Bài mẫu Khóa luận tốt nghiệp ngành sư phạm toán, HAY, 9 ĐIỂM

DỊCH VỤ VIẾT THUÊ KHÓA LUẬN
ZALO/TELEGRAM 0917 193 864
VIETKHOALUAN.COM
TRẦNNGỌCTHANHTRÚC
PHẠM
MINH
TÂM
:NGÀNHCHUYÊN
LUẬNKHÓA
TOÁNPHẠMSƯ
NGHIỆPTỐT
NĂM
2016
ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
---------------------------------------
TRẦN NGỌC THANH TRÚC
PHẠM MINH TÂM
LIÊN HỆ TẢI BÀI KẾT BẠN ZALO:0917 193
864
DỊCH VỤ VIẾT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
WEBSITE: VIETKHOALUAN.COM
ZALO/TELEGRAM: 0917 193 864
MAIL:
BAOCAOTHUCTAPNET@GMAIL.COM
ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
TRONG HÌNH HỌC TỌA ĐỘ LỚP 10
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
GÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC
PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2016

VIETKHOALUAN.COM
i
ỦY BAN NHÂN DÂN TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
PHẠM MINH TÂM
TRẦN NGỌC THANH TRÚC
ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS. NGUYỄN ÁI QUỐC
TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 5 NĂM 2016

VIETKHOALUAN.COM
ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu
của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu
trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả
cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong
bất kì một công trình nào khác.
Tác giả luận văn
Trần Ngọc Thanh Trúc
Phạm Minh Tâm

VIETKHOALUAN.COM
iii
LỜI CẢM ƠN
Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
thầy Nguyễn Ái Quốc đã luôn giúp đỡ, hướng dẫn tận
tâm, động viên tinh thần chúng con trong suốt quá
trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.
Nhóm thực hiện
Trần Ngọc Thanh Trúc
Phạm Minh Tâm

VIETKHOALUAN.COM
1
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ............................................................................................................................................................ i
Lời cam đoan............................................................................................................................................................ii
Lời cảm ơn............................................................................................................................................................... iii
Mục lục..................................................................................................................................1
Danh mục các cụm từ viết tắt........................................................................................................................4
MỞ ĐẦU...................................................................................................................................................................5
Chƣơng 1
ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1. Tóm tắt lý thuyết..........................................................................................................................................8
1.1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng .........................................................................8
1.1.1. Tọa độ điểm trong mặt phẳng .................................................................................................8
1.1.2. Tọa độ vectơ trong mặt phẳng ................................................................................................8
1.1.3. Các công thức vể tọa độ điểm và tọa độ vectơ................................................................8
1.2. Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng....................................................9
1.2.1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng......................................................................................9
1.2.2. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ......................................................................................9
1.2.3. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến..........................................9
1.3. Phương trình tham số của đường thẳng.................................................................................... 10
1.4. Phương trình chính tắc của đường thẳng ................................................................................. 10
1.5. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc............................................................................... 11
1.6. Phương trình tổng quát của đường thẳng................................................................................. 11
1.7. Vị trí tương đối của hai đường thẳng......................................................................................... 12
1.8. Khoảng cách và góc .......................................................................................................................... 13
1.8.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng......................................................... 13
1.8.2. Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng...................................................................... 13
1.8.3. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng........................................... 13
1.8.4. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ...... 13
1.8.5. Góc giữa hai đường thẳng...................................................................................................... 14
2. Một số bài toán về đƣờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ................................................. 14
2.1. Chuyển đổi các dạng phương trình đường thẳng ................................................................. 14
2.2. Thiết lập phương trình đường thẳng .......................................................................................... 19

VIETKHOALUAN.COM
2
2.2.1. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có phương cho trước ............ 20
2.2.2. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước .......... 22
2.2.3. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với
một đường thẳng cho trước ........................................................................................... 23
2.2.4. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có điều kiện về góc hoặc
khoảng cách ................................................................................................................... 25
2.2.5. Phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến (hệ số góc) và một điều
kiện về khoảng cách hoặc góc ....................................................................................... 32
2.2.6. Phương trình đường thẳng được thiết lập bằng phương pháp quỹ tích ........... 33
2.2.7. Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau ..... 35
2.2.8. Các ví dụ tổng hợp ........................................................................................... 37
2.3. Vị trí tương đối ....................................................................................................... 41
2.4. Xác định tọa độ điểm ............................................................................................. 45
2.5. Các bài toán cực trị ................................................................................................. 48
Chƣơng 2
ĐƢỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ
1. Tóm tắt lý thuyết ......................................................................................................... 51
1.1. Phương trình đường tròn ........................................................................................ 51
1.2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn ................................................................. 51
1.3. Phương tích, vị trí tương đối của điểm và đường tròn ........................................... 52
1.4. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.................................................... 52
1.5. Vị trí tương đối của hai đường tròn ........................................................................ 52
1.5.1. Trục đẳng phương của hai đường tròn ............................................................ 52
1.5.2. Vị trí tương đối của hai đường tròn ................................................................. 53
1.5.3. Tọa độ giao điểm của hai đường tròn .............................................................. 54
2. Một số bài toán về đƣờng tròn trong mặt phẳng tọa độ .......................................... 55
2.1. Xác định tâm, bán kính và điều kiện của đường tròn............................................. 55
2.2. Lập phương trình đường tròn theo dạng
x 2
 y 2
 2ax
 2by
 c
 0
........................ 56
2.2.1. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm .................................................. 56
2.2.2. Chứng minh bốn điểm cùng thuộc đường tròn, lập phương trình đường tròn
ngoại tiếp tứ giác ........................................................................................................... 57
2.3. Lập phương trình đường tròn theo dạng
x x02
 y y02
 R2
58
..........................
2.3.1. Lập phương trình đường tròn bằng cách xác định tâm và bán kính ................ 58
2.3.2. Lập phương trình đường tròn bằng cách gọi tâm và bán kính ........................ 60
2.4. Vị trí tương đối ....................................................................................................... 70
2.4.1. Vị trí tương đối giữa đường tròn và đường tròn .............................................. 70
2.4.2. Vị trí tương đối giữa đường tròn và đường thẳng ........................................... 74

VIETKHOALUAN.COM
3
2.5. Tiếp tuyến của đường tròn ..................................................................................... 75
2.5.1. Tiếp tuyến tại một điểm với đường tròn .......................................................... 75
2.5.2. Tiếp tuyến đi qua một điểm ............................................................................. 76
2.5.3. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn biết vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ
phương, hệ số góc ......................................................................................................... 77
2.5.4. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn .................................. 79
2.6. Đường tròn và tập hợp điểm .................................................................................. 84
2.6.1. Tập hợp tâm đường tròn .................................................................................. 84
2.6.2. Tập hợp điểm là đường tròn ............................................................................ 86
Chƣơng 3
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
Chƣơng 4
NGHIÊN CỨU SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN
VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN
TRONG MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ LỚP 10
1. Các quan niệm sai lầm .............................................................................................. 110
2. Thực nghiệm .............................................................................................................. 112
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 117
PHỤ LỤC

VIETKHOALUAN.COM
4
DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT
VTCP
VTPT
: Véctơ chỉ phương
: Véctơ pháp tuyến
a : Véctơ a
0

//








PTTQ
PTTS
PTCT
: Véctơ 0
: Khác
: Song song
: Vuông góc
: Thuộc
: Không thuộc
: Chứa trong
: Chứa
: Giao
: Tương đương
: Suy ra
: Phương trình tổng quát
: Phương trình tham số
: Phương trình chính tắc

VIETKHOALUAN.COM
5
PHẦN MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
“Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” là một trong những kiến thức trọng
tâm của chương trình hình học lớp 10. Kiến thức này cũng là một trong những vấn đề
chính trong bài thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Các bài toán thường phải áp dụng tính
chất hình học trước khi sử dụng biến đổi đại số chứ không còn là kĩ thuật tính toán đại số
thông thường như trước kia. Vì vậy để học tốt nội dung này, học sinh cần có sự nỗ lực
phối hợp nhiều thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, đặc
biệt hóa,... Tuy nhiên, mỗi học sinh lại có khả năng học tập, tiếp thu khác nhau. Hơn nữa,
các bài toán về “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ” thường rất khó nên
việc vận dụng lý thuyết vào làm bài tập đối với học sinh là khá khó khăn.
Vì những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài “Đường thẳng và đường tròn trong hình học
tọa độ lớp 10” với mong muốn giúp đỡ các học sinh hiểu được và nắm chắc những kiến
thức, đồng thời phát hiện và giúp các em khắc phục những sai lầm khi giải bài toán về
đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ.
Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh hiểu, sử dụng tri thức “Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ
lớp 10” một cách đúng đắn, đồng thời nhận ra những sai lầm và cách giải quyết khắc phục
những sai lầm đó.
Giúp giáo viên mang lại hiệu quả dạy học hình học ở trường trung học phổ thông.
Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
3.1 Khách thể nghiên cứu. Đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10.
3.2 Đối tƣợng nghiên cứu. Học sinh trung học phổ thông.
Phƣơng pháp nghiên cứu
4.1 Phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết
Thu thập, phân loại, tổng hợp các tài liệu có liên quan về phần đường thẳng và đường
tròn trong hình học tọa độ lớp 10.
4.2 Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Chọn khối lớp 10, tiến hành khảo sát phát phiếu in sẵn những bài tập về đường thẳng
và đường tròn trong hình học tọa độ để học sinh làm bài. Sau đó, kiểm tra kết quả và đúc
kết những sai lầm của học sinh dễ mắc phải khi làm bài.
4.3 Phƣơng pháp lấy ý kiến chuyên gia

VIETKHOALUAN.COM
6
Gặp mặt, trao đổi và xin ý kiến của các thầy cô khoa Toán - Ứng dụng trường đại học
Sài Gòn về đề tài đang nghiên cứu để thu thập những thông tin cần thiết cho đề tài, thu
lượm những ý kiến đánh giá từ các thầy cô trưởng Bộ môn về thực trạng và phương hướng
giải quyết đối với các vấn đề nghiên cứu.
4.4 Phƣơng pháp ứng dụng toán học
Sử dụng phương pháp thống kê trong xử lý các số liệu cụ thể để đảm bảo tính khoa học
của đề tài.
Phạm vi nghiên cứu
5.1 Giới hạn về nội dung.
Đề tài nghiên cứu đường thẳng và đường tròn trong hình học tọa độ lớp 10.
5.2 Giới hạn về địa bàn
Thực nghiệm:
Thời gian: Ngày 30/03/2016
Địa điểm: Trường THPT Lương Thế Vinh, Quận 1, TPHCM
Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm có ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận.
Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, khách thể và đối
tượng nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu và cấu trúc khóa luận.
Phần nội dung: Gồm bốn chương
Chương 1: Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ
Chương 2: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Chương 3: Một số bài toán tổng hợp
Chương 4: Nghiên cứu sai lầm của học sinh khi giải các bài toán về đường thẳng và
đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
Phần kết luận.
Trình bày những kết quả nghiên cứu đã đạt được.
Hướng mở rộng cho nghiên cứu.
Để phát huy tính tư duy, mang lại niềm hứng thú học tập cho học sinh chúng tôi cố
gắng thể hiện các vấn đề sau:
mỗi chương đều có tóm tắt kiến thức cơ bản, khái niệm kiến thức được đề cập tới
nhằm mục đích chỉ rõ mạch kiến thức hoặc mối liên quan giữa các vấn đề để người đọc
tiện theo dõi, nắm được tính hệ thống của tài liệu nghiên cứu.

VIETKHOALUAN.COM
7
Sau phần khái niệm, kiến thức cơ bản của mỗi chương có một số dạng bài toán cơ
bản được phân tích, hướng dẫn, vận dụng giải từ các khái niệm đã nêu ở trước đó, nhằm
giúp người đọc hiểu rõ hơn.
Khi phân tích mỗi một khái niệm, đặc biệt là những khái niệm khó, hầu hết chúng tôi
dẫn dắt từ các khía cạnh khác nhau bằng những ví dụ cụ thể, bằng những minh hoạ hình
học để người đọc có thể dễ dàng nắm được khái niệm đó.
Hệ thống các dạng toán được chúng tôi soạn thảo kĩ lưỡng, đảm bảo tính phong phú, đa
dạng và mức độ từ dễ tới khó, hướng dẫn chi tiết từng bước giải, nêu ra nhiều cách làm
nhằm giúp các em học sinh dễ hiểu, nắm được cách trình bày và phân tích bài toán.
Chúng tôi có soạn thảo một chương cho những bài toán tổng hợp ở mức độ khó và
hướng dẫn giải chi tiết với nhiều cách phân tích khác nhau sẽ giúp học sinh củng cố những
hiểu biết chưa thấu đáo cùng với cách nhìn nhận vấn đề để trả lời cho câu hỏi “Tại sao
biết phải làm như vậy?” một cách thoả đáng.
Trong chương cuối, chúng tôi dự kiến một số sai lầm của học sinh có thể mắc phải
trong việc giải bài toán về đường thẳng, đường tròn trong mặt phẳng toạ độ, dự kiến
những nguyên nhân dẫn đến sai lầm cùng với phần thực nghiệm trên học sinh.
Cuối cùng, dù đã rất cố gắng tham khảo nhiều loại tài liệu để viết khoá luận này,
nhưng việc thiếu sót là điều khó tránh khỏi do những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn
chế từ chúng tôi. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến, đóng góp quý báu từ các
quý thầy cô và bạn đọc.

VIETKHOALUAN.COM
8



PHẦN NỘI DUNG

CHƢƠNG 1

ĐƢỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng

1.1.1. Tọa độ điểm trong mặt phẳng


Định nghĩa. Trong mặt phẳng tọa độOxy , tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa

độ của điểm M .


OM được biểu diễn theo i và j bởi hệ thức có dạng: OM xi y j
Vectơ
với

x , y R . Cặp số là duy nhất và được gọi là tọa độ của điểm M .

Kí hiệu: Mx; y hoặc Mx; y . Số x được gọi là hoành độ của điểm M , số y
được gọi là tung độ của điểm M .
1.1.2. Tọa độ vectơ trong mặt phẳng


Định nghĩa. Đối với hệ trục tọa độO; i , j, nếu a xi y j thì cặp sốx; y
được gọi là tọa độ của vectơ a , kí hiệu là ax; y hay ax; y . Số thứ nhất x gọi là
hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ a .

1.1.3. Các công thức vể tọa độ điểm và tọa độ vectơ


Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho a x; y, bx '
, y'
, các điểm A x A ; yA

BxB ; yB, CxC ; yC và số thực k . Khi đó, một cách tổng quát, ta có:


a) a b x x' ; y y';


b) k .akx; ky;


c) a b

x

x'
;y y'


Vectơ b cùng phương vectơ a 0 khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho

x '
 kx và y '
 ky hay
x '

y'
nếu x 0 và y 0 ;
x y


e) AB xB x A ; y B y A AB xB x A2
 y B yA2
;
x; y

VIETKHOALUAN.COM
9
x  x A xB
2
f) I là trung điểm
 I
;
AB
y A yB



y
I
2


xx A x B xC
3
g) G là trọng tâm của tam giác
 G
.
ABC
y A y B yC

y
 G
3

1.2. Vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng

1.2.1. Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng


Định nghĩa. Vectơ u khác 0 , có giá song song hoặc trùng với đường
thẳngd

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng

Nhận xét


đường thẳngd thì mọi vectơ
i. Nếu u là vectơ chỉ phương của
ku khác


vectơ 0 đều là vectơ chỉ phương của đường thẳng


Nếu ua; b (với a 0 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳngd thì hệ

số góc của đường thẳngd là k
b
a ;


Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua
và một vectơ chỉ phương của nó.

1.2.2. Vectơ pháp tuyến của đƣờng thẳng


Định nghĩa. Vectơ n khác 0 , có giá vuông góc với đường thẳngd gọi là
vectơ pháp tuyến của đường thẳngd .

Nhận xét


i. Nếu n là vectơ pháp tuyến của đường thẳngd thì mọi vectơ k n khác
vectơ 0 đều là vectơ pháp tuyến của đường thẳngd ;


d ;
d .

VIETKHOALUAN.COM
Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm mà nó đi qua
và một vectơ pháp tuyến của nó.

1.2.3. Mối quan hệ giữa vectơ chỉ phƣơng và vectơ pháp tuyến

VIETKHOALUAN.COM
10



i. Nếu đường thẳngd có vectơ pháp tuyến n và vectơ chỉ phương u thì


n.u 0;


Nếu na; b là một vectơ pháp tuyến của đường
thẳngd thì ub; a


hoặc u b;a là một vectơ chỉ phương của đường thẳng


Nếu ua; b là một vectơ chỉ phương của đường thẳngd thì nb; a


hoặc n b;a là một vectơ pháp tuyến của đường thẳngd ;

Hai đường thẳng song song thì có cùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp

tuyến;

Hai đường thẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của đường thẳng này
là vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.

1.3. Phƣơng trình tham số của đƣờng thẳng
Định lý. Trong mặt phẳngOxy , đường thẳngd đi qua điểm Mx0 ; y0 và nhận
vectơ ua; b làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
x x0  at
t R .
d:
 bt
y y0
Nhận xét
Nếu a 0 và b 0 thì phương trình tham số củad x x0
tR. Khi đó,
là
y y0 bt
d là đường thẳng vuông góc với trục Ox , cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng x0 ;
Nếu b 0 và a 0 thì phương trình tham số củad x x0  at
tR. Khi đó,
là
y y0

d là đường thẳng vuông góc với trục Oy , cắt Oy tại điểm có tung độ bằng y0 .

1.4. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng

Định lý. Trong mặt phẳngOxy , đường thẳngd đi qua điểm Mx0 ; y0 và
nhận vectơ u a; ba 0, b 0 làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là

d:
x
 x
0
y
 y
0 .
d ;

VIETKHOALUAN.COM
ab


VIETKHOALUAN.COM
11
Nhận xét. Nếu a 0 hoặc b 0 thì đường thẳngd không có phương trình
chính tắc.
1.5. Phƣơng trình đƣờng thẳng theo hệ số góc
Định nghĩa
Xét đường thẳngd có phương trình tổng quát Ax By C 0 . Nếu B 0 thì
phương trình trên đưa được về dạng y kx m với k B
A
và m
C
B . Khi đó k là hệ
số góc của đường thẳngd và y kx m gọi là phương trình củad theo hệ số góc.
Định lý
Phương trình đường thẳngd đi qua Mx0 ; y0 và có hệ số góc k có dạng:
y y0 kx x0.
1.6. Phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
Định lý
Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát
dạng Ax By C 0 với A2
 B2
 0 .
Trong mặt phẳngOxy , phương trình của đường thẳngd đi qua điểm Mx0 ;
y0 và có vectơ pháp tuyến n A; B 0 làd: A x x0 B y y0 0 .
Nhận xét
Từ phương trìnhd: Ax By C 0 ta luôn suy ra được
Vectơ pháp tuyến củad là nA; B;
Vectơ chỉ phương củad là uB; A hoặc u B;A;
Mx0 ; y0 d Ax0 By0 C 0 .
Mệnh đề3 được hiểu là: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên một đường
thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình của đường thẳng.
Các dạng đặc biệt của phƣơng trình tổng quát
Cho đường thẳngd: Ax By C 0 , với A2
 B2
 0 .

VIETKHOALUAN.COM
12
C
d
i.Nếu A 0 thìd: By C 0 y B . Khi đó đường thẳng  vuông
góc với trục Oy tại điểm có tung độ C ;
B
Nếu B 0 thìd: Ax C 0 x
C
A . Khi đó đường thẳngd
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ
C
A ;
Nếu C 0 thìd: Ax By 0 . Đường thẳngd đi qua gốc tọa độ;
iv. Nếu A, B , C đồng thời khác 0 thìd cắt Ox và Oy tại hai điểm
 C   C  d có thể viết:
M0 ;0 và M1 0;  . Khi đó phương trình
 A   B 
Ax ByC x  y  1x y  1 với a C ;bC . Phương trình
C C a A
 
b B
A B
x

y
 1 a 0, b 0 được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
a b
Hệ quả
Cho đường thẳngd: Ax By C 0 .
i. Nếud'song song vớidthì phương trìnhd '
 có dạng:
Ax By C'
 0 với C '
 C ;
ii. Nếu d '
vuông góc vớid thì phương trìnhd '
 có dạng:
Bx Ay C 0 hoặc Bx Ay C 0 .
1.7. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng
Trong mặt phẳngOxy cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình tổng quát
d1: A1 x B1 y C1 0 vàd 2: A2 x B2 y C2 0 . Vì số điểm chung của hai đường
A x B yC
1, nên từ kết quả của đại số ta có
thẳng bằng số nghiệm của hệ 1 1 1
A2 x B2 yC2
i. Hệ1 vô nghiệmd1 song songd2;

VIETKHOALUAN.COM
ii. Hệ1 có nghiệm duy nhấtd1 cắtd2;

VIETKHOALUAN.COM
13


Hệ1 vô số nghiệmd1 trùng vớid2.

Trong trường hợp A2 , B2 ,C2 đều khác 0, ta có
d1,d2 cắt nhau
A
1
B
1 ;
A2 B2
d1 song songd2
A
1
B
1
C
1 ;
A2 B2 C2
d1 trùng vớid2
A
1
B
1
C
1 .
A2 B2 C2


1.8. Khoảng cách và góc

1.8.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng

 Định lý. Trong mặt phẳng cho đường thẳngd: Ax By C 0 và điểm

Mx0 ; y0. Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳngd , ký hiệu là dM ,d
, được tính bởi công thức dM ,d
Ax
0 By
0 C
.

A
2
B2

1.8.2. Vị trí tƣơng đối của điểm và đƣờng thẳng

Cho điểm Mx0 ; y0 và đường thẳngd: Ax By C 0 .

+ dM ,d 0 M d Ax0 By0 C 0 ;
+ dM ,d 0 M d Ax0 By0 C 0 .

1.8.3. Vị trí tƣơng đối của hai điểm đối với một đƣờng thẳng

Cho đường thẳngd: Ax By C 0 và hai điểm MxM ; y M, Nx N ; yN
không nằm trênd . Khi đó

i. Hai điểm M , N nằm cùng phía đối vớid khi và chỉ khi

AxM ByM CAxN By N C 0 ;

ii. Hai điểm M , N nằm khác phía đối vớid khi và chỉ khi

AxM ByM CAxN By N C 0 .

1.8.4. Phƣơng trình đƣờng phân giác của góc tạo bởi hai đƣờng thẳng cắt

nhau
Oxy

VIETKHOALUAN.COM
14
Cho hai đường thẳng cắt nhau có phương trìnhd1: A1 x B1 y C1 0 và
d 2: A2 x B2 y C2 0 . Khi đó, phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai
đường thẳngd1 vàd2  có dạng
A1 x  B1 y C1

A2 x  B2 y C2
 0 .
A 2
 B 2
A 2
 B 2
1 1 2 2
1.8.5. Góc giữa hai đƣờng thẳng
Định nghĩa. Góc giữa hai đường thẳng là góc không tù tạo bởi hai đường thẳng đó.
Định lý
Cho hai đường thẳngd1: A1 x B1 y C1 0 vàd 2: A2 x B2 y C2 0 . Góc
giữa hai đường thẳngd1 vàd2 được tính bởi công thức
coscosn1 , n2 
n1 .n2

AABB
1 2 1 2
, trong đó n1 , n2 lần lượt là
n. n A 2  B 2 . A 2  B 2
1 2 1 1 2 2
vectơ pháp tuyến củad1 và
d
2 .
Hệ quả
d1 d 2 A1 A2 B1 B2 0 .
Cho hai đường thẳng1: y k1 x m1 và 2: y k 2 x m2 . Khi đó
+1  song song 2
k  k
1 2 ;

m
1 m
2
+1
k k
 trùng với 2 1
2 ;

m
1 m
2
1 cắt 2 k1 k2 ;
1 vuông góc 2 k1 .k21.
Một số bài toán về đƣờng thẳng trong mặt phẳng tọa độ
2.1. Chuyển đổi các dạng phƣơng trình đƣờng thẳng
Ví dụ 1. Cho đường thẳngd: y 2 x5 .
Viết phương trình tổng quát của đường thẳngd .
Viết phương trình tham số của đường thẳngd .
Viết phương trình theo đoạn chắn của đường thẳngd .

VIETKHOALUAN.COM
15
Phân tích
Phương trình tổng quát của đường thẳngd: Ax By C 0 với
A2
 B2
 0 mà phương trình củad là y 2 x 5 nên ta chỉ cần chuyển tất cả các số
hạng của phương trình về một vế.
b) Để đưa phương trìnhd x x0 at
về dạng phương trình tham sốd:
y y0  bt
tR , ta cần tìm được một điểm cố định Mx0 , y0d và một vectơ chỉ phương
a; b của đường thẳngd . Ngoài ra, ta có thể đưa phương trìnhd về dạng phương
trình tham số bằng cách đặt x t , khi đó y 2t 5 , nghĩa là M0;5 và u1; 2 .
Để đưa phương trình củad về dạng phương trình theo đoạn chắn
a
x
 b
y
 1a 0, b 0 , ta cần tìm giao điểm A a;0 củad với Ox và giao điểm
B0;b củad với Oy . Ngoài ra, vì phương trìnhd có dạng y 2 x 5 nên ta có thể
đưa phương trình củad về dạng phương trình theo đoạn chắn bằng cách đưa các số
hạng chứa x, chứa y về cùng một vế và hằng số ở vế còn lại rồi chia hai vế phương trình
cho 5 .
Các bƣớc giải
Để đưa đường thẳngd: y 2 x5 về dạng phương tổng quát, ta cần
chuyển y sang cùng một vế với 2 x 5 , ta được phương trình đúng dạng với dạng của
phương trình tổng quát của đường thẳng.
Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số.
Cách 1
Bước 1. Từ câu a) ta tìm được một vectơ pháp tuyến của đường thẳngd là
2;1;
Bước 2. Từ vectơ pháp tuyến vửa tìm được ta suy ra vectơ chỉ phương của
đườngd là u1; 2 ;
Bước 3. Tìm một điểm M0;5 thuộc đường thẳngd ;
th
ẳng

VIETKHOALUAN.COM
16


chỉ phương và điểm M thuộcd ta suy ra được phương
Bước 4. Từ vectơ
trình

tham số của đường thẳng

Cách 2

Tham số hóa x và y . Đặt x t , thay x t vào phương trình y 2 x 5 ta được

 2t 5 . Vậy ta được phương trình tham số của đường thẳngd .
Ta có hai cách để đưa phương trình đề về dạng phương trình tham số.

Cách 1

Bước 1. Từ phương trình tổng quátd: 2 x y 5 0 , ta chuyển hệ số tự
do 5 sang vế phải, ta được 2 x y 5 ;
Bước 2. Vì phương trình theo đoạn chắn có dạng
x

y
 1 a 0, b 0 nên để
a b

vế phải bằng 1 ta cần chia hai vế của phương trình 2 x y 5 cho 5 . Khi đó, ta được

5
2
x
1
5 y1;


Bước 3. Biến đổi phương trình vừa tìm được về đúng dạng phương trình theo đoạn
chắn
x
 y
 1.

5 5



Cách 2

Ta lần lượt tìm giao điểm của đường thẳngd với trục Ox và Oy . Từ đó suy ra
phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
Bài giải

Ta có: y 2 x 5 2 x y 5 0



Cách 1

Ta cód: 2 x y 5 0


 vtpt nd 2;1 vtcp ud1; 2

Mà M0;5d
d .

VIETKHOALUAN.COM
17
Nên phương trình tham số của đường thẳngd đi qua điểm M0;5 và có
x t
t R .
vtcp ud1; 2 có dạng
y5 2t
Cách 2
Đặt x t tR
Thay x t vào phương trình y 2 x 5 , ta được y 2t
Vậy PTTS của đường thẳngd
x t
có dạng
 2t
y5
Cách 1
5 .

t R .
Ta có: 2 x y 5 0 2 x y 52x y  1x  y  1.
5
5 5 5
2
Đây là phương trình theo đoạn chắn của đường thẳngd .
Cách 2
Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đường thẳngd với Ox , Oy .
 5 
Ta có: A d Ox ; 0 B d Oy 0;5
 2 
Vậy phương trình theo đoạn chắn của đường thẳngd
x y
là   1.
5 5
2
Ví dụ 2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳngdbiết
x 2 t
t R
d:
y 1 2t
Phân tích
Phương trình chính tắc của đường thẳng
d

x x0 y y0
có dạngd: a  b với
a 0, b 0 . Để lập được phương trình đường thẳng dạng chính tắc ta cần có tọa độ một
điểm thuộc đường và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
Các bƣớc giải
Ta có hai cách giải.
Cách 1

VIETKHOALUAN.COM
18
Bước 1. Từ phương trình đề ta tìm được một vectơ chỉ phương của đường thẳng
d là u1;2 ;
Bước 2. Tìm tọa độ một điểm thuộc

d

là M 2;1 ;

Bước 3. Ta lập phương trình chính tắc của đường thẳngd theo dạng
d:
x
 x
0
y
 y
0 .

ab
Cách 2
Bước 1. Từ hai phương trình x 2 t , ta suy ra được t x 2 ; Bước
2. Từ hai phương trình y 1 2t , ta suy ra được t
y


2
1
;
Bước 3. Cho x 2
y


2
1
, biến đổi về đúng dạng, ta tìm được phương trình
chính tắc của đường thẳngd .
Bài giải
 
đi qua điểm M
 
Cách 1. Ta có đường thẳng d 2;1 và có vtcp
Suy rad:
x 2

y1
.
1 2
Vậy phương trình chính tắc của đường thẳngd
x 2

y1
: .
1 2
 x 2 t
t x 2
y 1 x 2

Cách 2. Ta có  y1 x 2  
 y 1 2t t  2 1
2

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳngd
x 2

y1
: .
1 2
1;2.
1
.2
Ví dụ 3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳngd biết
x3 t
t R
d:
 2t
y 6
Phân tích

VIETKHOALUAN.COM
19


Từ phương trình tham số củad ta tìm được vectơ chỉ phương củad , từ vectơ
chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến. Đồng thời, ta tìm một điểm thuộc đường thẳngd ,
như vậy ta có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳngd .

Ngoài ra, ta có thể lập phương trình tổng quát của đường thảngd bằng
cách khác. Chọn một trong hai phương trình, ta tìm t theo biến x hoặc y rồi thế t vào
phương trình còn lại, ta được phương trình tổng quát của đường thẳng.

Các bƣớc giải

Cách 1

Bước 1. Chọn một trong hai phương trình để tìm t theo biến x hoặc y . Giả sử ta
chọn x3 t . Ta tìm được t x 3 ;

Bước 2. Thay t x 3 vào phương trình y 6 2t , rút gọn ta được phương trình
tổng quát 2 x y 0 .
Cách 2
Bước 1. Xác định một điểm thuộc đường thẳngd ;

vectơ chỉ phương của đường thẳngd , từ vectơ chỉ phương suy ra
Bước 2. Xác định một
vectơ pháp tuyến của


Bước 3. Phương trình của đường thẳngd đi qua điểm Mx0 ; y0 và có
vectơ pháp tuyến nA; B có dạngd: A x x0 B y y0 0.

Bài giải

Cách 1

 x3 t t x 3 t x 3
Ta có:

 .

x 3
 y 6  2t  y 6  2 2x y 0

Vậy phương trình tổng quát củad là 2 x y 0 .

Cách 2


Ta có: vtcp ud1;2 vtpt nd2;1 .


Đường thẳngd đi qua M3;6 và có vtpt nd2;1.

Vậy phương trình tổng quát củad là

2 x 3 y 6 0 2 x y 0.

2.2. Thiết lập phƣơng trình đƣờng thẳng
d .

VIETKHOALUAN.COM
20
2.2.1. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và có phƣơng cho trƣớc Ví
dụ 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳngd biếtd đi qua điểm
và có vectơ pháp tuyến n1; 2 .
Phân tích
Phương trình của đường thẳngd đi qua điểm Mx0 ; y0 và có vectơ pháp tuyến
nA; B có dạngd: A x x0 B y y0 0 nên để lập được phương trình tổng quát
của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ pháp tuyến của
đường thẳng đó. Trong ví dụ này, đường thẳng

d

qua M 1;2

và có vectơ pháp tuyến

n 1; 2

, như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tổng quát của đường thẳng.

Các bƣớc giải
Bước 1. Xác định điểm M 1;2

thuộc đường thẳng

d

;

Bước 2. Xác định một vectơ pháp tuyến của đường thẳngd ;
Bước 3. Phương trình của đường thẳngdđi qua điểm Mx0 ; y0 và có vectơ
pháp tuyến nA; Bcó dạngd: A x x0 B y y0 0.
Bài giải
Đường thẳng

d

đi qua điểm M 1;2

và có vectơ pháp tuyến n 1; 2

. Vậy
 
phương trình đường thẳng

d

:1 x 1 2

y 2

 0 x 2 y 3 0 .
 
Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳngdbiếtdqua N3; 2 và
có vectơ chỉ phương u 1; 2

.

Phân tích
Đường thẳngdđi qua điểm Mx0 ; y0và nhận vectơ ua; b làm vectơ chỉ
x x0  at
t Rnên để lập được phương
phương có phương trình tham số làd:
 y0  bt

y
trình tham số của đường thẳng ta cần xác định một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ
chỉ phương của đường thẳng đó. Trong ví dụ này, đường thẳngd qua N3; 2 và có
vectơ chỉ phương u1; 2 , như vậy ta đã có đủ hai yếu tố để lập phương trình tham số
của đường thẳng.
M1;2

VIETKHOALUAN.COM
21



Các bƣớc giải

Bước 1. Xác định điểm N3; 2 thuộc đường thẳngd ;

Bước 2. Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳngd ;

Bước 3. Phương trình của đường thẳngd đi qua điểm Mx0 ; y0







và nhận vectơ

x x0  at
t R.
ua; b làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số làd:
y y0  bt
Bài giải
     
Đường thẳng d đi qua điểm N 3;2 . Vậy
và có vectơ chỉ phương u 1; 2
x3 t
t R.
phương trình đường thẳngd:
2 2t
y

Ví dụ 3. Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường
thẳngd đi qua 2 điểm A2;1 và B4;5.

Phân tích

Để lập được phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳngd ta
cần xác định một điểm thuộc đường thẳng, một vectơ pháp tuyến, một vectơ chỉ phương của
đường thẳngd . Trong ví dụ này, đường thẳngd đi qua hai điểm A và B nên có


vectơ chỉ phương là u d AB , từ vectơ chỉ phương ta suy ra vectơ pháp tuyến nd của
đường thẳngd . Như vậy ta đã có đủ các yếu tố để lập phương trình tổng quát và
phương

trình tham số của đường thẳng

Các bƣớc giải
Phương trình tổng quát
Bước 1. Xác định điểm A 2;1 hoặc B

4;5

thuộc đường thẳng

d

;


d .

VIETKHOALUAN.COM
Bước 2. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳngd , u d
AB6; 4; Bước 3. Từ vectơ chỉ phương suy ra vectơ pháp tuyến
nd4; 6;


VIETKHOALUAN.COM
22
Bước 4. Phương trình của đường thẳngd đi qua điểm Mx0 ; y0 và có
vectơ pháp tuyến na; b có dạngd: ax x0 by y0 0. Từ đó, ta viết
phương trình tổng quát của đường thẳngd .
Phương trình tham số
Bước 1. Xác định điểm A2;1 hoặc B4;5 thuộc đường thẳngd ;
Bước 2. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳngd , u d AB6; 4;
Bước 3. Phương trình của đường thẳngd đi qua điểm Mx0 ; y0 và nhận vectơ
u1 ;u2 làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
x x0  u1t
t R. Từ đó, ta viết phương trình tham số của đường thẳngd .
d:
 u 2 t
y y0
Bài giải
Đường thẳngd qua A2;1 và có vectơ chỉ phương u d AB6; 4
Vậy phương trình tham số của đường thẳngd
x 2 6t
tR.
làd:
 4t
y 1
phương u d AB6; 4 vectơ pháp tuyến
Ta có: vectơ chỉ
nd4; 6
Đường thẳngd qua và có vectơ pháp tuyến nd4; 6
Vậy phương trình tổng quát của đường thẳngd làd: 2 x 3 y 7 0 .
2.2.2. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trƣớc
Ví dụ. Viết phương trình đường thẳngd biếtd đi qua M2; 4 và có hệ
số góc k 2 .
Phân tích
Khi đề bài yêu cầu viết phương trình một đường thẳng thì ta có thể viết phương
trình đường thẳng đó dưới dạng tổng quát. Từ phương trình đường thẳng theo hệ số góc,
ta có thể chuyển nó sang phương trình tổng quát như sau:
y y0 kx x0 kx y y0 kx0 0.
Các bƣớc giải
A2;1

VIETKHOALUAN.COM
Bước 1. Xác định một điểm M2; 4 thuộc đường thẳngd và hệ số góc k 2 ;
Bước 2. Lập phương trình đường thẳngd .

VIETKHOALUAN.COM
23
Bài giải
Đường thẳngd đi qua M2; 4 và có hệ số góc k 2 có dạng
d: y 4 2 x 4

2 x y 4 0
Vậy phương trình đường thẳngd là 2 x y 4 0 .
2.2.3. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và song song hoặc vuông
góc với một đƣờng thẳng cho trƣớc
Hai đường thẳng song song có cùng vectơ chỉ phương và cùng vectơ pháp tuyến.
Hai đường thẳng vuông góc có vectơ chỉ phương của đường thẳng này là vectơ
pháp tuyến của đường thẳng kia và ngược lại.
Viết phương trình đường thẳng Ví dụ
1. dbiết d đi qua A1;2và song song
với đường thẳng : 2 x 3 y 1 0 .
Phân tích
Đường thẳngd song song với đường thẳng nên hai đường thẳng có cùng
vectơ pháp tuyến. Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳngd kết hợp
với giả thiếtdđi qua A1; 2 ta lập được phương trình đường thẳngd .
Các bƣớc giải
Bước 1. Vì đường thẳngd song song với đường thẳng nên phương trình
đường thẳng

d

có dạng 2 x 3 y m 0

m1 ;

Bước 2. Giả thiết điểm A1; 2 thuộc đường thẳngd . Thay tọa độ điểm
A1; 2 vào phương trình 2 x 3 y m 0 , ta tìm được m ;
Bước 3. So điều kiện m1 với giá trị m vừa tìm được. Nếu m1, ta nhận giá
trị m và thay m vào phương trình 2 x 3 y m 0 , ta tìm được phương trình đường thẳng
d thỏa yêu cầu bài toán. Nếu m1, ta loại giá trị m này vì với m1 ta tìm được
phương trình đường thẳngd: 2 x 3 y 1 0 trùng với phương trình đường
thẳng không thỏa yêu cầu bài toán.
Bài giải
  

  
có dạng 2 x 3 y m 0
 
Vì d song song với nên d m1

1;2
  
 2.
 
 3.2 m 0 m4 (nhận).
Ta có: A  d 1

VIETKHOALUAN.COM
24


Thay m4 vào 2 x 3 y m 0 , ta được 2 x 3 y 4 0.

Vậy phương trình đường thẳngd: 2 x 3 y 4 0 .

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳngd biếtd đi qua B3;2 và
vuông góc với đường thẳng : x 2 y 3 0 .

Phân tích







Đường thẳngd vuông góc với đường thẳng nên vectơ chỉ phương của là vectơ pháp tuyến củad . Như vậy, ta tìm được vectơ
pháp tuyến của đường thẳngd kết hợp với giả thiếtd đi qua B3;2 ta lập được phương trình đường thẳng


Các bƣớc giải

Bước 1. Vì đường thẳngd vuông góc với đường
thẳng nên phương trình đường thẳngd có dạng 2 x y m 0 ;

Bước 2. Giả thiết điểm B3;2 thuộc đường thẳng
B3;2 vào phương trình 2 x y m 0 , ta tìm được m ;

Bước 3. Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình 2 x y m 0 , ta tìm được
phương trình đường thẳngd thỏa yêu cầu bài toán.

Bài giải

Vìd vuông góc với nênd có dạng 2 x y m 0
Ta có: B3;2 d 2.3 2 m 0 m4 .

Thay m4 vào 2 x y m 0 , ta được 2 x y 4
0 Vậy phương trình đường thẳng 2 x y 4 0 .

Ví dụ 3. Viết phương trình đường trung trựcd của đoạn thẳng MN biết
M1;1 và N1;9.

Phân tích

Đường thẳngd là đường trung trực của đoạn thẳng MN nên đường thẳngd đi
qua trung điểm của đoạn MN và vuông góc với MN . Do đó, vectơ pháp tuyến củad là
d . Thay tọa độ điểm
d .

VIETKHOALUAN.COM
vectơ chỉ phương của đường thẳng MN . Để lập phương trình đường thẳng ta cần thêm một
điểm thuộc đường thẳngd , điểm đó là trung điểm của MN .

VIETKHOALUAN.COM
25
Các bƣớc giải
Bước 1. Gọi I là trung điểm của MN , tìm tọa độ điểm I bằng công thức tính tọa
độ trung điểm;
Bước 2. Tìm vectơ chỉ phương MN . Suy ra vectơ pháp tuyến n d MN ;
Bước 3. Viết phương trình đường thẳngdđi qua I và có vectơ pháp tuyến
n d MN .
Bài giải
Gọi Ix I ; yIlà trung điểm của MN.
x  xM  xN  11  0
Tọa độ điểm I thỏa

.
I 2 2  I0;4


y M  yN

1 9
 4

y
I
2 2

Vìd vuông góc với MN nên n d MN2;10 .
Phương trình đường thẳngd đi qua I và có vectơ pháp tuyến nd là
2 x 0 10 y 4 0 2 x 10 y 40 0 x 5 y 20 0.
Vậy phương trình đường thẳngd: x 5 y 20 0 .
2.2.4. Phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm và có điều kiện về góc hoặc
khoảng cách
Phƣơng pháp
Đường thẳngd đi qua Mx0 ; y0 và có vectơ pháp tuyến nA; B có dạng
A x x0 B y y0 0 với A2
 B2
 0 ;
Từ điều kiện của góc hay khoảng cách được cho trong giả thiết bài toán, ta tìm ra
một phương trình với hai ẩn A và B . Tìm A , suy ra B hoặc ngược lại. Thay A và B vừa
tìm được vào phương trình A x x0 B y y0 0 , ta được phương trình đường
thẳngd cần tìm.
Ví dụ 1. Cho hai điểm M1; 2 và N3;5. Viết phương trình đường
thẳngd đi qua M biết rằng khoảng cách từ N đến đường thẳngd bằng 3.

VIETKHOALUAN.COM
26
Phân tích
Giả sử đường thẳngd có phương trình là A x xM By yM 0
A2 B2 0. Từ giả thiết khoảng cách từ điểm B đến đường thẳngd bằng 3 , ta sử

dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, tìm ra một phương trình
hai ẩn là A, B , giải phương trình đó ta tìm được vectơ pháp tuyến nd của đường thẳng
d . Khi đó, ta lập được phương trình đường thẳngd đi qua điểm M và có vectơ pháp
tuyến nd .
Các bƣớc giải
Bước 1. Viết phương trình của đường thẳngd đi qua điểm M1; 2 và có
vectơ pháp tuyến nA; B có dạngd: A x 1 By 2 0A2 B2 0
Ax By A 2 B 0 ;
Bước 2. dN ; d 3. Giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp tuyến
A;B;
Bước 3. Viết phương trình đường thẳngd .
Bài giải
Đường thẳngd đi qua điểm M1; 2 và có vectơ pháp tuyến nA; B có dạng
d: A x 1 By 2 0A2 B2 0 Ax By A 2 B 0

Ta có: dN ,d 3
 3A5B A2B3
A
2
B2
4A3B3 A2
 B2


16A2
 24AB9B2
 9A2
9B2


7A2
 24AB 0
A0
A0

24B


7A24B 0  A
7

Trường hợp 1. A 0 , vì A2
 B2
 0 nên chọn B 1

VIETKHOALUAN.COM
27
Thay A 0; B 1 vàod: Ax By A 2 B 0 , ta được phương trình đường
thẳngd: y 2 0.
Trường hợp 2. A24B , vì A2
 B2
 0 nên chọn B1 A24
7 7
A24 
d

: Ax By A 2 B 0 , ta được phương trình đường
Thay
7 ;B1
vào
thẳngd:
24
7 x y
38
7 0 .
Ví dụ 2. Cho ba điểm M3;0 , N5; 4 , P10; 2 . Viết phương trình đường thẳng
d qua P và cách đều M , N .
Phân tích
Giả sử phương trình đường thẳngd đi qua điểm P có dạng
A x xP B y y P 0, A2
 B2
 0. Giả thiết đường thẳngd cách đều hai điểm M
và N , điều này có nghĩa là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳngd bằng với
khoảng cách từ điểm N đến đường thẳngd . Ta sử dụng công thức khoảng cách từ một
điểm đến một đường thẳng, tìm ra một phương trình hai ẩn là A và B , giải phương trình
tìm được vectơ pháp tuyến nd của đường thẳngd . Khi đó, ta lập được phương trình
đường thẳngd đi qua điểm P và có vectơ pháp tuyến nd .
Các bƣớc giải    
Bước 1. Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm P 10; 2 và có vectơ
pháp tuyến nA; B có dạngd: A x 10 B y 2 0, A2 B2  0
 Ax By 10 A 2 B 0 ;
Bước 2. dM ; d dN ;d. Giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp
tuyến nA; B;
Bài giải
Đường thẳngd đi qua điểm P10; 2 và có vectơ pháp tuyến nA; B có dạng
d: A x 10 B y 2 0, A2 B2 0

Ax By 10 A 2 B 0
Ta có: đường thẳngd cách đều hai điểm M , N
dM ; d dN ;d
 3A10A 2B 3A10A 2B
A2
B2
A2
B2

VIETKHOALUAN.COM
28
7A2B15A 2B
7A 2B15A 2B

7A 2B15A 2B
8A4B0 2AB0

AB

 
 
2
22A 0 A0 
A0
Trường hợp 1. A 0 , vì A2
 B2
 0 nên chọn B 1 .
Thay A 0; B 1 vàod: Ax By 10 A 2 B 0 , ta được phương trình đường
thẳngd: y 2 0 .
Trường hợp 2. A
B
2 , vì A2
 B2
 0 nên chọn B 2 A1
Thay A 1; B 2 vàod: Ax By 10 A 2 B 0 , ta được phương trình đường
thẳngd: x 2 y 14 0 .
Nhận xét
Ngoài ra, ta có thể sử dụng tính chất hình học tổng hợp để giải bài toán trên.Vì
không thẳng thàng nên ta chia hai trường hợp.
Trường hợp 1
và N cùng phía với đường thẳngd mà hai điểm M , N cách đều đường thẳng
d nên MN song song với đường thẳngd . Kết hợp với giả thiết đường thẳngd đi
qua điểm P , ta lập được phương trình đường thẳngd đi qua điểm P và song song với
MN .
Trường hợp 2
M,N,P

VIETKHOALUAN.COM
29


và N khác phía với đường thẳngd mà hai điểm M , N cách đều đường thẳng
d nênd đi qua trung điểm của MN . Vậy đường thẳngd đi qua điểm P và trung

điểm của MN .
Ví dụ 3. Cho hai đường thẳngd1: x y 1 0 vàd 2: 2 x y 2
0 . Viết phương trình đường thẳngd3 đối xứng vớid2 quad1.





















Phân tích
hai đường thẳngd1 vàd2 cắt nhau, vì đường thẳngd3 đối
Nhận thấy
xứng


với đường thẳng qua đường thẳngd1 nên giao điểm của hai đường thẳngd1 và

d2cũng thuộc đường thẳngd3.

Vì đường thẳngd3 đối xứng với đường thẳngd2 qua đường thẳngd1 nên
mọi điểm thuộc đường thẳngd1 đều cách đều hai đường thẳngd2 vàd3. Giả sử

d1, ta có dM ,d 3 dM ,d2, giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp


tuyến nd của đường thẳngd3. Khi đó, ta lập được phương trình đường thẳngd3
đi qua giao điểm của hai đường thẳngd1,d2 và có vectơ pháp tuyến nd .

Các bƣớc giải

Bước 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳngd1 vàd2, ta được hai
đường thẳngd1 vàd2cắt nhau;

giao điểm của hai đường thẳngd1 vàd2, tìm tọa độ
Bước 2. Gọi I là
điểm I bằng cách giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳngd1 vàd2.
Suy ra I

d3
d2

VIETKHOALUAN.COM
cũng thuộc đường thẳng



tuyến

Bước 3. Viết phương trình của đường thẳngd3 đi qua điểm I và có vectơ pháp


nA; B có dạngd: A x xA B y yA 0A2 B2 0 ;

VIETKHOALUAN.COM
30
Bước 4. Tìm điểm M0;1 thuộc đường thẳngd1;
Bước 5. Vì đường thẳngd3 đối xứng với đường thẳngd2 qua đường thẳng
d1nên dM ,d 3 dM ,d2. Giải phương trình này ta tìm được vectơ pháp tuyến
nA; B;
Bước 6. Viết phương trình đường thẳngd3.
Bài giải
Xét hai đường thẳngd1: x y 1 0 vàd 2: 2 x y 2 0 .
Ta có:
1

1
d1,d2cắt nhau.
2 1
Gọi I d1d2 . Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
 x y 1 0

 x y 1 x1
.
 
 y 2

0
 2 x y 2 0  2x y
 
Vậy I 1;0 .
Vìd3 đối xứngd2 quad1 nên I1;0d3.

Phương trình đường thẳngd3 đi qua điểm I1;0 và có vectơ pháp tuyến
n
    
 B

y 0

 0

B2
0

 Ax By A 0 .
A; B có dạng d : A x 1 A2
Gọi M0;1d1
d3 đối xứngd2 quad1 dM ,d 3 dM ,d2
 B A 2.012
A2
B2
22
12

B A

1
A2
B2
5
1
B A  A2
B2
2
5
 2  1 2 2
B A 
 A  B 
 5 
4 A2
2AB 4 B2
0

*
5 5 
Trường hợp 1. A 0 B 0 (không thỏa A2
 B2
 0 )
Trường hợp 2. A 0 . Chia hai vế phương trình
 
cho A2
*

VIETKHOALUAN.COM
31
 B

1 
B1
4 B 4 B2
 A
A 2
*  2    0  
2
5 A 5  A 
B

  2 B2A
 A
Với B
1 A , chọn A2B1.
2
Thay A 2; B 1 vàod: Ax By A 0 , ta được phương trình đường thẳng
d: 2 x y 2 0 .
Với B 2 A , chọn A 1 B 2 .
Thay A 1; B 2 vàod: Ax By A 0 , ta được phương trình đường thẳng
d: x 2 y 1 0 .
Ví dụ 4. Viết phương trình đường thẳngd biếtd qua K2;0 và tạo
với đường thẳng : x 3 y 3 0 một góc 450
.
Phân tích
Từ giả thiết đường thẳngd tạo với đường thẳng : x 3 y 3 0 một góc
450
, ta sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng, tìm ra một phương trình hai ẩn, giải
phương trình tìm được vectơ pháp tuyến nd của đường thẳngd . Khi đó, ta lập được
phương trình đường thẳngd đi qua điểm K2;0 và có vectơ pháp tuyến nd .
Các bƣớc giải
Bước 1. Viết phương trình của đường thẳngd đi qua điểm K2;0 và có
vectơ pháp tuyến nA; B có dạngd: A x 2 By 0 0A2 B2 0
Ax By 2 A 0 ;
Bước 2. cosd,
cos
n
 d
, n
 
n
 d
.n

. Giải phương trình này ta tìm
n . n
được vectơ pháp tuyến nA; B;
 d 
Bài giải
Đường thẳngd đi qua điểm K2;0và có vectơ pháp tuyến nA; B có dạng
d: A x 10 B y 2 0A2 B2 0 Ax By 2 A 0

Ta có: cosd, cos 450
 cos
n
 d
, n

2
2

VIETKHOALUAN.COM
32
n
d
.n

 
2
n
 d .
n

 2
A3B
  2
2
A1
2
 B1
2
. 10
A3B 5A2 B2

A2
 6AB9B2
 5A2
5B2


2A2
3AB 2B2
 0.*
Trường hợp 1. A 0 B 0 (không thỏa A2
 B2
 0 )
Trường hợp 2. A0 . Chia hai vế phương trình
 
cho A2
, ta có:
*
 B 1
B B2
  
B1 A
A 2
Pt* 2 3  2
  0  2 .
A  A  B 
 2 B2A
 A
Với B 1A , chọn A2B1.
2
Thay A 2; B 1 vàod: Ax By 2 A 0 , ta được phương trình đường thẳng
d: 2 x y 4 0 .
Với B2 A , chọn A 1 B2.
Thay A 1; B2 vàod: Ax By 2 A 0 , ta được phương trình đường thẳng
d: x 2 y 2 0 .
2.2.5. Phƣơng trình đƣờng thẳng khi biết vectơ pháp tuyến (hệ số góc) và một
điều kiện về khoảng cách hoặc góc
Phƣơng pháp
Nếu giả thiết cho vectơ pháp tuyến na; b, ta gọi phương trình
d: ax by c 0;
Nếu giả thiết cho hệ số góc k , ta gọi phương trìnhd: y kx
m ; Từ điều kiện về khoảng cách hoặc góc, ta suy ra c hoặc m .
Ví dụ. Viết phương trình đường thẳngd song song với đường thẳng
 : x y 2 0 và cách một khoảng bằng 3 2 .


VIETKHOALUAN.COM
Phân tích

VIETKHOALUAN.COM
33
Vì đường thẳngd song song với đường thẳng nên vectơ pháp tuyến
của cũng là vectơ pháp tuyến củad . Phương trình đường thẳngd có dạng
d: x y m 0 ,m 2. Đường thẳngd song song với đường thẳngnên khoảng
cách từ đếnd bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng đến
đường thẳngd . Ta dễ dàng tìm được một điểm M thuộc đường thẳng, khi đó
khoảng cách từ M đếnd bằng 3 2 , sử dụng công thức tính khoảng cách, ta lập được
một phương trình có ẩn m , giải phương trình này ta tìm được m. Như vậy, ta tìm được
phương trình đường thẳngd thỏa yêu cầu bài toán.
Các bƣớc giải
Bước 1. Lập phương trình đường thẳngd song song với. Đường
thẳngd có dạng x y m 0m 2;
Bước 2. Tìm điểm M.
Bước 3. d , d 3 2 dM , d 3 2 . Giải phương trình này ta tìm được
m.
Bước 4. So sánh giá trị m vừa tìm được với điều kiện m 2 . Nếu m 2 , ta nhận
giá trị m và thay m vào phương trình x y m 0 , ta tìm được phương trình đường
thẳngd thỏa yêu cầu bài toán. Nếu m 2 , ta loại giá trị m này vì với m 2 ta tìm được
phương trình đường thẳngd: x y 2 0 trùng với phương trình đường thẳng
không thỏa yêu cầu bài toán.
Bài giải
Phương trình đường thẳngd song song với : x y 2 0 có dạng
d: x y m 0 ,m 2 .
Gọi M0;2
Ta có: d , d 3 2
dM , d 3 2

m 
2
2
 3 2 m 2
m 8
 6
m4 (nhận)
Vậy có hai đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán
d1: x y 8 0 vàd 2: x y 4 0 .
2.2.6. Phƣơng trình đƣờng thẳng đƣợc thiết lập bằng phƣơng pháp quỹ tích
Phƣơng pháp

VIETKHOALUAN.COM
34
Giả sử cần lập phương trình đường thẳngd . Gọi Mx; y là điểm bất kì thuộc
đường thẳngd . Từ giả thiết bài toán đưa ra, ta tìm được phương trình với hai ẩn x và
y. Đó chính là phương trình của đường thẳngd .
Ví dụ. Cho hai đường thẳngd1: x 2 y 1 0 vàd 2: x 2 y 3
0 . Viết phương trình đường thẳng cách đềud1 vàd2.
Phân tích
Đường thẳng cách đều hai đường thẳngd1,d2 nên khoảng cách từ một
điểm bất kì thuộc đường thẳng đến hai đường thẳngd1,d2 là bằng nhau. Từ đó, sử
dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta tìm được một
phương trình hai ẩn x và y. Đó chính là phương trình đường thẳng cần tìm.
Các bƣớc giải
Bước 1. Gọi điểm M bất kì thuộc;
Bước 2. d ,d1 d ,d 2 dM ,d1 dM ,d2, biến
đổi ta được một phương trình hai ẩn x và y . Đây là phương trình đường thẳng thỏa
yêu cầu bài toán.
Bài giải
Gọi Mx; y
Ta có: d ,d1 d,d2
 dM ,d1 dM ,d2
 x 2 y 1 x 2 y 3
1222
1222
 x 2 y 1 x 2 y 3
x 2 y 1 x 2 y 3

x 2 y 1 x 2 y 3

1 3

1
 x 2 y 2  0. (vì (1) vô lý)


2x4 y 4 0

VIETKHOALUAN.COM
35
Vậy phương trình đường thẳng là x 2 y 2 0 .
Nhận xét
Bài toán trên có thể đưa về bài toán lập phương trình đường thẳng khi biết vectơ
pháp tuyến và một điều kiện về khoảng cách. Dễ thấyd1 song songd2, cách
đều hai đường thẳngd1,d2 nên có cùng vectơ pháp tuyến vớid1,d2. Từ
đó, lập phương trình đường thẳng khi biết vectơ pháp tuyến : x 2 y m 0
m 1, m 3 , sử dụng giả thiết bài toán tìm m . Như vậy, ta tìm được phương trình
đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.
2.2.7. Phƣơng trình đƣờng phân giác của góc tạo bởi hai đƣờng thẳng cắt
nhau
Ví dụ. Cho tam giác ABC có A1;1 , B3;2 , C0;1 . Viết phương trình tổng
quát các đường phân giác trongAD và phân giác ngoàiAE của góc BAC . Trong đó,
D,E lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài trên BC.
Phân tích
Hai đường thẳngAB ,AC cắt nhau có phương trình lần lượt là
AB : A1 x B1 y C1 0 vàAC: A2 x B2 y C2 0 . Khi đó, phương trình hai đường
phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳngAB ,AC có dạng
A1 x B1 y C1 A2 x  B2 y C2  0 . Như vậy, để viết được phương trình đường phân giác
A2  B 2
A2  B 2
1 1 2 2
thỏa yêu cầu bài toán, ta cần tìm hai phương trình đường thẳngAB ,AC.
Các bƣớc giải
Bước 1. Viết phương trình đường thẳngAB và phương trình đường
thẳngAC; Bước 2. Lập phương trình các đường phân giác của góc A ;
Bước 3. Xét vị trí tương đối của hai điểm B, C với hai đường phân giác, ta suy ra
phương trình đường phân giác trong và ngoài của góc A .
Bài giải
Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳngAB là u AB4;3

VIETKHOALUAN.COM
36
vectơ pháp tuyến n AB 3;4 .
Đường thẳngAB đi qua A1;1 và có vectơ pháp tuyến n AB 3;4
ptđtAB : 3 x 4 y 1 0 .
Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳngAC là u AC1; 0 vectơ pháp
tuyến n AC0;1.
Đường thẳngAC đi qua A1;1 và có vectơ pháp tuyến n AC0;1.
ptđtAC: y 1 0
Phương trình hai đường phân giác của góc BAC là
3 x 4 y 1 y1  3 x 4 y 15 y1 .
3242
 02
12  
Suy ra hai đường phân giác làd1: x 3 y 2 0 vàd 2: 3 x y 4 0.
Xét hai điểm B3;2,C 0;1 và đường th ẳng d1: x3 y 20.
Ta có: xB3 y B 2 xC3 yC 250
B , C nằm khác phía so với đường thẳngd1.

d1 là đường phân giác trongAD.

d2 là đường phân giác ngoàiAE.
Nhận xét
Ngoài cách giải như trên, ta có thể giải bài toán bằng cách dựa vào tính chất đường
phân giác trong của tam giác để tìm tọa độ chân đường phân giác trong. Khi đó, bài toán
tìm phương trình đường phân giác trong trở thành bài toán viết phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm. Như vậy ta tìm được phương trình đường phân giác trong. Đồng thời ta sử
dụng tính chất hai đường phân giác trong và ngoài vuông góc với nhau để lập phương
trình đường phân giác ngoài.

VIETKHOALUAN.COM
37
Các bƣớc giải
Bước 1. Gọi Dx; y là chân đường phân giác trong của góc A . Tìm tọa độ D bằng
hệ thức DB AC
AB
 DC ;
Bước 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và D . Đó là phương
trình đường phân giác trong;
Bước 3. Viết phương trình đường phân giác ngoài đi qua A và vuông góc với đường
phân giác trong.
2.2.8. Các ví dụ tổng hợp
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC , biết A1;1 , B2;1 , C3;5
Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB , BC , AC .
Viết phương trình đường caoAH của tam giác ABC .
Viết phương trình đường trung tuyếnAM của tam giác ABC .
Phân tích
Đường thẳng đi qua hai điểm cho trước nhận vectơ tạo bởi hai điểm đó làm
VTCP.

VIETKHOALUAN.COM
38
b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH BC , suy ra VTCP của
BC là VTPT củaAH. Bài toán trở thành viết ptđt qua điểm A và có VTPT
n
 AH u
BC
.
Vì M là trung điểm của BC nên ta dễ dàng tìm được tọa độ điểm M bằng
công thức tính tọa độ trung điểm. Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng đi
qua hai điểm A và M .
Các bƣớc giải
Bước 1. Tìm VTCP AB , suy ra VTPT n AB ;
Bước 2. Viết phương trình đường thẳngAB đi qua A1;1 và có VTPT n AB .
Tương tự viết ptđtAC,BC .
Bước 1. Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC ;
Bước 2. Ta có AH BC n AH uBC ;
Bước 3. Viết ptđtAH đi qua A1;1 và có VTPT n AH .
Bước 1. Gọi M là trung điểm của BC , tìm tọa độ điểm M bằng công thức
tìm tọa độ trung điểm;
Bước 2. Tìm VTCP AM , suy ra VTPT n AM ;
Bước 3. Viết ptđtAM đi qua A1;1 và có VTPT n
AM . Bài giải
Đường thẳngAB VTCP u AB3; 2 VTPT nAB2;3 .
Phương trình đường thẳngAB đi qua điểm A1;1 và có VTPT nAB2;3
có dạngAB : 2 x 3 y 1 0 .
Đường thẳngAC có VTCP u AC2; 6 VTPT n AC 6;2 .
Phương trình đường thẳngAC đi qua điểm A1;1 và có VTPT n AC
6;2 có dạngAC: 3 x y 4 0 .
Đường thẳngBC có VTCP u BC5; 4 VTPT nBC4;5 .

VIETKHOALUAN.COM
39
Phương trình đường thẳngBC đi qua điểm B2;1 và có VTPT
nBC4;5 có dạngBC:4 x 5 y 13 0 .
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác
ABC .
Suy raAH đi qua và vuông góc vớiBC:4x 5y13 0.
VìAH vuông góc vớiBC:4 x 5 y 13 0 nên phương trình đường thẳng
AH có dạng 5 x 4 y m 0
A1;1 AH 5.1 4.1 m 0 m1.
Thay m1 vào 5 x 4 y m 0 ta đượcAH: 5 x 4 y 1 0 .
Gọi M là trung điểm của BC .

x  x B  xC 

1
1 
 M 2 xM

y B  yC
 2  M ;3  .
 

 2 

y
M
2

y
M 3

Đường thẳngAM đi qua A1;1  1 
và có VTCP u AM
 ; 4  VTPT
2
 
n 4;1

.

AM
2

 
Phương trình đường thẳng AM: 4 x
1
y
7
 0 .
2 2
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A2; 2 và trực tâm H , phương trình các đường
caoBH vàCH lần lượt là 9 x 3 y 4 0 và x y 2 0 .
Viết phương trình đường thẳngAB và đường thẳngAC.
Viết phương trình đường thẳngAH.
Phân tích
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AB CH . Đường thẳngAB vuông góc
với đường thẳngCH nên vectơ chỉ phương củaCH là vectơ pháp tuyến của
AB. Như vậy, ta tìm được vectơ pháp tuyến của đường thẳngAB kết hợp với giả thiết
AB đi qua A2; 2 ta lập được phương trình đường thẳngAB.
A1;1

VIETKHOALUAN.COM
Với cách giải tương tự, ta tìm được phương trình đường thẳngAC.

VIETKHOALUAN.COM
40
Vì H là trực tâm nên H là giao điểm của hai đường caoBH vàCH. Từ đó, ta
tìm được tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình gồm hai phương trình đường cao.
Bài toán viết phương trình đường thẳngAHtrở thành bài toán viết phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm A và H .
Các bƣớc giải
Bước 1. VìAB vuông góc vớiCH nên phương trình đường thẳngAB
có dạng: x y m 0 ;
Bước 2. Giả thiết điểm A2; 2 thuộc đường thẳngAB. Thay tọa độ
điểm A2; 2 vào phương trình x y m 0 , ta tìm được m;
Bước 3. Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình x y m 0 , ta tìm
được phương trình đường thẳngAB thỏa yêu cầu bài toán.
Với cách giải tương tự, ta tìm được phương trình đường thẳngAC.

 3 y 4
9 x
, ta tìm được tọa độ điểm H;
b) Bước 1. Giải hệ phương trình
x y 2
Bước 2. Tìm vectơ chỉ phương AH , suy ra vectơ pháp tuyến n AH ;
Bước 3. Viết ptđtAH đi qua A2; 2  và có VTPT n AH .
Bài giải
dạng:
dạng:
VìAB vuông góc vớiCH nên phương trình đường thẳngAB có
x y m 0 .
Ta có: A 2; 2 AB2 2 m 0 m 0.
Thay m 0 vào x y m 0 , ta được x y 0 .
Vậy ptđtAB : x y 0 .
VìAC vuông góc vớiBH nên phương trình đường thẳngAC có
3 x 9 y m 0 .
Ta có: A 2; 2 AC 2.2 9.2 m 0 m22.
Thay m22 vào 3 x 9 y m 0 , ta được 3 x 9 y 22 0 .
Vậy phương trình đường thẳngAC: 3 x 9 y 22 0 .

VIETKHOALUAN.COM
41
Ta có: H BHCH. Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
9 x 3 y 4

x
5
6 5 7
 
 
7
 H ; .
6
x y 2   6
 y
6

 7 5 
Đường thẳngAH qua A2; 2 và có VTCP u AH ;  .
6 6
 
5 7 1
5; 7.
Suy ra VTPT nAH ; 
6 6 6
 
Phương trình đường thẳngAH: 5 x 2 7y 2 0 5 x 7 y 4 0.
2.3. Vị trí tƣơng đối
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳngd1 vàd2. Nếu chúng
cắt nhau thì tìm tọa tộ giao điểm của chúng.
a) d1: 2 x 3 y 1 0 ,d 2: 4 x 5 y 6 0 .
d1: 4 x
c)d1
x
:

y
y 2 0 ,d 2:8 x 2 y 1 0 .
 5 t t R,d 2: x 3 y 4 0 .
1 2t
Bài giải
Xét hai đường thẳngd1: 2 x 3 y 1 0 vàd 2: 4 x 5 y 6 0 .
Ta có:
2
4 5
3
d1 vàd2 cắt nhau.
Gọi A d1d2. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
 2 x 3 y 1 0
 23
x  23 

 0
 2  A ;8
.
4 x 5 y 6   2 
y8
Xét hai đường thẳngd1: 4 x y 2 0 vàd 2:8 x 2 y 1 0 .
Ta có:
4

1

2
 d1 song song vớid2.
8 2 1
 x 5 t t x 5
c) Ta có:d1 :

2 x y 9 0 .
y 1 2t
t R
y1 2 x5
 


VIETKHOALUAN.COM
42
Xét hai đường thẳngd1:2 x y 9 0 vàd 2: x 3 y 4 0 .
Ta có:
1
2

3
1
d1,d2 cắt nhau.
Gọi B d1d2. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:
2 x y 9 0

x23
5 23 1 


 0

1
 B ; .
x 3 y 4   55 
 y
5

Ví dụ 2. Cho M3;0 và đường thẳngd: 2 x y 1 0 .
Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳngd .
Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳngd .
Viết phương trình đường thẳngD đối xứng vớid qua M .
Phân tích
Giả thiết cho tọa độ điểm M3;0 và phương trình đường thẳng
d: 2 x y 1 0 . Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường
thẳng, ta tìm được khoảng cách từ điểm M đến đường thẳngd .
b) Điểm N đối xứng với điểm M qua đường thẳngd nên đường thẳngd là
đường trung trực của đoạn thẳng MN , suy ra đường thẳngd vuông góc với đoạn
thẳng MN tại trung điểm E của đoạn MN.
Để tìm được tọa độ điểm N ta cần tìm tọa độ trung điểm E. Vì E là giao điểm của
đường thẳngd và MN nên tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình gồm hai phương
trình đường thẳngd và đường thẳngMN. Ta dễ dàng lập được phương trình

VIETKHOALUAN.COM
43


đường thẳngMN
phương trình ta tìm
để tìm tọa độ điểm


đi qua điểm M3;0 và vuông góc với đường thẳngd . Giải hệ
được tọa độ điểm E . Từ đó, ta áp dụng công thức tọa độ trung điểm
.

Vì đường thẳngD đối xứng với đường thẳngd qua điểm M nên đường
thẳngD song song với đường thẳngd và bất kì điểm nào thuộc đường thẳng
d cũng có điểm đối xứng qua điểm M thuộc đường thẳngD . Ta tìm một điểm P tùy

thuộc đường thẳngd , suy ra tọa độ điểm Q đối xứng với điểm P qua điểm M và
điểm Q thuộc đường thẳngD . Ta có M là trung điểm của PQ , dễ dàng tìm được tọa

độ điểm Q . Mặt khác, vì đường thẳngD song song với đường thẳngd nên ta tìm
được phương trình đường thẳngD đi qua điểm Q và song song với đường thẳngd .













Các bƣớc giải

a) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng

d: Ax By C 0 là dM ,d

Ax0 By0 C

A
2
B2


thực hiện tính toán và kết luận.

Bước 1. Viết phương trình đường thẳngMN đi qua điểm M3;0
và vuông góc với đường thẳngd: 2 x y 1 0 ;

Bước 2. Gọi E là giao điểm của đường thẳngd và đường thẳng . Tìm tọa

độ điểm E bằng cách giải hệ phương trình gồm hai phương trình
đường thẳngd và

đường thẳng

Bước 3. Vì N đối xứng với M qua đường thẳngd nên E là trung điểm của
MN. Áp dụng công thức tính tọa độ trung điểm, ta suy ra tọa độ điểm N cần tìm;
MN;
MN

VIETKHOALUAN.COM
Bước 4. Kết luận.

Bài mẫu Khóa luận tốt nghiệp ngành sư phạm toán, HAY, 9 ĐIỂM

Bài mẫu Khóa luận tốt nghiệp ngành sư phạm toán, HAY, 9 ĐIỂM

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Bài mẫu Khóa luận tốt nghiệp ngành sư phạm toán, HAY, 9 ĐIỂM

Similar to Bài mẫu Khóa luận tốt nghiệp ngành sư phạm toán, HAY, 9 ĐIỂM (18)

More from Viết Thuê Khóa Luận _ ZALO 0917.193.864 default

More from Viết Thuê Khóa Luận _ ZALO 0917.193.864 default (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Bài mẫu Khóa luận tốt nghiệp ngành sư phạm toán, HAY, 9 ĐIỂM