Trabajo extra :v

1. 72 b
lim
𝑥→0
1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
Ordenamos la expresión
lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
Ahora dividimos la expresión
Tanto al numerador como denominador
Por 1/x
lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
+
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
−
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
+
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
−
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
Aplicando limites trigonométricos podemos aplicar
lim
𝑥→0
1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥
= 0 𝑦 lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= 1
𝑓𝑥 =
0 + 1
0 − 1
= −1
lim
𝑥→0
1 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥
= −1

2. 62 b
lim
𝑥→1
𝑥4
𝑥3 − 1
−
𝑥3
𝑥2 − 1
Aumentamosyrestamoslomismo
lim
𝑥→1
𝑥4 − 1
𝑥3 − 1
+
1
𝑥3 − 1
−
𝑥3 − 1
𝑥2 − 1
−
1
𝑥2 − 1
lim
𝑥→1
(𝑥2 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
+
1
𝑥3 − 1
−
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
−
1
𝑥2 − 1
lim
𝑥→1
(𝑥2 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
−
(𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
−
1
𝑥2 − 1
+
1
𝑥3 − 1
lim
𝑥→1
(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)
−
(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)
+
−1( 𝑥3 − 1) + 1(𝑥2 − 1)
(𝑥2 − 1)(𝑥3 − 1)
lim
𝑥→1
(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)
−
(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)
+
−𝑥3 + 1+𝑥2 − 1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
lim
𝑥→1
(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)
−
(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)
+
−𝑥2(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
lim
𝑥→1
(𝑥2 + 1)(𝑥 + 1)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)
−
(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(𝑥 + 1)
+
−𝑥2
(𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)
(2)(2)
(3)
−
(3)
(2)
+
−1
(2)(3)
= −
1
3

3. 71b
lim
𝑥→∞
𝑥3
2𝑥2 − 1
−
𝑥2
2𝑥 + 1
lim
𝑥→∞
𝑥3(2𝑥 + 1) − 𝑥2(2𝑥2 − 1)
(2𝑥2 − 1)(2𝑥 + 1)
lim
𝑥→∞
(2𝑥4 + 𝑥3) − (2𝑥4 − 𝑥2)
4𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 − 1
lim
𝑥→∞
2𝑥4 + 𝑥3 − 2𝑥4 + 𝑥2
4𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 − 1
Ahoracogemosla variable que coníndice mayorde lafunción = 𝑥3 y lodividimosentre
este valortantoal numeradorcomodenominador
lim
𝑥→∞
𝑥3 + 𝑥2
𝑥3
4𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 − 1
𝑥3
lim
𝑥→∞
𝑥3
𝑥3 +
𝑥2
𝑥3
4𝑥3
𝑥3 +
2𝑥2
𝑥3 −
2𝑥
𝑥3 −
1
𝑥3
1 + 0
4 + 0 − 0 − 0
=
1
4

4. 70c
lim
𝑥→∞
𝑥
3
2(√ 𝑥3 + 1 − √ 𝑥3 − 1 )
lim
𝑥→∞
𝑥
3
2
(√𝑥3 + 1 − √𝑥3 − 1 )
(√𝑥3 + 1 + √𝑥3 − 1 )
.(√ 𝑥3 + 1 + √ 𝑥3 − 1 )
lim
𝑥→∞
𝑥
3
2
( 𝑥3 + 1 − 𝑥3 + 1 )
(√𝑥3 + 1 + √𝑥3 − 1 )
lim
𝑥→∞
2√𝑥3
(√𝑥3 + 1 + √𝑥3 − 1 )
El mayoríndice exponencial es √𝑥3 asíque lodividimosporeste númerotantoal
numeradorydenominador
lim
𝑥→∞
2
√𝑥3
√𝑥3
(
√𝑥3 + 1
√𝑥3
+
√𝑥3 − 1
√𝑥3
)
lim
𝑥→∞
2(1)
(√ 𝑥3
𝑥3 +
1
𝑥3 + √ 𝑥3
𝑥3 −
1
𝑥3 )
2(1)
(√1 + 0 + √1 − 0 )
= 1

5. 71c
lim
𝑥→∞
(√𝑥7 + 3
5
+ √2𝑥3 − 1
4
)
√𝑥8 + 𝑥7 + 1
6
− 𝑥
La variable de mayorexponente
𝑥
7
5 𝑥
3
4 𝑥
8
6
=
𝑥
7
5 dividimoslamayorvariable coníndice mayortanto al numeradorcomo
denominador
lim
𝑥→∞
(√𝑥7 + 3
5
+ √2𝑥3 − 1
4
)
𝑥
7
5
√𝑥8 + 𝑥7 + 1
6
− 𝑥
𝑥
7
5
lim
𝑥→∞
(√ 𝑥7
𝑥7 +
3
𝑥7
5
+ √
2𝑥3
𝑥
28
5
−
1
𝑥
28
5
4
)
√
𝑥8
𝑥
42
5
+
𝑥7
𝑥
42
5
+
1
𝑥
42
5
6
−
𝑥
𝑥
7
5
lim
𝑥→∞
(√1 +
3
𝑥7
5
+ √2𝑥3
𝑥5.6 −
1
𝑥5.6
4
)
√ 𝑥8
𝑥8.4 +
𝑥7
𝑥8.4 +
1
𝑥8.4
6
−
𝑥
𝑥1.4
(√1 + 05
+ √0 − 04
)
√0 + 0 + 06
− 0
=
1
0
= ∞ " 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 "

6. 71f
lim
𝑥→1
√7 + 𝑥33
− √3 + 𝑥2
𝑥 − 1
Aumentamosunvaloryrestamosel mismonúmeroparaque no haya cambios enla función
lim
𝑥→1
√7 + 𝑥33
− 2
𝑥 − 1
−
√3 + 𝑥2 − 2
𝑥 − 1
lim
𝑥→1
√7 + 𝑥33
− 2
𝑥 − 1
− lim
𝑥→1
√3 + 𝑥2 − 2
𝑥 − 1
EN EL PRIMER LIMITE APLICAMOS DIFERENCIA DE CUBOS Y EL SEGUNDO DIFERENCIA DE CUADRADOS
lim
𝑥→1
7+𝑥3−8
(𝑥−1)( √(7+𝑥3)23
+2 √7+𝑥33
+4
− lim
𝑥→1
3+𝑥2−4
(𝑥−1)(√3+𝑥2+2)
lim
𝑥→1
(𝑥−1)(𝑥2+𝑥+1)
(𝑥−1)( √(7+𝑥3)23
+2 √7+𝑥33
+4
− lim
𝑥→1
(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−1)(√3+𝑥2+2)
(12 + 1 + 1)
(√(7 + 13)23
+ 2√7 + 133
+ 4
−
(1 + 1)
(√3 + 12 + 2)
3
4 + 2(2) + 4
−
2
(2 + 2)
=
3
4

7. 62ª
lim
𝑥→−∞
𝑥 ‖
𝑥 + 1
𝑥
‖ 𝑠𝑒𝑛(
1
𝑥
)
lim
𝑥→−∞
‖
𝑥 + 1
𝑥
‖ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(
1
𝑥
)
lim
𝑥→−∞
‖
𝑥 + 1
𝑥
‖ ∗ lim
𝑥→−∞
𝑥 𝑠𝑒𝑛(
1
𝑥
)
lim
𝑡→−0
‖𝑡(
1+𝑡
𝑡
)‖ ∗ lim
𝑡→−0
1
𝑡
𝑠𝑒𝑛(𝑡)
lim
𝑡→−0
‖ 𝑡‖ + 1 ∗ lim
𝑡→−0
𝑠𝑒𝑛(𝑡)
𝑡
(0 + 1) ∗ (−1) = −1