นพาราโบลาหงาย 2. กราฟของ f ตัดแกน Y ทีจุด (0, 5) 3. f(x) 5 เมือ 1 < x < 4 4. เรนจ์ของ f คือ {y | y และ y ≥ 1 } 5. จุดวกกลับของกราฟคือ (5, 1) y x y x y x y x y x
- 135. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 133 47. กราฟของฟังก์ชันในข้อใดต่อไปนีตัดแกน X เพียงจุดเดียว 1. f(x) x 1 2. f(x) x 1 1 3. 2 f(x) 2 x 4. 2 f(x) x x 6 5. 2 f(x) 4x 12x 9 48. ถ้า A เป็นบริเวณทีปิดล้อมด้วยเส้นตรง 3x + 2y = 7 เส้นตรง 7x – 3y = 1 และแกน Y แล้วพืนทีของ A เท่ากับกีตารางหน่วย 1. 11 6 2. 23 6 3. 16 7 4. 23 12 5. 46 21
- 136. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 134 Onet 2559 50. ถ้า f(x) = x + |x| แล้วข้อใดต่อไปนีถูก 1. กราฟของ f อยู่เหนือแกน X 2. กราฟของ f ตัดแกน X แต่ไม่ตัดแกน Y 3. กราฟของ f ตัดแกน Y แต่ไม่ตัดแกน X 4. กราฟของ f ตัดแกน X มากกว่า 1 จุด 5. กราฟของ f เป็นเส้นตรงทีผ่านจุด (0, 0) 51. ถ้า f(x) a x b โดยที a และ b เป็นจํานวนจริงบวก กราฟของ y = f(x) เป็นดังรูป ข้อใดต่อไปนีถูก 1. a + b = 4 2. f(x) 4 x 2 3. f( x) 3 4 x 4. 2 f(x ) 2(x 2) 5. 2 f(x) 4(x 4) 52. ถ้า x + y = 1 แล้วค่าตําสุดของ 2 2 x 2y เท่ากับเท่าใด 1. 2 3 2. 1 3. 10 7 4. 14 9 5. 2 X Y 04 4
- 137. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 135 53. โยนก้อนหินขึนไปในแนวดิงด้วยอัตราเร็ว96 ฟุต/วินาที เมือเวลาผ่านไป t วินาที ก้อนหินอยู่ทีความสูง h ฟุตจากพืนดิน ถ้าความสัมพันธ์ระหว่าง h และ t คือ 2 h 96t 16t แล้วช่วงเวลาในข้อใดทีก้อนหิน อยู่สูงจากพืนอย่างน้อย 80 ฟุต 1. 1 t 2 2. 1 t 5 3. 2 t 3 4. 2 t 4 5. 3 t 6 54. จากผลการวิเคราะห์ของโรงงานแห่งหนึงพบว่า เมือผลิตสินค้า x (หน่วย : ร้อยชิน) โรงงานจะได้กําไร P(x) โดยที 2 P(x) ax bx c (หน่วย : พันบาท) ถ้าไม่ผลิตเลย จะขาดทุน 5,000 บาท ถ้าผลิต 100 ชิน จะเท่าทุน และถ้าผลิต 200 ชิน จะได้กําไร 3,000 บาท เพือให้ได้กําไรสูงสุด โรงงานต้องผลิตสินค้ากีชิน 1. 300 2. 320 3. 350 4. 360 5. 400
- 138. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 136 A B C 4 3 5 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแต่ละปีจะมีประมาณ 4 - 5 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทีเคยออกข้อสอบได้แก่ หาความยาวด้าน เส้นรอบรูป หรือพืนทีของสามเหลียมุมฉาก เมือกําหนดอัตราส่วนตรีโกณมิติ หาค่าตรีโกณมิติของมุม o o o 30 , 45 ,60 และใช้สมบัติของ co-function ในการหาคําตอบ หาความยาวด้าน เส้นรอบรูป หรือพืนทีของสามเหลีย เมือกําหนดมุมภายในเป็น o o o 30 , 45 ,60 แก้โจทย์ปัญหาทีเกียวกับการหาระยะทางและความสูง โดยมีสถานการณ์เกียวกับมุมก้ม มุมเงย 1. อัตราส่วนตรีโกณมิติ กําหนดรูป ABC เป็นรูปสามเหลียมทีมี ˆACB เป็นมุมฉาก เรียกอัตราส่วนระหว่างด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลียมมุมฉากใดๆ ว่าอัตราส่วนตรีโกณมิติ ซึงได้แก่ sin A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก = a c cosec A 1 sin A cos A = ความยาวด้านประชิดมุม A ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก = b c sec A 1 cos A tan A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A ความยาวด้านประชิดมุม A = a b cot A 1 tan A ตัวอย่าง 1 จงหาอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A จากรูปสามเหลียมทีกําหนดให้ sin A = ….…… cos A = ……… tan A = ……… cosec A = ….… sec A = ……… cot A = ……… sin B = ….…… cos B = ……… tan B = ……… cosec B = ….… sec B = ……… cot B = ……… ข้อสังเกต ....................................................................................................................... A B C a b c
- 139. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 137 A C B ตัวอย่าง 2จงหาอัตราส่วนตรีโกณมิติ จากรูปสามเหลียมทีกําหนดให้ sin ˆABC = ….………. cos ˆABC = ………..… tan ˆABC = ………….. cosec ˆACB = ………….. sec ˆACB = ………….. cot ˆACB = ………….. ตัวอย่าง 3 จงหาอัตราส่วนตรีโกณมิติ จากรูปสามเหลียมทีกําหนดให้ ถ้า cos A = 7 25 sin A = ….……….... tan A = ……….…… cot A = …………..... cosec C = ….…………. sec C = …..………... cot C = …………….. ตัวอย่าง 4 จงหาอัตราส่วนตรีโกณมิติ จากรูปสามเหลียมทีกําหนดให้ ถ้า sin B = 1 5 sin A = ….……….... tan A = ……….…… cot A = …………..... cosec B = ….…………. sec B = …..………... cot B = …………….. C A B 2 3 A C B
- 140. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 138 ตัวอย่าง 5จงหาอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A จากรูปสามเหลียมทีกําหนดให้ sin A = ….………. cos A = …….… tan A = …………. cosec A = ….….… sec A = ………… cot A = ………… ตัวอย่าง 6 จงหาอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A จากรูปสามเหลียมทีกําหนดให้ sin A = ….……… cos A = ………..… tan A = …………. cosec A = ….…….. sec A = ………… cot A = ……….….. C B 4 11 13 D A A B C 2 3 4 3 D
- 141. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 139 ตัวอย่าง 7กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมทีมีมุม A เป็นมุมฉาก มีด้าน AB ยาวเท่ากับ 5 3 หน่วย และด้าน BC ยาวเท่ากับ 10 หน่วย ถ้าลากเส้นตรงจากจุด A ไปตังฉากกับด้าน BC ทีจุด D แล้ว AC + CD ยาวเท่ากับเท่าใด ตัวอย่าง 8 กําหนดให้ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมวงหนึง โดยมีสามเหลียม ABC แนบในวงกลมวงนี ให้ D เป็นจุดบนด้าน AC ซึงทําให้ BD ตังฉากกับ AC และอยู่ใกล้กับจุด C มากกว่าจุด A ถ้า AC ยาว 25 หน่วย และ BD ยาว 12 หน่วย แล้วพืนทีสามเหลียม ABD เท่ากับเท่าใด
- 142. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 140 2. อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม0o , 30o , 45o , 60o และ 90o มุม ค่าของอัตราส่วนตรีโกณ sin cos tan cosec sec cot 0o 0 1 0 – 1 – 30o 1 2 3 2 1 3 2 2 3 3 45o 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 60o 3 2 1 2 3 2 3 2 1 3 90o 1 0 – 1 – 0 ตัวอย่าง 9 จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี (1) 2 sin 30o – sin 60o + 2 sin 45o (2) 2 sin 30o + 4sin 45o cos 45o – tan2 60o (3) 2 tan2 30o + 4 cos2 30o – 3 sin2 30o 0o 30o 45o 60o 90o
- 143. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 141 ตัวอย่าง 10จงหาค่า x และ y และพืนทีของสามเหลียม ABC ทีกําหนดให้ ตัวอย่าง 11 กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมมุมฉาก มีมุม B เป็นมุมฉาก และ BAC= 60o ถ้า AC = 5 หน่วย แล้ว จงหาความยาวรอบรูปของ ABC ตัวอย่าง 12 กําหนดรูปสามเหลียมหน้าจัว ABC ถ้า AB = BC , ABC = 120o และ AC = 8 เซนติเมตร แล้วจงหาพืนทีของ ABC A B C 60o 5 120o 8 A B C 30o x y 8 A B C
- 144. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 142 3. ความสัมพันธ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ จากรูปสามเหลียมมุมฉาก ABC พบว่า oˆ ˆA B 90 จะได้ (1) sin A = cos B cosec A = sec B cos A = sin B sec A = cosec B tan A = cot B cot A = tan B (2) sin A cosA = tan A , cos A cot A sin A (3) sin2 A + cos2 A = 1 ตัวอย่าง 13 จงหาค่าของ (1) sin 13o cosec 13o (2) sin 50o sec 40o (3) 2 2 sin 75 cos 75 (4) sin 25o – cos 65o (5) tan 54o tan 36o (6) o o o o o sin 28 sin 56 tan 34 sin 34 cos62 A B C a b c
- 145. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 143 ตัวอย่าง 14 กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียม โดยที BD ตังฉากกับส่วนต่อของด้าน AC ถ้ามุม BAC เท่ากับ 30 องศา มุม ABC เท่ากับ 15 องศา และ AD ยาว 3 หน่วย แล้ว BC มีความยาวกีหน่วย ตัวอย่าง 15. กําหนดให้ ABCD เป็นรูปสามเหลียมผืนผ้าซึงมีพืนที 120 ตารางหน่วย มีจุด E เป็นจุดบนด้าน AB ทีทําให้ oˆACE 20 และ ˆCEB 50 แล้วสีเหลียม ABCD มีเส้นรอบรูปยาวกีหน่วย
- 146. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 144 4. การประยุกต์หาความสูงและระยะทาง เป็นการนําอัตราส่วนตรีโกณมิติมาช่วยหาระยะทางความยาวและความสูงของวัตถุโดยอาศัยด้านและมุมที กําหนดให้ มุมเงยคือมุมทีอยู่ระหว่างเส้นระดับสายตา มุมก้ม คือมุมทีอยู่ระหว่างเส้นระดับสายตา กับเส้นทีลากจากตาขึนไปยังวัตถุ กับเส้นทีลากจากตาลงไปยังวัตถุ เกิดขึนเมือวัตถุอยู่สูงกว่าระดับสายตา เกิดขึนเมือวัตถุอยู่ตํากว่าระดับสายตา ตัวอย่าง 16 จากจุดบนพืนดินทีอยู่ห่างจากหอคอยแห่งนี 135 เมตร ถ้ามองไปทียอดหอคอย จะพบว่า มุมทีแนวสายตาทํากับเส้นระดับเป็นมุม 60o จงหาความสูงโดยประมาณของหอคอยนี ตัวอย่าง 17 นาย เอ และนาย บี ยืนอยู่บนพืนราบซึงห่างจากกําแพงเป็นระยะ 2 เมตร และ 8 เมตร ตามลําดับ ถ้านาย เอ มองโปสเตอร์แผ่นหนึงบนกําแพงด้วยมุมเงย องศา ในขณะทีนาย บี มองโปสเตอร์แผ่น เดียวกันด้วยมุมเงย 90 องศา ถ้าไม่คิดความสูงของนาย ก และ นาย ข แล้วโปสเตอร์อยู่สูงจาก พืนราบประมาณกีเมตร ระดับสายตา(เส้นระดับ) วัตถุ ระดับสายตา(เส้นระดับ) วัตถุ
- 147. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 145 ตัวอย่าง 18จากจุดสังเกตการณ์บนยอดตึกหลังหนึงซึงสูงจากพืน 29 เมตร ถ้ามองไปยังตึกอีกหลังหนึง ซึงอยู่ห่างออกไป พบว่า ถ้ามองทีฐานตึกจะต้องมองเป็นมุมก้ม 45o แต้ถ้ามองทียอดตึก จะต้องมองเป็นมุมเงย 60o จงหาความสูงของตึกหลังทีมอง ตัวอย่าง 19 สาธิตอยู่บนประภาคารหลังหนึง เมือมองลงไปจากประภาคารไปยังทะเลเป็นมุมก้ม 45o และ 30o เห็นเรือสองลําในแนวเดียวกัน ถ้าเรือสองลํานีอยู่ห่างกัน 100 เมตร ความสูงของประภาคารเท่ากับเท่าใดโดยประมาณ เมือกําหนดให้ 3 1.73
- 148. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 146 Onet 2549 1. ถ้า x sin65 แล้วอสมการในข้อใดต่อไปนีเป็นจริง 1. 2 xx x 1 x 2. 2 2 x xx 1 x 1 x 3. 2 2 2 xx x 1 x 4. 2 2 2 x x x 1 x 2. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมทีมีมุม B เป็นมุมฉาก มีมุม A เท่ากับ o 30 และมีพืนทีเท่ากับ 24 3 ตารางหน่วย ความยาวของด้าน AB เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 12 หน่วย 2. 14 หน่วย 3. 16 หน่วย 4. 18 หน่วย
- 149. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 147 3. กําหนดให้ABC เป็นรูปสามเหลียมทีมีมุม C เป็นมุมฉาก มีด้าน BC ยาวเท่ากับ 10 3 หน่วย และด้าน AB ยาวเท่ากับ 20 หน่วย ถ้าลากเส้นตรงจากจุด C ไปตังฉากกับด้าน AB ทีจุด D แล้ว จะได้ว่าด้าน CD ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 5 2 หน่วย 2. 5 3 หน่วย 3. 10 2 หน่วย 4. 10 3 หน่วย 4. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมทีมีพืนทีเท่ากับ 15 ตารางหน่วย และมีมุม C เป็นมุมฉาก ถ้า sin B 3sin A แล้ว ด้าน AB ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 5 หน่วย 2. 5 3 หน่วย 3. 5 2 หน่วย 4. 10 หน่วย 5. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมทีมีมุม B เป็นมุมฉาก ถ้า 12 cot A 5 แล้ว 10 cos ec A 12 sec A มีค่าเท่าใด
- 150. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 148 6. ถ้าABC เป็นรูปสามเหลียมทีมีมุม B เป็นมุมฉาก และ 3 cos A 5 แล้ว cos(B A) มีค่าเท่ากับเท่าใด Onet 2550 7. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมทีมีมุม C เป็นมุมฉาก และด้าน BC ยาว 6 นิว ถ้า D เป็นจุดบนด้าน AC โดยที oˆBDC 70 และ oˆABD 10 แล้วด้าน AB ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 4 3 นิว 2. 5 3 นิว 3. 8 นิว 4. 10 นิว 8. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียม ซึงมีมุม A เป็นมุมฉาก และมีมุม B = 30o ถ้า D และ E เป็นจุดบนด้าน AB และ BC ตามลําดับ ซึงทําให้ DE ขนานกับ AC โดยที DE ยาว 5 หน่วย และ EC ยาว 6 หน่วย แล้ว AC ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 7.5 หน่วย 2. 8 หน่วย 3. 8.5 หน่วย 4. 9 หน่วย
- 151. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 149 9. วงกลมวงหนึงมีรัศมี6 หน่วยและ A, B, C เป็นจุดบนเส้นรอบวงของวงกลม ถ้า AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม และ oˆCAB 60 แล้วพืนทีของรูปสามเหลียม ABC เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 16 3 ตารางหน่วย 2. 16 3 ตารางหน่วย 3. 17 3 ตารางหน่วย 4. 18 3 ตารางหน่วย Onet 2551 10. ถ้ารูปสามเหลียมด้านเท่ารูปหนึงมีความสูง 1 หน่วย แล้วด้านของรูปสามเหลียมรูปนียาวเท่ากับ ข้อใดต่อไปนี 1. 3 2 หน่วย 2. 32 3 หน่วย 3. 4 3 หน่วย 4. 3 2 หน่วย 11. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมทีมีมุม C เป็นมุมฉาก และ 2cos B 3 ถ้าด้าน BC ยาว 1 หน่วย แล้วพืนทีของรูปสามเหลียม ABC เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 5 5 ตารางหน่วย 2. 5 4 ตารางหน่วย 3. 5 3 ตารางหน่วย 4. 5 2 ตารางหน่วย
- 152. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 150 12. กําหนดให้ABCD เป็นรูปสีเหลียมผืนผ้าซึงมีพืนทีเท่ากับ 12 ตารางหน่วย และ 1ˆtan ABD 3 ถ้า AE ตังฉากกับ BD ทีจุด E แล้ว AE ยาวเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 10 3 หน่วย 2. 2 10 5 หน่วย 3. 10 2 หน่วย 4. 3 10 5 หน่วย 13. พิจารณารูปสามเหลียมต่อไปนี โดยทีมุม ˆˆ ˆCFE , CAB , AEB และ ˆEDB ต่างเป็นมุมฉาก ข้อใดต่อไปนีผิด 1. ˆ ˆsin(1) sin(5) 2. ˆ ˆcos(3) cos(5) 3. ˆ ˆsin(2) cos(4) 4. ˆ ˆcos(2) sin(3) Onet 2552 14. จากรูปข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. o o sin21 cos69 2. o o sin21 cos21 3. o o cos21 tan21 4. o o tan21 cos69 A B D C F E 1 2 3 4 5 A B C o 21
- 153. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 151 15. ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. oo sin30 sin45 2. o o cos30 cos45 3. o o tan45 cot45 4. o o tan60 cot60 16. กําหนดให้ตาราง A ตาราง B และตาราง C เป็นตารางหาอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมขนาดต่างๆดังนี ตาราง A ตาราง B ตาราง C sin cos tan o 40 0.643 o 40 0.766 o 40 0.839 o 41 0.656 o 41 0.755 o 41 0.869 o 42 0.669 o 42 0.743 o 42 0.900 ถ้ารูปสามเหลียม ABC มีมุม B เป็นมุมฉาก มุม C มีขนาด o 41 และส่วนสูง BX ยาว 1 หน่วย แล้ว ความยาวของส่วนของเส้นตรง AX เป็นดังข้อใดต่อไปนี 1. ปรากฏอยู่ในตาราง A 2. ปรากฏอยู่ในตาราง B 3. ปรากฏอยู่ในตาราง C 4. ไม่ปรากฏอยู่ในตาราง A, B และ C A B C X
- 154. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 152 Onet 2553 17. โดยการใช้ตารางหาอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมขนาดต่างๆ ทีกําหนดให้ต่อไปนี มุมภายในทีมีขนาดเล็กทีสุดของรูปสามเหลียมทีมีด้านทังสามยาว 7, 24 และ 25 หน่วย มีขนาดใกล้เคียงกับข้อใดมากทีสุด 1. o 15 2. o 16 3. o 17 4. o 18 18. มุมมุมหนึงของรูปสามเหลียมมุมฉากมีขนาดเท่ากับ 60 องศา ถ้าเส้นรอบรูปสามเหลียมนียาว 3 3 ฟุต แล้วด้านทียาวเป็นอันดับสองมีความยาวเท่ากับข้อใด 1. 2 3 ฟุต 2. 2 3 ฟุต 3. 2 3 3 ฟุต 4. 2 3 3 ฟุต 19. กล้องวงจรปิดซึงถูกติดตังอยู่สูงจากพืนถนน 2 เมตร สามารถจับภาพได้ตําทีสุดทีมุมก้ม o 45 และสูงทีสุดที มุมก้ม o 30 ระยะทางบนพืนถนนในแนวกล้องทีกล้องนีสามารถจับภาพได้คืนเท่าใด (กําหนดให้ 3 1.73 ) 1. 1.00 เมตร 2. 1.46 เมตร 3. 2.00 เมตร 4. 3.46 เมตร o 72 o 73 o 74 o 75 sin 0.951 0.956 0.961 0.966 cos 0.309 0.292 0.276 0.259
- 155. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 153 Onet 2554 20. กําหนดให้สามเหลียม ABC มี ˆˆ ˆB A C ให้ D เป็นจุดกึงกลางด้าน AC ถ้า oˆA 20 แล้ว ˆADB มีขนาดเท่ากับกีองศา 1. 80o 2. 100o 3. 120o 4. 140o 21. กําหนดให้สามเหลียมมุมฉาก ABC มี oˆC 90 ให้ D เป็นจุดบนด้าน AB ซึงทําให้ CD ตังฉากกับ AB ถ้า AB ยาว 20 หน่วย และ CD ยาว 8 หน่วย แล้ว AD มีความยาวมากทีสุดกีหน่วย 1. 10 2. 12 3. 14 4. 16 22. นาย ก และนาย ข ยืนอยู่บนพืนราบซึงห่างจากกําแพงเป็นระยะ 10 เมตร และ 40 เมตร ตามลําดับ ถ้านาย ก มองหลอดไฟบนกําแพงด้วยมุมเงย องศา ในขณะทีนาย ข มองหลอดไฟดวงเดียวกันด้วยมุมเงย 90 องศา ถ้าไม่คิดความสูงของนาย ก และ นาย ข แล้วหลอดไฟอยู่สูงจากพืนราบกีเมตร 1. 10 2. 10 2 3. 10 3 4. 20
- 156. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 154 23. ถ้า2 2cos cos 1 โดยที o 0 90 แล้ว เป็นมุมกีองศา 24. o o o o o o sin 31 sin 35 cos ec 30 tan 55 cos 35 cos 59 มีค่าเท่ากับเท่าใด 25. กําหนดให้สามเหลียม ABC มี AD เป็นเส้นความสูงโดยที D อยู่บนด้าน BC ถ้าด้าน AB ยาว 5 หน่วย ด้าน AD ยาว 3 หน่วย และ ˆ ˆBAD=ACD แล้วด้าน BC ยาวกีหน่วย
- 157. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 155 Onet 2555(ยังไม่มีข้อสอบเผยแพร่) Onet2556 26. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมทีมี C เท่ากับ 45 องศา และ D เป็นจุดบนด้าน BC ทีทําให้ AD เป็นเส้นความสูง ของสามเหลียม ถ้าด้าน BD ยาว a ด้าน AB ยาว 3a หน่วย แล้วด้าน AC มีความยาวเท่ากับกีหน่วย 1. 2a 2. 6a 3. 4a 4. 5a 5. 6a 27. ให้ ABCD เป็นรูปสีเหลียมผืนผ้าซึงมี E เป็นจุดกึงกลางของด้าน CD ถ้ามุม oˆAEB 90 แล้ว ˆsin BAC มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 5 2. 2 5 3. 3 5 4. 5 3 5. 5 4 28. ให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมทีมีมุม C เป็นมุมฉาก ด้าน BC ยาว a หน่วย และด้าน AC ยาว a + 8 หน่วย ถ้า o cot(90 B) 3 แล้ว a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 5. 6
- 158. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 156 29. อิทธิยืนอยู่ยอดประภาคารสูง30 เมตร เห็นเรือสองลําจอดอยู่ในทะเลทางทิศตะวันออกในแนวเส้นตรงเดียวกัน โดยทีสายตาของเขาทํามุมก้ม องศา เมือมองเรือลําทีหนึง และทํามุมก้ม องศา เมือมองเรือลําทีสอง ถ้าเรือสองลําอยู่ห่างกัน 80 เมตร และ = 90 องศา แล้วเรือลําทีอยู่ไกลจากฝังทีสุดอยู่ห่างจากจุดทีตัง ประภาคารกีเมตร 1. 90 2. 100 3. 120 4. 150 5. 170 Onet 2557 30. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมมุมฉากซึงมีมุม o B 90 และมี BD เป็นเส้นความสูงของรูป สามเหลียม ถ้ามุม o A 60 และ AD ยาว 2 หน่วย แล้ว CD จะยาวกีหน่วย 1. 4 2. 4 3 3. 6 4. 6 3 5. 8 31. กําหนดให้ ABCD เป็นรูปสามเหลียมผืนผ้าซึงมีพืนที 100 ตารางหน่วย ถ้า oˆ ˆtan(BAC) tan(90 ACD) แล้วสีเหลียม ABCD มีเส้นรอบรูปยาวกีหน่วย 1. 40 2. 50 3. 58 4. 104 5. 202
- 159. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 157 32. ชายคนหนึงยืนอยู่ระหว่างตึกสองหลังถ้าชายคนนีมองยอดตึกทีหนึงด้วยมุมเงย o 30 แล้วหันหลังกลับ เขาจะ มองเห็นยอดตึกทีสองด้วยมุมเงย o 60 สมมติว่าตึกทีสองสูงกว่าตึกทีหนึง 20 3 เมตร และตึกทังสองห่างกัน 100 เมตร ชายคนนีจะยืนอยู่ห่างจากตึกทีหนึงกีเมตร 1. 30 3 2. 40 2 3. 60 4. 62 5. 70 33. เมือวางบันไดยาว 4 เมตรพาดกับผนัง บันไดจะทํามุม o 30 กับพืน ถ้าเลือนปลายบันไดให้สูงขึนอีก 1 เมตร ปลายล่างของบันไดจะเลือนจากจุดเดิมเข้าหาผนังเป็นระยะกีเมตร 1. 2 3 7 2. 2 3 5 3. 1 4. 2 5 3 5. 3 2 5 Onet 2558 34. กําหนดรูปสามเหลียมมุมฉาก ABC ซึงมีมุม ˆC 90 และมุม ˆˆB 2A ถ้า AC = 4 3 แล้ว AB + BC เท่ากับเท่าใด 1. 10 2 2. 12 3. 10 3 4. 13 5. 16
- 160. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 158 35. กําหนดรูปสามเหลียมABC ซึงมีมุมoˆB 30 และมุม oˆC 60 ให้ D เป็นจุดบนด้าน BC โดยที AD ตังฉากกับ BC ถ้า CD ยาว 3 หน่วยแล้ว BD ยาวกีหน่วย 1. 6 2. 6 2 3. 6 3 4. 9 5. 9 3 36. ชายคนหนึงเห็นยอดตึกแห่งหนึงด้วยมุมเงย 45 เมือชายคนนีเดินเข้าไปใกล้ตึกอีก 10 เมตร เขาจะมองเห็นยอดตึกด้วยมุมเงย 60 ตึกหลังนีมีความสูงใกล้เคียงกับค่าในข้อใดต่อไปนีมากทีสุด 1. 25 เมตร 2. 30 เมตร 3. 35 เมตร 4. 40 เมตร 5. 45 เมตร 37. ชายสองคนยืนอยู่ทีปลายคนละด้านของสะพานซึงทอดตัวในแนวราบ ข้ามหุบเหวแห่งหนึงซึงลึกลงไป 50 3 เมตร ถ้าทังสองคนก้มมองจุดเดียวกันทีก้นเหว โดยคนหนึงมองทํามุมก้ม o 30 และอีกคนหนึงมอง ทํามุมก้ม o 45 เขายืนห่างกันเป็นระยะใกล้เคียงกับค่าในข้อใดทีสุด 1. 235 เมตร 2. 240 เมตร 3. 245 เมตร 4. 250 เมตร 5. 255 เมตร
- 161. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 159 Onet 2559 38. 13. กําหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลียมแนบในวงกลม มีด้าน AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า oˆBAC 60 และ ด้าน BC ยาว 10 3 หน่วย แล้วรัศมีของวงกลมยาวเท่าใด 1. 5 3 หน่วย 2. 10 หน่วย 3. 15 หน่วย 4. 10 3 หน่วย 5. 20 หน่วย 39. กําหนดให้วงกลมวงเล็กและวงใหญ่รัศมี a หน่วย และ b หน่วย ตามลําดับ ถ้าเส้นตรงสัมผัสวงกลมทังสองเส้นทํามุม o 60 ดังรูป แล้วอัตรส่วน a : b เท่ากับเท่าใด 1. 1 : 2 2. 1 : 3 3. 2 : 3 4. 3 : 5 5. 4 : 9 40. ถ้าเงาเสาธงทีทอดไปตามพืนวัดได้ยาว 14 เมตร และมุมเงยจากจุดปลายของเงาไปยังยอดเสาธงมีขนาด A องศา แล้วเสาธงสูงกีเมตร (กําหนดให้ o sin A 0.6 และ o cos A 0.8 ) o 60
- 162. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 160 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแต่ละปีจะมีประมาณ 7 - 8 ข้อ โดยมีขอบเขตเนือหาทีเคยออกข้อสอบได้แก่ หาค่าลําดับเมือกําหนดพจน์ที n จากลําดับชนิดหนึงทีกําหนด ให้พิจารณาว่าลําดับใหม่ทีสร้างจากลําดับเดิมเป็นลําดับชนิดใด หาคําตอบเกียวกับลําดับและอนุกรมเลขคณิต หาคําตอบเกียวกับลําดับและอนุกรมเรขาคณิต แก้โจทย์ปัญหาทีเกียวกับลําดับเลขคณิต 1. ความหมายลําดับ ลําดับ คือฟังก์ชันทีมีโดเมนเป็นเซตของจํานวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือโดเมนเป็นเซตของจํานวนเต็มบวก กําหนดให้ f เป็นลําดับ โดยที f(1) = 1a , f(2) = 2a , f(3) = 3a , … , f(n) = na , … เราจะเขียนลําดับ f เป็นดังนี 1 2 3 na , a , a , ..., a , ... และจะเรียก a1 ว่า พจน์ที 1 ของลําดับ a2 ว่า พจน์ที 2 ของลําดับ a3 ว่า พจน์ที 3 ของลําดับ an ว่า พจน์ที n หรือ พจน์ทัวไป (general term) ของลําดับ ตัวอย่าง 1 กําหนดให้ na แทนพจน์ทัวไปของลําดับ หรือพจน์ที n ของลําดับ ในแต่ละข้อต่อไปนี (1) n n 2 1 a 2n 1 จงหา 2 4 6a , a , a (2) 2 n n 1 n 1 a ( 1) n จงหา 1 3 6a , a , a
- 163. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 161 (3) an = n 1 ( 2) 4n 6 จงหา 2 3 6a , a , a (4) กําหนดให้ 3 4a 1 , a 2 และ n 2 na a 2n สําหรับ n = 1, 2, 3 , ... จงหา 9 10a a (5) กําหนดให้ 1 2a 1 , a 3 และ n 2 n n 1a a 2a สําหรับ n = 1, 2, 3 , ... จงหา 9 10a a (6) กําหนดให้ n n 1 n 2 n n 1 n 2a a a a a a สําหรับ n = 1, 2, 3 , ... ถ้า 1 2a 2, a 5 จงหา 10 11 12a a a
- 164. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 162 2. ลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต ลําดับเลขคณิตคือ ลําดับทีมีผลต่างซึงได้จากพจน์ที n + 1 ลบด้วยพจน์ที n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี เรียกว่า ผลต่างร่วม จากบทนิยาม กําหนดให้ a1 เป็นพจน์แรก d เป็นผลต่างร่วม และ na แทนพจน์ทัวไป จะได้ d = an + 1 – an หรือ an + 1 = an + d n 1a a (n 1)d n 1a a (n 1)d n 1a a n 1 d n ka a (n k)d n ka a (n k)d n ka a n k d ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับทีอัตราส่วนของ พจน์ที n + 1 ต่อ พจน์ที n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนีเรียกว่า อัตราส่วนร่วม จากบทนิยาม ถ้ากําหนดให้ 1a เป็นพจน์แรก r เป็นอัตราส่วนร่วม และ na แทนพจน์ทัวไป จะได้ r = n 1 n a a หรือ n 1 na a r n 1 n 1a a r n 1n 1 a r a n 1 n ka a r n kn k a r a ตัวอย่าง 1 จงหาพจน์ที n ของลําดับเลขคณิตตามเงือนไขทีกําหนดให้ต่อไปนี (1) 1 a 12 และ 8 a 2 (2) 5 a 18 และ d = 4
- 165. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 163 (3) 3a = 10 และ 7a –5 (4) 6a 5 และ 11a 55 ตัวอย่าง 2 กําหนดลําดับในแต่ละข้อต่อไปนี จงหาค่า n ทีทําให้ na มีค่าตามทีกําหนด (1) กําหนดลําดับเลขคณิต –2, 1, 4, 7, ... จงหาค่า n ทีทําให้พจน์ที n เท่ากับ 58 (2) กําหนดลําดับเลขคณิตมี 2 4a 17,a 27 จงหาค่า n ทีทําให้พจน์ที n เท่ากับ 157 (3) กําหนด na แทนพจน์ทัวไปของลําดับเลขคณิตทีมี 1a 3 และ 5a 59 จงหาค่า n ทังหมดทีทําให้ na 283
- 166. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 164 ตัวอย่าง 3 กําหนดลําดับในแต่ละข้อต่ไปนีเป็นลําดัลเลขคณิต จงหาจํานวนพจน์ของลําดับ (1) 12, 15, 18, ... , 72 (2) 15, 9, 3, ... , 123 (3) 3 – 2x , 2x + 5 , 5x + 9 , ... , 4 2 7x 5x 3 เมือ x เป็นจํานวนจริง (4) x 5 , 2x 3 , 11 x , ... , 3 9 7x 5x เมือ x เป็นจํานวนจริง ตัวอย่าง 4 จงหาจํานวนของจํานวนเต็มทีมีค่าตังแต่ 10 ถึง 200 ทีสอดคล้องเงือนไขต่อไปนี (1) หารด้วย 3 ลงตัว (2) หารด้วย 3 ไม่ลงตัว (3) หารด้วย 7 เหลือเศษ 5 (4) หารด้วย 4 เหลือเศษ 3
- 167. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 165 ตัวอย่าง 5 ถ้า 7, x, y, z, 42 เป็นพจน์ห้าพจน์ทีเรียงกันลําดับเลขคณิต จงหาค่าของ (y + z) 2x ตัวอย่าง 6 กําหนดให้ x และ y เป็นจํานวนจริงซึง x y ถ้าลําดับ 1 2x, a , a , y เป็นลําดับเลขคณิต และลําดับ 1 2 3x, b , b , b , y เป็นลําดับเลขคณิต จงหาค่าของ 2 1 2 1 a a b b ตัวอย่าง 7 กําหนดลําดับในแต่ละข้อต่อไปนีเป็นลําดับเรขาคณิต จงหาพจน์ที n และพจน์ที 12 (1) 1a 1 และ 4a 27 (2) 7a 12 และ r = 1 3 (3) 2a 6 และ 5a 9 2 (4) 8 6a 8a และ 4a 6
- 168. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 166 ตัวอย่าง 7 กําหนดลําดับต่อไปนีเป็นลําดับเรขาคณิต (1) 2, –6, 18, –54, ... , 162 จงหาจํานวนพจน์ทังหมดของลําดับนี (2) 5 12a 48, a 6144 จงหาค่า n ทีทําให้ na 384 ตัวอย่าง 8 ถ้า 2, a, b, c, 32 เป็นห้าพจน์เรียงกันในลําดับเรขาคณิตลําดับหนึง จงหา 2 2 2 a b c ตัวอย่าง 9 จงหาจํานวนจริง k ทีทําให้ k – 13, k – 1 , k + 33 เรียงกับเป็นลําดับเรขาคณิต
- 169. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 167 ตัวอย่าง 10 พิจารณาลําดับของรูปสามเหลียมด้านเท่าขนาดต่างๆดังนี รูปที 1 รูปที 2 รูปที 3 พืนทีของบริเวณแรเงาในรูปที 10 เป็นกีเท่าของบริเวณแรเงาในรูปที 1 (ตอบในรูปเลขยกกําลัง) ตัวอย่าง 11 พิจารณาข้อความต่อไปนีเป็นจริงหรือเท็จ (1) ถ้าลําดับ na เป็นลําดับเลขคณิต แล้วลําดับ n nb a 3 เป็นลําดับเลขคณิต (2) ถ้าลําดับ na เป็นลําดับเลขคณิต แล้วลําดับ n nb 3a เป็นลําดับเลขคณิต (3) ถ้าลําดับ na เป็นลําดับเลขคณิต แล้วลําดับ 1 2 3 4 5 6a a , a a , a a ,... เป็นลําดับเลขคณิต (4) ถ้าลําดับ na เป็นลําดับเรขาคณิต แล้วลําดับ n nb a 3 เป็นลําดับเรขาคณิต
- 170. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 168 (5) ถ้าลําดับ na เป็นลําดับเรขาคณิต แล้วลําดับ n nb 2a เป็นลําดับเรขาคณิต (6) ถ้าลําดับ na เป็นลําดับเรขาคณิต แล้วลําดับ 1 2 3 4 5 6a a , a a , a a ,... เป็นลําดับเรขาคณิต (7) ถ้าลําดับ na เป็นลําดับเรขาคณิต แล้วลําดับ 2 n nb a เป็นลําดับเรขาคณิต (8) ถ้าลําดับ na เป็นลําดับเรขาคณิต แล้วลําดับ 1 2 3 4 5 6a a , a a , a a ,... เป็นลําดับเรขาคณิต (9) ถ้าลําดับ na เป็นลําดับเรขาคณิต แล้วลําดับ 1 2 3 1 1 1, , , ... a a a เป็นลําดับเรขาคณิต (10) ถ้าลําดับ na เป็นลําดับเรขาคณิต แล้วลําดับ 2 3 4 1 2 3 a a a , , ,... a a a เป็นลําดับเลขคณิต
- 171. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 169 3. อนุกรม 3.1ผลบวก n พจน์แรก ให้ 1 2 3 n a , a , a , ..., a เป็นลําดับจํากัด ถ้านําแต่ละพจน์มาบวกกัน จะได้ 1 2 3 n a a a ... a ซึงจะเรียกว่าเป็น อนุกรมจํากัด และเรียก 1 2 3 n a a a ... a เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมโดยแทนด้วยสัญลักษณ์ nS อาจจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์แทนการบวก(summation)ดังนี 1 2 3 n a a a ... a = n i i 1 a นันคือ n n 1 2 3 n i i 1 S a a a ... a a หมายเหตุ สมบัติบางประการทีควรทราบ (1) n n 1 nS S a (2) n(n 1) 1 2 3 ... n 2 (3) 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1) 1 2 3 ... n 6 (4) 2 3 3 3 3 n(n 1) 1 2 3 ... n 2 ตัวอย่าง 12 กําหนดให้ผลบวก n พจน์แรกในแต่ละข้อต่อไปนี จงหาพจน์ที n และพจน์ที 10 ของอนุกรม (1) 2 nS n 3n (2) 2 nS 7 3n
- 172. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 170 ตัวอย่าง 13 จงหาผลลัพท์ในแต่ละข้อต่อไปนี (1) 50 k 1 (k 2) (2) 25 2 i 1 (i 2i) (3) 20 k 1 (k 1)(k 1) (4) 100 k k 1 1 ( 1) k
- 173. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 171 3.2 อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต อนุกรมเลขคณิต ถ้าa1, a2, a3, …, an เป็นลําดับเลขคณิตแล้ว a1 + a2 + a3 + … + an ว่า อนุกรมเลขคณิต ให้ 1a และ d เป็นพจน์แรก และผลต่างร่วมของอนุกรมเลขคณิต ตามลําดับ ดังนันผลบวก n พจน์แรก( nS )ของอนุกรมเลขคณิต หาได้ดังนี n 1 n S 2a (n 1)d 2 หรือ n 1 n n S a a 2 อนุกรมเรขาคณิต ถ้า a1, a2, a3, …, an เป็นลําดับเรขาคณิตแล้ว a1 + a2 + a3 + … + an + … ว่า อนุกรมเรขาคณิต ให้ 1a และ r เป็นพจน์แรก และผลต่างร่วมของอนุกรมเรขาคณิต ตามลําดับ ดังนันผลบวก n พจน์แรก( nS )ของอนุกรมเรขาคณิต หาได้ดังนี n 1 n a (1 r ) S 1 r หรือ 1 n n a a r S 1 r ตัวอย่าง 14 กําหนดอนุกรมเลขคณิตที na เป็นพจน์ทัวไป และd เป็นผลต่างร่วม ในแต่ละข้อต่อไปนี (1) 1a 5 และ 30a 63 จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 20 พจน์แรก (2) d = –3 และ 12a 20 จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 20 พจน์แรก
- 174. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 172 (3) 10a 7 และ 25a –53 จงหา 25S (4) 10S 60 และ 3 1a a 4 จงหาพจน์ที 15 และผลบวก n พจน์แรก (5) 3 S 3 และ 5 S 20 จงหา na และ n S (6) 1a 14 และ 3 d 2 จงหาค่า n ทีทําให้ผลบวก n พจน์แรกเท่ากับ 180
- 175. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 173 ตัวอย่าง 15กําหนดให้ na แทนพจน์ทัวไปของอนุกรมเรขาคณิตทีมี อัตราส่วนร่วมเท่ากับ r จงตอบคําถามต่อไปนี (1) 1a 9 และ 4 1 a 3 จงหาผลบวก 10 พจน์แรก (2) 5 1 a 8 และ r 2 จงหาผลบวก 15 พจน์แรก (3) 1 1a 729, r 3 จงหาค่า n ทีทําให้ n S 1089 ตัวอย่าง 16 ถ้า a เป็นจํานวนจริงลบ ทีสอดคล้องกับสมการ 25 a 5a 6 0 จงหา 2 24 1 a a ... a
- 176. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 174 3.3 โจทย์ปัญหาเกียวกับลําดับอนุกรม ตัวอย่าง17 ทีนังส่วนด้านข้างด้านหนึงของอัฒจันทร์(grandstand)ในสนามกีฬาแห่งหนึงมีแถวทีนังทังหมด 20 แถว ใน 10 แถวแรกได้จัดทีนังโดย มี 30 ทีนังในแถวแรก 32 ทีนังในแถวทีสอง 34 ทีนังในแถวทีสาม เช่นนีเรือยๆไปจนถึงแถวที 10 ส่วนอีก 10 แถวทีเหลือจัดให้มีทีนังแถวละ 50 ทีนัง จงหาจํานวนทีนังทังหมดในส่วนด้านข้างของอัฒจันทร์นี ตัวอย่าง 18 นาย ก ยืมเงินนาย ข จํานวน 12,000 บาทเพือมาเป็นทุนค้าขาย โดยนาย ก บอกนาย ข ว่า จะใช้คืนใน วันแรก 2,000 บาท และวันต่อๆไปจะขอใช้คืนโดยลง 100 บาท จากยอดเงินทีใช้คืนในวันก่อนหน้า ถ้านาย ก คืนเงินแก่นาย ข ต่อเนืองกันทุกวันจะต้องใช้เวลาคืนเงินทังหมดกีวันจึงจะครบตามยอดทียืมมา
- 177. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 175 Onet 2549 1. ลําดับเรขาคณิตในข้อใดต่อไปนี มีอัตราส่วนร่วมอยู่ในช่วง (0.3, 0.5) 1. 5 25 3, , , 4 48 2. 4 8 2, , , 3 9 3. 9 4, 3 , , 4 4. 16 5, 4 , , 5 2. ถ้าผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมหนึง คือ 2 nS 3n 2 แล้วพจน์ที 10 ของอนุกรมนีมีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 57 2. 82 3. 117 4. 302 3. 50 k k 1 1 1 k มีค่าเท่ากับข้อใด 1. 1300 2. 3500 3. 1400 4. 4500
- 178. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 176 4. ป้าจุ๊เริมขายขนมครกใน วันที 3 มกราคม ในวันแรกขายได้กําไร 100 บาท และในวันต่อๆไปจะขายได้ กําไรเพิมขึนจากวันก่อนหน้าวันละ 10 บาททุกวัน ข้อใดต่อไปนีเป็นวันทีของเดือนมกราคมทีป้ าจุ๊ขายได้ กําไรเฉพาะในวันนัน 340 บาท 1. วันที 24 2. วันที 25 3. วันที 26 4. วันที 27 5. ถ้าผลบวกและผลคูณของสามพจน์แรกของลําดับเลขคณิตทีมี d เป็นผลต่างร่วมเท่ากับ 15 และ 80 ตามลําดับ แล้ว 2 d มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 2. 4 3. 9 4. 16 6. ถ้า a เป็นจํานวนจริงลบ และ 20 a 2a 3 0 แล้ว 2 19 1 a a ... a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
- 179. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 177 Onet 2550 7. ถ้า 1 2 3 a , a , a , ... เป็นลําดับเลขคณิต ซึง 30 10 a a 30 แล้วผลต่างร่วมของลําดับนีมีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1.25 2. 1.5 3. 1.75 4. 2.0 8. ลําดับในข้อใดต่อนี เป็นลําดับเรขคณิต 1. n 2n n a 2 3 2. n n n a 2 4 3. 2 n n a 3 4. n n a (2n) 9. พจน์ที 16 ของลําดับเรขาคณิต 1 1 1 , , 625 125125 5 , … เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 25 5 2. 125 3. 125 5 4. 625
- 180. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 178 10. กําหนดให้S = {101 , 102 , 103 , … , 999} ถ้า a เท่ากับผลบวกของจํานวนคีทังหมดใน S และ b เท่ากับผลบวกของจํานวนคู่ทังหมดใน S แล้ว b – a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. – 550 2. – 500 3. – 450 4. 450 Onet 2551 11. พจน์ที 31 ของลําดับเลขคณิต 1 1 1, , , ... 20 30 60 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 5 12 2. 13 30 3. 9 20 4. 7 15 12. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 2 + 4 8 + ... + 256 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 171 2. 85 3. 85 4. 171
- 181. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 179 13. กําหนดให้nS เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ซึงมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 2 ถ้า 10 8S S 32 แล้วพจน์ที 9 ของอนุกรมนีเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 16 3 2. 20 3 3. 26 3 4. 32 3 14. ถ้า 1 2 3a , a , a , ... เป็นลําดับเลขคณิต ซึง 2 3 9a a ... a 100 แล้ว 10 1 2 10S a a ... a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 120 2. 125 3. 130 4. 135 15. กําหนดให้ 1 2 3a , a , a , ... เป็นลําดับเรขาคณิต พิจารณาลําดับสามลําดับต่อไปนี ก. 1 3 2 4 3 5a a , a a , a a , ... ข. 1 2 2 3 3 4a a , a a , a a , ... ค. 1 2 3 1 1 1, , , ... a a a ข้อใดต่อไปนีถูก 1. ทังสามลําดับเป็นลําดับเรขาคณิต 2. มีหนึงลําดับไม่เป็นลําดับเรขาคณิต 3. มีสองลําดับไม่เป็นลําดับเรขาคณิต 4. ทังสามลําดับไม่เป็นลําดับเรขาคณิต
- 182. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 180 Onet 2552 16. ลําดับเลขคณิตในข้อใดต่อไปนีมีบางพจน์เท่ากับ 40 1. na 1 2n 2. na 1 2n 3. na 2 2n 4. na 2 2n 17. กําหนดให้ 1 2 3a , a , a เป็นลําดับเรขาคณิต โดยที 1a 2 และ 3a 200 ถ้า 2a คือค่าในข้อใดข้อหนึงต่อไปนีแล้ว ข้อดังกล่าวคือข้อใด 1. 20 2. 50 3. 60 4. 100 18. ข้อใดต่อไปนีเป็นอนุกรมเรขาคณิตทีมี 100 พจน์ 1. 1 3 5 ... (2n 1) ... 199 2. 1 1 1 11 ... ... 3 5 2n 1 199 3. n 1 199 1 2 4 ... (2 ) ... 2 4. 2n 1 199 1 1 1 1 1... ... 5 125 3125 5 5
- 183. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 181 19. ค่าของ1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 970 2. 1020 3. 1050 4. 1071 Onet 2553 20. กําหนดให้ 3 1, 1, , ... 2 2 เป็นลําดับเลขคณิต ผลบวกของพจน์ที 40 และพจน์ที 42 เท่ากับข้อใด 1. 18 2. 19 3. 37 4. 38 21. ใน 40 พจน์แรกของลําดับ n na 3 ( 1) มีกีพจน์ ทีมีค่าเท่ากับพจน์ที 40 1. 10 2. 20 3. 30 4. 40
- 184. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 182 22. กําหนดให้1 2 3a , a , a , ... เป็นลําดับเรขาคณิต ถ้า 2a 8 และ 5a 64 แล้วผลบวกของ 10 พจน์แรกของลําดับนีเท่ากับข้อใด 1. 2,048 2. 1,512 3. 1,364 4. 1,024 23. ในสวนป่าแห่งหนึง เจ้าของปลูกต้นยูคาลิปตัสเป็นแถวดังนี แถวแรก 12 ต้น แถวทีสอง 14 ต้น แถวทีสาม 16 ต้น โดยปลูกเพิมเช่นนีตามลําดับเลขคณิต ถ้าเจ้าของปลูกต้นยูคาลิปตัสไว้ทังหมด 15 แถว จะมีต้นยูคาลิปตัสในสวนทังหมดกีต้น Onet 2554 24. ลําดับเรขาคณิตลําดับหนึงมีผลบวกและผลคูณของ 3 พจน์แรกเป็น 13 และ 27 ตามลําดับ ถ้า r เป็นอัตราส่วนร่วมของลําดับนีแล้ว 1 r r มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 10 3 2. 7 3 3. 4 3 4. 1 3
- 185. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 183 25. กําหนดให้nS เป็นผลบวก n พจน์แรกของลําดับเลขคณิต 1 2 3a , a , a ,... ถ้า 5S 90 และ 10S 5 แล้ว 11a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 39 2. 38 3. 37 4. 36 26. ลําดับเลขคณิต 43, 34, 25, … มีพจน์ทีมีค่าน้อยกว่า 300 อยู่กีพจน์ 27. ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต 1 + (2) + 4 + (8) + … + 256 เท่ากับเท่าใด
- 186. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 184 Onet 2555(ยังไม่มีข้อสอบเผยแพร่) Onet2556 28. ถ้าพจน์ที 5 และพจน์ที 10 ของลําดับเลขคณิตเป็น 14 และ 29 ตามลําดับ แล้วพจน์ที 99 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 276 2. 287 3. 296 4. 297 5. 299 29. ลําดับ –24, –15, –6, 3, 12, 21, ... , 1776 มีกีพจน์ 1. 199 2. 200 3. 201 4. 202 5. 203 30. ถ้า 1 2a 2 , a 1 และ n 2 n 1 na a a เมือ n = 1, 2, 3, ... แล้ว 11a เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 76 2. 113 3. 123 4. 199 5. 384
- 187. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 185 31. ถ้าพจน์ทีn ของอนุกรมคือ 3n – 10 แล้วผลบวก 23 พจน์แรกของอนุกรมนีเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 589 2. 598 3. 624 4. 698 5. 759 32. ถ้าอนุกรมเรขาคณิตมีผลบวก 10 พจน์แรกเป็น 3069 และมีอัตราส่วนร่วมเป็น 2 แล้วพจน์ที 3 ของอนุกรมนีเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 2 2. 6 3. 8 4. 12 5. 24 33. ผลบวก 3 พจน์แรกของลําดับ n 1 n ( 1) n a n 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 7 12 2. 5 12 3. 7 12 4. 11 12 5. 13 12
- 188. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 186 34. เกษตรกรคนหนึงซือรถกระบะโดยผ่อนชําระเป็นเวลา4 ปี ทางผู้ขายกําหนดให้ผ่อนเดือนแรก 5,500 บาท และ เดือนถัดๆไปให้ผ่อนชําระเพิมขึนทุกเดือนๆละ 400 บาท จนครบกําหนด ถ้า x คือจํานวนเงินทีเขาต้องชําระใน เดือนสุดท้าย และ y คือจํานวนเงินทีเขาชําระไปใน 2 ปีแรก (หน่วย : บาท) แล้วข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. x = 24,300 และ y = 242,300 2. x = 24,300 และ y = 242,400 3. x = 24,400 และ y = 242,400 4. x = 24,400 และ y = 243,900 5. x = 24,900 และ y = 243,900 35. ถ้าพจน์ที 4 และพจน์ที 7 ของลําดับเรขาคณิตเป็น 54 และ 1458 ตามลําดับ แล้วพจน์แรกเท่ากับเท่าใด Onet 2557 36. ถ้า n n 2 ( 1) n a 2n 3 แล้วข้อใดถูก 1. 1 1 a 5 2. 2 4 a 7 3. 3 1 a 9 4. 4 2 a 11 5. 5 7 a 13
- 189. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 187 37. ถ้า1 2 3a ,a ,a ,... เป็นลําดับเลขคณิตและผลต่างร่วมไม่เท่ากับศูนย์ แล้วข้อใดผิด 1. 10 11 21 20a a a a 2. 9 14 11 12a a a a 3. 15 12 7 4 a a 1 a a 4. ถ้า n nb a 5 ทุกๆ n แล้ว 1 2 3b , b ,b ,... เป็นลําดับเลขคณิต 5. ถ้า n n nc 5 a ทุกๆ n แล้ว 1 2 3c , c , c ,... เป็นลําดับเรขาคณิต 38. ซุงกองหนึงวางเรียงซ้อนกันเป็นชันๆ โดยชันบนจะมีจํานวนน้อยกว่าชันล่างทีอยู่ติดกัน 3 ต้นเสมอ ถ้าชันบนสุดมี 49 ต้น และชันล่างสุดมี 211 ต้น แล้วพิจารณาข้อความต่อไปนี ก. ซุงกองนีมี 56 ชัน ข. ชันที 8 (นับจากบนลงล่าง) มีซุง 70 ต้น ค. ซุงกองนีมีทังหมด 7,150 ต้น ข้อใดต่อไปนีถูก 1. ก., ข. และ ค. ถูกทังสามข้อ 2. ข. ถูก แต่ ก. และ ค. ผิด 3. ค. ถูก แต่ ก. และ ข. ผิด 4. ก. และ ค. ถูก แต่ ข. ผิด 5. ข. และ ค. ถูก แต่ ก. ผิด
- 190. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 188 39. กําหนดให้x เป็นจํานวนจริง ถ้า 5 – 7x , 3x + 28 , 5x + 27 , ... , 3 2x 3x 1 เป็นลําดับเลขคณิต แล้วลําดับนีมีกีพจน์ 1. 10 2. 11 3. 12 4. 13 5. 14 40. ถ้าพจน์ที 5 และพจน์ที 8 ของลําดับเรขาคณิตเป็น 1 2 และ 1 16 ตามลําดับ แล้วพจน์ที 4 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. –1 2. 1 2 3. 1 4 4. 1 5. 2 41. พจน์ที 10 ของลําดับเรขาคณิต 3 , 6 , ... ตรงกับข้อใด 1. 8 6 2. 16 3 3. 16 6 4. 32 3 5. 32 6
- 191. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 189 42. ถ้าอนุกรมเรขาคณิตมี1 1 a 2 และ 10a 256 แล้วผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมนีเท่ากับข้อใด 1. 511.0 2. 511.5 3. 512.0 4. 512.5 5. 513.0 43. ถ้าอนุกรมเลขคณิตมีพจน์แรกเป็น –8 และมีผลบวกของ 50 พจน์แรกเป็น 3275 แล้วผลต่างร่วมมีค่าเท่ากับเท่าใด Onet 2558 44. ถ้า n n 2 1 a 3n 1 แล้วข้อใดผิด 1. 1a 1 2. 2 3 a 4 3. 3a 1 4. 4 7 a 10 5. 5 31 a 13
- 192. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 190 45. ถ้า1 2 3a ,a ,a ,... เป็นลําดับเรขาคณิต แล้วข้อใด ผิด 1. 1 2 35a ,5a ,5a ,... เป็นลําดับเรขาคณิต 2. 2 2 2 1 2 3a ,a ,a ,... เป็นลําดับเรขาคณิต 3. 2 3 1 2 3a ,a ,a ,... เป็นลําดับเรขาคณิต 4. 1 2 2 3 3 4a a ,a a ,a a ,... เป็นลําดับเรขาคณิต 4. 1 2 3 2 3 4 a a a , , ,... a a a เป็นลําดับเรขาคณิต 46. ถ้า na เป็นพจน์ทัวไปของลําดับวึงมี 5a = 9 และ n 1 na a 2 แล้ว 11a เท่ากับเท่าใด 1. 5 2. 3 3. 1 4. 1 5. 3 47. ถ้าอนุกรมเลขคณิตมีผลบวก 9 พจน์แรกเป็น 261 และพจน์ที 9 ของอนุกรมนีคือ 61 แล้วผลบวกของ 4 พจน์แรกของอนุกรมนีมีค่าเท่าใด 1. 21 2. 27 3. 32 4. 36 5. 39
- 193. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 191 48. พิจารณาลําดับของรูปสีเหลียมจุตรัสทีมีด้านยาวด้านละ1 หน่วยต่อไปนี รูปที 1 รูปที 2 รูปที 3 รูปที 4 พืนทีของบริเวณแรเงาในรูปที 10 มีค่าเท่ากับกีตารางหน่วย 1. 1 100 2. 1 256 3. 1 512 4. 1 1000 5. 1 1024 49. เด็กชายคนหนึงต้องการออมเงินเพือซือรถจักรยานราคา 1,700 บาท โดยเก็บเงินเดือนละ 100 บาท และพ่อสัญญาว่าจะสมทบเงินให้ทุกๆเดือน เริมเดือนแรกให้ 10 บาท และเดือนทีสองให้ 20 บาท เดือนทีสามให้ 30 บาท และสมทบเงินให้มากขึนทุกเดือนๆละ 10 บาท เขาต้องออมเงินอย่างน้อยกีเดือนจึงจะ มี เงินมากพอเพือซือรถจักรยาน 1. 10 2. 11 3. 12 4. 13 5. 14
- 194. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 192 50. ถ้าna เป็นพจน์ทัวไปของลําดับทีมี 3a 4 และ n 1 na a n แล้ว 1 7a a เท่ากับเท่าใด 51. ถ้า 1 2 3a ,a ,a ,... เป็นลําดับเรขาคณิตซึงมี 1a 2 และ 4 1 a 4 แล้ว 1 2 3 10 1 1 1 1 ... a a a a เท่ากับเท่าใด Onet 2559 52. ถ้า 5 i i 1 x 10 แล้ว 5 2 i i 1 x 135 แล้ว 5 i i i 1 x (x 1) ใกล้เคียงกับจํานวนเต็ในข้อใดมากทีสุด 1. 11 2. 12 3. 13 4. 14 5. 15
- 195. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 193 53. พจน์ที8 ของลําดับ 4 8 16 32 64 , , , , , ... 5 9 13 17 21 เท่ากับเท่าใด 1. 128 29 2. 134 31 3. 234 31 4. 416 33 5. 512 33 54. ให้ 1 2 3a , a , a , ... เป็นลําดับเลขคณิต ถ้า 4 1a 5a และ 10a 39 แล้ว 1a เท่ากับเท่าใด 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 5. 5 55. กําหนดให้ 2 n 1 a , ar , ar , ... , ar เป็นลําดับเรขาคณิตทีมี n พจน์ ซึงผลรวมของ 3 พจน์สุดท้ายเป็น 4 เท่าของผลรวมของ 3 พจน์แรก ถ้าพจน์ที 3 คือ 22 แล้ว พจน์สุดท้ายมีค่าเท่าใด 1. 56 2. 72 3. 88 4. 96 5. 102
- 196. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 194 56. บริษัทแห่งหนึงซือเครืองจักรมาในราคาA บาท คิดค่าเสือมราคาคงที 15% ต่อปี กล่าวคือ ราคาเครืองจักรจะลดลง 15% ของมูลค่าคงเหลือในแต่ละปีทุกปี ถ้าใช้เครืองจักรผ่านไป t ปี แล้วมูลค่าคงเหลือของเครืองจักรนีเท่ากับเท่าใด 1. t 1 (0.15) A บาท 2. t (0.15) A บาท 3. t 1 (0.85) A บาท 4. t (0.85) A บาท 5. t 1 (0.85) A บาท 57. กําหนดให้ รูปที 1 รูปที 2 รูปที 3 รูปที 4 แล้วในรูปที 10 มีจํานวนจุดกีจุด 1. 55 2. 60 3. 66 4. 78 5. 88
- 197. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 195 58. สําหรับn = 2, 3, 4, ... กําหนดให้ n 2 n n 1 a (2) ( ) 3 ถ้า n 2 3 nA a a ... a แล้ว 6729A เท่ากับเท่าใด 1. 190 2. 195 3. 200 4. 211 5. 243 59. กมลศักดิขยายพันธ์ต้นกุหลาบโดยการตอนกิงเพือจําหน่าย ในวันแรกเขาตอนกิงได้ 20 กิง ในวันถัดๆไปเขาทํา ได้เร็วขึนโดยเขาสามารถตอนกิงได้มากกว่าวันก่อนหน้านัน 5 กิง เมือครบ 7 วัน แล้วเขาตอนกิงกุหลาบได้ ทังหมดกีกิง 1. 235 2. 240 3. 245 4. 250 5. 255 60. กําหนดให้ na เป็นพจน์ที n ของลําดับ ซึงมี n 1 na a n เมือ n = 1, 2, 3, ... ถ้า na 26 แล้ว 1 2 3a a a เท่ากับเท่าใด
- 198. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 196 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแต่ละปีจะมีประมาณ 5 - 6 ข้อ(3 ปีล่าสุด ปีละ 3 ข้อ) โดยมีขอบเขตเนือหาทีเคยออกข้อสอบได้แก่ หาจํานวนผลการทดลองสุ่มโดยใช้กฎการนับ หาจํานวนวิธีการเรียงสับเปลียนแบบเชิงเส้น แบบทุกสิงทีเรียงสับเปลียนต่างกัน และไม่ต่างกัน ทังหมด( เคยมีออก 1 ข้อ) หาจํานวนวิธีเรียงสับเปลียนแบบวงกลม(เคยออกมา 1 ข้อ) หาความน่าจะเป็นโดยเน้นความหมายถึงของความน่าจะเป็นทีเป็นโอกาสทีจะเกิดขึน หาความน่าจะเป็นโดยเน้นการแจกสมาชิกในปริภูมิตัวอย่างก่อนก็ได้ หรืออาจจะหาจํานวนวิธีโดย กฏการนับก่อนแล้วนํามาหาความน่าจะเป็น มักกล่าวถึงการหยิบทีละครังแบบใส่คืนไม่ใส่คืน และ หยิบเลือกพร้อมกัน ซึงอาจจะหาจํานวนวิธีเลย หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ยูเนียน อินเตอร์เซกชัน ดดยอาศัยกฎของความน่าจะเป็น หรือ แผนภาพเวน-ออยเลอร์ 1. กาหาค่าแฟคทอเรียล (Factorial) บทนิยาม กําหนดให้ n เป็นจํานวนนับ n! = 1 2 3 ...(n –1) n และกําหนด 0! = 1 จากนิยาม n! หาค่าได้ก็ต่อเมือ n ≥ 0 ตัวอย่าง 1 จงหาค่าของแต่ละข้อต่อไปนี (1) 3! 4! (2) 4!2! .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (3) 6! 4!2! (4) 7! 3!4! .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ...................................................................... (5) 5! 4! 3! (6) 7 ! 4! 5!3! .................................................................. ...................................................................... .................................................................. ......................................................................
- 199. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 197 2. กฎการนับเบืองต้น(Fundamental Principal of Counting) กฏการนับเบืองต้น ถ้าต้องการทํางาน k ชนิด ต่อเนือง(หรือเกิดพร้อมกัน) โดยที มีวิธีทํางานชนิดที 1 1n วิธี ในแต่ละวิธีของการทํางานชนิดที 1 มีวิธีของการทํางานชนิดที 2 2n วิธี ในแต่ละวิธีของการทํางานชนิดที 1 และชนิดที 2 มีวิธีของการทํางานชนิดที 3 3n วิธี ในแต่ละวิธีของการทํางานชนิดที 1 ถึงชนิด k – 1 มีวิธีของการทํางานชนิดที k kn วิธี จะได้ จํานวนวิธีการทํางานทัง k ชนิดนีเท่ากับ 1 2 3 kn n n n วิธี ตัวอย่าง 1 ในกล่องใบหนึงมีลูกบอลอยู่4 ลูกแต่ละลูกเขียนด้วยหมายเลข 1 ถึง 4 ลูกละ 1 หมายเลข ถ้าหยิบลูกบอลจากกล่องใบนีออกมา 2 ลูก โดยหยิบครังละ 1 ลูก และไม่ใส่คืนก่อนหยิบครังต่อไป จงสร้างแผนภาพต้นไม้แสดงวิธีการหยิบลูกบอลสองลูก และจะมีวิธีการหยิบลูกบอลสองลูกนีได้กีวิธี ตัวอย่าง 2 ในกล่องใบหนึงมีลูกบอลอยู่4 ลูกแต่ละลูกเขียนด้วยหมายเลข 1 ถึง 4 ลูกละ 1 หมายเลข ถ้าหยิบลูกบอลจากกล่องใบนีออกมา 2 ลูก โดยหยิบครังละ 1 ลูก และไม่ใส่คืนก่อนหยิบครังต่อไป จงสร้างแผนภาพต้นไม้แสดงวิธีการหยิบลูกบอลสองลูก และจะมีวิธีการหยิบลูกบอลสองลูกนีได้กีวิธี
- 200. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 198 ตัวอย่าง 3 ในกล่องใบหนึงมีลูกบอลอยู่4 ลูกแต่ละลูกเขียนด้วยหมายเลข 1 ถึง 4 ลูกละ 1 หมายเลข ถ้าหยิบลูกบอลจากกล่องใบนีออกมา 2 ลูก โดยหยิบครังละ 1 ลูก และไม่ใส่คืนก่อนหยิบครังต่อไป จงสร้างแผนภาพต้นไม้แสดงวิธีการหยิบลูกบอลสองลูก และจะมีวิธีการหยิบลูกบอลสองลูกนีได้กีวิธี ตัวอย่าง 4 กฎการนับเบืองต้น (1) มีบัตรอยู่ในกล่อง 6 ใบ ดดยทีแต่ละใบมีหมายเลข 1 ถึง 6 ถ้าหยิบบัตรในกล่องใบนีออกมา 3 ใบ โดยหยิบทีละ 1 ใบแบบไม่ใส่คืน จะมีวิธีการหยิบบัตร 3 ใบนีได้กีวิธี ตอบ ........................................................................................................................... (2) ถ้านักเรียนมีเสือแตกต่างกัน 5 ตัว กางเกง 4 ตัว และรองเท้าอีก 3 คู่ จะมีวิธีเลือกเสือ กางเกง อย่างละ 1 ตัว และรองเท้า 1 คู่ เพือการแต่งตัวได้กีวิธี ตอบ ........................................................................................................................... (3) ถ้านักเรียนมีดินสอ 5 แท่งทีต่างกัน ต้องการแจกดินสอทังหมดให้แก่เด็กทีมีอยู่3 คน โดยแต่ละคนอาจจะได้รับ หรือไม่ก็ได้ จะแจกดินสอทังหมดนีได้กีวิธี ตอบ ........................................................................................................................... (4) มีจดหมาย 3 ฉบับ จะนําไปทิงใส่ลงในตู้ไปรษณีย์ 5 ตู้ ได้ทังหมดกีวิธี ตอบ ........................................................................................................................... (5) มีหมวกจํานวน 4 แบบ จํานวนวิธีการเลือกหมวกของคนทัง 2 คน คนละ 1 ใบ โดยไม่ซําแบบกัน ได้ทังหมดกีวิธี ตอบ ........................................................................................................................... (6) จํานวนวิธีของผลลัพท์ทังหมดทีได้จากการโยนเหรียญ1 เหรียญ ลูกเต๋า 1 มีกีวิธี ตอบ ............................................................................................................................ (7) รหัสปลดล็อคโทรศัพท์ทีใช้ตัวเลข 4 ตัว มีทังหมดกีรหัส ตอบ ........................................................................................................................... (8) ข้อสอบแบบเลือกตอบ 2 ตัวเลือกคือถูกหรือผิด จํานวน 10 ข้อ จะมีวิธีการทําข้อสอบนีได้ทังหมดกีวิธี ตอบ ........................................................................................................................... (9) ครอบครัวหนึงมีลูก 3 คน จํานวนรูปแบบเพศลูกทัง 3 คนในครอบครัวนี มีกีวิธี ตอบ ........................................................................................................................... (10) จํานวนวิธีทีเป็นไปได้ทังหมดของแลข 3 หลักจะเป็นรางวัลเลขท้ายสามตัวในแต่ละงวด มีกีวิธี ตอบ ...........................................................................................................................
- 201. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 199 ตัวอย่าง 5 มีกล่อง 2 ใบ กล่องแต่ละใบมีลูกบอลขนาดเดียวกัน 5 สี สีละ 1 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูก จากกล่องทังสองใบนี กล่องละลูก จงหา (1) จํานวนวิธีทีสองลูกทีหยิบได้เป็นสีเดียวกัน (2) จํานวนวิธีทีสองลูกนันเป็นสีต่างกัน ตัวอย่าง 6 กําหนดให้การสร้างจํานวน 3 หลัก ใช้ตัวเลข 0, 1, 2, ..., 9 จงหาจํานวนทังหมดทีสามารถสร้างได้ ตามเงือนไขต่อไปนี (1) จํานวนสามหลักทังหมด (2) จํานวนทีมีตัวเลขทังสามหลักของจํานวนไม่ซํากัน (3) จํานวนทีมีตัวเลขทังสามหลักของจํานวนไม่ซํากัน และเป็นจํานวนคี (4) จํานวนทีมีตัวเลขทังสามหลักของจํานวนไม่ซํากัน และเป็นจํานวนคู่ (5) จํานวนทีมีตัวเลขทังสามหลักของจํานวนไม่ซํากัน และเป็นจํานวนทีหารด้วย 5 ลงตัว
- 202. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 200 ตัวอย่าง 7 โรงหนังแห่งมีประตูทางเข้า 2 ประตู และประตูทางออกเพิมมาอีก 2 ประตูจากประตูทางเข้า จะมีวิธีเข้า และออกโรงหนังนีได้ทังหมดกีวิธี เมือ (1) เดินเข้าและเดินออกประตูใดก็ได้ (2) ต้องออกอีกประตูหนึงซึงไม่ซํากับประตูทีเข้ามา (3) เดินเข้าและเดินออกประเดิม ตัวอย่าง 8 ตู้ซือนําดืมนําดืมอัตโนมัติ มีนําดืมให้เลือก 12 ชนิด ถ้านักเรียนและเพือนของนักเรียนอีก 2 คนมา ซือนําทีตู้นีทีละคนโดยไม่ให้คนอืนรู้ว่าเลือกซือนําดืมชนิดใด จงหาจํานวนวิธีที (1) แต่ละเลือกซือนําดืมชนิดใดก็ได้ (2) เพือนทัง 2 คน ซือนําดืมชนิดเดียวกันกับนักเรียน (3) แต่ละคนซือนําดืมคนละชนิดกัน ตัวอย่าง 9 ครัวหนึงมี พ่อ แม่ลูกชาย 2 คน และลูกสาว 1 คน ทังหมดยืนเป็นแถวยาวเพือถ่ายรูปครอบครัว จะสามารถทําได้กีวิธีทีแตกต่างกัน (1) พ่อ และ แม่ ยืนหัวแถวและท้ายแถว (2) ลูกสาวยืนตรงกลางของแถว (3) ยืนสลับ ชาย-หญิง คราวละ 1 คน (4) ชายยืนทังหมดติดกัน และหญิงทังหมดยืน
- 203. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 201 4. วิธีเรียงสับเปลียน(Permutation) วิธีเรียงสับเปลียน หมายถึง การนําสิงของทีมีอยู่ทังหมดหรือบางส่วนมาจัดเรียงลําดับสับไปมา โดยคํานึงถึง ลําดับหรือตําแหน่งสิงของเป็นสําคัญ วิธีการเรียงสับเปลียนแบ่งเป็น 2 ลักษณะ ดังนี วิธีเรียงสับเปลียนแบบเชิงเส้น (Linear Permutation) จําแนกได้ดังนี สูตรทีควรรู้ได้แก่ 1. ถ้ามีสิงของทีแตกต่างกันทังหมด n สิง จํานวนวิธีเรียงสับเปลียนเชิงเส้น เท่ากับ n! วิธี 2. ถ้ามีสิงของทีแตกต่างกันทังหมด n สิง จํานวนวิธีเรียงสับเปลียนเชิงเส้น r สิง (r ≤ n) เท่ากับ n r n,r n r n! P P P (n r)! วิธี 3. ถ้ามีสิงของอยู่ n สิง ทีแตกต่างกันไม่ทังหมด โดยที ในกลุ่มที 1, 2, …., k มีสิงของซํากัน เป็น 1n , 2n ,…, kn สิง ตามลําดับและ 1 2 3 kn n n ... n = n จะได้จํานวนวิธีเรียงสับเปลียนของสิงของทัง n สิงเท่ากับ 1 2 3 k n! n !n !n ! n ! วิธี วิธีเรียงสับเปลียนแบบวงกลม (Circular Permutation) สูตรทีควรรู้ได้แก่ 4. ถ้ามีสิงของทีแตกต่างกันทังหมด n สิง จํานวนวิธีเรียงสับเปลียนแบบวงกลมเท่ากับ (n-1)! วิธี หมายเหตุ : แนวคิดการจัดเรียงสับเปลียนแบบวงกลมอีกแนวทางหนึง คือ ให้กําหนดตําแหน่งสิงของสิง หนึงสิงใดไปแล้ว ให้จัดทีเหลือแบบเชิงเส้น เทคนิคการเรียงสับเปลียนของสถานการณ์ทีน่าสนใจ (1) เทคนิคการจัดเรียงให้สิงของบางสิงอยู่ให้ติดกันเสมอ ให้มองรวมสิงทีต้องการให้อยู่ติดกันเป็นสิงของหนึง สิงแล้วเรียงสับเปลียนในกลุ่มด้วย (เทคนิดมัดมองรวมเป็นหนึง) (2) เทคนิคการจัดเรียงทีให้สิงของบางสิงไม่ให้อยู่ติดกันเลย ให้จัดเรียงสิงของอืนก่อนแล้วนําสิงของทีเหลือ ไปแทรกระหว่างสิงทีจัดไว้แล้ว (จัดอย่างอืนก่อนแล้วแทรก)
- 204. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 202 ตัวอย่าง 10จงตอบคําถามต่อไปนี (1) การจัดคน 4 คนนังบนเก้าอียาวหนึงตัว มีจํานวนวิธีเท่ากับ .............................................. วิธี (2) การสร้างคําใหม่ทีไม่คํานึงถึงความหมาย จากสับเปลียนตัวอักษรทังหมดในคําว่า IPHONE มีคําเท่ากับ ....................................................... คํา (3) การจัดเรียงรายชือนักเรียน 5 คนเพือเข้ารับการสอบสัมภาษณ์ มีจํานวนวิธีเท่ากับ .............................................. วิธี (4) การสับเปลียนหน้าความรับผิดชอบ 6 หน้าที ในเวรทําความสะอาดห้องเรียนของนักเรียน 6 คน มีจํานวนวิธีเท่ากับ .............................................. วิธี (5) มีคน 10 คน จัดให้คนมานังเก้าทีว่างอยู่ 3 ที มีจํานวนวิธีเท่ากับ .............................................. วิธี (6) การเลือกนักเรียน 3 คน จากนักเรียน 30 คน มาตอบคําถามทีแตกต่างกัน 3 คําถาม มีจํานวนวิธีเท่ากับ .............................................. วิธี (7) การจัดเรียงสับเปลียนตัวอักษรทังหมดจากคําว่า GOOGLE ให้เป็นคําใหม่ทีไม่คํานึงถึงความหมาย มีคําเท่ากับ ....................................................... คํา (8) การจัดเรียงสับเปลียนตัวอักษรทังหมดจากคําว่า DELETE ให้เป็นคําใหม่ทีไม่คํานึงถึงความหมาย มีคําเท่ากับ ....................................................... คํา (9) การสร้างจํานวน 7 หลักจากเลขโดด 7 ตัวได้แก่ 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3 มีเท่ากับ ........................................................... จํานวน (10) การจัดคน 4 คนนังบนเก้าอี 4 ทีโดยเรียงเป็นวงกลม มีจํานวนวิธีเท่ากับ .............................................. วิธี (11) การจัดคน 6 คนยืนล้อมวงกลม มีจํานวนวิธีเท่ากับ .............................................. วิธี ตัวอย่าง 11 มีหนังสือวิชาคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ภาษาอังกฤษ และภาษาจีนอย่างละเล่ม จะจัดวางบนชันหนังสือได้กีวิธี ถ้า (1) ไม่มีข้อกําหนดเพิมเติม (2) ให้วิชาคณิตศาสตร์อยู่ติดกับวิชาวิทยาศาสตร์ (3) ไม่ให้วิชาภาษาอังกฤษและวิชาภาษาจีนวางติดกัน
- 205. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 203 ตัวอย่าง 12 ชาย3 คน และหญิง 3 คน นังบนเก้าอียาวตัวหนึง จะมีวิธีการนังทังหมดกีวิธี เมือ (1) ไม่มีเงือนไขเพิมเติม (2) ชาย 3 คน นังติดกัน (3) หญิง 3 คน นังติดกัน (4) ไม่มีชายคนใดนังติดกันเลย (5) ชายและหญิงนังสลับกันทีละคน (6) หัวแถวและท้ายแถวเป็นเพศเดียวกัน ตัวอย่าง 13 มีนักเรียนชาย-หญิงจํานวน 2 คนเท่าๆกัน ครูอีก 2 คน ถ้าต้องการจัดคนทังหมดยืนเรียงแถวหน้ากระดาน จะได้กีวิธีเมือ (1) ไม่มีเงือนไขเพิมเติม (2) ครู 2 คนยืนติดกัน (3) ครูยืนในตําแหน่งหัวแถวและท้ายแถว (4) ไม่มีนักเรียนชายทียืนติดกัน (5) นักเรียนชายยืนติดกันกัน นักเรียนหญิงยืนติดกัน และครูยืนหัวแถว ท้ายแถว
- 206. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 204 ตัวอย่าง 14ตัวอักษรในคําว่า “TOYOTA” จะมีวิธีเรียงสับเปลียนเป็นคําต่างๆ โดยไม่คํานึงถึงความหมาย ได้ทังหมดกีวิธี (1) ไม่มีเงือนไขเพิมเติม (2) อักษร Y และ A อยู่ติดกัน (3) T สองตัวอยู่ติดกัน และ O สองตัวอยู่ติดกัน (4) อักษร Y และ A ไม่อยู่ติดกัน ตัวอย่าง 15 ถ้าเลขโดด 1, 1, 1, 2, 2, 3 มาสับเปลียนเพือสร้างเป็นจํานวน 6 หลัก จะได้กีจํานวนเมือ (1) ไม่มีเงือนไขเพิมเติม (2) จํานวนทีได้เป็นจํานวนคู่ (3) จํานวนทีได้เป็นจํานวนคี (4) จํานวนทีได้เกิน 2 แสน
- 207. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 205 ตัวอย่าง 16 มีคน6 คน ในจํานวนนีมี Aและ B รวมอยู่ด้วย จัดคนทัง 6 คนนีนังรอบโต๊ะกลมตัวหนึงจะได้กีวิธี เมือ (1) ไม่มีข้อกําหนดเพิมเติม (2) ให้ A นังติดกับ B (3) ให้ A นังแยกกับ B (4) ให้ A นังตรงข้ามกับ B ตัวอย่าง 17 ครอบครัวหนึงมีพ่อ แม่ ลูกชาย 2 คน และลูกสาว 2 คน จัดคนทังหมดนังรับประทานอาหารรอบโต๊ะกลม จะได้กีวิธี เมือ (1) พ่อและแม่นังติดกัน (2) ลูกสาวสองคนนังติดกัน (3) ลูกชายสองคนไม่นังติดกัน (4) พ่อและแม่นังตรงข้ามกัน
- 208. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 206 5. วิธีจัดหมู่(Combination) การนําสิงของทีมีความแตกต่างกันทังหมดหรือเพียงบางส่วนมาจัดหมู่ โดยไม่ถือตําแหน่งหรือลําดับก่อนหลัง เป็นสําคัญ เช่น การเลือกหยิบของพร้อมกันจากจํานวนทีมีอยู่ การสร้างสับเซต สูตรทีควนรู้ ถ้ามีสิงของ n สิงทีแตกต่างกันทังหมด หยิบหรือเลือกออกมา r สิงรวมเป็นหมู่ (หยิบพร้อมกัน) จํานวนวิธีทีได้ทังหมดเท่ากับ n r n n! C r (n r)!r! ตัวอย่าง 18 จงตอบคําถามต่อไปนี (1) การเลือกปากกาสี 3 แท่งจากปากกาสีต่างกัน 12 สีๆละ 1 แท่ง มีจํานวนวิธีเท่ากับ .............................................. วิธี (2) มีรายชือนักเรียนในกล่องจํานวน 8 รายชือ สุ่มเลือกหยิบรายชือนักเรียนมา 5 รายชือ มีจํานวนวิธีเท่ากับ .............................................. วิธี (3) ในกล่องใบหนึงมีลูกบอลทีเขียนด้วยหมายเลข 1 ถึง 9 อย่างละลูก สุ่มหยิบลูกบอลมาพร้อมกัน 7 ลูก มีจํานวนวิธีเท่ากับ .............................................. วิธี (4) เลือกนักเรียน 2 คนจากนักเรียนห้องนีทีมี ....... คน มีจํานวนวิธีเท่ากับ .............................................. วิธี (5) ในถุงใบหนึงมีลุกบอลขนาดเดียวกัน 5 ลูก สีแตกต่างกัน เลือกมา 3 ลูก มีจํานวนวิธีเท่ากับ .............................................. วิธี ตัวอย่าง 19 ชายคนหนึง มีเสือทีแตกต่างกัน 8 ตัว และกางเกงทีแตกต่างกัน 6 ตัว ถ้าเขาต้องการนําเสือ 5 ตัว และกางเกง 4 ตัว ไปต่างจังหวัด เขาจะมีวิธีการเลือกเสือและกางเกงทังหมดกีวิธี ตัวอย่าง 20 มีดินสอ 12 แท่ง ซึงมีสีแตกต่างกันทังหมด ต้องการหยิบทีละ 5 แท่ง จงหาวิธีทีแต่ละครังในการหยิบมา จะต้องมีดินสอสีเขียวอยู่ด้วยเสมอ
- 209. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 207 6. ความน่าจะเป็น การทดลองสุ่ม(Random Experiment) หมายถึง การทดลอง หรือการกระทําซึงทราบว่าผลลัพธ์ทีได้จากการทดลองนันทีเป็นไปได้มีอะไรบ้าง แต่ไม่ สามารถระบุได้แน่ชัดว่า ในการทดลองแต่ละครังจะเกิดผลลัพธ์อะไร จากผลลัพธ์ทังหมดเหล่านัน เช่น การโยนเหรียญ การโยนลูกเต๋า ฯลฯ ปริภูมิตัวอย่าง(Sample Space) หมายถึง เซตของผลลัพธ์ทีเราสนใจ ซึงเป็นไปได้ทังหมดจากการทดลองสุ่มใช้สัญลักษณ์ S แทนปริภูมิตัวอย่าง เหตุการณ์ (Event) หมายถึง สับเซตของปริภูมิตัวอย่าง ใช้สัญลักษณ์ E แทนเหตุการณ์ ดังนัน E เป็นเหตุการณ์ของปริภูมิตัวอย่าง S ก็ต่อเมือ E S หมายเหตุ 1. สามารถดําเนินการทางเซตได้กับเหตุการณ์สองเหตุการณ์ใดๆโดยมี S เป็นเอกภพสัมพัทธ์ 2. เพราะว่า S และ S S ดังนัน และ S เป็นเหตุการณ์ 3. ถ้า S เป็นเซตจํากัด และ E เป็นเหตุการณ์แล้ว E เป็นเซตจํากัด โดยที 0 n(E) n(S) n(E) = 0 เมือ E = n(E) = n(S) เมือ E = S ตัวอย่าง 21 จงเขียนเซต S ทีเป็นปริภูมิตัวอย่าง (sample space) ของการทดลองสุ่มต่อไปนี 1. การโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครัง สนใจแต้มทีได้ S = ................................................................................................................... 2. การโยนเหรียญเทียงตรง 1 เหรียญ1 ครัง สนใจหน้าทีหงาย S = ................................................................................................................... 3. การโยนเหรียญเทียงตรง 1 เหรียญ2 ครัง สนใจหน้าทีหงาย S = ................................................................................................................... 4. การโยนเหรียญเทียงตรง 2 เหรียญ1 ครัง สนใจหน้าทีหงาย S = ................................................................................................................... 5. การโยนลูกเต๋า 1 ลูกและเหรียญ 1 เหรียญพร้อมกัน สนใจแต้มและหน้าเหรียญ S = ................................................................................................................... 6. จากการโยนเหรียญ 3 เหรียญ สนใจการเกิดหัว(H)หรือก้อย(T) S = ...................................................................................................................
- 210. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 208 7. การโยนลูกเต๋า 2 ลูก1 ครัง สนใจแต้มทีเกิดขึนของลูกเต๋าแต่ละลูก ทัง 2 ลูก S = ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... ................................................................................................................... 8. การสุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูก จากกล่องใบหนึงทีมีลูกบอลสีแดง 2 สีนําเงิน 1 และสีขาว 1 ลูก (8.1) ถ้าสุ่มหยิบออกมาทีละลูกแล้วใส่คืน S = .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. (8.2) ถ้าสุ่มหยิบออกมาทีละลูกแล้วไม่ใส่คืน จะได้ปริภูมิตัวอย่างคือ S = .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. (8.3) ถ้าสุ่มหยิบออกมาพร้อมกัน 2 ลูก S = .................................................................................................................. .................................................................................................................. .................................................................................................................. ตัวอย่าง 22 ในการโยนเหรียญ4 เหรียญ ใน 1 ครัง ถ้าผลลัพธ์ทีสนใจคือ จํานวนเหรียญทีขึนหน้าหัวทีได้ ปริภูมิตัวอย่าง คือ S S = ………………......................................……………………………….…… ............................................................................................................... n(S) = …………………… ถ้า A แทนเหตุการณ์ทีมีเหรียญขึนหน้าหัว มากกว่าขึนหน้าก้อย แล้ว A = ……………………………………………………... n(A) = …………………… ถ้า B แทนเหตุการณ์ทีมีเหรียญขึนหน้าหัว และหน้าก้อยจํานวนเท่ากันแล้ว B = ……………………………………………………... n(B) = …………………
- 211. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 209 ตัวอย่าง 23 ในกล่องใบหนึงมีลูกบอลสีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก และสีนําเงิน 2 ลูก ถ้าหยิบลูกบอลจากล่องอย่างสุ่มจํานวน 2 ลูกพร้อมกัน จะได้ ปริภูมิตัวอย่าง =………………………………………………………………............................. จะได้ n(S) = ………………… เหตุการณ์ทีลูกบอลทัง 2 ลูกสีต่างกัน =………………………………………………………………. และมีจํานวนสมาชิก =……………… เหตุการณ์ทีลูกบอลทัง 2 ลูกสีเหมือนกัน =………………………………………………………………. และมีจํานวนสมาชิก =………… ตัวอย่าง 24 ในกล่องใบหนึงมีลูกบอลสีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก และสีนําเงิน 2 ลูก ถ้าหยิบลูกบอลจากล่องอย่างสุ่มจํานวน 2 ลูกทีละลูกและไม่ใส่คืนก่อนเลือกครังถัดไป จะได้ ปริภูมิตัวอย่าง =………………………………………………………………............................. จะได้ n(S) = ………………… เหตุการณ์ทีลูกบอลทัง 2 ลูกสีต่างกัน =………………………………………………………………. และมีจํานวนสมาชิก =……………… เหตุการณ์ทีลูกบอลทัง 2 ลูกสีเหมือนกัน =………………………………………………………………. และมีจํานวนสมาชิก =………… ตัวอย่าง 25 ในกล่องใบหนึงมีลูกบอลสีขาว 1 ลูก สีแดง 1 ลูก และสีนําเงิน 2 ลูก ถ้าหยิบลูกบอลจากล่องอย่างสุ่มจํานวน 2 ลูกทีละลูกและใส่คืนก่อนเลือกครังถัดไป จะได้ ปริภูมิตัวอย่าง =………………………………………………………………............................. จะได้ n(S) = ………………… เหตุการณ์ทีลูกบอลทัง 2 ลูกสีต่างกัน =………………………………………………………………. และมีจํานวนสมาชิก =……………… เหตุการณ์ทีลูกบอลทัง 2 ลูกสีเหมือนกัน =………………………………………………………………. และมีจํานวนสมาชิก =…………
- 212. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 210 ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ (Probabilityof Events) บทนิยาม ถ้า S เป็นปริภูมิตัวอย่างซึงเป็นเซตจํากัด และประกอบด้วยผลลัพธ์ทีมีโอกาสเกิดขึนเท่ากัน และ E เป็นเหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ P(E) P(E) หมายถึง อัตราส่วนของจํานวนผลลัพธ์ใน E ต่อจํานวนผลลัพธ์ใน S นันคือ n(E) P(E) n(S) คุณสมบัติบางประการเกียวกับความน่าจะเป็น 1. ถ้า E เป็นเหตุการณ์ใด ๆ แล้ว 0 P(E) 1 2 ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ในปริภูมิตัวอย่าง S จะได้ P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) P(A – B) = P(A) – P(AB) P(A) = 1 – P(A ) 3. ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ใด ๆ ในปริภูมิตัวอย่าง S ทีเป็นอิสระกัน ก็ต่อเมือ P(AB) = P(A)P(B) ตัวอย่าง 26 จากการสํารวจนักเรียนกลุ่มหนึงจํานวน 50 คน ได้ข้อมูลว่า มีนักเรียนทีสวมรองเท้าขนาดต่างๆ ดังนี เบอร์รองเท้า จํานวนนักเรียน 7 13 6 12 8 15 9 10 รวม 50 คน เมือเลือกนักเรียน 1 คน จากนักเรียนกลุ่มนี (1) ความน่าจะเป็นทีจะเลือกได้นักเรียนสวมรองเท้าเบอร์ 8 เท่ากับเท่าใด (2) ความน่าจะเป็นทีจะเลือกได้นักเรียนสวมรองเท้าเบอร์ 6 หรือเบอร์ 9 เท่ากับเท่าใด (3) ความน่าจะเป็นทีจะเลือกได้นักเรียนสวมรองเท้าเบอร์ทีขนาดน้อยกว่าเบอร์ 9 เท่ากับเท่าใด
- 213. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 211 ตัวอย่าง 27 ในการโยนลูกเต๋า 3 ลูก ใน 1 ครัง จงหา (1) ความน่าจะเป็นทีลูกเต๋าสามลูกนันขึนแต้มคีทังสามลูก (2) ความน่าจะเป็นทีลูกเต๋าสามลูกนันขึนแต้มเดียวกันทังสามลูก (3) ความน่าจะเป็นทีลูกเต๋าสามลูกนันขึนแต้มแตกต่างกัน ตัวอย่าง 28 สุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูกพร้อมกัน จากกล่องใบหนึง ซึงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูก และสีนําเงิน 4 ลูก จงหา (1) ความน่าจะเป็นทีจะได้ลูกบอลสีเดียวกันทังสองลูก (2) ความน่าจะเป็นทีจะได้ลูกบอลสีต่างกัน (3) ความน่าจะเป็นทีจะได้ลูกบอลสีนําเงินมาด้วยเสมอ
- 214. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 212 ตัวอย่าง 29 ในลินชักมีถุงเท้าสีขาว 4 คู่ สีดํา 3 คู่ และสีนําเงิน 2 คู่ แต่ไม่ได้จัดเรียงไว้เป็นคู่ๆ ถ้าสุ่มหยิบถุงเท้ามา 2 ข้าง จงหา (1) ความน่าจะเป็นทีจะได้ถุงเท้าสีขาวทังสองข้าง (2) ความน่าจะเป็นทีจะได้ถุงเท้าสีดําทังสองข้าง (3) ความน่าจะเป็นทีจะได้ถุงเท้าสีนําเงินทังสองข้าง (4) ความน่าจะเป็นทีจะได้ถุงเท้าสีเดียวกันทังสองข้าง (5) ความน่าจะเป็นทีจะได้ถุงเท้าสีต่างกัน ตัวอย่าง 30 ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ โดยที P(A) = 0.2 P(B) = 0.6 และ P(A B) 0.9 จงหา (1) P(A B) (2) P(A B) (3) P(A) (4) P(A B) ตัวอย่าง 31 ถ้า A และ B เป็นเหตุการณ์ โดยที P(A) = 0.7, P(B) = 0.4 และ P(A B) = 0.3 จงหา (1) P(A B) (2) P(B) (3) P(A B) (4) P(A B) (5) P(A – B)
- 215. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 213 ตัวอย่าง 32บัวขาวเข้าสอบสองวิชา คือ คณิตศาสตร์ และภาษไทย พบว่า ความน่าจะเป็นทีเขาจะสอบผ่านวิชาคณิตศาสตร์มีค่าเท่ากับ 2 5 ความน่าจะเป็นทีจะสอบตกภาษาไทยเท่ากับ 2 3 และความน่าจะเป็นทีเขาจะสอบผ่านอย่างน้อยหนึงวิชาเท่ากับ 3 5 จงหา (1) ความน่าจะเป็นทีเขาจะสอบผ่านทังสองวิชา (2) ความน่าจะเป็นทีเขาจะสอบผ่านอย่างมากหนึงวิชา (3) ความน่าจะเป็นทีเขาจะสอบผ่านคณิตศาสตร์แต่ตกภาษาไทย (4) ความน่าจะเป็นทีเขาจะสอบผ่านภาษไทยแต่ตกคณิตศาสตร์ ตัวอย่าง 4 ในการยิงนาย ก แต่ละนัดของเขา ความน่าจะเป็นทีจะยิงถูกเป้ าหมายเท่ากับ 4 5 ถ้านาย ก ยิงปืน 5 นัด จงหาความน่าจะเป็นทีเขาจะ (1) ยิงถูกเป้ า 3 นัด (2) ยิงไม่ถูกเป้ า 4 นัด
- 216. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 214 Onet 2549 1. ข้อสอบชุดหนึงมี 2 ตอน ตอนทีหนึง มี 5 ข้อ ให้เลือกตอบว่าจริงหรือเท็จ ตอนทีสอง มี 5 ข้อ เป็นข้อสอบแบบ 4 ตัวเลือก ถ้าต้องตอบข้อสอบชุดนีทุกข้อโดยไม่เว้น แล้วจะมีวิธีตอบข้อสอบชุดนีได้ต่างๆ กันทังหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 2 4 5 5 วิธี 2. 5 4 2 5 วิธี 3. 5 5 2 4 วิธี 4. 2 5 5 4 วิธี 2. ในการออกรางวัลแต่ละงวดของกองสลาก ความน่าจะเป็นทีรางวัลเลขท้าย 2 ตัวจะออกหมายเลขทีมี หลักหน่วยเป็นเลขคี และหลักสิบมากกว่าหลักหน่วยอยู่ 1 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 0.04 2. 0.05 3. 0.20 4. 0.25 3. ในการเขียนตัวเลข 3 หลัก จากเลขโดด 1 ถึง 7 โดยทีเลขโดดในหลักทังสามไม่ซํากันเลย จะมีวิธีเขียนตัวเลขเหล่านีทีแสดงจํานวนคีได้กีวิธี 4. มีกล่อง 2 ใบ แต่ละใบมีลูกบอลหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 อยู่อย่างละลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอล 2 ลูก จากกล่องทังสองใบนี กล่องละลูก แล้วความน่าจะเป็นทีจะได้ลูกบอลหมายเลขต่างกันเท่ากับเท่าใด
- 217. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 215 5. จากการสํารวจนักเรียนกลุ่มหนึงจํานวน100 คน ได้ข้อมูลว่า มีนักเรียนทีสวมรองเท้าขนาดต่างๆ ดังนี เบอร์รองเท้า จํานวนนักเรียน 5 3 6 12 7 35 8 27 9 16 10 7 รวม 100 คน เมือเลือกนักเรียน 1 คน จากนักเรียนกลุ่มนี ความน่าจะเป็นทีจะเลือกได้นักเรียนสวมรองเท้าเบอร์ 6 หรือเบอร์ 7 เท่ากับเท่าใด Onet 2550 6. ความน่าจะเป็นทีรางวัลเลขท้าย 2 ตัว ของสลากกินแบ่งรัฐบาลจะออกเลขทังสองหลักเป็นเลขเดียวกัน เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 10 2. 2 10 3. 1 9 4. 2 9 7. โยนลูกเต๋า 3 ลูก ความน่าจะเป็นทีลูกเต๋าจะขึนแต้มคีอย่างน้อย 1 ลูก เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 2 3 2. 5 8 3. 3 4 4. 7 8 8. จากการสํารวจนักเรียนห้องหนึงจํานวน 30 คน พบว่ามีนักเรียนไม่ชอบรับประทานปลา 12 คน และชอบรับประทานปลาหรือกุ้ง 23 คน ถ้าสุ่มนักเรียนมา 1 คน ความน่าจะเป็นทีจะได้นักเรียนทีชอบ รับประทานกุ้งเพียงอย่างเดียวมีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 6 2. 1 5 3. 2 5 4. 3 5
- 218. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 216 Onet 2551 9. ครอบครัวหนึงมีพีน้อง 6 คน เป็นชาย 2 คน หญิง 4 คน จํานวนวิธีทีจะจัดให้คนทังหกยืนเรียงกันเพือถ่ายรูป โดยให้ชายสองคนยืนอยู่ริมสองข้างเสมอ เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 12 วิธี 2. 24 วิธี 3. 36 วิธี 4. 48 วิธี 10. กล่องใบ 12 ใบ มีหมายเลขกํากับเป็นเลข 1, 2, ..., 12 และกล่องแต่ละใบบรรจุลูกบอล 4 ลูก เป็นลูกบอลสีดํา สีแดง สีขาว และสีเขียว ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลจากกล่องแต่ละใบๆละ 1 ลูก แล้วความน่าจะเป็นทีจะหยิบได้ลูกบบอลสีแดงจากกล่อง หมายเลขคี และได้ลุกบอลสีดําจากกล่องใบหมายเลขคู่ เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 2 1 12 2. 12 1 4 3. 12 1 2 4. 4 1 12 11. กําหนดให้ A = {1, 2, 3} B = {5, 6, ... , 14} และ r = {(m, n) | m A และ n B } ถ้าสุ่มหยิบคู่อันดับ 1 คู่ จากความสัมพันธ์ r แล้วความน่าจะเป็นทีจะได้คู่อันดับ (m, n) ซึง 5 หาร n แล้วเหลือเศษ 3 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 15 2. 1 10 3. 1 5 4. 3 5
- 219. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 217 12. ช่างไฟคนหนึงสุ่มหยิบบันได1 อัน จากบันได9 อัน ซึงมีความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, และ 12 ฟุต แล้วนํามาพาดกับกําแพงโดยให้ปลายข้างหนึงห่างจากกําแพง 3 ฟุต ความน่าจะเป็นทีบันไดจะทํามุมกับพืนราบน้อยกว่า o 60 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 9 2. 2 9 3. 3 9 4. 4 9 Onet 2552 13. พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. การทดลองสุ่มเป็นการทดลองทีทราบว่าผลลัพธ์อาจเป็นอะไรได้บ้าง ข. แต่ละผลลัพธ์ของการทดลองสุ่มมีโอกาสเกิดขึนเท่าๆกัน ข้อสรุปใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก 2. ข้อ ก. ถูก แต่ ข้อ ข. ผิด 3. ข้อ ก. ผิด แต่ ข้อ ข. ถูก 4. ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผิด 14. โรงเรียนแห่งหนึงมีรถโรงเรียน 3 คัน นักเรียน 9 คน กําลังเดินไปขึนรถโรงเรียนโดยสุ่ม ความน่าจะเป็นทีไม่มีนักเรียนคนใดขึนรถคันแรกเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 9 1 3 2. 9 2 3 3. 3 1 9 4. 3 2 9 15. ในการคัดเลือกคณะกรรมการหมู่บ้านซึงประกอบด้วยประธานฝ่ายชาย 1 คน ประธานฝ่ายหญิง 1 คน กรรมการฝ่ายชาย 1 คน และกรรมการฝ่ายหญิง 1 คน จากผู้สมัครชาย 4 คน และหญิง 8 คน มีวิธีการเลือกคณะกรรมการได้กีวิธี 1. 168 วิธี 2. 324 วิธี 3. 672 วิธี 4. 1,344 วิธี
- 220. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 218 16. มาลีต้องการเดินทางจากเมืองA ไปยังเมือง C โดยต้องเดินทางผ่านไปยังเมือง B ก่อนจากเมือง A ไปยังเมือง B มาลีสามารถเลือกเดินทางโดยรถยนต์ รถไฟ หรือ เครืองบินได้ แต่จากเมือง B ไปยังเมือง C สามารถเดินทางไปทางเรือ รถยนต์ รถไฟ หรือ เครืองบิน ข้อใดต่อไปนีคือจํานวนวิธีในการเดินทางจากเมือง A ไปยังเมือง C ทีจะต้องเดินทางโดยรถไฟเป็นจํานวน 1 ครัง 1. 5 วิธี 2. 6 วิธี 3. 8 วิธี 4. 9 วิธี 17. โรงแรมแห่งหนึงมีห้องว่างชันทีหนึง 15 ห้อง ชันทีสอง 10 ห้อง ชันทีสาม 25 ห้อง ถ้าครูสมใจต้องการเข้า พักในโรงแรมแห่งนีโดยวิธีสุ่มแล้ว ความน่าจะเป็นทีครูสมใจจะได้เข้าพักห้องชันทีสองของโรงแรมเท่ากับข้อใด 1. 1 10 2. 1 5 3. 3 10 4. 1 2 18. ในการหยิบบัตรสามใบ โดยหยิบทีละใบจากบัตรสีใบ ซึงมีหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กํากับ ความน่าจะเป็นทีจะได้ผลรวมของตัวเลขบนบัตรสองใบแรกน้อยกว่าตัวเลขบนบัตรใบทีสามเท่ากับข้อใด 1. 1 4 2. 3 4 3. 1 2 4. 2 3 Onet 2553 19. ทาสีเหรียญสามอันดังนี เหรียญแรกด้านหนึงทาสีขาว อีกด้านหนึงทาสีแดง เหรียญทีสองด้านหนึงทาสีแดง อีกด้านหนึงทาสีฟ้ า เหรียญทีสามด้านหนึงทาสีฟ้ า อีกด้านหนึงทาสีขาว โยนเหรียญทังสามขึนพร้อมกัน ความน่าจะเป็นทีเหรียญจะขึนหน้าต่างกันทังหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 2 2. 1 4 3. 1 8 4. 1 16
- 221. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 219 20. กล่องใบหนึงบรรจุสลากหมายเลข1 10 หมายเลขล่ะ 1 ใบ ถ้าสุ่มหยิบสลากจํานวนสองใบ โดยหยิบทีละ ใบแบบไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นทีจะหยิบได้สลากหมายเลขตํากว่า 5 เพียงหนึงใบเท่านัน เท่ากับข้อใด 1. 2 9 2. 8 15 3. 2 35 4. 11 156 21. ในการวัดส่วนสูงนักเรียนแต่ละคนในชัน พบว่านักเรียนทีสูงทีสุดสูง 177 เซนติเมตร และนักเรียนทีเตียทีสุด สูง 145 เซนติเมตร พิจารณาเซตของส่วนสูงต่อไปนี S = { H | H เป็นส่วนสูงในหน่วยเซนติเมตรของนักเรียนในชัน} T = { H | 145 H 177 } เซตใดถือเป็นปริภูมิตัวอย่าง (แซมเปิลสเปซ) สําหรับการทดลองสุ่มนี 1. S และ T 2. S เท่านัน 3. T เท่านัน 4. ทัง S และ T ไม่เป็นปริภูมิตัวอย่าง 22. ในการเลือกคณะกรรมการชุดหนึง ซึงประกอบด้วย ประธาน รองประธาน และเลขานุการอย่างล่ะ 1 คน จากหญิง 6 คน และชาย 4 คน ความน่าจะเป็นทีคณะกรรมการชุดนีจะมีประธานและรองประธานเป็นหญิง เท่ากับข้อใด 1. 1 18 2. 1 12 3. 1 9 4. 1 3 23. ตู้นิรภัยมีระบบล็อกทีเป็นรหัสประกอบด้วยเลขโดด 0 ถึง 9 จํานวน 3 หลัก จํานวนรหัสทังหมดทีมีบางหลักซํากัน คือเท่าใด
- 222. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 220 24. จํานวนวิธีในการจัดให้หญิง3 คน และชาย 3 คน นังเรียงกันเป็นแถว โดยให้สามีภรรยาคู่หนึงนังติดกันเสมอมีทังหมดกีวิธี Onet 2554 25. กล่องใบหนึงมีลูกบอล 10 ลูก เป็นสีแดง 1 ลูก สีนําเงิน 2 ลูก และสีขาว 2 ลูก นอกนันเป็นสีอืนๆ ความน่าจะเป็นทีจะหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกล่องใบนีให้ได้สีแดง 1 ลูก สีนําเงิน 1 ลูก และไม่ได้สีขาว เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 12 2. 1 10 3. 7 60 4. 2 15 26. สลากชุดหนึงมี 10 ใบ มีหมายเลข 1 10 กํากับ ความน่าจะเป็นทีจะหยิบสลากพร้อมกัน 3 ใบให้มีแต้มรวม เป็น 10 และไม่มีสลากใบใดหมายเลขสูงกว่า 5 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 60 2. 1 40 3. 1 30 4. 1 20 27. ถ้านําตัวอักษรจากคําว่า AVATAR มาจัดเรียงเป็นคําต่างๆ โดยไม่จําเป็นต้องมีความหมาย จะจัดเป็นคําทีแตกต่างกันได้กีวิธี
- 223. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 221 28. ต้องการจัดทีนังให้ผู้ใหญ่3 คน กับเด็ก 4 คน เดินทางด้วยรถยนต์ 7 ทีนังโดยคนขับต้องเป็นผู้ใหญ่ จะมีจํานวนวิธีการจัดได้กีวิธี 29. เสือ 50 ตัวบรรจุในกล่องใบหนึงมีขนาดและสีต่างๆเป็นจํานวนตามตารางต่อไปนี สุ่มหยิบเสือมา 1 ตัว ความน่าจะเป็นทีจะได้เสือสีเขียวขนาด L หรือ สีส้มขนาด S เท่ากับข้อใด Onet 2555(ยังไม่มีข้อสอบเผยแพร่) Onet 2556 30. ในการจัดคน 4 คนนังเป็นวงกลม ถ้าใน 4 คนนีมีฝาแฝด 1 คู่ ความน่าจะเป็นทีฝาแฝดจะได้นังติดกันเท่ากับข้อ ใดต่อไปนี 1. 1 4 2. 1 3 3. 1 2 4. 2 3 5. 3 4 สี ขนาด แดง เขียว เหลือง นําเงิน ส้ม รวม S 2 1 2 3 1 9 M 4 5 5 2 3 19 L 3 3 3 4 5 18 XL 1 1 0 1 1 4 รวม 10 10 10 10 10 50
- 224. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 222 31. ในปีพ.ศ.2557 ประเทศไทยมีความน่าจะเป็นทีจะประสบภาวะนําท่วมเท่ากับ 3 11 และความน่าจะเป็นทีจะ ประสบภัยแล้งเท่ากับ 1 3 ถ้าความน่าจะเป็นทีจะประสบภาวะนําท่วมหรือภัยแล้งเท่ากับ 6 11 แล้วความน่าจะเป็นทีประเทศไทยจะประสบทังภาวะนําท่วมและภัยแล้งในปีพ.ศ. 2557 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 33 2. 2 33 3. 1 11 4. 2 11 5. 3 11 32. ขวดโหลใบหนึงบรรจุลูกแก้วสีแดง 6 ลูก สีเขียว 3 ลูก และสีเหลือง 1 ลูก หยิบลูกแก้วออกมา 2 ลูกพร้อมกัน ความน่าจะเป็นทีจะหยิบได้ลูกแก้วทีมีสีต่างกันเท่ากับเท่าใด Onet 2557 33. ครอบครัวหนึงมีพ่อ แม่ และลูก 2 คน ไปเทียวสวนสนุกแห่งหนึง ถ้าจัดคนทังสีถ่ายรูปกับรูปปันโดเรมอน โดยยืน เรียงกันให้โดเรมอนอยู่ตรงกลาง และลูกทังสองคนไม่ยืนติดกัน จะมีจํานวนวิธีจัดได้กีวิธี 1. 8 2. 10 3. 12 4. 16 5. 18
- 225. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 223 34. กนกมีถุงเท้าสีขาว1 คู่ สีนําเงิน 2 คู่ และสีดํา 3 คู่ เขาใส่ถุงเท้าไว้ในลินชักโดยไม่ได้จัดแยกเป็นคู่ ถ้าเขาสุ่ม หยิบถุงเท้าจากลินชักมา 2 ข้าง แล้วความนาจะเป็นทีจะได้ถุงเท้าสีเดียวกันมีค่าเท่ากับเท่าใด 1. 1 66 2. 1 22 3. 1 11 4. 1 6 5. 1 3 35. ถ้าแต่ละวันในเดือนสิงหาคม มีความน่าจะเป็นทีจะมีฝนตกตอนเช้าหรือตอนเย็นเท่ากับ 0.86 ความน่าจะเป็นที จะมีฝนตกตอนเย็นเท่ากับ 0.67 และความน่าจะเป็นทีจะมีฝนตกทังตอนเช้าและตอนเย็นเท่ากับ 0.35 แล้ว ความน่าจะเป็นทีจะมีฝนตกในตอนเช้ามีค่าเท่ากับเท่าใด Onet 2558 36. มีถนน 2 สายทีเชือมระหว่างบ้านของสมชายกับโรงเรียนของเขา ถ้าความน่าจะเป็นทีสมชายเดินทางไป โรงเรียนโดยใช้ถนนสายที 1 มีค่าเท่ากับ 0.7 และความน่าจะเป็นทีสมชายเดินทางกลับจากโรงเรียนโดยใช้ ถนนสายที 2 มีค่าเท่ากับ 0.6 แล้วความน่าจะเป็นทีเขาจะเดินทางไปและกลับระหว่างบ้านและโรงเรียนโดยใช้ ถนนสายเดียวกันเท่ากับเท่าใด 1. 0.46 2. 0.40 3. 0.28 4. 0.18 5. 0.12
- 226. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 224 37. ตู้บรรจุลูกบอลสีเขียวสีเหลือง และสีแดง มีจํานวนลูกบอลเป็นอัตราส่วนดังนี สีเขียว : สีเหลือง เท่ากับ 4 : 7 และ สีเหลือง : สีแดง เท่ากับ 3 : 4 ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลมาหนึงลูกจากตู้ใบนี แล้วความน่าจะเป็นทีจะหยิบได้ ลูกบอลสีเหลืองเท่ากับเท่าใด 1. 1 3 2. 2 5 3. 5 9 4. 10 13 5. 21 61 38. ผลการสํารวจขนาดของเสือยืดสําหรับนักเรียนชัน ม.6 จํานวน 250 ตัว เป็นดังนี ขนาด จํานวนนักเรียน(คน) S 28 M 96 L 73 XL 39 XXL 14 รวม 250 ถ้าสุ่มนักเรียนกลุ่มนีมา 1 คน ความน่าจะเป็นทีนักเรียนคนนีจะสวมเสือยืดขนาด M หรือ XL เท่ากับเท่าใด
- 227. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 225 Onet 2559 39. สโมสรแห่งหนึงมีสมาชิกเป็นชาย m คน เป็นหญิง w คน ต่อมามีสมาชิกเพิมขึน โดยเป็นชายอีก 25 คน และเป็นหญิงอีก 35 คน ถ้าสุ่มสมาชิกมาหนึงคนจากทังหมด แล้วความน่าจะเป็นทีจะได้สมาชิกเป็นชาย เท่ากับเท่าใด 1. m w 2. m w m 3. m 25 w 35 4. m 25 m w 35 5. m 25 m w 60 40. ถ้าการทีครอบครัวจะมีลูกชายหรือลูกสาวมีโอกาสเท่าๆกัน แล้วจํานวนสมาชิกของเหตุการณ์ทีครอบครัวทีมี ลูก 4 คน มีลูกคนทีสองเป็นหญิง และลูกคนทีสีเป็นชาย เท่ากับเท่าใด 1. 4 2. 6 3. 8 4. 10 5. 16 41. ทาสีเหรียญสามอัน ดังนี เหรียญแรก ด้านหนึงทาสีขาว อีกด้านหนึงทาสีแดง เหรียญทีสอง ด้านหนีงทาสีฟ้ า อีกด้านหนึงทาสีแดง เหรียญทีสาม ด้านหนึงทาสีฟ้ า อีกด้านหนึงทาสีขาว ถ้าโยนเหรียญทังสามอันนีพร้อมกัน แล้วความน่จะเป็นทีเหรียญทังสามจะขึนหน้าเหรียญต่างสีกันทังหมด เท่ากับเท่าใด
- 228. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 226 ขอบเขตของเนือหาข้อสอบ onet ในแต่ละปีจะมีประมาณ 6 - 7 ข้อ(3 ปีล่าสุด ปีละ 6 ข้อ) โดยมีขอบเขตเนือหาทีเคยออกข้อสอบได้แก่ ความเข้าใจเกียวกับกระบวนการทางสถิติ ความเข้าใจเกียวกับข้อมูล เชิงปริมาณ เชิงคุณภาพ ปฐมภูมิ ทุติยภูมิ และการเก็บรวบรวมข้อมูล ความเข้าใจเกียวกับการแจกแจงความถี ได้แก่ ตาราง แผนภาพต้น–ใบ ฮีสโทแกรม ความเข้าใจเกียวกับการวัดค่ากลาง ค่าเฉลียเลขคณิต ค่ามัธยฐาน และฐานนิยม และการเลือกใช้ ค่ากลางให้เพมาะสมกับข้อมูล หาค่ากลางของข้อมูลได้แก่ ค่าเฉลียเลขคณิต ค่ามัธยฐาน และฐานนิยม สําหรับข้อมูลทีไม่ได้แจก แจงเป็นอัตรภาคชัน และแจกแจงเป็นอันตรภาคชัน หาค่าการวัดตําแหน่งได้แก่ ควอร์ไทล์ เดไซน์ และเปอร์เซ็นไทล์ ได้สําหรับข้อมูลทีไม่ได้แจกแจงเป็น อัตรภาคชัน หาค่าการวัดการกระจายของข้อมูล เน้นค่าพิสัย ส่วนเบียงเบนมาตรฐาน ความแปรปวน และความ แปรปรวนรวม การอ่านแผนภาพกล่อง(box-and-whisker-plot) ความเข้าใจขันตอนการสํารวจความคิดเห็น 1. สถิติและข้อมูล ความหมายของสถิติ มีอยู่ 2 ประการ คือ สถิติ หมายถึง ตัวเลขทีแสดงข้อเท็จจริงของข้อมูล สถิติ หมายถึง ศาสตร์หรือหลักการทีมีระเบียบวิธี ทีเรียกว่าระเบียบการทางสถิติ โดยมีกระบวนการทีสําคัญ 4 ขันตอนคือ การเก็บรวบรวมข้อมูล การวิเคราะห์ข้อมูล การนําเสนอข้อมูล การตีความหมายของข้อมูล ประเภทของสถิติ แยกได้ 2 ประเภทดังนี สถิติเชิงพรรณนา หมายถึง วิธีการคิดวิเคราะห์ข้อมูลเบืองต้น เพืออธิบายลักษณะกว้างๆข้อมูลนัน โดยไม่ได้นํา ผลนันไปทํานาย คือคาดคะเนเกียวกับเหตุการณ์อืนๆ เช่นการหาค่ากลาง การวัดการกระจายของข้อมูล แล้วนําเสนอ ด้วยกราฟ ตาราง เป็นต้น สถิติเชิงอนุมาน หมายถึง วิธีการคิดวิเคราะห์ข้อมูลจากลุ่มตัวอย่าง โดยต้องเป็นตัวอย่างทีดี ซึงอาจจะเป็น การวิเคราะห์ชันสูงเพือหาข้อสรุป หลังจากนันนําผลสรุปทีได้ไปทดสอบเพือทีจะนําผลไปคาดคะเน หรือทํานายเกียวกับ ส่วนรวมหรือผลทีเกิดขึนในอนาคต และข้อมูลทีได้จากการวิเคราะห์เราเรียกว่า สารสนเทศ หรือข่าวสาร
- 229. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 227 ความหมายของคําต่างๆ ทีใช้ในวิชาสถิติ ประชากรหมายถึง กลุ่มของสิงต่างๆ ทังหมด ทีเราต้องการศึกษา ตัวอย่าง หมายถึง ส่วนหนึงหรือสับเซตหรือเป็นตัวแทนของประชากรและเป็นส่วนทีเรานํามาหาข้อมูล พารามิเตอร์ หมายถึง ค่าต่างๆทีแสดงลักษณะของประชากร เช่น ค่าเฉลียเลขคณิต( ) ส่วนเบียงเบน มาตรฐาน( ) ร้อยละ อัตราส่วน เป็นต้น ค่าสถิติ หมายถึง หมายถึง ค่าต่างๆทีแสดงลักษณะของตัวอย่าง เช่น ค่าเฉลียเลขคณิต( x ) ส่วนเบียงเบน มาตรฐาน(s หรือ SD) ร้อยละ อัตราส่วน เป็นต้น ข้อมูล หมายถึง สิงหรือข้อความจริงทีอาจจะแสดงได้ด้วยตัวเลขหรือข้อความทีบอกถึงสภาพหรือสถานการณ์ ใดสถานการณ์หนึง ประเภทของข้อมูล (1) จําแนกตามลักษณะของข้อมูล ข้อมูลเชิงปริมาณ หมายถึงข้อมูลทีแสดงขนาดหรือปริมาณทีวัดออกมาเป็นจํานวน ทีสามารถนํามา เปรียบเทียบกันได้โดยตรง ข้อมูลเชิงคุณภาพ หมายถึง ข้อมูลทีไม่สามารถวัดออกมาเป็นจํานวนได้โดยตรง แต่สามารถอธิบาย ลักษณะรูปร่าง ขนาด หรือคุณสมบัติของสิงทีวัดออกมา เช่น เพศ อาชีพ ศาสนา ความชอบ เป็นต้น (2) จําแนกตามการเก็บรวบรวมข้อมูล ข้อมูลปฐมภูมิ คือ ข้อมูลทีเราเก็บรวบรวมจากแหล่งทีมาของข้อมูลโดยตรง มี 2 วิธีกว้างๆ คือ การสํามะโน เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกหน่วยของกลุ่มประชากร ซึงสามารถทําได้ โดยการสัมภาษณ์ การส่งแบบสอบถาม การสอบถามทางโทรศัพท์ การสังเกต การทดลอง การสํารวจจากกลุ่มตัวอย่าง เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่าง โดยแต่ละหน่วย ในกลุ่มตัวอย่างต้องเป็นตัวแทนทีมีลักษณะหรือคุณสมบัติทีใกล้เคียงกับหน่วยอืนๆในกลุ่ม ประชากรทีไม่ถูกเลือกมา ข้อมูลทุติยภูมิ คือข้อมูลทีเราได้มาจากแหล่งทีมีผู้อืนเก็บรวบรวมไว้แล้ว เช่น นําข้อมูลมาจากรายงาน ต่างๆของหน่วยงานราชการและองค์กรของรัฐบาล หรือเอกชน 2. การวิเคราะห์ข้อมูลเบืองต้น เป็นการวิเคราะห์เพือหาลักษณะ หรือสมบัติต่างๆของข้อมูลชุดนัน เพือนําไปสรุปภาพรวมของข้อมูงดังกล่าว ตัวแปรและค่าจากการสังเกต ตัวแปร หมายถึง ลักษณะหรือสิงทีต้องการศึกษาในประชากร ค่าของตัวแปรทีมีโอกาสเกิดขึนได้ ทังหมดเรียกว่า “ค่าทีเป็นไปได้” ส่วนค่าทีเกิดขึนจริงของตัวแปรเรียกว่า “ค่าจากการสังเกต” การแจกแจงความถีข้อมูล ความถี คือ จํานวนทีเกิดขึนของแต่ละค่าจากการสังเกต ความถีสะสม คือ ผลรวมของความถีของค่านันหรือันตรภาคชันนันกับความถีของค่าทีมีน้อยกว่าทังหมด หรือสูงกว่าทังหมดอย่างหนึงอย่างใด
- 230. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 228 ความถีสัมพันธ์ ของค่าใดคือ ความถีของค่านันหารด้วยผลรวมของความถีทังหมด ความถีสะสมสัมพันธ์ ของค่าใด คือ ความถีสะสมของค่านันหารด้วยผลรวมของความถีทังหมด อัตราภาคชัน เป็นการแบ่งค่าทีได้จากการสังเกตออกเป็นช่วงๆ แต่ละช่วงเรียกว่าอันตรภาคชัน ขอบล่าง(L) ของอันตรภาคชัน คือค่ากึงกลางระหว่างค่าน้อยทีสุดในอัตรภาคชันนันกับค่าทีมากทีสุด ของอันตรภาคชันทีติดกันและตํากว่า ขอบบน(U) ของอันตรภาคชัน คือค่ากึงกลางระหว่างค่าทีมากทีสุดในอันตรภาคชันกับค่าทีน้อยทีสุด ของอันตรภาคชันทีติดกันและสูงกว่า ความกว้างของอันตรภาคชัน(I) = ขอบบน – ขอบล่าง จุดกึงกลางของอันตรภาคชัน( ix ) = ขอบล่าง + ขอบบน 2 = ค่ามากสุด + ค่าน้อยสุด 2 การแจกแจงความถีโดยใช้กราฟ (1) ฮิสโทแกรม และ รูปหลายเหลียมของความถี ฮิสโทแกรม รูปหลายเหลียมของความถี (2) เส้นโค้งของความถี ซึงเส้นโค้งของความถีของข้อมูลมี 3 ลักษณะ คือ เส้นโค้งปกติ เส้นโค้งเบ้ขวา เส้นโค้งเบ้ซ้าย (3) แผนภาพต้นใบ(stem-and-leaf plot) เช่น ข้อมูลชุดที 1 ข้อมูลชุดที 2 ข้อมูลได้แก่ ....................................................... ข้อมูลชุด 1 ได้แก่ ....................................................... ...................................................................... ข้อมูลชุด 2 ได้แก่ ....................................................... ความถี ความถี ข้อมูล ข้อมูล 1 7 8 3 2 6 6 4 2 4 5 7 5 1 2 9 8 0 9 1 6 5 3 1 1 2 3 0 2 4 4 5
- 231. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 229 ตัวอย่าง 1ตารางแสดงคะแนนของนักเรียนจํานวน 50 คน เป็นดังนี คะแนน จํานวนคน ความถีสะสม ขอบล่าง ขอบบน ความกว้าง จุดกึงกลาง ความถีสัมพัทธ์ 51 – 60 5 61 – 70 12 71 – 80 18 81 – 90 8 91 – 100 7 สัญลักษณ์แทนการบวก (summation) N i 1 2 3 N i 1 x x x x ... x สมบัติของ summation N N N i i i i i 1 i 1 i 1 N N i i i 1 i 1 N i 1 1. x y x y 2. cx c x 3. c cN 3. การวัดค่ากลางของข้อมูล(measures of central value) ค่าเฉลียเลขคณิต(arithmetic mean) (1) ค่าเฉลียเลขคณิตกลุ่มประชากร(population mean) N i 1 2 3 N i 1 x x x x ... x N N เมือ N แทนจํานวนจากประชากร (2) ค่าเฉลียเลขคณิตกลุ่มตัวอย่าง(sample mean) n i 1 2 3 n i 1 x x x x ... x x n n เมือ n แทนจํานวนจากประชากร
- 232. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 230 (3) ค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมูลทีมีการแจกแจงความถีเป็นอันตรภาคชัน k i i i 1 k i i 1 f x x f เมือ i x แทนจุดกึงกลางชัน และ if แทนความถีในอันตรภาคชันที i (4) ค่าเฉลียเลขคณิตถ่วงนําหนัก n i i i 1 n i i 1 w x x w เมือ iw แทนนําหนักของค่าจากการสังเกต ix (5) ค่าเฉลีเลขคณิตรวม x รวม = k i i i 1 k i i 1 n x n เมือ ix แทนค่าเฉลียเลขคณิต และ in แทนจํานวนค่าจากการสังเกตของข้อมูลชุดที i มัธยฐาน(median) (1) มัธยฐานของข้อมูลทีไม่ได้แจกแจงความถีเป็นอันตรภาคชัน ตําแหน่งมัธยฐาน = n 1 2 เมือ เรียงข้อมูลจากน้อยมาก ถ้าตําแหน่งเป็นจํานวนเต็ม จะได้ N 1 ( ) 2 Med x ถ้าตําแหน่งไม่เป็นจํานวนเต็ม จะได้ n n ( ) ( 1) 2 2 x x Med 2 (2) มัธยฐานของข้อมูลทีแจกแจงความถีเป็นอันตรภาคชัน ตําแหน่งมัธยฐาน = n 2 เมือ เรียงข้อมูลจากน้อยมาก(สร้างความถีสะสม) Med = L M n f 2L I f ฐานนิยม(mode) (1) ฐานนิยมของข้อมูลทีไม่ได้แจกแจงความถีเป็นอันตรภาคชัน Mod = ค่าของข้อมูลทีมีความถีสูงสุด(บางข้อมูลอาจจะไม่มีฐานนิยมหรือมีสองค่าได้) หมายเหตุ สูตรในการคํานวณค่ากลางสามารถทําได้ทังสําหรับกลุ่มตัวอย่าง n หน่วย และกลุ่มประชากร N หน่วย ค่าเฉลียเรขาคณิตมีประโยชน์ในการหาค่าเฉลียของข้อมูลทีเกียวเนืองกับเวลาทีต่อเนือง ค่าเฉลียฮาร์โมนิกมีประโยชน์ในการหาค่าเฉลียของข้อมูลทีเป็นอัตราส่วนเช่นจํานวนสินค้าต่อหนึงบาท
- 233. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 231 สมบัติของค่ากลางทีควรทราบ (1) สมบัติของค่าเฉลียเลขคณิต 1. n i i1 x = n x 2. n i i 1 (x a) = 0 เมือ a = x (แสดงว่า x เป็นค่ากลางทีแบ่งนําหนักข้อมูล 2 ด้านสมดุลกัน) 3. n 2 i i 1 (x a) มีค่าน้อยทีสุด เมือ a = x (2) สมบัติของค่ามัธยฐาน : n i i 1 | x a | มีค่าน้อยทีสุด เมือ a = Med (3) สมบัติของค่าฐานนิยม : ในข้อมูลชุดหนึงอาจมี 2 จํานวน หรือ ไม่มี และข้อมูลคุณภาพนิยมใช้ (4) ให้ 1 2 nx , x ,..., x เป็นค่าจากการสังเกตชุดที 1 และ 1 2 ny , y ,..., y เป็นค่าจากการสังเกตชุดที 2 โดย i i y ax b เมือ a และ b เป็นค่าคงตัว จะได้ y ax b , y x Med a(Med ) b , y x Mod a(Mod ) b หลักการสําคัญในการใช้ค่ากลางชนิดต่างๆ 1. ค่าเฉลียเลขคณิตเป็นค่ากลางทีได้จากการนําทุกค่าของข้อมูลมาคํานวณ แต่มัธยฐานและฐานนิยมเป็น เพียงค่ากลางทีใช้ข้อมูลบางค่าเท่านัน ดังนันข้อมูลเชิงปริมาณจึงนิยมใช้ค่าเฉลียเลขคณิต 2. ถ้าในจํานวนข้อมูลทังหมดมีข้อมูลบางค่าทีมีค่าสูงหรือตํากว่าข้อมูลอืนๆมาก จะมีผลต่อค่าเฉลียเลขคณิต แต่ไม่มีผลต่อมัธยฐานหรือฐานนิยม ดังนันจึงนิยมใช้ค่ามัธยฐานแทนค่าเฉลียเลขคณิต 3. มัธยฐานและฐานนิยมใช้เพือการหาค่ากลางทีรวดเร็วและโดยประมาณ 4. ถ้าข้อมูลเป็นแบบอันตรภาคชันเปิดจะไม่สามารถคํานวณค่ากลางด้วยค่าเฉลียเลขคณิต แต่สามารถหา ค่ามัธยฐานหรือฐานนิยมได้ 5. กรณีทีอัตรภาคกว้างไม่เท่ากัน อาจจะทําให้ค่ากลางทีคํานวณจากค่าเฉลียเลขคณิตและฐานนิยมคาดเคลือน ไปได้ แต่ไม่มีผลต่อมัธยฐาน 6. ข้อมูลเชิงคุณภาพคํานวณได้จากฐานนิยมเท่านัน ความสัมพันธ์ระหว่างค่ากลางและการแจกแจงความถีของข้อมูล ความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งของความถีของข้อมูลทีมีการแจกแจงความถี และค่ากลาง มี 3 ลักษณะ คือ เส้นโค้งปกติ เส้นโค้งเบ้ขวา เส้นโค้งเบ้ซ้าย x Mode 3 x Median (Pearson’s Coefficial of Skewness) Mod < Med < x x < Med < Mod Mod = Med = x
- 234. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 232 ตัวอย่าง 2 กําหนดข้อมูล 10 จํานวนเรียงจากน้อยไปมากดังนี 6 7 7 8 9 9 9 10 10 11 จงหา (1) มัธยฐาน (2) ค่าเฉลียเลขคณิต (3) ฐานนิยม ตัวอย่าง 3 กําหนดคะแนนของการสอบคณิตศาสตร์ซึงมีคะแนนของนักเรียน แสดงด้วยแผนภาพ ต้น – ใบ ดังนี 1 7 2 0 4 5 8 3 0 2 3 3 3 8 4 0 3 5 5 0 จงหา (1) มัธยฐาน (2) ค่าเฉลียเลขคณิต (3) ฐานนิยม ตัวอย่าง 4 กําหนดตารางการแจกแจงความถีของข้อมูล 30 จํานวนเป็นดังนี จงหา(1) มัธยฐาน (2) ค่าเฉลียเลขคณิต คะแนน ความถี 0 – 4 5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 2 6 8 10 4
- 235. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 233 ตัวอย่าง 5 กําหนดเกรดวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชันมัธยมศึกษา 6 ของสมใจดังนี รายวิชา ค 33101 ค 33201 ค 33102 ค 33202 เกรด 3 4 4 3.5 หน่วยกิต 1.5 2 1.3 2 จงหาเกรดเฉลียของวิชาคณิตศาสตร์ 4 รายวิชานี ตัวอย่าง 6 นักเรียนห้องหนึงมี 30 คนสอบวิชาคณิตศาสตร์ได้คะแนนเฉลียเลขคณิต เท่ากับ 60 คะแนน ถ้ามีนักเรียนชายในห้องนัน 12 คน สอบได้คะแนนเฉลียเลขคณิต 54 คะแนน แล้วนักเรียนหญิงสอบได้คะแนนเฉลียเลขคณิตเท่ากับเท่าใด ตัวอย่าง 7 ข้อมูลชุดหนึงมี 6 จํานวน คือ 2, 3, 6, 11, A, B ถ้าค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมูลชุดนีเท่ากับ 8 และค่ามัธยฐานเท่ากับ 7 แล้ว |A B| เท่ากับเท่าใด
- 236. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 234 4. การวัดตําแหน่งทีของข้อมูล ควอไทล์ คือ ค่าทีแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆกันเมือเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ควอร์ไทล์ที k (Qk) เป็นค่าทีมีจํานวนในข้อมูลซึงน้อยกว่าค่านีอยู่ประมาณ k 4 ของ จํานวนข้อมูลทังหมด เดไซล์ คือ ค่าทีแบ่งข้อมูลออกเป็น 10 ส่วนเท่าๆกันเมือเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก เดไซล์ที k (Dk) เป็นค่าทีมีจํานวนค่าในข้อมูล ซึงน้อยกว่าค่านีอยู่ประมาณ k 10 ของจํานวนข้อมูลทังหมด เปอร์เซ็นไทล์ คือ ค่าทีแบ่งข้อมูลออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกันเมือเรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก เปอร์เซ็นไทล์ที k(Pk) เป็นค่าทีมีจํานวนค่าในข้อมูลซึงน้อยกว่าค่านีอยู่ประมาณ k 100 ของจํานวนข้อมูลทังหมด ขันตอนการหาค่าควอไทล์ เดไซน์ และเปอร์เซ็นไทล์ (1) นําข้อมูลมากเรียงจากน้อยไปมาก (2) หาตําแหน่งค่าของค่าทีต้องการหา ค่า k Q k D k P ตําแหน่ง k(N 1) 4 k(N 1) 10 k(N 1) 100 (3) หาค่าทีอยู่ในตําแหน่งนัน ถ้าตําแหน่งเป็นจํานวนเต็มจะได้ว่าข้อมูลทีอยู่ในตําแหน่งนันเป็นค่าทีต้องการ ถ้าตําแหน่งไม่เป็นจํานวนเต็มใช้การเทียบบัญญัติไตรยางศ์ ระหว่างตําแหน่งกับค่าของข้อมูลเพือหาค่า ตามทีต้องการ Q1 Q2 Q3 น้อย มาก D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 น้อย มาก P1 P2 P3 P4 P5 P97 P98 P99 น้อย มาก
- 237. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 235 ตัวอย่าง 8 กําหนดข้อมูล 14 จํานวนเรียงจากน้อยไปมากดังนี 10 11 12 12 15 20 23 25 27 33 34 34 37 38 จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี (1) มัธยฐาน (2) 3 Q (3) 8 D (4) 25 P ตัวอย่าง 9 ข้อมูลการสอบคณิตศาสตร์มีคะแนนของนักเรียน แสดงด้วยแผนภาพ ต้น – ใบ ดังนี 2 7 3 8 4 3 8 5 4 2 3 0 3 8 5 5 3 1 7 6 8 จงหาค่าในแต่ละข้อต่อไปนี (1) 1 Q (3) 4 D (4) 65 P (4) คะแนนทีมีจํานวนนักเรียนซึงมีคะแนนสอบไม่เกินคะแนนนีอยู่80% ของนักเรียนทังหมด
- 238. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 236 ตัวอย่าง 10 ในการสอบครังหนึงมีนักเรียน 12 คน ทีได้คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ไม่เกิน 30 คะแนน ถ้าเปอร์เซ็นไทล์ที 25 ของคะแนนสอบครังนีเท่ากับ 30 คะแนน จงหาจํานวนนักเรียนทังหมดทีเข้าสอบ ตัวอย่าง 11 จากตารางแจกแจงความถีของข้อมูลชุดหนึงปรากฏว่า มีข้อมูลทีตํากว่าคะแนน 49.5 อยู่ 7จํานวน และ มีข้อมูลทีตํากว่า 59.5 อยู่ 13 จํานวน ถ้า 1 Q = 54.5 จงหาจํานวนของข้อมูลชุดนี ตัวอย่าง 12 กําหนดให้ 1 2 3 10 x , x , x , ..., x เป็นข้อมูลทีเนรียงลําดับจากน้อยไปหามาก โดยที 10 i 3 i 1 x x 165 และเปอร์เซนไทล์ที 25 เท่ากับ 13.5 ถ้า 1x = 8 และ 2x = 12 แล้วค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมูลชุดนีเท่ากับเท่าใด
- 239. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 237 5. การวัดการกระจายของข้อมูล(measuresof dispersion) การวัดการกระจายของข้อมูล เป็นการศึกษาความแตกต่างกันของข้อมูลในชุดๆหนึง ถ้าข้อมูลแตกต่างกันน้อย เรากล่าวว่าข้อมูลนันมีการกระจายน้อย ในขณะทีข้อมูลแตกต่างกันมากเรากล่าวว่าข้อมูลนันมีการกระจายมาก ในทีนีจะกล่าวถึงเพียงสองวิธีคือ (1) พิสัย(range) เป็นการวัดการกระจายอย่างคร่าวๆ โดยมองเฉพาะความแตกต่างระหว่างข้อมูลทีมี ค่าสูงสุดและค่าตําสุดเท่านัน พิสัย = max min x x เมือ maxx และ minx เป็นค่าสูงสุดและค่าตําสุด ตามลพดับ (2) ส่วนเบียงเบนมาตรฐาน(standard deviation) ข้อมูลทีไม่ได้แจกแจงความถีประชากร 2 2 2i i(x ) x N N ข้อมูลทีไม่ได้แจกแจงความถีกลุ่มตัวอย่าง 2 2 2 i i(x x) x nx s n 1 n 1 ความแปรปรวน(variance) คือกําลังสองของส่วนเบียงเบนมาตรฐาน นันคือ 2 v s หรือ 2 v ความแปรปรวนรวมของข้อมูล 2 ชุด 2 s รวม = 2 2 1 1 2 2 1 2 n s n s n n เมือ 1 2x x 2 s รวม = 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 n s n s n (x x) n (x x) n n เมือ 1 2x x สมบัติการวัดการกระจายสมบูรณ์ทีควรทราบ 1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ทุกชนิดมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ 2. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ เท่ากับศูนย์ ก็ต่อเมือ ทุกค่าของข้อมูลเท่ากันและเท่ากับค่าเฉลียเลขคณิต 3. ถ้านําค่าคงที k บวกเข้าหรือลบออกกับค่าของข้อมูลทุกค่า จะได้พิสัย และส่วนเบียงมาตรฐาน ยังคงเท่าเดิม 4. ถ้านําค่าคงที k คูณกับค่าของข้อมูลทุกค่า จะได้ว่า พิสัย และส่วนเบียงเบนของข้อมูลใหม่ เท่ากับ k คูณกับ พิสัย และส่วนเบียงเบนของข้อมูลเดิม ตามลําดับ 5. 2 2 i i(x ) (x a) N N เมือ a เป็นจํานวนจริงใดๆทีไม่เท่ากับค่าเฉลียเลขคณิต
- 240. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 238 ลักษณะของเส้นโค้งทีเกียวข้องกับการกระจาย จากรูป ข้อมูลทีมีการกระจายมากไปหาน้อยทีสุดคือข้อมูล C ข้อมูล B และ ข้อมูล A ตามลําดับ [กระจายมากจะแบนราบ แต่กระจายน้อยจะโด่งขึน] การใช้แผนภาพกล่อง (box - plot) แสดงการกระจายของข้อมูล การวัดการกระจายของข้อมูลโดยใช่ส่วนเบียงเบนควอไทล์อาศัยค่าของ 1Q และ 3Q เพือนํามาหาระยะห่าง แล้วนําค่าครึงหนึงของระยะห่างดังกล่าวมาเป็นตัววัดการกระจายของข้อมูล สามารถเขียนเป็นแผนภาพทีเรียกว่า แผนภาพกล่อง ได้ ดังนี คําอธิบายจากแผนภาพกล่อง (1) ความยาวของส่วนของเส้นตรงในแต่ละช่วงแทนการกระจายว่ามากหรือน้อย ช่วงยาวแทนกระจายมาก ช่วงสันแทนกระจายน้อย (2) ข้อมูลในแต่ละช่วง 4 ช่วง มีจํานวนข้อมูลอยู่ 25% (3) สามารถบอกลักษณะของการแจกแจงความถีได้ ดังนี ถ้า 2 Q อยู่กึงกลางระหว่าง 1 Q และ 3 Q จะทําให้ข้อมูลมีการแจกแจงปกติ ถ้า 2 Q อยู่ใกล้ 3 Q จะทําให้ข้อมูลมีการแจกแจงเบ้ซ้าย เพราะ 2 x Me(Q ) ถ้า 2 Q อยู่ใกล้ 1 Q จะทําให้ข้อมูลมีการแจกแจงเบ้ขวา เพราะ 2 x Me(Q ) Q1 Q3 minx maxxQ2 x ของ A , B , เส้นโค้งความถีของข้อมูล A เส้นโค้งความถีของข้อมูล B เส้นโค้งความถีของข้อมูล C
- 241. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 239 ตัวอย่างแผนภาพกล่อง จากการทดสอบนักเรียนจํานวน100 คน ใน 2 รายวิชา แต่ละวิชามีคะแนนเต็ม 150 คะแนน ถ้าผลการ ทดสอบทังสองรายวิชา เขียนเป็นแผนภาพกล่องได้ดังนี จะได้ว่า คะแนนสอบรายวิชาที 1 คะแนนสอบรายวิชาที 2 ค่ามากสุด ค่ามากสุด ค่าน้อยสุด ค่าน้อยสุด 1Q 1Q 2Q 2Q 3Q 3Q 4Q 4Q มัธยฐาน มัธยฐาน พิสัย พิสัย ในรายวิชาที 1 คะแนนทีอยู่ในช่วง 0 ถึง 60 มีการกระจาย .................. คะแนนทีอยู่ในช่วง 60 – 130 คะแนนทีอยู่ในช่วง 30 ถึง 60 มีการกระจาย .................. คะแนนทีอยู่ในช่วง 60 – 100 คะแนนทีอยู่ในช่วง 0 ถึง 30 มีการกระจาย .................. คะแนนทีอยู่ในช่วง 100 – 130 ในรายวิชาที 2 คะแนนทีอยู่ในช่วง 20 ถึง 60 มีการกระจาย .................. คะแนนทีอยู่ในช่วง 60 – 110 คะแนนทีอยู่ในช่วง 50 ถึง 60 มีการกระจาย .................. คะแนนทีอยู่ในช่วง 60 – 80 คะแนนทีอยู่ในช่วง 20 ถึง 50 มีการกระจาย .................. คะแนนทีอยู่ในช่วง 80 – 110 จากแผยภาพกล่องทีกําหนดตรวจสอบว่ารายวิชาใดทีมีการกระจายมาก น้อยกว่า หรือเท่ากัน ........................................................................................................................................... ........................................................................................................................................... คะแนนสอบรายวิชาที 1 0 20 40 60 80 100 120 140 คะแนนสอบรายวิชาที 2
- 242. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 240 ตัวอย่าง 13 กําหนดข้อมูลชุดหนึงได้แก่ 25 20 15 10 5 จงหา (1) พิสัย (2) ส่วนเบียงเบนมาตรฐาน (3) ความแปรปรวน ตัวอย่าง 14 กําหนดข้อมูลชุดหนึงได้แก่ 2 4 6 8 10 12 จงหา (1) พิสัย (2) ส่วนเบียงเบนมาตรฐาน (3) ความแปรปรวน ตัวอย่าง 15 ถ้า 2, 5, 8, 10, 12, 15, 18 เป็นข้อมูลของกลุ่มตัวอย่างหนึงของประชากร ความแปรปรวนของตัวอย่างนีเท่ากับเท่าใด
- 243. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 241 ตัวอย่าง 16 ข้อมูลชุดหนึงเรียงจากน้อยไปหามากดังนี a, 3, 5, 7, b ถ้าข้อมูลชุดนีมีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 7 และ ส่วนเบียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2 10 แล้วค่าของ 2a + b เท่ากับเท่าใด ตัวอย่าง 17 นําข้อมูล 3 จํานวนทีแตกต่างกันมารวมกัน มีผลรวมเท่ากับ 195 ถ้าข้อมูลชุดนีมีค่ามัธยฐาน และพิสัยเท่ากับ 60 และ 27 ตามลําดับ แล้วความแปรปรวนของข้อมูลชุดนีมีค่าเท่ากับเท่าใด ตัวอย่าง 18 กําหนดให้ 1 2 3 n x , x , x , ..., x เป็นข้อมูลทีมีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 6 และส่วนเบียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1.5 แล้วค่าเฉลียเลขคณิตและความแปรปรวนของข้อมูล 1 2 3 n 2x 5, 2x 5, 2x 5, ..., 2x 5 มีค่าเท่ากับเท่าใด
- 244. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 242 ตัวอย่าง 18 ข้อมูลชุดหนึงประกอบด้วยค่าสังเกต6 5 4 3 7 3 4 a ถ้าให้ ix คือค่าสังเกตตัวที i ของข้อมูลชุดนี และ 8 2 i i 1 (x M) มีค่าน้อยสุดเมือ M = 4 แล้วความแปรปรวนของข้อมูลชุดนีเท่ากับเท่าใด ตัวอย่าง 20 ในชัน ม.6 ห้องหนึงมีจํานวนนักเรียนชาย 22 คน และนักเรียนหญิง 28 คน ถ้าคะแนนสอบของนักเรียนชายและนักเรียนหญิงมีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากัน และมีส่วนเบียงเบนมาตรฐาน เท่ากับ 3 และ 2 ตามลําดับ แล้วส่วนเบียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของชัน ม.6 ห้องนีเท่ากับเท่าใด
- 245. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 243 6. การสํารวจความคิดเห็น ประกอบด้วย4 ขัน 1. กําหนดขอบเขตทีต้องการศึกษา ตามลักษณะของพืนที ลักษณะส่วนตัว และการมีส่วนได้เสีย ของง ผู้ตอบแบบสอบถาม 2. เลือกกลุ่มตัวอย่างทีต้องการทําการสํารวจความคิดเห็นจากกลุ่มประชากรทังหมด โดยต้องมีกลุ่ม ตัวอย่างครบทุกลักษณะ มีจํานวนมากพอทีสอดคล้องกับจํานวนทีมีอยู่จริงในแต่ละลักษณะ 3. สร้างแบบสํารวจความคิดเห็น ทีจะต้องไปประกอบด้วย ลักษณะทัวไปของผู้ตอบ ผู้ตอบจะต้องมีความใน เข้าใจ ในเรืองทีต้องการสํารวจ ส่วนคําถาม คําถามต้องไม่มาก ไม่ถามนําความคิด ส่วนเสนอแนะ ต้องมีให้ผู้ตอบได้เสนอแนะความคิดเห็นเพิมเติมด้วย 4. ประมวลผลและวิเคราะห์ความคิดเห็น Note .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................
- 246. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 244 Onet 2549 1. ถ้าข้อมูลชุดหนึงประกอบด้วย 10, 12, 15, 13 และ 10 ข้อความในข้อใดต่อไปนีเป็นเท็จ สําหรับข้อมูลชุดนี 1. มัธยฐานเท่ากับ 12 2. ฐานนิยมน้อยกว่า 12 3. ฐานนิยมน้อยกว่าค่าเฉลียเลขคณิต 4. ค่าเฉลียเลขคณิตมากกว่า 12 2. เมือพิจารณาผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน 39 คน พบว่าเปอร์เซ็นไทล์ที 25 ของคะแนนสอบเท่ากับ 35 คะแนน และมีนักเรียน 30 คน ได้คะแนนน้อยกว่าหรือเท่ากับ 80 คะแนน ถ้ามีนักเรียนทีสอบได้ 35 คะแนนเพียงคนเดียว แล้วจํานวนนักเรียนทีสอบได้คะแนนในช่วง 35 80 คะแนน เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 18 คน 2. 19 คน 3. 20 คน 4. 21 คน 3. ตารางแสดงนําหนักของนักเรียนจํานวน 50 คน เป็นดังนี ข้อสรุปในข้อใดต่อไปนี ไม่ถูกต้อง 1. นักเรียนกลุ่มนีส่วนใหญ่มีนําหนัก 60 69 กิโลกรัม 2. นักเรียนทีมีนําหนักตํากว่า 50 กิโลกรัม มี 9 คน 3. นักเรียนทีมีนําหนักในช่วง 50 59 กิโลกรัม มี 26% 4. นักเรียนทีมีนําหนักมากกว่า 80 กิโลกรัม มี 10% นําหนัก (กิโลกรัม) จํานวน (คน) 30 39 4 40 49 5 50 59 13 60 69 17 70 79 6 80 89 5
- 247. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 245 4. ครอบครัวหนึงมีบุตร4 คน บุตร 2 คนมีนําหนักเท่ากันและมีนําหนักน้อยกว่าบุตรอีก 2 คน ถ้านําหนักของบุตรทัง 4 คนมีค่าฐานนิยม มัธยฐาน และพิสัย เท่ากับ 45, 47.5 และ 7 กิโลกรัม ตามลําดับ แล้ว ค่าเฉลียเลขคณิตของนําหนักของบุตรทัง 4 คน มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 46 กิโลกรัม 2. 47 กิโลกรัม 3. 48 กิโลกรัม 4. 49 กิโลกรัม 5. ถ้าในปี พ.ศ. 2547 ค่าเฉลียเลขคณิตของอายุพนักงานของบริษัทแห่งหนึงเท่ากับ 23 ปี ในปีต่อมาบริษัทได้รับพนักงานเพิมขึนอีก 20 คน ทําให้ค่าเฉลียเลขคณิตของอายุพนักงานในปีพ.ศ. 2548 เท่ากับ 25 ปี และผลรวมของอายุของพนักงานเพิมขึนจากปีพ.ศ. 2547 อีก 652 ปี เมือสินปี พ.ศ. 2548 บริษัทแห่งนีมีพนักงานทังหมดจํานวนเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 76 คน 2. 96 คน 3. 326 คน 4. 346 คน 6. ถ้านําหนัก (คิดเป็นกิโลกรัม)ของนักเรียน 2 กลุ่ม ๆ ละ 6 คน เขียนเป็นแผนภาพ ต้น – ใบ ได้ดังนี นักเรียนกลุ่มที 1 นักเรียนกลุ่มที 2 8 6 4 3 4 9 8 6 6 4 2 2 4 5 0 ข้อสรุปในข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. นําหนักเฉลียของนักเรียนกลุ่มที 2 มากกว่า นําหนักเฉลียของนักเรียนกลุ่มที 1 2. ฐานนิยมของนําหนักของนักเรียนกลุ่มที 2 มากกว่า ฐานนิยมของนําหนักของนักเรียนกลุ่มที 1 3. มัธยฐานของนําหนักของนักเรียนกลุ่มที 2 มากกว่า มัธยฐานของนําหนักของนักเรียนกลุ่มที 1 4. มัธยฐานของนําหนักของนักเรียนทังหมด มากกว่า มัธยฐานของนําหนักของนักเรียนกลุ่มที 1
- 248. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 246 7. มีข้อมูล5 จํานวนซึงเรียงจากน้อยไปมาก คือ 1 2 3 4 5x , x , x , x , x โดยมี 1x 7 ค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ x และ ความแปรปรวนเท่ากับ 16 ถ้ากําหนดตารางแสดงค่าของ ix x ดังนี แล้ว ค่าของ x เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 10 2. 10.5 3. 12 4. 12.5 8. จากแผนภาพกล่องของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนจําแนกตามเพศเป็นดังนี ข้อใดถูกต้อง 1. คะแนนสอบเฉลียวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชายสูงกว่า คะแนนสอบเฉลียวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนหญิง 2. คะแนนสอบเฉลียวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชายมีการกระจายเบ้ขวา 3. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนหญิงมีการกระจายมากกว่า คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชาย 4. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนหญิงมีการกระจายเบ้ขวา i ix x 1 7 x 2 3 3 1 4 3 5 6 คะแนนสอบของนักเรียนชาย 0 100 คะแนนสอบ คะแนนสอบของนักเรียนหญิง
- 249. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 247 9. ข้อมูลชุดหนึงมี10 จํานวนประกอบด้วยจํานวนต่อไปนี 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25 ควอร์ไทล์ทีสามของข้อมูลชุดนีมีค่าเท่ากับเท่าใด Onet 2550 10. ข้อมูลชุดหนึงประกอบด้วย 19 จํานวน ต่อไปนี 6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30 ควอไทล์ที 3 มีค่าต่างจากเปอร์เซ็นต์ไทล์ที 45 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 11. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนายคณิต ในชันมัธยมศึกษาปีที 4 เป็นดังนี รหัสวิชา ค41101 ค2101 ค41102 ค41202 จํานวนหน่วยกิต 1 1.5 1 1.5 เกรด 2.5 3 3.5 2 เกรดเฉลียของวิชาคณิตศาสตร์ของนายคณิต ในชันมัธยมศึกษาปีที 4 เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 2.60 2. 2.65 3. 2.70 4. 2.75
- 250. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 248 12. อายุเฉลียของคนกลุ่มหนึงเท่ากับ31 ปี ถ้าอายุเฉลียของผู้หญิงในกลุ่มนีเท่ากับ 35 ปี และอายุเฉลียของผู้ชายในกลุ่มนีเท่ากับ 25 ปี แล้วอัตราส่วนระหว่างจํานวนผู้หญิงต่อจํานวนผู้ชายในกลุ่ม เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 2 : 3 2. 2 : 5 3. 3 : 2 4. 3 : 5 13. ความสัมพันธ์ระหว่างกําไร(y) และราคาทุน(x) ของสินค้าในร้านค้าแห่งหนึงเป็นไปตามสมการ y = 2x – 30 ถ้าราคาทุนของสินค้า 5 ชนิด คือ 31, 34, 35, 36 และ 39 แล้ว ค่าเฉลียเลขคณิตของกําไรในการขายสินค้า 5 ชนิดนี เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 25 บาท 2. 30 บาท 3. 35 บาท 4. 40 บาท 14. ตารางแจกแจงความถี แสดงจํานวนนักเรียนในช่วงอายุต่างๆ ของนักเรียนกลุ่มหนึงเป็นดังนี ช่วงอายุ (ปี) ความถี (คน) 1 – 5 6 – 10 11 – 15 16 – 20 4 9 2 5 อายุเฉลียของนักเรียนกลุ่มนี เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 9 ปี 2. 9.5 ปี 3. 10 ปี 4. 10.5 ปี
- 251. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 249 15. กําหนดให้ข้อมูลชุดหนึงคือ 10, 3, x, 6, 6 ถ้าค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมูลชุดนี มีค่าเท่ากับมัธยฐาน แล้ว x มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 16. แผนภาพ ต้น – ใบของข้อมูลแสดงนําหนัก(กิโลกรัม) ของนักเรียนกลุ่มหนึงเป็นดังนี 4 2 1 0 5 0 8 3 2 2 6 0 3 1 4 เมือสุ่มเลือกนักเรียนมา 1 คน จากกลุ่มนี ความน่าจะเป็นทีจะได้นักเรียนทีมีนําหนักน้อยกว่าฐานนิยมของกลุ่ม มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 4 2. 1 3 3. 5 12 4. 1 2 17. กําหนดให้ตารางแจกแจงความถีสะสมของคะแนนของนักเรียนห้องหนึง เป็นดังนี ช่วงคะแนน ความถีสะสม 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 1 11 18 20 ข้อสรุปในข้อใดต่อไปนี ถูกต้อง 1. นักเรียนทีได้คะแนน 40 – 49 คะแนน มีจํานวน 22% 2. นักเรียนส่วนใหญ่ได้คะแนน 60 – 69 คะแนน 3. นักเรียนทีได้คะแนนมากกว่า 53 คะแนน มีจํานวนน้อยกว่านักเรียนทีได้คะแนน 40 – 49 คะแนน 4. นักเรียนทีได้คะแนนน้อยกว่า 47 คะแนน มีจํานวนมากกว่านักเรียนทีได้คะแนนมากกว่า 50 คะแนน
- 252. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 250 18. ข้อมูลชุดหนึงมี5 จํานวน ถ้าควอไทล์ทีหนึง ควอไทล์ทีสอง และควอไทล์ทีสาม เท่ากับ 18, 25 และ 28 ตามลําดับ แล้วค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมูลชุดนีเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 23.4 2. 23.7 3. 24.0 4. 24.3 19. เมือสองปีก่อน นักเรียนห้องหนึง 30 คน แบ่งออได้เป็นสองกลุ่ม กลุ่มทีหนึงมี 10 คน ทุกคนมีอายุ 10 ปี และกลุ่มทีสองมี 20 คน มีอายุเฉลีย 8.5 ปี ถ้าความแปรปรวนของอายุของนักเรียนในกลุ่มทีสองเท่ากับ 0 แล้วในปัจจุบันความแปรปรวนของอายุนักเรียนห้องนีเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 1 2 2. 2 3 3. 5 2 4. 8 3 20. จาการทดสอบนักเรียนจํานวน 100 คน ใน 2 รายวิชา แต่ละวิชามีคะแนนเต็ม 150 คะแนน ถ้าผลการทอสอบทังสองวิชา เขียนเป็นแผนภาพกล่องได้ดังนี แล้วข้อสรุปในข้อใดต่อไปนีถูก 1. คะแนนสอบทังสองรายวิชามีการแจกแจงปกติ 2. จํานวนนักเรียนทีได้คะแนนไม่เกิน 80 คะแนนในรายวิชาที 1 มากกว่าจํานวนนักเรียนทีได้คะแนน ไม่เกิน 80 คะแนน ในรายวิชาที 2 3. คะแนนสูงสุดทีอยู่ในกลุ่ม 25% ตําสุดของผลการสอบรายวิชาที 1 น้อยกว่าคะแนนสูงสุดทีอยู่ในกลุ่ม 25% ตําสุดของผลการทดสอบรายวิชาที 2 4. จํานวนนักเรียนทีได้คะแนนระหว่าง 60 – 80 คะแนน ในการสอบรายวิชาที 2 น้อยกว่าจํานวนนักเรียนที ได้คะแนนในช่วงเดียวกันในการสอบรายวิชาที 1 0 20 40 60 80 100 120 140 คะแนนสอบรายวิชาที 2 คะแนนสอบรายวิชาที 1
- 253. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 251 Onet 2551 21. คะแนนของผู้เข้าสอบ 15 คน เป็นดังนี 45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81 ถ้าเกณฑ์ในการสอบผ่าน คือต้องได้คะแนนไม่ตํากว่าเปอร์เซ็นไทล์ที 60 แล้วข้อใดต่อไปนีเป็นคะแนนตําสุดของผู้ทีสอบผ่าน 1. 68 คะแนน 2. 70 คะแนน 3. 72 คะแนน 4. 73 คะแนน 22. นักเรียนกลุ่มหนึงจํานวน 80 คน ซึงมี ลําเจียก ลําดวน และลําพู รวมอยู่ด้วยปรากฏผลการสอบดังนี ลําดวนได้คะแนนตรงกับควอไทล์ทีสาม ลําพูได้คะแนนตรงกับเปอร์เซ็นไทล์ที 50 ลําเจียกได้คะแนนเป็นลําดับที 30 เมือเรียงคะแนนจากมากไปหาน้อย ข้อใดต่อไปนีเป็นการเรียงรายชือของผู้ทีได้คะแนนน้อยไปหาผู้ทีได้คะแนนมาก 1. ลําพู ลําเจียก ลําดวน 2. ลําพู ลําดวน ลําเจียก 3. ลําเจียก ลําพู ลําดวน 4. ลําเจียก ลําดวน ลําพู 23. กําหนดให้ข้อมูลชุดทีหนึงซึงประกอบด้วย 1 2 10x , x , ... , x มีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ x และข้อมูลชุดทีสองประกอบด้วย 1 2 20y , y , ... , y มีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ y โดยที 10 2 i i 1 (x x) 160 20 2 i i 1 (y y) 110 และ x y ถ้านําข้อมูลทังสองชุดมารวมเป็นชุดเดียวกันแล้วส่วนเบียงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่เท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 3 2. 5 3. 7 4. 9
- 254. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 252 24. ข้อมูลชุดหนึงถ้าเรียงจากน้อยไปหามากแล้ว ได้เป็นลําดับเลขคณิตต่อไปนี 2, 5, 8, ... , 92 ควอไทล์ที 3 ของข้อมูลชุดนีมีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 68 2. 69 3. 71 4. 72 25. ในการทดสอบความถนัดของนักเรียนกลุ่มหนึง มีตารางแจกแจงความถีของผลการสอบดังนี ช่วงคะแนน ความถี(คน) 0 4 5 9 10 14 15 19 4 5 x 7 ถ้าค่าเฉลียเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ากับ 11 แล้วนักเรียนทีสอบได้คะแนนในช่วง 5 14 คะแนน มีจํานวนคิดเป็นร้อยละของนักเรียนกลุ่มนีเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 46.67% 2. 56.67% 3. 63.33% 4. 73.33% 26. กําหนดแผนภาพ ต้นใบ ของข้อมูลชุดหนึง ดังนี 0 3 7 5 1 6 4 3 2 0 2 1 2 3 0 1 สําหรับข้อมูลชุดนี ข้อใดต่อไปนีเป็นจริง 1. มัธยฐาน < ฐานนิยม < ค่าเฉลียเลขคณิต 2. มัธยฐาน < ค่าเฉลียเลขคณิต < ฐานนิยม 3. ค่าเฉลียเลขคณิต < ฐานนิยม < มัธยฐาน 4. ค่าเฉลียเลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนิยม
- 255. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 253 27. แม่ค้านําเมล็ดมะม่วงหิมพานต์1 กิโลกรัม ถัวลิสง 3 กิโลกรัม และเมล็ดฟักทอง 4 กิโลกรัม นํามาผสมกัน แล้วแบ่งใส่ถุงๆละ 100 กรัม ถ้าแม่ค้าซือเมล็ดมะม่วงหิมพานต์ ถัวลิสง และ เมล็ดฟักทอง มาในราคากิโลกรัมละ 250 บาท 50 บาท และ 100 บาท ตามลําดับ แล้วแม่ค้าจะต้องขายเมล็ดพืชผสม ถุงละ 100 กรัมนีในราคาเท่ากับข้อใดต่อไปนีจึงจะได้กําไร 20% เมือขายหมด 1. 10 บาท 2. 12 บาท 3. 14 บาท 4. 16 บาท 28. ในการแข่งขันกีฬามหาวิทยาลัยโลกครังที 24 ซึงประเทศไทยเป็นเจ้าภาพ มีการส่งรายชือนักกีฬาจากประเทศไทย 379 คน มีอายุเฉลีย 22 ปี ถ้ามีการถอนตัวนักกีฬาไทยออก 4 คน ซึงมีอายุ 24, 25, 25 และ 27 ปี และมีการเพิมนักกีฬาไทยอีก 5 คน ซึงมีอายุเฉลีย 17 ปี แล้วอายุเฉลียของนักกีฬาจากประเทศไทยจะเท่ากับข้อใดต่อไปนี 1. 21.6 ปี 2. 21.7 ปี 3. 21.8 ปี 4. 21.9 ปี 29. ถ้าสุ่มตัวเลขหนึงตัวจากข้อมูลชุดใดๆ ซึงประกอบด้วยตัวเลข 101 ตัว แล้วข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ความน่าจะเป็นทีตัวเลขทีสุ่มได้มีค่าน้อยกว่าค่ามัธยฐาน < 1 2 2. ความน่าจะเป็นทีตัวเลขทีสุ่มได้มีค่าน้อยกว่าค่าเฉลียเลขคณิต < 1 2 3. ความน่าจะเป็นทีตัวเลขทีสุ่มได้มีค่ามากกว่าค่ามัธยฐาน > 1 2 4. ความน่าจะเป็นทีตัวเลขทีสุ่มได้มีค่ามากกว่าค่าเฉลียเลขคณิต > 1 2
- 256. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 254 30. พนักงานโรงงานแห่งหนึงจํานวน1,000 คน ได้รับเงินเดือนเฉลียคนละ 8,000 บาท มีส่วนเบียงเบนมาตรฐาน 1,000 บาท ถ้าการกระจายของเงินเดือนพนักงานโรงงานแห่งนีเป็นแบบปกติ แล้วข้อสรุปใดต่อไปนีผิด 1. พนักงานจํานวนน้อยกว่า 100 คน ได้รับเงินเดือนน้อยกว่า 6,000 บาท 2. พนักงานอย่างมาก 930 คน ได้รับเงินเดือนมากกว่าหรือเท่ากับ 6,000 บาท 3. พนักงานทีได้รับเงินเดือนมากกว่า 10,000 บาท มีจํานวนน้อยกว่า 70 คน 4. ถ้าในปีต่อไปพนักงานได้รับเงินเดือนเพิมขึนคนละ 400 คน แล้วส่วนเบียงเบนมาตรฐานของเงินเดือน พนักงานโรงงานนียังคงเดิม Onet 2552 31. ข้อใดต่อไปนีเป็นเท็จ 1. สถิติเชิงพรรนาคือสถิติของการสิเคราะห์ข้อมูลขันต้นทีมุ่งอธิบายลักษณะกว้างๆของข้อมูล 2. ข้อมูลทีเป็นหมายเลขทีใช้เรียกสายรถโดยสารประจําทางเป็นข้อมูลเชิงคุณภาพ 3. ข้อมูลปฐมภูมิคือข้อมูลทีผู้ใช้เก็บรวบรวมจากแหล่งข้อมูลโดยตรง 4. ข้อมูลทีนักเรียนรวบรวมจากรายงานต่างๆทีได้จากหน่วยงานราชการเป็นข้อมูลปฐมภูมิ 32. ส่วนสูงของพีน้อง 2 คน มีพิสัยเท่ากับ 12 เซนติเมตร มีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 171 เซนติเมตร ข้อใดต่อไปนีเป็นส่วนสูงของพีหรือน้องคนใดคนหนึง 1. 167 เซนติเมตร 2. 172 เซนติเมตร 3. 175 เซนติเมตร 4. 177 เซนติเมตร
- 257. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 255 33. ข้อมูลชุดหนึงประกอบด้วย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ค่าเฉลียเลขคณิต < ฐานนิยม < มัธยฐาน 2. ฐานนิยม < มัธยฐาน < ค่าเฉลียเลขคณิต 3. ฐานนิยม < ค่าเฉลียเลขคณิต < มัธยฐาน 4. มัธยฐาน < ฐานนิยม < ค่าเฉลียเลขคณิต 34. ความสูงในหน่วยเซนติเมตรของนักเรียนกลุ่มหนึงซึงมี 10 คน เป็นดังนี 155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166 ถ้ามีนักเรียนเพิมขึนมาอีกหนึงคน ซึงมีความสูง 158 เซนติเมตร แล้วค่าสถิติใดต่อไปนีไม่เปลียนแปลง 1. ค่าเฉลียเลขคณิต 2. มัธยฐาน 3. ฐานนิยม 4. พิสัย 35. การเลือกใช้ค่ากลางของข้อมูลควรพิจารณาสิงต่อไปนียกเว้นข้อใด 1. ลักษณะของข้อมูล 2. วิธีจัดเรียงลําดับข้อมูล 3. จุดประสงค์ของการนําไปใช้ 4. ข้อดีและข้อเสียของค่ากลางแต่ละชนิด
- 258. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 256 36. ข้อมูลชุดหนึงมีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ20 มัธยฐานเท่ากับ 25 และฐานนิยมเท่ากับ 30 ข้อสรุปใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ลักษณะการกระจายของข้อมูลเป็นการกระจายทีเบ้ทางซ้าย 2. ลักษณะการกระจายของข้อมูลเป็นการกระจายทีเบ้ทางขวา 3. ลักษณะการกระจายของข้อมูลเป็นการกระจายแบบสมมาตร 4. ไม่สามารถสรุปลักษณะการกระจายของข้อมูลได้ 37. พิจารณาข้อมูลต่อไปนี 10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18 ค่าของ 80P ใกล้เคียงกับข้อมูลใดต่อไปนีมากทีสุด 1. 15.1 2. 15.4 3. 15.7 4. 16.0 38. ในกรณีทีมีข้อมูลจํานวนมาก การนําเสนอข้อมูลในรูปแบบใดต่อไปนีทําให้เห็นการกระจายของข้อมูลได้ชัดเจน น้อยทีสุด 1. ตารางแจกแจงความถี 2. แผนภาพต้นใบ 3. ฮิสโทแกรม 4. การแสดงค่าสังเกตทุกค่า
- 259. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 257 39. จากการสอบถามเยาวชนจํานวน12 คน ว่าเคยฟังธรรมะเทศนามาแล้วจํานวนกีครัง ปรากฏผลดังแสดงในแผนภาพต่อไปนี มัธยฐานของข้อมูลนีคือข้อใด 1. 3 ครัง 2. 3.25 ครัง 3. 3.5 ครัง 4. 4 ครัง 40. ข้อใดต่อไปนีมีผลกระทบต่อความถูกต้องของการตัดสินใจโดยใช้สถิติ ยกเว้นข้อใด 1. ข้อมูล 2. สารสนเทศ 3. ข่าวสาร 4. ความเชือ Onet 2553 41. ครูสอนวิทยาศาสตร์มอบหมายให้นักเรียน 40 คน ทําโครงงานตามความสนใจ หลังจากตรวจรายงานโครงงานครบทุกคนแล้ว ผลสรุปเป็นดังนี ข้อมูลทีเก็บรวบรวม เพือให้ได้ผลสรุปข้างต้นเป็นข้อมูลชนิดใด 1. ข้อมูลปฐมภูมิ เชิงปริมาณ 2. ข้อมูลทุติยภูมิ เชิงปริมาณ 3. ข้อมูลปฐมภูมิ เชิงคุณภาพ 4. ข้อมูลทุติยภูมิ เชิงคุณภาพ ผลการประเมิน จํานวนโครงงาน ดีเยียม 3 ดี 20 พอใช้ 12 ต้องแก้ไข 5 4 521 30 3 2 4 1 5 จํานวนเยาวชน จํานวนครังทีเคยฟังพระธรรมเทศนา 6
- 260. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 258 42. ค่าเฉลียเลขคณิตของนําหนักของพนักงานของบริษัทหนึงเท่ากับ 48.01 กิโลกรัม บริษัทนีมีพนักงานชาย 43 คน และพนักงานหญิง 57 คน ถ้าค่าเฉลียของเลขคณิตของนําหนักพนักงานหญิงเท่ากับ 45 กิโลกรัม แล้วนําหนักของพนักงานชายทังหมดรวมกันเท่ากับข้อใด 1. 2,236 กิโลกรัม 2. 2,279 กิโลกรัม 3. 2,322 กิโลกรัม 4. 2,365 กิโลกรัม 43. แผนภาพต้น-ใบของนําหนักในหน่วยกรัมของไข่ไก่ 10 ฟอง เป็นดังนี 5 7 8 6 7 8 9 7 0 4 4 7 8 1 ข้อสรุปใดเป็นเท็จ 1. ฐานนิยมของนําหนักของไข่ไก่มีเพียงค่าเดียว 2. ค่าเฉลียเลขคณิตและมัธยฐานของนําหนักของไข่ไก่มีค่าเท่ากัน 3. มีไข่ไก่ 5 ฟองทีมีนําหนักน้อยกว่า 70 กรัม 4. ไข่ไก่ทีมีนําหนักสูงกว่าฐานนิยม มีจํานวนมากกว่า ไข่ไก่ทีมีนําหนักเท่ากับฐานนิยม 44. สําหรับข้อมูลเชิงปริมาณใดๆ ทีมีค่าสถิติต่อไปนี ค่าสถิติใดจะตรงกับค่าของข้อมูลค่าหนึงเสมอ 1. พิสัย 2. ค่าเฉลียเลขคณิต 3. มัธยฐาน 4. ฐานนิยม
- 261. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 259 45. ข้อมูลต่อไปนีแสดงนําหนักในหน่วยกิโลกรัมของนักเรียนกลุ่มหนึง 41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48 ค่ากลางในข้อใดเป็นค่าทีเหมาะสมทีจะใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลชุดนี 1. มัธยฐาน 2. ฐานนิยม 3. ค่าเฉลียเลขคณิต 4. ค่าเฉลียเลขของค่าสูงสุดและค่าตําสุด 46. คะแนนสอบความรู้ทัวไปของนักเรียน 200 คนนําเสนอโดยใช้แผนภาพกล่องดังนี ข้อใดเป็นเท็จ 1. จํานวนนักเรียนทีทําได้ 12 ถึง 16 คะแนน มีค่าเท่ากับ จํานวนนักเรียนทีทําได้ 16 ถึง 18 คะแนน 2. จํานวนนักเรียนทีทําได้ 12 ถึง 18 คะแนน มีค่าเท่ากับ จํานวนนักเรียนทีทําได้ 18 ถึง 24 คะแนน 3. จํานวนนักเรียนทีทําได้ 10 ถึง 12 คะแนน มีค่าเท่ากับ จํานวนนักเรียนทีทําได้ 18 ถึง 24 คะแนน 4. จํานวนนักเรียนทีทําได้ 10 ถึง 16 คะแนน มีค่าเท่ากับ จํานวนนักเรียนทีทําได้ 16 ถึง 24 คะแนน 47. จากการตรวจสอบลําดับทีของคะแนนสอบของนาย ก. และนาย ข. ในวิชาคณิตศาสตร์ทีมีผู้เข้าสอบ 400 คน ปรากฏว่านาย ก. สอบได้คะแนนอยู่ในตําแหน่งควอไทล์ที 3 และนาย ข. สอบได้คะแนนอยู่ในตําแหน่ง เปอร์เซนไทล์ที 60 จํานวนนักเรียนทีสอบได้คะแนนระหว่างคะแนนาย ก. และนาย ข. มีประมาณกีคน 1. 15 คน 2. 30 คน 3. 45 คน 4. 60 คน 10 12 16 18 24
- 262. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 260 48. ข้อมูลชุดหนึงมีบางส่วนถูกนําเสนอในตารางต่อไปนี อันตรภาคชัน ความถี ความถีสะสม ความถีสัมพัทธ์ 2 6 7 11 11 0.2 12 16 14 17 21 6 0.3 ช่วงคะแนนใดเป็นช่วงคะแนนทีมีความถีสูงสุด 1. 2 6 2. 7 11 3. 12 16 4. 17 21 49. จํานวนผู้ว่างงานทัวประเทศในเดือนกันยายน ปีพ.ศ. 2551 มีจํานวนทังสิน 4.29 แสนคน ตารางเปรียบเทียบอัตราการว่างงานในเดือนกันยายน ปีพ.ศ. 2550 กับปีพ.ศ. 2551 เป็นดังนี พืนทีสํารวจ อัตราการว่างงานในเดือนกันยายน (จํานวนผู้ว่างงานต่อจํานวนผู้อยู่ในกําลังแรงงานคูณ 100) ปี พ.ศ. 2550 ปี พ.ศ. 2551 ภาคใต้ 1.0 1.0 ภาคตะวันออกเฉียงเหนือ 0.9 1.3 ภาคเหนือ 1.5 1.2 ภาคกลาง(ยกเว้นกรุงเทพมหานคร) 1.3 0.9 กรุงเทพมหานคร 1.2 1.2 ทัวประเทศ 1.2 1.1 พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. จํานวนผู้ว่างงานในภาคใต้ในเดือนกันยายนของปีพ.ศ. 2550 และของปีพ.ศ. 2551 เท่ากัน ข. จํานวนผู้อยู่ในกําลังแรงงานทัวประเทศในเดือนกันยายนปีพ.ศ. 2551 มีประมาณ 39 ล้านคน ข้อใดถูกต้อง 1. ข้อ ก. ถูก และข้อ ข. ถูก 2. ข้อ ก. เท่านัน 3. ข้อ ข. เท่านัน 4. ข้อ ก. และข้อ ข. ผิด
- 263. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 261 50. ในการใช้สถิติเพือการตัดสินในและวางแผนสําหรับเรืองทีจําเป็นต้องมีการใช้ข้อมูลและสารสนเทศ ถ้าขาดข้อมูลและสารสนเทศดังกล่าว ผู้ตัดสินใจควรทําขันตอนใดก่อน 1. เก็บรวบรวมข้อมูล 2. เลือกวิธีวิเคราะห์ข้อมูล 3. เลือกวิธีเก็บรวบรวมข้อมูล 4. กําหนดข้อมูลทีจําเป็นต้องใช้ Onet 2554 51. แผนภาพต้นใบของข้อมูลชุดหนึงเป็นดังนี 2 0 0 3 5 8 3 1 4 4 6 7 4 3 3 5 7 5 1 2 2 2 6 3 5 พิจารณาข้อความต่อไปนี ก. ข้อมูลชุดนีไม่มีฐานนิยม ข. มัธยฐานของข้อมูลชุดนีเท่ากับ 40 ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง 1. ก. ถูก และ ข. ถูก 2. ก. ถูก แต่ ข. ผิด 3. ก. ผิด แต่ ข. ถูก 4. ก. ผิด และ ข. ผิด 52. ในการสํารวจนําหนักตัว ของนักเรียนในชันเรียนทีมีนักเรียน 30 คน เป็นดังนี นําหนัก(กิโลกรัม) ความถีสะสม(คน) 30 – 49 10 50 69 26 70 89 30 ค่าเฉลียเลขคณิตของนําหนักตัวของนักเรียนในชันเรียนนีเท่ากับกีกิโลกรัม
- 264. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 262 53. ข้อมูลชุดหนึงเรียงลําดับจากน้อยไปมากดังนี 2 3 3 x 4 y 7 ถ้าค่าเฉลียเลขคณิตและส่วนเบียงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนีเท่ากับ 4 และ 4 7 ตามลําดับ แล้ว y x มีค่าเท่าใด 54. ชายคนหนึงตักปลาทีเลียงไว้ในกระชังเพือส่งขายจํานวน 500 ตัว ซึงมีนําหนักโดยเฉลียตัวล่ะ 700 กรัม ในจํานวนนีเป็นปลาจากกระชังทีหนึง 300 ตัว และจากกระชังทีสอง 200 ตัว ถ้าปลาในกระชังทีหนึงมีนําหนัก เฉลียต่อตัวมากกว่าในกระชังทีสอง 500 กรัม แล้วเขาตักปลาจากกระชังทีสองมากีกิโลกรัม 55. ในการสํารวจอายุของคนในหมู่บ้านแห่งหนึงเป็นดังนี อายุ(ปี) ความถี(คน) ความถีสัมพัทธ์ 0 10 10 11 20 25 21 30 35 31 40 x 41 50 40 51 60 20 0.10 61 70 15 17 80 3 81 90 2 ค่า x ในตารางแจกแจงความถีสัมพัทธ์เท่ากับเท่าใด
- 265. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 263 56. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึงแสดงด้วยแผนภาพต้นใบได้ดังนี 30 4 9 4 0 7 7 8 8 8 5 0 0 1 2 2 3 4 6 6 7 7 8 8 9 6 0 2 3 3 6 8 9 7 0 1 เปอร์เซนต์ไทล์ที 50 ของคะแนนสอบนีเท่ากับคะแนนเท่าใด Onet 2555(ยังไม่มีข้อสอบเผยแพร่) Onet 2556 57. ค่ากลางของข้อมูลในข้อใดต่อไปนีมีความเหมาะสมทีจะใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลของกลุ่ม 1. ค่าเฉลียเลขคณิตของนําหนักตัวของชาวจังหวัดเชียงใหม่ 2. ค่าเฉลียเลขคณิตของจํานวนหน้าของหนังสือทีคนไทยแต่ละคนอ่านในปีพ.ศ. 2554 3. มัธยฐานของจํานวนเงินทีแต่ละคนใช้จ่ายต่อเดือนของคนไทย 4. ฐานนิยมของความสูงของนักเรียนห้องหนึง 5. ค่าเฉลียของฐานนิยมกับมัธยฐานของคะแนนสอบของนักเรียนทังโรงเรียน 58. ข้อใดต่อไปนีไม่อยู่ในขันตอนการสํารวจความคิดเห็น 1. กําหนดขอบเขตของการสํารวจ 2. กําหนดวิธีเลือกตัวอย่าง 3. สร้างแบบสํารวจความคิดเห็น 4. ประมวลผลและวิเคราะห์ผลการสํารวจ 5. เผยแพร่การสํารวจความคิดเห็น
- 266. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 264 59. ข้อมูลชุดหนึงมี11 จํานวนดังนี 15, 10, 12, 15, 16, x, 16, 19, 13, 17, 15 ถ้าค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมูลชุดนีเท่ากับ 15 แล้วกําลังสองของส่วนเบียงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนีเท่ากับ ข้อใดต่อไปนี 1. 6.4 2. 4.9 3. 3.6 4. 2.6 5. 1.8 60. ในการสํารวจนําหนักตัวของนักเรียนชันมัธยมศึกษาปีที 6 ของโรงเรียนแห่งหนึง ซึงมี 3 ห้อง มีจํานวนนักเรียน 44, 46 และ 42 คน ตามลําดับ ปรากฏว่ามีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 50 กิโลกรัม แต่พบว่าเครืองชังทีใช้สําหรับ นักเรียนห้องแรกมีความคลาดเคลือนทําให้ชังนําหนักได้ตัวเลขสูงเกินคนละ 1 กิโลกรัม ดังนันค่าเฉลียเลขคณิตที ถูกต้องของนําหนักตัวของนักเรียนชันมัธยมศึกษาปีที 6 นีเท่ากับกีกิโลกรัม 1. 49 2. 1 49 3 3. 1 49 2 4. 2 49 3 5. 3 49 4 61. คะแนนสอบวิทยาศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึงจํานวน 119 คน เป็นดังนี คะแนนทีได้ จํานวนนักเรียน(คน) 52 13 55 12 57 17 60 9 62 10 65 6 70 14 75 14 78 7 80 10 82 7 คะแนนทีเปอร์เซ็นไทล์ที 56 เท่ากับเท่าใด
- 267. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 265 Onet 2557 62. ข้อใดเป็นขันตอนหนึงของการสํารวจความคิดเห็น 1. ตังสมมุติฐานของปัญหาทีทําการสํารวจ 2. กําหนดขอบเขตของการสํารวจ 3. ประมาณการค่าใช้จ่ายในการสํารวจความคิดเห็น 4. คัดเลือกผู้เก็บข้อมูลการสํารวจ 5. นําผลการสํารวจความคิดเห็นไปใช้ประโยชน์ 63. ค่ากลางของข้อมูลในข้อใดต่อไปนีมีความเหมาะสมทีจะใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลของกลุ่ม 1. ค่าเฉลียเลขคณิตของขนาดรองเท้าของนักเรียนห้องหนึง 2. ค่าเฉลียเลขคณิตของจํานวนผู้โดยสารรถไฟฟ้ าใต้ดินต่อวันในเดือน มกราคม พ.ศ. 2557 3. มัธยฐานของนําหนักตัวของคนไทยในปี พ.ศ. 2556 4. ฐานนิยมของความสูงของนักกีฬาไทยได้ทีได้รับเหรียญทองจากการแข่งขันกีฬาโอลิมปิก 5. ค่ากึงกลางระหว่างมัธยฐานกับค่าเฉลียเลขคณิตของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนชัน ม.6 ของโรงเรียนแห่งหนึง 64. จากแผนภาพต้น – ใบ ของข้อมูลชุดหนึงเป็นดังนี 0 7 8 9 1 0 1 5 7 2 1 2 2 3 0 2 ข้อใดต่อไปนีเป็นข้อสรุปทีถูกต้องของข้อมูลชุดนี 1. ค่าเฉลียเลขคณิต = 16 และมัธยฐาน = 16 2. ค่าเฉลียเลขคณิต = 16.5 และมัธยฐาน = 17 3. ค่าเฉลียเลขคณิต = 17 และมัธยฐาน = 17 4. ค่าเฉลียเลขคณิต = 17 และมัธยฐาน = 16 5. ค่าเฉลียเลขคณิต = 17.5 และมัธยฐาน = 16
- 268. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 266 65. ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึง(เรียงจากน้อยไปหามาก)เป็นดังนี 29 35 36 40 41 43 47 50 56 59 60 61 63 65 72 72 74 75 75 78 78 78 80 80 81 82 84 87 88 89 90 90 91 91 91 92 95 95 95 97 เปอร์เซ็นไทล์ที 70 ของคะแนนสอบนีเท่ากับข้อใด 1. 87 2. 87.5 3. 87.7 4. 87.9 5. 88 66. ข้อมูลชุดหนึงเรียงจากน้อยไปหามากดังนี 5 10 12 20 x 26 30 42 47 y ถ้าข้อมูลชุดนีมีพิสัยเท่ากับ 45 และค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 26.4 แล้วควอไทล์ทีสองของข้อมูลชุดนีเท่ากับ ข้อใด 1. 20 2. 21 3. 23 4. 24 5. 25 67. ข้อมูลชุดหนึงมี 10 จํานวน คือ 1 2 3 10x , x , x ,..., x ซึงข้อมูลชุดนีมีส่วนเบียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2.3 ถ้าข้อมูลชุดทีสองมี 10 จํานวน คือ 1 2 3 103x 174, 3x 174, 3x 174 ,..., 3x 174 แล้วส่วนเบียงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดทีสองนีจะเท่ากับเท่าใด
- 269. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 267 Onet 2558 68. ข้อใดถูก 1. ข้อมูลทีจะวัดค่ากลางได้ต้องเป็นข้อมูลเชิงปริมาณเท่านัน 2. กรณีทีข้อมูลมีจํานวนน้อยควรใช้ฐานนิยมเป็นค่ากลางเพราะสามารถนับความถีของข้อมูลได้สะดวก 3. ค่าเฉลียเลขคณิตเป็นค่ากลางทีไม่เหมาะสมกับข้อมูลทีมีบางค่าตํากว่าข้อมูลอืนๆมาก 4. เนืองจากมัธยฐานคือค่าของข้อมูลทีอยู่กึงกลางของข้อมูลทังชุด ดังนัน มัธยฐานจึงใช้เฉพาะกรณีทีข้อมูลมี จํานวนข้อมูลเป็นจํานวนคีเท่านัน 5. ค่ากลางของข้อมูลทีแจกแจงความถีแล้วมีความถูกต้องแน่นอนมากกว่าค่ากลางของข้อมูลชุดเดียวกันทียัง ไม่ได้แจกแจงความถี 69. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึง เป็นดังตารางแจกแจงความถี คะแนน ความถี 20 – 29 7 30 – 39 10 40 – 49 6 50 – 59 7 60 – 69 6 70 – 79 8 80 – 89 6 ค่าเฉลียของคะแนนสอบนีเท่ากับเท่าใด 1. 43.6 2. 49.2 3. 52.1 4. 53.1 5. 54.3 70. ข้อมูลสองชุดเป็นดังนี ชุดที 1 : 1 3 3 6 8 9 ชุดที 2 : 2 3 4 5 5 5 ข้อใดผิด 1. ค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมูลชุดที 1 มากกว่าค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมูลชุดที 2 อยุ่ 0.5 2. ข้อมูลทังสองชุดมีมัธยฐานเท่ากัน 3. ฐานนิยมของข้อมูลสองชุดนีต่างกันอยู่ 2 4. ค่าเฉลียเลขคณิตรวมของข้อมูลทังสองชุดเท่ากับ 4.5 5. ค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมูลชุดที 1 เท่ากับฐานนิยมของข้อมูลชุดที 2
- 270. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 268 71. โรงเรียนแห่งหนึงมีชันม.6 อยู่สองห้องคือ 6/1 และ 6/2 ซึงมีจํานวนนักเรียน 52 คน และ 48 คน ตามลําดับ ถ้าคะแนนสอบของนักเรียน ม.6 ทังสองห้องนีมีค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากัน และมีส่วนเบียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 2 และ 1.5 ตามลําดับ แล้วส่วนเบียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของชัน ม.6 เท่ากับเท่าใด 1. 3.12 2. 3.14 3. 3.16 4. 1.75 5. 1.76 72. ข้อมูลชุดหนึงเรียงจากน้อยไปหามากดังนี a 11 15 18 25 b 36 41 47 53 ถ้าข้อมูลชุดนีมีมัธยฐานเท่ากับ 28 และค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับ 28.5 แล้วพิสัยของข้อมูลชุดนีเท่ากับเท่าใด 73. จากแผยภาพต้น–ใบของข้อมูลชุดหนึงเป็นดังนี 2 0 2 5 5 6 7 7 8 9 9 3 1 3 3 3 4 4 5 8 8 9 4 0 0 0 1 2 2 3 3 4 7 5 0 1 1 2 3 4 5 6 7 เปอร์เซ็นไทล์ที 86 ของข้อมูลชุดนีเท่ากับเท่าใด
- 271. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 269 Onet 2559 74. บริษัทหนึงมียอดขายในแต่ละไตรมาสของปี 2557 เป็นตามลําดับดังนี 17 21 19 23 (หน่วย : ล้านบาท) การพยากรณ์ยอดขายในไตรมาสถัดไปจะใช้ค่าเฉลียเลขคณิตถ่วงนําหนัก ถ้าบริษัทถ่วงนําหนักข้อมูลด้วย 1, 1, 1 และ 3 ตามลําดับ แล้วค่าเฉลียเลขคณิตถ่วงนําหนักของข้อมูลชุดนี เท่ากับเท่าใด 1. 13.33 ล้านบาท 2. 18.00 ล้านบาท 3. 20.00 ล้านบาท 4. 21.00 ล้านบาท 5. 31.50 ล้านบาท 75. บริษัทขนส่งพัสดุแห่งหนึงได้บันทึกระยะทาง(หน่วย:กิโลเมตร) ในการส่งของในแต่ละวัน เป็นเวลา 30 วัน เมือเรียงลําดับข้อมูลจากน้อยไปมากดังนี 33 37 43 44 44 55 58 65 65 66 71 74 75 75 78 81 81 81 82 84 86 86 87 89 89 92 92 93 93 95 แล้วเปอร์เซนไทล์ที 33 ของข้อมูลชุดนีเท่ากับเท่าใด 1. 66.00 กิโลเมตร 2. 66.50 กิโลเมตร 3. 67.15 กิโลเมตร 4. 70.00 กิโลเมตร 5. 70.25 กิโลเมตร
- 272. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 270 76. ยอดขายต่อเดือน(หน่วย: หมืนบาท) ของบริษัทแห่งหนึงในระยะเวลา 10 เดือน เป็นดังนี 154 151 148 405 158 157 158 148 148 153 ข้อใดต่อไปนีถูก 1. ค่าเฉลียเลขคณิต(x)เป็นค่ากลางทีเหมาะสมทีสุดสําหรับเป็นตัวแทนของข้อมูลนี และ x 178 2. ฐานนิยม เป็นค่ากลางทีเหมาะสมทีสุดสําหรับเป็นตัวแทนของข้อมูลนี และ ฐานนิยม = 148 3. ฐานนิยม เป็นค่ากลางทีเหมาะสมทีสุดสําหรับเป็นตัวแทนของข้อมูลนี และ ฐานนิยม = 158 4. มัธยฐาน เป็นค่ากลางทีเหมาะสมทีสุดสําหรับเป็นตัวแทนของข้อมูลนี และ มัธยฐาน = 157.5 5. มัธยฐาน เป็นค่ากลางทีเหมาะสมทีสุดสําหรับเป็นตัวแทนของข้อมูลนี และ มัธยฐาน = 153.5 77. กําหนดให้ y เป็นรายได้ต่อเดือนของพนักงาน(หน่วย:หมืนบาท) และ x เป็นจํานวนปีทีพนักงานใช้ในการศึกษาระดับอุดมศึกษา โดย x และ y สัมพันธ์กันดังนี i iy 2x 1 เมือ i = 1, 2, 3, ... ถ้าพนักงานสีคน ซึงมีรายได้ต่อเดือนเป็น 5 , 7 , 9 , a (หมืนบาท) และค่าเฉลียเลขคณิต(x)ของจํานวนปีทีพนักงานใช้ในการศึกษาระดับอุดมศึกษาเท่ากับ 4 แล้วความแปรปรวนของรายได้ต่อเดือน เท่ากับเท่าใด 1. 9.00 (หมืนบาท)2 2. 14.00 (หมืนบาท)2 3. 15.00 (หมืนบาท)2 4. 18.67 (หมืนบาท)2 5. 21.33 (หมืนบาท)2
- 273. เอกสารทบทวนความรู้คณิตศาสตร์พืนฐาน 271 78. ข้อมูลชุดหนึงมี8 ค่าเรียงจากน้อยมาก ดังนี 74 78 80 80 a 90 90 b ถ้าข้อมูลชุดนีมีพิสัยเท่ากับ 18 และมัธยฐานเท่ากับ 85 แล้วค่าเฉลียเลขคณิตเท่ากับเท่าใด 79. ในการสุ่มตัวอย่างเพือสํารวจข้อมูลราคามะนาว(ต่อผล) จากตลาด 5 แห่ง ได้ข้อมูลดังนี 2 10 6 8 9 (หน่วย : บาท) ถ้า x คือค่าเฉลียเลขคณิตของข้อมูล s คือส่วนเบียงเบนมาตรฐานของข้อมูล แล้วร้อยละของจํานวนข้อมูลทีอยู่ในช่วง (x s , x s) เท่ากับเท่าใด (กําหนดให้ 2 1.41 , 2.5 1.58 , 10 3.16 )