Este archivo contiene problemas resueltos del curso de ecuaciones diferenciales, cada problema esta resuelto paso a paso para su mejor comprensión del lector

1. 1 RESOLVER:
SOLUCION: Dado que tiene la forma: ( )
n
n
d y
f x
dx
= lo solucionamos
mediante integrales sucesivas.
3
3
2
2
2
2
2
1
2
1
1 2
1 2
1
( )
2
2
x
x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
d y
xe
dx
u x du dx
d y
xe dx
dv e dx v e
dx
d y
x e e dx
dx
d y
xe e c
dx
dy
xe dx e dx c dx
dx
dy
xe e e c x c
dx
dy
xe e c x c
dx
y xe dx e dx c
−
−
− −
− −
− −
− −
− − −
− −
− −
=
= → =


= → 
= =
→ =
−


= − +
=
− − +
=
− − +
   
=− − − − − + +
   
= + + +
= + +
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ 2
2
1 2 3
2
1 2 3
2( )
2
3
2
x x x
x x
xdx c dx
x
y xe e xe c c x c
x
y xe xe c c x c
− − −
− −
+
=
− − + − + + +
∴ =
− − + + +
∫ ∫
3
3
x
d y
xe
dx
−
=

2. 2 RESOLVER:
SOLUCION: Dado que tiene la forma: ( )
n
n
d y
f x
dx
= lo solucionamos
mediante integrales sucesivas.
( )
2
2
2
2
2
3
2
1
3
2
1
4 3
1
4 3
1 2
2
2
2
3
3
1 1 1
. .
3 4 3
12 3
d y
x x
dx
dy
x x dx
dx
dy
x dx xdx
dx
dy x
x c
dx
x
y dx x dx c dx
y x x c x
x x
y c x c
= +
= +
= +
= + +
= + +
= + +
∴ = + + +
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
2
2
2
2
d y
x x
dx
= +

3. 3 RESOLVER:
SOLUCION: Dado que tiene la forma: ( )
n
n
d y
f x
dx
= lo solucionamos
mediante integrales sucesivas.
3
3
2
2
2 2
1
2
2
1
3
1 2
3
1 2
4 2
1
2 3
2
4
1
2 3
cos( )
cos( )
( )
2
( )
2
cos( )
6
cos( )
6
1 1
. . ( ) .
6 4 2
( )
24 2
d y
x x
dx
d y
xdx x dx
dx
d y x
sen x c
dx
dy x
dx sen x dx c dx
dx
dy x
x c x c
dx
x
y dx x dx c xdx c dx
c
y x sen x x c x c
c x
x
y sen x c x c
= +
= +
=+ +
= + +
= − + +
= − + +
= − + + +
∴ = − + + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
''' cos( )
y x x
= +

4. 4 RESOLVER:
SOLUCION:
3
3
2
2
2
2
2
1
2
. ( )
. ( )
( ) cos( )
cos( ) cos( )
cos
d y
x sen x
dx
u x du dx
d y
x sen x dx
dv sen x dx v x
dx
d y
x x x dx
dx
d y
x x senx c
dx
=
= → =


= → 
= =
→ =
−


=
− +
=
− + +
∫
∫ ∫
∫
Por condicion: y’’(0)=1
1 1
2
2
2
(0)cos(0) (0) 1 1
cos 1
cos
cos
2cos
sen c c
d y
x x senx
dx
u x du dx
dy
x xdx senxdx dx
dv xdx v senx
dx
dy
xsenx x x c
dx
− + + = → =
=
− + +
= → =


=
− + + → 
= =
→ =


=
− − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Por condicion: y’(0)=2
2 2
2
3
(0) (0) 2cos(0) 0 2 4
2cos 4
2 cos 4
cos 3 4
2
sen c c
dy
xsenx x x
dx
y xsenxdx xdx xdx dx
x
y x x senx x c
− − + + = → =
=
− − + +
=
− − + +
= − + + +
∫ ∫ ∫ ∫
Por condicion: y(0)=2
3
3
. ( ); (0) 0; '(0) 2; ''(0) 1
d y
x sen x y y y
dx
= = = =

5. 2
3 3
2
0
(0)cos(0) 3 (0) 4(0) 0 0
2
cos 3 4
2
sen c c
x
y x x senx x
− + + + = → =
∴
= − + +

6. 3
2
3
2
2
2
2
1
2
1 1
2
2
5
(
1 1
cos ( ); (0) ; '(0) ; ''(0) 0
6 8
1
cos ( ) (cos2 1)
2
1 2
)
2 2
(0) 0
0 0
4 2
1 1
2
'
4 2
1 co
)
s2
_ : '(0 0
:
.
4 2 4
P
d y
x y y y
dx
d y
x dx x dx
dx
d y sen x
x c
dx
sen
c c
dy
sen xdx xdx
dx
dy x x
c
dx
RESOLVER
Por condi
U
ci
SOL CI N
ó y
O
n
= = = =
= = +
= + +
= + + →
=
= +
−
= + +
−
=
∫ ∫
∫ ∫
2
2 2
2
3
3
3
3 3
3
1 cos(0) (0) 1
8 8 4 4
1 1 1
cos2
8 4 4
2
16 12 4
1 (0) (0) 0 1
16 16 12 4 16
2 1
16 12 4 16
1
_ : '(0)
8
1
_ : (0)
16
or condició
c c
y xdx x
y
dx dx
sen x x x
y c
sen
c c
se
n y
Por condició
y
n x x x
n
−
= + + →
=
−
= + +
−
= + + +
−
= + + + →
=
−
∴
= + +
=
=
+
∫ ∫ ∫

7. 3
3 5
2
2 5 5 5
2
2 4 5
2
3 4
1
2
3 1
6
; (1) '(1) ''(1) 0
( 2)
2 2
( 2) ( 2) ( 2)
1 3 2 4
. .
3 ( 2) 4 ( 2)
1 1
.( 2) .( 2)
3
0
2
1
0 .(
3
_ : ''(1)
:
1 2)
RESOLVER
Por co
d y x
y y y
dx x
d y x x
dx dx dx
dx x x x
d
i
y
dx dx
dx x x
d y
x x c
dx
U
nd ci
SOL CI N
ón y
O
− −
−
= = = =
+
+
= = −
+ + +
− − −
= +
+ +
−
= + + + +
−
= +
=
+
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
4
1 1 4
3 4
4
2 3
2
4
2 3
2 2
4 3
2 3
4
1
:
.(1 2)
2 2.3
1 1 1
. ( 2) . ( 2)
3 2 2.3
1 1
.( 2) .( 2)
6 6 2.3
1 1 1 1
0 .(1 2) .(1 2)
6 6 2.3 2.3
1 1
. ( 2) . ( 2)
6 6 .
_ '(1) 0
2 3
Por
c c
dy
x dx x dx dx
dx
dy x
x x c
dx
c c
x
y x dx x dx dx
ó
condici n y
−
− −
− −
− −
− −
+ + → =
−
= + + + +
= + − + + +
−
= + − + + + → =
= + − + + −
=
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ 3
2
1 2
3
2 4 3
2
1 2
3 3
2 4 3 4
2
2 2 4 3 4
1
2.3
1 1
.( 2) .( 2)
6 12 2 .3 2.3
1 1 1 1 5
0 .(1 2) .(1 2)
6 12 2 .3 2.3 3
2 3 5
12.
1
( 2) 2 .
_ 0
.3 2 3 3
: ( )
dx
x x
y x x c
c c
x x x
co
y
Por ndi y
x
ción
− −
− −
−
= + + + + − +
−
= + + + + − + → =
+
=
∴ =
− + − +
+
∫

8. 2 3
2
( )
2
1 2
2 ' 2
1 1
'
2 2
1 1 2 2
1
7
'' 3 ' 2 ( )
: 3 2 0 2;1
. .
et min _ _ _ :
2.
_ _ _ : .
_
_
_
:
x
r
x x
g
x x
x x
p
y y y x x e
p r r r
y c e c e
D er amos la solución particular
y e y e
y e y e
La solución particular y
Soluci
es y u u y
u
Sistema de ec
RESO V
ó
c
L
i
ER
ua nes
n
o
− + = +
− + = → =
= +
= → =
= → =
= +
' 2 '
2
' 2 ' 2 3
1 2
2
3
2
2 3
' 2 2 2
1 1
3
2
2 2 3 2
' 2 2 2 2
2 2
3
2
. . 0
.2. . ( )
2.
0
( )
( ) ( ) ( 1)
0
2. ( ) .
( ) ( )
2
:
(
x x
x x x
x x
x
x x
x
x x
x x x
x
x
x x x
x x
x
x
p
e u e
u e u e x x e
e e
w e
e e
e
x x e e
u x x e u x x e dx e x x
e
e
e x x e e x
u x x e u x x e dx
e
Entonces
y e x
 + =


+ = +


= = −
+
= = + → = + = − +
−
+
= =
− + → =
− + =
−
−
=
∫
∫
2
2
3 2
2
1 2
.
1). .
2
_ _ :
( 2 2)
. .
2
x
x x
g p
x
x x
e x
x e e
La solución es y y y
e x x
y c e c e
− + −
= +
− +
∴ = + +

9. 2 2
3 2
2
1 2 3
2 2 2 3 2
' 2 3 2 3 2
8
_
''' 2 '' (2 3 2)
: 2 0 0;0; 2
. .
: 2; _ _ _ _ :
. ( ) ( . )
(3 2 ) 2. ( .
:
_
x
r
x
g
x x
p p
x x
p
y y x x e
p r r r
y c c x c e
como r es raíz de la EDH entonces
y x e Ax Bx C y e Ax Bx C x
y e Ax Bx C e Ax Bx C x
RESOLVER
Solución
α
−
−
− −
− −
+ = + −
+ = → = −
= + +
= = −
= + + →
= + +
= + + + − + +
' 2 3 3 2
' 2 3 2
'' 2 2
2 3 2
'' 2 2 3
2
)
(3 2 2 2 2 . )
( 2 (3 2 ) (2 2 ) )
( 6 2 (3 2 ) (2 2 ))
2. ( 2 (3 2 ) (2 2 ) )
( 6 (6 4 ) 2 2 4
(6 4 ) (4 4 ) 2
x
p
x
p
x
p
x
x
p
y e Ax Bx C Ax Bx C x
y e Ax x A B x B C C
y e Ax x A B B C
e Ax x A B x B C C
y e Ax x A B B C Ax
x A B x B C C
−
−
−
−
−
= + + − − −
= − + − + − +
= − + − + − −
− − + − + − +
= − + − + − + −
− − − − −
'' 2 3 2
)
(4 ( 12 4 ) (6 8 4 ) 2 4 )
x
p
y e Ax x A B x A B C B C
−
= + − + + − + + −

10. ''' 2 2
2 3 2
''' 2 2
3 2
''' 2 3 2
(12 2 ( 12 4 ) (6 8 4 ))
2. (4 ( 12 4 ) (6 8 4 ) 2 4 )
(12 ( 24 8 ) 6 8 4
8 (24 8 ) ( 12 16 8 ) 4 8 )
( 8 (36 8 ) ( 36 24 8
x
p
x
x
p
x
p
y e Ax x A B A B C
e Ax x A B x A B C B C
y e Ax x A B A B C
Ax x A B x A B C B C
y e Ax x A B x A B C
−
−
−
−
= + − + + − + −
− + − + + − + + −
= + − + + − + −
− + − + − + − − +
= − + − + − + −
( )
2 2
2 3 2
2 3 2 2 2
3 2
) 6 12 12 )
Re _ _ _ : ''' 2 '' (2 3 2)
( 8 (36 8 ) ( 36 24 8 ) 6 12 12 )
2 (4 ( 12 4 ) (6 8 4 ) 2 4 ) (2 3 2)
( 8 (36 8 ) ( 36 24
x
x
x x
A B C
emplazando en la ecuación y y x x e
e Ax x A B x A B C A B C
e Ax x A B x A B C B C x x e
Ax x A B x A B
−
−
− −
+ − +
+ = + −
− + − + − + − + − + +
+ + − + + − + + − = + −
− + − + − + −
( )
3 2 2
2 2
2 3 2
8 ) 6 12 12 )
(8 ( 24 8 ) (12 16 8 ) 4 8 ) (2 3 2)
(12 ) ( 24 8 ) 6 8 4 2 3 2
1 7
_ min _ _ : ; ; 1
6 8
:
1 7
( . . )
6 8
_ _ :
x
p
g p
C A B C
Ax x A B x A B C B C x x
x A x A B A B C x x
Igualando ter os se tiene A B C
Entonces
y e x x x
La solución es y y y
y c
−
+ − + +
+ + − + + − + + − = + −
+ − + + − + = + −
= = =
= + +
= +
∴ =
3 2
2 2
1 2 3
7
. . ( )
6 8
x x x x
c x c e e x
− −
+ + + + +

11. 2
1 2
( )
'
''
9
.
'' 9 cos( )
: 9 0 3
.cos(3 ) . (3 )
: _ _ _ : . cos( ) cos( ) 0; 1
:
_" "_ _ _ _ _ _ _
cos(
o
_
) ( )
( ) c s( )
r
g
n
x
p
p
p
y y x
p r r i
y c x c sen x
como R tiene la forma C x bx x n b
Como b no es la raíz de la EDH
y A x Bsen x
y Asen x B x
y A
Solución
RESOLVER
+ =
+ = → =
±
= +
= → = =
= +
=
− +
= −
1 2
cos( ) ( )
Re _ _ _ : '' 9 cos( )
cos( ) ( ) 9 cos( ) 9 ( ) cos( )
1
8 cos( ) 8 ( ) cos( ) ; 0
8
:
1
.cos( )
8
_ _ :
cos
.cos(3 ) . (3 )
p
g p
x Bsen x
emplazando en la ecuación y y x
A x Bsen x A x Bsen x x
A x Bsen x x A B
Entonces
y x
La solución es y y y
y c x c sen x
−
+ =
− − + + =
+ = → = =
=
= +
∴
= + +
( )
8
x

12. ( )( )
4 2
4 2
4 2 2 2
1 2 3 4
( )
1
)
1
:
2 5. (2 )
: 2 1 0 1 1 0 ; 1;1; 1
. .
: _ _ _ : . . ( 5. (2 ) 0; 2
_" "_ _ _ _ _ _
0 _
_
r
x x x x
g
n
x
p
d y d y
y sen x
dx dx
p r r r r r
y c e c xe c e
E
Solució
c xe
como R tiene la forma C x sen bx se
L
n x n b
Com a
n
o b no es la raíz d
E R
e l D
y
R O
H
S VE
− −
− + =
− + = → − − = → = − −
= + + +
= → = =
=
'
''
'''
4 2
4 2
cos(2 ) (2 )
2 (2 ) 2 cos(2 )
4 cos(2 ) 4 (2 )
8 (2 ) 8 cos(2 )
16 cos(2 ) 16 (2 )
Re _ _ _ : 2 5. (2 )
16 cos(2 ) 16 (2 ) 2 4 cos
p
p
p
iv
p
A x Bsen x
y Asen x B x
y A x Bsen x
y Asen x B x
y A x Bsen x
d y d y
emplazando en la ecuación y sen x
dx dx
A x Bsen x A
+
=
− +
=
− −
= −
= +
− + =
+ − −
( )
1 2 3 4
(2 ) 4 (2 )
cos(2 ) (2 ) 5. (2 )
cos2 (16 8 ) 2 (16 8 ) 5. (2 )
1
cos2 (25 ) 2 (25 ) 5. (2 ) 0;
5
:
1
(2 )
5
_ _ :
(
. .
p
g p
x x x x
x Bsen x
A x Bsen x sen x
x A A A sen x B B B sen x
x A sen x B sen x A B
Entonces
y sen x
La solución es y y y
sen
y c e c xe c e c xe
− −
− +
+ + =
+ + + + + =
+ = → = =
=
= +
∴ = + + + +
2 )
5
x

13. 3 2
3 2
3 2 3
2
1 2 3
( )
1
_
3 3 cos(2 )
: 3 3 1 0 ( 1) 0 1;1;1
. . . .
_ _ _ _ _ :
cos( ) cos(2 ) 0; 1; 2
_1 2 _ _ _ _ _
:
1_
x
r
x x x
g
x
n ax x
d y d y dy
y e x
dx dx dx
p r r r r r
y c e c x e c x e
Dado que R tiene la forma
Cx e bx e x n a b
Como i n
O
o e
i
s raí
V
So
RE
c
S L ER
l
lu ó
de
n
z a
− + − =
− + − = → − = → =
= + +
= → = = =
±
'
'
''
''
_ :
cos2 2
2 ( 2 ) cos(2 ) 2 cos2 (2 ).
2 ( 2 ) cos2 ( 2 )
( 2 ). .2.cos2 ( 2 ). 2 .
( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 ) cos2
c
x x
p
x x x x
p
x x
p
x x
p
x x
x
p
ecuación entonces
y Ae x Be sen x
y Ae sen x A x e Be x Bsen x e
y e sen x A B e x A B
y A B e x A B sen x e
A B e sen x A B e x
y e
= +
= − + + +
= − + + +
=− + + − + +
+ + − + +
=
'''
'''
os2 (4 3 ) 2 ( 4 3 )
(4 3 ) ( 2 2 ) (4 3 ) cos2
( 4 3 ). .2.cos2 ( 4 3 ). 2 .
2 ( 11 2 ) cos2 ( 2 11 )
x
x x
p
x x
x x
p
x B A e sen x A B
y B A e sen x B A e x
A B e x A B sen x e
y e sen x B A e x B A
− + − −
= − − + − +
+ − − + − −
= − + + − −

14. ( )
( )
( )
3 2
3 2
Re _ _ _ : 3 3 cos(2 )
2 ( 11 2 ) cos2 ( 2 11 )
3 cos2 (4 3 ) 2 ( 4 3 )
3 2 ( 2 ) cos2 ( 2 )
cos2 2 cos(2 )
2 (8 ) cos2
x
x x
x x
x x
x x x
d y d y dy
emplazando en la ecuación y e x
dx dx dx
e sen x B A e x B A
e x B A e sen x A B
e sen x A B e x A B
Ae x Be sen x e x
sen x A
− + − =
− + + − − −
− − + − − +
+ − + + + −
− + =
+
2
1 2 3
( 8 ) cos(2 )
1
_ min _ _ : 0;
4
:
1
2
4
_ _ :
1
. . . . 2
4
x
p
g p
x x x x
x B x
Igualando ter os se tiene A B
Entonces
y e sen x
La solución es y y y
y c e c x e c x e e sen x
− =
= = −
= −
= +
∴ = + + −