Aplikasi limit fungsi kelas 12

1. APLIKASI LIMIT
Kelas XI
Matematika Wajib

2. Menentukan Kecepatan Sesaat dari Fungsi Posisi
Apabila s menyatakan perpindahan atau jarak dan t menyatakan waktu, untuk menghitung kecepatan sesaat kita dapat memanfaatkan
penggunaan limit.
Dari gambar di atas, untuk kecepatan sesaat kita gunakan ketika selang waktunya sangat kecil (menuju nol). Sehingga:
𝐾𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑠𝑎𝑎𝑡 = lim
ℎ→0
𝑓(𝑐 + ℎ) − 𝑓(𝑐)
ℎ
Atau
𝐾𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑠𝑎𝑎𝑡 = lim
∆𝑡→0
𝑓(𝑐 + ∆𝑡) − 𝑓(𝑐)
∆𝑡
Dengan ∆𝑡 = (𝑐 + ℎ) − (𝑐) = ℎ

3. Contoh
Suatu mobil melintas mengikuti persamaan s = f(t) = t2+2t+1 dengan t dalam satuan detik dan s dalam satuan meter. Berapakah
kecepatan mobil pada saat t = 2 detik?
Jawab:
f(2) = 22 + 2.2 + 1 = 9
f(2 + ∆𝑡) = (2 + ∆𝑡)2 + 2(2 + ∆𝑡) +1
= 4 + 4∆𝑡 + ∆𝑡2 + 4 + 2∆𝑡 + 1
= ∆𝑡2 + 6∆𝑡 + 9
𝑣(𝑡=2) = lim
∆𝑡→0
𝑓(2+∆𝑡)−𝑓(2)
∆𝑡
𝑣(𝑡=2) = lim
∆𝑡→0
(∆𝑡2 + 6∆𝑡 + 9)−9
∆𝑡
𝑣(𝑡=2) = lim
∆𝑡→0
∆𝑡2 + 6∆𝑡
∆𝑡
𝑣(𝑡=2) = lim
∆𝑡→0
∆𝑡 + 6
𝑣(𝑡=2) = 0 + 6
𝑣(𝑡=2) = 6 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟/ 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘

4. Menentukan Gradien Garis Singgung Kurva
Jika A (x1, y1) dan B (x2, y2) adalah dua titik pada kurva y = f(x) garis lurus AB memiliki gradien:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Perhatikan gambar di atas. Tampak bahwa x2 > x1. Misalkan x2 = x1 + h atau h = x2 – x1. Maka dapat kita tulis:
𝑚 =
𝑓(𝑥1 + ℎ) − 𝑓(𝑥1)
ℎ
Apabila posisi titik A tetap dan posisi B digerakkan sepanjang kurva mendekati posisi A, akibatnya x2 – x1→ 0 atau h → 0.
Akibatnya, garis AB menjadi sangat dekat dengan garis l (garis singgung kurva di A) dengan demikian, gradien garis AB
mendekati gradien garis singgung kurva y = f(x). Secara umum, dapat ditulis sebagai berikut:
𝑚 = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ

5. Contoh
Tentukan gradien garis singgung kurva 𝑦 =
1
𝑥
di titik (1,1)
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut digunakan:
𝑚 = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
f(1) =
1
1
=1
f(1 + h) =
1
1+ℎ
𝑚 = lim
ℎ→0
𝑓(1+ℎ)−𝑓(1)
ℎ
𝑚 = lim
ℎ→0
1
1+ℎ
−1
ℎ
𝑚 = lim
ℎ→0
1−(1+ℎ)
1+ℎ
ℎ
𝑚 = lim
ℎ→0
1−(1+ℎ)
1+ℎ
ℎ
𝑚 = lim
ℎ→0
−ℎ
ℎ(1+ℎ)
𝑚 = lim
ℎ→0
−1
1+ℎ
𝑚 =
−1
1+0
𝑚 = −1
Jadi, gradien garis singgung di titik (1, 1) adalah 𝑚 = −1

6. Aplikasi Limit Fungsi Aljabar di x menuju ∞
Contoh:
Jumlah penduduk di sebuah desa diperkirakan t tahun dari sekarang akan menjadi:
𝑁 = 20000 +
10000
(𝑡 + 2)2
Berapakah jumlah penduduk desa tersebut dalam jangka waktu yang sangat panjang di masa depan? (dapat diartikan sebagai
t→∞). Oleh karena itu, jumlah penduduk dapat dipandang sebagai lim
𝑡→∞
𝑁.
lim
𝑡→∞
𝑁 = lim
𝑡→∞
20000 +
10000
(𝑡+2)2
lim
𝑡→∞
𝑁 = 20000 + lim
𝑡→∞
10000
(𝑡+2)2
lim
𝑡→∞
𝑁 = 20000 + 0
lim
𝑡→∞
𝑁 = 20000
Sehingga, diperkirakan jumlah penduduk sebanyak 20000 orang