Vektor dan skalar adalah dua jenis besaran yang umum ditemui dalam fisika. Vektor memiliki besar dan arah sedangkan skalar hanya memiliki besar. Dokumen ini menjelaskan pengertian, operasi penjumlahan dan perkalian vektor, serta contoh penerapannya dalam menentukan besar dan arah hasil vektor dari beberapa vektor lainnya.

1. VEKTOR DAN
SKALAR
PENDIDIKAN TEKNIK OTOMOTIF (S1)
FT-UNM

2. BAB 2
VEKTOR DAN SKALAR
• Pendahuluan
Sehari-hari kita sering mendengar informasi misalnya, mobil bergerak
dengan kecepatan 50 km/jam dari arah barat ke timur, atau suhu udara dalam
suatu ruangan berkisar 30C.
Untuk kecepatan mobil, selain disebutkan besar kecepatan yaitu 50 km/jam,
disebutkan juga arahnya yaitu dari barat ke timur. Untuk suhu udara cukup
disebutkan besarnya saja, yaitu 30C.
Dalam hal ini kecepatan disebut besaran vektor, yakni besaran yang
mempunyai besar dan arah sedangkan suhu disebut besaran skalar, yakni
besaran yang hanya mempunyai kuantitas (jumlah) tanpa memiliki arah.

3. Tujuan Pembelajaran:
1. Menjelaskan pengertian besaran vektor
2. Menjelaskan pengertian besaran skalar
3. Menghitung resultan vektor
4. Menjelaskan bentuk penguraian vektor
5. Menjelaskan macam-macam perkalian vektor

4. 2.1 Pengertian Vektor dan Skalar
• Vektor yaitu besaran yang mempunyai besar dan arah. Contoh
besaran vektor yang lain: gaya, percepatan, dan perpindahan.
• Selain besaran vektor, dikenal juga besaran skalar, yakni besaran yang
hanya mempunyai kuantitas (jumlah) tanpa memiliki arah, contohnya:
suhu, waktu, massa dan panjang.
• Operasi penjumlahan, perkalian, pembagian dan pengurangan skalar
berlaku sebagaimana bilangan nyata, dengan tidak melupakan satuan
besaran.

5. Perpindahan dari A ke B dapat ditulis sebagai vektor AB atau vektor
a seperti pada Gambar 2.1 di bawah.
a
A
Gambar 2.1. Vektor a
Dimana: A adalah titik pangkal vektor dan B disebut titik ujung
vektor.
B

6. Perpindahan suatu vektor lainnya dapat dilihat pada Gambar 2.2
berikut:
R
P Q
P1 Q1
P2 Q2
Sekalipun jarak PQ = PR, tetapi vektor PQ tidak sama dengan
vektor PR. Vektor PQ = Vektor P1Q1, sebab besar dan arah kedua
vektor itu sama. Dapat juga dituliskan PQ = P1Q1 = - P2Q2 dengan
tanda negatif menyatakan bahwa arah P2Q2 berlawanan dengan arah
PQ dan P1Q1 tetapi mempunyai jarak (besar) yang sama. Dengan
demikian, jika PQ = a maka P2Q2 = -a. Dimana vektor -a adalah vektor
yang besarnya sama dengan vektor a tetapi arahnya berlawanan.
Gambar 2. 2. Beberapa vektor

7. 2.2 Resultan Dua Vektor
• Dua atau lebih vektor dapat diganti dengan satu vektor resultan.
Misalnya sebuah perahu layar yang bergerak dalam keadaan miring.
Perahu tersebut miring karena dipengaruhi oleh beberapa gaya,
seperti gaya berat perahu dan muatannya, gaya dorong angin, gaya
dorong ombak dan gaya gesek dengan permukaan air laut.
Berdasarkan contoh tersebut maka timbul pertanyaan, bagaimana
menentukan resultan (perpaduan) dari beberapa besaran vektor?

8. Untuk menjawab pertanyaan di atas dapat dilihat pada Gambar 2.3
berikut:
Y
R
Ry

X
O Rx
Gambar 2.3. Vektor dan resultannya
Rx =  vx = v1 cos 1 + v2 cos 2 + ….. + vn cos n
Ry =  vy = v1 sin 1 + v2 sin 2 + ….. + vn sin n
R = 2
2
y
x R
R 
Arah R dinyatakan dengan: tan  =
x
y
R
R
Secara umum, besar resultan dua buah vektor v1 dan v2
adalah:
R = 
cos
2 2
1
2
2
2
1 v
v
v
v 

Dimana v1 adalah besarnya vektor v1, v2 adalah besarnya
vektor v2, dan  adalah sudut antara vektor v1 dengan vektor v2. Dari
rumus tersebut dapat ditentukan nilai terbesar dan nilai terkecil dari
besarnya resultan vektor.

9. a. Nilai terbesar dari R (Rmaks)
Mengingat nilai v1 dan v2 tertentu maka R hanya tergantung pada
sudut . Jadi Rmaks tercapai bila cos  bernilai maksimum. Dimana
nilai maksimum cos  adalah 1, yakni bila  = 0. Jadi diperoleh:
2
1
2
2
2
1 2 v
v
v
v
Rmaks 


= 2
2
1 )
( v
v 
2
1 v
v
Rmaks 

Dalam hal nilai R terbesar, maka vektor v1 searah dengan vektor v2
seperti tampak pada Gambar 2.4.
v1
v2
R
A B C
Gambar 2.4. Resultan vektor maksimal (Rmaks)
AB = v1, BC = v2, AC = R
AC = AB + BC
R = v1 + v2

10. b. Nilai terkecil dari R (Rmin)
Nilai Rmin tercapai bila cos  bernilai minimum, yakni cos  = -1.
Jadi,
Rmin = 2
1
2
2
2
1 2 v
v
v
v 

= 2
2
1 )
( v
v 
Rmin = v1 – v2
Nilai Rmin = v1 – v2, ini terjadi bila  = 180, artinya v1 berlawanan
dengan v2 seperti tampak pada gambar 2.5.
v1
v2
R
B C A
Gambar 2.5. Resultan vektor minimum (Rmin)
AB = v1, BC = v2, AC = R
AC = AB – BC, atau
R = v1 – v2
Jadi, besar resultan dua buah vektor berada diantara:
2
1
2
1 v
v
R
v
v 



Penulisan 2
1 v
v  artinya nilai mutlak dari v1 – v2 tanpa melihat
tandanya positif atau negatif.

11. Contoh 1
Seseorang mendayung perahu dengan kecepatan tetap 1,2 m/s pada
sungai yang kecepatan aliran airnya 2,8 m/s berapakah rentang
besarnya resultan kecepatan perahu dan kecepatan aliran sungai?
Penyelesaian:
2
1
2
1 v
v
v
v
v R 



1
1
8
,
2
2
,
1
8
,
2
2
,
1 




 ms
v
ms R
1,6 ms-1  vR  4 ms-1

12. Contoh 2
Pada sebuah benda bekerja 4 buah gaya yang besar dan arahnya
masing-masing adalah:
F1 = 10 N, membentuk sudut 60 dengan sumbu X positif
F2 = 4 N , membentuk sudut 120 dengan sumbu X positif
F3 = 1 N, membentuk sudut 180 dengan sumbu X positif
F4 = 5 3 N, membentuk sudut 270 dengan sumbu X positif
Tentukan besar dan arah resultan keempat gaya di atas.
Penyelesaian:
Langkah-langkah penyelesaian:
o Buat diagram Cartesius, dimana benda berimpitan dengan titik
(0,0)
o Benda dianggap sebagai titik
o Lukis gaya-gaya dengan sudut arahnya masing-masing
o Uraikan gaya-gaya pada arah komponen-komponennya
(komponen X & Y) seperti pada Gambar 2.6.
Y
F1
F2
X
F3
F4
Gambar 2.6. Gaya-gaya pada komponen X dan Y

13. Selanjutnya buat tabel gaya dan komponen-komponennya
Gaya
(N)
Komponen-komponen Gaya
Fx = F cos  Fy = F sin 
10 10 cos 60 = 5 10 sin 60 = 5 3
4 4 cos 120 = -2 4 sin 120 = 2 3
1 1 cos 180 = -1 1 sin 180 = 0
5 3 5 3 cos 270 = 0 5 3 sin 270 = -5 3
 Fx = 2 N  Fy = 2 3 N
Dari tabel di atas diperoleh nilai  Fx dan  Fy juga resultan dari
kedua komponen di atas seperti pada Gambar 2.7.
Y
R
Fy
X
Fx
Gambar 2.7. Resultan dari  Fx dan  Fy
R = 2
2
y
x F
F 


= 2
2
)
3
2
(
2 
= 12
4 
R = 4 N

14. 2.3 Penguraian Vektor
Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi 2 (dua) atau lebih vektor.
Untuk vektor di dalam suatu bidang, dengan mengambil sistem
koordinat bidang maka diperoleh komponen vektor pada sumbu X dan
komponen vektor pada sumbu Y.
Y
Vy v

X
O vx
Gambar 2. 8. Penguraian vektor
Dimana: vx = komponen vektor v pada sumbu X
vy = komponen vektor v pada sumbu Y
Jika: v
v
v
v
v
v y
y
x
x 

 ;
;
Maka: vx = v cos 
vy = v sin 

15. Contoh 3
Sebuah benda yang terletak di atas sebuah bidang datar ditarik
dengan gaya F yang membentuk sudut  dengan arah perpindahan
seperti pada Gambar 2.9
Y
Fy = F sin  F
Fx = F cos 
Gambar 2.9. Benda ditarik dengan gaya F yang membentuk sudut 
terhadap arah perpindahan

16. 2.4 Perkalian Vektor
• Ada dua jenis perkalian vektor, yaitu perkalian titik (dot product) dan
perkalian silang (cross product). Perkalian titik sering juga disebut
perkalian skalar karena hasilnya merupakan suatu skalar, sedangkan
perkalian silang sering juga disebut perkalian vektor karena hasilnya
merupakan suatu vektor.

17. a. Perkalian titik vektor
Perkalian titik antara dua vektor A dan B didefinisikan sebagai
hasil kali nilai mutlak masing-masing vektor dengan cosinus sudut
antara kedua vektor. Secara matematis, perkalian dapat dituliskan
sebagai berikut:
A . B = 
cos
B
A
= AB cos 
dimana  adalah sudut antara vektor A dan B, sedangkan A
A 
dan B
B  , masing-masing besarnya vektor A dan B.
B
A
O B cos 
Gambar 2.10. Perkalian titik vektor
A . B = AB cos  ; hasil kali antara A dengan proyeksi vektor B pada
vektor A .
B . A = BA cos  ; hasil kali antara B dengan proyeksi vektor A pada
vektor B.
Bila dihitung maka A . B = B . A
Contoh penggunaan perkalian titik dalam fisika, misalnya besar usaha
(W) yang dilakukan oleh sebuah gaya (F) yang bekerja pada sebuah
benda sehingga berpindah sejauh s : W = F . s = 
cos
s
F

18. Contoh 4
Gaya F sebesar 10 N bekerja pada sebuah benda bermassa 5 kg
sehingga benda bergeser sejauh 6 meter dari kedudukan awal. Bila
usaha yang dikerjakan gaya tersebut 30 joule, berapakah sudut yang
dibentuk gaya dengan arah perpindahan?
Penyelesaian:
Misalkan sudut yang dibentuk antara F dan s adalah , maka:
W = F. s = 
cos
s
F
30 J = (10 N) (6 m) cos 
cos  = 0,5 atau  = 60

19. Perkalian silang
Perkalian silang antara vektor A dan B ditulis A x B. Secara
matematis, niali hasil kali silang vektor ini adalah:

si
n
B
A
AxB 
Hasil kali kedua vektor tersebut merupakan vektor yang arahnya
selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh kedua vektor A
dan B seperti terlihat pada Gambar 2.11 berikut.
Gambar 2.11. (a). Vektor C adalah hasil perkalian silang vektor A x B,
(b). Hasil perkalian silang vektor dapat ditentukan dengan kaidah
tangan kanan atau kaidah sekrup.
Dari gambar di atas terlihat bahwa arah vektor C = A x B sesuai
dengan kaidah tangan kanan atau kaidah sekrup. Memutar sekrup ke
kanan sama dengan memutar vektor B ke arah A, maka arah vektor
hasil perkalian silang akan ke bawah (-C). Jadi,
A x B = -B x A

20. Rangkuman
 Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah, contoh:
kecepatan dan perpindahan.
 Skalar adalah besaran yang hanya mempunyai besar, tanpa
mempunyai arah, contoh: jarak dan suhu.
 Vektor dapat dijumlahkan dengan cara jaran genjang, segitiga,
dan poligon
 Vektor dapat diuraikan atas komponen-komponennya terhadap
sumbu koordinat sistem.
 Ada dua jenis perkalian vektor, yaitu perkalian titik (dot product)
dan perkalian silang (cross product).
 Contoh perkalian titik: A  B = 
cos
B
A
 Contoh perkalian silang: 
sin
B
A
AxB 
 Perkalian titik sering juga disebut perkalian skalar karena hasilnya
merupakan suatu skalar, sedangkan perkalian silang sering juga
disebut perkalian vektor karena hasilnya merupakan suatu vektor.

21. SOAL LATIHAN
1. Tentukan rentang nilai dari resultan 2 buah gaya yang besarnya
masing-masing F1 = 8 N dan F2 = 6 N.
2. Seseorang mendayung perahu dengan kecepatan tetap 1,5 m/s
pada sungai yang kecepatan aliran airnya 2,2 m/s berapakah
rentang besarnya resultan kecepatan perahu dan kecepatan
aliran sungai?
3. Pada sebuah benda bekerja 4 buah gaya yang besar dan arahnya
masing-masing adalah:
F1 = 8 N, membentuk sudut 60 dengan sumbu X positif
F2 = 2 N , membentuk sudut 120 dengan sumbu X positif
F3 = 2 N, membentuk sudut 180 dengan sumbu X positif
F4 = 5 N, membentuk sudut 270 dengan sumbu X positif
Tentukan besar dan arah resultan keempat gaya di atas.
4. Gaya F sebesar 8 N bekerja pada sebuah benda bermassa 3 kg
sehingga benda bergeser sejauh 4 meter dari kedudukan awal.
Bila usaha yang dikerjakan gaya tersebut 20 joule, berapakah
sudut yang dibentuk gaya dengan arah perpindahan?