Limites

1. LÍMITES
1)
3
32
lim
2
3 

 x
xx
x
Factorando
lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
𝑥 − 3
Simplificando
lim
𝑥→3
𝑥 + 1
1
Evaluando
3 + 1
1
= 4
En GeoGebra se procede de la siguiente forma
a) En Entrada escribir la función

2. b) Enter
c) En Entrada, escribir las primeras letras de límite, se despliega algunas opciones.

3. d) Escoger la opción
e) En Función, escribir f(x). En Valor numérico escribir 3

4. f) Enter
g) Clic derecho en a=4 (el cual representa el límite de la función cuando x tiende a 3)

5. h) Clic en Propiedades de Objeto
i) En Nombre, escribir límite

6. j) Clic en Cerrar ventana de Preferencias
2)
xx
xxx
x 9
214
lim 3
23
3 


Factorando, simplificando y evaluando.
lim
𝑥→3
𝑥(𝑥2
+ 4𝑥 − 21)
𝑥(𝑥2 − 9)
= lim
𝑥→3
𝑥(𝑥 + 7)(𝑥 − 3)
𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
= lim
𝑥→3
(𝑥 + 7)
(𝑥 + 3)
=
3 + 7
3 + 3
=
10
6
=
5
3
= 1,67

7. 3)
122072
128
lim 234
23
2 

 xxxx
xxx
x
Factorando
1 -2 -7 20 -12 1 ±1,±2,±3,±4,±6,±12
1 -1 -8 12
1 -1 -8 12 0
(𝑥 − 1)(𝑥3
− 𝑥2
− 8𝑥 + 12)
Remplazando valores, simplificando y evaluando.
lim
𝑥→2
𝑥3
− 𝑥2
− 8𝑥 + 12
(𝑥 − 1)(𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12)
= lim
𝑥→2
1
𝑥 − 1
=
1
2 − 1
=
1
1
= 1

8. 4)
1
23
lim
2
1 

 x
x
x
Multiplicando por la conjugada
lim
𝑥→1
√𝑥2 + 3 − 2
𝑥 − 1
∙
√𝑥2 + 3 + 2
√𝑥2 + 3 + 2
= lim
𝑥→1
𝑥2
+ 3 − 4
(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)
Factorando
lim
𝑥→1
𝑥2
− 1
(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)
= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)
Simplificando y evaluando
lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)
(√𝑥2 + 3 + 2)
=
1 + 1
√12 + 3 + 2
=
2
√4 + 2
=
2
2 + 2
=
2
4
=
1
2
= 0,5
5)
x
xx
x


11
lim
0
Multiplicando por la conjugada
lim
𝑥→0
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥
𝑥
∙
√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥
√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥
Realizando las operaciones
lim
𝑥→0
1 + 𝑥 − (1 − 𝑥)
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
= lim
𝑥→0
1 + 𝑥 − 1 + 𝑥
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
= lim
𝑥→0
2𝑥
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)

9. lim
𝑥→0
2
(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
=
2
(√1 + 0 + √1 − 0)
=
2
√1 + √1
=
2
1 + 1
=
2
2
= 1
6)
741
63
lim
2 

 x
x
x
lim
𝑥→2
3𝑥 − 6
1 − √4𝑥 − 7
= lim
𝑥→2
3𝑥 − 6
1 − √4𝑥 − 7
∙
1 + √4𝑥 − 7
1 + √4𝑥 − 7
= lim
𝑥→2
(3𝑥 − 6)(1 + √4𝑥 − 7)
1 − (4𝑥 − 7)
lim
𝑥→2
3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)
1 − 4𝑥 + 7
= lim
𝑥→2
3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)
8 − 4𝑥
lim
𝑥→2
3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)
−4(𝑥 − 2)
= lim
𝑥→2
3(1 + √4𝑥 − 7)
−4
=
3(1 + √4 ∙ 2 − 7)
−4
=
3(1 + √1)
−4
6
−4
= −
3
2

10. 7)
123
2
lim
4 

 x
x
x
lim
𝑥→4
2 − √ 𝑥
3 − √2𝑥 + 1
= lim
𝑥→4
2 − √ 𝑥
3 − √2𝑥 + 1
∙
2 + √ 𝑥
2 + √ 𝑥
∙
3 + √2𝑥 + 1
3 + √2𝑥 + 1
lim
𝑥→4
(4 − 𝑥)(3 + √2𝑥 + 1)
(2 + √ 𝑥)(9 − 2𝑥 − 1)
= lim
𝑥→4
(4 − 𝑥)(3 + √2𝑥 + 1)
(2 + √ 𝑥)2(4 − 𝑥)
= lim
𝑥→4
(3 + √2𝑥 + 1)
2(2 + √ 𝑥)
(3 + √2 ∙ 4 + 1)
2(2 + √ 𝑥)
=
3 + √9
2(2 + √4)
=
3 + 3
2(2 + 2)
=
6
2(4)
=
3
4
= 0,75

11. 8)
11
11
lim 30 

 x
x
x
Multiplicando por la conjugada
lim
𝑥→0
√1 + 𝑥 − 1
√1 + 𝑥
3
− 1
∙
(√1 + 𝑥
3
)
2
+ √1 + 𝑥
3
∙ 1 + 12
(√1 + 𝑥
3
)
2
+ √1 + 𝑥
3
∙ 1 + 12
∙
√1 + 𝑥 + 1
√1 + 𝑥 + 1
lim
𝑥→0
(1 + 𝑥 − 1) ((√1 + 𝑥
3
)
2
+ √1 + 𝑥
3
+ 1)
(1 + 𝑥 − 1)(√1 + 𝑥 + 1)
lim
𝑥→0
(√1 + 𝑥
3
)
2
+ √1 + 𝑥
3
+ 1
√1 + 𝑥 + 1
=
(√1 + 0
3
)
2
+ √1 + 0
3
+ 1
√1 + 0 + 1
(√1
3
)
2
+ √1
3
+ 1
√1 + 1
=
1 + 1 + 1
1 + 1
=
3
2
= 1,5

12. 9)
1
3
lim
34
1 

 x
xxx
x
Cambiando la variable
𝑥 = 𝑎12
𝑎
𝑚
𝑛 = √𝑎 𝑚𝑛
8
1
3 = √813
= 2
lim
𝑎12→1
√𝑎124
+ √𝑎123
+ √𝑎122
− 3
𝑎12 − 1
= lim
𝑎12→1
𝑎
12
4 + 𝑎
12
3 + 𝑎
12
2 − 3
𝑎12 − 1
Factorando
lim
𝑎12→1
𝑎3
+ 𝑎4
+ 𝑎6
− 3
𝑎12 − 1
= lim
𝑎12→1
𝑎6
+ 𝑎4
+ 𝑎3
− 3
𝑎12 − 1
1 0 1 1 0 0 -3 1 ±1,±3
1 1 2 3 3 3
1 1 2 3 3 3 0
(𝑎 − 1)(𝑎5
+ 𝑎4
+ 2𝑎3
+ 3𝑎2
+ 3𝑎 + 3)
𝑎12
− 1 = (𝑎6
+ 1)(𝑎6
− 1) = (𝑎2
+ 1)(𝑎4
− 𝑎2
+ 1)(𝑎3
+ 1)(𝑎3
− 1)
𝑎12
− 1 = (𝑎2
+ 1)(𝑎4
− 𝑎2
+ 1)( 𝑎 + 1)( 𝑎2
− 𝑎 + 1)( 𝑎 − 1)( 𝑎2
+ 𝑎 + 1)
Remplazando
lim
𝑎12→1
(𝑎 − 1)( 𝑎5
+ 𝑎4
+ 2𝑎3
+ 3𝑎2
+ 3𝑎 + 3)
(𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)( 𝑎 + 1)( 𝑎2 − 𝑎 + 1)( 𝑎 − 1)( 𝑎2 + 𝑎 + 1)
Simplificando
lim
𝑎12→1
𝑎5
+ 𝑎4
+ 2𝑎3
+ 3𝑎2
+ 3𝑎 + 3
(𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)( 𝑎 + 1)( 𝑎2 − 𝑎 + 1)( 𝑎2 + 𝑎 + 1)
Remplazando
𝑎12
= 1
√ 𝑎1212
= √12
12
⇒ 𝑎 = 1
15
+ 14
+ 2 ∙ 13
+ 3 ∙ 12
+ 3 ∙ 1 + 3
(12 + 1)(14 − 12 + 1)(1 + 1)(12
− 1 + 1)(12
+ 1 + 1)
=
1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 3
(1 + 1)(1 − 1 + 1)(1 + 1)(1 − 1 + 1)(1 + 1 + 1)
=
13
(2)(1)(2)(1)(3)
=
13
12
= 1,08

13. 10)
1
1523
lim
1 

 x
xxx
x
Evaluando y restando la evaluación
lim
𝑥→1
√ 𝑥 + √3𝑥 − 2 − √5𝑥 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(√ 𝑥 − 1) + (√3𝑥 − 2 − 1) − (√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
Distribuyendo
lim
𝑥→1
(√ 𝑥 − 1)
𝑥 − 1
+ lim
𝑥→1
(√3𝑥 − 2 − 1)
𝑥 − 1
− lim
𝑥→1
(√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
Resolviendo el primer límite
lim
𝑥→1
(√ 𝑥 − 1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
√ 𝑥 − 1
𝑥 − 1
∙
√ 𝑥 + 1
√ 𝑥 + 1
= lim
𝑥→1
𝑥 − 1
(𝑥 − 1)(√ 𝑥 + 1)
= lim
𝑥→1
1
√ 𝑥 + 1
=
1
√1 + 1
lim
𝑥→1
(√ 𝑥 − 1)
𝑥 − 1
=
1
2
Resolviendo el segundo límite
lim
𝑥→1
(√3𝑥 − 2 − 1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
√3𝑥 − 2 − 1
𝑥 − 1
∙
√3𝑥 − 2 + 1
√3𝑥 − 2 + 1
= lim
𝑥→1
3𝑥 − 2 − 1
(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)

14. lim
𝑥→1
3𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)
= lim
𝑥→1
3(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)
= lim
𝑥→1
3
√3𝑥 − 2 + 1
3
√3 ∙ 1 − 2 + 1
=
3
√1 + 1
=
3
2
Resolviendo el tercer límite
lim
𝑥→1
(√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
√5𝑥 − 1 − 2
𝑥 − 1
∙
√5𝑥 − 1 + 2
√5𝑥 − 1 + 2
= lim
𝑥→1
5𝑥 − 1 − 4
(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)
lim
𝑥→1
5𝑥 − 5
(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)
= lim
𝑥→1
5(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)
= lim
𝑥→1
5
√5𝑥 − 1 + 2
5
√5 ∙ 1 − 1 + 2
=
5
√4 + 2
=
5
4
Sumando las tres respuestas
lim
𝑥→1
(√ 𝑥 − 1)
𝑥 − 1
+ lim
𝑥→1
(√3𝑥 − 2 − 1)
𝑥 − 1
− lim
𝑥→1
(√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
1
2
+
3
2
−
5
4
=
2 + 6 − 5
4
=
3
4