integrales por fracciones parciales

1. Integración por Fracciones
Parciales
Rolando Vilca Pacco
Semana 3
.
𝑰𝑳 𝑨 𝑻 𝒆
𝑷(𝒙)
𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏 𝒂 𝟐 +𝒃 𝟐 . . . +(𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏)
𝒅𝒙 =
𝑨
𝒂 𝟏 + 𝒃 𝟏
+
𝑩
𝒂 𝟐 +𝒃 𝟐
. . . +
𝑲 𝒏
𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏
𝒅𝒙

2. Técnicas de Integración: Integración por Fracciones Parciales
Consideremos la siguiente operación:
𝑓 𝑥 =
2
𝑥 + 5
+
1
𝑥 + 1
=
𝑥 + 1 2 + (𝑥 + 5)1
(𝑥 + 5)(𝑥 + 1)
=
2𝑥 + 2 + 𝑥 + 5
(𝑥 + 5)(𝑥 + 1)
=
3𝑥 + 7
(𝑥 + 5)(𝑥 + 1)
. ?
𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛
𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠
𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎
𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛
𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
=
3𝑥 + 7
𝑥2 + 6𝑥 + 5 ?
=
2
𝑥 + 5
+
1
𝑥 + 1
. 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛

3. Fracciones parciales
𝑃(𝑥)
𝑎1 + 𝑏1 𝑎2 +𝑏2 . . . +(𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛)
𝑑𝑥 =
Para funciones racionales propias
Para funciones racionales propias
Consiste en descomponer a la fracción polinómica como una
suma de fracciones
𝐸𝑗𝑚.
2𝑥 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
𝑑𝑥
𝐴
𝑎1 + 𝑏1
+
𝐵
𝑎2 +𝑏2
. . . +
𝐾 𝑛
𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛
𝑑𝑥

4. Casos que se presentan
2𝑥 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
𝑑𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 4
(𝑥 − 1)3
𝑑𝑥
6𝑥 − 1
𝑥3(2𝑥 − 1)
𝑑𝑥
𝑥 + 3
𝑥2(𝑥2 + 9)
4𝑥
(𝑥2+1)(𝑥2 + 2𝑥 + 3)
𝑑𝑥
𝑥3 − 2𝑥
𝑥2 + 3𝑥 + 2
𝑑𝑥

5. Caso 1: Factores lineales distintos
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒
2𝑥 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
𝑑𝑥
2𝑥 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
=
𝐴
𝑥 − 1
+
𝐵
𝑥 + 3
2𝑥 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
=
𝑥 + 3 𝐴 + (𝑥 − 1)𝐵
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
2𝑥 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
=
𝐴𝑥 + 3𝐴 + 𝐵𝑥 − 𝐵
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
2𝑥 + 1 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 3𝐴 − 𝐵
2𝑥 + 1 = 𝐴 + 𝐵 𝑥 + 3𝐴 − 𝐵
2 = 𝐴 + 𝐵
1 = 3𝐴 − 𝐵
3 = 4𝐴
𝐴 = 3/4 𝐵 = 5/4
2𝑥 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
=
𝐴
𝑥 − 1
+
𝐵
𝑥 + 3
2𝑥 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
=
3/4
𝑥 − 1
+
5/4
𝑥 + 3
2𝑥 + 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
=
3/4
𝑥 − 1
+
5/4
𝑥 + 3
3/4
𝑥 − 1
+
5/4
𝑥 + 3
=
3
4
𝑙𝑛 𝑥 − 1 +
5
4
𝑙𝑛 𝑥 + 3 + 𝐶
𝑰
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝑰

6. Caso 2: Factores lineales repetidos
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒
𝑥2 + 2𝑥 + 4
(𝑥 + 1)3 𝑑𝑥
𝑥2
+ 2𝑥 + 4
(𝑥 + 1)3
=
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
(𝑥 + 1)2
+
𝐶
(𝑥 + 1)3
𝑥2 + 2𝑥 + 4
(𝑥 + 1)3 =
𝐴(𝑥 + 1)2+𝐵 𝑥 + 1 + 𝐶
(𝑥 + 1)3
𝑥2
+ 2𝑥 + 4 = 𝐴(𝑥 + 1)2
+𝐵 𝑥 + 1 + 𝐶
𝐴 = 1
𝑥 = −1
−12 + 2(−1) + 4 = 𝐴(0)2+ 0 𝐵 + 𝐶
1 − 2 + 4 = 𝐶 𝐶 = 3
𝑥2
+ 2𝑥 + 4 = 𝐴(𝑥2
+ 2𝑥 + 1) + 𝑥 + 1 𝐵 + 𝐶
𝑥2
+ 2𝑥 + 4 = 𝐴𝑥2
+ 2𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐵 + 𝐶
𝑥2
+ 2𝑥 + 4 = 𝐴𝑥2
+ 2𝐴 + 𝐵 𝑥 + 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
2𝐴 + 𝐵 = 2 𝐵 = 0
∴
𝑥2
+ 2𝑥 + 4
(𝑥 + 1)3
=
𝐴
𝑥 + 1
+
𝐵
(𝑥 + 1)2
+
𝐶
(𝑥 + 1)3
𝑥2
+ 2𝑥 + 4
(𝑥 + 1)3
=
1
𝑥 + 1
+
0
(𝑥 + 1)2
+
3
(𝑥 + 1)3
. .
𝑥2
+ 2𝑥 + 4
(𝑥 + 1)3 𝑑𝑥 =
1
𝑥 + 1
+
3
(𝑥 + 1)3 𝑑𝑥
=
1
𝑥 + 1
𝑑𝑥 + 3(𝑥 + 1)−3
𝑑𝑥
= 𝑙𝑛 𝑥 + 1 −
3
2
(𝑥 + 1)−2+𝐶
𝑥2
+ 2𝑥 + 4
(𝑥 + 1)3 𝑑𝑥
𝑥2 + 2𝑥 + 4
(𝑥 + 1)3
𝑑𝑥
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠:
𝐶 =?
𝐸𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎

7. Caso 3 Factor repetido y factor distinto
𝐷 = 16
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒
6𝑥 − 1
𝑥3(2𝑥 − 1)
𝑑𝑥
6𝑥 − 1
𝑥3(2𝑥 − 1)
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥2
+
𝐶
𝑥3
+
𝐷
(2𝑥 − 1)
6𝑥 − 1
𝑥3(2𝑥 − 1)
=
𝐴𝑥2(2𝑥 − 1)
𝑥3(2𝑥 − 1)
+
𝐵𝑥(2𝑥 − 1)
𝑥3(2𝑥 − 1)
+
𝐶(2𝑥 − 1)
𝑥3(2𝑥 − 1)
+
𝐷𝑥3
𝑥3(2𝑥 − 1)
6𝑥 − 1
𝑥3(2𝑥 − 1)
=
𝐴𝑥2
2𝑥 − 1 + 𝐵𝑥 2𝑥 − 1 + 𝐶 2𝑥 − 1 + 𝐷𝑥3
𝑥3(2𝑥 − 1)
6𝑥 − 1 = 𝐴𝑥2
2𝑥 − 1 + 𝐵𝑥 2𝑥 − 1 + 𝐶 2𝑥 − 1 + 𝐷𝑥3 𝑥 =
1
2
3 − 1 = 𝐴𝑥2 0 + 𝐵𝑥 0 + 𝐶 0 + 𝐷
1
2
3
2 =
𝐷
8
𝑥 = 0−1 = 𝐴. 0 2𝑥 − 1 + 𝐵. 0 2𝑥 − 1 + 𝐶 2.0 − 1 + 𝐷. 0
−1 = −𝐶 𝐶 = 1
𝑃𝐶
𝑃𝐶

8. 6𝑥 − 1 = 𝐴𝑥2
2𝑥 − 1 + 𝐵𝑥 2𝑥 − 1 + 𝐶 2𝑥 − 1 + 𝐷𝑥3
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒
6𝑥 − 1
𝑥3(2𝑥 − 1)
𝑑𝑥
6𝑥 − 1 = 2𝐴𝑥3
− 𝐴𝑥2
+ 2𝐵𝑥2
− 𝐵𝑥 + 2𝐶𝑥 − 𝐶 + 𝐷𝑥3
6𝑥 − 1 = 2𝐴 + 𝐷 𝑥3
+ 2𝐵 − 𝐴 𝑥2
+ 2𝐶 − 𝐵 𝑥 − 𝐶
6𝑥 − 1 = 𝑥3
2𝐴 + 𝐷 + 𝑥2
2𝐵 − 𝐴 + 𝑥(2𝐶 − 𝐵) − 𝐶
0 = 2𝐴 + 𝐷
𝐶 = 1
0 = 2𝐴 + 16 𝐴 = −8
0 = 2𝐵 − 𝐴
0 = 2𝐵 + 8
𝐵 = −4
𝐷 = 16
6𝑥 − 1
𝑥3(2𝑥 − 1)
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥2
+
𝐶
𝑥3
+
𝐷
(2𝑥 − 1)
6𝑥 − 1
𝑥3(2𝑥 − 1)
𝑑𝑥 =
−8
𝑥
+
−4
𝑥2
+
1
𝑥3
+
16
(2𝑥 − 1)
. 𝑑𝑥
6𝑥 − 1
𝑥3(2𝑥 − 1)
𝑑𝑥 =
−8
𝑥
𝑑𝑥 + −4𝑥−2
𝑑𝑥 + 𝑥−3
𝑑𝑥 +
2(8)
(2𝑥 − 1)
𝑑𝑥
6𝑥 − 1
𝑥3(2𝑥 − 1)
𝑑𝑥 = −8𝑙𝑛 𝑥 + 4𝑥−1 −
1
2
𝑥−2 + 8𝑙𝑛 2𝑥 − 1 + 𝐶

9. Caso 4 Factor lineal repetido y uno cuadrático distinto
𝐵 =
1
3
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒
𝑥 + 3
𝑥4 + 9𝑥2
𝑑𝑥
𝑥 + 3
𝑥2(𝑥2 + 9)
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥2
+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑥2 + 9
𝑥 = 0
9𝐴 = 1 𝐴 = 1/9
𝑥 + 3
𝑥2(𝑥2 + 9)
=
𝐴𝑥 𝑥2 + 9 + 𝐵 𝑥2 + 9 + (𝐶𝑥 + 𝐷)𝑥2
𝑥2(𝑥2 + 9)
𝑥 + 3 = 𝐴𝑥 𝑥2 + 9 + 𝐵 𝑥2 + 9 + (𝐶𝑥 + 𝐷)𝑥2
3 = 𝐵 02 + 9
𝑥 + 3 = 𝐴𝑥3
+ 9𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2
+ 9𝐵 + (𝐶𝑥3
+ 𝐷𝑥2
)
𝑥 + 3 = 𝐴𝑥3 + 𝐶𝑥3 + 𝐵𝑥2 + 𝐷𝑥2 + 9𝐴𝑥 + 9𝐵
𝑥 + 3 = (𝐴 + 𝐶)𝑥3
+ (𝐵 + 𝐷)𝑥2
+ 9𝐴𝑥 + 9𝐵
𝐴 + 𝐶 = 0 𝐶 = −1/9
𝐵 + 𝐷 = 0 𝐷 = −1/3

10. 𝐵 =
1
3
𝐴 = 1/9 𝐶 = −1/9 𝐷 = −1/3
𝑥 + 3
𝑥4 + 9𝑥2
=
1
9𝑥
+
1
3𝑥2
+
−
1
9
𝑥 −
1
3
𝑥2 + 9
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒
𝑥 + 3
𝑥4 + 9𝑥2
𝑑𝑥
𝑥 + 3
𝑥4 + 9𝑥2
=
1
9𝑥
+
1
3𝑥2
−
1
9
𝑥
𝑥2 + 9
−
1
3
𝑥2 + 9
𝑥 + 3
𝑥4 + 9𝑥2
=
1
9𝑥
+
1
3𝑥2
−
1
9
𝑥
𝑥2 + 9
−
1
3
1
𝑥2 + 9
𝑥 + 3
𝑥4 + 9𝑥2
𝑑𝑥 =
1
9
1
𝑥
𝑑𝑥 +
1
3
𝑥−2
𝑑𝑥 −
1
9
𝑥
𝑥2 + 9
𝑑𝑥 −
1
3
1
𝑥2 + 9
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑥 + 3
𝑥4 + 9𝑥2
𝑑𝑥 =
1
9
1
𝑥
𝑑𝑥 +
1
3
𝑥−2 𝑑𝑥 −
1
9.2
2𝑥
𝑥2 + 9
𝑑𝑥 −
1
3.
1
𝑥2 + 32
𝑑𝑥
𝑥 + 3
𝑥4 + 9𝑥2
𝑑𝑥 =
1
9
𝑙𝑛 𝑥 −
1
3
𝑥−1 −
1
18
𝑙𝑛 𝑥2 + 9 −
1
9
𝑡𝑔−1
𝑥
3
+ 𝐶

11. Caso 5 Factores cuadráticos Distintos
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒
4𝑥
(𝑥2+1)(𝑥2 + 2𝑥 + 3)
𝑑𝑥

12. Caso 5 El integrando es una fracción impropia
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒
𝑥3 − 2𝑥
𝑥2 + 3𝑥 + 2
𝑑𝑥

13. Ejercicio en clase, Integrar:
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒
5𝑥2 − 𝑥 + 1
𝑥3 − 4𝑥
𝑑𝑥
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒
9𝑥 − 8
(𝑥 − 3)(2𝑥 − 5)
𝑑𝑥
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒
𝑥2
𝑥 − 1 3(𝑥2 + 4)
𝑑𝑥
𝑅𝑝𝑡. 19𝑙𝑛 𝑥 − 3 −
29
2
𝑙𝑛 2𝑥 − 5 + 𝐶
𝑅𝑝𝑡.
1
4
𝑙𝑛 𝑥 −
23
8
𝑙𝑛 𝑥 + 2 +
19
8
𝑙𝑛 𝑥 − 2 + 𝐶
𝑅𝑝𝑡.
16𝑥 − 11
50 𝑥 − 1 2 −
2
125
𝑙𝑛 𝑥2 + 4 +
4
125
𝑙𝑛 𝑥 − 1 −
22
125
𝐴𝑟𝑐𝑇𝑔
𝑥
2
+ 𝐶