LÍMITES RESUELTOS

1. Ana Marı́a Albornoz R. 1
Ejercicios resueltos
1. Calcular los siguientes lı́mites algebraicos
1) lı́m
x→2
x2
+ 1
x2 − 1
=
22
+ 1
22 − 1
=
5
3
2) lı́m
x→1
x2
− 2x + 1
x3 − x
=
12
− 21 + 1
13 − 1
=
0
0
pero lı́m
x→1
x2
− 2x + 1
x3 − x
= lı́m
x→1
(x − 1)2
x(x2 − 1)
=
lı́m
x→1
(x − 1)2
x(x − 1)(x + 1)
= lı́m
x→1
(x − 1)
x(x + 1)
=
1 − 1
1(2)
=
0
2
= 0
3) lı́m
x→1
(x − 1)
√
2 − x
1 − x2
=
0
0
, pero lı́m
x→1
(x − 1)
√
2 − x
1 − x2
= lı́m
x→1
(x − 1)
√
2 − x
(1 − x)(1 + x)
=
lı́m
x→1
−(1 − x)
√
2 − x
(1 − x)(1 + x)
= lı́m
x→1
−1
√
2 − x
1 + x
=
−1
2
4) lı́m
x→1
1
1 − x
−
3
1 − x3
lı́m
x→1
1
1 − x
−
3
1 − x3
= ∞ − ∞ que es una forma indetermi-
nada.
Pero lı́m
x→1
1
1 − x
−
3
1 − x3
= lı́m
x→1
1
1 − x
−
3
(1 − x)(1 + x + x2)
=
lı́m
x→1
(1 + x + x2
)
1 − x
−
3)
(1 − x)(1 + x + x2)
= lı́m
x→1
(1 + x + x2
− 3)
(1 − x)(1 + x + x2)
=
lı́m
x→1
(x2
+ x − 2)
(1 − x)(1 + x + x2)
= lı́m
x→1
(x − 1)(x + 2)
(1 − x)(1 + x + x2)
=
lı́m
x→1
−(1 − x)(x + 2)
(1 − x)(1 + x + x2)
= lı́m
x→1
−(x + 2)
(1 + x + x2)
=
−3
3
= −1
5) lı́m
x→1
x + 2
x2 − 5x + 4
+
x − 4
3(x2 − 3x + 2)
= lı́m
x→1
x + 2
(x − 4)(x − 1)
+
x − 4
3(x − 2)(x − 1)
=
lı́m
x→1
3(x + 2)(x − 2) + (x − 4)(x − 4)
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
= lı́m
x→1
3(x2
− 4) + (x − 4)2
)
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
=
lı́m
x→1
3x2
− 12 + x2
− 8x + 16
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
= lı́m
x→1
4x2
− 8x + 4
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
=
lı́m
x→1
4(x2
− 2x + 1)
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
= lı́m
x→1
4(x2
− 2x + 1)
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
=
lı́m
x→1
4(x − 1)2
3(x − 4)(x − 2)(x − 1)
= lı́m
x→1
4(x − 1)
3(x − 4)(x − 2)
=
0
−24
= 0

2. Ana Marı́a Albornoz R. 2
6) lı́m
x→∞
2 + x − 3x3
5 − x2 + 3x3
= lı́m
x→∞
2+x−3x3
x3
5−x2+3x3
x3
= lı́m
x→∞
2
x3 + x
x3 − 3x3
x3
5
x3 − x2
x3 + 3x3
x3
=
0 + 0 − 3
0 − 0 + 3
= −1
7) lı́m
x→∞
x3
x2 + 1
− x = lı́m
x→∞
x3
− x(x2
+ 1)
x2 + 1
= lı́m
x→∞
x3
− x3
− x
x2 + 1
= lı́m
x→∞
−x
x2 + 1
=
lı́m
x→∞
− x
x2
x2
x2 + 1
x2
=
0
1 + 0
= 0
8) lı́m
x→∞
√
x2 + 1 − 3
√
x
4
√
x3 + 5x − x
= lı́m
x→∞
√
x2+1−3
√
x
x
4
√
x3+5x−x
x
= lı́m
x→∞
√
x2+1
x
− 3
√
x
x
4
√
x3+5x
x
− x
x
= lı́m
x→∞
q
x2+1
x2 − 3
x1/2
4
q
x3+5x
x4 − 1
= lı́m
x→∞
q
1 + 1
x2 − 3
√
x
4
q
1
x
+ 5
x3 − 1
=
√
1 + 0 − 0
4
√
0 + 0 − 1
= −1
9) lı́m
x→0
√
1 + x2 − 1
x
Racionalizando obtenemos
lı́m
x→0
√
1 + x2 − 1
x
√
1 + x2 + 1
√
1 + x2 + 1
= lı́m
x→0
1 + x2
− 1
x(
√
1 + x2 + 1)
=
lı́m
x→0
x2
x(
√
1 + x2 + 1)
= lı́m
x→0
x
√
1 + x2 + 1)
=
0
2
= 0
10) lı́m
x→5
√
x − 1 − 2
x − 5
Racionalizando obtenemos
lı́m
x→5
√
x − 1 − 2
x − 5
√
x − 1 + 2
√
x − 1 + 2
= lı́m
x→5
x − 1 − 4
(x − 5)(
√
x − 1 + 2)
= lı́m
x→5
x − 5
(x − 5)(
√
x − 1 + 2)
=
lı́m
x→5
1
√
x − 1 + 2
=
1
4
11) lı́m
x→1
3
√
7 + x3 −
√
3 + x2
x − 1
= lı́m
x→1
3
√
7 + x3 −
√
3 + x2 + 2 − 2
x − 1
=
lı́m
x→1
3
√
7 + x3 − 2
x − 1
−
√
3 + x2 − 2
x − 1
Racionalizando cada fracción obtenemos:
lı́m
x→1
3
√
7 + x3 − 2
x − 1
3
p
(7 + x3)2 + 2 3
√
7 + x3 + 4
3
p
(7 + x3)2 + 2 3
√
7 + x3 + 4
−
√
3 + x2 − 2
x − 1
√
3 + x2 + 2
√
3 + x2 + 2
=
lı́m
x→1
(7 + x3
) − 8
(x − 1) 3
p
(7 + x3)2 + 2 3
√
7 + x3 + 4)
−
3 + x2
− 4
(x − 1)(
√
3 + x2 + 2)
=
lı́m
x→1
x3
− 1
(x − 1) 3
p
(7 + x3)2 + 2 3
√
7 + x3 + 4)
−
x2
− 1
(x − 1)(
√
3 + x2 + 2)
=

3. Ana Marı́a Albornoz R. 3
lı́m
x→1
(x − 1)(x2
+ x + 1)
(x − 1) 3
p
(7 + x3)2 + 2 3
√
7 + x3 + 4)
−
(x − 1)(x + 1)
(x − 1)(
√
3 + x2 + 2)
=
lı́m
x→1
((x2
+ x + 1)
3
p
(7 + x3)2 + 2 3
√
7 + x3 + 4)
−
(x + 1)
(
√
3 + x2 + 2)
=
1 + 1 + 1
4 + 4 + 4
−
2
2 + 2
=
3
12
−
2
4
=
1
4
−
2
4
= −
1
4
12) lı́m
x→∞
p
(x + m)(x + n) − x Racionalizando queda:
lı́m
x→∞
p
(x + m)(x + n)−x
p
(x + m)(x + n) + x
p
(x + m)(x + n) + x
= lı́m
x→∞
(x + m)(x + n) − x2
p
(x + m)(x + n) + x
=
lı́m
x→∞
x2
+ (m + n)x + mn − x2
p
(x + m)(x + n) + x
= lı́m
x→∞
(m + n)x + mn
p
x2 + (m + n)x + mn + x
Dividiendo
por la
potencia más grande de x, que es x2
queda:
lı́m
x→∞
(m + n) + mn
x
q
1 + (m+n)
x
+ mn
x2 + 1
=
(m + n) + 0
√
1 + 0 + 0 + 1
=
m + n
2
13) lı́m
x→2
1
2 − x
−
3
8 − x3
= lı́m
x→2
1
2 − x
−
3
(2 − x)(4 + 2x + x2)
= lı́m
x→2
4 + 2x + x2
− 3
(2 − x)(4 + 2x + x2)
=
lı́m
x→2
x2
+ 2x + 1
(2 − x)(4 + 2x + x2)
=
4 + 4 + 1
0
= ∞
14) lı́m
x→1
2
8x2
− 1
6x2 − 5x + 1
=
1
0
= ∞
lı́m
x→1
2
8x2
− 2x − 1
6x2 − 5x + 1
= lı́m
x→1
2
(2x − 1)(4x + 1)
(3x − 1)(2x − 1)
= lı́m
x→1
2
4x + 1
3x − 1
=
2 + 1
3
2
−1
=
3
1
2
= 6
15) lı́m
x→∞
3x4
− 2x + 1
3x2 + 6x − 2
Dividiendo por la potencia más grande de x que es x4
queda:
lı́m
x→∞
3 − 2
x3 + 1
x4
3
x2 + 6
x3 − 2
x4
=
3
0
= ∞
16) lı́m
x→0
√
x2 + 4 − 2
√
x2 + 9 − 3
= lı́m
x→0
√
x2 + 4 − 2
√
x2 + 9 − 3
√
x2 + 4 + 2
√
x2 + 4 + 2
√
x2 + 9 + 3
√
x2 + 9 + 3
=
lı́m
x→0
(x2
+ 4 − 4)(
√
x2 + 9 + 3)
(x2 + 9 − 9)(
√
x2 + 4 + 2)
= lı́m
x→0
(x2
)(
√
x2 + 9 + 3)
(x2)(
√
x2 + 4 + 2)
=

4. Ana Marı́a Albornoz R. 4
lı́m
x→0
√
x2 + 9 + 3
√
x2 + 4 + 2
=
√
0 + 9 + 3
√
0 + 4 + 2
=
3 + 3
2 + 2
=
6
4
=
3
2
17) lı́m
x→4
√
1 + 2x − 3
x − 4
= lı́m
x→4
√
1 + 2x − 3
x − 4
√
1 + 2x + 3
√
1 + 2x + 3
= lı́m
x→4
1 + 2x − 9
(x − 4)(
√
1 + 2x + 3)
=
lı́m
x→4
2x − 8
(x − 4)(
√
1 + 2x + 3)
= lı́m
x→4
2(x − 4)
(x − 4)(
√
1 + 2x + 3)
= lı́m
x→4
2
√
1 + 2x + 3
=
2
6
=
1
3
18) lı́m
x→∞
3x
+ x
3x − 2x
Primero calcularemos lı́m
x→∞
x
3x
usando el teorema del Sandwich.
Sabemos que 3x
≥ x3
Para x > 3 Por lo tanto
x
3x
≤
x
x3
además
x
3x
≥
1
3x
por
lo que
podemos afirmar que:
1
3x
≤
x
3x
≤
x
x3
⇒
1
3x
≤
x
3x
≤
1
x2
Aplicando lı́mite
lı́m
x→∞
1
3x
≤ lı́m
x→∞
x
3x
≤ lı́m
x→∞
1
x2
⇒ 0 ≤ lı́m
x→∞
x
3x
≤ 0 Por lo que lı́m
x→∞
x
3x
= 0
Dividiendo el limite que queremos calcular por 3x
queda:
lı́m
x→∞
3x
+ x
3x − 2x
= lı́m
x→∞
1 + x
3x
1 − 2x
3x
= lı́m
x→∞
1 + x
3x
1 − 2 x
3x
= lı́m
x→∞
1 + 0
1 − 2(0)
= 1
19) lı́m
x→∞
3
√
x2 + 1
x − 2
Dividiendo por la potencia más grande de x que es x queda:
lı́m
x→∞
3
q
x2
x3 + 1
x3
x
x
− 2
x
= lı́m
x→∞
3
q
1
x
+ 1
x3
1 − 2
x
=
0
1
= 0
20) lı́m
x→∞
2x2
+ 1
3
√
x7 + 2x
Dividiendo por la potencia más grande de x que es x7/3
queda:
lı́m
x→∞
2x2
x7/3 + 1
x7/3
3
q
x7
x7 + 2x
x7
= lı́m
x→∞
2
x1/3 + 1
x7/3
3
q
1 + 2
x6
=
0
1
= 0
21) lı́m
x→0
√
x2 + a2 − a
√
x2 + b2 − b
= lı́m
x→0
√
x2 + a2 − a
√
x2 + b2 − b
√
x2 + a2 + a
√
x2 + a2 + a
√
x2 + b2 + b
√
x2 + b2 + b
=
lı́m
x→0
(x2
+ a2
− a2
)(
√
x2 + b2 + b)
(x2 + b2 − b2)(
√
x2 + a2 + a)
= lı́m
x→0
x2
(
√
x2 + b2 + b)
x2(
√
x2 + a2 + a)
=
lı́m
x→0
√
x2 + b2 + b
√
x2 + a2 + a
=
√
b2 + b
√
a2 + a
=
2b
2a
=
b
a