Ejercicios opcionales áreas entre curvas aplicación de Integrales en látex

1. Universidad de las Fuerzas Armadas, Av.
General Rumiñahui s/n
Sangolquı́-Ecuador
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
EJERCICIOS EXTRAS PARCIAL 3
September 9, 2021
AUTOR:JONATHAN MAIGUA
CARRERA : SOFTWARE
NRC : 3258
TEMA :VOLUMENES DE REVOLUCIÓN MÉTODO DE LOS DISCOS
1

2. 1 Ejercicios
1.Hallar el volumen del solido de revolucion engendrado por la parabola y = −x2
+4x−3
y las rectas tangentes a esta en los puntos (0, −3)y(3, 0) , al dar una vuelta completa
alrededor del eje x
Grafica:
Puntos de corte:
x1 = 0
x2 = 3
Resolucion:
dv = π[r2
ext − r2
int]
v =
Z 3
0
π[r2
ext − r2
int]dx
v = π
Z 3
0
[(−x2
+ 4x − 3)2
− (−3 + x)2
]dx
v = π
Z 3
0
(x4
− 4x3
+ 3x2
− 4x3
+ 16x2
− 12x + 3x2
− 12x + 9 − (9 − 6x + x2
)dx
2

3. v = π
Z 3
0
(x4
− 4x3
+ 3x2
− 4x3
+ 16x2
− 12x + 3x2
− 12x + 9 − 9 + 6x − x2
)dx
v = π
Z 3
0
(x4
− 8x3
+ 21x2
− 18x)dx
v = π[
x5
5
− 2x4
+ 7x3
− 9x2
]3
0
v = π[
35
5
− 2(3)4
+ 7(3)3
− 9(3)2
− 0]
v = 75.6πu3
2.Calcular el area de la region limitada por las curvas y =
x
√
x2 + 1
yy = x4
− x.
Igualamos las ecuaciones:
x
√
x2 + 1
= x4
− x
x
√
x2 + 1
− x4
+ x = 0
x − x4
(
√
x2 + 1) + x(
√
x2 + 1) = 0
x(1 − x3
(
√
x2 + 1) + (
√
x2 + 1)) = 0
x = 0y1 − x3
(
√
x2 + 1) + (
√
x2 + 1) = 0
Aplico Newton-Rahpson:
3

4. f(x) = 1 − x3
(
√
x2 + 1) + (
√
x2 + 1)
f0
(x) :
1 − 4x3
√
x2 + 1 −
x4
(2x)
√
x2 + 1
+
√
x2 + 1 +
2x2
√
x2 + 1
√
x2 + 1 − 4x3
(x2
+ 1) − 2x5
+ x2
+ 1 + 2x2
√
x2 + 1
= 0
√
x2 + 1 − 4x3
(x2
+ 1) − 2x5
+ x2
+ 1 + 2x2
= 0
√
x2 + 1 − 6x5
− 4x3
+ 3x2
+ 1 = 0
x[1, 2] → xn+1 = xn −
f(x)
f0(x)
≈≈≈≈ x = 1.18
Resuelvo la integral:
A =
Z 1.18
0
[
x
√
x2 + 1
− (x4
− x)]dx
A =
Z 1.18
0
x
√
x2 + 1
dx −
Z 1.18
0
x4
+ xdx
Resuelvo por sustitucion:
u = x2
+ 1
du = 2dx
1
2
Z 1.18
0
du
√
u
= [
√
u −
x5
5
−
x2
2
]1.18
0
= [
√
x2 + 1 −
x5
5
−
x2
2
]1.18
0
= [
√
1.82 + 1 −
1.85
5
−
1.82
2
− 0]
= 0.785u2
4

5. 3.Encontrar el area comprendida entre la recta y = x + 1 y la parabola y2
= 2x + 6.
Grafica:
Puntos de corte:
x = x
y + 1 =
y2
− 6
2
y4
+ y3
− y − 1 = 0
y + 1 =
y2
− 6
2
y + 1 −
y2
− 6
2
= 0
2y + 2 − y2
− 6 = 0
−(y2
− 2y + 4) = 0
y1 = 0
y2 = −1
Hallamos el area:
5

6. Ay =
Z 1
−1
[
y2
− 6
2
− (y + 1)]dy
Ay =
Z 1
−1
[
y2
− 6
2
− y − 1]dy
Ay = [
−y2
2
− y +
1
2
(
y3
3
− 6y)]1
−1
Ay = [
−y2
2
− y +
y3
6
− 3y)]1
−1
Ay = [
−12
2
− 1 +
13
6
− 3 − (
−(−1)2
2
− (−1) +
(−1)3
6
− 3(−1))]
Ay = 18u2
4.Encontrar el area de la region comprendida entre las curvas x = y3
−yy x = 1−y4
.
Grafica:
Puntos de corte:
x = x
y3
− y = 1 − y4
y4
+ y3
− y − 1 = 0
x1[0, 1]yx2[0, −1]
6

7. Hallamos el area:
Ay =
Z 1
−1
[1 − y4
− (y3
− y)]dy
Ay =
Z 1
−1
[1 − y4
+ y3
+ y]dy
Ay = [y −
y5
5
+
y4
4
+
y2
2
]1
−1
Ay = [1 −
15
5
+
14
4
+
12
2
− 1 +
−15
5
−
−14
4
−
−12
2
]
Ay =
8
5
u2
5.Calcular el área de la región comprendida entre las curvas: y = x2
− 1 y y = 3
x2+1
Grafica
Puntos Intersección
y = x2
− 1; y =
3
x2 + 1
x2
− 1 =
3
x2 + 1
(x2
− 1)(x2
+ 1) = 3
x4
− 1 = 3
x4
= 4
x = ±
√
2
7

8. Integral
A =
Z √
2
−
√
2
(
3
x2 + 1
) − (x2
− 1)
Z √
2
−
√
2
(
3
x2 + 1
) −
Z √
2
−
√
2
x2
+
Z √
2
−
√
2
1dx
A = 3artan(x) −
x3
3
+ x
(3artan(x) − (
x3
3
) + x)|
√
2
−
√
2
3arctan(
√
2) −
(
√
2)3
3
+
√
2 − [3arctan(
√
2) −
(−
√
2)3
3
+
√
2]
2, 87 − 1 + 1, 41 − 2, 07 + 1 − 1, 41
A = 6, 56u2
6.Calcular el área bajo la recta y = 4 comprendida entre las curvas: y = x2
− 4 y
y = xe
x
2
Grafica
y = x2
− 4
y = xe
x
2
x y1 y2
0 −4 0
−0.5 −15
4
1
√
e3
−1 −3 − 1 −
pe
e
−1.18 −0.76 −0.73
8

9. A =
Z 4
−1.8
x4
− 4 − xe
x
2
A =
x3
3
− 4x −
Z
xe
x
2 dx
Sustitución
V =
y
2
2dv = dx
du =
1
2
dx dz = e
2 = eu
A =
x3
3
− 4x −
Z
2u ∗ e4
du
A =
x3
3
− 4x − (ue0
−
Z
eu
du)|4
−1.8
A = [
(4)3
3
− 4(4) −
4
2
e
4
2 + e
4
2 ] − [
(1.8)3
3
− 4(1.8) −
(1.8)
2
e
1.8
2 + e
1.8
2 ]
A =
16
3
− e2
−
657
125
−
19 10
√
e
10e
A =
29
375
−
19 10
√
e
10e
− e2
u2
A = ±8, 084u2
7.Calcular el área delimitada por la curva (y − x − 2)2
= 9x y los ejes coordenados.
Grafica
9

10. y = x − 2 =
√
9x ∧ y − x − 2 = ±
√
3
y1 = −3
√
x + x + 2
y2 = 3
√
x + x + 2
A =
Z
(3
√
x + x + 2) − (−3
√
x + x + 2)
A =
Z
6
√
x
A =
Z ∞
0
6
√
x
lim
a→∞
Z ∞
0
6
√
x = lim
a→∞
(4a
√
a)
Divergente
8.Calcular el área de la región comprendida entre la curva y = (x2
+ 2x)e−x
y el eje x
Grafica
y = (x2
+ 2x)e−x
y = 0
(x2
+ 2x)e−x
= 0
x(x + 2) = 0
x = 0 x = −2
A =
Z ∞
0
(cd − ci)
10

11. A =
Z ∞
0
[(x2
+ 2x)e−x
− 0]
A = lim
b→∞
Z b
0
[(x2
+ 2x)e−x
]
por partes
f = x2
+ 2x g = e−x
A = −(x2
+ 2x)e−2
−
Z b
0
(−2x − 2)e−x
dx
A =
Z b
0
(−2x − 2)e−x
dx
A = −2
Z b
0
(4x + 1)e−x
dx− (x + 1)e−x
−
Z
−e−x
dx
A = [−(x + 2)2
e−x
+ C]b
0
A = [(−b + 2)2
e−b
+ C + 0]
A = −(x2
+ 4x + 4)e−x
+ C
A = ±4u2
9.Calcular el área de la región acotada por las curvas Rectas : y = [|x+1|+|x|]; x2
+y2
=
16
Rectas : y = [|x + 1| + |x|]; x2
+ y2
= 16
Puntos de Interseccion :
y = 0 = x2
+ 02
= 16
11

12. x =
√
16
x = +
−4
Ax =
Z 4
−4
(
√
16 − x2) − (|x + 1| + |x|)dx
Ax =
Z 4
−4
√
16 − x2 − 2x − 1dx
Ax =
Z 4
−4
√
16 − x2dx − 2
Z 4
−4
xdx −
Z 4
−4
1dx
Ax =
Z √
16 − x2dx − 2
Z
xdx −
Z
1dx
Ax =
Z √
16 − x2dx − 2 ∗
x2
2
− x
Ax =
Z
4 ∗ cos u
√
16 − 16 sin u2du − x2
− x x = 4 ∗ sin(u)
Ax = 16 ∗
Z
cos u2
du − x2
− x u = arcsin
x
4
Ax =
cos u ∗ sin u
2
+
1
2
Z
1du − x2
− x dx = 4 ∗ cos(u)du
Ax =
cos u ∗ sin u
2
+
u
2
− x2
− x
Ax = 2x ∗
r
1 −
x2
16
+ 8 arcsin
x
4
− x2
− x
Ax =
x
√
16 − x2
2
− x2
− x + 8 arcsin
x
4
4
−4
Ax =
4
√
16 − 42
2
− 42
− 4 + 8 arcsin
4
4
−
−4
p
16 − (−4)2
2
− (−4)2
− (−4) + 8 arcsin
−4
4
#
Ax = −8 + 8 sin 1 + 4π
Ax = 11, 3u2
10.Calcular el área de la región delimitada por las curvas Rectas : [x = y4
− y2
+
y − 1]; [x = 1 − y2
]
12

13. Rectas : [x = y4
− y2
+ y − 1]; [x = 1 − y2
]
Puntos de Interseccion :
x = 0 = 1 − y2
= y4
− y2
+ y − 1
F(y) = y4
+ y − 2
F0
(y) = 4y3
+ 1
Puntos Cercanos : y = 1 ; y = −1
y(1) = 1 ; y(−1) = −1, 3532
Ay =
Z 1
−1,3532
(1 − y2
) − (y4
− y2
+ y − 1)dy
Ay =
Z 1
−1,3532
−y4
+ y + 2dy
Ay =
−y5
5
+
y2
2
+ 2y
1
−1,3532
Ay =
−15
5
+
(1)2
2
+ 2(1) −
−(−1, 3532)5
5
+
(−1, 3532)2
2
+ 2(−1, 3532)
Ay = 4, 0145u2
Encuentre los valores de C tales que el área de la región encerrada por la parábolas:
[y = x2
− C2
]; [y = C2
− x2
]
13

14. Rectas : [y = x2
− C2
]; [y = C2
− x2
] , A = 576u2
Puntos de Interseccion :
y = 0 = C2
− x2
= x2
− C2
2x2
= 2C2
x =+
− C
A =
Z C
−C
(C2
− x2
) − (x2
− C2
)dx
576u2
=
Z C
−C
2C2
− 2x2
dx
576u2
=
2C2
x −
2x3
3
C
−C
576u2
=
8C3
3
C3
= 216
C = 6
11.Calcular el área de la región delimitada por la astroide

x
2
3 + y
2
3 = a
2
3


14

15. Rectas :

x
2
3 + y
2
3 = a
2
3


Puntos de Interseccion :
y = 0 = x
2
3 + 0
2
3 = a
2
3
x
2
3 = a
2
3
x2
= a2
x =
√
a2
x =+
− a
Ax =
Z a
−a
v
u
u
u
t

a
2
3 − x
2
3


3
dx
Ax =



q
−
3
√
ax
2
3 −a
a
−8 3
√
ax
5
3 + 14ax − 3a
5
3 3
√
x
+ 3a2
arcsin
3
√
x
3
√
a
16



a
−a
Ax =
1
16
∗






3πa2
− 8a
6
s
3a
14
3 ∗ (−a)
4
3 − 3a
16
3 ∗ (−a)
2
3 +
11a2
s
(−a)
2
3 − a
2
3
r
−a
2
3






u2
12.Calcular el volumen de la superficie del sólido de revolución que resulta al hacer
girar la mitad superior de la astroide: x
2
3 + y
2
3 = a
2
3 alrededor del eje x.
V disco = πr2
e ; dvo = πy2
dx
15

16. 2)
x
2
3 + y
2
3 = a
2
3
= y =
a
2
3 − x
2
3
3
2
Puntos corte en y = 0
2
3 + y
2
3 = a
2
3 ; y = ±a ; x = 0
Puntos corte en x = y = 0 = x
2
3 = a
2
3 ; x = ±a
Aplicando la fórmula :
V = π
Z a
−a
h
a
2
3 − x
2
3
i3
dx
V = π
Z a
−a
h
a2
− 3a
4
3 x
2
3 + 3a
2
3 x
4
3 − x2
i
dx
V = π
a2
x −
3a
4
3 x
5
3
5
3
+
3a
2
3 x
7
3
7
3
−
x3
3
#a
−a
V = π
a2
x −
9
5
a
4
3 x
5
3 +
9
7
a
2
3 x
7
3 −
x3
3
a
−a
V = π
a3
−
9
5
a3
+
9
7
a3
−
a3
3
−
−a3
+
9
5
a3
−
9
7
a3
+
a3
3
a
−a
=
16a3
π
105
−
−
16π
105
a3
=
32
105
πa3
13.Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al hacer rotar la
mitad de la cardioide: p = a (1 + senθ)alrededor del eje normal.
Z
2 − sin (x)
2 + cos (x)
dx
2
Z
1
2 + cos (x)
dx −
Z
sin (x)
2 + cos (x)
dx = u =
tan x
2
√
3
=
Z
sec2 x
2
tan2 x
2
+ 3
dx dx =
2
√
3
sec2 x
2
=
2
√
3
Z
1
u2 + 1
du
Z
1
u2 + 1
du = arctan (u)
16

17. =
2arctan (u)
√
3
=
2arctan
tan(x
2 )
√
3
√
3
u =
tan x
2
√
3
Z
sin (x)
cos (x) + 2
dx =
Z
1
u
du = ln (u)
ln |2 + cos (x)| +
4
√
3
arctan
1
√
3
tan
x
2
14.Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al dar la curva definida
por:{x = 2acost + acos2t} {y = 2asent − asen2t} una vuelta completa alrededor del eje x
Z
dx
3 + 5 cos (x)
u = tan
x
2
= −
Z
1
u2 − 4
du dx =
2
sec2 x
2
=
Z
1
(u − 2) (u + 2)
du =
1
4
Z
1
u − 2
du −
1
4
Z
1
u + 2
du
du =
Z
1
u
du
=
ln (u − 2)
4
−
ln (u + 2)
4
=
ln x
2
− 2
4
−
ln x
2
+ 2
4
=
1
4
ln

22. tan x
2
+ 2
tan x
2
− 2

27. V = −2a3
π
16
3
+ π
u3
17

28. 15.Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado por la rotación de la
mitad derecha de la curva definida por: {x = 2cost − sen2t} {y = 2sent} alrededor del eje
y.
Z 9π
4
π
4
sen (x) dx
cos2 (x) − cos (x) + 4
= u = cos (x) ; du = (−sen (x)) dx
Z
sen (x) dx
cos2 (x) − cos (x) + 4
=
Z
sen (x) du
u2 − u + 4
·
1
−sen (x)
=
−
Z
1du
u2 − u + 4
= −
Z
du
u − 1
2
2
+ 4 − 1
4
(u − x)2
= u2
−2xu+x2
; m = u−
1
2
; x =
1
4
; dm = du
dm
m2 + 15
4
=
1
a
=
1
q
15
4
=
2
√
15
2
√
15
arctg
u − 1
2
2
√
15
!
=
2
√
15
arctg
2u − 1
√
15
2
√
15
arctg
2cos (x) − 1
√
15
=
V =
2
√
15
arctg
2cos π
4
− 1
√
15
!#
−
arctg
2cos 4π
4
− 1
√
15
!#
V =
1
3
ln