Pengantarvektor 111205224542-phpapp02

st. legiyo - sma tn 2004
Pengantar
- Lambang Vektor - Notasi Besar Vektor
- Notasi Vektor - Vektor Negatif
Melukis Penjumlahan dan Selisih Vektor (Metoda Jajaran dan Poligon)
Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan (Rms Cosinus dan Sinus)
Menguraikan Sebuah Vektor Mjd. Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus
Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan dengan Metoda Analitis
Perkalian Vektor
Perkalian Vektor dengan Skalar
Perkalian Vektor dengan Vektor
•Perkalian Titik (Dot Product)
•Perkalian Silang (Cross Product)
Vektor Satuan
Pengertian Vektor Satuan
Operasi dengan Vektor Satuan
•Penjumlahan dan Selisih
•Perkalian Titik
•Perkalian Silang
Vektor Posisi

Perahu menyeberangi sungai yang airnya tidak bergerak

v1
Perahu bergerak dengan kecepatan v2 terhadap air, sedang air bergerak
dengan kecepatan v1 terhadap bumi. Maka kecepatan perahu terhadap bumi,
yaitu vR merupakan resultan dari v1 dan v2
v2
v1
vR

Perahu menyeberangi sungai yang airnya tidak bergerak.
Perahu diarahkan serong ke kiri.

v1
Air sungai bergerak ke kanan, perahu diarahkan serong ke
kiri. Dengan arah dan kecepatan yang tepat, perahu dapat
sampai ke seberang dengan panjang lintasan minimum.
v2
v1
vR

v1
v1
Perhatikan: Kayu yang terapung di atas air (kecepatan v1), burung yang
terbang di atas air (kec. v2), dan perahu yang kecepatannya vR (resultan v1
dan v2) sampai di tempat tujuan pada saat yang bersamaan (tAB = tBC = tAC)
v2
v1
vR
A
B
D
C

PENGANTAR
• Lambang Vektor
• Notasi Vektor
• Notasi Besar Vektor
• Vektor Negatif

Lambang Vektor
• Anak panah :
– Panjang anak panah  besar vektor
– Arah anak panah  arah vektor

Notasi Vektor
A atau A atau A

Notasi Besar Vektor
|A| atau |A| atau A

Melukis Penjumlahan Vektor dengan Metoda
Jajaran
A
B
C
A
B C = A + B

Melukis Penjumlahan Vektor dengan Metoda
Poligon
A
B
C
A
B C = A + B

Melukis Selisih Vektor dengan Metoda Jajaran
A B
D
-B
A
-B
D = A - B = A + (-B)

Melukis Selisih Vektor dengan Metoda Poligon
A B
D
-B
A
-B
D = A - B = A + (-B)

SOAL LATIHAN
01.Diketahui sebuah vektor perpindahan yang besarnya 5 km dan
arahnya ke tenggara digambarkan sebagai anak panah yang
panjangnya 2 cm dan membentuk sudut 450
terhadap garis
horisontal. Lukiskan vektor perpindahan :
a. 7,5 km ke tenggara c. 10 km ke barat laut
b. 2,5 km ke selatan
02.Jika vektor A berupa anak panah yang panjangnya 3 cm berarah
horisontal kekanan, lukis vektor-vektor:
a. 2 A b. ½ A c. – 1½ A

03. Diketahui vektor-vektor berikut ini
a. Lukis dengan metoda jajaran:
i) A + C iii) B + C
ii) A – B iv) A - D
b. Lukis dengan metoda poligon (segi banyak)
i) A + C iii) B + C + D
ii) A – B iv) A + B - C + D
04. Dua buah vektor gaya, masing-masing besarnya 15 N dan 20 N.
Tentukan besar dan arah resultan kedua vektor, jika kedua vektor
mengapit sudut sebesar:
a. 900
d. 1200
b. 300
e. 1800
c. 00
f. 2250
05. Dua buah vektor sama besar. Ternyata besar resultan kedua
vektor sama dengan besar salah satu vektor tersebut. Berapa
sudut yang diapit kedua vektor itu? Berapa sudut arah vektor
resultan terhadap salah salah satu vektor tersebut?
A B
C D

x2
= x2
+ x2
+ 2*x*x*cos A
x2
= 2 x2
+ 2 x2
cos A
x2
- 2 x2
= 2 x2
cos A
- x2
= 2 x2
cos A
cos A = - x2
/ 2 x2
= -1/2
A = 1200
5a. Mencari sudut apit kedua vektor
Misal : sudut apit kedua vektor adalah A
F1 = F2 = x
R = x F1
F2
R
A

F1 R
----- = -------
sin B sin A
x x
----- = -------
sin B ½ 3
x sin B = x ½ 3
sin B = ½ 3
B = 600
5b. Mencari sudut vektor resultan R dengan F2
Misal : sudut resultan R dengan F2 adalah A
F1
F2
R
B
A
x x
----- = -------
sin B sin 1200

Besar dan Arah Vektor Resultan
Rumus Cosinus
αcos2AB2B2AC ++=
Rumus Sinus
A
B
C
α1
α2
α
C=A+B sinα
C
sinα
B
sinα
A
21
==

TABEL FUNGSI TRIGONOMETRI
α sin α cos α tan α
00
0 1 0
300
½ ½√3 1
/3√3
370 3
/5 ½√3 3
/4
450
½√2 ½√2 1
530 4
/5
3
/5
4
/3
600
½√3 ½ √3
900
1 0 ∞
A+
I
S+
II
III
T+
IV
C+
sin (1800
- α) = sin α cos (1800 - α) = - cos α
sin (1800+ α) = sin α cos (1800 + α) = - cos α
contoh
sin 1200
= sin (1800
– 600
) = sin 600
cos 1200
= cos (1800
– 600
) = -cos 600
sin 2100
= sin (1800
+ 300
) = -sin 300
cos 2100
= cos (1800
+ 300
) = -cos 300

Menguraikan Vektor
Vektor v dengan arah β
terhadap sumbu x
diuraikan menjadi dua
vektor komponen, yaitu vx
dan vy
Besar masing-masing
vektor komponen :
Vx = V cos α
Vy = V sin α
β
vx
vy
v
x
y

Menentukan Besar dan Arah Vektor
Resultan dengan Metoda Analitis
Vektor v1 dan v2 masing-
masing membentuk
sudut β1 dan β2 terhadap
sumbu x.
Kedua vektor hendak kita
gabungkan dan dicari
besar dan arah resultan
keduanya
β1
v1
x
y
v2
β2

Langkah I
Masing-masing vektor diuraikan
menjadi dua vektor saling tegak
lurus, sehingga diperoleh
v1x v1y
v2x v2y
Besar masing-masing vektor
komponen :
V1x = V1 cos β1 V2x = V2 cos β2
V1y = V1 sin β1 V2y = V2 sin β2
β1
v1x
v1y
v1
x
y
v2
v2y
v2x
β2

β1
v1x
v1y v1
x
y
v2
v2y
v2x
β2
Σvx
Σvy
Langkah II
Vektor-vektor sesumbu saling
digabungkan, sehingga diperoleh
Σvx
Σvy
dimana
Σvx = v1x + v2x
Σvy = v1y + v2y

Langkah III
β1
v1x
v1y v1
x
y
v2
v2y
v2x
β2
Σvx
Σvy
R
θ












−=
xΣv
yΣv
1tanθ
2
yΣv
2
xΣvR 













+=
Langkah III a
Menentukan BESAR resultan vektor
dengan rumus Phytagoras:
Langkah III b
Menentukan ARAH vektor resultan
dengan rumus tangen:

β1
v1x
v1
x
y
v2
v2y
v2x
β2
Σvx
Σvy
R
θ
v1y












−=
xΣv
yΣv
1tanθ
2
yΣv
2
xΣvR 













+=
Σvx = V1x + V2x
Σvy = V1y + V2y
No v β sin β cos β v sin β V cos β
1 ... ... ... ... ... ...
2 ... ... ... ... ... ...
Jumlah komponen vektor-vektor sesumbu ... ...
Untuk praktisnya, dalam mengerjakan soal dapat
menggunakan tabulasi seperti berikut

PERKALIAN PADA VEKTOR
• Perkalian Skalar dengan Vektor
• Perkalian Vektor dengan Vektor
– Perkalian Titik (Dot Product) Dua buah
Vektor
– Perkalian Silang (Cross Product) Dua buah
Vektor

Perkalian Skalar dengan Vektor
Hasil kali besaran skalar dengan besaran vektor adalah besaran
vektor
Besar vektor hasil sama dengan hasil kali nilai besaran skalar
dengan nilai besaran vektornya.
Arah vektor hasil sama dengan arah besaran vektornya.
Contoh:
Vektor gaya F yang besarnya 5 Newton dilukiskan
sebagai anak panah ke kanan sepanjang 2 cm. Maka
vektor gaya F’ = 2 F berupa anak panah ke kanan
dengan panjang 4 cm
F
F’ = 2 x F

Perkalian Titik (Dot Product) Dua Vektor
Hasil kali titik dua besaran vektor adalah besaran skalar
Besar hasil kali titik tersebut sama dengan hasil kali nilai kedua
vektor dikalikan cosinus sudut yang diapit kedua vektor
tersebut.
A
B
α
Jika hasil kali titik vektor A
dengan vektor B adalah C,
C = A • B
maka C adalah besaran skalar
yang nilainya
C = A B cos α

Seorang anak menarik mobil mainan dengan
gaya sebesar 15 Newton. Tali penarik mobil
mainan membentuk sudut 300
terhadap
tanah. Berapa usaha yang dilakukan anak
tersebut, jika mobil mainan itu berpindah
sejauh 30 m?
Contoh:
s
F
α
W = F • s
= F s cos α
= 15 x 30 x ½√3
= 225√3 joule

D
Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor
Hasil kali silang dua besaran vektor adalah besaran vektor
C
A
B
α
A
B
α
Arah vektor hasil mengikuti aturan putaran sekrup.
C = A x B D = B x A
Besar vektor hasil sama
dengan hasil kali nilai
kedua vektor
dikalikan sinus sudut
yang diapit kedua
vektor tersebut.
C = D = A B sin α
Meskipun besar vektor C = besar vektor D, tetapi kedua vektor tidak sama,
melainkan berlawanan arah.
C = - D
Jadi pada operasi cross product ini tidak berlaku hukum komutatif.
A x B ≠ B x A

Contoh:
Di dalam medan magnet B (besarnya 0,25
tesla) yang arahnya ke atas, sebuah proton
bergerak dengan kecepatan v (besarnya
4x106
m/s) ke selatan . Tentukan besar dan
lukis arah gaya Lorentz yang dialami proton
tersebut. (muatan proton 1,6x10-19
coulomb)
v
B
Selatan
Barat
Atas
F = q ( v x B )
Besar gaya Lorentz F:
F = q v B sin α
= 1,6x10-19
x 4x106
x 0,25 x 1
= 1,6x10-13
newton
Arah gaya Lorentz F:
Ke Barat
Selatan
Barat
Atas
v
B
F
v
B

Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu satuan.
Vektor satuan yang searah sumbu x disebut i
Vektor satuan yang searah sumbu y disebut j
Vektor satuan yang searah sumbu z disebut k
x
y
z
i
j
k

Vektor Satuan
Setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor satuan.
Misal kita memiliki vektor :
v = 3 i + 4 j
Vektor tersebut memiliki
- komponen pada sumbu x sebesar 3 satuan
vx = v cos α = 3 satuan
- komponen pada sumbu y sebesar 4 satuan
vy = v sin α = 4 satuan
Sehingga besar vektor v tersebut
v = √vx
2
+ vy
2
= 5 satuan
Dan arah vektor terhadap sumbu x sebesar
α = tan-1
(vy / vx)
x
y
α
vx
vy
v

Vektor Satuan
Secara umum dapat dituliskan:
v = vx i + vy j
vx = v cos α = komponen vektor pd sumbu x
vy = v sin α = komponen vektor pd sumbu y
Besar vektor
v = √vx
2
+ vy
2
Arah vektor terhadap sumbu x
α = tan-1
(vy / vx)
x
y
α
vx
vy
v

Vektor Satuan
Dalam bentuk tiga dimensi:
v = vx i + vy j + vz k
vx = komponen vektor pd sumbu x
vy = komponen vektor pd sumbu y
vz = komponen vektor pd sumbu z
Besar vektor
v = √vx
2
+ vy
2
+ vz
2
x
y
z
vx
vy
Vz
v

Operasi Penjumlahan pada Vektor Satuan
Diketahui dua buah vektor
A = Ax i + Ay j B = Bx i + By j
Jika C adalah resultan vektor A dengan vektor B, maka
C = A + B = (Ax + Bx) i + (Ay + By) j
2
yByA
2
xBxAC 












 +++=
Besar vektor C adalah












+
+
−=
xBxA
yByA
1tanα
Arah vektor C adalah

Contoh
Diketahui dua buah vektor P dan Q, dimana P = 5 i + j dan
Q = -2 i + 4 j. Tentukan besar dan arah resultan kedua vektor tersebut.
R = P + Q
R = (5 - 2) i + (1 + 4) j
= 3 i + 5 j
Besar vektor R adalah
R = √(32
+ 52
)
= √34 satuan
Arah vektor R adalah
α = tan-1
(5/3)
Jawab
P
Q
x
y
R
α

Perkalian Vektor Satuan
Perkalian Titik (menghasilkan skalar)
i • i = 1x1xcos 00
= 1 i • j = 1x1xcos 900
= 0
j • j = 1x1xcos 00
= 1 j • i = 1x1xcos 900
= 0
k•k = 1x1xcos 00
= 1 i •k = 1x1xcos 900
= 0
dst
x+-i
j
y -
z+
x -
y+
z-
k
i
-k
-j
Perkalian Silang (menghasilkan vektor satuan)
i x i = 0 i x j = k j x i = -k
j x j = 0 j x k = i k x j = -i
kxk = 0 k x i = j i x k = -j

Perkalian Titik Dua Vektor
Perkalian titik dua buah vektor menghasilkan skalar.
Jika C adalah hasil kali titik vektor A dengan vektor B, maka
C = A • B = (Ax i + Ay j) • (Bx i + By j)
= (Ax i • Bx i) + (Ax i • Byj) + (Ay j • Bxi) + (Ay j • Byj)
= (Ax Bx) + 0 + 0 + (Ay By)
C = (Ax Bx) + (Ay By)

Contoh
Q = -2 i + 4 j. Tentukan: a) hasil kali titik kedua vektor, b) sudut antara
kedua vektor tersebut
P.Q = PxQx + PyQy
= (5.(-2))+(1.4)
= -6 ...........................(1)
Jawab
P.Q = P.Q.cos α
P = √(52
+ 12
) = √26
Q = √(-2)2
+ 42
) = √20
P.Q = (√26) (√20).cos α
= (√520) cos α ........... (2)
Dari (1) dan (2), diperoleh
-6 = (√520).cos α
cos α = -6/(√520)
α = cos-1
-5/√(26)

Perkalian Silang Dua Vektor
Perkalian Silang dua buah vektor menghasilkan vektor.
C = A x B = (Ax i + Ay j) x (Bx i + By j)
= (Ax i x Bx i) + (Ax i x Byj) + (Ay j x Bxi) + (Ay j x Byj)
= 0 + (Ax By) k + (Bx Ay) -k + 0
C = {(Ax By) - (Ay Bx)} k
Besar C adalah
C = (Ax By) - (Ay Bx)
Arah vektor C sejajar vektor satuan k atau sumbu z

Contoh
Q = -2 i + 4 j. Tentukan: besar dan arah hasil kali silang kedua vektor itu
PxQ = (PxQy – PyQx) k
= {(5.4)-(1.(-2)} k
= 22 k
Jawab
Jadi vektor hasilnya
sebesar 22 satuan
dengan arah ke sumbu
z positif

Vektor Posisi
Vektor Posisi adalah vektor untuk menyatakan posisi sebuah titik di
dalam ruang.
Sebuah titik P berada di dalam ruang dengan
koordinat (x,y,z)
Vektor Posisi titik P tersebut dituliskan:
r = x i + y j + z k
x+
z+
y+
z
x
y
r
•P

Vektor Posisi
x+
z+
y+
z1
x1
y1
•P
r1
y2
x2
z2
r2
Jika sebuah titik berpindah dari posisi
r1 = x1 i + y1 j + z1 k
menuju
r2 = x2 i + y2 j + z2 k
Maka vektor perpindahan titik tersebut:
∆r = r2 - r1
= (x2 - x1)i + (y2 - y1)j + (z2 - z1)k
∆r

Contoh
Sebuah partikel berada pada titik A dengan vektor posisi rA = 5 i + j.
Kemudian partikel tersebut bergerak ke titik B yang vektor posisinya
rB = -2 i + 4 j. Tentukan: besar dan arah perpindahan partikel tersebut
∆r = rB - rA
= (x2 - x1)i + (y2 - y1)j
= (-2 - 5)i + (4 - 1)j
= -7 i + 3 j
Jawab
Besar perpindahan partikel
∆r = √(-7)2
+ 32
= √58 satuan
Arah perpindahan (terhadap sumbu x)
θ = tan-1
(3 / -7)

Pengantarvektor 111205224542-phpapp02

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Pengantarvektor 111205224542-phpapp02

More from rozi arrozi

Recently uploaded

Pengantarvektor 111205224542-phpapp02