Reductio ad absurdum sebagai aksioma tunggal bagi aljabar logika Boolean

1. REDUCTIO AD ABSURDUM
Armahedi Mahzar © 2011
Blog 1 Pengantar
Salah satu cara untuk membuktikan suatu pernyataan adalah dengan menunjukkan bahwa
penyangkalan atau negasi pernyataan tersebut menyebabkan suatu pertentangan alias
kontradiksi. Cara pembuktian seperti ini dalam tradisi logika abad pertengahan disebut
sebagai "reductio ad absurdum"
Saya sudah lama mengetahui teknik pembuktian seperti itu karena anak SMP di zaman
dulu diajari ilmu ukur dan Euklides lah yang membangun ilmu ukur
secara aksiomatik dan dia kata http://mathworld.wolfram.com/ReductioadAbsurdum.html
sangatlah mencintai metoda reductio ad absurdum ini.
Tentu saja waktu itu saya tak mengetahui nama Latin dari metoda tersebut. Belakangan
saya mengenal metoda itu dari pembuktian tentang adanya Tuhan menurut St. Anselmus
di abad XII, jika Tuhan didefinisikan sebagai Yang Maha Sempurna. Kalau
Tuhan tidak ada maka berarti Dia tidak memiliki ada yang berarti tidak Maha Sempurna
dan ini adalah suatu kontradiksi: Yang Maha Sempurna itu tidak sempurna. Jadi Tuhan
itu wajib adanya.
Nah, ketika saya belajar logika modern yaitu logika Boole saya sudah lupa akan metoda
1

2. itu, dan saya jatuh cinta pada logika Boole karena sifatnya yang
simetris Dualitas. Bagi saya inilah keindahan alam cita. Kecintaan akan simetri itu
akhirnya menyebabkan saya meneliti simetri partikel elementer untuk tugas akhir S1 dan
skripsi S2.
Salah satu prinsip lain selain prinsip simetri adalah prinsip ekonomi dalam satu ilmu. Jika
ada dua buah teori, untuk menjelaskan berbagai peristiwa, yang satu lebih sedikit
pengertian dasarnya dibanding teori yang lain, maka teori yang pertama disebut lebih
ekonomis. Teori yang ekonomis lebih disukai ketimbang teori yang kompleks.
Geometri Euklides adalah sebuah sistem matematika yang ekonomis. Semua hubungan
geometris yang benar dapat dibuktikan secara logis sebagai konsekuensi dari hanya lima
buah pernyataan intuitif yang disebut aksioma. Sistem aksioma Euklides adalah model
bagi matematika lainnya. Misalnya, Giuseppe Peano (1858-1932),
matematikawan Itali, membuat sembilan buah aksioma bagi membuktikan semua
pernyatan-pernyataan ilmu hitung.
Dalam rangkaian artikel berikut ini saya akan menceritakan jalan bahwa upaya
mengaksiomakan aljabar logika yang ditemukan oleh Boole yang ternyata berujung pada
sebuah sistem aksiomatika paling ekonomis yang hanya memiliki sebuah satu operasi
tunggal dan satu aksioma tunggal yang bisa diinterpretasikan sebagai reductio ad
absurdum.
2

3. Blog 2 : Mengaljabarkan Logika
Semenjak ilmu Logika ditemukan oleh Aristoteles ilmu tersebut dapat
dikatakan sebagai bagian dari ilmu sastra karena kita harus menggunakan kata-kata
dalam memaparkannya. Namun karena sulitnya, orangpun menciptakan berbagai macam
simbol untuk menyingkat hukum-hukum itu, namun masih saja tetap sulit.
Filsuf Gottfried Wilhelm Leibniz di abad ke-17 masehi memimpikan
logika sebagai cabang matematika, tetapi tak dapat menemukannya. Baru di abad XIX,
George Boole (1815-1864) matematikawan Inggris menemukan
Aljabar Logika. Dalam logika pernyataan-pernyataan yang BENAR dan SALAH
digabungkan dengan operasi ATAU dan DAN. Untuk mematematikkan logika maka dia
melambangkan BENAR dengan 1 dan SALAH dengan 0.
Boole melihat bahwa penggabungan DAN itu mirip dengan perkalian x. Soalnya
pernyataan BENAR hanya menjadi BENAR hanya jika digabungkan melalui DAN
dengan pernyataan lain yang BENAR, lain dari pada itu hasilnya adalah SALAH. Hal ini
mirip dengan fakta ilmu hitung dimana 1 hanya menjadi 1 jika di kalikan dengan 1, lain
dari pada itu hasilnya adalah 0. Dalam simbol ilmu hitung, ini berarti 1 x 1 = 1 dan 1 x 0
= 0 X 1 = 0 X 0 = 0. Mirip kan?
3

4. Namun, William Stanley Jevons (1835 –1882), filsuf Inggris, melihat
bahwa logika mempunyai hukum aritmetika yang berbeda untuk operasi ATAU inklusif.
Soalnya, dua pernyataan menjadi BENAR bila digabungkan melalui ATAU hanya jika
salah satu pernyataan itu BENAR, selain dari pada itu hasilnya adalah SALAH. Jika
ATAU disimbolkan dengan + maka pernyataan itu berarti 1 + 1 = 1 + 0 = 0 + 1 = 1 dan 0
+ 0 = 0. Jadi 1 + 1 bukannya sama dengan 2 seperti dalam ilmu hitung, tetapi sama
dengan 0.
Selanjutnya Boole melihat operasi logika TIDAK a mirip dengan operasi ilmu hitung 1 -
a. Soalnya 1 - 1 = 0 mirip dengan TIDAK BENAR = SALAH dan 1 - 0 = 1 mirip dengan
TIDAK SALAH = BENAR. Dengan demikian dia menemukan sebuah ilmu hitung
logika yang hanya mempunyai nilai 1 dan 0 dan mempunyai tiga operasi aritmetika +, X
dan -. Di atas aritmetika logika inilah dia membangun aljabar logika di mana terdapat
hubungan-hubungan aljabar yang aneh seperti misalnya x x = x + x = x untuk semua
harga x.
Pada akhir abad ke-19, Charles Sanders Peirce (1839-1914),
matematikawan Amerika Serikat, dan Friedrich Ludwig Gottlob Frege
(1848-1925) , matematikawan Jerman, merumuskan aljabar logika
dengan simbolisasi dua dimensi atau gambar-gambar. Namun sayangnya, karena
rumitnya notasi itu, maka penemuan mereka tidak populer di kalangan matematikawan
yang terbiasa dengan untaian satu dimensi simbol-simbol matematik seperti pada ilmu
hitung dan aljabar.
4

5. Blog 3 : Mengaksiomakan Aljabar Logika
Maka, Bertrand Russel (1872-1972) dan Alfred North Whitehead
(1861-1947) bekerja bersama untuk melinierkan kembali aljabar Frege
dan berupaya membangun seluruh matematika dari hanya enam buah
aksioma logika saja. Walaupun nanti Kurt Godel (1906-1978)
membuktikan bahwa ilmu hitung tak mungkin dibangun melalui sistem aksiomatik,
keenam aksioma mereka tetap merupakan aksioma yang ekonomis untuk aljabar logika
Boolean. Dia cukup menggunakan dua konsep yang primitif, operasi ATAU dan operasi
TIDAK, dan enam pernyataan primitif atau aksioma.
Walaupun jumlah aksioma logika hampir sama dengan jumlah aksioma geometri, jumlah
itu bukanlah jumlah yang paling ekonomis. Misalnya saja, pada tahun 1913 Henry
Maurice Sheffer (1882-1964) berhasil mengurangi jumlah aksioma menjadi empat
dengan hanya satu operasi yaitu TIDAN (TIDAK DAN) alias NAND atau TATAU
(TIDAK ATAU) alias NOR. Ini berarti bahwa sistem aksioma Sheffer merupakan sebuah
penyederhanaan bagi sistem aksioma logika dalam Principia. Namun itu belum cukup
sederhana.
Misalnya, Jean George Pierre Nicod , matematikawan Perancis, berhasil mereduksi
sistem aljabar logika Sheffer itu menjadi sistem formal dengan hanya menggunakan tiga
5

6. buah aksioma saja. Bahkan pada akhirnya dia kemudian dapat mereduksi sistemnya
sendiri menjadi sistem logika simbolik berbasis sebuah aksioma tunggal dengan satu
simbol saja yaitu NAND alias NOT-AND, di mana x NAND y ditulis sebagai x|y.
Namun sayangnya aksioma tunggal ini sangatlah panjang, melibatkan lima variabel dan
sama sekali tidak lah intuitif karena menggunakan operasi NAND.
((a|(b|c))|((e|(e|e))|((d|b)|((a|d)|(a|d)))))
Melihat kompleksnya aksioma tunggal itu, maka tentu saja orang akan berusaha
menyederhanakannya lebih lanjut.
Misalnya, pada tahun 1931, Jan Lukasiewicz (1878-1956) berhasil mengurangi jumlah
variabel dalam rumus Nicod menjadi empat dalam aksioma tunggal
((P|(Q|R))|((S|(S|S))|((S|Q)|((P|S)|(P|S)))))
Walaupun lebih sederhana, tetap saja tidak intuitif seperti halnya aksioma-aksioma
geometri Euklides. Untuk mengurangi jumlah variabel menjadi tiga, tampaknya,
dibutuhkan bantuan komputer seperti yang akan diceritakan nanti pada blog yang
kemudian.
6

7. Blog 4 : Menyederhanakan Aksioma Aljabar Logika
Perjalanan sejarah menunjukkan bahwa setelah aljabar proposisi logika Boole berhasil
direduksi menjadi sistem 6 aksioma dan 2 operasi primitif dalam Principia Mathematica,
reduksi ini terus berlanjut hingga ditemukannya sistem formal logika Jean Nicod dengan
1 aksioma 1 operasi. Namun sayangnya aksioma Nicod itu sangatlah panjang dan sangat
sulit dipahami. Walaupun begitu sejarah juga menunjukkan bahwa ternyata ada jalan-jalan
lain untuk menyederhanakan aljabar logika.
Memang, perumusan aksiomatik Russell - Whitehead
dengan notasi linier lebih jelas dari pada sistemnya Frege yang
menggunakan notasi 2-dimensi atau planar. Namun sayangnya, kedua penulis Principia
Mathematica ini justru mengembalikan simbolisasi linier atau satu dimensi dalam
penelitian matematika logika dan mereka pun telah menghilangkan perumusan
pernyataan aljabar logika, sebagai persamaan, seperti yang ditemukan oleh Boole,
menjadi sebuah rangkaian pernyataan JIKA MAKA.
Walaupun aksioma-aksioma Principia dituliskan dalam rangkaian JIKA MAKA,
sebenarnya konsep operasional dasarnya adalah ATAU dan TIDAK. Dimana
JIKA a MAKA b atau a->b dirumuskan sebagai TIDAK(a) ATAU b atau
a' + b. Itulah sebabnya terjadilah upaya-upaya penyederhanaan dengan menggunakan
persamaan-persamaan dengan notasi a + b untuk a ATAU b dan notasi a' untuk
TIDAK(a) sebagai aksioma-aksioma.
Misalnya, pada tahun 1933 Edward Vermilye Huntington (1874-1952), matematikawan
Amerika, membuat sistem aksiomatik dengan 3 aksioma 2 simbol (+ dan ') sebagai
berikut
7

8. (Komutativitas) x + y = y + x
(Asosiativitas) (x + y) + z = x + (y + z)
(Huntington) (x' + y)' + (x' + y')' = x
Sistem ini berhasil menurunkan semua identitas logis dalam Aljabar Boole.
Tak lama kemudian muridnya, Herbert Ellis Robbins
(1915-2001) mencoba menyederhanakan sistem aksioma Huntington menjadi sistem 3
aksioma berikut
(Komutativitas) x + y = y + x
(Asosiativitas) (x + y) + z = x + (y + z)
(Robbins) ( (x + y)' + (x + y')')' = x
Namun sayang, Robbins tidak bisa membuktikan bahwa aljabar yang dibangun dengan
tiga aksioma ini adalah identik dengan aljabar Boole. Bahkan banyak matematikawan
telah mencoba membuktikan secara manual bahwa aljabar Robbins identik dengan
aljabar Boole, namun semuanya berujung pada kegagalan. Baru pada tahun 1996,
sebelum Robbins meninggal dunia, akhirnya dugaannya itu dibuktikan benar oleh
William McCune dengan bantuan komputer .
8

9. Blog 5 : Mengkomputerkan untuk Menyelesaikan
Seorang pakar komputer, Winkler , kemudian pada tahun 1992 menemukan bahwa jika
kita menambahkan pada sistem aksioma Robbins sebuah persyaratan
tentang adanya dua elemen aljabar C dan D sehingga (C + D)' = (D)', maka aljabar
Robbins identik dengan aljabar Boole. Dia membuktikan pernyataannya itu dengan
menggunakan program komputer di lab Argonne.
Pada tahun 1996 William McCune dengan menggunakan sebuah
perangkat lunak yang bernama EQP berhasil menemukan eksistensi kedua elemen itu
dalam aljabar Robbins setelah menjalankan komputernya selama lebih dari lima hari
waktu mesin.
Ini berarti tiga aksioma Robbins itu bisa seolah-olah merupakan merupakan basis yang
terkecil bagi Aljabar Boole. Namun sebenarnya ada seorang matematikawan, Meredith,
menemukan sebuah pasangan aksioma
(Meredith1) (x' + y)' + x = x
(Meredith2) (x' + y)' + (z + y) = y + (z + x)
sebagai basis terkecil bagi aljabar Boole.
9

10. Namun, dengan software Mathematica ciptaannya, Stephen Wolfram
menemukan adanya 25 buah rumus yang mungkin digunakan sebagai aksioma tunggal
yang hanya melibatkan 3 variabel dan 7 operasi jauh lebih sederhana dari aksioma
tunggal Jean Nicod.
Namun McCune, ahli komputer yang berhasil membuktikan bahwa aljabar Robbins
identik dengan aljabar Boole, menemukan sebuah aksioma tunggal saja
(McCune 1) (((x+y)'+z)'+(x+(z'+(z+u)')')')' = z
yang terdiri hanya terdiri dari 6 operasi ATAU, 7 operasi TIDAK dan 4 variabel. Ini lebih
sederhana dari sistem aksioma Robbins yang menggunakan 9 operasi +, 4 operasi ' dan 3
variabel.
Bahkan dia akhirnya bisa membenarkan dugaan Wolfram itu melalui pembuktiannya
secara komputasional dan menunjukkan salah satu dari 25 identitas logis Wolfram adalah
sebuah aksioma tunggal lain dengan notasi NAND di mana a NAND b ditulis a|b
sebagai berikut
(McCune 1') (x|((y|x)|x))|(y|(z|x)) = y
Namun, mengingat sifat simetri dualitas aljabar Boole, a|b dalam aksioma ini dapat
dibaca juga sebagai a NOR b atau (a + b)' , sehingga aksioma ini dapat dituliskan
sebagai
(McCune 1') ((x+((y+x)'+x)')'+(y+(z+x)')')' = y
yang terdiri dari 6 operasi dan 3 variabel. Rumus ini lebih sederhana dari aksioma yang
ditemukan McCune terdahulu. Jadi rumus ini merupakan aksioma tersederhana yang
ditemukan oleh komputer.
Namun, sebagai sebuah aksioma, dia sangatlah sulit untuk diinterpretasikan secara
intuitif. Karena itu kita harus mencari jalur non-komputer untuk menyederhanakan hasil
komputer ini lebih lanjut seperti yang akan diceritakan dalam blog berikut ini.
10

11. Blog 6: Ikhtisar Simplifikasi Logika
Rangkaian blog Reductio ad Absurdum mengisahkan kisah pencarian sistem aksioma
aljabar logika Boole yang tersederhana: baik oleh manusia semata, maupun dengan
bantuan komputer.
Berikut ini adalah ringkasan blog-blog yang telah diposting sebelum ini. Tujuan dari
ringkasan ini adalah memetakan perjalanan sejarah manusia untuk mengaksiomakan
logika seekonomis mungkin.
Untuk bisa membandingkan berbagai aksioma yang secara signifikan maka saya di sini
akan menyeragamkan perumusan aksioma tunggal itu dengan menggunakan simbolisasi
Sheffer yang mendefinisikan operasi-operasi aljabar lain dengan satu operasi logika dasar
yang menggabungkan TIDAK dengan DAN atau ATAU menjadi TIDAN alias NAND
atau TATAU alias NOR yang disimbolkan oleh |.
Merumuskan Aksioma Logika
Dalam blog Reductio ad Absurdum bagian 1 dan bagian 2 diceritakan bagaimana logika
yang ditemukan oleh Aristoteles dialjabarkan oleh George Boole
dan kemudian aljabar Boole diaksiomakan berujung pada sistem aksioma Principia
Mathematica yang merupakan linierisasi sistem simbolisasi planar Gotlobb Frege.
Dalam aksiomatisasi linier logika ini Russel-Whitehead mengambil dua operasi logika,
yaitu TIDAK dan ATAU, sebagai operasi fundamental. Akan tetapi dalam perumusan
aksioma-aksiomanya, Russel dan Whitehead menggunakan operasi gabungan JIKA x
MAKA y yang didefinisikannya sebagai TIDAK(x) ATAU y.
Menyederhanakan Aksioma Logika
Dalam blog Reductio ad Absurdum bagian 3 ditunjukkan bagaimana usaha manusia
untuk menyederhanakan aljabar Boole. Dimulai dengan Sheffer, matematikawan
11

12. Amerika Serikat, yang menyederhanakan aksioma logika Russell -
Whitehead, keduanya filsuf Inggris, dalam buku mereka Principia Mathematica.
Lalu matematikawan Perancis, Jean Nicod, pada tahun 1917 menurunkan semua
Aksioma Sheffer dari sebuah aksioma tunggal dengan 5 variabel dan 11 operasi.
Tigabelas tahun kemudian, matematikawan Polandia Jan Lukasiewicz pada tahun 1931
menyederhanakan aksioma Nicod menjadi sebuah aksioma yang mengandung 4 variabel
dan 11 operasi | atau NOR.
Kebuntuan Usaha Manusia
Dalam blog Reductio ad Absurdum bagian 4 dikisahkan bagaimana manusia mengalami
kebuntuan untuk menyederhanakan aljabar Boole dengan hanya menggunakan operasi
ATAU dan TIDAK.
Pada tahun 1933 Huntington menyederhanakan aksiomatisasi aljabar logika dengan
menggunakan dua operasi fundamental yaitu ATAU dan TIDAK dengan tiga aksioma
yaitu komutativitas, asosiativitas dan sebuah identitas logika yang kemudian disebut
sebagai aksioma Huntington.
Muridnya pada tahun yang sama mengusulkan untuk mengganti aksioma Huntington
dengan sebuah aksioma yang lebih sederhana yaitu aksioma Robbins. Namun sayang dia
tak bisa membuktikan bahwa sistem aksioma baru itu merupakan basis bagi aljabar
logika Boole.
Selama puluhan tahun, berbagai matematikawan dan logikawan berusaha untuk
membuktikan kebenaran dugaan Robbins tersebut, namun selalu berujung pada
kegagalan. Baru pada tahun 1996 William McCune berhasil membuktikan kebenaran
dugaan Robbins itu dengan bantuan komputer.
Komputer Menuntaskan Penyederhanaan
Dalam blog Reductio ad Absurdum bagian 5 dikisahkan bagaimana komputer berhasil
menuntaskan upaya penyederhanaan aljabar Boole. Misalnya William McCune
12

13. pada tahun 2000 dengan bantuan komputer menemukan aksioma
tunggal yang jika disingkat, dengan cara menuliskan NOR atau (x+y)' sebagai (x|y),
mengandung 4 variabel, 6 operasi | dan 1 operasi '='
Namun berdasarkan daftar hasil komputasi Stephen Wolfram, yang menggunakan
program Mathematica ciptaannya, McCune pada tahun 2000, dengan menggunakan
program Otten ciptaannya, akhirnya dapat membuktikan identitas Wolfram itu adalah
aksioma tunggal, bagi aljabar Boole, yang mengandung 3 variabel, 6 operasi | dan 1
operasi '='. Namun sayang identitas Wolfram bagi saya tidak mempunyai makna yang
intuitif.
Kesimpulan sementara
Ternyata komputer sangat berguna untuk memecahkan masalah penyederhanaan
aksiomatik logika sehingga pada akhirnya menemukan aksioma tersederhana bagi
Aljabar Logika Boole.
Kenyataan ini seolah mengatakan pada kita bahwa komputer lebih hebat daripada
manusia dalam penyelesaian masalah matematika, bukan hanya yang praktis numerik,
tetapi juga yang abstrak teoritis non-numerik. Apakah memang betul demikian?
Blog-blog berikut akan mencoba menunjukkan bahwa kenyataan yang sebenarnya adalah
kebalikannya. Aksioma Robbins ternyata akan menjadi aksioma tunggal jika kita
merumuskan aljabar Boole dalam bentuk simbolisasi planar. Aksioma ini bahkan lebih
sederhana lagi daripada aksioma Wolfram yang ditemukan komputer. Lebih dari itu,
aksioma Robbins ini adalah simbolisasi dari sesuatu yang intuitif: reductio ad absurdum.
13

14. Blog 7 : Menggambar untuk Menyederhanakan
Ini cerita lain penyederhanaan aksiomatisasi aljabar Boole tanpa pakai komputer.
Seorang matematikawan Inggris, George Spencer-Brown , menulis
sebuah buku berjudul "Laws of Form".
diterbitkan pada tahun 1969. Dalam buku ini Spencer-Brown telah
melakukan langkah revolusioner dalam penulisan simbolisasi matematika.
Pertama-tama dia menggunakan kekosongan (void) atau ketiadaan simbol sebagai
simbol. Ketiadaan simbol antara dua variabel menunjukkan adanya sebuah operasi yang
menggabungkan kedua variabel itu. Sementara itu kekosongan dalam perumusan suatu
fungsi disebutkan sebagai mencerminkan suatu konstanta. Jika ketiadaan sebagai antara
adalah ATAU maka konstanta ketiadaan adalah SALAH
Sementara itu dia juga menggunakan sebuah simbol siku yang disebutnya sebagai
"PALANG" atau "CROSS". Jika x berada di dalam palang maka bacaannya adalah
TIDAK(x).
Seperti halnya kekosongan, PALANG ini mempunyai dua peran: sebagai operasi
terhadap variabel yang berada dibawah-kirinya dan sebagai suatu konstanta apabila di
kiri bawah PALANG itu kosong.
Ketika membaca buku Brown, tentu saja saya bingung setengah mati. Misalnya ketika dia
menuliskan dua aksioma bagi ilmu hitung primernya sebagai berikut:
14

15. Dengan notasi piktorial ini dia dapat menyederhanakan penulisan rumus-rumus aljabar
logika yang linier menjadi persamaan antara gambar-gambar simbolik yang planar.
Dengan notasi planar ini maka hukum asosiasi dan hukum komutasi tidak perlu lagi
digambarkan.
Untuk memudahkan penulisan kita menggunakan notasi seperti ini (x) untuk "x di
dalam PALANG." Dalam notasi baru yang linier ini kita menganggap setiap
untaian simbol nilainya tak berubah jika urutannya diacak. Dalam notasi ini kedua
aksioma aritmetika dapat dituliskan sebagai
(()) =
()() = ()
Penulisan baru memudahkan kita untuk memahami aritmetika primer. Misalkan kita
menafsirkan KOSONG sebagai SALAH, maka () atau (KOSONG) =
(SALAH) = TIDAK(SALAH) yang tak lain dari pada BENAR. Dalam
pembacaan ini, penjajaran ab dibaca dengan a ATAU b. Dengan demikian kedua aksioma
aritmetika ini tak lain dari pada
TIDAK(BENAR) = SALAH
BENAR ATAU BENAR = BENAR
Dengan cara penulisan dan pembacaan ini, maka dengan mudah kita melihat bahwa
aksioma pertama dan kedua masing-masingnya adalah isi dari Tabel Kebenaran bagi
operasi TIDAK dan ATAU. Isi yang lain dari tabel-tabel logika itu tak perlu dituliskan
karena secara visual merupakan identitas.
Misalnya TIDAK(SALAH)=BENAR atau SALAH ATAU BENAR =
BENAR ATAU SALAH = BENAR dalam notasi baru sama-sam dituliskan
sebagi () = (), sedang SALAH ATAU SALAH = SALAH dituliskan dengan
sangat sederhana
15

16. 16
=
Jadi kita tak perlu menghafal 6 buah isi 2 tabel logika, cukup 2 saja yaitu aksioma-aksioma
aritmetika primer. Memudahkan bukan?
Itulah sebabnya mengapa Spencer-Brown bisa membangun sebuah sistem aljabar 2-
aksioma untuk membangun sebuah aljabar yang identik dengan aljabar logika Boole.
Kedua aksioma itu adalah
Hukum posisi: ( ( a ) a ) =
Hukum Transposisi: ( (a c) (b c) ) = ( (a) (b) ) c
Secara logika, hukum posisi tak lain dari hukum kontradiksi dan hukum transposisi tak
lain dari hukum distribusi. Dengan demikian, Aljabar Brown adalah penyederhanaan
aksiomatik Aljabar Logika Boole. Sebuah prestasi yang patut dipuji, namun ternyata
langkah Spencer-Brown hanyalah satu langkah menuju penyederhanaan selanjutnya.
Louis Kauffman , seorang matematikawan dari Amerika Serikat,
kemudian menyederhanakan aljabar Brown itu menjadi cukup berbasis pada satu aksioma
saja, yaitu aksioma Huntington. Dia melakukannya dengan cara menuliskan aksioma
Huntington itu dalam simbolisasi planar berupa gambar-gambar yang disebutnya sebagai
Aljabar Kotak .
Dengan cara simbolisasi planar alias notasi gambar ini, seperti halnya Aljabar Brown,
Aljabar Kotak dia tidak memerlukan lagi kedua aksioma pertama Huntington tentang
komutativitas dan asosiativitas operasi ATAU atau + karena pada bidang tak ada
persoalan urutan, yang ada adalah keserempakan.
Setelah terbukti oleh komputer bahwa aksioma Huntington adalah sebuah teorema dalam
aljabar Robbins, maka dalam aljabar Boole aksioma Robbins

17. menjadi satu-satunya aksioma.
Seperti diceritakan terdahulu, sebuah komputer memerlukan waktu selama lima hari
mesin untuk membuktikan aljabar Robbins identik dengan Aljabar Boole. Komputer
memerlukan 17 dalil pertolongan untuk membuktikan persyaratan Winkler kedua itu dari
aksioma Robbins. Sedangkan seorang manusia bernama Louis Kauffman dengan aljabar
Kotak hanya memerlukan 14 lemma atau dalil pertolongan.
Bahkan belakangan pada tahun 2003 Allen Mann menemukan cukup 8 buah dalil
pertolongan untuk membuktikan kondisi Winkler kedua dan dari sini dibuktikan kondisi
Winkler pertama yang pada akhirnya membuktikan identitas Huntington dari aksioma
Robbins. Sedangkan Huntington sendiri telah membuktikan bahwa semua aksioma
aljabar Boolean dapat diturunkan dari aksioma Huntington berikut aksioma-aksioma
komutativitas dan asosiativititas. Karena kedua aksioma terakhir tidak diperlukan lagi
dalam simbolisasi planar, maka ini berarti bahwa Aljabar Robbins adalah ekivalen
dengan aljabar logika Boole.
Dalam notasi ATAU + dan TIDAK ' aksioma Robbins dapat dituliskan sebagai
(Robbins) x = ((x+y)’+(x+y’)’
Dalam notasi NOR atau | aksioma Robbins ini dapat ditulis sebagai
x = ((x|y)|(x|(y|y)))
yang hanya mempunyai 2 variabel, 4 operasi NOR dan 1 operasi = .
Sedangkan aksioma tunggal Wolfram
y = (x|((y|x)|x))|(y|(z|x))
yang mengandung 3 variabel, 6 operasi NOR dan 1 operasi =.
Dengan demikian dapatlah disimpulkan penalaran manusia ternyata lebih unggul
ketimbang penalaran komputer, karena menghasilkan sesuatu yang lebih sederhana.
17

18. Soalnya, penggunaan simbolisasi planar adalah sebuah lompatan intuitif kreatif yang tak
dimiliki oleh komputer.
Pertanyaannya sekarang: adakah makna intuitif dari aksioma Robbins ini? Inilah yang
akan dijawab dalam blog berikut ini.
18

19. Blog 8 : Memaknai Aksioma Robbins:
Reductio Ad Absurdum
Dalam blog sebelum ini telah ditunjukan bahwa pandangan manusia yang bersifat planar
berhasil mereduksi seluruh aljabar Boole menjadi aljabar dengan
basis aksioma tunggal Robbins
(Robbins) x = ((x+y)’+(x+y’)’
Persoalannya sekarang: apakah makna intuitif dari aksioma Robbins itu? Untuk
menjawab pertanyaan itu, marilah kita tuliskan kembali rumus Robbins dalam notasi
logika yang lebih luas, di mana disamping ATAU dan TIDAK, kita juga memiliki
operasi DAN dan JIKA MAKA.
Dalam notasi gambar dimana A’ dilukiskan sebagai “A dalam kotak” dan A+B
dilukiskan sebagai “A di luar B”, maka aksioma Robbins dapat dilukiskan sebagai
yang sangat sederhana karena hanya mengandung 2 variabel dan 3 operasi ATAU dan
19

20. 4 operasi TIDAK. Aksioma ini jauh lebih sederhana daripada aksioma tunggal
Wolfram dalam simbolisasi linier komputer
(Wolfram) ((x+((y+x)'+x)')'+(y+(z+x)')')' = y
yang terdiri dari 3 variabel, 6 operasi ATAU dan 7 operasi TIDAK.
Makna aksioma Robbins itu dapat dipahami jika kita mengingat bahwa
A DAN B = TIDAK(TIDAK(A) ATAU TIDAK(B)
dan
JIKA A MAKA B = A’ + B
yang dapat dituliskan dalam bentuk rumus simbolis
A & B = (A’ + B’)’
dan
A ->B = A’ + B
Dengan menggunakan rumus-rumus ini, Mengingat A itu sama dengan
TIDAK(TIDAK(A)) atau A’’ , maka aksioma Robbins dapat ditulis sebagai
berikut
A = ( A’-> B) & ( A’ -> B’)
Rumus ini dapat dinyatakan dalam kata-kata sebagai berikut
+--------------------------------+
|A BENAR |
|jika dan hanya jika |
|TIDAK A menimbulkan kontradiksi |
|di mana B dan TIDAK B |
|sekaligus sama-sama BENAR. |
+--------------------------------+
Pernyataan ini adalah apa yang dalam tradisi logika klasik sebagai argumentasi
Reductio Ad Absurdum
Akhirnya kini dapatlah disimpulkan bahwa seluruh Aljabar Logika Boole dapat dibangun
atas sebuah aksioma tunggal yaitu aksioma Robbins yang sebenarnya tak lain dari
perumusan prinsip Reductio Ad Absurdum.
20

21. Dalam perspektif ini seluruh logika modern secara aljabar bertumpu pada hanya satu
landasan tunggal argumentasi klasik yang sangat intuitif jika dirumuskan dalam
perlambangan berbentuk gambar-gambar dimensi dua. Bagi saya, ini adalah sebuah
keindahan intelektual yang luar biasa dan mengagumkan.
Sependapatkah Anda dengan saya?
21