Tutorial ini membahas konsep relasi dan sifat-sifatnya seperti refleksif, simetri, transitif, dan ekivalen. Relasi didefinisikan sebagai hubungan antara elemen-elemen dari dua himpunan, dan dapat direpresentasikan sebagai himpunan pasangan terurut. Sifat-sifat relasi digunakan untuk mengklasifikasi jenis relasi.

1. Tutorial 2
Matakuliah
Pengantar Matematika (MATA4101)
(Modul 2)
Dyah Paminta Rahayu
Universitas Terbuka

2. Pendahuluan
• Menjelaskan konsep relasi diantara dua himpunan
atau pada himpunan dengan contoh-contohnya.
• Menjelaskan sifat-sifat relasi dan contoh-contohnya.
• Menjelaskan kelas ekivalen dan partisi.
• Menjelaskan relasi sebagai himpunan pasangan
terurut.
Setelah mengikuti tutorial ini diharapkan anda dapat :
1. Relasi
2. Sifat-sifat Relasi
Materi

3. Relasi
Definisi :
Diberikan dua himpunan A dan himpunan B yang tidak kosong.
Relasi R antara A dan B didefinisikan sebagai kaitan dari elemen-
elemen tertentu anggota A dengan elemen-elemen tertentu
anggota B
Jika R Relasi pada A dan B, maka
 Relasinya diberikan dalam perkalian kartesis AxB
 A merupakan domain dari R
 B merupakan codomain dari R
 Untuk a A dan b B, maka ditulis
 Untuk kasus B = A, relasi pada AxA ditulis
sebagai relasi pada A.
aRb atau R(a,b)
 

4. Relasi
Jika diberikan dua himpunan A ={1,2,3,4,5} dan B ={a,b,c,d,e,f}
yang tidak kosong
Contoh 1 :
1
2
3
4
5
A
a
b
c
d
e
B
Jika R suatu Relasi pada AxB dengan R(1,a), R(3,b), R(3,d), dan
R(5,d), maka diagram dari relasi R ditunjukkan oleh gambar diatas.
R

5. Relasi
Contoh 2:
Jika Di dalam suatu keluarga yang beranggotakan 5 orang
A = {ozy, esy, ody, fian, fio} diberikan relasi ”lebih tua”
sebagimana diperlihatkan oleh diagram berikut,
.
• 0zy lebih tua dari esy, ody, fian, fio
• Esy lebih tua dari ody, fian, fio
• Ody lebih tua dari fian, fio
• Fian lebih tua dari fio
Berarti :
• Fio paling muda, tidak lebih tua
dari siapapun
A A
ozy
esy
ody
fian
fio
ozy
esy
ody
fian
fio
R

6. Sifat-sifat Relasi
Sifat Refleksif
Sifat-sifat Relasi yang dibahas pada tutorial ini adalah refleksif,
simetri, transitif, dan ekivalensi
Misalkan R relasi pada himpunan A.
R dikatakan refleksif jikka ,
a A aRa
 
2. Relasi < pada himpunan bilangan bulat Z
a a

berlaku
a Z
 
Contoh
1. Relasi pada himpunan bilangan bulat Z bersifat refleksif.

=>tidak refleksif.
a tidak a


7. Sifat-sifat Relasi
Sifat Simetri
Misalkan R relasi pada himpunan A.
R dikatakan simetri jikka , ,
a b A aRb bRa
  
Contoh
1. Relasi R pada himpunan bilangan bulat Z yang didefinisikan
, ,
a b Z aRb a b
    genap
a b
 b a
 
genap genap
=> simetri
2. Relasi R pada himpunan bilangan bulat Z yang didefinisikan
aRb a b
  positif => tidak simetri
4 2 2
  positif, 2 4 2
   negatif
Misal maka
4, 2
a b
 
aRb bRa

berarti
aRb tetapi bRa

8. Sifat-sifat Relasi
Sifat Transitif
Misalkan R relasi pada himpunan A.
R dikatakan transitif jikka
Contoh
1. Relasi < pada himpunan bilangan bulat Z => transitif
2. Relasi  pada L himpunan semua garis yang terletak pada
satu bidang
, , , dan
a b c A aRb bRc aRc
  
, , , dan
a b c Z a b b c a c
     
=> tidak transitif
, , , dan
a b c L a b b c
   //
a c


9. Sifat-sifat Relasi
Sifat Ekivalen
Misalkan R relasi pada himpunan A.
R dikatakan relasi ekivalen jikka R memenuhi sifat
refleksif, simetri dan transitif.
Contoh:
1. Relasi (sejajar) pada himpunan garis-garis di bidang
adalah relasi ekivalen.
//
Untuk garis-garis di bidang berlaku :
, ,
m n
.
//
(i) Refleksif
// m //
m
(ii) Simetris
// m //
m n // n
dan
(iii) Transitif
2. Relasi “=“ (sama) pada himpunan real R adalah relasi ekivalen
(buktikan sendiri sebagai latihan)

10. Kelas Ekuivalen dan Parisi
Kelas Ekivalen
.
Kelas Ekiv
Jika merupakan relasi ekivalen pada himpunan
Maka , dari (modulo ) didefinisikan sbb
[
alen
] { R }
R A
a A a R
a x A a x
 
 
dari (modulo ) adalah
setiap anggota dimana
Kelas
ber
Ekivale
rel
n
asi
a R
x A a x
Partisi
dari himpunan adalah koleksi himpunan
bagian dari A yang saling lepas dan memenuhi
,
dari
Partis A
A A
i
A
A
 




 

11. Relasi sebagai Himpunan Pasangan
Terurut dan Graf
Bila R relasi antara dua himpunan A dan B didefinisikan
sebagai himpunan sbb.
.
R {( , ) R } ... definisi (1)
a b A B a b
  
Relasi merupakan himpunan pasangan berurutan ,
dan dimana berrelasi
a A b B a b
 
R ( , )
a b
Jadi untuk setiap elemen dan berlaku
a A b B
 
R ( , ) R
a b a b
 
berrelasi dengan jika dan hanya jika ( , )
anggota dari himpunan R
a b a b

12. Relasi sbg Himpunan PasanganTerurut
Dengan definisi (1) di atas, maka sifat-2 refleksif, simetri, dan
transitif untuk relasi pada himpunan dituliskan sbb;
.
R
bersifat , R
bersifat refleksif jika dan hanya jika
untuk setiap anggota A, berrelasi dengan
refle f
si
k
R a A a a
R
a a a
  

bersifat , , R R
bersifat simetri jika dan hanya jika
untuk setiap , anggota , jika berelasi dengan maka
berelasi
sim
deng
t
an
e ri
R a b A a b b a
R
a b A a b
b a
   

A
bersifat , , , dan
bersifat transitif jika dan hanya jika
untuk setiap , , anggota , jika berrelasi dengan dan
berrelasi dengan , maka berrelasi deng
transitif
R a b c A aRb bRc aRc
R
a b c A a b
b c a
   

an c