La recta
- 1. Una recta se puede definirsi se tiene dospuntosP1,P2tal que P(x,y) P2(x2,y2).
Con el cual se define lapendiente oinclinaciónde larectaesdecirel ánguloque formala recta
con el eje de laX.
Métodopor dos puntospasauna recta
( 𝑦 − 𝑦𝑖) =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
( 𝑋 − 𝑥1)
Métodopuntopendiente
( 𝑦 − 𝑦1) ≡ 𝑚( 𝑥 − 𝑋1)
𝑦 − 𝑦1 ≡ 𝑚 𝑥−𝑀𝑥1
𝑦 = 𝑚 𝑥−𝑚𝑥1
+ 𝑦1
𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏
Para graficar
MétodoIntersecciónconlosejesconsiste en
1) Hacer la primeravariable 0) y encontrarel valorde la segundavariable
2) 2) Análogamente lasegundavariable en0y encontrarmás laprimera
1) 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏
y=0 sustituye enlaecuación
0=m
−𝑏
𝑀
= 𝑥 …
𝑝1 (
−𝑏
𝑀
,0)
2) X=0
y=(0) +b
y=b… (0, b)
- 2. La distanciaentre dospuntos
ⅆ( 𝑝1, 𝑝2) = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2
El área de un triánguloque pasapor 3 puntosno colineales
(noestánsobre una recta)
Se define
Ax + By + C
A𝛥 𝑝1,𝑝2,𝑝3
=
1
2
x1 , y1, 1
x2 , y2, 1
x3 , y3, 1
Con P1(x1,y1) P2(x2,Y2)
(x,y) p2 (x2,y2) p3(x3,y3)
El ángulocomprendidoentre 2rectaL1 L2
tan 𝜃 =
𝑚2 + 𝑚1
1 + 𝑚2 𝑚1
Entonces: 𝜃 = tan−1 (
𝑚2+𝑚1
1+𝑛2 𝑚1
)
De laecuacióny= mx + b
-mx + y – b=0
Ax + By + C ec general dela recta
- 3. Ejemplo
P1(1 , 0) P2(4 , 2) P3(-1 , -3) P4(-3 , 1)
L1= p1 y p2 L2= p3 y p4
m1=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
2−0
4−1
=
2
3
m2=
𝑦4−𝑦3
𝑥4−𝑥3
=
1−(−3)
−3−(−1)
=
4
3
= −2
L1: y – y1=m1(x – x1) L: y-y3= m2(x – x3)
y – 0 =
2
3
(x – 1) y – (-3) = -2 ( x- ( -1) )
y=
2
3
𝑥 −
2
3
y + 3= -2x – 2 – 3
y= - 2x – 5750
d( P1 , P2) d (P3, P4)
= √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 =√( 𝑥4 − 𝑥3)2 + ( 𝑦4 − 𝑦3)2
= (x4 x3)2 ( =√(3 − (−1))
2
+ (1 − (−3))
2
=√(4 − 1)2 + (2 − 0)2 =√4 + 16 = √20 = 4.5
=√9 + 1 = √13 = 3.6
FORMA GENERAL
=−
2
3
𝑥 + 𝑦 +
2
3
= 0 =2x + y +5 = 0
ANGULO ENTRE L1 Y L2
tan 𝜃 =
𝑚2+𝑚1
1+𝑚2 𝑚1
−2 +
2
3
1 + (−2)(
2
3
)
=
−6 + 2
3
1 −
4
3
= −
−4
3
1
3
= −
12
3
= 4
𝜃 = tan−1(4) = 750
- 4. INTERSECCION DE EJES
L1: y= 0
𝑥 = 0
𝑦 =
𝑧
3
(0) −
2
3
𝑦 = −
2
3
P2 (0,−
2
3
)
:0 =
2
3
𝑥 −
2
3
:
2
3
=
2
3
𝑥
:1 =
−2
3
2
7
= 𝑥
P1 (1 , 0)
- 5. EJERCICIO:
𝑝1 = (1,0) 𝑝2 = (4,2) 𝑝3 = (−1,3) 𝑝4 = (−3,1)
𝐿1 = 𝑝1 𝑝4
𝑚1 =
𝑦4 − 𝑦1
𝑥4 − 𝑥1
=
(1 − 0)
(−3 − 1)
=
1
4
𝐿2 = 𝑝2 𝑝3
𝑚2 =
(−3, −2)
(−1, −4)
=
−5
−5
= 1
𝐿1 = 𝑦4 − 𝑦1 = 𝑚( 𝑥4 𝑥1)
𝑦 − 0 = −
1
4
( 𝑥 − 1)
𝑦 =
1
4
𝑥 −
1
4
𝐿2 = 𝑦2 − 𝑦3 = 𝑚2( 𝑥2 − 𝑥3)
𝑦 − 2 = 1( 𝑥 − 4)
𝑦 − 4 = 1𝑥 − 4
𝑦 = 𝑥 − 4 + 4
𝑦 = 1𝑥
ⅆ = 𝑝1 𝑝4 = √( 𝑥4 − 𝑥1) + ( 𝑦4 − 𝑦1 )
√(−3 − 1)2 + (−3 − 2)2 = √(−4)2 + (1)2
√16 + 1 = √17 = 1.12
ⅆ = 𝑝2 𝑝4
ⅆ = √(−1 − 4)2 + (−3 − 2)2
ⅆ = √25 + 25 = √50 = 7.07
𝑇𝑎𝑛∅ =
𝑚2 + 𝑚1
1 + 𝑚2 𝑚1
𝑡𝑎𝑛∅ =
1 + (−
1
4
)
1 + 1(−
1
4
)
= 1
- 6. ∅ = 𝑇𝑎𝑛(1) = 45°
𝐿1 = 𝑦 = 0
0 =
1
4
𝑥 −
1
4
1
4
=
1
4
𝑥
𝑦 =
−
1
4
1
4
= 1
𝑝1 = (1,0)
𝑥 = 0
𝑦 =
1
4
(0) −
1
4
𝑦 = −
1
4
𝐿2 = 𝑦 = 0
0 = 1𝑥
1 = 𝑥
𝑝3 = (0,0)
- 7. 𝑝1 = (1,0) 𝑝2 = (4,2) 𝑝3 = (−1,3) 𝑝4 = (−3,1)
𝑚1 =
𝑦3 − 𝑦1
𝑥3 − 𝑥1
=
−3 − 0
−1 − 1
=
−3
−2
=
3
2
𝑚2 =
𝑦4 − 𝑦2
𝑥4 − 𝑥2
=
2 − 1
3 − 4
=
−1
−7
=
1
7
𝐿1 = 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚( 𝑥 − 𝑥1)
y − 0 =
3
2
( 𝑥 − 1)
𝑦 =
3
2
𝑥 −
3
2
𝐿2 = 𝑦 − 𝑦2 = 𝑚2( 𝑥− 𝑥2)
𝑦 − (2) =
1
7
( 𝑥 − 4)
𝑦 − 2 =
1
7
𝑥 −
4
7
𝑦 =
1
7
𝑥 −
4
7
+ 2
𝑦 =
1
7
𝑥 +
10
7
ⅆ = 𝑝3 𝑝1 = √( 𝑥3 − 𝑥1)+ ( 𝑦3 − 𝑦1)
√(−1 − 1)2 + (−3 − 0)2 = √(−2)2 + (−3)2
√4 + 9 = √13 = 3.60
ⅆ = 𝑝4 𝑝2 = √( 𝑥4 − 𝑥2) + ( 𝑦4 − 𝑦2)
√(−3 − 4)2 + (1 − 2)2 = √(−7)2 + (1)2
√49 + 1 = √50 = 7.07
- 8. 𝑇𝑎𝑛∅ =
𝑚2 + 𝑚1
1 + 𝑚2 𝑚1
𝑡𝑎𝑛∅ =
1
7
+ (
3
2
)
1 +
3
2
(
1
7
)
= 1
∅ = 𝑇𝑎𝑛 (
24
17
) = 54.688°
𝐿1 = 𝑦 = 0
0 =
3
2
𝑥 −
3
2
3
2
=
3
2
𝑥
1 =
3
2
3
2
= 𝑥
𝑝1 = (1,0)
𝑥 = 0
𝑦 =
3
2
(0) −
3
2
𝑦 = −
3
2
𝑝2 = (0,−
3
2
)
𝐿2 = 𝑦 = 0
0 =
1
7
𝑥 +
10
7
10
7
=
1
7
𝑥
10
7
1
7
= 𝑥
