https://app.box.com/s/w1vet3pity22mlmpib1skezlu75y0s2y

1. Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594
M Ộ T S Ố B À I T Ậ P C Ơ H Ọ C
L Ư Ợ N G T Ử
Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ
HỌC LƯỢNG TỬ THEO HƯỚNG NÂNG CAO
NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO SINH VIÊN
WORD VERSION | 2023 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Nguyen Thanh Tu Group
vectorstock.com/28062424

2. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM
KHOA LÝ – HÓA – SINH
----------
TRẦN THỊ THANH VUY
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ THEO HƯỚNG
NÂNG CAO NĂNG LỰC TỰ HỌC
CHO SINH VIÊN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Quảng Nam, tháng 5 năm 2015

3. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM
KHOA LÝ – HÓA – SINH
----------
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ THEO HƯỚNG
NÂNG CAO NĂNG LỰC TỰ HỌC
CHO SINH VIÊN
Sinh viên thực hiện
TRẦN THỊ THANH VUY
MSSV: 2111010266
CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ
KHÓA: 2011 – 2015
Cán bộ hướng dẫn
THS. VÕ HOÀNG TRÂN CHÂU
MSCB: ………………….
Quảng Nam, tháng 5 năm 2015

4. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn
của Th.S Võ Hoàng Trân Châu. Những nội dung và kết quả trình bày trong khóa
luận là trung thực và chua từng được đăng tải ở đâu.
Tam Kỳ, tháng 4 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Trần Thị Thanh Vuy

5. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
ii
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này tôi xin chân thành cảm ơn Ban
giám hiệu nhà trường, quý thầy cô giáo khoa Lý – Hóa – Sinh trường Đại học
Quảng Nam và quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Đặc biệt tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành tới cô Võ Hoàng Trân Châu
người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp này.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên tôi trong
suốt thời gian qua.
Tam Kỳ, tháng 4 năm 2015
Sinh viên thực hiện
Trần Thị Thanh Vuy

6. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT
VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ
CHLT Cơ học lượng tử
DH Dạy học
NLTH Năng lực tự học
SV Sinh viên
TH Tự học

7. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
iv
DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH, HÌNH VẼ
HÌNH TÊN GỌI TRANG
Hình 1 Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn 23
Hình 2 Chuyển động của hạt trong giếng thế đối xứng 24
Hình 3 Chuyển động của hạt trong giếng thế không đối xứng 24

8. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
v
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................i
LỜI CẢM ƠN.......................................................................................................ii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT....................................iii
DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH, HÌNH VẼ......................................................iv
MỤC LỤC............................................................................................................. v
PHẦN 1. MỞ ĐẦU............................................................................................... 1
1.1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
1.2. Mục tiêu của đề tài........................................................................................ 2
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................................... 2
1.3.1. Đối tượng nghiên cứu................................................................................. 2
1.3.2. Phạm vi nghiên cứu.................................................................................... 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................. 2
1.5. Lịch sử nghiên cứu........................................................................................ 3
1.6. Đóng góp của đề tài....................................................................................... 3
1.7. Cấu trúc đề tài ............................................................................................... 3
PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU................................................................ 4
Chương 1............................................................................................................... 4
CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VẬT LÝ................ 4
THEO HƯỚNG NÂNG CAO NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO SINH VIÊN...... 4
1.1. Tự học............................................................................................................. 4
1.1.1. Khái niệm..................................................................................................... 4
1.1.2. Vai trò của việc tự học ................................................................................ 5
1.1.2.1. Tự học là mục tiêu cơ bản của quá trình dạy học.................................. 5
1.1.2.2. Bồi dưỡng năng lực tự học là phương cách tốt nhất để tạo ra động lực
mạnh mẽ cho quá trình học tập............................................................................ 5
1.1.2.3. Tự học giúp cho mọi người có thể chủ động học tập suốt đời, học tập
để khẳng định năng lực phẩm chất và để cống hiến........................................... 6
1.1.3. Ý nghĩa của tự học trong hoạt động dạy học ở Đại học............................ 6
1.1.4. Các hình thức của tự học trong hoạt động dạy học ở Đại học................. 7

9. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
vi
1.1.5. Các nguyên tắc đảm bảo việc tự học đạt hiệu quả .................................... 7
1.1.6. Một số kỹ năng tự học cần thiết cho sinh viên theo hệ thống đào tạo tín
chỉ........................................................................................................................... 7
1.1.6.1. Kỹ năng xây dựng kế hoạch tự học......................................................... 7
1.1.6.2. Kỹ năng đọc giáo trình, tài liệu tham khảo............................................. 8
1.1.6.3. Kỹ năng chọn lọc, sử dụng vốn kiến thức cũ để học kiến thức mới...... 8
1.1.7. Năng lực tự học........................................................................................... 8
1.2. Bài tập vật lý.................................................................................................. 9
1.2.1. Khái niệm..................................................................................................... 9
1.2.2. Phân loại...................................................................................................... 9
1.2.2.1. Bài tập định tính ..................................................................................... 9
1.2.2.2. Bài tập định lượng.................................................................................. 9
1.2.2.3. Bài tập thí nghiệm ................................................................................. 10
1.2.2.4. Bài tập đồ thị.......................................................................................... 10
1.2.3. Vai trò của bài tập vật lý trong việc bồi dưỡng năng lực tự học cho sinh
viên....................................................................................................................... 10
1.2.3.1. Bài tập là một phương tiện nghiên cứu hiện tượng vật lý ................. 10
1.2.3.2. Bài tập là một phương tiện hình thành các khái niệm ...................... 10
1.2.3.3. Bài tập là một phương tiện phát triển tư duy vật lý cho người học 11
1.2.3.4. Bài tập vật lý là phương tiện rèn luyện cho sinh viên kĩ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn........................................................................................ 11
1.2.3.5. Bài tập vật lý cũng là phương tiện kiểm tra, đánh giá ...................... 11
1.2.4. Phương pháp chung để giải bài tập vật lý theo hướng tự học................ 11
1.2.4.1. Phương pháp giải bài tập vật lý............................................................ 11
1.2.4.2. Các bước chung giải bài toán vật lý..................................................... 12
Kết luận chương 1 .............................................................................................. 14
Chương 2............................................................................................................. 15
TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT MÔN CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ................... 15
2.1. Hàm sóng của hạt vi mô.............................................................................. 15
2.1.1. Biểu diễn trạng thái của hạt bằng hàm sóng........................................... 15

10. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
vii
2.1.2. Xác suất tìm thấy hạt trong một miền không gian .................................. 15
2.2.1. Khái niệm................................................................................................... 16
2.2.2. Các phép tính toán tử................................................................................ 16
2.2.3. Hàm riêng - trị riêng và phương trình trị riêng ...................................... 16
2.2.4. Toán tử tự liên hợp Hermite..................................................................... 17
2.2.4.1. Khái niệm................................................................................................ 17
2.2.4.2. Các tính chất của toán tử Hermite........................................................ 17
2.2.5. Các toán tử thường gặp ............................................................................ 17
2.2.5.1. Toán tử tọa độ ........................................................................................ 17
2.2.5.2. Toán tử xung lượng ............................................................................... 18
2.2.5.3. Toán tử năng lượng ............................................................................... 19
2.2.5.4. Toán tử momen xung lượng.................................................................. 19
2.3. Trị trung bình trong phép đo các biến số động lực.................................. 20
2.3.1. Theo cơ học cổ điển .................................................................................. 20
2.3.2. Theo cơ học lượng tử................................................................................ 20
2.4. Hệ thức bất định.......................................................................................... 20
2.4.1. Sai số của phép đo..................................................................................... 20
2.4.2. Trị trung bình của bình phương độ lệch ................................................. 21
2.4.3. Hệ thức bất định Heisenberg.................................................................... 21
2.4.3.1. Hệ thức bất định Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng ................ 21
2.4.3.2. Hệ thức bất định Heisenberg đối với năng lượng và thời gian ........... 21
2.5. Phương trình Schrodinger ...................................................................... 22
2.5.1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian...................................... 22
2.5.2. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian .......................... 22
2.5.2.1. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn.............. 23
2.5.2.2. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu vô hạn................. 24
2.5.2.3. Dao động tử điều hòa............................................................................. 25
2.6. Phương trình chuyển động trong Cơ học lượng tử.................................. 25
2.6.1. Đạo hàm của toán tử theo thời gian......................................................... 25
2.6.2. Phương trình chuyển động đối với x........................................................ 26

11. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
viii
2.6.3. Phương trình chuyển động đối với Px...................................................... 26
2.7. Lý thuyết biểu diễn...................................................................................... 27
2.7.1. Khái niệm................................................................................................... 27
2.7.2. Biểu diễn năng lượng (E – biểu diễn)...................................................... 28
2.7.3. Biểu diễn xung lượng (P – biểu diễn) ...................................................... 28
2.7.4. Biểu diễn momen xung lượng (Lz – Biểu diễn) ....................................... 29
Kết luận chương 2 .............................................................................................. 29
Chương 3............................................................................................................. 30
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ............ 30
3.1. Bài toán về hàm sóng của hạt vật chất...................................................... 30
3.2. Bài toán về toán tử ...................................................................................... 33
3.3. Bài toán về giá trị trung bình trong phép đo các biến số động lực......... 37
3.4. Bài toán về hệ thức bất định....................................................................... 40
3.5. Bài toán về phương trình Schrodinger ..................................................... 43
3.5.1. Bài toán về phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian............ 43
3.5.2. Bài toán về phương trình Schrodinger không phụ thuộc vào thời gian 47
3.6. Bài toán về phương trình chuyển động..................................................... 51
3.7. Bài toán về lý thuyết biểu diễn................................................................... 54
Kết luận chương 3 .............................................................................................. 55
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ........................................................... 56
1. Kết luận ........................................................................................................ 56
2. Kiến nghị ...................................................................................................... 56
PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................. 57
PHỤ LỤC..........................................................................................................PL1
PHỤ LỤC 1.......................................................................................................PL1
PHỤ LỤC 2.....................................................................................................PL13

12. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
1
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Vào thế kỉ XIX, Vật lý học cổ điển phát triển mạnh và đóng vai trò quan
trọng trong việc giải thích các hiện tượng Vật lý. Vật lý học cổ điển dựa trên cơ
sở của hai lý thuyết cơ bản là cơ học Newton và lý thuyết điện từ của Maxwell.
Nhưng vào khoảng cuối thế kỉ XX, với nhiều hiện tượng mới, nhiều câu hỏi đặt
ra song Vật lý học cổ điển lại không thể giải thích được như bức xạ của vật đen
tuyệt đối, hiện tượng quang điện, hiệu ứng Compton, cấu tạo nguyên tử, lý thuyết
nửa lượng tử của Bohr... Chính vì thế cần có một lý thuyết mới, khái niệm mới
để đáp ứng nhu cầu tìm tòi, sáng tạo của con người, để giải thích những câu hỏi
đó khoa học về Cơ học lượng tử (CHLT) ra đời.
CHLT là một trong những lý thuyết cơ bản của Vật lý học, là phần mở
rộng và bổ sung của cơ học cổ điển. Nó là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành
khác của vật lý và hóa học như lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết hạt nhân và
cấu trúc hạt nhân nguyên tử, vật lý chất rắn, điện tử học lượng tử, hóa học lượng
tử và rất nhiều ngành khác nữa. Sự ra đời của CHLT giúp con người có thể tiếp
tục tìm hiểu và chinh phục thế giới mới – thế giới vi mô, thế giới của các hạt có
kích thước nhỏ vào cỡ 10-10
m và nhỏ hơn.
Từ khi ra đời CHLT đã đạt được các thành công vang dội trong việc giải
thích rất nhiều các đặc điểm của thế giới vật chất. Các tính chất riêng biệt của các
hạt vi mô tạo nên tất cả các dạng vật chất đó là điện tử, proton, notron… chỉ có
thể được mô tả bằng CHLT.
CHLT nghiên cứu những hạt vi mô vô cùng bé, chúng ta không thể nhìn
thấy hay chạm vào được, vì thế để hiểu rõ về hạt vi mô là một việc không hề dễ
đối với sinh viên nói chung và sinh viên ngành vật lý nói riêng. Đồng thời với hệ
thống đào tạo tín chỉ như hiện nay, thời lượng để giáo viên truyền tải kiến thức là
rất ít, chính vì thế đòi hỏi các bạn sinh viên cần phải tự học, tự nghiên cứu thêm
tài liệu.
Tuy nhiên, việc tự học không những giúp cho sinh viên nắm rõ kiến thức
mà còn nâng cao hoạt động trí tuệ của bản thân trong việc tiếp thu và hiểu kiến

13. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
2
thức mới mà còn rèn luyện cho sinh viên cách độc lập suy nghĩ, độc lập giải
quyết các vấn đề khó khăn trong quá trình học, thúc đẩy lòng ham học ham hiểu
biết của sinh viên, giúp các bạn vươn tới đỉnh cao của khoa học.
Nhằm giúp các bạn sinh viên bước đầu làm quen với môn CHLT dễ dàng
hơn, giúp các bạn trả lời câu hỏi “ CHLT ra đời từ đâu?” hay “ CHLT là gì?”,
giúp các bạn hệ thống hóa kiến thức và từ đó có thể giải các bài tập trong
CHLT, đồng thời bản thân có thể học tập các nội dung của CHLT được chắc
chắn hơn, nắm được bản chất lượng tử và một số bài tập liên quan, vì những lý
do đó tôi chọn đề tài “ Phân loại và giải một số bài tập Cơ học lượng tử theo
hướng nâng cao năng lực tự học cho sinh viên” làm đề tài khóa luận tốt
nghiệp.
1.2. Mục tiêu của đề tài
Hệ thống cơ sở lý luận về năng lực tự học của sinh viên và phương pháp
giải bài tập vật lý.
Tóm tắt những kiến thức cơ bản, phân loại và xây dựng phương pháp giải
bài tập môn Cơ học lượng tử.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1.3.1. Đối tượng nghiên cứu
Nội dung kiến thức môn Cơ học lượng tử.
Phương pháp giải bài tập môn Cơ học lượng tử.
1.3.2. Phạm vi nghiên cứu
Kiến thức về cơ học lượng tử.
Các bài tập cơ học lượng tử.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thành đề tài này tôi sử dụng phương pháp lý thuyết:
Nghiên cứu cơ sở lý luận về phương pháp giải bài tập CHLT và năng lực
tự học, các luận văn khóa luận có liên quan đến đề tài. Nghiên cứu các giáo trình,
sách tham khảo và các tài liệu liên quan đến đề tài.

14. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
3
1.5. Lịch sử nghiên cứu
Qua tìm hiểu có một số luận văn nghiên cứu về năng lực tự học của sinh
viên như “Phân loại và giải bài tập điện động lực học vĩ mô” của Lê Thị Mỹ
Duyên, “Hệ thống hóa bài tập spin và hệ hạt đồng nhất trong cơ học lượng tử”
của Đỗ Thùy Linh và đề tài “Nâng cao năng lực tự học, nghiên cứu của sinh viên
trong việc học môn vật lý ở trường Cao đẳng sư phạm” của Th.S Cáp Kim
Hoàng. Song chưa thấy công trình nào nghiên cứu việc “Phân loại và giải một số
bài tập Cơ học lượng tử theo hướng nâng cao năng lực tự học cho sinh viên”.
1.6. Đóng góp của đề tài
Giúp cho người đọc nắm được cơ sở lý thuyết về CHLT, phân loại và có
cách giải phù hợp với từng dạng bài tập để từ đó có thể học tốt môn Cơ học
lượng tử và các môn liên quan.
1.7. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, mục lục, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung
chính của khóa luận gồm ba chương.
Chương 1. Cơ sở lý luận về phương pháp giải bài tập vật lý theo hướng nâng cao
năng lực tự học cho sinh viên.
Chương 2. Tổng quan về lý thuyết môn Cơ học lượng tử.
Chương 3. Phân loại và giải một số bài tập Cơ học lượng tử.

15. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
4
PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương 1.
CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP VẬT LÝ
THEO HƯỚNG NÂNG CAO NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO SINH VIÊN
1.1. Tự học
1.1.1. Khái niệm
Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của khoa học lý luận
dạy học thì tự học là một trong những vấn đề được các nhà khoa học nghiên cứu
và thảo luận sôi nổi. Trong các giáo trình, tài liệu tham khảo các tác giả đã đưa ra
những định nghĩa khác nhau về tự học:
Chủ tịch Hồ Chí Minh đã chỉ ra rằng: “Tự học (TH) chính là sự nổ lực
của bản thân người học, sự làm việc của bản thân người học một cách có kế
hoạch trên tinh thần tự động học tập, lại còn cần phải có môt trường (tập thể
thảo luận) và sự quản lí chỉ đạo giúp vào.” [1]
Giáo sư – Tiến sỹ Nguyễn Cảnh Toàn: “ Tự học là tự mình động não, suy
nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ (quan sát, so sánh, phân tích, tổng hợp…) và
có khi cả cơ bắp (khi phải sử dụng công cụ) cùng các phẩm chất của mình, rồi cả
động cơ tình cảm, cả nhân sinh quan, thế giới quan (như tính trung thực, khách
quan, có chí tiến thủ, không ngại khó, ngại khổ, kiên trì nhẫn nại, lòng say mê
khoa khọc, ý muốn thi đỗ,biến khó khăn thành thuận lợi,.v.v…) để chiếm lĩnh một
lĩnh vực hiểu biết nào đó của nhân loại, biến lĩnh vực đó thành sở hữu của
mình.” [2]
Tác giả Võ Quang Phúc cho rằng: “Tự học là một bộ phận của học, nó
được tạo thành bởi những thao tác, cử chỉ, ngôn ngữ, hành động của người học
trong hệ thống tương tác của hoạt động dạy học. Tự học phản ánh rõ nhu cầu
bức xúc về học tập của người học, phản ánh tính tự giác và nỗ lực của người
học, phản ánh năng lực tổ chức và tự điều khiển của người học nhằm đạt được
kết quả nhất định trong hoàn cảnh nhất định với nội dung học tập nhất định.” [9]
Từ các quan điểm tự học nêu trên chúng tôi có thể rút ra định nghĩa về tự
học như sau: “Tự học (TH) là quá trình tự mình động não, suy nghĩ, sử dụng các

16. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
5
năng lực trí tuệ, cùng các phẩm chất động cơ, tình cảm để chiếm lĩnh tri thức ở
một lĩnh vực nào đó trong cuộc sống nhằm đạt được mục đích nhất định”.
1.1.2. Vai trò của việc tự học
Trong thời đại bùng nổ khoa học thông tin như hiện nay, TH đóng vai trò
quan trọng trong việc năng cao chất lượng kiến thức và hiệu quả học tập, đóng
vai trò cốt lỗi trong hoạt động học, rèn luyện tư duy, kỹ năng, kỹ xảo….
1.1.2.1. Tự học là mục tiêu cơ bản của quá trình dạy học
Trong quá trình hoạt động dạy học (DH), giảng viên không chỉ dừng lại ở
việc truyền thụ những tri thức có sẵn và yêu cầu SV ghi nhớ, mà quan trọng hơn
là phải định hướng, tổ chức cho SV tự mình khám phá ra những qui luật, thuộc
tính mới của các vấn đề khoa học. Giúp SV không chỉ nắm bắt được tri thức mà
còn biết cách tìm đến những tri thức ấy. Thực tiễn cũng như phương pháp DH
hiện đại còn xác định rõ: càng học lên cao thì TH càng cần được coi trọng, nói
tới phương pháp DH thì cốt lõi chính là dạy TH. Phương pháp TH là cầu nối giữa
học tập và nghiên cứu khoa học. Bởi vì SV đại học không phải là những học sinh
cấp bốn, họ cần có thói quen nghiên cứu khoa học, mà để có được thói quen ấy
thì không thể không thông qua con đường TH.
1.1.2.2. Bồi dưỡng năng lực tự học là phương cách tốt nhất để tạo ra động lực
mạnh mẽ cho quá trình học tập
Một trong những phẩm chất quan trọng của mỗi cá nhân là tính tích cực,
sự chủ động sáng tạo trong mọi hoàn cảnh. Có thể xem tính tích cực (hình thành
từ năng lực TH) như một điều kiện, kết quả của sự phát triển nhân cách thế hệ trẻ
trong xã hội hiện đại. Trong đó hoạt động TH là những biểu hiện sự gắng sức cao
về nhiều mặt của từng cá nhân người học trong quá trình nhận thức thông qua sự
hưng phấn tích cực. Mà hưng phấn chính là tiền đề cho mọi hứng thú trong học
tập. Có hứng thú thì người học mới có được sự tự giác say mê tìm tòi nghiên cứu
khám phá. Hứng thú là động lực dẫn tới tự giác. Tính tích cực của con người chỉ
được hình thành trên cơ sở sự phối hợp ngẫu nhiên giữa hứng thú với tự giác. Nó
bảo đảm cho sự định hình tính độc lập trong học tập.

17. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
6
1.1.2.3. Tự học giúp cho mọi người có thể chủ động học tập suốt đời, học tập
để khẳng định năng lực phẩm chất và để cống hiến
TH giúp người học thích ứng với mọi biến cố của sự phát triển kinh tế - xã
hội. Bằng con đường TH mỗi cá nhân sẽ không cảm thấy bị lạc hậu so với thời
cuộc, thích ứng và bắt nhịp nhanh với những tình huống mới lạ mà cuộc sống
hiện đại mang đến, kể cả những thách thức to lớn từ môi trường nghề nghiệp.
Nếu rèn luyện cho người học có được phương pháp, kĩ năng TH, biết linh hoạt
vận dụng những điều đã học vào thực tiễn thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, nhờ đó
kết quả học tập sẽ ngày càng được nâng cao.
TH giúp người học rèn luyện tính độc lập, rèn luyện trí nhớ và tư duy.
Việc học liên tục, học suốt đời giúp cho SV hoàn thiện nhân cách, mở rộng hiểu
biết, nâng cao trình độ học vấn và tạo ra được những con người năng động, sáng
tạo.
1.1.3. Ý nghĩa của tự học trong hoạt động dạy học ở Đại học
Cùng với sự phát triển của khoa học công nghệ, lượng thông tin ngày càng
gia tăng nhưng chương trình đào tạo tín chỉ lại thiết kế theo hướng ngày càng
tinh gọn, trong khi yêu cầu đối với người học ngày càng cao. Do vậy, hơn lúc
nào hết, tầm quan trọng của TH tăng nhanh.
Hiện nay, nước ta cũng như các nước trên thế giới đều quan tâm đến vấn
đề TH không chỉ trong các trường Đại học mà ngay cả ở bậc giáo dục phổ thông.
Đặc biệt trong quan niệm mới về “học tập suốt đời: Một động lực của xã hội” sẽ
giúp con người đáp ứng yêu cầu của một thế giới đang thay đổi nhanh chóng.
Học ở Đại học đòi hỏi ở sinh viên phải truyền tải một khối lượng nội dung
tri thức nhiều và khó chính vì thế đòi hỏi sinh viên phải TH. Quá trình TH không
những giúp sinh viên không ngừng nâng cao chất lượng và hiệu quả học tập, phát
triển tính tự giác, tích cực và tính độc lập nhận thức, khắc phục tính thụ động,
làm quen với cách làm việc độc lập - tiền đề khi còn ngồi trên ghế nhà trường mà
trong tương lai, họ sẽ trở thành người cán bộ khoa học kỹ thuật có năng lực, có
thói quen và phương pháp TH suốt đời.

18. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
7
1.1.4. Các hình thức của tự học trong hoạt động dạy học ở Đại học
Hình thức của TH trong hoạt động DH ở đại học bao gồm:
- TH trên lớp:
+ Nghe giảng
+ Ghi chép
+ Làm bài tập
- TH ngoài lớp:
+ Đọc sách và tài liệu tham khảo
+ Làm đề cương cho thảo luận nhóm, thảo luận lớp
+ Thực hiện các bài tập thực hành bộ môn
+ Làm đề cương ôn tập
+ Hoàn thành tiểu luận, luận văn tốt nghiệp.
1.1.5. Các nguyên tắc đảm bảo việc tự học đạt hiệu quả
Một vấn đề khoa học bao giờ cũng được xây dựng trên những nguyên tắc
nhất định, việc TH cũng vậy muốn có để chất lượng tốt thì cần đảm bảo các
nguyên tắc sau:
- Đảm bảo tính khoa học của quá trình TH
- Bảm bảo học đi đôi với hành
- Đảm bảo nâng cao dần mức độ tự giác, củng cố kỹ năng, kỹ xảo.
1.1.6. Một số kỹ năng tự học cần thiết cho sinh viên theo hệ thống đào tạo tín
chỉ
1.1.6.1. Kỹ năng xây dựng kế hoạch tự học
Lập kế hoạch TH là việc xây kế hoạch cho những hoạt động cụ thể nhằm
thực hiện được các nhiệm vụ đề ra. Mỗi cá nhân khi xây dựng kế hoạch học tập
cần phải hiểu rõ mục tiêu và tính toán những bước đi thích hợp. Khi lập kế hoạch
cần phải suy nghĩ về những gì sẽ làm, chuẩn bị tốt nhất để đạt được hiệu quả học
tập cao và phải đặt câu hỏi là tại sao chúng ta phải làm như thế. Đây chính là quá
trình lập kế hoạch học tập, là quá trình lập học cách học, mỗi cá nhân phải tính
toán cách thức và thời gian để hoàn thành các công việc.

19. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
8
1.1.6.2. Kỹ năng đọc giáo trình, tài liệu tham khảo
Để việc đọc sách có chất lượng và hiệu quả, cần đọc theo một quy trình
nhất định, nếu không chúng ta sẽ mất thời gian mà không thu được nhiều kết quả
và không lưu giữ được những thông tin cần thiết. Vì vậy, việc đọc sách cần được
thực hiện nghiêm túc và cần phải đọc có suy nghĩ, có hệ thống, có chọn lọc và
đọc có ghi nhớ.
1.1.6.3. Kỹ năng chọn lọc, sử dụng vốn kiến thức cũ để học kiến thức mới
Muốn nhận thức kiến thức mới có hiệu quả buộc phải liên hệ các kiến
thức cũ, các kiến thức khoa học liên ngành khác làm cơ sở cho hoạt động tư duy
của sinh viên. Kỹ năng này thúc đẩy quá trình nhận thức kiến thức mới cũng như
việc TH của sinh viên. Để làm được điều này, có thể tiến hành theo các cách sau:
- Khi học các kiến thức mới cần phải tái hiện những kiến thức cũ có liên
quan để làm sáng tỏ các kiến thức mới.
- Kiến thức cũ có thể là những tình huống giáo dục thường gặp trong thực
tế đã nhận biết được. Dùng kiến thức này để chứng minh cho các kiến thức mới
đang lĩnh hội.
- Dùng kiến thức có trước kết hợp với các kiến thức mới tiếp theo để hình
thành những vấn đề nghiên cứu và giải quyết những vấn đề đó.
1.1.7. Năng lực tự học
Năng lực là khả năng làm việc tốt, nhờ có phẩm chất đạo đức và trình độ
chuyên môn.
Năng lực tự học (NLTH) là khả năng tự mình tìm tòi, nhận thức và vận
dụng kiến thức vào tình huống mới, hoặc tương tự với chất lượng cao.
NLTH thể hiện qua việc chủ thể tự xác định đúng đắn động cơ học tập của
mình, có khả năng tự quản lý việc tự học của mình, có thái độ tích cực trong các
hoạt động để tự làm việc, điều chỉnh hoạt động học tập và đánh giá kết quả học
tập của chính mình để có thể độc lập làm việc và làm việc hợp tác với người
khác.
Năng lực tự học bao gồm các nhóm như: năng lực nhận biết, tìm tòi và
phát hiện vấn đề; năng lực giải quyết vấn đề; năng lực vận dụng kiến thức vào

20. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
9
thực tiễn; năng lực đánh giá và tự đánh giá. Các nhóm năng lực này đan xen vào
nhau giúp hình thành ở người học NLTH.
Để nâng cao NLTH cho sinh viên góp phần thúc đẩy, củng cố, nâng cao
vốn kiến thúc cho sinh viên cần bồi dưỡng cho họ khả năng nhận thức, vận dụng
kiến thức giải quyết các vấn đề trong học tập và trong thực tiễn.
1.2. Bài tập vật lý
1.2.1. Khái niệm
Bài tập vật lý (BTVL) là một vấn đề được đặt ra đòi hỏi người học phải
giải quyết nhờ những suy luận logic, những phép tính toán và thí nghiệm dựa trên
cơ sở các định luật, các phương pháp vật lý. [5]
1.2.2. Phân loại
Tuỳ thuộc vào mục đích sử dụng mà ta có nhiều cách phân loại khác nhau,
tuy nhiên theo tôi cách phân loại theo cách giải là rõ ràng nhất. Trong cách phân
loại này, BTVL được chia làm 4 loại sau:
1.2.2.1. Bài tập định tính
Là loại bài tập mà việc giải không đòi hỏi phải làm một phép tính nào
hoặc chỉ là những phép tính đơn giản có thể nhẩm được. Muốn giải bài tập này
phải dựa vào những khái niệm, định luật vật lý đã học, xây dựng những suy
luận logic, để xác lập mối liên hệ phụ thuộc vào bản chất giữa các đại lượng
vật lý. Bài tập định tính có tác dụng lớn trong việc củng cố những kiến thức đã
học, giúp đào sâu hơn bản chất của hiện tượng vật lý, rèn luyện kỹ năng vận
dụng kiến thức vào thực tiễn cuộc sống, rèn luyện năng lực quan sát bồi dưỡng
tư duy logic. Vì vậy đây là loại bài tập có giá trị cao, ngày càng được sử dụng
nhiều hơn.
1.2.2.2. Bài tập định lượng
Là bài tập mà khi giải nó phải thực hiện một loạt các phép tính và
thường được phân ra làm hai loại: bài tập tập dượt và bài tập tổng hợp.
- Bài tập tập dượt là loại bài tập tính toán đơn giản, muốn giải chỉ
cần vận dụng một vài định luật, một vài công thức, loại này giúp cũng cố các
kiến thức vừa học đồng thời giúp nắm kỹ hơn kiến thức và cách vận dụng nó.

21. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
10
- Bài tập tổng hợp là loại bài tập tính toán phức tạp, muốn giải phải vận
dụng nhiều khái niệm, nhiều công thức, loại này có tác dụng đặc biệt trong
việc mở rộng, đào sâu kiến thức giữa các phần khác nhau của chương trình,
đồng thời nó giúp người học biết tự mình lựa chọn những định luật, công thức
cần thiết trong các định luật và các công thức đã học.
1.2.2.3. Bài tập thí nghiệm
Là loại bài tập đòi hỏi phải làm thí nghiệm thì mới giải được. Những
thí nghiệm mà bài tập này đòi hỏi phải được tiến hành ở phòng thí nghiệm
hoặc ở nhà với những dụng cụ đơn giản mà người học có thể tự làm, tự chế.
Việc giải bài tập này đòi hỏi phải biết cách tiến hành các thí nghiệm và biết
vận dụng các công thức cần thiết để tìm ra kết quả. Loại bài tập này có tác
dụng làm tăng cường tính tự lực của người học.
1.2.2.4. Bài tập đồ thị
Là loại bài tập trong đó các số liệu được dùng làm dữ liệu để giải phải
tìm trong các đồ thị cho trước hoặc ngược lại. Loại này đòi hỏi người học
phải biểu diễn quá trình diễn biến của hiện tượng nêu trong bài tập đồ thị.
1.2.3. Vai trò của bài tập vật lý trong việc bồi dưỡng năng lực tự học cho sinh
viên
1.2.3.1. Bài tập là một phương tiện nghiên cứu hiện tượng vật lý
Trong quá trình DH vật lý, người học được làm quen với bản chất
của các hiện tượng vật lý bằng nhiều cách khác nhau như: Kể chuyện, biểu
diễn thí nghiệm, làm bài thí nghiệm, tiến hành tham quan. Ở đây tính tích cực,
chiều sâu và độ vững chắc kiến thức của người học sẽ lớn nhất khi “tình
huống có vấn đề” được tạo ra, trong nhiều trường hợp nhờ tình huống này có
thể làm xuất hiện một kiểu bài tập mà trong quá trình giải người học sẽ phát
hiện lại quy luật vật lý chứ không phải tiếp thu quy luật dưới hình thức có
sẵn.
1.2.3.2. Bài tập là một phương tiện hình thành các khái niệm
Bằng cách dựa vào các kiến thức hiện có của người học, trong quá trình
làm bài tập, ta có thể cho người học phân tích các hiện tượng vật lý đang

22. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
11
được nghiên cứu, hình thành các khái niệm về các hiện tượng vật lý và các đại
lượng vật lý.
1.2.3.3. Bài tập là một phương tiện phát triển tư duy vật lý cho người học
Việc giải bài tập làm phát triển tư duy logic, sự nhanh trí. Trong quá
trình tư duy có sự phân tích và tổng hợp mối liên hệ giữa các hiện tượng, các
đại lượng vật lý đặc trưng cho chúng.
1.2.3.4. Bài tập vật lý là phương tiện rèn luyện cho sinh viên kĩ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn
Bài tập là một phương tiện rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức
của người học vào thực tiễn. Đối với việc giáo dục kỹ thuật tổng hợp, BTVL
có ý nghĩa rất lớn, những bài tập này là một trong những phương tiện thuận
lợi để người học liên hệ lý thuyết với thực hành, học tập với đời sống. Nội
dung của bài tập phải đảm bảo các yêu cầu sau:
- Nội dung của bài tập phải gắn với tài liệu thuộc chương trình đang học.
- Hiện tượng đang được nghiên cứu phải được áp dụng phổ biến trong
thực tiễn.
- Bài tập đưa ra phải là những vấn đề gần gũi với thực tế.
- Không những nội dung mà hình thức của bài tập cũng phải gắn liền với
các điều kiện thường gặp trong cuộc sống. Trong các bài tập không có sẵn dữ
kiện mà phải tìm dữ kiện cần thiết ở các sơ đồ, bản vẽ kỹ thuật, ở các sách báo
tra cứu hoặc là từ thí nghiệm.
1.2.3.5. Bài tập vật lý cũng là phương tiện kiểm tra, đánh giá
BTVL cũng là phương tiện kiểm tra, đánh giá mức độ nắm vững kiến
thức, kỹ năng, kỹ xảo của người học. Đồng thời nó cũng là công cụ giúp người
học ôn tập, đào sâu, mở rộng kiến thức.
1.2.4. Phương pháp chung để giải bài tập vật lý theo hướng tự học
1.2.4.1. Phương pháp giải bài tập vật lý
a. Phương pháp phân tích
Theo phương pháp này điểm xuất phát là các đại lượng cần tìm. Người giải
phải tìm xem đại lượng chưa biết này có liên quan gì với các đại lượng vật lý khác,

23. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
12
và khi biết được sự liên hệ này thì biểu diễn nó thành những công thức tương ứng,
cứ làm như thế cho tới khi nào biểu diễn được hoàn toàn đại lượng cần tìm bằng
những đại lượng đã biết thì bài toán đã được giải xong. Như vậy phương pháp này
thực chất là đi phân tích một bài toán phức tạp thành những bài toán đơn giản hơn
rồi dựa vào những quy tắc tìm lời giải mà lần lược giải các bài tập này, từ đó đi
đến lời giải cho bài toán phức tạp trên.
b. Phương pháp tổng hợp
Theo phương pháp này suy luận không bắt đầu từ đại lượng cần tìm mà
bắt đầu từ các đại lượng đã biết, có nêu trong đề bài. Dùng công thức liên hệ các
đại lượng này với các đại lượng đã biết, ta đi dần đến công thức cuối cùng.
Nhìn chung, việc giải BTVL phải dùng chung hai phương pháp phân
tích và tổng hợp. Phép giải bắt đầu bằng phân tích các điều kiện của bài toán để
hiểu đề bài và phải có sự tổng hợp kèm theo ngay để kiểm tra ngay lại mức độ
đúng đắn của các sự phân tích ấy. Muốn lập được kế hoạch giải phải đi sâu phân
tích nội dung vật lý của bài tập, tổng hợp những dữ kiện đã cho với những quy
luật vật lý đã biết ta mới xây dựng được lời giải và kết quả cuối cùng.
1.2.4.2. Các bước chung giải bài toán vật lý
Từ phân tích về thực chất hoạt động giải bài toán, ta có thể đưa ra một
cách khái quát các bước chung của tiến trình giải một bài toán vật lý và hoạt
động chính trong các bước:
Bước 1:
-Tìm hiểu đầu bài.
-Đọc, ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất hiện, cái cần tìm.
-Mô tả lại tình huống đã nêu trong đầu bài, vẽ hình minh họa.
- Nếu đề bài yêu cầu thì phải dùng đồ thị hoặc làm thí nghiệm để thu
được các dữ liệu cần thiết.
Bước 2: Xác lập những mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và
các cái phải tìm.
- Đối chiếu các dữ liệu xuất phát và các cái phải tìm, xem xét bản chất
vật lý của những tình huống đã cho để nghĩ đến kiến thức, các định luật, các

24. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
13
công thức có liên quan.
- Xác lập các mối liên hệ cơ bản, cụ thể của các dữ liệu xuất phát và
của cái phải tìm.
- Tìm kiếm, lựa chọn các mối liên hệ tối thiểu cần thiết sao cho thấy
được mối liên hệ của cái phải tìm với các dữ liệu xuất phát, từ đó có thể rút ra
cái cần tìm.
Bước 3: Rút ra kết quả cần tìm.
Từ các mối liên hệ cần thiết đã xác lập, tiếp tục luận giải, tính toán để
rút ra kết quả cần tìm.
Bước 4: Kiểm tra xác nhận kết quả.
- Kiểm tra xem đã tính toán đúng chưa.
- Kiểm tra xem thứ nguyên có phù hợp không.
- Kiểm tra kết quả bằng thực nghiệm xem có phù hợp không.
- Giải bài toán theo các cách khác xem có cho đúng kết quả không.
Tuy nhiên trong nhiều bài tập không nhất thiết phải tách biệt một cách
cứng nhắc giữa bước 2 và bước 3. Tùy từng bài toán mà ta có thể kết hợp hai
bước đó thành một trong tiến hành luận giải.
1.2.4.3. Lựa chọn bài tập vật lý
Vấn đề lựa chọn BTVL góp phần không nhỏ vào việc nâng cao chất lượng
học tập môn vật lý của người học và việc lựa chọn bài tập phải thỏa mãn các yêu
cầu sau:
- Các bài tập phải đi từ dễ đến khó, đơn giản đến phức tạp, giúp người học
nắm được các phương pháp giải các bài tập điển hình.
- Hệ thống bài tập cần bao gồm nhiều thể loại bài tập.
- Lựa chọn các bài tập cần kích thích tính hứng thú học tập và phát triển
tư duy của người học.
- Các bài tập phải nhằm cũng cố, bổ sung và hoàn thiện tri thức cụ thể đã
học, cung cấp cho người học những hiểu biết về thực tế, kỹ thuật có liên quan
với kiến thức lý thuyết.
- Lựa chọn các bài tập điển hình nhằm hướng dẫn cho người học vận

25. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
14
dụng kiến thức đã học để giải những loại bài tập cơ bản, hình thành phương
pháp chung để giải các loại bài tập đó.
- Lựa chọn các bài tập sao cho có thể kiểm tra được mức độ nắm vững
tri thức của người học.
Kết luận chương 1
Trong chương này tôi đã trình bày một cách có hệ thống những cơ sở lí
luận về phương pháp giải BTVL nhằm nâng cao năng lực TH cho SV với những
vấn đề chính: Trình bày khái niệm TH,NLTH, BTVL; vai trò và ý nghĩa của việc
TH; các hình thức của TH trong hoạt động DH ở Đại học; các nguyên tắc đảm
bảo việc TH đạt hiệu quả; một số kỹ năng TH cần thiết cho sinh viên theo hệ
thống đào tạo tín chỉ; phân loại và vai trò của BTVL trong việc bồi dưỡng năng
lực TH cho sinh viên.
Từ cơ sở lí luận của chương I, SV sẽ có ý thức trong việc TH để từ đó có
kết quả tốt học tập và nghiên cứu.

26. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
15
Chương 2.
TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT MÔN CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
2.1. Hàm sóng của hạt vi mô
2.1.1. Biểu diễn trạng thái của hạt bằng hàm sóng
Trạng thái tự do của một hạt tự do có thể biểu diễn bởi một hàm  
,
r t


gọi là hàm sóng của hạt:
   
0
, exp
i
r t t pr
 
 
   
 
 
 

2.1.2. Xác suất tìm thấy hạt trong một miền không gian
Gọi ૉ là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại điểm M, theo ý nghĩa thống kê
của hàm sóng ta có:  
2
,
C r t
 


. Để đơn giản, chọn C=1 →  
2
,
r t
 


Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian:
   
2
, ,
V V
W r t dV r t dV
 
 
 
 
Vậy điều kiện chuẩn hóa hàm sóng được xác định bởi công thức:
 
2
, 1
V
r t dV
 


, với      
2 *
, , ,
r t r t r t
  

  
(2.1)
Hàm sóng thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hàm sóng đã chuẩn hóa.
Đối với hàm sóng đã chuẩn hóa thì xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV
bao quanh điểm M có vectơ tia r là:  
2
,
dw r t dV



Đối với hàm sóng chưa được chuẩn hóa thì:  
2
,
dw C r t dV



Trong đó C thỏa mãn điều kiện (2.1) →  
2
, 1
C r t dV
 


Nếu một hạt chuyển động theo trục x thì hàm sóng có dạng  
,
x t
 . Xác
suất tìm thấy hạt trong khoảng từ x đến x + dx là:
 Nếu hàm sóng đã chuẩn hóa:  
2
dw , x
x t d


 Nếu hàm sóng chưa chuẩn hóa:
 
 
2
2
, x
dw
, x
x t d
x t d





27. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
16
2.2. Toán tử
2.2.1. Khái niệm
Toán tử là một thực thể toán học tác dụng lên một hàm bất kì (của x chẳng
hạn) chuyển nó thành một hàm khác:
   
ˆ x x
 
 
Với A là toán tử tác dụng lên hàm (x) và biến hàm này thành hàm φ(x)
2.2.2. Các phép tính toán tử
- Phép cộng (trừ) toán tử:        
ˆ ˆ
ˆ ˆ
x x x
 
       
- Phép nhân toán tử:    
 
ˆ ˆ
ˆ ˆ
x x
 
   
   
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
C C
   
- Giao hoán tử: ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,
 
     
 
- Phản giao hoán tử: ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,

 
     
 
2.2.3. Hàm riêng - trị riêng và phương trình trị riêng
Nếu tác dụng của toán tử ̂ lên hàm (x) chỉ đơn giản là phép nhân hàm
này cho một số a:    
ˆ x a x
 
  (2.2)
Lúc đó ta nói rằng (x) là hàm riêng của toán tử ̂ , a gọi là trị riêng của
̂ . Tập hợp các trị riêng của ̂ được gọi là phổ trị riêng. Phương trình (2.2)
được gọi là phương trình cho trị riêng và hàm riêng của toán tử hay gọi tắt là
phương trình trị riêng.
Phổ trị riêng của ̂ có thể gián đoạn hoặc liên tục:
 Phổ trị riêng của ̂ là gián đoạn:    
ˆ
n n n
x a x
 
  với n= 1,i
 Phổ trị riêng của ̂ là liên tục:    
ˆ
a a
x a x
 
 
Mỗi toán tử ̂ có thể có nhiều hàm riêng  
n x
 và mỗi hàm riêng sẽ
tương ứng với một trị riêng. Nếu nhiều hàm riêng có cùng một trị riêng thì ta nói
toán tử ̂ có trị riêng suy biến.

28. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
17
2.2.4. Toán tử tự liên hợp Hermite
2.2.4.1. Khái niệm
Toán tử ̂ được gọi là toán tử tự liên hợp hermite (toán tử hermite) khi và
chỉ khi hệ thức sau được thỏa mãn:
   
*
* ˆ ˆ
dV dV
   
  
 
Trong đó: *
̂ là một toán tử sao cho  
*
* *
ˆ ˆ
 
  
φ là một hàm bất kì
2.2.4.2. Các tính chất của toán tử Hermite
Các trị riêng của toán tử hermite là số thực:
   
ˆ
n n n
x a x
 
 
Các hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt của toán tử hermite là
trực chuẩn:
   
*
,
n m m n
x x dV
  


Với δm,n là kí hiệu Kronecker
Khi m=n → δm,n = 1 :hệ chuẩn hóa
Khi m≠n → δm,n ≠1: hệ trục giao
Các hàm riêng của toán tử hermite hợp thành một hệ đầy đủ:
   
n n
x C x
 
 
Với: n
 là hàm riêng của toán tử ̂
Cn là hệ số phân tích, hệ số khai triển.
Xác suất để toán tử ̂ có giá trị Ai:
2
i
n
W C


2.2.5. Các toán tử thường gặp
2.2.5.1. Toán tử tọa độ
Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi
hàm sóng  
x
 . Giả sử  
x
 đã được chuẩn hóa.
Phương trình trị riêng của toán tử tọa độ

x là:
   
ˆ .
x x x x
 


29. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
18
Trong biểu diễn tọa độ thì tọa độ và hàm của tọa độ là phép nhân thông
thường nên: x̂ x
 và    
ˆ .
U x U x

Dựa vào tính chất hàm Delta:    
0 0 0
x x x x

  
Ta có:    
0 0 0
x x x x x x
 
   hay    
0 0 0
ˆ .
x x x x x x
 
  
Lúc này người ta nói toán tử

x có hàm riêng  
0
x x
  ứng với giá trị x0.
Trường hợp tổng quát, trong không gian 3 chiều toán tử tọa độ r̂

có:
- Dạng: r̂ r

 
→
x x
y y
z z



 








- Trị riêng: 0
r r

 
- Hàm riêng:    
0 0
r r r r
 
 

  
với  
0
r r
 
 
là hàm Delta- Dirac ba chiều.
2.2.5.2. Toán tử xung lượng
Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi
hàm sóng  
x
 . Trong biểu diễn tọa độ theo trục x, toán tử xung lượng có:
- Dạng: P i
x


 



- Trị riêng: liên tục
- Hàm riêng:     
/
1
2
x
x
i p x
p x e





Trường hợp tổng quát trong không gian 3 chiều, xung lượng có:
- Dạng: P i

  
 

x
y
z
P i
x
P i
y
P i
z



 
 
 



  



 
 






- Trị riêng: p̂ có giá trị liên tục
- Hàm riêng:  
 
  
 
 
/ / r
3/ 2 3/ 2
1 1
2 2
x y z
i p x p y p z i p
p r e e

 
 
 


 


 
Các toán tử xung lượng cũng là các toán tử hermite.

30. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
19
2.2.5.3. Toán tử năng lượng
Hàm năng lượng tương ứng với toán tử năng lượng có:
- Dạng:  
2
2
H U r
m

   


- Phương trình trị riêng:    
Ĥ r E r
 

 
hay      
2
2
0
m
r E U r r
 
   
 
 
  

Với ∆ là toán tử Laplace.
- Trường hợp hạt chuyển động một chiều theo trục x thì phương trình trị riêng có
dạng:
 
   
2
2 2
2
0
x
d x m
E U x x
d


  
 
 

2.2.5.4. Toán tử momen xung lượng
Toán tử momen xung lượng có dạng: ˆ ˆ
ˆ
L r P
 
 

Các thành phần của toán tử mômen xung lượng trong hệ tọa độ Descartes có
dạng:
x z y
y x z
z y x
L i y z y P zP
z y
L i z x z P xP
x y
L i x y x P yP
y x
 
 
 
  
 
    
  
 
 

  
 

    
  
 
 

  
 
    
  
 
  







Với

L là toán tử hermite.
Khi khảo sát momen xung lượng người ta thường xét hai toán tử đó là
toán tử hình chiếu momen xung lượng trên trục z ( ˆ
z
L ) và toán tử momen xung
lượng toàn phần hay gọi là toán tử bình phương momen 2
L̂ .
a. Toán tử ˆ
z
L
Trong tọa độ Descartes toán tử có:
- Dạng: ˆ
z
L i


 


- Trị riêng: z
L m
  có giá trị gián đoạn: 0 , 1 , 2 ,...
z
L   
  
- Hàm riêng:  
1
2
im
m e 
 



31. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
20
b. Toán tử bình phương momen xung lượng 2
L̂
Trong tọa độ cầu toán tử này có:
- Dạng: 2 2
,
L̂  
  

Với ,
 
 là phần góc của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu và có dạng như sau:
2
, 2 2
1
sin sin
sin
   
   
 
  
 
  
 
 
  
 
 
- Phương trình trị riêng:    
2 2
, , ,
L
      
  

Trong đó  
2 2
1
L l l
 
 hay  
1
L l l
 
 , với l nhận các giá trị khả dĩ 0,1,2,…
- Hàm riêng:      
, , cos
m m im
l l
Y P e 
     
 
2.3. Trị trung bình trong phép đo các biến số động lực
2.3.1. Theo cơ học cổ điển
Nếu trong phổ gián đoạn thì: 


n
i
iWi
x
x
1
Với: i
x giá trị đo được ở lần thứ i.
i
W xác suất tại i.
Nếu trong phổ liên tục thì: a a
x x dW
 
2.3.2. Theo cơ học lượng tử
Xét đại lượng vật lý L có giá trị trung bình L



 dV
L
L .


Chú ý:  phải là hàm sóng chuẩn hóa.
2.4. Hệ thức bất định
2.4.1. Sai số của phép đo
Độ lệch L
 cho biết độ chính xác của quá trình đo:
L
L
L 


=> 0







 L
L
L
L
L
L
L
Với: L
 = : độ bất định.
L
 = 0: độ chính xác cao.

32. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
21
2.4.2. Trị trung bình của bình phương độ lệch
           2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L 











   
2
2 2
0
L L L
    
Với:  2
L
 : trị toàn phương trung bình
 2
L
L 

 : thăng giáng hoặc là độ bất định của phép đo đại lượng L.
2.4.3. Hệ thức bất định Heisenberg
Toán tử

L và

M được đo chính xác đồng thời khi và chỉ khi:
, 0
L M
 
 

 
 
hay










C
i
M
L, , với

C : hermite
Hệ thức bất định Heisenberg:    2
2
. M
L 
 >
 
4
2
C
hay
2
.
C
M
L 


2.4.3.1. Hệ thức bất định Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng
2
.


x
P
x

Nếu tọa độ được xác định một cách chính xác thì xung lượng sẽ hoàn toàn
bất định và ngược lại, hay nói cách khác tọa độ và xung lượng của hạt vi mô
không đồng thời đo được chính xác. Chính vì thế không thể xác định được quỹ
đạo chính xác của hạt, đây chính là ý nghĩa quan trong của hệ thức bất định
Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng.
2.4.3.2. Hệ thức bất định Heisenberg đối với năng lượng và thời gian
.
2
E t
  

hay .
2
E t
  

Hệ thức này có ý nghĩa như sau:
- Nếu trạng thái của hạt có năng lượng càng xác định ( càng nhỏ) thì thời gian
sống của hạt càng lâu ( t
 càng lớn) và ngược lại. Riêng trạng thái có năng lượng
xác định (trạng thái dừng) là trạng thái có thời gian sống vô hạn.
- Nếu hạt ở trạng thái kích thích trong khoảng thờ gian t
 thì độ bất định về năng
lượng là .

- Khi đo năng lượng trong khoảng thời gian t
 thì gặp phải một sai số là .


33. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
22
2.5. Phương trình Schrodinger
Phương trình Schrodinger là phương trình cơ bản của CHLT, vai trò của
nó trong cơ học lượng tử cũng giống như vai trò của phương trình Newton trong
cơ học cổ điển.
2.5.1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian
Trong CHLT, do lưỡng tính sóng hạt của các đối tượng vi mô nên trạng
thái của hạt được đặc trưng bởi hàm sóng. Vì vậy cần có một phương trình diễn
tả diễn biến của hàm trạng thái theo thời gian. Phương trình đó được gọi là
phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian hay phương trình Schrodinger
tổng quát:
 
 
, ˆ , .
r t
i r t
t



 




Trong đó  
2
2
ˆ ˆ ˆ ,
2
H T U U r t
m
     


là Hamitonian của hệ.
2.5.2. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian
Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng:
    /
, n
iE t
n n
r t r e
  
 
 
Nghiệm của phương trình có dạng:
    /
, n
iE t
n n
r t r e
  
 
 
Do tính chất tuyến tính của phương trình nên nghiệm tổng quát của
phương trình có dạng khác nhau tùy vào phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục:
* Khi ̂ có phổ trị riêng gián đoạn:        
/
, .
n
iE t
n n n n
n n
r t C r e C t r
  

 
 

  
* Khi ̂ có phổ trị riêng liên tục:        
/
, .
iEt
E E E E
E E
r t C r e C t r dE
  

 
 

  
.
Trong đó các hệ số Cn(t) và CE(t) được xác định từ điều kiện ban đầu.
Phương trình Schrodinger có nghiệm ứng với bất kỳ giá trị nào của E
nhưng không phải giá trị nào cũng ứng với một trạng thái vật lí. Những nghiệm
( , , )
E x y z
 phải thỏa mãn một giá trị đơn giá, liên tục và hữu hạn thì mới có thể
biểu diễn một giá trị vật lí. Trong khóa luận này chỉ xét chuyển động 1 chiều.

34. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
23
2.5.2.1. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn
U(x)
I II III
-a 0 a x
Hình 1. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn
Nếu hạt chuyển động trên một đường thẳng, thế năng U(x) có dạng biểu
diễn trên hình 1:  
0
0
U x
U

 

khi
khi  
0
,
x a
x a U

  
* Phương trình Schrodinger trong miền |x|  a:
2
2 2
( ) .2.
( ) 0
x E m
x
x



 
 
Phương trình có nghiệm tổng quát: ( ) cos sin
II x A kx B kx
   với 2
2
.2.
E m
k 

* Phương trình Schrodinger trong miền |x| > a:
2
2 2
( ) ( ( )).2
( ) 0
x E U x m
x
x


 
 
 
Phương trình có nghiệm tổng quát: ( ) ( ) Kx Kx
I III
x x Ce De
  
   với 2
2
( ( )).2
E U x m
K



Điều kiện biên:
( ) | 0
( ) | 0
III
I
x
x









Điều kiện liên tục:
( ) ( )
( ) ( )
I II
III III
a a
a a
 
 
  




Mặt khác ta có:
'( ) '( )
'( ) '( )
I II
III III
a a
a a
 
 
  




Từ các điều kiện trên ta suy ra được:
2
0
2 2
2
0
2 2
2 2
tan ( ) ( )
2 2
cot ( ) ( )
mE m
ka U E
mE m
ka E U

 



  


 
 
Vậy năng lượng của hạt chuyển động trong hố thế có bề sâu hữu hạn
0
U chỉ có thể có một giá trị gián đoạn 0
U
  (E thể hiện tính chất lượng tử).
Có thể chứng minh được rằng trong trường hợp 0
U
  thì năng lượng thể
hiện giá trị liên tục.

35. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
24
2.5.2.2. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu vô hạn
a. Giếng thế đối xứng
 
U x
x
a
 0 a
Hình 2. Chuyển động của hạt trong giếng thế đối xứng
Thế năng có dạng:   0
U x  , khi –a < x < a
( )
U x   , khi x a

Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong hố thế:
2
2 2
( ) .2.
( ) 0
x E m
x
x



 
 
Phương trình có nghiệm dạng tổng quát là: ( ) cos sin
x A kx B kx
   với 2
2
2 .
E m
k 

Điều kiện biên:
( ) 0
( ) 0
a
a


 




Vậy hàm sóng của hạt có dạng
1
cos , 1,3,5,......
2
( )
1
sin , 2,4,6,......
2
n x
n
a
a
x
n x
n
a
a








 


Năng lượng của hạt ở trạng thái thứ n:
2 2 2
2
( 1,2,3,......)
2 4
n
n
E n
m a

 

b. Giếng thế không đối xứng
U (x)
x
0 a
Hình 3. Chuyển động của hạt trong giếng thế không đối xứng

36. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
25
Xét một hạt chuyển động trên đường thẳng, nếu thế năng U(x) có giá trị
như sau:
0
( )
U x

 


0
0 à
x a
x v x a
 
 
Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong hố thế:
2
2 2
( ) .2.
( ) 0
x E m
x
x



 
 
Phương trình có dạng tổng quát là: ( ) cos sin
x A kx B kx
   với 2
2
2 .
E m
k 

Điều kiện biên:
(0) 0
( ) 0
a







Hàm sóng của hạt:
2
( ) sin
n x
x
a a

 
Năng lượng của hạt ở trạng thái n:
2 2 2
2
( 1,2,3,......)
2
n
n
E n
m a

 

2.5.2.3. Dao động tử điều hòa
Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa:
 
2
2 2 2
2
( ) 2
0
2
d x m m x
E x
d x
 

 
  
 
 

Năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn và được xác
định bởi công thức:
1
2
n
E n

 
 
 
 
 với n là một số nguyên dương
Mức năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa ứng với n=0 là 0
2
E



.
2.6. Phương trình chuyển động trong Cơ học lượng tử
2.6.1. Đạo hàm của toán tử theo thời gian
Đạo hàm theo thời gian của toán tử L̂ , kí hiệu
ˆ
dL
dt
, là một toán tử ̂
được xác định sao cho giá trị trung bình  của nó bằng đạo hàm theo thời gian
của giá trị trung bình L của toán tử L̂ .
Nếu
 
* ˆ x
d L
d
dt
 
   
 thì
ˆ
ˆ dL
dt
   
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ,
dL L
L
dt t

   


37. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
26
với    
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,
i
L L L
    

là dấu ngoặc Poátxông lượng tử.
Phương trình này được gọi là phương trình Heisenberg. Nếu toán tử L̂
không phụ thuộc rõ vào thời gian thì:
 
ˆ
ˆ
ˆ ,
dL
L
dt
 
2.6.2. Phương trình chuyển động đối với x
Áp dụng phương trình Heisenberg, chọn toán tử ˆ ˆ
L x
 với L̂ không phụ
thuộc rõ vào thời gian, ta có:
 
ˆ ˆ
,
dx
H x
dt

Với  
2 2 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
, ,
2
x y z
p p p
H U x y z
m
 
 
Vì    
ˆ
ˆ ˆ ˆ
, 2
2
x
x
p
i
H x i p
m m
  


nên:
ˆx
p
dx
dt m
 (2.3)
Biểu thức (2.3) chính là phương trình chuyển động đối với x.
2.6.3. Phương trình chuyển động đối với Px
Áp dụng phương trình Haisenberg, chọn toán tử ˆ ˆ
x
L P
 với L̂ không phụ
thuộc rõ vào thời gian, ta có:
 
ˆ ˆ ˆ
,
x
x
dp
H p
dt

với  
2 2 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
, ,
2
x y z
p p p
H U x y z
m
 
 
Vì    
ˆ ˆ
, ,
x x
U U
p U x i U x p i
x x
 
   
   
   
 
 
Nên
ˆx
dp i U U
i
dt x x
 
 
  
 
 
 


Vậy
ˆx
dp U
dt x

 

(2.4)
Biểu thức (2.4) được gọi là phương trình chuyển động đối với ˆx
p .

38. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
27
2.6.4. Tích phân chuyển động
Trong CHLT, nếu toán tử L̂ có đạo hàm theo thời gian bằng không:
ˆ
0
dL
dt
 thì đại lượng L được gọi là tích phân chuyển động.
Theo phương trình Heisenberg nếu L là tích phân chuyển động thì:
 
ˆ
ˆ ˆ
, 0
L
H L
t

 

Trường hợp nếu L̂ không phụ thuộc rõ vào thời gian thì ta có:  
ˆ ˆ
, 0
H L 
Nghĩa là đối với tích phân chuyển động (không phụ thuộc rõ vào thời
gian) thì dấu ngoặc Poátxông lượng tử bằng không.
2.7. Lý thuyết biểu diễn
2.7.1. Khái niệm
Để biểu diễn trạng thái của một hệ người ta sử dụng hàm sóng  
,
a x t
 là
hàm của tập hợp các tọa độ x ở thời điểm t.
Trong đó: a là các đại lượng vật lý (các lượng tử số)
x là chỉ số biểu diễn
* Trong biểu diễn tọa độ
Khi hàm sóng phụ thuộc vào tọa độ, thời gian và mật độ xác suất tìm thấy
hạt:  
2
a x
 thì hàm sóng đó được gọi là hàm của tọa độ và ta nói hàm đó đã
được cho trong biểu diễn tọa độ hay trong x- biểu diễn.
Trong biểu diễn tọa độ, các toán tử có dạng:
2 2
,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
; ; ;
x z
x x p i L i L
x
 

 
       
 
  
Xét một toán tử L̂ biểu diễn một biến số động lực có hàm riêng  
n x
 .
Phương trình trị riêng có dạng:
   
ˆ
n n
L x L x
 

Với    
a n n
n
x C x
 
  ,  
*
x
n n a
C x d
 
 

39. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
28
Trong đó:
 
n x
 là hàm riêng của toán tử L̂ trong x - biểu diễn
 
*
n x
 là hàm riêng của toán tử x̂ trong L - biểu diễn
Cn là hàm sóng trong L - biểu diễn
2.7.2. Biểu diễn năng lượng (E – biểu diễn)
Xét trạng thái của một hạt chuyển động trong trường ngoài có năng lượng
âm, như vậy trị riêng của năng lượng En là gián đoạn.
Phương trình trị riêng có dạng:
   
ˆ
n n n
H x E x
 

Trong đó:
 
n x
 là hàm riêng của toán tử Ĥ trong x- biểu diễn
 
*
n x
 là hàm riêng của toán tử x̂ trong E - biểu diễn
 
*
x
n n a
C x d
 
  là hệ số khai triển hay hàm sóng của trạng thái a trong E– biễu
diễn.
2
n
C là xác suất để năng lượng đạt giá trị En
2.7.3. Biểu diễn xung lượng (P – biểu diễn)
Xét toán tử xung lựng có hàm riêng  
p x
 ứng với trị riêng p. Phương
trình trị riêng có dạng:
   
ˆ p p
p x p x
 

Hàm sóng  
x
 theo hàm riêng toán tử xung lượng  
p x
 :
   
p p
p
x C x dp
 
 
Trong đó:
 
a x
 là hàm sóng trong biễu diễn tọa độ
 
n x
 là hàm riêng của toán tử P̂ trong x- biểu diễn
*
p
 (x) là hàm riêng của toán tử x̂ trong P – biểu diễn

40. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
29
 
*
x
p p a
C x d
 
  : hệ số khai triển hay hàm sóng của trạng thái a trong P – biễu
diễn.
2
n
C là xác suất để năng lượng đạt giá trị p
2.7.4. Biểu diễn momen xung lượng (Lz – Biểu diễn)
Xét toán tử hình chiếu momen động lượng trên trục x có hàm riêng
 
m x
 và trị riêng Lz . Phương trình trị riêng có dạng:
   
ˆ
z m z m
L x L x
 

Trong đó:
 
x
1
2
i
p
p x e


 

: hàm sóng trong biễu diễn tọa độ
1
.
2
im
m e 


 : là hàm riêng của toán tử ˆ
z
L trong x - biểu diễn
 
*
m x
 : hàm riêng của toán tử x̂ trong Lz - biểu diễn
 
*
x
m m m
C x d
 
  : hệ số khai triển hay hàm sóng của trạng thái a trong P – biễu
diễn.
2
m
C là xác suất để momen động lượng đạt giá trị Lz
Kết luận chương 2
Trên cơ sở lý luận trình bày ở chương I và qua việc nghiên cứu giáo trình,
sách bài tập, tài liệu trên mạng, … tôi đã tóm tắt cơ sở lý thuyết phần Cơ học
lượng tử tương đối đầy đủ và chính xác gồm các nội dung: Hàm sóng của hạt vi
mô, toán tử, trị trung bình trong phép đo các biến số động lực, hệ thức bất định,
phương trình Schrodinger, phương trình chuyển động trong Cơ học lượng tử, lý
thuyết biểu diễn.

41. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
30
Chương 3.
PHÂN LOẠI VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
3.1. Bài toán về hàm sóng của hạt vật chất
Dạng 1: Cho hàm sóng  
r
 xác định hệ số A.
Phương pháp giải:
Bước 1: Viết công thức chuẩn hóa hàm sóng (điều kiện chuẩn hóa hàm
sóng).
Bước 2: Thay hàm sóng  
r
 vào công thức.
Bước 3: Áp dụng công thức 2 *
.
  
 để tính.
Bài mẫu 1: Hàm sóng của hạt ở trạng thái cơ bản có dạng  
2
x
x e
 
  .
Hãy xác định hệ số A từ điều kiện chuẩn hóa. Biết
2
x
x
e d
 





 .
Hướng dẫn:
Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:  
2
x 1
x d





Thay hàm sóng  
x
 vào ta được:
2
2
x 1
x
e d



 

2 2
. x 1
x x
e e d

 

   

2
2 2
2
1/4
x 1
. 1
2
2
x
e d





  
  
 
    
 

Vậy hệ số
1/4
2

 
   
 
Bài mẫu 2: Hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng    
x x L x
    trong đó
0 .
x L
  Chuẩn hóa hàm sóng xác định A.

42. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
31
Hướng dẫn:
Chuẩn hóa hàm sóng:  
2
x 1
x d





Thay  
x
 vào ta được:
 
2
x 1
x L x d


  
    
0
. x 1
L
x L x x L x d
     

 
2
2 2
0
5
2
5
. x 1
. 1
30
30
L
x L x d
L
L
   
  
  

Vậy hệ số A bằng 5
30
.
L
Dạng 2: Cho hàm sóng xác định xác suất tìm thấy hạt.
Phương pháp giải:
Bước 1: Chuẩn hóa hàm sóng (nếu hàm sóng chưa chuẩn hóa).
Bước 2: Thay hàm sóng đã chuẩn hóa vào công thức sau để tính xác suất:
 
2
dw , x
x t d


Bài mẫu 1: Hàm sóng của một hạt chuyển động trên trục x có dạng
  sin
x
x
a


 
   
 
khi đó 0 ,
x a
  và   0
x
  ở ngoài khoảng đó. Tìm xác suất
để 0
4
a
x
  .
Hướng dẫn:
Áp dụng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:  
2
x 1
x d




 (1)
Do   0
x
  ở ngoài khoảng 0 ,
x a
  nên:

43. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
32
   
2
0
1 x 1
a
x d

 

2
0
2 2
0
2
sin x 1
sin x 1
1
2
2
a
a
x
d
a
x
d
a
a
a


 
  
 
 
 
  
 
 

 
   


Xác suất để 0
4
a
x
  là:
 
/4
2
0
x
a
W x d

 
2
/4
0
/4
2 2
0
sin x
sin x
1 1
4 2
a
a
x
d
a
x
d
a



 
   
 
 
   
 
 


Vậy xác suất để 0
4
a
x
  là
1 1
4 2

Bài mẫu 2: Hàm sóng của electron trong nguyên tử hiđrô ở trạng thái cơ bản có
dạng   3
1 r
a
r e
a



 , trong đó a=0,529.10-10
m là bán kính quỹ đạo Bo thứ
nhất. Tìm xác suất tìm electron trong khoảng r đến r + dr.
Hướng dẫn:
Xác suất tìm thấy electron trong thể tích dV bao quanh điểm  
, ,
r  
   
2
, ,
dW r r dV
  

Do nguyên tử có dạng hình cầu nên:
2
sin os
y= sin sin
z= cos
sin
x r c
r
r
J r
 
 








 


44. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
33
Suy ra    
2 2
, , sin rd
dW r r r d d
     

2
2
3
1
sin rd
r
a
e r d d
a
  



Xác suất tìm electron trong khoảng r đến r +dr được xác định bởi công thức:
 
2
2
2
3
0 0
1
r sin d
r
a
dW r e r d d
a
 
  


  
 
2
2
3
4
r
r
r
a
e r d
a
r d




Trong đó  
2
2
3
4 r
a
r e r
a


 là mật độ xác suất theo bán kính r.
3.2. Bài toán về toán tử
Dạng 1: Cho hai toán tử ̂ và ˆ ,
 tính giao hoán tử ˆ ˆ
,
 
 
 
Bước 1: Tính ˆ ˆ
 và ˆ
̂
Bước 2: Thay ˆ ˆ
 và ˆ
̂ vào công thức giao hoán tử.
Bài mẫu 1: Cho toán tử ˆ d
dx
  , ˆ x
  và hàm sóng   5
x x
  . Tính giao hoán tử
ˆ ˆ
, .
 
 
 
Hướng dẫn:
* Tính ˆ ˆ

   
ˆ ˆ
x
d
x x x
d
 
 
    
 
 
     
   
ˆ ˆ
x
ˆ ˆ 1
x
ˆ ˆ 1
x
d
x x x x
d
d
x x x
d
d
x
d
  
 
 
    
 
 
   
 
 
 
   
 
 
* Tính ˆ
̂
   
ˆ
ˆ[ ]
x
d
x x x
d
 
 
    
 

45. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
34
   
ˆ
ˆ
x
d
x x x
d
 
  
ˆ
ˆ
x
d
x
d
  
Vậy ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, 1 1
x x
d d
x x
d d
 
 
         
 
   
Bài mẫu 2: Với ˆ
x
P i
x

 

 , ŷ y
 . Hãy chứng minh hệ thức giao hoán tử
ˆ
ˆ, 0
x
y P
  
  .
Hướng dẫn:
* Tính ˆ
ˆ x
yP
ˆ
ˆ ( ) ( )
x
y P x y i x
x
 

 
   
 
  
 

ˆ
ˆ ( ) ( )
ˆ
ˆ
x
x
yP x i y x
x
yP i y
x
 

  


  



* Tính ˆ ˆ
x
P y
   
ˆ ˆ
x
P y x i y x
x
 

 
   
   


   
ˆ ˆ
ˆ ˆ
x
x
P y x i y x
x
P y i y
x
 

  


  



Vậy ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, 0
x x x
y P yP P y i i
x x
 
 
        
 
   
 
 
Dạng 2: Chứng minh toán tử ̂ là toán tử hermite
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính  
* ˆ dV
 

 và  
*
ˆ dV
 


Bước 2: So sánh hai kết quả tìm được, nếu chúng bằng nhau thì toán tử ̂
là toán tử hermite.
Bài mẫu 1: Toán tử
x
d
d
có phải là toán tử hermite?

46. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
35
Hướng dẫn:
Ta có:          
 
*
* *
x
d x
d
x x dx x x x dx
d dx

    




 
 
 
 
 
Vì hàm sóng triệt diêu ở vô cùng nên số hạng    
*
0
x x
 


 ,
Do đó:      
 
*
*
x
d x
d
x x dx x dx
d dx

  


 
 
 
 
 
Suy ra        
*
*
x x
d d
x x dx x x dx
d d
   
   

   
   
 
Nên toán tử
x
d
d
không phải toán tử hermite.
Bài mẫu 2: Chứng minh toán tử
x
d
i
d
là toán tử hermite.
Hướng dẫn:
Ta có:
       
* *
x x
d d
x i x dx i x x dx
d d
   
   

   
   
 
     
 
*
* d x
i x x i x dx
dx

  




  
Vì hàm sóng triệt diêu ở vô cùng nên số hạng    
*
0
i x x
 



Suy ra      
 
*
*
x
d x
d
x i x dx i x dx
d dx

  


 
 
 
 
 
       
*
*
x x
d d
x i x dx x i x dx
d d
   
   
 
   
   
 
Vậy toán tử
x
d
i
d
là toán tử hermite (điều phải chứng minh).
Dạng 3: Tìm hàm riêng, trị riêng của toán tử
Phương pháp giải:
Bước 1: Viết phương trình trị riêng đối với toán tử đó.
Bước 2: Thay dạng của toán tử vào phương trình từ đó suy ra hàm riêng,
trị riêng của toán tử.

47. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
36
Bài mẫu 1: Tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử ˆ
x
d
i
d
   nếu hàm riêng thỏa
mãn điều kiện:    
x x L
 
  .
Hướng dẫn:
Phương trình trị riêng của toán tử ̂ có dạng:    
ˆ x a x
 
 
Trong đó  
x
 là hàm riêng và a là trị riêng của toán tử ̂ .
Thay dạng của toán tử ̂ vào ta được:
   
x
d
i x a x
d
 
 
 
 
dx
d x
ia
x


 
 
 
 
  x
dx
ln x+lnC
ia
d x
ia
x
x ia
x Ce




 
 
 
 
Áp dụng điều kiện biên ta có:
     
iax ia x L
x x L Ce Ce
  
   
2
1
iaL i n
e e 
  
Do đó
2 n
a
L

 với 0,1,2,3,...
n 
Bài mẫu 2: Tìm hàm riêng và trị riêng của toán tử
2
2
ˆ d
d x
   với hàm riêng thỏa
mãn điều kiện   0
x
  khi x=0 và x=L.
Hướng dẫn:
Phương trình trị riêng của toán tử ̂ có dạng:    
ˆ x b x
 
 
Trong đó  
x
 là hàm riêng và b là trị riêng của toán tử ̂
Thay dạng của toán tử ̂ vào phương trình ta được:
   
2
2
d
x b x
d x
 
 
   
2
2
0
d
x b x
d x
 
  

48. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
37
Nghiệm của phương trình có dạng:      
1 2
cos sin
x C bx C bx
  
Áp dụng điều kiện biên ta có:
  1
0 0 0
C
       
2 sin
x C bx

 
   
2
0 sin 0 n
n
L bL b b
L


 
       
 
với 0,1,2,3,...
n 
3.3. Bài toán về giá trị trung bình trong phép đo các biến số động lực
Dạng: Tìm giá trị trung bình của các biến số động lực
Phương pháp giải:
Bước 1: Chuẩn hóa hàm sóng (nếu hàm sóng chưa chẩn hóa).
Bước 2: Ghi lại hàm sóng n

Bước 3: Thay n
 vào công thức 


 dV
L
L .

 và tính.
* Chú ý khi giải toán cần nắm vững được các công thức sau:
.









dx
e x2
.
2
84
,
0
1
0
2 



dx
e x
. 0
.
2






dx
e
x x

.   0
1


 
n
n
x
x
.   !
n
x
x
n
n



Bài mẫu 1: Tính x , 2
x ,  2
x
 với x
d
n
A
n

 sin
 , với d
x 

0 .
Hướng dẫn:
Chuẩn hóa hàm sóng:
2
0
1
d
n dV
 

2 2
0
2
0
sin . 1
1 2
1 cos 1
2
2
d
d
n
A x dx
d
n
A x dx
d
A
d


 
 
  
 
 
 


Suy ra
2
.sin ;
n
n
x
d d

  d
x 

0

49. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
38
* Tính x :



 dx
x
x .


2
0
0 0
2
sin .
1 1 2
. cos .
d
d d
n
x x x dx
d d
n
x x dx x x dx
d d d


 
  

 
Đặt 

d
dx
x
d
n
x
d
I
0
.
2
cos
1  2
1 1 1
.
0
2 2
d
x d
x I I
d d d
 
    
 
 
Tính I:
Đặt







dx
x
d
n
dv
x
u
.
2
cos
 2
sin
2
du dx
d n
v x
n d





 



0
2 2
. sin sin . 0
0
2 2
d
d
d n d n
I x x x dx
n d n d
 
 
   

Vậy
2
d
x 
* Tính 2
x :


 dx
x
x .
2
2


2 2 2
0
2
2
0
2
sin .
2 2
1 cos .
2
d
d
n
x x x dx
d d
x n
x x dx
d d


 
 
  
 
 


Đặt 2
0
2
.cos .
d
n
I x x dx
d

 
2
2
3
d
x I
  
Tính I:
Đặt







dx
x
d
n
dv
x
u
.
2
cos
2

2
2
sin
2
du xdx
d n
v x
n d





 



2
0
1 2 1 2
. sin . 2 sin .
2 2
0
d
d
d n d n
I x x x x dx
d n d d n d
 
 
   

50. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
39
0
1 2
sin .
d
n
I x x dx
n d


   
Lại đặt:







dx
x
d
n
dv
x
u
.
2
sin
 2
cos
2
du dx
d n
v x
n d





 
 


0
2
2
1 2 2
cos cos .
0
2 2
2( )
d
d
d n d n
x x x dx
n n d n d
d
I
n
 
  

 
     
 
 
 

Vậy
2 2
2
2
3 2( )
d d
x
n
 
* Tính  2
x
 :
   
2
2 2
x x x
  
 
 
2 2 2
2
2
2 2
2
2
3 2( ) 4
12 2( )
d d d
x
n
d d
x
n


    
   
Vậy  2
x
 =
12
2
d
2
2
)
(
2 
n
d

Bài mẫu 2: Hạt ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng   5
30
( )
x x L x
L
   , trong
đó: 0 .
x L
  Hãy tìm động năng trung bình của hạt.
Hướng dẫn:
Động năng trung bình được tính bởi công thức:
   
*
0
ˆ
L
x T x dx
 
  
đ
   
2 2
2 2
5 2
0
2
2
30
2
5
L
d
Lx x Lx x dx
L m dx
mL

    
  

đ
đ


Vậy động năng trung bình  
2 2
5 / mL
 
đ 

51. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
40
3.4. Bài toán về hệ thức bất định
Dạng 1: Xác định sự đo đồng thời của hai đại lượng động học

L và

M
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định được 2 đại lượng động học được đo đồng thời

L và

M
Bước 2: Tính giao hoán tử ,
L M
 
 
 
 
Bước 3: Nếu 0
, 





 

M
L thì

L và

M đo được chính xác đồng thời.
Nếu , 0
L M
 
 

 
 
thì

L và

M không đo được chính xác đồng thời.
Bài mẫu 1: Cho một hạt chuyển động theo phương x. Chứng minh rằng tọa độ
và xung lượng không đo được đồng thời.
Hướng dẫn:
Ta có: x
x 

và xung lượng
x
i
Px






- Tính , x
x P
 
 
 
 
. Tính x
x P
 
 
x
x P x

 
 
 
 
=
 
x
x i
x


 

 

 

   
.
x
x P x i x x
x
 
  
 


.
x
x P i x
x
  
 


. Tính x
P x
 
   
,
x
P x x i x x
x
 
  
 
   
 
  
 

   
.
.
x
x
P x x i i x x
x
P x i i x
x
 
 
 

 
   
 

 

   

 
 

52. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
41
Suy ra , x
x P
 
  
 
 

i  0 nên

x , x
P

không đo được chính xác đồng thời.
Bài mẫu 2: Cho một hạt chuyển động tự do theo phương x, năng lượng và xung
lượng có đo được đồng thời?
Hướng dẫn:
Ta có ˆx
p i
x

 

 ,
2 2
2
ˆ
2
U
m x

   


Vì hạt chuyển động tự do nên U = 0
2 2
2
ˆ
2m x

   


- Tính ˆ
ˆ ,
x
p
 

 
. Tính ˆ
ˆx
p 
   
2 2
2
ˆ
ˆ
2
x
p x i x
x m x
 
 
 
 
   
 
   
 


   
3 3
3
3 3
3
ˆ
ˆ
2
ˆ
ˆ
2
x
x
i
p x x
m x
i
p
m x
 

 
  
  

  



. Tính ˆ ˆx
p

   
2 2
2
ˆ ˆ
2
x
p x i x
m x x
 
 
 
   
 
   
 
 


   
3 3
3
3 3
3
ˆ ˆ
2
ˆ ˆ
2
x
x
i
p x x
m x
i
p
m x
 

  
 
  

  



Suy ra ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, 0
x x x
p p p
 
     
  nên đo được chính xác đồng thời năng lượng và
xung lượng.
Dạng 2: Cho toán tử

L và

M yêu cầu xác định hệ thức bất định giữa hai
toán tử đó.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định ,
L M
 
 

53. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
42
Bước 2: Tính giao hoán tử ,
L M
 
 
 
 
 
Bước 3: Suy ra hệ thức bất định giữa hai đại lượng
Bài mẫu 1: Cho toán tử xung lượng
x
i
Px





 . Tìm giao hoán tử 









x
P
x, và
từ đó suy ra hệ thức bất định đối với tọa độ và xung lượng.
Hướng dẫn:
Ta có:
x x x x x
x x x x x
P P P P P

  

  
    
    
, ,
x x x
x P x x P P
   
   
     
   
   
,
x x x x
x x x x x x x x
x x
x
x x P P P P x x
x P xP x P xP P x P x P x P x
x P P x
x P
   
      
   
 
     
     
     
     
       
 
 
  
 
Mặt khác: 




 

x
P
x, = 
i
, . ,
.
2
x x
x
x P x P i
x P
 
   
   
   
   
   
 


Bài mẫu 2: Toán tử năng lượng của một hạt có thể viết dưới dạng ˆ i
t

 

 , tìm
hệ thức bất định giữa thời gian và năng lượng.
Hướng dẫn:
Ta có:
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ
t t t t t
        
    

54. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
43
     
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,
t t t
t t t t t
t t t t t t t t t
t t
   
       
   
 
            
 
 
                  
 
   
    
   
Tính ˆ ˆ
,t
 

 
. Tính ˆ ˆ
t
 :
     
 
ˆ ˆ
x
t x i t x i x i t
t t

  


 
   
 
 
   
  
ˆ ˆ
t i i t
t

   

 
. Tính ˆ
ˆ
t :
   
 
ˆ
ˆ
x
t x t i x i t
t t

 


 
 
  
 
   
 
 
ˆ
ˆ
t i t
t

  


Suy ra ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
,t t t i
 
     
  
Vậy ˆ ˆ
, t i
 
  
  
Hay ˆ ˆ
2
t
 
 

3.5. Bài toán về phương trình Schrodinger
3.5.1. Bài toán về phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian
Dạng 1: Tìm biểu thức thế năng của hạt.
Phương pháp giải:
Bước 1: Chuẩn hóa hàm sóng (nếu hàm sóng chưa chuẩn hóa)
Bước 2: Viết phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian.
Bước 3: Thay biểu thức hàm sóng vào phương trình Schrodinger phụ
thuộc vào thời gian.
Bước 4: Thực hiện phép tính và suy ra biểu thức thế năng.

55. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
44
Bài mẫu 1: Hàm của một hạt có khối lượng m chuyển động tự do có dạng:
 
2
1/2
2
1
x
i t
x e



 
 
 
 
 
 
  
 

. Tìm biểu thức của thế năng U(x) để hàm sóng thỏa mãn
phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian. Trong đó  là các hằng số dương.
Hướng dẫn:
Ta có phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian:
 
 
, ˆ ,
r t
i H r t
t







 với
2
2
ˆ ( , )
2
H U r t
m
   


Theo đề  
2
1/2
2
mx
i t
x e




 
 
 
 
 
 
  
 

, phương trình trở thành
 
 
2 2
2
,
( ) ,
2
x t
i U x x t
t m x


  

  
 
 
 


2 2
2 2
1/2 1/2
2 2
2 2
2
1/2 1/2
2 2
2 2
2
2
2
1 1
( )
2
1 1 1
( )
2
1
( )
2
x x
i t i t
x x
i t i t
i e U x e
t m x
x
e U x e
m
U x
m
 
 
 
    
 
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
 
 
   
   
   
 
 
   
 
 
 
   
     
 
   
 
   
 
 
    
 
 






2
2
2
2
3
( ) 1
2
x
x
U x
m



 
 
 

 
  
 
 

Vậy thế năng
2
2
3
( ) 1
2
x
U x
m


 

 
 
 

Bài mẫu 2: Tìm biểu thức của thế năng U(x) để hàm sóng  
2
/
, e
a mx it
x t A

 
 
 


thỏa mãn phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian. Trong đó A và a là các
hằng số dương.
Hướng dẫn:
Chuẩn hóa hàm sóng:
 
2
, 1
x t dx






56. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
45
2
2
2
/
2
2 2max /
1
1
a mx it
A e dx
A e dx
  
 
 




 
 




Theo tích phân Poisson ta có
2
x
e dx
 





 nên
2
2max /
2
e dx
ma






 
Suy ra:
1/4
2 2
1
2
ma
A A
ma


 
     
 


Ta có phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian:
 
 
, ˆ ,
r t
i H r t
t







 với
2
2
ˆ ( , )
2
H U r t
m
   


Theo đề ta có :  
2
/
, e
a mx it
x t A

 
 
 


nên phương trình trở thành
 
 
2 2
2
,
( ) ,
2
x t
i U x x t
t m x


  

  
 
 
 


 
2 2
2 2
/ /
2
e ( ) e
2
a mx it a mx it
i A U x A
t m x
   
   
   
 
 
   
 
 
 
 

 (*)
Mặt khác:    
2 2
/ /
e e
a mx it a mx it
A A ia
t
   
   
   

 

 
2 2
2 2 2 2
/ /
2 2
2 4
e e
a mx it a mx it
am a m x
A A
x
   
   
   
 
 
 
 
  
 
 
Thay vào (*) ta được:
 
 
2 2
2 2 2 2
/ /
2
2 2
2 4
e ( ) e
2
2
a mx it a mx it
am a m x
i A ia U x A
m
U x ma x
   
   
   
 

 
     
 
 
 
 
 
 


 
Vậy để hàm  
,
x t
 thỏa mãn phương trình Schrodinger phụ thuộc thời
gian thì thế năng   2 2
2
U x ma x
 với a là hằng số dương.
Dạng 2: Cho hàm sóng tại thời điểm ban đầu. Tìm hàm sóng  
,
x t
 tại thời điểm
t.
Phương pháp giải:
Bước 1: Từ hàm sóng ở thời điểm ban đầu 0
t  xác định hệ số khai triển
Cn và năng lượng En

57. D
Ạ
Y
K
È
M
Q
U
Y
N
H
Ơ
N
O
F
F
I
C
I
A
L
46
Bước 2: Thay Cn và En vào biểu thức hàm sóng  
,
x t

Bài mẫu 1: Hàm sóng ở thời điểm đầu của một hạt có khối lượng m chuyển động
tự do có dạng  
1 2
,0 cos sin
2
5 5
x x
x
a a
a a
 
   . Xác định hàm sóng  
,
x t
 tại
thời điểm t > 0.
Hướng dẫn:
Hàm sóng và các mức năng lượng ở trạng thái dừng của hạt trong hố thế
a x a
   là:
 
 
1
2
1
cos
2
1
sin
x
x
a
a
x
x
a
a









 


và
2
2
1
2
2
2
2 2
2
m a
m a


  
 
  
  

 
   
  



Hệ số khai triển: 1
1
5
C  và 2
2
5
C 
Thay vào biểu thức của hàm sóng ta được:
 
2 2
2 2
8 2
1 2
, cos sin
2
5 5
t t
i i
ma ma
x x
x t e e
a a
a a
 
 

 
 
 
Bài mẫu 2: Cho một dao động tử điều hòa được mô tả bởi hàm sóng tại thời
diểm t=0 như sau:    
0 1
1
,0 3 4
5
x
  
  với 0 1
,
  là các hàm riêng của toán tử
Ĥ trong dao động tử điều hòa. Tìm hàm sóng tại thời điểm t bất kì.
Hướng dẫn:
Các hệ số chuẩn hóa và mức năng lượng của dao động tử điều hòa ở trạng
thái dừng:
0 0
1 1
3
,
5 2
4 3
,
5 2
C
C



  



   




Thay vào biểu thức hàm sóng ta được:
 
3
2 2
0 1
3 4
,
5 5
i
t i t
x t e e
 
  
 
 