SALAH SATU SEJARAH DALAM BIDANG MATEMATIKA

1. SEJARAH GEOMETRI NON EUCLIDES
Pada sekitar 300 SM Euclid menulis The Elements, sebuah buku yang menjadi salah satu buku
paling terkenal yang pernah ditulis. Euclid menyatakan lima postulat yang ia mendasarkan
semua teoremanya. Postulat kelima Euclid yang berbunyi :
“Jika dua garis yang ditarik sehingga mereka berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga
jumlah dari sudut interior pada satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mereka dua
baris, jika diperpanjang cukup jauh, harus berpotongan satu sama lain pada sisi tertentu”.
Jelas bahwa postulat kelima berbeda dari keempat lainnya. Itu tidak memuaskan Euclid dan ia
berusaha menghindari penggunaannya selama mungkin, sebenarnya 28 proposisi pertama The
Elements terbukti tanpa menggunakannya. Komentar lain yang muncul pada saat ini adalah
bahwa Euclid dan banyak pengikutinya, mengasumsikan bahwa garis lurus itu tak terbatas.
Proclus (410-485) menulis komentar di The Elements mana dia komentar pada bukti-bukti
mencoba untuk menyimpulkan dalil kelima dari empat lainnya, khususnya ia mencatat bahwa
Ptolemy telah menghasilkan bukti ‘palsu’. Proclus kemudian melanjutkan untuk memberikan
bukti palsu sendiri. Namun ia tidak memberikan dalil berikut ini yang himpunanara dengan
postulat kelima.
Aksioma Playfair: “Mengingat garis dan titik tidak di baris tersebut, adalah mungkin untuk
menarik tepat satu garis melalui titik sejajar ke garis.”
Meskipun terkenal dari zaman Proclus , ini menjadi dikenal sebagai Aksioma Playfair
himpunanelah John Playfair menulis komentar terkenal pada Euclid tahun 1795 di mana ia
mengusulkan mengganti Euclid ‘s postulat kelima dengan aksioma tersebut.
Banyak usaha dilakukan untuk membuktikan dalil kelima dari empat lainnya, banyak dari
mereka yang diterima sebagai bukti untuk jangka waktu sampai kesalahan itu ditemukan. Selalu
kesalahan itu dengan asumsi beberapa ‘jelas’ properti yang ternyata himpunanara dengan dalil
kelima. bukti ‘Satu seperti’ diberikan oleh Wallis tahun 1663 ketika ia berpikir bahwa ia telah
menyimpulkan dalil kelima, tapi ia benar-benar menunjukkan hal itu adalah himpunanara
dengan:
“Untuk himpunaniap segitiga, terdapat sebuah segitiga yang sama besarnya sewenang-wenang.”
Salah satu bukti mencoba ternyata lebih penting daripada kebanyakan orang lain. Ini diproduksi
tahun 1697 oleh Girolamo Saccheri. Pentingnya Saccheri pekerjaan adalah bahwa ia dianggap
dalil kelima palsu dan berusaha untuk mendapatkan kontradiksi.
Berikut adalah segiempat Saccheri

2. Dalam gambar tersebut Saccheri membuktikan bahwa sudut puncak di D dan C merupakan
bukti equal.The menggunakan sifat-sifat segitiga kongruen yang Euclid dibuktikan dalam
Proposisi4 dan 8 yang terbukti sebelum postulat kelima digunakan.Saccheri telah menunjukkan:
a) sudut puncak adalah> 90 ° (hipotesis dari sudut tumpul).
b) sudut puncak adalah <90 ° (hipotesis dari sudut akut).
c) sudut puncak adalah = 90 ° (hipotesis dari sudut kanan).
Postulat kelima Euclid adalah c). Saccheri membuktikan bahwa hipotesis sudut tumpul tersirat
dalil kelima, sehingga mendapatkan kontradiksi. Saccheri kemudian mempelajari hipotesis sudut
lancip dan banyak teorema yang berasal dari non-Euclidean geometri tanpa menyadari apa yang
ia lakukan. Namun ia akhirnya ‘membuktikan’ bahwa hipotesis sudut lancip menyebabkan
kontradiksi dengan asumsi bahwa ada ‘titik di infinity’ yang terletak di bidang.
Pada 1766 Lambert mengikuti garis yang mirip dengan Saccheri . Namun ia tidak jatuh ke dalam
perangkap yang Saccheri jatuh ke dalam dan menyelidiki hipotesis sudut lancip tanpa
memperoleh kontradiksi. Lambert memperhatikan bahwa, dalam hal ini geometri baru, jumlah
sudut segitiga meningkat sebagai kawasan segitiga menurun.
Legendre menghabiskan 40 tahun hidupnya bekerja pada postulat paralel dan bekerja muncul
dalam lampiran berbagai edisi buku sukses geometrinya sangat Elements de Géométrie.
Legendre membuktikan bahwa Euclid ‘s postulat kelima adalah himpunan dengan jumlah sudut
segitiga sama dengan dua sudut siku-siku. Legendre menunjukkan, Saccheri telah lebih dari 100
tahun sebelumnya, bahwa jumlah sudut segitiga tidak bisa lebih dari dua sudut siku-siku. Ini,
sekali lagi seperti Saccheri, beristirahat pada kenyataan bahwa garis lurus yang tak terbatas.
Dalam mencoba untuk menunjukkan bahwa nilai sudut tidak boleh kurang dari 180°, Legendre
mengasumsikan bahwa melalui himpunan titik di pedalaman sudut selalu mungkin untuk
menarik garis yang memenuhi kedua sisi sudut. Hal ini ternyata menjadi bentuk lain
himpunanara dengan postulat kelima, tapi Legendre tidak pernah menyadari kesalahannya
sendiri.
Dasar geometri adalah dengan saat ini tergenang di dalam masalah dalil paralel. D’Alembert ,
pada tahun 1767, menyebutnya skandal geometri dasar. Orang pertama yang benar-benar datang
untuk memahami masalah paralel adalah Gauss. Dia mulai bekerja pada postulat kelima tahun
1792 sementara hanya 15 tahun, pada awalnya mencoba untuk membuktikan postulat kesejajaran
dari empat lainnya. Pada 1813 ia telah membuat sedikit kemajuan dan menulis:
“Dalam teori paralel kita bahkan sekarang tidak lebih jauh dari Euclid . Ini merupakan bagian
memalukan matematika …”

3. Namun dengan 1817 Gauss telah menjadi yakin bahwa postulat kelima independen dari empat
postulat lainnya. Dia mulai bekerja di luar konsekuensi geometri di mana lebih dari satu baris
dapat ditarik melalui paralel titik tertentu untuk garis yang diberikan. Mungkin yang paling
mengejutkan dari semua, Gauss pernah menerbitkan karya ini, tetapi merahasiakannya. Pada
waktu berpikir didominasi oleh Kant yang telah menyatakan bahwa geometri Euclidean adalah
kebutuhan yang tak terelakkan dari pemikiran dan Gauss tidak menyukai kontroversi.
Gauss membahas teori paralel dengan temannya, matematikawan Farkas Bolyai yang membuat
bukti palsu beberapa postulat paralel. Farkas Bolyai mengajari anaknya János Bolyai
matematika. Pada tahun 1823 János Bolyai menulis kepada ayahnya, mengatakan bahwa dia
mengetahui bahwa Gaus telah menemukan masalah tersebut sebelumnya namun tidak
mempublikasikannya. János Bolyai butuh waktu dua tahun untuk menerbitkan bukunya.
Pekerjaan Bolyai berkurang karena Lobachevsky menerbitkan bekerja pada geometri non
Euclidean 1829. Baik Bolyai maupun Gauss tahu pekerjaan Lobachevsky, terutama karena hanya
diterbitkan dalam bahasa Rusia di Kazan Messenger publikasi universitas lokal. Lobachevsky
bernasib tidak lebih baik dari Bolyai dalam memperoleh pengakuan publik atas kerja pentingnya.
Ia menerbitkan investigasi geometris pada teori paralel pada tahun 1840 yang dalam 61
halamannya, memberikan catatan paling jelas dari pekerjaan Lobachevsky.
Penerbitan rekening di Perancis di Crelle ‘s ‘s Journal pada tahun 1837 membawa karyanya di-
Euclidean geometri non khalayak luas tetapi komunitas matematika tidak siap untuk menerima
ide-ide begitu revolusioner.
Dalam Lobachevsky buklet 1840 ia menjelaskan dengan jelas bagaimana geometri non-
Euclidean karya-karyanya.
“Semua garis lurus yang dalam bidang keluar dari titik bisa, dengan mengacu pada garis lurus
yang diberikan pada bidang yang sama, dibagi menjadi dua kelas – ke dalam pemotongan dan
non-potong. garis batas ini dari satu dan kelas lain dari baris tersebut akan dipanggil sejajar
dengan garis yang diketahui.”
Berikut ini adalah diagram Lobachevsky
Oleh karena itu Lobachevsky telah menggantikan postulat kelima Euclid dengan Postulat paralel
Lobachevsky:
“Terdapat dua garis sejajar dengan garis yang diberikan melalui suatu titik tertentu tidak di
telepon.”