1) The document discusses Fibonacci, the Italian mathematician who introduced the Arabic numeral system to Europe and discovered the Fibonacci sequence. 2) It provides examples of different types of real number sequences including bounded, monotonic, and convergent/divergent sequences. 3) The key concepts covered are the nth term of a sequence, classes of sequences (bounded, monotonic), and convergence/divergence of sequences.

1. ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual UNI

2. Sucesiones reales
Semana 29

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝐃𝐢𝐟𝐞𝐫𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚𝐫 𝐮𝐧𝐚
𝐬𝐮𝐜𝐞𝐬𝐢ó𝐧 𝐚𝐜𝐨𝐭𝐚𝐝𝐚
𝐲 𝐦𝐨𝐧ó𝐭𝐨𝐧𝐚
𝐈𝐝𝐞𝐧𝐭𝐢𝐟𝐢𝐜𝐚𝐫 𝐥𝐚𝐬
𝐬𝐮𝐜𝐞𝐬𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬
𝐜𝐨𝐧𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬
𝐲 𝐝𝐢𝐯𝐞𝐫𝐠𝐞𝐧𝐭𝐞𝐬
𝐑𝐞𝐜𝐨𝐧𝐨𝐜𝐞𝐫
𝐮𝐧𝐚
𝐬𝐮𝐜𝐞𝐬𝐢ó𝐧 𝐫𝐞𝐚𝐥
C U R S O D E Á L G E B R A

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
 Leonardo da Pisa , también conocido como Fibonacci, fue un
matemático italiano nacido en 1175 y fallecido en el año 1240.
 Uno de sus mayores logros es el de ser uno de los pioneros
en introducir el sistema de numeración arábigo en Europa, y
por lo tanto, también introdujo el número 0.
 Aparte de ello, fue el descubridor de la denominada sucesión
de Fibonacci.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
 La historia dice que Fibonacci se fijó en esta secuencia
mediante la reproducción de los conejos. El problema dice
así: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año, si
comenzamos con una pareja que produce cada mes otra
pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida?
C U R S O D E Á L G E B R A

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Sucesiones reales
Una sucesión es una función cuyo dominio es el
conjunto de los números naturales y su rango es un
subconjunto de los números reales, es decir:
ℕ
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
.
.
.
ℝ
𝒇
𝒇(𝟏)
𝒇(𝟐)
𝒇(𝟑)
𝒇(𝟒)
.
.
.
= 𝒂𝟏
= 𝒂𝟐
= 𝒂𝟑
= 𝒂𝟒
.
.
.
Donde
𝑎1; 𝑎2; 𝑎3 ; 𝑎4; . . . : Términos de la sucesión.
Notación
Una sucesión se puede denotar de la forma:
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 𝑛≥1 = 𝑎𝑛 𝑛∈ℕ = 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; 𝑎4; . .
Ejemplos
1
𝑛
1. =
1
1
;
1
2
;
1
3
;
1
4
; . . .
sucesión armónica
𝑛2
2. = 12; 22; 32; 42;. . .
Sen𝑛 𝑛≥1
3. = Sen1;Sen2;Sen3;Sen4;. . .
(−1)𝑛. 𝑛 𝑛∈ℕ
4. = −1; 2; −3; 4; . . .
6
5. = 6; 6; 6; 6; . . .

6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Término 𝒏 −ésimo
Llamado también término general o ley de formación.
Es la expresión que nos indica cómo se relacionan los
elementos del dominio con su rango, denotado por lo
general como 𝑎𝑛.
Ejemplos
1. = 2; 4; 6; 8; . . .
𝑎𝑛 𝑎𝑛 = 2𝑛
2. = 1; 2; 6; 24; . . . 𝑏𝑛 = 𝑛!
𝑏𝑛 𝑛∈ℕ
𝑥𝑛
3. =
1
2
;
1
4
;
1
8
;
1
16
; . . . 𝑥𝑛 =
1
2
𝑛
𝑦𝑛 𝑛≥1
4. = 1; 4; 27;256; . . . 𝑦𝑛 = 𝑛𝑛
𝒏 + 1
2𝒏 + 1
Aplicación
2
3
;
3
5
;
4
7
;
5
9
; . . .
Determine el vigésimo término de la siguiente sucesión.
Hallaremos el término general.
Resolución
𝑎𝟏 =
2
3
𝑎𝟐 =
3
5
𝑎𝟑 =
4
7
𝑎𝟒 =
5
9
=
𝟏 + 1
2. 𝟏 + 1
=
𝟐 + 1
2. 𝟐 + 1
=
𝟑 + 1
2. 𝟑 + 1
=
𝟒 + 1
2. 𝟒 + 1
𝑎𝒏 =
Entonces el vigésimo término será:
𝑎𝟐𝟎 =
𝟐𝟎 + 1
2. 𝟐𝟎 + 1
=
𝟐𝟏
𝟒𝟏
Sea la sucesión 𝑎𝑛 donde:

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Clases de sucesiones
I. Sucesión acotada
Una sucesión es acotada si todos sus términos están entre
dos números reales, es decir:
(𝑎𝑛) es acotada ↔ 𝑝 < 𝑎𝑛 < 𝑞; ∀ 𝑛 ∈ ℕ, tal que 𝑝 y 𝑞 ∈ ℝ
Ejemplos
1
𝑛
1. =
1
1
;
1
2
;
1
3
;
1
4
; . . . ¿Es acotada?
Si, porque 0 <
1
𝑛
< 2; ∀ 𝑛 ∈ ℕ
Sen𝑛 𝑛≥1
2. = Sen1;Sen2;Sen3;Sen4;. . . ¿Es acotada?
Si, porque −1 ≤ Sen𝑛 ≤ 1; ∀ 𝑛 ∈ ℕ
3. 𝑛2 = 12; 22; 32; 42;. . . ¿Es acotada?
No, porque 0 < 𝑛2; ∀ 𝑛 ∈ ℕ.
Pero, es acotada inferiormente.
4. = −2; −4; −8; −16; . . .
−2𝑛
𝑛∈ℕ ¿Es acotada?
No, porque −2𝑛 < −1; ∀ 𝑛 ∈ ℕ.
Pero, es acotada superiormente.
6 𝑛≥1
2. = 6; 6; 6; 6; . . . ¿Es acotada?
Si, porque 5 < 𝑎𝑛 < 7; ∀ 𝑛 ∈ ℕ
(−1)𝑛. 𝑛 𝑛∈ℕ
5. = −1; 2; −3; 4; . . . ¿Es acotada?
No es acotada, ni siquiera es acotada
superiormente e inferiormente (es no
monótona).

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
1) Como: 𝑛 ≥ 1
entonces
∴ 𝑎𝑛 es acotada
Aplicación
𝑎𝑛 =
2
𝑛 + 1
Indique si las siguientes sucesiones son acotadas.
Resolución
𝑛 ∈ ℕ
𝑛 ≥ 1
𝑛 + 1 ≥ 2
1
𝑛 + 1
≤
1
2
0 <
0 <
2
𝑛 + 1
≤ 1
𝑎𝑛
𝑏𝑛 =
𝑛 − 2
𝑛 + 1
Como: 𝑛 ≥ 1
entonces
𝑛 ∈ ℕ
𝑛 + 1 ≥ 2
1
𝑛 + 1
≤
1
2
0 <
2)Trasformaremos el término enésimo
𝑏𝑛 =
𝑛 − 2
𝑛 + 1
𝑏𝑛 =
𝑛 − 2
𝑛 + 1
− 1 + 1
𝑏𝑛 =
−3
𝑛 + 1
+ 1
0 >
−3
𝑛 + 1
≥ −
3
2
1 >
−3
𝑛 + 1
+ 1 ≥ −
1
2
𝑏𝑛
∴ 𝑏𝑛 es acotada
+𝟏
𝑰𝒏𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒓
× 𝟐
+𝟏
I𝒏𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒓
× (−𝟑)
+𝟏

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
II. Sucesión monótona
Una sucesión 𝑎𝑛 es monótona si es uno de los siguientes tipos:
Sucesión
Creciente
Decreciente
NO creciente
NO decreciente
Definición
𝒂𝟏 < 𝒂𝟐 < 𝒂𝟑 < 𝒂𝟒< . . .
o 𝒂𝒏 < 𝒂𝒏+𝟏 ; ∀ 𝒏 ∈ ℕ
𝒂𝟏 > 𝒂𝟐 > 𝒂𝟑 > 𝒂𝟒> . . .
o 𝒂𝒏 > 𝒂𝒏+𝟏 ; ∀ 𝒏 ∈ ℕ
Ejemplo
𝑛2 = 12; 22; 32; 42;. . .
12 < 22 < 32 < 42 < . . .
Es creciente porque,
−3𝑛 = −3; −6; −9; −12; . . .
−3 > −6 > −9 > −12 > . . .
Es decreciente porque,
𝒂𝟏 ≥ 𝒂𝟐 ≥ 𝒂𝟑 ≥ 𝒂𝟒≥ . . .
o 𝒂𝒏 ≥ 𝒂𝒏+𝟏 ; ∀ 𝒏 ∈ ℕ
2; 2; 5; 7; 7; 7; 8; . . .
2 ≤ 2 ≤ 5 ≤ 7 ≤ 7 ≤ 7 ≤ 8 ≤ . . .
Es NO decreciente porque,
𝒂𝟏 ≤ 𝒂𝟐 ≤ 𝒂𝟑≤ 𝒂𝟒≤ . . .
o 𝒂𝒏 ≤ 𝒂𝒏+𝟏 ; ∀ 𝒏 ∈ ℕ
9; 5; 4; 4; 0; −2 . . .
9 ≥ 5 ≥ 4 ≥ 4 ≥ 0 ≥ −2 ≥ . . .
Es NO creciente porque,

10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Convergencia y divergencia
de una sucesión
Sea la sucesión 𝑎𝑛 donde: lim
𝑛→+∞
𝑎𝑛 = 𝐿
Si 𝐿 ∈ℝ, la sucesión 𝑎𝑛 converge a 𝐿.
Ejemplos
lim
𝑛→+∞
1
𝑛
1.
la sucesión 𝑎𝑛 es divergente.
Si 𝐿 es
+∞
∄
−∞
Indique si las sucesiones son convergentes o
divergentes
1
𝑛 = 0
1
𝑛
converge a 0
lim
𝑛→+∞
3𝑛 + 1
4𝑛 − 1
2.
3𝑛 + 1
4𝑛 − 1
=
3
4
3𝑛 + 1
4𝑛 − 1
converge a
3
4
·
lim
𝑛→+∞
2𝑛
3. 2𝑛
𝑛∈ℕ = +∞ 2𝑛
𝑛∈ℕ diverge al +∞.
lim
𝑛→+∞
−𝑛4
4. −𝑛4
= −∞ −𝑛4 es divergente al − ∞.
5.
1
2
;
1
4
;
1
8
;
1
16
; . . . 𝑎𝑛 =
1
2
𝑛
lim
𝑛→+∞
1
2
𝑛
= 0
1
2
𝑛
converge a 0.

11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Para obtener el valor de convergencia de
la sucesión tenemos que calcular el limite.
lim
𝑛→+∞
𝑛 + 2020 𝑛−1 𝑛
∴ 𝑥𝑛 converge al número 𝑒2020
Aplicación 1
Halle el valor de convergencia de la
siguiente sucesión.
Resolución
= 𝑒2020
𝑥𝑛 = 𝑛 + 2020 𝑛−1 𝑛
Determine el punto de convergencia de la siguiente sucesión
lim
𝑛→+∞
𝑛 + 2020
𝑛
𝑛
lim
𝑛→+∞
1 +
2020
𝑛
𝑛
Aplicación 2
Resolución
𝑎1 = 666
𝑛 = 2 𝑎2 =
1
2
𝑎1
𝑛 = 3
𝑛 = 1
𝑛 = 4
𝑎𝑛 =
1
2
𝑎𝑛−1
𝑎3 =
1
2
𝑎2
𝑎4 =
1
2
𝑎3
⋮ ⋮
=
1
2
1
2
2
666
𝑎1 = 666, 𝑎𝑛 =
1
2
𝑎𝑛−1; 𝑛 ≥ 2
= 666
1
2
𝟐−1
𝑎𝑛 = 666
1
2
𝒏−1
lim
𝑛→+∞
666
1
2
𝑛−1
∴ 𝑎𝑛 converge al número 0
Es la relación de recurrencia que nos permite
encontrar a los términos de la sucesión a
partir de otros términos anteriores.
0
=
1
2
666
= 666
1
2
𝟑−1
=
1
2
1
2
666
= 666
1
2
𝟒−1
= 0

12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Observaciones adicionales
C U R S O D E Á L G E B R A
Existen sucesiones que no son monótonas
𝑥𝑛 = −1 𝑛
Ejemplos
= −1; 1; −1; 1; −1; …
𝑎𝑛 =
3𝑛 ; 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
3−𝑛; 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
=
1
3
; 9;
1
27
; 81; …
Existe un grupo de sucesiones llamadas
alternantes y son aquellas que alternan
los signos de sus términos.
𝑥𝑛 = −2 𝑛
Ejemplos
= −2; 4; −8; 16; −32; …
= −1;
1
2
; −
1
3
;
1
4
; …
𝑎𝑛 =
−1 𝑛
𝑛
Sucesiones constantes
𝑎𝑛 es constante ↔ 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 ∀ 𝑛 ∈ ℕ
Ejemplos
𝑥𝑛 = 1 = 1; 1; 1; 1; …
𝑎𝑛 = −10 = −10; −10; −10;…

13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Teoremas.
C U R S O D E Á L G E B R A
Si una sucesión es acotada y monótona
entonces la sucesión es convergente.
𝑥𝑛 =
1
𝑛
Ejemplo
=
1
2
;
1
22 ;
1
23 ;
1
24 ; …
1)
Toda sucesión convergente es acotada
2)
𝑏𝑛 =
1
2𝑛
Ejemplo
Lo contrario no necesariamente se cumple.
−1 𝑛
𝑛
=
1
1
; >
1
2
; >
1
3
; >
1
4
; . . . es monótona
0 < 𝑥𝑛 < 2
Y también es acotada ya que
Entonces es convergente
𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜
= −1;
1
2
; −
1
3
;
1
4
; …
La sucesión es convergente pero no
monótona.
lim
𝑥→+∞
1
2𝑛
Notamos que = 0 entonces es acotada
0 < 𝑏𝑛 < 1
Lo contrario no necesariamente se
cumple.
−1 𝑛
Es acotada
= −1; 1; −1; 1; …
−2 < 𝑥𝑛< 2, pero no converge

14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Teoremas.
C U R S O D E Á L G E B R A
Sea la sucesión 𝑎𝑛 que converge a 𝐿 ∈ ℝ, se cumple:
3)
Aplicación
Se aplica principalmente cuando se tiene la relación
de recurrencia.
lim
𝑥→+∞
𝑎𝑛
Si la sucesión convergente 𝑎𝑛 está definida por la
forma recursiva 𝑎1 = 0 y 2𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 1. Determine
el punto de convergencia de la sucesión.
Resolución
Aplicando el teorema tres, tomaremos limite a la
forma recursiva.
2𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 1
lim
𝑥→+∞
2𝑎𝑛+1 = lim
𝑥→+∞
𝑎𝑛 + 1
2 lim
𝑥→+∞
𝑎𝑛+1 = lim
𝑥→+∞
𝑎𝑛 + 1
= 𝐿 + 1
𝐿 = 1
∴ La sucesión converge a 1
2 𝐿
= ⋯ = 𝐿
= lim
𝑥→+∞
𝑎𝑛+2
= lim
𝑥→+∞
𝑎𝑛+1

15. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e