documento

1. PROBLEMAS DE MATEMATICA BASICA
Demetrio Ccesa Rayme

2. PROBLEMA 1:
|𝑥2
− 2 − 3𝑥 | < 4 usaremos la siguiente propiedad : |a|<b -b < a < b ˄ b > 0
−4 < 𝑥2
− 2 − 3𝑥 < 4
−4 − 𝑥2
< −|2 − 3𝑥| < 4 − 𝑥2
𝑥2
+ 4 > 2 − 3𝑥 > 𝑥2
− 4
2 − 3𝑥 < 𝑥2
+ 4 ˄ 𝑥2
− 4 < 2 − 3𝑥
𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 ∶ 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 ∶
|a|<b -b < a < b ˄ b > 0 𝑏 < 𝑎 𝑎 > 𝑏 ˅ 𝑎 < −𝑏
−𝑥2
− 4 < 2 − 3𝑥 < 𝑥2
+ 4 ˄ 𝑥2
+ 4 > 0 ˄ 2 − 3𝑥 > 𝑥2
− 4 ˅ 2 − 3𝑥 < − 𝑥2
+ 4
0 < 𝑥2
− 3𝑥 + 6 ˄ 0 < 𝑥2
+ 3x + 2 𝑥 ∈ ℝ − 3𝑥 > 𝑥2
− 4 − 2 ˅ − 3𝑥 < −𝑥2
+ 4 − 2
△= 𝑏2
− 4 𝑎 𝑐 ˄ 0 < 𝑥 + 1 𝑥 + 2 0 > 𝑥2
+ 3𝑥 − 6 ˅ 𝑥2
− 3𝑥 − 2 < 0
△= −3 2
− 4 1 6 𝑈𝑆𝐴𝑅𝐸𝑀𝑂𝑆: 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
−3± 33 3± 17
I) 2 − 3𝑥 < 𝑥2 + 4
por propiedad∶
|a|<b -b < a < b ˄ b > 0
−𝑥2 − 4 < 2 − 3𝑥 < 𝑥2 + 4 ˄ 𝑥2 + 4 > 0
0 < 𝑥2 − 3𝑥 + 6 ˄ 0 < 𝑥2 + 3x + 2 𝑥 ∈ ℝ
△= 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐 ˄ 0 < 𝑥 + 1 𝑥 + 2
△= −3 2 − 4 1 6
△= −15 ˄ 𝑥𝜖 <−⋈; −2 >∪< −1 +⋈>
△< 0 𝑥 ∉ ℝ

3. 𝐈𝐈 𝑥2 − 4 < 2 − 3𝑥
2 − 3𝑥 > 𝑥2 − 4 ˅ 2 − 3𝑥 < − 𝑥2 + 4
por propiedad∶
b<|a| a > b ˅ a < -b
−3𝑥 > 𝑥2 − 4 − 2 ˅ − 3𝑥 < −𝑥2 + 4 − 2
0 > 𝑥2 + 3𝑥 − 6 ˅ 𝑥2 − 3𝑥 − 2 < 0
𝑈𝑆𝐴𝑅𝐸𝑀𝑂𝑆: 𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−3 ± 33
2
˅ 𝑥 =
3 ± 17
2
𝑥𝜖 <
−3− 33
2
;
−3+ 33
2
> ˅ 𝑥𝜖 <
3− 17
2
;
3+ 17
2
> 𝑥𝜖 <
−3 − 33
2
;
3 + 17
2
>

4. Ahora intersecaremos las soluciones:
(I) y (II)
𝑥𝜖 <−⋈; −2 >∪< −1 +⋈> <
−3 − 33
2
;
3 + 17
2
>

5. ++
PROBLEMA 2:
𝑥2
− 1 ≤
2
9
sabemos :
2
9
≅ 0,22 …
Por definición el máximo entero seria : 0
𝑥2
− 1 ≤ 0 Por propiedad: 𝑥 ≤ 𝑛 𝑥 < 𝑛 + 1 ∀ 𝑛 ∈ 𝛧
𝑥2
− 1 < 1
𝑥2
− 2 <0
𝑥 + 2 𝑥 − 2 < 0
− 2 + 2
-
C.S < − 𝟐 ; + 𝟐 >

6. PROBLEMA 3:
CALCULAR:
1 − 3𝑖
3
2 + 2𝑖
−2 2 + 2 2𝑖 2
𝐈 1 − 3𝑖
3
𝑃𝑜𝑟 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
1 3 + 3 1 2 − 3𝑖 + 3 1 − 3𝑖
2
+ − 3𝑖
3
1 − 3 3𝑖 + 3 3 𝑖 2 − 3 3 𝑖 3
1 − 3 3𝑖 − 9 + 3 3𝑖
= -8
𝐈𝐈 −2 2 + 2 2𝑖 2 𝑃𝑜𝑟 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎do:
−2 2
2
+ 2 −2 2 2 2𝑖 + 2 2𝑖
2
8 − 16𝑖 + 8 𝑖 2
8 − 16𝑖 − 8
= −16𝑖

7. ENTONCES SE OBTIENE:
−8 2+ 2𝑖
−16𝑖
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜
−1 2 + 2𝑖
−2𝑖
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑖 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑦 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
− 2 − 2𝑖 𝑖
−2𝑖 𝑖
=
2− 2𝑖
2

8. PROBLEMA 4:
DESCRIBIR LOS CONJUNTOS DEL PLANO DETERMINADOS POR LA ECUACIÓN
𝑧𝑧 < 4
Por definición : 𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑦 𝑍 = 𝑎 − 𝑏𝑖
𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖 < 4
𝑎2
− 𝑏𝑖 2
< 4
𝑎2
+ 𝑏2
< 4
𝑥2
+ 𝑦2
< 22
𝑥2
+ 𝑦2
< 𝑅2
Evaluando para X= 0 e Y=0 cumple la inecuación y entonces el
centro de la circunferencia seria la coordenada (0;0). Además su
radio seria 2.

9. El grafico sería así:

10. PROBLEMA 5:
UN POLINOMIO MÓNICO DE TERCER GRADO ES DIVISIBLE POR (X-2) Y ( X-1 ).AL SER DIVIDIDO POR (X-3) DA POR RESIDUO 20.
HALLAR SU TÉRMINO INDEPENDIENTE.
𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
Siendo el polinomio:
Si es Mónico entonces a =1
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 3 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 3 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑦 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑙𝑜
𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛 𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 ; 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 0
𝑆𝑖 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑦 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 ∶
𝑃𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 2 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 3 𝑛𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑟í𝑎 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑙𝑜
𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 :
𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑥 − 2 𝑥 − 1 𝑥 − 𝑎

11. También tenemos que el polinomio dividido en (x-3) nos da residuo 20
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 3 𝑄 𝑥 + 𝑅 𝑥 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 3 𝑄 𝑥 + 20
Por el teorema del Resto evaluamos el 𝒙 − 𝟑 = 𝟎; 𝒙 = 𝟑
𝑃 3 = 3 − 3 𝑄 𝑥 + 20 𝑃 3 = 3 − 3 𝑄 3 + 20 = 20
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑥 − 1 𝑥 − 𝑎 𝑃 3 = 3 − 2 3 − 1 3 − 𝑎 = 20
1 2 3 − 𝑎 = 20 3 − 𝑎 = 10 𝑎 = −7
𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑥 − 2 𝑥 − 1 𝑥 − −7
𝑷 𝒙 = 𝒙3 + 𝒃𝒙2 + 𝒄𝒙 + 𝒅 = 𝒙 − 2 𝒙 − 1 𝒙 + 7
LAS RAÍCES SERIAN:
𝑋 − 2 = 0; 𝑋 = 2
𝑋 − 1 = 0; 𝑋 = 1
𝑋 + 7 = 0; 𝑋 = −7
𝑈𝑠𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑇𝐸𝑂𝑅𝐸𝑀𝐴 𝐶𝐴𝑅𝐷𝐴𝑁𝑂 𝑉𝐼𝐸𝑇𝑇𝐸 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:
𝑑 = 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 ; 𝑑 =
−X 1 .X 2 . X 3
𝑎
; 𝑑 =
−X 1 . X 2 . X 3
1
𝑑 =
−X 1 . X 2 . X 3
1
𝑑 = − 2 1 −7 = 14