se realizan los cálculos necesarios paso a paso para el calculo de áreas bajo la curva

1. Cálculo de áreas entre curvas
Jaime Moreno Núñez

2. Calcular el área de la región formada por la gráfica de las
funciones dadas¹
¹ Zill. Cálculo. Trascendentes tempranas. Pp. 331
1. 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = 8, 𝑥 = −1 2. 𝑦 = 4 1 − 𝑥2 , 𝑦 = 1 − 𝑥2
3. 𝑦 = 𝑥, 𝑦 =
1
𝑥2
, 𝑥 = 3 4. 𝑦 = −𝑥2
+ 6, 𝑦 = 𝑥2
+ 4𝑥
5. 𝑦 = 𝑥2
; 𝑦 =
1
𝑥2
; 𝑦 = 9; 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

3. Definición del área acotada por dos gráficas:
Si f y g son funciones continuas sobre un intervalo a, b , entonces
el área A de la región acotada por sus gráficas sobre el intervalo está
dada por:
𝐴 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

4. 1. 𝑦 = 𝑥3
,
𝑦 = 8,
𝑥 = −1
https://www.geogebra.org/

5. 1. 𝑦 = 𝑥3
,
𝑦 = 8,
𝑥 = −1

6. 1. 𝑦 = 𝑥3
, 𝑦 = 8, 𝑥 = −1
𝑥3
= 8 ∴ 𝑥 =
3
8 = 2
A = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝐴 = න
−1
2
8 − 𝑥3 𝑑𝑥 = 8𝑥 −
𝑥4
4
2
−1
= 8 2 −
24
4
− 8 −1 −
−1 4
4
=
= 16 − 4 − −8 −
1
4
= 12 − −
33
4
=
48
4
+
33
4
=
81
4
න 𝑢𝑛
𝑑𝑢 =
𝑢𝑛+1
𝑛 + 1

7. 2. 𝑦 = 4 1 − 𝑥2
𝑦 = 1 − 𝑥2

8. 2. 𝑦 = 4 1 − 𝑥2
, 𝑦 = 1 − 𝑥2
4 1 − 𝑥2
= 1 − 𝑥2
4 − 4𝑥2
= 1 − 𝑥2
4 − 1 − 4𝑥2
+ 𝑥2
= 0
3 − 3𝑥2
= 0
𝑥2
− 1 = 0
𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −1
𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 1
𝑥 + 1 𝑥 − 1 = 0

9. A = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
2. 𝑦 = 4 1 − 𝑥2
, 𝑦 = 1 − 𝑥2
= න
−1
1
4 1 − 𝑥2 − 1 − 𝑥2 𝑑𝑥 = න
−1
1
(4 − 4𝑥2 − 1 + 𝑥2)𝑑𝑥
= න
−1
1
(3 − 3𝑥2
)𝑑𝑥 = 3𝑥 −
3𝑥3
3
1
−1
= 3𝑥 − 𝑥3
1
−1
= 3 1 − 1 3
− 3 −1 − −1 3 = 3 − 1 − −3 + 1 = 2 − (−2)
= 2 + 2 = 4

10. 3. 𝑦 = 𝑥,
𝑦 =
1
𝑥2
,
𝑥 = 3

11. 3. 𝑦 = 𝑥, 𝑦 =
1
𝑥2
, 𝑥 = 3
𝑥 =
1
𝑥2
𝑥3
= 1
𝑥 =
3
1
𝑥 = 1

12. 𝑦 = 𝑥, 𝑦 =
1
𝑥2
, 𝑥 = 3 A = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝐴 = න
1
3
𝑥 −
1
𝑥2
𝑑𝑥 =
𝑥2
2
−
𝑥−1
−1
3
1
= න
1
3
𝑥 − 𝑥−2
𝑑𝑥
=
𝑥2
2
+
1
𝑥
3
1
=
32
2
+
1
3
−
1
2
+
1
1
=
9
2
+
1
3
−
1
2
−
1
1
=
27 + 2 − 3 − 6
6
=
20
6
=
10
3

13. 4. 𝑦 = −𝑥2 + 6,
𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥

14. 4. 𝑦 = −𝑥2
+ 6, 𝑦 = 𝑥2
+ 4𝑥
−𝑥2
+ 6 = 𝑥2
+ 4𝑥
0 = 𝑥2
+ 4𝑥 + 𝑥2
− 6
0 = 2𝑥2
+ 4𝑥 − 6
0 = 𝑥2
+ 2𝑥 − 3
0 = 𝑥 + 3 (𝑥 − 1)
0 = 𝑥 + 3 ∴ 𝑥 = −3
0 = 𝑥 − 1 ∴ 𝑥 = 1

15. 𝑦 = −𝑥2
+ 6, 𝑦 = 𝑥2
+ 4𝑥 A = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝐴 = න
−3
1
−𝑥2
+ 6 − 𝑥2
+ 4𝑥 𝑑𝑥 = න
−3
1
−𝑥2
+ 6 − 𝑥2
− 4𝑥 𝑑𝑥
= න
−3
1
−2𝑥2 − 4𝑥 + 6 𝑑𝑥 = −
2𝑥3
3
−
4𝑥2
2
+ 6𝑥
1
−3
= −
2 1 3
3
−
4 1 2
2
+ 6 1 − −
2 −3 3
3
−
4 −3 2
2
+ 6(−3)
= −
2
3
−
4
2
+ 6 − 18 − 18 − 18 =
−4 − 12 + 36
6
− −18

16. 𝐴 =
−4 − 12 + 36
6
− −18 =
20
6
+ 18 =
10
3
+
54
3
=
64
3

17. 5. 𝑦 = 𝑥2; 𝑦 =
1
𝑥2
; 𝑦 = 9; 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
9= 𝑥2, 𝑥 = 9 = 3
9=
1
𝑥2 ; 𝑥2
=
1
9
; 𝑥 =
1
9
=
1
3
𝑥2 =
1
𝑥2
; 𝑥4 = 1; 𝑥 = 1
1
3
1 3

18. න
1
3
1
9 −
1
𝑥2
𝑑𝑥 + න
1
3
9 − 𝑥2 dx = 9𝑥 +
1
𝑥
1
1
3
+ 9𝑥 −
𝑥3
3
3
1
=
9𝑥 +
1
𝑥
1
1
3
= 9 1 +
1
1
− 9
1
3
+
1
1
3
= 9 + 1 − 3 + 3 = 10 − 6 = 4
9𝑥 −
𝑥3
3
3
1
= 9 3 −
33
3
− 9 1 −
13
3
= 27 −
27
3
− 9 −
1
3
=
9𝑥 +
1
𝑥
1
1
3
+ 9𝑥 −
𝑥3
3
3
1
= 4 + 18 −
26
3
=
12 + 54 − 26
3
=
40
3
= 27 − 9 − 9 −
1
3
= 18 −
26
3

19. 𝑦 = 𝑥2; 𝑥 = 𝑦
𝑦 =
1
𝑥2 ; 𝑥 =
1
𝑦
𝑥 =
1
𝑦
= 𝑦; 𝑦 𝑦 = 1; 𝑦 = 1
𝑦 = 9
න
1
9
𝑦 −
1
𝑦
dy = න
1
9
𝑦
1
2 − 𝑦−
1
2 𝑑𝑦 =
𝑦
3
2
3
2
−
𝑦
1
2
1
2
9
1
=
2
3
𝑦
3
2 − 2𝑦
1
2
9
1
=
=
2
3
93 − 2 9 −
2
3
− 2 =
2
3
81 ∙ 9 − 2 ∙ 3 −
2
3
− 2 =
=
2
3
∙ 9 ∙ 3 − 6 −
2
3
− 2 = 18 − 6 −
2
3
−
6
3
= 12 +
4
3
=
36
3
+
4
3
=
40
3
También podría resolverse con respecto al eje y, de la siguiente
manera:

20. Bibliografía
Zill G. Dennis(2011). Cálculo. Trascendentes tempranas.
4ª Edición. México: McGraw Hill.

21. 𝐸𝑠𝑜 𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑑𝑜 …
Muchas gracias