1. Dokumen ini membahas tentang geseran (translasi) sebagai transformasi geometri. Geseran adalah hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.
2. Beberapa teorema yang dijelaskan antara lain teorema yang menyatakan bahwa geseran adalah isometri, komposisi geseran dan setengah putaran adalah setengah putaran, dan balikan dari geseran GAB adalah GBA.
3. Contoh soal juga d
Dokumen tersebut membahas tentang isometri lanjutan yang merupakan kelanjutan dari isometri dasar. Terdapat empat jenis isometri dasar yaitu reflexi pada garis, translasi, rotasi, dan reflexi geser. Dokumen ini menjelaskan hasil kali dari dua isometri dasar tersebut dapat menghasilkan isometri baru seperti reflexi atau reflexi geser. Selain itu, dibahas pula teorema-teorema terkait is
Dokumen tersebut merangkum materi tentang ruas garis berarah yang mencakup definisi, sifat-sifat, dan teorema-teorema yang terkait. Secara ringkas, dokumen tersebut membahas tentang:
1) Definisi ruas garis berarah dan sifat-sifat yang sederhana seperti kongruensi dan kesetaraan ruas garis berarah
2) Teorema yang menyatakan hubungan antara kesetaraan ruas garis berarah dengan s
1. Dokumen ini membahas tentang geseran (translasi) sebagai transformasi geometri. Geseran adalah hasil kali dua pencerminan pada dua garis yang sejajar.
2. Beberapa teorema yang dijelaskan antara lain teorema yang menyatakan bahwa geseran adalah isometri, komposisi geseran dan setengah putaran adalah setengah putaran, dan balikan dari geseran GAB adalah GBA.
3. Contoh soal juga d
Dokumen tersebut membahas tentang isometri lanjutan yang merupakan kelanjutan dari isometri dasar. Terdapat empat jenis isometri dasar yaitu reflexi pada garis, translasi, rotasi, dan reflexi geser. Dokumen ini menjelaskan hasil kali dari dua isometri dasar tersebut dapat menghasilkan isometri baru seperti reflexi atau reflexi geser. Selain itu, dibahas pula teorema-teorema terkait is
Dokumen tersebut merangkum materi tentang ruas garis berarah yang mencakup definisi, sifat-sifat, dan teorema-teorema yang terkait. Secara ringkas, dokumen tersebut membahas tentang:
1) Definisi ruas garis berarah dan sifat-sifat yang sederhana seperti kongruensi dan kesetaraan ruas garis berarah
2) Teorema yang menyatakan hubungan antara kesetaraan ruas garis berarah dengan s
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
This document contains exercises and solutions related to monotone sequences, convergent subsequences, and the Bolzano-Weierstrass theorem from an introduction to real analysis course. It includes 4 problems examining properties of specific sequences, showing whether they are bounded/monotone and finding their limits, as well as examples of an unbounded sequence with a convergent subsequence and sequences that diverge. The solutions provide detailed proofs of the properties of each sequence using induction and algebraic manipulations.
Makalah ini membahas tentang pencerminan (refleksi) pada bidang datar. Definisi pencerminan dijelaskan sebagai fungsi yang memetakan titik ke titik lain sehingga membentuk sudut yang sama dengan sumbu refleksi. Sifat-sifat pencerminan seperti surjektif, injektif, dan melestarikan jarak juga dibuktikan sehingga pencerminan merupakan transformasi isometri. Contoh soal pencerminan juga diberikan unt
Ringkuman dari dokumen tersebut adalah:
1. Definisi ring polinomial atas suatu ring komutatif R adalah himpunan semua ekspresi polinomial dengan koefisien dari R.
2. Jika R adalah ring, maka himpunan ring polinomial R[x] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial adalah ring.
3. Jika D adalah daerah integral, maka ring polinomial D[x] juga merupakan daerah integral.
powerpoint ini dibuat untuk tugas presentasi mata kuliah Geometri Analitik bab 4 tentang ellips. dalam slide terdapat penjelasan tentang:
apa itu elips?
bagaimana menggambar elips?
bagaimana menemukan persamaan elips pada sumbu o(0,0)
bagaimana perbandingan elips vertikal dan ellips horizontal
bagaimana persamaan elips pada sumbu S(g,h)
serta dilengkapi contoh soal dan soal latihan
semoga bermanfaan :)
1. Definisi grup, subgrup, koset kanan dan kiri, relasi ekivalensi, dan indeks subgrup.
2. Teori Lagrange menyatakan bahwa orde subgrup membagi habis orde grup.
3. Fungsi phi Euler dan akibatnya terkait bilangan yang relatif prima.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang:
1. Pengantar analisis real yang membahas supremum dan infimum serta barisan bilangan real
2. Menguraikan definisi dan teorema terkait supremum, infimum, himpunan terbatas, dan sifat-sifatnya
3. Mengjelaskan pengertian barisan bilangan real, konvergensi, dan limitnya
1. Dokumen tersebut membahas tentang batas atas, batas bawah, infimum, dan supremum dari beberapa himpunan. Terdapat pembuktian bahwa 0 adalah batas bawah S2 dan S2 tidak memiliki batas atas. Juga terdapat pembuktian bahwa inf S2 dan sup S3 ada.
1. Integral kompleks merupakan integral fungsi bernilai kompleks di sepanjang lintasan tertentu.
2. Terdapat sifat-sifat integral kompleks seperti integral lintasan yang berlawanan akan meniadakan dan nilai integral kompleks untuk lingkaran berpusat di suatu titik bernilai iπ.
3. Integral kompleks dapat digunakan untuk menghitung nilai integral di sepanjang lintasan yang terdiri dari beberapa penggal garis.
Dokumen tersebut membahas tentang elipsoida dan hiperboloida. Elipsoida adalah bentuk permukaan yang dihasilkan dari gerakan ellips pada bidang-bidang tertentu, sedangkan hiperboloida dihasilkan dari gerakan ellips atau hiperbola. Dokumen ini menjelaskan persamaan-persamaan yang mendefinisikan kedua bentuk permukaan tersebut beserta sifat-sifat sederhananya.
KOSET GRUP , DALAM MAKALAH INI TERDAPAT PEMBAHASAN TENTANG KOSET GRUP. SELAIN ITU JUGA TERDAPAT SIFAT-SIFAT DAN DEFINSI KOSET KIRI DAN KOSET KANAN. DALAM FILE INI JUGA TERDAPAT PENGERTIAN INDEX SERTA SOAL-SOAL YANG DAPAT DI APLIKASIN DALAM TEOREMA-TEOREMA
Dokumen tersebut merupakan catatan kuliah tentang Teori Bilangan (MX 127) yang mencakup beberapa bab seperti aksioma dasar bilangan bulat, bukti dengan induksi, keterbagian, kongruensi, faktorisasi, algoritma Euclid, dan fungsi-fungsi bilangan teoritik."
1. Dokumen tersebut membahas tentang garis lurus dan gradien. Didefinisikan bahwa garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak terpendek. Gradien merupakan perbandingan antara jarak vertikal dan horizontal dua titik yang dilalui garis lurus. 2. Dibahas cara menghitung gradien melalui persamaan garis dan dua titik yang dilaluinya. Sifat-sifat gradien seperti garis sejajar sum
1. Dokumen tersebut membahas tentang garis lurus dan gradien. Dijelaskan definisi garis lurus dan gradien serta cara menghitung gradien dan menentukan persamaan garis lurus berdasarkan gradien dan titik-titik koordinatnya. 2. Ada beberapa contoh soal untuk menguji pemahaman tentang penghitungan gradien dan penentuan persamaan garis lurus. 3. Juga dijelaskan cara menentukan titik potong dua garis lurus.
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
This document contains exercises and solutions related to monotone sequences, convergent subsequences, and the Bolzano-Weierstrass theorem from an introduction to real analysis course. It includes 4 problems examining properties of specific sequences, showing whether they are bounded/monotone and finding their limits, as well as examples of an unbounded sequence with a convergent subsequence and sequences that diverge. The solutions provide detailed proofs of the properties of each sequence using induction and algebraic manipulations.
Makalah ini membahas tentang pencerminan (refleksi) pada bidang datar. Definisi pencerminan dijelaskan sebagai fungsi yang memetakan titik ke titik lain sehingga membentuk sudut yang sama dengan sumbu refleksi. Sifat-sifat pencerminan seperti surjektif, injektif, dan melestarikan jarak juga dibuktikan sehingga pencerminan merupakan transformasi isometri. Contoh soal pencerminan juga diberikan unt
Ringkuman dari dokumen tersebut adalah:
1. Definisi ring polinomial atas suatu ring komutatif R adalah himpunan semua ekspresi polinomial dengan koefisien dari R.
2. Jika R adalah ring, maka himpunan ring polinomial R[x] dengan operasi penjumlahan dan perkalian polinomial adalah ring.
3. Jika D adalah daerah integral, maka ring polinomial D[x] juga merupakan daerah integral.
powerpoint ini dibuat untuk tugas presentasi mata kuliah Geometri Analitik bab 4 tentang ellips. dalam slide terdapat penjelasan tentang:
apa itu elips?
bagaimana menggambar elips?
bagaimana menemukan persamaan elips pada sumbu o(0,0)
bagaimana perbandingan elips vertikal dan ellips horizontal
bagaimana persamaan elips pada sumbu S(g,h)
serta dilengkapi contoh soal dan soal latihan
semoga bermanfaan :)
1. Definisi grup, subgrup, koset kanan dan kiri, relasi ekivalensi, dan indeks subgrup.
2. Teori Lagrange menyatakan bahwa orde subgrup membagi habis orde grup.
3. Fungsi phi Euler dan akibatnya terkait bilangan yang relatif prima.
Dokumen tersebut memberikan ringkasan tentang:
1. Pengantar analisis real yang membahas supremum dan infimum serta barisan bilangan real
2. Menguraikan definisi dan teorema terkait supremum, infimum, himpunan terbatas, dan sifat-sifatnya
3. Mengjelaskan pengertian barisan bilangan real, konvergensi, dan limitnya
1. Dokumen tersebut membahas tentang batas atas, batas bawah, infimum, dan supremum dari beberapa himpunan. Terdapat pembuktian bahwa 0 adalah batas bawah S2 dan S2 tidak memiliki batas atas. Juga terdapat pembuktian bahwa inf S2 dan sup S3 ada.
1. Integral kompleks merupakan integral fungsi bernilai kompleks di sepanjang lintasan tertentu.
2. Terdapat sifat-sifat integral kompleks seperti integral lintasan yang berlawanan akan meniadakan dan nilai integral kompleks untuk lingkaran berpusat di suatu titik bernilai iπ.
3. Integral kompleks dapat digunakan untuk menghitung nilai integral di sepanjang lintasan yang terdiri dari beberapa penggal garis.
Dokumen tersebut membahas tentang elipsoida dan hiperboloida. Elipsoida adalah bentuk permukaan yang dihasilkan dari gerakan ellips pada bidang-bidang tertentu, sedangkan hiperboloida dihasilkan dari gerakan ellips atau hiperbola. Dokumen ini menjelaskan persamaan-persamaan yang mendefinisikan kedua bentuk permukaan tersebut beserta sifat-sifat sederhananya.
KOSET GRUP , DALAM MAKALAH INI TERDAPAT PEMBAHASAN TENTANG KOSET GRUP. SELAIN ITU JUGA TERDAPAT SIFAT-SIFAT DAN DEFINSI KOSET KIRI DAN KOSET KANAN. DALAM FILE INI JUGA TERDAPAT PENGERTIAN INDEX SERTA SOAL-SOAL YANG DAPAT DI APLIKASIN DALAM TEOREMA-TEOREMA
Dokumen tersebut merupakan catatan kuliah tentang Teori Bilangan (MX 127) yang mencakup beberapa bab seperti aksioma dasar bilangan bulat, bukti dengan induksi, keterbagian, kongruensi, faktorisasi, algoritma Euclid, dan fungsi-fungsi bilangan teoritik."
1. Dokumen tersebut membahas tentang garis lurus dan gradien. Didefinisikan bahwa garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak terpendek. Gradien merupakan perbandingan antara jarak vertikal dan horizontal dua titik yang dilalui garis lurus. 2. Dibahas cara menghitung gradien melalui persamaan garis dan dua titik yang dilaluinya. Sifat-sifat gradien seperti garis sejajar sum
1. Dokumen tersebut membahas tentang garis lurus dan gradien. Dijelaskan definisi garis lurus dan gradien serta cara menghitung gradien dan menentukan persamaan garis lurus berdasarkan gradien dan titik-titik koordinatnya. 2. Ada beberapa contoh soal untuk menguji pemahaman tentang penghitungan gradien dan penentuan persamaan garis lurus. 3. Juga dijelaskan cara menentukan titik potong dua garis lurus.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan garis lurus, termasuk definisi persamaan garis lurus, kemiringan garis, menentukan persamaan garis lurus berdasarkan kemiringan dan titik-titik yang diketahui, serta contoh soal dan penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang definisi dan contoh-contoh translasi dalam bidang geometri. Translasi didefinisikan sebagai transformasi geometri yang memindahkan setiap titik sistem sepanjang ruas garis dan arah tertentu. Contoh translasi yang diberikan adalah perpindahan tempat duduk siswa dan penggunaan konsep translasi dalam permainan. Petanyaan translasi titik, garis, dan bidang datar juga dijelaskan beserta contoh soal
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan garis lurus dan gradien garis lurus. Persamaan garis lurus dapat ditulis dalam bentuk eksplisit y = mx + b atau implisit Ax + By + c = 0. Gradien garis adalah kemiringan garis terhadap sumbu x dan dapat dihitung berdasarkan dua titik yang melalui garis tersebut. Gradien garis yang sejajar sama, sedangkan gradien garis yang tegak lurus berhasil kali -
Dokumen ini membahas tentang persamaan dan fungsi linier serta kuadrat. Termasuk definisi, grafik, dan cara menentukan persamaan dari grafik dan sebaliknya. Fungsi linier memiliki grafik garis lurus sedangkan fungsi kuadrat berbentuk parabola.
Dokumen tersebut menjelaskan tentang persamaan garis lurus dan cara menentukan persamaan garis melalui titik dan gradien atau dua titik. Dijelaskan pula kemungkinan bentuk persamaan garis dan cara menentukan titik potong dua garis serta contoh penerapannya dalam kehidupan sehari-hari seperti grafik jarak-waktu dan titik impas.
Matematik tambahan spm tingkatan 4 geometri koordinat {add maths form 4 coord...Hafidz Sa
Nota padat Bab 6 Geometri Koordinat Matematik Tambahan Tingkatan 4 SPM
Slide Chapter 6 Coordinate Geometry Additional Mathematics Form 4
Topik Bab 6: Geometri Koordinat
Jarak di Antara Dua Titik
Pembahagian Tembereng Garis
Luas Poligon
Persamaan Garis Lurus
Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang
Persamaan Lokus yang Melibatkan Jarak Antara Dua Titik
Dokumen tersebut membahas tentang:
1) Pengertian pola bilangan dan contoh-contoh pola bilangan seperti bilangan asli, genap, ganjil, persegi, segitiga, dan Pascal.
2) Pengertian barisan dan deret aritmatika dan geometri beserta rumus-rumusnya.
3) Relasi, fungsi, korespondensi satu-satu, dan contoh-contohnya.
Modul Ajar Matematika Kelas 11 Fase F Kurikulum MerdekaFathan Emran
Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka - abdiera.com. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka. Modul Ajar Matematika Kelas 11 SMA/MA Fase F Kurikulum Merdeka.
Ppt landasan pendidikan Pai 9 _20240604_231000_0000.pdffadlurrahman260903
Ppt landasan pendidikan tentang pendidikan seumur hidup.
Prodi pendidikan agama Islam
Fakultas tarbiyah dan ilmu keguruan
Universitas Islam negeri syekh Ali Hasan Ahmad addary Padangsidimpuan
Pendidikan sepanjang hayat atau pendidikan seumur hidup adalah sebuah system konsepkonsep pendidikan yang menerangkan keseluruhan peristiwa-peristiwa kegiatan belajarmengajar yang berlangsung dalam keseluruhan kehidupan manusia. Pendidikan sepanjang
hayat memandang jauh ke depan, berusaha untuk menghasilkan manusia dan masyarakat yang
baru, merupakan suatu proyek masyarakat yang sangat besar. Pendidikan sepanjang hayat
merupakan asas pendidikan yang cocok bagi orang-orang yang hidup dalam dunia
transformasi dan informasi, yaitu masyarakat modern. Manusia harus lebih bisa menyesuaikan
dirinya secara terus menerus dengan situasi yang baru.
1. 1
PERSAMAAN PENCERMINAN
PADA GARIS
Disusun oleh
Nama : Taofik Zikri
Nim : 10.221.112
JURUSANA PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA
INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
IKIP (MATARAM)
2014
2. 2
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakag
Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman babilonia, yunani, para
ahli aljabar muslim abad ke-9 sampai ke-15 dan dilanjutkan matematikawan eropa abad ke-
18 sampai dua decade pertama abad ke-19. Keberaturan dan pengulangan pola member
dorongan untuk mempelajari bagaiman dan apa yang tak berubah oleh suatu transformasi.
Transformasi geometri adalah suatu fungsi yang mengaitkan antar setiap titik di bidang
dengan suatu aturan tertentu. Pengaitan ini dapat dipandang secara aljabar atau geometri.
Sebagai ilustrasi, jika titik (x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka diperoleh titik (x,-y).
secara aljabar transformasi ini ditulis T(x,y) =(x,-y) atau dalam bentuk matriks
𝑇 (
𝑥
𝑦) = (
1 0
0 −1
) (
𝑥
𝑦) = (
𝑥
−𝑦)
Masalah ini dapat diperluas untuk menentukan peta dari suatu konfigurasi geometri
berbentuk daerah tertentu oleh suatu transformasi. Transformasi geometri meliputi translasi
(pergeseran), rotasi(perputaran), refleksi(pencerminan) dan dilatasi(pembesaran). Namun,
pada makalah ini penulis mengkhususkan pada Refleksi (pencerminan). Dimana Suatu titik
atau sistem mengalami pergeseran namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun
sistem mengalami pergeseran yang sama.
Pemindahan suatu titik atau bangun pada suatu bidang yang digunakan salahsatunya
adalah refleksi (pencerminan), dimana dalam kehidapan seharih-hari sering kita jumpai
trutama pada saat bercermin, yang menjadi pertanyaan adalah ketika bercermin apakah
bayangan kitadengankitasendiri sama jaraknya? dengan pencerminan dan menjawab
pertanyaan-pertanyaan tersebut, kita akan mengetahui pengertian dan sifat dari penceerminan
itu.
pencerminan merupakan suatu transsformasiyang memindahkan setiap titik pada
bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik-titik yang hendak dipindahitu.
Refleksi suatu bangun geometri adalah proses mencerminkan setiaptitik bangun geometri itu
terhadap garis tertentu. garis tertentu itu dinamakansebagai sumbu cermin atau sumbu simetri.
Jika suatu bangun geometi dicerminkan terhadap garis tertentu, makabangun bayangan
kongruen dengan bangun semula.
3. 3
B. Tujuan
1. Menentukan persamaan suatu garis sebagai peta/prapeta suatu garis oleh suatu
pencerminan
2. Menggunakan sifat pencerminan untuk menentukan persamaan suatu garis, sehingga
pencerminanpada garis itu memenuhi syarat tambahan lainnya;
3. Menganalisis kebenaran pernyataan berdasarkan sifat-sifat pencerminan.
C. Manfaat
1. Bagi mahasiswa
a. Dapat menambah wawasan/pengetahuan tentang persamaan pencerminan
b. Dapat mengetahui manfaat pencerminana dalam kehidupan sehari-hari.
2. Bagi Dosen
Dengan adanya makalah ini dosen dapat sekiranya digunakan sebagai refrensi
selanjutnya.
4. 4
BAB II
PERSAMAAN PENCERMINAN PADA GARIS
A. Definisi
Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan
untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut:
a. jika P s maka Ms (P) = P
b. jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu 'PP . Pencerminan M pada
garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. garis s disebut sumbu refleksi / sumbu
pencerminan / singkat cermin.
Persmaan pencerminan pada garis dibatasi hanya pada garis yang istimewa saja. Adapun
rumus-rumus pencerminan pada garis-garis istimewa ini diantarnya.
Pencerminan titik A (a,b) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan titik B (a',b')
dengan a' = a dan b' = b.
hubungan diatas dapat ditulis
Mx : A(a,b) B(a',b') = B(a, -b)
Pemetaan A(a,b) B(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks
b
a
b
a
10
01
'
'
Matriks
10
01
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
sumbu X.
Gambar 1.1 Pencerminan titi A terhadap Sumbu x
5. 5
Pencerminan titik A (a,b) terhadap sumbu y menghasilkan bayangan titik C (a',b')
dengan a' = - a dan b' = b.
hubungan diatas dapat ditulis
My : A(a,b) C(a',b') = C(-a, b)
Pemetaan A(a,b) C(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks
b
a
b
a
10
01
'
'
Matriks
10
01
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
sumbu Y.
Gambar 1.2 Pencerminan titik A terhadap sumbu y
Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = x menghasilkan bayangan titik D (a',b')
dengan a' = b dan b' = a.
hubungan diatas dapat ditulis
My=x : A(a,b) D(a',b') = D(-a, b)
Pemetaan A(a,b) D(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks
b
a
b
a
01
10
'
'
Matriks
01
10
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
sumbu y = x.
6. 6
Gambar 1.3 Pencerminan titik A terhadap garis y = x
Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = -x menghasilkan bayangan titik E(a',b')
dengan a' = -b dan b' = -a.
hubungan diatas dapat ditulis
My= -x : A(a,b) E(a',b') = E(-b, -a)
Pemetaan A(a,b) E(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks
b
a
b
a
01
10
'
'
Matriks
01
10
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
sumbu y = -x.
Gambar 1.4 Pencerminan titik A terhadap garis y = -x
Pencerminan titik A (a,b) terhadap titik asal menghasilkan bayangan titik F(a',b') dengan
a' = -a dan b' = -b.
hubungan diatas dapat ditulis
Mo : A(a,b) F(a',b') = F(-a, -f)
Pemetaan A(a,b) F(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks
7. 7
b
a
b
a
10
01
'
'
Matriks
10
01
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
titik asal O(0,0)
Gambar 1.5 Pencerminan titik A terhadap titikasal
Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis x = h menghasilkan bayangan titik G(a',b')
dengan a' = 2h-a dan b' = -b.
hubungan diatas dapat ditulis
Mx=h : A(a,b) G(a',b') = G(2h-a, -b)
Pemetaan A(a,b) G(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks
b
a
b
a
10
01
'
'
Matriks
10
01
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
garis x=h .
Gambar 1.6 Pencerminan titik A terhadap garis x = h
8. 8
Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = k menghasilkan bayangan titik G(a',b')
dengan a' = 2h-a dan b' = -b.
hubungan diatas dapat ditulis
My=k : A(a,b) H(a',b') = H(a,2k -b)
Pemetaan A(a,b) H(a',b') dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks
b
a
b
a
10
01
'
'
Matriks
10
01
dinamakan matriks yang bersesuian dengan pencerminan terhadapa
garis y=k .
Gambar 1.7 Pencerminan titik A terhadap garis y = k
Misalkan, titik A(a,b) dicerminkan terhadap garis x= h kemudian dilanjutkan dengan
pencerminan terhadap garis x = k
untuk mengetahui pencerminan ini, amatilah gambar berikut!
9. 9
Dari gambar, tampak bahwa:
),)(2("),2('),( bahkAbahAbaA kGarisxhGarisx
Dengan cara yang sama, dapat ditentukan bayangan titik A(a,b) yang dicerminkan
terhadap garis y = m, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = n sebagai
berikut.
)),(2,(")2,('),( bmnaAbmaAbaA nGarisymGarisxy
Sekarang jika titik A(a,b) dicerminkan terhadap dua garis yang berpotongan tegak lurus,
misalnya pencerminan terhadap garis x = h dilanjutkan dengan pencerminan terhadap
garis y= m. Diperoleh bayangan A'''sebagai berikut:
)2,2("),2('),( bmahAbahAbaA mGarisyhGarisx
B. Teorema
Dengan demikian diperoleh suatu teorema dari rumus-rumus tersebut
Misalkan Mg pencerminan pada garis g dan P(x, y) v, apabila
a) g = {(x,y) │x = 0} maka Mg (P) = (-x, y)
b) g = {(x,y) │y = 0} maka Mg (P) = (x,- y)
c) g = {(x,y) │x = a} maka Mg (P) = (2a – x, y)
d) g = {(x,y) │y = b} maka Mg (P) = (x,2b – y)
e) g = {(x,y) │y = x} maka Mg (P) = (y, x)
f) g = {(x,y) │y = -x} maka Mg (P) = (-y, -x)
g) g = {(x,y) │y = mx} maka
2
2
2
2
1
)1(2
1
2)1(
)(
m
ymmx
m
myxm
PMg
C. Contoh-Contoh Dan Jawaban
1. Diketahui garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x, tentukan bayangannya!
Jawab
Rumus dasar pencerminan terhadap garis y= x : P(x,y) xy
P'(x',y')
x' = y y = x' …………….. (1)
y' = x x = y'……………... (2)
Subtitusikan (1) dan (2) ke garis y = 2x + 2 diperoleh
10. 10
x' = 2y' + 2
1
2
'
'
2''2
x
y
xy
Hasil pencerminannya adalah : 1
2
'
'
x
y
2. Diketehui: g = {(x,y)│x = -3}
Ditanya:
a. Mg(A),Bila (2,1).
b. bila Mg(C) = (-1,7), Maka C =…
Jawab
a. Persamaan garis yang melalui A(2, 1) dan tegak lurus g adalah y = 1. B(-3,1) adalah titik
tengah "AA ,
Maka (-3,1 ) =
2
"1
,
2
2
2
'
2
' yaxAyAyAxAxA
Jelas (-6,2) = (2 + xA',2 + yA')
(xA',yA') = (-8,1)
Jadi A' = (-8,1)
b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y = 7. D(-3, 7)
adalah titik tengah "AA .
maka (-3,7) =
2
7"
,
2
1
2
'
2
' yCxCyCyCxCxC
Jelas (-6,14) = (xC – 1, yC + 7)
(xC,yC) = (-5,7)
Jadi C = (-5, 7)
3. Diketahui titik A(3, -5) dicerminkan terhadap sumbu X. Tentukan koordinat bayangan titik
A ?
jawab:
Mx : A(3,-5) B(a',b')
Kita gunakanpersamaan matriks untuk menentukan x' dan y'
12. 12
karena (
2
1
,
2
1
) titik tengah 'OO , maka
2
'00
2
'00
2
'
,
2
'0
2
1
,
2
1 yxyoyoxox
Jelas (1,1) = (x0',y0')
(x0',y0') = (1.1)
Jadi Mg(O) = (1,1)
b. Maka persamaan garis h yang melalui titik A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 2 = 1(x – 1)
y = x + 2 – 1
y = x + 1
Jadi h y = x + 1
Mencari perpotongan g dengan h.
y = y
1 – x = x + 1
2x = 0
x = 0
subtitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 – x
Diperoleh y = 1
Jadi titik potongnya (0,1)
Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka
2
'02
2
'01
2
'
,
2
'0
0,0
yxyoyoxox
Jelas (0,2) = (1 + x0',2 + y0')
(x0',y0') = (-1,0)
Jadi A' = (-1,0)
c. Dipunyai p = (x, x+1) dan g = {(x,y)│x + y = 1}
Karena Mg(P) = P, maka P P(x, x + 1)
Diperoleh x + y = 1 x + y =1 X + (x + 1) = 1 x = 0
dan y = 0 + 1 =1
13. 13
Jadi Mg (P) = (0,1)
5. Diketahui titip P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y =-x.Tetukan koordinat bayangan titik P!
Jawab
b
a
b
a
01
10
'
'
3
7
7.0)3)(1(
)7)1()3.(0
'
'
01
10
'
'
b
a
b
x
b
a
Jadi bayangan titik P(-3,7) dicerminkan terhadap garis y=-x adalah P'(-7,3)
6. Jika garis x - 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y. maka tentukan persamaan
bayangannya!
Jawab
Garis x – 2y – 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y.
b
a
b
a
10
01
'
'
b
a
b
a
'
'
Dengan demikian a' = - x x = - x', dan
b' = - y b = y'
Dengan mensubtitusikan x = - x' dan y' persamaan garis, maka diperoleh.
(-x') – 2(y') – 3 = 0
- x' – 2y – 3 =0
Jadi, bayangan garis x – 2y – 3 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah – x – 2y – 3
= 0.
7. Tentukan bayangan parabola y = x2
+ 2x + 1 yang dicerminkan terhadap garis y = 3.
jawab
ambil sebarang titik P(a,b) pada y = x2
+ 2x + 1 sehingga b = a2
+ 2a + 1
Refleksikan titik P terhadap garis y = 3 sehingga diperoleh titik P'(a', b').
Dengan mencerminkan titik P(a, b) trhadap garis y = 3, diperoleh titik A'(a',b')
14. 14
)6,(')3.2,('),( 3
baPbaPbaP Garisy
Jadi, titik P'(a, 6 – b).
Perhatikan bahwa: a' = a, b' = 6 – b. Dari persamaan ini, didapat b = 6 – b'. Dengan
mensubtitusi nilai a dan b ini ke persamaan, sehinga diperoleh:
6 – b' = (a') + 2a' + 1
b' = - (a')2
– 2a' + 5
Jadi, bayangan parabola y = x2
+ 2x + 1 yang dicerminkan terhadap garisy = 3 adalah
y = - x2
– 2x + 5.
8. Persamaan peta garis x – 2y + 4 = 0 yang dicerminkan terhadap y = x adalah
jawab
x – 2y + 4 = 0 dicerminkan terhadap sumbu y = x, maka kita ubah persamaan
menjadipersamaan x = 2y – 4. kita tahu bahwa y = x matriks yang bersesuaian adalah:
b
a
b
a
xy
'
'
01
10
Dengan demikan untuk y = x:
x' = y
y' = x
Didapat x = 2y – 4 menjadi y = 2x – 4
Jadi dapat disimpulkan hasil pencerminan adalah y – 2x + 4 = 0
9. tentukan bayangan jajar =genjang ABCD dengan titik sudut A(-2, 4), B(0, -5), C(3, 2), dan
D(1, 11) jika
a. Dicerminkan terhadap sumbu x.
b. dicerminkan terhadap sumbu y
jawab
a. Pencerminan terhadap sumbu x.
11254
1302
10
01
'4'3'2'1
'4'3'2'1
yyyy
xxxx
15. 15
=
11254
1302
Jadi, bayangan jajargenjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah
jajargenjang A'B'C'D' dengan titik sudut A'(-2,-4), B'(0,5), C'(3, -2), dan D'(1, -11).
b. Pencerminan terhadap sumbu y
11254
1302
11254
1302
10
01
'4'3'2'1
'4'3'2'1
yyyy
xxxx
Jadi Bayangan jajar genjang ABCD oleh pencerminan terhadap sumbu y adalah
jajargenjang A'B'C'D' dengan titik sudut A'(2,4), B'(0,-5), C'(-3, 2), dan D'(-1,11).
10. Tentukan bayangan persamaan garis y = 2x – 5 oleh translasi
Jawab :
Ambil sembarang titik pada garis y = 2x – 5, misalnya (x, y) dan titik bayangan oleh
translasi adalah (x’, y’) sehingga ditulis
Atau
x’ = x + 3 x = x’- 3 ..... (1)
y’ = y – 2 y = y’ + 2 ......(2)
Persamaan (1) dan (2) disubtitusikan pada persamaan garis semula, sehingga :
y = 2x – 5
y’ + 2 = 2 (x’- 3) – 5
y’ = 2x’ – 6 – 5 – 2
y’ = 2x’ – 13
Jadi persamaan garis bayangan y = 2x – 5 oleh translasi adalah y = 2x – 13 .
16. 16
11. Persamaan bayangan kurva y = x2
– 2x – 3 oleh rotasi [0, 180o
], kemudian dilanjutkan oleh
pencerminan terhadap garis y = -x adalah….
jawab
T1 : Matriks transformasi yang bersesuaian dengan R[0, 180 0
] adalah
10
01
T2 : Matriks transformasi yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y = - x
adalah
01
10
T1 o T2 : (x,y) adalah:
jadi
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
"
"
01
10
"
"
01
10
10
01
"
"
y = x"
x = y"
maka
T2 o T1 : y = x2
– 2x – 3 adalah : x" = y"2
– 2y" – 3
Jadi hasil Trasformasinya adalah x = y2
– 2y – 3
12. persamaan bayangan dari lingkaran x2
+ y2
+ 4x – 6y – 3 = 0 oleh transformasi yang
barkaitan dengan matriks
01
10
adalah…
jawab
T =
01
10
: (x,y)
x
y
y
x
y
x
01
10
'
'
Jadi
y = x'
17. 17
x = -y'
maka T: x2
+ y2
+ 4x – 6y – 3 = 0 (-y')2
+ (x')2
– 4y' – 6x' – 3 = 0
↔ y'2
+ x'2
– 4y' – 6x' – 3 = 0
Jadi persamaan bayangannya adalah x2
+ y2
– 6x – 4y – 3 = 0
13. Diketahui g = x, y│x - 3y 1 0, dan A (2,k).
Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A Jawab :
Dipunyai x – 3y +1 = 0,
Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.
Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g. Untuk
x = 2 maka x – 3y +1 = 0 2 - 3y = -1 3y = 3 y = 1
Jadi nilai k = 1.
BAB III
18. 18
PENUTUP
A. Rangkuman
Persmaan pencerminan pada garis dibatasi hanya pada garis yang istimewa saja. Adapun
rumus-rumus pencerminan pada garis-garis istimewa ini diantarnya.
Pencerminan titik A (a,b) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan titik B (a',b')
dengan a' = a dan b' = b.
hubungan diatas dapat ditulis
Mx : A(a,b) B(a',b') = B(a, -b)
Pencerminan titik A (a,b) terhadap sumbu y menghasilkan bayangan titik C (a',b')
dengan a' = - a dan b' = b.
hubungan diatas dapat ditulis
My : A(a,b) C(a',b') = C(-a, b)
Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = x menghasilkan bayangan titik D (a',b')
dengan a' = b dan b' = a.
hubungan diatas dapat ditulis
My=x : A(a,b) D(a',b') = D(-a, b)
Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = -x menghasilkan bayangan titik E(a',b')
dengan a' = -b dan b' = -a.
hubungan diatas dapat ditulis
My= -x : A(a,b) E(a',b') = E(-b, -a)
Pencerminan titik A (a,b) terhadap titik asal menghasilkan bayangan titik F(a',b') dengan
a' = -a dan b' = -b.
hubungan diatas dapat ditulis
Mo : A(a,b) F(a',b') = F(-a, -b)
Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis x = h menghasilkan bayangan titik G(a',b')
dengan a' = 2h-a dan b' = -b.
hubungan diatas dapat ditulis
Pencerminan titik A (a,b) terhadap garis y = k menghasilkan bayangan titik G(a',b')
dengan a' = 2h-a dan b' = -b.
hubungan diatas dapat ditulis
My=k : A(a,b) H(a',b') = H(a,2k -b)
19. 19
Sehingga diperoleh teorema sebagai berikut:
a) g = {(x,y) │x = 0} maka Mg (P) = (-x, y)
b) g = {(x,y) │y = 0} maka Mg (P) = (x,- y)
c) g = {(x,y) │x = a} maka Mg (P) = (2a – x, y)
d) g = {(x,y) │y = b} maka Mg (P) = (x,2b – y)
e) g = {(x,y) │y = x} maka Mg (P) = (y, x)
f) g = {(x,y) │y = -x} maka Mg (P) = (-y, -x)
g) g = {(x,y) │y = mx} maka
2
2
2
2
1
)1(2
1
2)1(
)(
m
ymmx
m
myxm
PMg
B. Kesimpulan
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai pencerminan misalnya ketika kita
bercermin dikaca maka tentu ada bayangannya. cara mencari bayangan tersebut tentu kita
menggunakan bergai macam rumus yang ada direfleksi, diantaranya Pecerminan terhadap
sumbu x, pencerminan terhadap sumbu y, pencerminan terhadap titik pusat, pencerminan
terhadap gars y = x, pencerminana terhadapgaris y = -x, pencerminana terhadap titik h ,
pencerminana terhadap titik y = k, dan pencerminan terhadap titik y = mx. Namun yang dibahas
disini adalah persamaan pencermnan pada garis tentu mencarinya dengan rumus/sifat sifat dari
pencerminan, sehinggadi peroleh teorema pencerminan terhadap garis
DAFTAR PUSTAKA
20. 20
Zaelani, A.dkk.2006.BImbingan Pemantapan Matematika.Bandung : Yrama Widia
Rasmedi, Ame. 2007.Geometri Transformasi.Jakarta : Universitas Terbuka
http://febriansetiaji-grunge.blogspot.com/2011/11/pencerminan-terhadap-garis-y-mx-c.html.
diakses tanggal 16 januari 2014 jam 1.56
http://matematikadiskritt.blogspot.com/2012/01/rumus-tranformasi-refleksi.html. Diakses 18
januari 2014 Jam 14.23
http://artawann.wordpress.com/2013/01/14/rumus-web/. Diakses tanggal 19 januari 2014 jam
09.21
http://hernakuncoro.blogspot.com/2010/02/transformasi-geometri.html. Diakses tanggal 20
januari 2014 jam 12.09
http://www.rumus.web.id/matematika/rumus-transformasi-refleksi-matematika/. Diakses tanggal
20 januari 2014 jam 13.49
http://trimuhtiharyani.blogspot.com/2013/01/makalah-geometri-refleksi.html. Diakses tanggal 20
januar 2014 jam 14.04