Perbandingan DFS vs BFS Aspek DFS BFS Pendekatan Masuk ke jalur terdalam dulu Menjelajah per level Struktur data Stack atau rekursi Queue Cocok untuk Masalah backtracking (maze, puzzle) Menemukan jalur terpendek di graf tak berbobot Memori Bisa lebih hemat Bisa memakan banyak memori di graf besar Waktu O(V + E) O(V + E)

1. RELASI DAN FUNGSI
Dosen Pengampu:
Zainul Mujtahid, S.Pd., M.Si.P
Oleh Kelompok 1

2. ANGGOTA KELOMPOK
1) Syafirly Ramadhana (220710036)
2) Siti Barokah Purba (220710055)
3) Khairani Hanum (220710060)
4) Sadrina Nura (220710073)

3. Sub Materi
Pengertian
Relasi
Representa
si Relasi
Relasi
Inversi
Komposisi
Relasi
Sifat-Sifat
Relasi
Relasi
Kesetaraan
Relasi
Pengurutan
Parsial

4. Pengertian Relasi
Relasi adalah hubungan antara suatu anggota himpunan dengan anggota himpunan lainnya.
Relasi antara himpunan A dan B-disebut relasi biner. Relasi biner R antara A dan B adalah
himpunan bagian dari A × B.
Notasi:
Perkalian kartesian (cartesian products) dari himpunan dan adalah himpunan yang
elemennya semua pasangan terurut yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama
dari himpunan dan komponen kedua dari himpunan .
Notasi: dan b
Jika , kita gunakan notasi yang artinya dihubungankan dengan oleh , dan jika , kita
gunakan notasi yang artinya tidak dihubungkan oleh oleh relasi . Himpunan disebut
daerah asal (domain) dari , dan himpunan disebut daerah hasil (range atau codomain)
dari .
01

5. Contoh 1:
Misalkan {Amir, Budi, Cecep} adalah himpunan nama mahasiswa, dan {(IF221), (IF251,
(IF342), (IF323)} adalah himpunan kode mata kuliah di Jurusan Teknik Informatika. Perkalian
kartesian antara dan menghasilkan himpunan pasangan terurut yang jumlah anggotanya
adalah buah, yaitu:
{(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342), (Amir, IF323),
(Budi, IF221), (Budi, IF251), (Budi, IF342), (Budi, IF323),
(Cecep, IF221), (Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323)}
Misalkan adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada
semester ganjil yaitu:
Jika {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323)}
Dapat dilihat bahwa:
• A adalah daerah asal dan adalah daerah hasil
• (Amir, IF251) atau Amir IF251
• (Amir, IF342) atau Amir IF342

6. Contoh 2:
Misalkan {2, 3, 4} dan {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi dari ke dengan
jika habis membagi
Maka kita peroleh
{(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}

7. Relasi Khusus
Relasi khusus terjadi karena relasi pada
himpunan adalah relasi dari . Artinya relasi pada
himpunan adalah himpunan bagian dari .
Contoh:
Misalkan adalah relasi pada yang didefinisikan oleh
jika adalah faktor prima dari . Maka

8. 06
Representasi Relasi
Tabel Matriks Graf Berarah
1) Representasi Relasi dengan Tabel
Contoh 1:
Jika {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221),
(Budi, IF251), (Cecep, IF323)}
Contoh 2:
Jika {(2,2), (2,4), (2,8), (4,8), (3,9), (3,15)}
02

9. 06
Misalkan adalah relasi dari dan Relasi dapat disajikan dengan matriks .
Dengan:
Contoh 1:
Jika {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi,
IF221), (Budi, IF251), (Cecep, IF323)}
0 1 0
1 1 0
0 0 0
1
0
1 ]
Ket: 1 Jika dihubungkan dengan
0 Jika tidak dihubungkan dengan
Matriks zero-one
Contoh 2:
Jika {(2,2), (2,4), (2,8), (4,8), (3,9), (3,15)}
[
1 1 1
0 0 0
0 1 1
0 0
1 1
0 0
2) Representasi Relasi dengan Matriks

10. 06
Pada representasi graf berarah, tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah
titik (simpul/vertex) dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) yang
arahnya ditunjukkan dengan sebuah panah. Dengan kata lain, jika maka sebuah
busur dibuat dari simpul (simpul asal) ke simpul (simpul tujuan).
Contoh:
Ket:
Pasangan terurut disebut
gelang/kalang (loop)
3) Representasi Relasi dengan Graf Berarah

11. 06
Relasi Inversi
Misalkan adalah relasi dari himpunan ke himpunan . Inversi dari relasi dilambangkan dengan ,
adalah relasi dari ke A yang didefinisikan oleh:
Contoh:
Misalkan dan . Jika kita definisikan relasi dari ke dengan
jika habis membagi
Maka kita peroleh
adalah invers dari , yaitu relasi dari ke dengan
jika adalah kelipatan dari .
maka kita peroleh
03

12. Matriks yang mempresentasikan relasi
Misal , diperoleh dengan melakukan
transpose terhadap matriks
Matriks yang mempresentasikan relasi

13. Komposisi Relasi
Misalkan adalah relasi dari himpunan ke himpunan , dan adalah relasi dari himpunan ke
himpunan . Komposisi dan , dinotasikan dengan , adalah relasi dari ke yang didefinisikan
oleh:
, dan untuk beberapa dan (b, c) e S}
Dengan kata lain, kita menerapkan relasi R lebih dahulu, baru kemudian relasi .
Contoh:
Misalkan } adalah relasi dari himpunan ke himpunan dan
adalah relasi dari himpunan ke himpunan Maka komposisi
relasi dan adalah:
04

14. Note:
Jika relasi dan masing-masing dinyatakan dengan matriks dan , maka matriks yang menyatakan
komposisi dari kedua relasi tersebut adalah
= .
dalam hal ini, operator “.” sama seperti pada perkalian matriks biasa, tetapi dengan mengganti tanda
kali dengan “” dan tanda tambah dengan “”.
Contoh:
Misalkan bahwa relasi pada himpunan dinyatakan oleh matriks
dan
maka matriks yang menyatakan , adalah

15. Note:
Simbol digunakan untuk mendefinisikan komposisi relasi dengan dirinya sendiri sebanyak kali,
yaitu: (sebanyak kali)
dan =
Oleh karena =
Maka .
Contoh:
Misalkan adalah relasi pada himpunan . Tentukan
Penyelesaian:
Karena
Adapun matriks yang merepresentasikan relasi adalah

16. 06
Sifat-Sifat Relasi
Refleksif
Setangkup dan
Tolak Setangkup Menghantar
1) Refleksif (Reflexive)
Relasi pada himpunan disebut refleksif jika untuk setiap
Artinya relasi refleksif setiap elemen di dalam berhubungan dengan dirinya sendiri. Dan
relasi pada himpunan tidak refleksif jika ada sedemikian sehingga .
Contoh
Diketahui dan adalah relasi yang didefinisikan pada himpunan
Maka
Relasi tersebut bersifat reflektif karena setiap anggota himpunan bertemu dengan dirinya
sendiri.
05

17. Relasi yang bersifat refleksif
mempunyai matriks yang
elemen diagonal utamanya
semua bernilai 1, atau , untuk ,
2, ...,
Note:
Graf berarah dari relasi yang
bersifat refleksif dicirikan
adanya gelang pada
setiap simpulnya.

18. 2) Setangkup (symmetric) dan Tolak-setangkup (antisymmetric)
Relasi pada himpunan disebut setangkup jika maka , untuk semua
 Setangkup (symmetric)
 Tolak Setangkup (Anti-symmetric)
Relasi pada himpunan disebut tolak setangkup jika maka , untuk semua

19. Contoh:
Misalkandan relasi di bawah ini didefinisikan pada himpunan , maka
a) Relasi bersifat setangkup karena jika maka juga . Di sini dan , begitu juga dan .
b) (b) Relasi tidak setangkup karena , tetapi.
c) Relasi } tolak-setangkup karena dan , dan , dan . Perhatikan bahwa juga setangkup.
d) Contoh lain relasi tolak setangkup: }
d) Relasi tidak tolak-setangkup karena tetapi dan anggota .

20. Relasi yang bersifat setangkup memiliki matriks
yang elemen-elemen di bawah diagonal utama
merupakan pencerminan dari elemen-elemen di
atas diagonal utama, atau, untuk . Matriks dari
relasi setangkup diperlihatkan seperti di bawah
ini:
Note:
Matriks dari relasi tolak-setangkup
mempunyai sifat yaitu jika dengan , maka .
Artinya jika salah satu dari atau bila .
Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat
setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari a ke
b, maka juga ada busur dari b ke a.
Sedangkan graf berarah dari relasi yang
bersifat tolak-setangkup dicirikan oleh: jika dan
hanya jika tidak pernah ada dua busur dalam
arah berlawanan antara dua simpul berbeda.

21. 06
3) Menghantar (transitive)
Relasi pada himpunan disebut menghantar jika dan , maka , untuk semua .
Contoh:
Misalkan dan relasi di bawah ini didefinisikan pada himpunan , maka
bersifat menghantar. Periksa dengan membuat tabel berikut:
Note:
Jika , maka relasi tersebut tidak transitif karena
terdapat dan , tetapi
Pada graf berarah, jika ada ada busur dari ke dan dari
ke , maka juga terdapat busur berarah dari ke

22. 06
Relasi Kesetaraan
Relasi pada himpunan disebut relasi kesetaraan (equivalence relation) jika ia refleksif, setangkup
dan menghantar. Dua elemen yang dihubungkan dengan relasi kesetaraan dinamakan setara
(equivalent).
Berdasarkan sifat yang dimilikinya:
• Karena relasi bersifat refleksif, maka setiap elemen setara dengan dirinya sendiri
• Karena relasi bersifat setangkup, maka dua elemen yang dihubungkan relasi adalah setara
• Karena relasi bersifat menghantar, maka jika a dan b setara, b dan c setara maka a dan c setara
Contoh:
Relasi R pada himpunan mahasiswa sedemikian sehingga (a, b) R jika a seangkatan dengan b
Jawab:
 Refleksif: Setiap mahasiswa pasti seangkatan dengan dirinya sendiri
 Setangkup: jika a seangkatan dengan b, maka b pasti seangkatan dengan a
 Menghantar: jika a dan b seangkatan, b dan c seangkatan, maka a dan c pasti seangkatan
Dengan demikian R adalah relasi kesetaraan
06

23. 06
Relasi Pengurutan
Parsial
Relasi pada himpunan dikatakan relasi pengurutan parsial jika ia refleksif, tolak-setangkup, dan
menghantar. Himpunan bersama-sama dengan relasi disebut himpunan terurut secara parsial dan
dilambangkan dengan ().
Contoh 1:
Contoh: Relasi pada himpunan bilangan bulat adalah relasi pengurutan parsial.
Alasan:
• Relasi refleksi, karena untuk setiap bilangan bulat a;
• Relasi tolak-setangkup, karena jika dan , maka ;
• Relasi menghantar, karena jika dan maka .
Contoh 2:
Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat juga adalah relasi pengurutan parsial.
Alasan:
• Bersifat refleksif setiap bilangan bulat habis membagi dirinya sendiri. f. Relasi "habis membagi"
• Bersifat tolak-setangkup, karena habis membagi berarti tidak habis membagi , kecuali jika .
• Bersifat menghantar karena jika habis membagi , dan habis membagi , maka habis membagi .
07

24. LATIHAN
1) Diketahui tiga himpunan yaitu:
, dan C
Dan relasi yang didefinisikan pada himpunan adalah:
dan
Tentukan !
2) Untuk tiap relasi pada berikut, tentukan apakah ia refleksif, setangkup, tak-
setangkup, dan menghantar.
3) Diketahui dan
Apakah relasi tersebut termasuk relasi pengurutan parsial?

25. TERIMA
KASIH